Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

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Laplace九点差分格式

1.5609 1.8067 2.1132 2.5190 3.0488
1.6172 1.8649 2.1590 2.5661 3.1403
1.6393 1.8897 2.0944 2.4093 3.1553
精确解：
1.3610 1.5029 1.6031 1.6589 1.6688
1.6078 1.7754 1.8939 1.9598 1.9714
共 10 页第3页
Laplace 方程九点差分格式
的光滑解.
3.2 矩阵形式 Au b; 其中
A1 A2
A2 A1 A2
A
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A2
A1
A
2
A2 A1 ( N 1)*(N 1)
20 4
4
20 4
A1
4 20
4
,
4
20( N 1)*(N 1)
4 1
1 4 1
A2
1
Laplace 方程九点差分格式
开始
k=2
输入区间，节点数N 给出迭代次数n
对向量b赋值，对向量u赋初值u0；对矩阵A1，A2赋值
m=1
m<n+1 N
输出数值解u1
k<N-1
Y
N
A1*u1(k)=A2*u1(k-1)A2*u0(k+1);
K=k+1
A1*u1(1)=A2*u2(2)+b(1);
中南林业科技大学
本科课程设计说明书
学院：
理学院
专业年级： 2008 级信息与计算科学二班
课程：
科学计算课程设计
论文题目： Laplace 方程九点差分格式

二维泊松方程的差分格式有限差分法

§3.7 有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2
x 2
2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
Kn )
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格, 差分格式为:
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2.边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件合理减小计算场域, 差分格式为
•
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件边界线与网格线相重合的差分格式:
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3

第2章地球物理中常用数值解法基本原理-有限差分法

2 1
等代入
U f x, y ,
2
x, y
Ui , j 1 2Uij Ui , j 1 h
2 2
hUij
Ui 1, j 2Uij Ui 1, j h
2 1

fij
2 截断误差为 O h
第二节椭圆型偏微分方程的有限差分解法
2.1 差分格式 ——九点差分格式
2 1 U xi , y j 2 U xi 1 , y j U xi , y j h1 h1 2 x 2! x 3 4 5 U x , y U x , y 1 1 1 U xi , y j 5 i j i j 3 4 6 h h h O h 1 1 1 1 3 4 5 3! x 4! x 5! x 2 1 U xi , y j 2 U xi 1 , y j U xi , y j h1 h1 2 x 2! x 3 4 5 1 U xi , y j 3 1 U xi , y j 4 1 U xi , y j 5 6 h h h O h 1 1 1 1 3! x3 4! x 4 5! x 5
如果两个节点满足
i1 i2 j1 j2 1 ，称其为相邻节点。
非正则内点
正则内点——邻点都在区域内；
第二节椭圆型偏微分方程的有限差分解法
2.1 差分格式 ——九点差分格式对正则内点，
U xx , U yy
U xi , y j x U xi , y j x
2
特征方程
2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
2 a12 a11a22 0

泊松方程隐格式和显格式

泊松方程隐格式和显格式
泊松方程是一种偏微分方程，通常用于描述物理现象，例如电荷分布、热传导等。

在数值分析中，我们常常需要将泊松方程离散化，以便在计算机上求解。

隐格式和显格式是两种常见的离散化方法。

隐格式离散化方法：
隐格式方法将偏微分方程转化为一个非线性方程组，然后使用迭代法（如牛顿法）求解。

具体来说，对于泊松方程：
Δφ = f
隐格式离散化方法将该方程转化为：
(Δ_i,j φ_i,j) = f_i,j
其中Δ_i,j 是离散化的拉普拉斯算子，φ_i,j 是未知的电势，f_i,j 是已知的源项。

通过迭代求解该非线性方程组，可以得到电势的近似解。

显格式离散化方法：
显格式方法将偏微分方程转化为一个线性方程组，然后直接求解。

具体来说，对于泊松方程：
Δφ = f
显格式离散化方法将该方程转化为：
(Δ_i,j - Δ_i+1,j) φ_i,j = f_i,j - f_i+1,j
其中Δ_i,j 是离散化的拉普拉斯算子，φ_i,j 是未知的电势，f_i,j 是已知的源项。

通过求解该线性方程组，可以得到电势的近似解。

总结：
隐格式离散化方法适用于非线性问题，而显格式离散化方法适用于线性问题。

在数值分析中，根据问题的性质选择合适的离散化方法非常重要。

椭圆型方程的差分解法

椭圆型方程的差分解法1.引言考虑问题①二维Poisson 方程2222(,)u u f x y x y ⎛⎫∂∂-+= ⎪∂∂⎝⎭， (,)x y ∈Ω 其中Ω为2R 中的一个有界区域，其边界Γ为分段光滑曲线。

在Γ上u 满足下列边界条件之一：⑴(,)u x y αΓ=（第一边值条件）， ⑵(,)ux y n βΓ∂=∂（第二边值条件）， ⑶(,)uku x y n γΓ∂+=∂（第三边值条件）， (,),(,),(,),(,),(,)f x y x y x y x y k x y αβγ都是连续函数，0k ≥.2.差分格式将区间[,]a b 作m 等分，记为11()/,,0i h b a m x a ih i m =-=+≤≤；将区间[,]c d 作n 等分，记为22()/,,0i h d c n y c jh j n =-=+≤≤.称1h 为x 方向的步长，2h 为y 方向的步长。

2.1 Poisson 方程五点差分格式参考单如图所示：以(,)i j x y 为中心沿y 方向Taylor 展开：41)(),j u y o h +①41)(),j u y o h +②41(),u h21(),o h ③22(),o h ④(,),i j ij f x y R -=+(,),i j f x y -=○6 j+1考虑到边值条件(,)(,)u x y x y αΓ=，构成差分格式：11112212(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)(,),(,)(,),i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y u x y u x y f x y h h u x y x y α+-+-Γ⎧-+-+⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩○72.2 Poisson 方程九点差分格式由上式 ③ + ④ 得：11112212442221244222222122222(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)(,)1(,)()12(,)(,)1(,)12i j i j i j i j i j i j h i j i j iji j i j i j u x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y h h u u u x y h h o h x y u x y u x y u x y h h x y x y +-+--+-+=+⎡⎤∂∂=∆+++⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫∂∂⎛⎫∂∂=∆+++- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭422212222242222212122222(,)()12(,)(,)(,)1(,)()1212i j i j i j i j i j u x y h h o h x y f x y f x y u x y h h f x y h h o h x y x y ∂++∂∂⎛⎫∂∂∂+=--+-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭○8 又()41122222211111112212311111(,)(,)2(,)(,)()1[(,)2(,)(,)2(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)]()i j xx i j xx i j xx i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y o h x y h u x y u x y u x y u x y u x y u x y h h u x y u x y u x y o h +-+++-++-+----∂-+=+∂∂=-+--++-++ 则得到：222222121121112112222221211212122222221112111211()(,)(210)(,)()(,)(210)(,)20()(,)(210)(,)(210)(,)()(,)()(,)i j i j i j i j i j i j i j i j i j h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y ---+--++-+++-++--++-+++-+--+-+2212222241222,12(,)(,)1(,)()12i j i j i j h hf x y f x y f x y h h o h x y ⎛⎫∂∂=--++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭○9 舍去截断误差得到逼近Poisson 方程的九点差分方程○10：()()2212,11,,11,1,11,11,11,122122212(,)[42]121(,)(,),12i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j ij xx i j yy i j h h u x y u u u u u u u u u h h f h f x y h f x y -++-+---++-++-∆--+++++++''''=++考虑到边值条件(,)(,)u x y x y αΓ=，构成差分格式○11：()()2212,11,,11,1,11,11,11,122122212(,)[42]121(,)(,),12(,)(,),i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j ijxx i j yy i j h h u x y u u u u u u u u u h h f h f x y h f x y u x y x y α-++-+---++-+Γ⎧+-∆--+++++++⎪⎪⎪''''=++⎨⎪⎪=⎪⎩3.格式求解3.1 Poisson 方程五点差分格式记122,1,j j j m j m j u u u u u --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.j n ≤≤ 矩阵格式改写为：11,11j j j j Du Cu Du f j m -+++=≤≤-，其中2221212222112122221121222112(1)111211112111121112m h h h h h h h C h h h h h h h -⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22222222(1)1111m h h D h h -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，10212212111(,)(,)(,)(,)1(,)(,)j j j j m j m j m j m f x y x y h f x y f f x y f x y x y h ---⎡⎤+Φ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+Φ⎢⎥⎣⎦，可进一步写为：110222211(1)*(1).n n n n n n m u f Du C D u f D C D u f DC D u f Du D C -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.2 Poisson 方程九点差分格式记122,1,j j j m j m j u u u u u --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.j n ≤≤ 矩阵格式改写为：11,11j j j j Du Cu Du f j m -+++=≤≤-，其中2222121222222212121222222212121222221212(1)20()(210)(210)20()(210)(210)20()(210)(210)20()m h h h h h h h h h h C h h h h h h h h h h -⎡⎤+-⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦， 2222211222222212211222222212211222221221(1)(210)()()(210)()()(210)()()(210)m h h h h h h h h h h D h h h h h h h h h h -⎡⎤--+⎢⎥-+--+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-+--+⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦，22121022221211(,)(210)(,)(,)(,)(,)(210)(,)j j j j m j m j m j m f x y h h x y f x y f f x y f x y h h x y ---⎡⎤--Φ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-Φ⎣⎦，可进一步写为：110222211(1)*(1).n n n n n n m u f Du C Du f D C D u f DC D u f Du D C -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦4.数值例子4.1 Poisson 方程五点差分格式计算如下问题：22220,01,01,(0,)sin cos ,(2,)(sin cos ),01,(,0),(,1)(sin1cos1),0 1.x x u u x y x y u y y y u y e y y y u x e u x e x ⎛⎫∂∂-+=<<<< ⎪∂∂⎝⎭=+=+≤≤==+<<其精确解为：(,)(sin cos ).x u x y e y y =+,11,1,,1,222222122112112()(,),i j i j i j i j i j i j u u u u u f x y h h h h h h -+-++=++++ 考虑到本例中h1=h2，则有2,11,1,,1,(,),4i j i j i j i j i j i j u u u u h f x y u -+-+++++=利用Gauss-Seidel 迭代方法对k=0,1,2,……,计算112,11,1,,11(,),41,2,....,1;1,2,...., 1.k k k k i j i j i j i j i j k ij u u u u h f x y u i m j n ++--+++++++==-=-表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解表2 取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值图1 取h=1/4时所得的数值解曲线图2 取h=1/4时所得的误差曲线图3 取h=1/16时所得的数值解曲线图4 取h=1/16时所得的误差曲线图5 取h=1/64时所得的数值解曲线图6 精确解曲线图7 取h=1/64时所得的误差曲线4.2 Poisson 方程九点差分格式计算如下问题：22220,01,01,(0,)sin cos ,(2,)(sin cos ),01,(,0),(,1)(sin1cos1),0 1.x x u u x y x y u y y y u y e y y y u x e u x e x ⎛⎫∂∂-+=<<<< ⎪∂∂⎝⎭=+=+≤≤==+<<其精确解为(,)(sin cos ).x u x y e y y =+222222221212121112122222222121112111211211222211120()(,)12(,)()(,)(102)(,)()(,)()(,)()(,)(102)(,)(102)(,)(10i j i j i j i j i j i j i j i j i j h h u x y h h f x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h ----++++--++=+++-+++++++-+-+2212)(,)i j h u x y +-考虑到本例中h1=h2，则有,11,1,,11,11,11,11,1,4(),20i j i j i j i j i j i j i j i j i j u u u u u u u u u -+-+--++-++-+++++++=利用Gauss-Seidel 迭代方法对k=0,1,2,……,计算1111,11,1,,11,11,11,11,11,4(),201,2,....,1;1,2,...., 1.k k k k k k k k i j i j i j i j i j i j i j i j k i j u u u u u u u u u i m j n ++++-+-+--++-++-++++++++==-=-表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解表2 取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值表3 取不同步长时部分结点处数值解的最大误差图1 取h=1/4时所得的数值解曲线图2 取h=1/16时所得的数值解曲线图3 取h=1/64时所得的数值解曲线图4 取h=1/4时所得的误差曲线图5 取h=1/16时所得的误差曲线图6 取h=1/64时所得的误差曲线5.结论观察Poisson方程五点格式，方程以较快速度迭代收缩。

九点差分格式五点差分格式matlab

九点差分格式五点差分格式matlab九点差分格式概述九点差分格式是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。

它是有限差分法的一种，通常用于求解二维泊松方程或热传导方程。

原理九点差分格式是通过在目标点周围的八个邻居点上进行数值计算来估计目标点的值。

其基本形式为：f(x,y) = (1/6h^2) * [4f(x+h,y)+4f(x-h,y)+4f(x,y+h)+4f(x,y-h)-20f(x,y)] + (1/3h^2) * [f(x+h,y+h)+f(x-h,y-h)+f(x+h,y-h)+f(x-h,y+h)]其中，h为网格尺寸。

优缺点九点差分格式的优点是精度较高，适用于求解高精度问题。

但由于需要使用八个邻居点进行计算，因此其计算量较大。

应用九点差分格式通常应用于求解二维泊松方程或热传导方程等偏微分方程问题。

五点差分格式概述五点差分格式是一种数值计算方法，也是有限差分法的一种。

它通常用于求解二维泊松方程或热传导方程等偏微分方程问题。

原理五点差分格式是通过在目标点周围的四个邻居点上进行数值计算来估计目标点的值。

其基本形式为：f(x,y) = (1/h^2) * [4f(x+h,y)+4f(x-h,y)+4f(x,y+h)+4f(x,y-h)-20f(x,y)]其中，h为网格尺寸。

优缺点五点差分格式的优点是计算量较小，适用于求解大规模问题。

但由于只使用了四个邻居点进行计算，因此其精度较低。

应用五点差分格式通常应用于求解二维泊松方程或热传导方程等偏微分方程问题。

由于其计算量较小，因此也适用于求解大规模问题。

Matlab中的实现Matlab是一种常用的数值计算软件，可以很方便地实现九点差分格式和五点差分格式。

以下是两种方法的Matlab代码：九点差分格式：function [u] = nine_point(f, h)[m, n] = size(f);u = zeros(m, n);for i = 2:m-1for j = 2:n-1u(i,j) = (1/6*h^2)*(4*f(i+1,j)+4*f(i-1,j)+4*f(i,j+1)+4*f(i,j-1)-20*f(i,j)) + (1/3*h^2)*(f(i+1,j+1)+f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1));endendend五点差分格式：function [u] = five_point(f, h)[m, n] = size(f);u = zeros(m, n);for i = 2:m-1for j = 2:n-1u(i,j) = (1/h^2)*(4*f(i+1,j)+4*f(i-1,j)+4*f(i,j+1)+4*f(i,j-1)-20*f(i,j));endendend以上是九点差分格式和五点差分格式的基本原理、优缺点和应用，以及在Matlab中的实现方法。

二维扩散方程的9点格式有限近似解法

二维扩散方程的9点格式有限近似解法扩散方程，又称拉普拉斯方程，是一个基本的偏微分方程，用于描述物质、信息向外扩散的过程，应用范围广泛，比如热传导、流体力学、化学反应等。

二维扩散方程是扩散方程研究的重要类型。

9点格式有限近似解法是求解二维扩散方程的一种方法，拥有精确性高、计算量小的优点，被广泛应用于对二维扩散方程的数值模拟。

本文的目的是研究9点格式有限近似解法求解二维扩散方程的方法。

文章将从以下几个方面进行阐述：1）9点格式有限近似解法的数学模型；2）9点格式有限近似解法的实现流程；3）9点格式有限近似解法的优缺点。

二、二维扩散方程及9点格式有限近似解法的数学模型二维扩散方程的数学模型可以用下面的方程表示：$$frac{partial P}{partialt}=Dleft(frac{partial^2P}{partialx^2}+frac{partial^2P}{partial y^2}right)$$其中，$P(x,y,t)$ 为扩散的物质的浓度，$D$ 为扩散系数，$x,y$别为方程的两个空间变量，$t$为时间变量。

经过空间离散，可以将上式离散化为下面的六阶线性方程组：$$frac{P_{i,j}^{n+1}-P_{i,j}^n}{Delta t}=Dleft(frac{P_{i-1,j}^{n+1}+P_{i+1,j}^{n+1}-2P_{i,j}^{n+1}}{D eltax^2}+frac{P_{i,j-1}^{n+1}+P_{i,j+1}^{n+1}-2P_{i,j}^{n+1}}{Delta y^2}right)$$其中$P_{i,j}^n$表示在空间变量$x,y$分别取$x_i,y_j$，在时间变量$t$取$t_n$时的物质浓度，$Delta t,Delta x,Delta y$分别表示时间步长，x轴、y轴空间步长。

上述方程可以采用9点格式近似解法处理：$$P_{i,j}^{n+1}=frac{DDelta t}{Delta x^2+Delta y^2}left[(Delta x^2-Deltay^2)(P_{i-1,j}^{n+1}+P_{i+1,j}^{n+1})+(Delta y^2-Deltax^2)(P_{i,j-1}^{n+1}+P_{i,j+1}^{n+1})+4Delta x^2Deltay^2P_{i,j}^nright]$$三、 9点格式有限近似解法的实现流程（一）按照X轴和Y轴的方向分别对边界值进行赋值；（二）计算第一次迭代时候的内部点值；（三）多次迭代求解，直到收敛；（四）检查计算结果是否稳定，若不稳定则重复多次迭代；（五）最终得到稳定的计算结果。

Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

Poisson方程九点差分格式_米瑞琪数值实验报告I实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年 4 月 15 日姓名米瑞琪班级信息1303学号04成绩一、实验目的，内容1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理；2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异；3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵；二、算法描述针对一个Poisson方程问题：在Poisson方程五点差分格式的基础上，采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差，可以得到：为了提高算子截断误差的精度，在(1)式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson方程代入（1）式有：考虑，有：将（3）代回（2）可得得到Poisson方程的九点差分格式：在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增的部分写成紧凑格式，有：对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合：以及则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成，方法类似于五点差分格式。

对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即：写成相应的紧凑格式有：该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和：%计算误差u_real=@(x,y)exp(pi*(x+y))*sin(pi*x).*sin(pi*y);for i=1:N1-1u_m((i-1)*(N2-1)+1:i*(N2-1))=u_real(x(i),y);endu_v=u_m';err_d=max(abs(u_d-u_v));sol=reshape(u_d,N2-1,N1-1);mesh(X,Y,sol)四. 数值结果针对课本P93给出的问题，分别采用步长，将计算出的误差列表如下：步长五点差分格式误差九点差分格式误差可见采用九点差分格式可以进一步缩小误差，达到更高阶的精度。

五. 计算中出现的问题，解决方法及体会在生成九点差分格式的时候，等号右端涉及到了对f的二阶偏导，我最初利用符号函数定义了f,随后求出其二阶偏导（仍然是符号函数）之后带入网格点，求f二阶偏导的精确解，但是代入过程相当繁琐，运行速度非常慢，最终我改变策略，选用f关于x,y的二阶中心差分格式替代精确值，最终得到了相对满意的结果。

poisson方程三维有限差分格式

poisson方程三维有限差分格式三维Poisson方程有限差分格式主要应用于求解三维空间中的Poisson方程。

与二维情况类似，我们需要将三维空间划分为网格，然后对网格节点上的函数值进行差分。

以下是一个基本的三维有限差分格式求解过程：1. 网格划分：首先对三维求解区域进行网格划分。

网格划分的方向可以采用均匀网格或非均匀网格，取决于问题的特性。

通常，在边界附近的网格节点密度会较大，以更好地捕捉边界附近的梯度变化。

2. 建立差分方程：根据五点差分格式，我们可以得到三维Poisson方程的差分形式。

在x、y、z方向上，分别对函数u(x, y, z)进行差分，得到如下形式的差分方程：u(x+h, y, z) - u(x-h, y, z) / (2h) = λ* (u(x, y+h, z) - u(x, y-h, z)) / (2h) u(x, y+h, z) - u(x, y-h, z) / (2h) = λ* (u(x, y, z+h) - u(x, y, z-h)) / (2h) u(x, y, z+h) - u(x, y, z-h) / (2h) = λ* (u(x+h, y, z) - u(x-h, y, z)) / (2h)其中，h为网格步长，λ为比例系数，可根据边界条件和初始条件进行调整。

3. 迭代求解：将差分方程组转化为矩阵形式，然后采用迭代方法（如Gauss-Seidel迭代法）求解。

对于每个网格节点，迭代更新u(x, y, z)的值，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。

4. 后处理：在求解过程中，可以采用一些后处理方法来提高解的质量，如欠松弛技术、人工粘性层等。

5. 验证与分析：将求解得到的结果与理论解析解或实验数据进行比较，分析数值解的准确性和稳定性。

需要注意的是，在实际应用中，根据问题的具体情况，可能需要对上述求解过程进行相应的调整，如采用非均匀网格、多重网格技术、自适应步长等方法。

泊松方程详解

取 h x y 1 。
椭圆型方程的五点差分格式
解网格点如图所示
u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 u(0,3)=80
u(0,2)=80 U7 U4 U1 U8 U5 U2 U9 U6 U3 u(4,3)=0
u(4,2)=0
u(4,1)=0
u(0,1)=80
边界 x = 1上(3.15)
4U M ,m 2U M 1,m U M ,m1 U M ,m1 2hgM ,m
边界 y = 0上(3.16)
4U l ,0 2U l ,1 U l 1,0 U l 1,0 2hgl ,0
边界 y = 1上(3.17)
4U l , M 2U l , M 1 U l 1,M U l 1, M 2hgl , M
椭圆型方程的五点差分格式
例1 用五点差分格式求解 Laplace方程
u u 2 0 2 x y
2 2
在区域
( x, y) | 0 x 4,0 y 4
内的近似解，边界值为：
u( x,0) 20, u( x,4) 180,0 x 4
u(0, y) 80, u(4, y) 0,0 y 4
椭圆型方程的五点差分格式
§3.1 正方形区域中的Laplace 方程
Dirichlet边值问题的差分模拟
设Ω 是 xy 平面中的具有正方形边界的一个有界区域，考虑Laplace方程的第一边值 Dirichlet ）问题
2u 2u 2 2 0 ( x, y ) x y u ( x, y ) f ( x, y ) ( x, y )
U7 U8 U9 顶点

九点差分格式

二阶椭圆型方程的差分格式题目：九点差分格式1.考虑问题考虑Poisson 方程: -(u +u )=(,),(,)xx yy u f x y x y G-∆=∈(1)G 是xy 平面上一有界区域，其边界Γ为分段光滑曲线。

在Γ上u 满足下列边值条件之一：|(,)u x y αΓ= (第一边值条件、强制边值条件)， |(,)ux y n βΓ∂=∂ (第二边值条件)，|(,)uku x y nγΓ∂+=∂ (第三边值条件、混合边值条件)， (,)f x y ，(,)x y α，(,)x y β，(,)x y γ，及(,)k x y 都是连续函数，0k ≥。

2.九点差分格式 2.1公式推导因为有1,1,,1,1221222i j ij i j i j ij i j h ij ij u u u u u u u f h h +-+--+-+⎡⎤-∆=-+=⎢⎥⎣⎦将（3）、（4）相加得：()()44224124422422222241212222222221(,)(,)1(,)(,)()12(,)(,)(,)1(,)()1212,1,12i j i j h i j i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y h h O h x y u x y u x y u x y h h u x y h h O h x y x y x y f x y f x y h x ⎛⎫∂∂∆=∆+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂∂⎛⎫+∂∂=∆+++-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=--∂()2422241222222,(,)()12i j i j f x y u x y h h h O h y x y ⎛⎫∂∂+ ⎪+-+ ⎪∂∂∂⎝⎭又因为4''''''112222221111221211211111(,)(,)2(,)(,)()1[(,)2(,)(,)2((,)2(,)(,))(,)2(,)(,)]()i j xx i j xx i j xx i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y O h x y h u x y u x y u x y h h u x y u x y u x y u x y u x y u x y O h +-++-++-+----∂-+=+∂∂=-+--++-++因此111111111122221112122222412221(,)[4(,)2((,)(,)(,)12(,))(,)(,)(,)(,)]()/(,)(,)1(,)()()12h i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y h h h h f x y f x y f x y h h O h x y--++--+-++-+∆+-++++++++∂∂=--++∂∂舍去截断误差，便得到逼近Poisson 方程的九点差分格式：1,,11,,122221,11,11,11,112122''2''121[42()12]()/1[(,)(,)]12h ij ij i j i j i j i j i j i j i j i j ij xx i j yy i j u u u u u u u u u u h h h h f h f x y h f x y --++--+-++-+-∆--++++++++=++其截断误差的阶为4()O h化其形式为2221,1,1,1,1221212[(2)(2)]i j ij i j i j ij i j h u u u h u u u h h +-+---++-+-+ 1,,11,,11,11,11,11,1[42()]ij i j i j i j i j i j i j i j i j u u u u u u u u u --++--+-++-+-+++++++=222212122212121[('''')]12ij xx yy h h f h f h f h h =+++同样将上述方程化成如下形式：1,11,1,1,1,11,11,1,12''2''121((,)(,))12i j i j i j i j ij i j i j i j i j ij xx i j yy i j au bu cu du eu fu gu hu mu f h f x y h f x y ----+-++-+++++++++++=++其中：222211121122,2,,2,4,,,,a k b k c k d k e k h h h h f d g c h b m a==--==--=++====另外，2312221212h h k h h +=-。

九点差分

2
1 2 1 2 2 1 2 2 2 ( x y x y ) h h4 6 ( Dx , D y ) O( h6 ) h2 6 12
3/14
1 4 2 2 2 2 6 ( Dx , D y ) ( Dx 4 Dx D y D 4 )( Dx D y ) y 360
10/14
系数矩阵块三对角
20 4 4 20 4 其中 B 4 20
差分格式的极值原理
内结点和边界点下标变化域分别记为 Dh
Dh
1 2 2 h 2 ( x y ) h
记五点差分算子为
极值原理：当(i，j)∈Dh，uij 不全相等

1 | uij | max | uij | A Dh 2
1 | uij | max | uij | max | h uij | Dh 2 Dh
收敛定理(误差估计error estimate)
max | u( x i , y j ) uij | Ch
Dh
2
证设截断误差
E h u( xi , y j ) h uij h [u( xi , y j ) uij ]
记则有
1 4 4 C max [ 4 u( i , y j ) 4 u( x i , j )] 24 Dh x y
max | u( x i , y j ) uij | Ch2
Dh
15/14
类似五点差分格式推导,九点差分格式误差
max | u( x i , y j ) uij | Ch4
( i, j )
左端

1 4 1 4 20 4 1 4 1

泊松方程有限差分

泊松方程有限差分在这篇文章中，我们将探讨泊松方程的有限差分方法。

有限差分是一种数值解微分方程的方法，它将方程中的微分算子用差分算子来近似表示，从而将连续空间中的问题转化为离散空间中的问题。

首先，我们先来回顾一下泊松方程的一般形式。

泊松方程通常可以写为：∇^2φ = -ρ其中，∇^2表示拉普拉斯算子，φ是待求解的标量场，ρ是源项。

在物理学中，φ通常代表电势、温度或者密度等物理量，而ρ则表示外部的电荷密度、热源或质量密度等。

对于一个给定的区域Ω上的泊松方程问题，我们要求解φ满足泊松方程以及边界条件。

边界条件通常给出了φ在Ω的边界上的数值或者导数信息。

在有限差分方法中，我们首先需要将问题的空间离散化。

设Ω是一个二维区域，我们用一个网格来离散Ω。

假设Ω上有N个网格点，我们用(i,j)来表示第i行第j列的网格点，并假设Ω被水平方向和竖直方向的线段分别分成了M+1和N+1个小区间。

接下来，我们需要定义泊松方程的差分格式。

对于一个给定的网格点(i,j)，我们可以用中心差分来近似拉普拉斯算子∇^2：∇^2φ(i,j) ≈ (φ(i+1,j) - 2φ(i,j) + φ(i-1,j))/Δx^2 + (φ(i,j+1) - 2φ(i,j) + φ(i,j-1))/Δy^2其中Δx和Δy分别是水平和竖直方向上的网格间距。

通过这样的近似，我们可以得到φ在点(i,j)的近似解。

然后，我们将泊松方程中的微分算子用差分算子来替代，得到离散的泊松方程格式：(φ(i+1,j) - 2φ(i,j) + φ(i-1,j))/Δx^2 + (φ(i,j+1) - 2φ(i,j) + φ(i,j-1))/Δy^2 = -ρ(i,j)这就是泊松方程的有限差分格式。

通过对所有网格点应用这样的格式，我们可以得到一个关于φ(i,j)的代数方程组。

通过求解这个方程组，我们就可以得到φ在整个Ω上的近似解。

在实际计算中，我们通常采用迭代方法来求解这个代数方程组。

泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法

收稿日期:2005Ο06Ο21基金项目:国家自然科学基金资助项目(10272040)作者简介:曹卫东(1972—),男,江苏通州人,助理研究员,硕士,主要从事流体工程的研究.泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法曹卫东,陆昌根,钱建华(河海大学环境科学与工程学院,江苏南京　210098)摘要:采用3阶精度中心差分格式对Dirichlet 边界条件下的二维泊松方程进行离散,近边界网格点处采用2阶精度差分格式进行离散,利用超松弛迭代进行矩阵求解.数值计算结果表明,该有限差分方法具有收敛速度快、精度高的特点,可推广应用于非等间距网格下其他类型偏微分方程的数值求解.关键词:泊松方程;非等间距;差分格式中图分类号:O35 文献标识码:A 文章编号:1000Ο1980(2006)02Ο0123Ο04泊松方程是一类应用非常广泛的椭圆型偏微分方程,在流体动力学、渗流理论、电磁学、传热学、结构力学等学科的基础理论研究中占有重要的地位.由于只有少量的泊松方程有解析解,因此寻求该类方程高精度的数值解成为理论研究的重要内容[1Ο2].文献[1～3]介绍的二维泊松方程的主要求解方法有:(a )等间距网格5点或9点中心差分方法,该算法简单,但在网格较粗时精度不高;(b )9点紧致格式,可达到4阶或6阶精度,但要求同一坐标方向网格等距或所有坐标方向网格等距.在等间距条件下,为了达到理想的计算精度并取得指定点的函数值,必须将网格细分,这将导致计算量大大增加.在流体力学边界层理论与湍流理论的研究中,为了确定近壁面的高精度流动特性,在微小的边界层厚度内往往布置大量的网格点,且网格间距变化剧烈[4Ο5],只有在流场的中心区域网格间距才可适当放宽,因此建立包括压力泊松方程在内的变间距网格高精度离散方法非常必要[6].G amet 等[7]采用非等间距网格和紧致格式,成功地对Navier 2Stokes 方程进行了数值计算.本文应用G amet 的方法对泊松方程进行离散,并通过数值算例验证了本文格式的精度.图1　网格点布置Fig.1　Layout of grids1　非等间距网格的二阶微分差分格式在矩形区域 D (0<x <a ,0<y <b )内考虑泊松问题的Dirichlet 边值问题:Δu =u xx +u yy =f (x ,y )　(x ,y )∈D u (x ,y )=g (x ,y )　(x ,y )∈5D(1) 如图1所示,x 方向网格编号为0<i <m ,每一点坐标值为x (i ),y 方向网格编号为0<j <n ,每一点坐标值为y (j ).x 方向网格间距:hx (i )=x (i )-x (i -1)y 方向网格间距:hy (j )=y (j )-y (j -1)x 或y 方向的空间步长可以任意加密和变化.图中u (i ,j )表示编号为(i ,j )网格点的待求函数值.i =1,i =m -1,j =1,j =n -1为近边界点;i =0,i =m ,j =0,j =n 为边界点,其余为内点.Dirichlet 边值问题中边界点函数值已知.1.1　泊松方程在内点的离散若x 方向网格编号为2≤i ≤m -2.令u xx 满足第34卷第2期2006年3月河海大学学报(自然科学版)Journal of H ohai University (Natural Sciences )V ol.34N o.2Mar.2006u xx =A i -2u (i -2,j )+A i -1u (i -1,j )+A i u (i ,j )+A i +1u (i +1,j )+A i +2u (i +2,j )(2)式中A i -2,A i -1,A i ,A i +1,A i +2与i 点附近的网格间距hx (i -1),hx (i ),hx (i +1),hx (i +2)有关.将式(2)中的u (i -2,j ),u (i -1,j ),u (i +1,j ),u (i +2,j )在i 点作x 方向T aylor 展开,比较同阶导数项前的系数可得如下关系式:A i -2+A i -1+A i +A i +1+A i +2=0-(hx i -1+hx i )A i -2-hx i A i -1+hx i +1A i +1+(hx i +1+hx i +2)A i +2=0(hx i -1+hx i )2A i -2+hx i 2A i -1+hx i +12A i +1+(hx i +1+hx i +2)2A i +2=2-(hx i -1+hx i )3A i -2-hx i 3A i -1+hx i +13A i +1+(hx i +1+hx i +2)3A i +2=0(hx i -1+hx i )4A i -2+hx i 4A i -1+hx i +14A i +1+(hx i +1+hx i +2)4A i +2=(3)若系数A i -2,A i -1,A i ,A i +1,A i +2满足式(3),分析式(2)两端T aylor 展开式余项的系数可知,u xx 具有3阶精度.若y 方向网格编号为2≤j ≤n -2,同样令u yy 满足u yy =B j -2u (i ,j -2)+B j -1u (i ,j -1)+B j u (i ,j )+B j +1u (i ,j +1)+B j +2u (i ,j +2)(4)B j -2,B j -1,B j ,B j +1,B j +2仅仅与j 点的网格间距hy (j -1),hy (j ),hy (j +1),hy (j +2)有关.将式(4)中的u (i ,j -2),u (i ,j -1),u (i ,j +1),u (i ,j +2)在j 点作y 方向T aylor 展开,比较同阶导数项前的系数可得如下关系式:B j -2+B j -1+B j +B j +1+B j +2=0-(hy j -1+hy j )B j -2-hy j B j -1+hy j +1B j +1+(hy j +1+hy j +2)B j +2=0(hy j -1+hy j )2B j -2+hy j 2B j -1+hy j +12B j +1+(hy j +1+hy j +2)2B j +2=2-(hy j -1+hy j )3B j -2-hy j 3B j -1+hy j +13B j +1+(hy j +1+hy j +2)3B j +2=0(hy j -1+hy j )4B j -2+hy j 4B j -1+hy j +14B j +1+(hy j +1+hy j +2)4B j +2=0(5)若系数B j -2,B j -1,B j ,B j +1,B j +2满足式(5),分析式(4)两端T aylor 展开式余项的系数可知,u yy 具有3阶精度.将式(2)与式(4)相加,即可获得式(1)在内点的离散方法:Δu =u xx +u yy =A i -2u (i -2,j )+A i -1u (i -1,j )+(A i +B j )u (i ,j )+A i +1u (i +1,j )+A i +2u (i +2,j )+B j -2u (i ,j -2)+B j -1u (i ,j -1)+B j +1u (i ,j +1)+B j +2u (i ,j +2)(6)1.2　泊松方程在近边界点的离散若x 方向网格编号为i =1,令u xx 满足u xx =A i -1u (i -1,j )+A i u (i ,j )+A i +1u (i +1,j )+A i +2u (i +2,j )(7) 若x 方向网格编号为i =m -1,令u xx 满足u xx =A i -2u (i -2,j )+A i -1u (i -1,j )+A i u (i ,j )+A i +1u (i +1,j )(8) 若y 方向网格编号为j =1,令u yy 满足u yy =B j -1u (i ,j -1)+B j u (i ,j )+B j +1u (i ,j +1)+B j +2u (i ,j +2)(9) y 方向网格编号为j =n -1,令u yy 满足u yy =B j -2u (i ,j -2)+B j -1u (i ,j -1)+B j u (i ,j )+B j +1u (i ,j +1)(10)各点系数A i -2,A i -1,A i ,A i +1,A i +2,B j -2,B j -1,B j ,B j +1,B j +2仅仅与其周围的网格间距有关,求解步骤与内点方法类似.泊松方程在近边界点的离散方程依据点的位置,选取式(7)或式(8)与式(9)或式(10)组合相加.2　数值计算方法将近边界点离散方程式(7)～(10)与内点离散方程式(6)代入泊松方程,共获得(m -1)(n -1)个方程,含(m -1)(n -1)个未知数.将边界上的已知条件u (0,j ),u (m ,j ),u (i ,0),u (i ,m )与(m -1)(n -1)个方程合并组成m ×n 个线性方程组,记为A mn ×mn u mn ×1=b mn ×1421河海大学学报(自然科学版)第34卷A mn 为mn ×mn 阶稀疏系数矩阵,内点有9个系数;边界点仅仅在对角线上有唯一系数110,(1,1),(1,n -1),(m -1,1),(m -1,n -1)4点有7个系数,其余近边界点均为8个系数.u mn ×1为泊松方程在各点待求的数值解,为mn ×1阶列矩阵.b mn ×1为mn ×1阶列矩阵,边界点的值由式(1)的边界条件给定,近边界点和内点的值由泊松方程的右项给出.系数矩阵为稀疏矩阵,采用行迭代与超松弛相结合的方法可以大大减少计算量.计算用F ortran 90语言编程,在双精度制下进行.3　数值算例为了检验非等间距差分格式数值计算泊松方程的精度和速度,在正方形区域内考查精确解问题:u (x ,y )=ex +y　(0≤x ≤1,0≤y ≤1) 本文算例对边界附近点网格加密,网格的坐标值以函数值形式给出.以x 方向为例:x (i )=0151-tanh a (m/2-i )m -1/tanh a 2　(0≤i ≤m/2)x (i )=0151+tanh a (i -m/2)m -1/tanh a 2　(m/2≤i ≤m ) 调整a 值可以使得近壁面附近点的间距发生变化.a 值越大,近壁面附近点的间距越小,若x 方向取90个网格,a =8;y方向取70个网格,a =2.非等间距网格与等间距网格间距分布的对比如图2所示.图2　网格间距Fig.2　Sp ace betw een grids近边界点和内网格点初始函数值统一赋为0,通过调整松弛因子,可获得较少的迭代次数和较小的误差值.当所有线性方程组等号两端差值的绝对值小于某一较小的正数时,迭代停止,在非等间距网格和等间距网格中分别计算.两种格式的迭代次数与计算所耗机时的比较见表1.其中,泊松方程Δu =u xx +u yy =f (x ,y )在等距网格中的9点4阶精度离散格式表达为[8]{10[u (i +1,j )+u (i -1,j )]-2[u (i ,j +1)+u (i ,j -1)]+u (i +1,j +1)+u (i +1,j -1)+u (i -1,j +1)+u (i -1,j -1)-20u (i ,j )}/Δx +{10[u (i +1,j )+u (i -1,j )]-2[u (i ,j +1)+u (i ,j -1)]+u (i +1,j +1)+u (i +1,j -1)+u (i -1,j +1)+u (i -1,j -1)-20u (i ,j )}/Δy =8f (i ,j )+f (i -1,j )+f (i +1,j )+f (i ,j -1)+f (i ,j +1)(11)表1　u (x ,y )=e x +y 的计算精度比较T able 1　Comp arison of accuracy of different schemes x/y (网格数)控制精度迭代次数松弛因子计算时间/s 50/5070/7090/90120/120非等间距等间距非等间距等间距非等间距等间距非等间距等间距5×10-510-55×10-62×10-58811720173155118811201231171112721711913146123118021352851193614111311765149370119517101 在相同的误差控制条件下,本文算例在变间距网格中所需的迭代次数较少.若x/y 取表1的等距网格,离散格式取式(11),迭代次数控制为88,123,123,113,得到的数值解与理论解的最大误差分别为5144×10-3,419×10-2,0137,1136,明显大于非等间距的误差值.4　结论本文采用变间距网格,对二维泊松方程的第一类边值问题进行差分求解,内点为3阶精度格式,近边界点为2阶精度格式.a.泊松方程在变间距网格中的收敛速度快于等间距网格,并且随着网格数的增加,变间距网格的收敛521第2期曹卫东,等　泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法621河海大学学报(自然科学版)第34卷速度优势更加明显.如果总网格数很少,变间距网格会导致某些区域网格间距增加.为了获得给定的计算精度,迭代次数会少量增加.b.变间距网格在近边界处网格密度较大,弥补了近边界处离散格式精度降低的缺陷,整个区域计算精度依然很高.c.本文介绍的差分格式网格可以在整个计算区域任意加密.在相同的误差控制条件下,在函数值变化剧烈的地方采用变间距网格加密可使得数值计算精度提高,迭代次数和计算时间减少.d.与等间距网格相比,变间距网格可以以更少的网格获得指定点的函数值.泊松方程非等间距有限差分法可推广应用于泊松方程第二类边值问题或其他类型微分方程的求解.参考文献:[1]田振夫.求解泊松方程的紧致高阶差分方法[J].西北大学学报,1996(2):109Ο114.[2]田振夫.数值求解泊松方程的四阶紧致差分方法[J].宁夏大学学报,1995(3):22Ο24.[3]M ANOH OR R,STEPHE NSI ON M.High order difference schemes for linear partial differential equations[J].J Sci S tat C om p,1984(5):69Ο77.[4]李新亮.槽道湍流的直接数值模拟[D].北京:中国科学院力学所,2000.[5]LI X in2liang,M A Y an2wen,FU De2xun.High efficient method for incom pressible N2S equations and analysis of tw o dimensional turbulencechannel flow[J].Acta Mechanica S inica,2001(5):577Ο587.[6]S AN J I VA KL.C om pact finite difference schemes with spectral2like res olution[J].Journal of C om putational Physics,1992,103:16Ο42.[7]G AMET L,DUCROS F,NIC OUD F,et al.C om pact finite difference schemes on non2uniform meshes.Application to direct numericalsimulations of com pressible flows[J].International Journal for Numerical Methods in Fluids,1999,29:159Ο191.[8]周恒,陆昌根.湍流边界层近壁区单个相干结构的模拟[J].中国科学A辑,1999(4):366Ο372.Numerical solution of Poisson equation with non2uniformmesh finite difference schemeCAO Wei2dong,L U Chang2gen,QIAN Jian2hua(College o f Environmental Science and Engineering,Hohai Univer sity,Nanjing210098,China)Abstract:The third2order accuracy center finite difference scheme was introduced to s olve tw o2dimensional P oiss on equations with Dirichlet boundary conditions,and the second2order accuracy finite difference scheme was applied to mesh discretization near boundaries.With the over2relaxation matrix iteration alg orithm,the numerical s olution was finally achieved.The present finite difference scheme is verified to be effective and accurate enough through case study,and it can be applied to s olving other differential equations with non2uniform meshes.K ey w ords:P oiss on equation;non2uniform;difference scheme。

Laplace方程九点差分格式的构造及其误差估计

Laplace方程九点差分格式的构造及其误差估计
赵雪菲;么焕民
【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2011(000)004
【摘要】一种求解带有第三类边界条件的Laplace方程的九点差分格式,它是通过坐标轴旋转结合传统的五点差格式得到的,讨论了这种差分格式的误差估计.
【总页数】4页(P6-9)
【作者】赵雪菲;么焕民
【作者单位】哈尔滨师范大学
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.三维抛物方程基于POD基的差分格式及后验误差估计 [J], 安静;罗振东
2.一维变系数抛物方程基于POD基的差分格式及后验误差估计 [J], 吴云顺;赵明;安静
3.二维对流—扩散方程的一个满足最大值原理的差分格式及其误差估计 [J], 由同顺
place方程边值问题的五点差分格式 [J], 支越
5.简支梁横振动方程的稳定差分格式的构造 [J], 李明峻;杜绍洪
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统计学--第十五章poisson分布

( x 1.96 0.5)2, ( x 1 1.96 0.5)2
• 二、用Poisson分布对聚集ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作研究
– 利用Poisson分布的均数与方差相等的特点可以检验样本中各计数 (x1,x2,…,xn)是否为来自同一Poisson总体的随机样本，用2检验，其自由度为n-1(例数-1)
– P203~4,例15-8，9。非Poisson分布，认为有聚集性
n
(xi x)2
2 i1
x
• 这一检验与前述的配合适度检验都可以用于：
– 检验某一样本是否来自Poisson分布，或检验某事件(或颗粒)之间是否独立或是否了聚集性。
• 三、样本计数与总体均数差别的统计意义检验
数(总体平均数) • X服从以为参数的Poisson 分布， • 记为X～P()
• 二、Poisson 分布的均数与方差
– Poisson分布只有一个参数，这个参数是Poisson分布的总体均数，不同的对应不同的Poisson分布
– Poisson分布的总体均数等于总体方差：
– 2＝
– 当总体均数较小时，可以用Poisson分布的概率公式直接计算P值。P204,例 15－10、11
– 当总体均数较大时可用正态近似法；例15－12
Z (即u) x
• 三、两样本计数差别的统计意义检验
• 1、两样本观察单位相同时：
• 1)两样本计数均大于20，用正态近似法,
例15－13
第十五章普哇松分布
Poisson Distribution
第一节 Poisson分布的概念
• 一、Poisson 分布
– 主要用于描述单位时间、单位面积、单位空间内稀有事件的发生数。医学卫生领域中有些指标服从Poisson 分布，如放射性物质在单位时间内的放射次数、在单位容积充分摇匀的水中的细菌数、野外单位空间中的某种昆虫数、患病率较低的非传染性疾病在单位人群中的病人数等。

热传导方程的差分格式讲解

热传导方程的左分格式—上机卖习报告二零一gg年五月一维抛物方程的初边值问题分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题:du d2u”(兀0) = sin兀X、0 <x <1w(0,O = z/(l，O = 0, r >0在f = 0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u^t) = e-7：l sm(^x)进行比较。

1差分格式形式设空间步长h = l/N，时间步长r>0, T=M T,网比r = r/h2.(1)向前差分格式向前差分格式，即Z = /C\) ‘“；=0 =心),必=吆=0其中，丿= 1,2,…,N —1,R = 1,2,…,M—l. ^r^at/h2表示网比。

(1)式可改写成如下:M*+1 = + (i-2r)Uj + rw*_! + tfj此格式为显格式。

其矩阵表达式如下：Q-2r r)r l-2r(j、r 1一2广rl吐7、厂1一2、用丿加(2)向后差分格式(1)向后差分格式，即=0=久形)上：=WN =a其中j = 12・・\N_l,k = H,M_L (2)式可改写成- rw ：［： + (l+2r )叶' -中；；=0 + 叭此种差分格式被称为隐格式。

其矩阵表达式如下：rl + 2r -r( j \ I”-r l + 2r-r l + 2r -rW.V-1-r 1 + 2广丿MJ< UN >(3) 六点对称格式六点差分格式：喟-0 _ a加:-2喟+唸;唏- 2”； +吃,—T2L戸戸 J眄=0产久XJM=H ；=O.将(3)式改写成-g 唸;+ (1 + 时-1 昭=g 略 + (1 - 诃 * * 咯 + /其矩阵表达式如下：(1 + r -r/2<l-r r/2 ) ( j\ -r/2 l + rr/2 1-rui-r/2 l + r -r/2r/2 1-r r/2X-r 1+2匚M丿r/2 l-2r ；E >2利用MATLAB 求解问题的过程对每种差分格式依次取N = 40., r=l/1600, r=l/3200, el/6400,用 MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的Z?误差。

poisson过程的方差

poisson过程的方差哎呀，说到Poisson 过程的方差啊，这可真是个有点特别的东西呢！咱就先拿生活中的事儿来类比一下吧。

比如说，你知道在一段时间内，某个地方出现流星的次数就可以用 Poisson 过程来描述。

那这方差呢，就好比是这些流星出现次数的波动情况。

如果方差小，就意味着流星出现的次数比较稳定，不会一会儿多到让人惊叹，一会儿又一颗都没有。

可要是方差大呢，那可就热闹了，说不定一会儿满天都是流星，一会儿又长时间的沉寂。

Poisson 过程的方差有着它独特的意义和价值呀！它能告诉我们关于这个过程的离散程度。

你想想看，如果我们在研究某个随机现象，比如顾客到达商店的次数，或者电话打进客服中心的数量，这方差就能让我们清楚地了解到这些数量的波动大小。

就好比一家很火爆的小吃店，顾客来的次数就是一个Poisson 过程。

如果方差小，那店主就大概能知道每天来的顾客数量不会有太大的起伏，能比较好地准备食材和安排人手。

但要是方差大呢，那店主可就得时刻准备着应对突然涌来的大批顾客或者是长时间的冷清了，这可不好把握呀！再说说方差的计算吧。

它可不是随随便便就能得出来的哟！得通过一些特定的公式和方法。

这就像是解开一个神秘的谜题，需要我们仔细去琢磨、去推导。

而且啊，这 Poisson 过程的方差还和其他的统计量有着千丝万缕的联系呢！它和均值之间就有着很有意思的关系。

在 Poisson 过程中，方差就等于均值。

这就好像是一对好兄弟，总是形影不离。

你说这神奇不神奇？这就好比你有个好朋友，他的性格特点和行为方式总是相互关联的。

研究 Poisson 过程的方差，能让我们更深入地理解随机现象背后的规律。

它可不是什么枯燥无味的数学概念，而是能在实际生活中发挥大作用的宝贝呢！它能帮助我们做出更合理的决策，更准确地预测未来的情况。

总之呢，Poisson 过程的方差就像是隐藏在随机世界里的一把钥匙，能帮我们打开理解和把握各种随机现象的大门。

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