Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

数值实验报告I

实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年 4 月 15 日姓名米瑞琪班级信息1303学号04成绩

一、实验目的，内容

1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理；

2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异；

3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵；

二、算法描述

针对一个Poisson方程问题：

在Poisson方程五点差分格式的基础上，采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差，可以得到：

为了提高算子截断误差的精度，在(1)式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson方程代入（1）式有：

考虑，有：

将（3）代回（2）可得

得到Poisson方程的九点差分格式：

在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式

的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增的部分写成紧凑格式，有：

对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合：

以及

则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成，方法类似于五点差分格式。

对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即：

写成相应的紧凑格式有：

该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和：

%计算误差

u_real=@(x,y)exp(pi*(x+y))*sin(pi*x).*sin(pi*y);

for i=1:N1-1

u_m((i-1)*(N2-1)+1:i*(N2-1))=u_real(x(i),y);

end

u_v=u_m';

err_d=max(abs(u_d-u_v));

sol=reshape(u_d,N2-1,N1-1);

mesh(X,Y,sol)

四. 数值结果

针对课本P93给出的问题，分别采用步长，将计算出的误差列表如下：

步长五点差分格式误差九点差分格式误差

可见采用九点差分格式可以进一步缩小误差，达到更高阶的精度。

五. 计算中出现的问题，解决方法及体会

在生成九点差分格式的时候，等号右端涉及到了对f的二阶偏导，我最初利用符号函数定义了f,随后求出其二阶偏导（仍然是符号函数）之后带入网格点，求f二阶偏导的精确解，但是代入过程相当繁琐，运行速度非常慢，最终我改变策略，选用f关于x,y的二阶中心差分格式替代精确值，最终得到了相对满意的结果。

教

师

评

语

指导教师：年月日