无穷级数求和问题的几种方法

目录

摘要 (2)

1无穷级数求和问题的几种方法 (2)

1.1利用级数和的定义求和 (2)

1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3)

1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4)

1.4逐项求极限 (5)

1.5利用Flourier级数求和 (7)

1.6构建微分方程 (9)

1.7拆项法 (9)

1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10)

2总结 (12)

3参考文献 (12)

无穷级数求和问题的几种方法

摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和

无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和

定义[1]

若级数1

n n u ∞

=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1

lim lim n n n n n S u S ∞

→∞

→∞

===∑,

则称级数1

n n u ∞=∑收敛，记为1

n n u S ∞

==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列

{}n S 发散，则称级数1

n n u ∞

=∑发散.

例1 求级数()∑∞

=--1

112n n q n ，1≤q 的和 .

解： 2311357(21)n n S q q q n q -=++++

+- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2)

（1）-（2）得：

1

1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+---

12112(21)1(1)1n n

n q q S q n q q q

--=+-----

2

12lim 1(1)n n q

S q q →∞

=

+--

即级数和

2

121(1)

q S q q =

+--. 2利用函数的幂级数展开式求和

利用函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下面是几个重要的幂级数展开式：例

01,!

x

n

n e x x n ∞

==-∞<<+∞∑

1

,111n n x x x ∞

==-<<-∑ 01ln(1),11!

n

n x x x n ∞

=-=--≤<∑

35

21

sin (1),()3!5!

(21)!

n n

x x x x x x n -=-+-

+-+

-∞<+∞-

等等. 例2 求0(1)(21)!

n

n n

n ∞

=-+∑的和.

解 : 0(1)

(21)!n

n n n ∞

=-+∑0

(21)11

(1)(21)!2n n n n ∞

=+-=-⨯+∑ 0111(1)2(2)!(21)!n n n n ∞

=⎡⎤=--⎢⎥+⎣⎦

∑=001111(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n ∞∞==---+∑∑ 注意到

35

21

sin (1),()3!5!(21)!

n n

x x x x x x n -=-+-

+-+

-∞<+∞-

24

2cos 1(1),()2!4!

(2)!

n

n

x x x x x n =-+-

+-+

-∞<+∞

得

1

(1)(cos1sin1)(21)!2

n

n n n ∞

=-=-+∑.

3利用逐项求积和逐项求导定理求和 定理

[2]

设幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑的收敛半径为R ,其和函数为()x S ，则在

00(,)x R x R -+内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对00(,)x R x R -+内任意一

点x ，有：

10000()()()1

x

x n

n n

n x x N n a a x x x x S x dx n ∞

∞

+==-=-=+∑∑

⎰

⎰

1

0000

()()()n n n n n n d d a x x na x x S x dx dx ∞

∞

-==⎡⎤-=-=⎣⎦∑∑

并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R . 例3[]

3 计算无穷级数

()() +-+

+⋅-

⋅+

⋅-

⋅-14

53

42

31215

4

3

2

n n x x

x

x

x

n

n

之和(1)x <.

解：对于级数()x

x

n

n n

+=

∑

-∞

=11

1(1)x <. 两边从0积分到x 得

()()x n

x n n n

+=++∞

=∑-1ln 1

1

1,(1)x <，

两边从0积分到x 得

()()()

()()()x x x x dt t n n x

n n n

x

++-+=+=++⎰∑-+∞

=1ln 1ln 1ln 210

2

1,(1)x <

上式右边是原级数. 故级数和

()()x x x x S ++-+=1ln 1ln ,(1)x <.

例4 求幂级数()

()x n n n

n n 2112111⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+∑

-∞

=的和函数()x S . 解：令2

t x =，幂函数()

1

1

1

11(21)n n n t n n ∞

-=⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦

∑

的收敛半径 '1

1(21)

lim 11(1)(21)

n n n R n n →∞+

-=+

++

故原函数的收敛半径1R ==，从而收敛区间为(1,1)-，而知级数

2

1222

1

1

(1)

(),(1,1)1n n

n

n n x x

x x x ∞

∞

-==-=--=∈-+∑∑，