计量经济学复习

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二、线性回归模型的古典假定
1.对模型和变量的假定
(1)假定模型设定是正确的（变量和模型无设定误差） (2)假定解释变量X是非随机的，在重复抽样中取固定
值。或者虽然X是随机的，但与扰动项u是不相关 的。(从变量X角度看是外生的)
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2.对随机扰动项的假定
假定1：零均值假定
E(ui ) 0 （ i=1，2，---n）
余 ei )总的来说越小越好
●因 ei 可正可负，总有 ei 0 ，所以可以取 ei2 最
小，即
min : ei2 (Yi Yˆi )2
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2.正规方程和估计量
一元：
取偏导数并令其为0，可得正规方程
( ei2 ) ˆ1
2
(Yi ˆ1 ˆ2 Xi ) 0
ei 0
( ei2 ) ˆ2
假定2和假定3：同方差和无自相关假定：
2
Cov(ui , u j ) E[(ui Eui )(u j Eu j )] E(uiu j )
0
假定4：随机扰动项与解释变量不相关
（i=j）
(i≠j)
Cov( X ji , ui ) 0
( j 2,3,L , k)
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假定5: 无多重共线性假
总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中： Y,Yˆ,u,e 都是有n个元素的列向量
β, βˆ 是有k 个 元素的列向量
（ k = 解释变量个数 + 1 ）
X 是第一列为1的n×k阶解释变量数据矩阵 ，
(截距项可视为解释变量总是取值为1)
Xkiei 0
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用矩阵表示的正规方程
偏导数
ei X 2iei
1 X 21
1 X 22
1 e1
0
X
2n
e2
Xe
0
X kiei
X
k1
Xk2
X
kn
en
0
X
e
因为样本回归函数为 Y = Xβˆ + e
0
则正规方程为 X Xβˆ = X Y
多元回归的OLS估计量为 βˆ = (X X)-1 X Y
2
(Yi ˆ1 ˆ2 Xi ) Xi 0
即
ei Xi 0
OLS估计量：
__
__
ˆ2 n n
X iYi
X
2 i
(
X i Yi Xi )2
(Xi
X
)(Yi
__
Y
)
(Xi X )2
xi yi xi2
__
ˆ1 Y ˆ2 X
yˆi ˆ2xi
13
13
多元：
min : ei2 [Yi (ˆ1 ˆ2 X2i ˆ3 X3i L ˆk Xki )]2
ˆK
结论：在古典假定下，多元线性回归的 OLS估
计式是最佳线性无偏估计式（BLUE）
18 18
六、拟合优度的度量
1.概念： 样本回归线对样本观测数据拟合的优劣程度，可 称为拟合优度。
2.度量： 拟合优度的度量建立在对 Y 的总变差分解的基 础上
19 19
(Yi Y )2 (Yˆi Y )2 (Yi Yˆi )2
法
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三、计量经济学的研究步骤
1.模型设定 2.估计参数 3.模型检验
经济意义的检验 统计推断检验 计量经济学检验 模型预测检验
4.模型应用
4
四、计量经济学中应用的数据
1.时间数列数据：同一指标的数据，按时间 顺序和时间间隔排列起来。
2. 截面数据：同一时间，不同对象的同一 指标的数据。
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求偏导，并令其为0
( ei2) ˆj 0
2
Yi
(ˆ1
ˆ2
X 2i
ˆ3
X 3i
L
ˆki
X ki ) 0
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2
X 2i
Yi
(ˆ1
ˆ2
X 2i
ˆ3
X 3i
L
ˆki
X ki ) 0
ei 0
X2iei 0
2
X ki
Yi
(ˆ1
ˆ2
X 2i
ˆ3
X 3i
L
ˆki
X ki ) 0
假定各解释变量之间不存在线性关系，或各个解
释变量观测值之间线性无关。或解释变量观测值
矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。
Rank(X)= k
Rank(X'X)=k
即 (X‘X) 可逆 ，其逆矩阵存在
假定6:正态性假定
ui ~ N (0, 2 )
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11
三、普通最小二乘法（OLS）
1. OLS的基本思想 ●理想的估计结果应使估计的 Yˆ i 与真实的 Yi 的差(即剩
条件均值形式： Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
个别值形式： Yi ˆ1 ˆ 2 X i ei
● ˆ1和 ˆ 2是对总体回归函数参数 1 和 2 的估计
● Yˆ i 是对总体条件期望 E(Yi Xi ) 的估计
● ei 在概念上类似总体回归函数中的 ui ，可
视为对 ui的估计。
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多元：矩阵表示方式
计量经济学
复习课
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第一部分 导论 一、什么是计量经济学
计量经济学是以经济理论和经济数据的 事实为依据，运用数学和统计学的方法， 通过建立数学模型来研究经济数量关系和 规律的一门经济学科。
2
二、计量经济学与其他学科的关系
1.与经济学的关系：提供研究的对象 2.与统计学的关系：提供研究的数据 3.与数量统计学的关系：提供研究的方
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四、OLS回归线的性质
●剩余项 ei 的均值为零 e ei 0
n
●OLS回归线通过样本均值 Y ˆ1 ˆ2 X
●估计值 Yˆi 的均值等于实际观测 值 Y i 的均值
Yˆi 1
nn
(ˆ1 ˆ2 X i ) ˆ1 ˆ2 X Y
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●被解释变量估计值 Yˆi 与剩余项 ei不相关
（TSS）
或者表示为
yi2
（ESS）
yˆi2
（RSS）
ei2
总变差
yi2 （TSS）：被解释变量Y的观测值与其平均值的离差平
方和（总平方和）(说明 Y 的总变动程度）
第二部分 线性回归模型
一、回归分析与回归函数 1.简单相关系数的计算、特点、与一元线性回归模
型中可决系数的关系 2.回归分析：得到回归函数
一元：(1)总体回归函数PRF
条件期望表现形式 E(Yi Xi ) f (Xi ) 1 2 Xi
个别值表现形式 Yi 1 2 Xi ui
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(2)样本回归函数SRF
Cov(Yˆi , ei ) 0
●解释变量
X
与剩余项
i
ei不相关
Cov( Xi , ei ) 0
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五、OLS估计式的统计性质——高斯定理
1、 线性特征 ˆk 是Y的线性函数 2、 无偏特性 E(ˆK ) K (证明) 3、 最小方差特性
在 K 所有的线性无偏估计中，OLS估计
具有最小方差