神奇的旋转几何题

例1．有公共顶点C 的△ABC 和△CDE 都是等边三角形.（1）求证：AD=BE ；（2）如果将△CDE 绕点C 沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE 还成立吗？推广：四边形ABDE 和ACFG 都是正方形，连结EC,BG ，如果将ABDE 绕点A 旋转一个任意角，问EC 与BG 有何关系.例2.课本例题推广：（1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD 的面积36，求线段BC 与CD 的和.（2）已知：在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°． 求证：AD 是∠CDE 的平分线．（3）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＞AD ；∠D ＝90°，BC ＝CD ＝12，∠ABE ＝45°．若AE ＝10，求CE 的长．例3．已知E 、F 分别在正方形ABCD 边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF 的周长.例4.已知：在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 、E在AB 边上，且使得∠DCE ＝45°．求证：AD 、DE 、EB 三条线段确定的数量关系 练习：1． 在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求DE 的长. 拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，（1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ． （2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ．（3）若P 为正方形ABCD 内一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°PCBADC BAF EDCBA2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E 是正方形ABCD 边BC 上任意一点，AF 平分∠EAD 交CD 于F ，F C M A ED CB A试说明BE+DF=AE.拓展：已知：在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点， （1）如图（1），若有BE+DF=EF ，求：∠EAF 的度数. （2）如图（2），若有∠EAF=45º.求证：BE+DF=EF. （3）如图（3），若∠EAF=45º，AH ⊥EF ．求证：AH=AB ． （4）如图（4），若正方形ABCD 边长为1，△CEF 的周长为2．求∠EAF 的大小． （5）如图（5），若AB=3，且∠BAE=30º，∠DAF=15º，求△AEF 的面积．（6）如图（6），正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成4个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍．试确定∠HAF 的大小，写出推导的过程．F ED C BAFE D C BAHFEDCBA（1） （2） （3）FED C BAPGHFE DC BA（4） （5） 练习：（答案）1．在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求DE 的长.ED CBA拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，（1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ． （2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ．PCBADC BA分析: 将△ABC 以A 为中心逆时针旋转一角度∠BAC ，到△ACE 的位置．连DE ，由∠ADB ＞∠ADC ，得∠AEC ＞∠ADC ．又∠ADE=∠AED ，相减，得∠DEC ＞∠EDC ． ∴ CD ＞CE ．即 CD ＞BD ，从而∠DBC ＞∠DCB ．拓展（3）若P 为正方形ABCD 内一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°．321P DB 321EP DB分析:利用正方形的特点设法经过旋转使AP 、PB 、PC 相对集中，为简单起见不妨设PA=1， PB=2，PC=3．绕B 点顺时针旋转90º，使△CBP 到△ABE 的位置，这时BE=2，AE=3，∠PBE=90º→PE=22，∠BPE=45º.又222981AE PE AP ==+=+∴∠APE=90°．于是∠APB=135°．拓展（4）在等边三角形内有一点P ．连接P 与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：31325＋） PCBADPCBA分析:将△CPB 旋转到△AP ′B ，连接PP ′，延长BP ，过A 作AD⊥BD.易知△APP ′是直角三角形，因为∠BPP ′=60º，所以∠APD=30º，则AD=2，DP=32.旋转讲解2例1：（05大连）如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ．（1）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①DM 的延长线交CE 于点N ，且AD =NE ；②将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下，且CE =2AD ．（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．练：1.（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条A BCDFM EABDFMGE A BCF MGE图1图３Ｄ图２图1图9 图10 图11直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG 、PC .若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值. 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC ＝∠BEF ＝2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC 的值（用含α的式子表示）．例2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝－33x ＋332交x 轴于点C ,交y 轴于点A .等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，如图1所示.把三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为)1800(︒<<︒αα，使B 点恰好落在AC 上的B ＇处，如图2所示.（1） 求图1中的点B 的坐标； （2） 求α的值；（3） 若二次函数y ＝Mx 2＋3x 的图象经过（1）中的点B ，判断点B ＇是否在这条抛物线上，并说明理由.图1 图2练：1.如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．2.已知正方形ABCD 中，E为对角线BD 上一点，过E点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（答案）练：1.（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG 、PC .若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探究PG 与的位置关系及PG PC的值.小聪同学的思路是：延长交于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC ＝∠BEF ＝2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．【解答】（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；3PGPC=．（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH 、CG ． ∵P 是线段DF 的中点， ∴FP = DP ．由题意可知 AD ∥FG ． ∴∠GFP =∠HDP ． ∵∠GPF =∠HPD ， ∴△GFP ≌△HDP ． ∴GP =HP ， GF =HD ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴CD =CB ，∠HDC ＝∠ABC ＝60°．由∠ABC ＝∠BEF ＝60°，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得 ∠GBC ＝60°． ∴∠HDC =∠GBC ．∵ 四边形BEFG 是菱形， ∴GF =GB ． ∴HD =GB ．∴△HDC ≌△GBC ．∴CH =CG ，∠DCH ＝∠BCG ．图1D CEG 图① F D CE G 图② DFA C图③∴∠DCH ＋∠HCB ＝∠BCG+∠HCB =120°． 即 ∠HCG ＝120°． ∵CH = CG ，PH=PG ，∴PG ⊥PC ，∠GCP ＝∠HCP=60°． ∴3PGPC=． （3）tan(90)PGPCα=︒-． 6.（2007海淀二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝－33x ＋332交x 轴于点C ,交y 轴于点A .等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，如图1所示.把三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为)1800(︒<<︒αα，使B 点恰好落在AC 上的B ＇处，如图2所示.（4） 求图1中的点B 的坐标； （5） 求α的值；（6） 若二次函数y ＝Mx 2＋3x 的图象经过（1）中的点B ，判断点B ＇是否在这条抛物线上，并说明理由.图1 图2解：（1）∵直线y ＝-33x ＋332交x 轴于点C ,交y 轴于点A ，∴点A 的坐标为（０，332），点C 的坐标为（2，0）. ∵等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，∴OD =２，︒=∠45BOD .过点B 作BM ⊥OC 于M .∴OM =121=OD .∴BM =1，OB =2.∴点B 的坐标为（１，１）；（2）∵OA =332，OC =2，90AOC ∠=︒，∴∠ACO =30°.过点O 作OE ⊥AC 于E . ∴OE =1. ∵在Rt ΔB ＇EO 中，OB ＇=2，OE =1，∴∠B ′OE =45∘.∴∠EOD =90∘.又∵∠EOC =60∘，∴∠COD =30∘.∴α=30∘；（3）判断：点B ＇在这条抛物线上. ∵点B ＇在直线AC 上，∴点B ＇的坐标为（A ，-33A ＋332）.∵A 2＋（-33A ＋332）2 ＝OB ＇2，∴A 2＋（-33A ＋332）2＝（2）2.解方程，得A 1＝231+，A 2＝231-（不合题意，舍去）.∴点B ＇的坐标为（231+，213-）. 又∵二次函数y ＝Mx 2＋3x 过Ｂ（１，１），∴M ＝－２.∴二次函数的解析式为y ＝-2x 2＋3x . 把x =231+代入y ＝-2x 2＋3x ，得y =213-.∴点Ｂ＇在这条抛物线上.20、（2009年常德市）如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由． 提示：（1）抓住不变量易解，（2）能证得△ADC 与 △AEB 是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。