例析概率问题中的“有序”与“无序”
几何概型中_面积型_测度典型问题例析
1 2 = 60 × 40 2
2
1 2 2 2 ×40 = 60 - 40 , 2
设“ 两人能会面 ” 为事件 A, 则 2 2 d 60 - 40 2 2 5 P (A ) = = =1 - ( ) = , 2 D 3 9 60
・14・
数理化学习 (高中版 ) 分析 : 雨点落在地图 上的 概 率 问 题 是 几 何 概 型 , 用面积比计算 . 雨点 打在 地 图 和 板 上 是 随 机 的 , 地图上有 9 个雨点痕 迹 , 板上其他位置有 18 个 雨点痕迹 , 由此计算雨点 落在地图上的概率 , 反过来推导地图面积 . 解 :由题意 , 雨点落在地图上的概率 P = 9 1 = , 又正方形板的面积为 1平方米 , 故 9 + 18 3 1 1 所求地图面积为 1 × = 平方米 . 3 3 点评 :本题有别于常规的面积型概率计算 , 设计新颖 , 不直接问事件的概率 , 而是通过随机 性先求出雨点落在地图上的概率 , 再由几何概 型的公式来求地图面积 . 江苏省张家港市暨阳高级中学 ( 215600 ) ●王 杰
上点的最近距离是 2. 2 51若抛物线 y = ax - 1 ( a > 0 ) 上存在关
●吕兆勇
几何概型中“ 面积型 ” 测度典型问题例析
解决几何概型问题的关键是利用己知条 件建立适当的几何模型 , 从建立的几何模型入 手 , 来解决概率问题 . 本文从几何概型“ 面积 型” 测度中的几个典型问题来说明如何解决此 类问题 . 例 1 在面积为 S的 △AB C内任选一点 P, 则 △PB C 的面积小于
约定见车就乘的事件所表示的区域d为图中4个黑的小方格所示所求概率约定最多等一班车的事件所表示的区域d为图中10个黑的小方格所示所求概率为1016从上面几例我们可以看出要解决面积型测度概率问题关键在于如何将文字语言转化为与之对应的图形语言在这点上需认真地体会
概率组合知识点总结
概率组合知识点总结概率组合是概率论中的一个重要概念，它描述了在一组事件中发生某个组合的可能性。
概率组合在各种领域都有广泛的应用，比如在统计学中用于描述随机变量的组合出现的概率，以及在工程学中用于分析系统的可靠性。
概率组合的基本概念包括排列和组合。
排列描述的是一组元素的有序排列，而组合描述的是一组元素的无序排列。
在概率论中，组合通常是指从n个元素中取出r个元素的不同组合的数目。
在这篇文章中，我们将对概率组合的相关知识点进行总结和介绍。
一、排列和组合1. 排列排列是描述一组元素的有序排列，它的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n为元素的总数，r为取出的元素的个数，!表示阶乘。
排列计算的结果即为从n个元素中取出r个元素的有序排列数目。
2. 组合组合是描述一组元素的无序排列，它的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n为元素的总数，r为取出的元素的个数，!表示阶乘。
组合计算的结果即为从n个元素中取出r个元素的不同组合的数目。
二、概率组合的计算概率组合的计算通常涉及两个部分：一是确定事件的样本空间，二是确定事件的概率。
在确定事件的样本空间时，需要考虑元素的个数和元素的排列方式；在确定事件的概率时，需要将事件发生的可能性与总样本空间进行比较，计算出事件发生的概率。
1. 样本空间确定事件的样本空间是概率组合计算的第一步。
样本空间是描述所有可能事件的集合，它包括了所有可能的组合和排列。
在确定样本空间时，需要考虑元素的个数和排列方式，这样才能准确描述事件的可能性。
2. 事件的概率确定事件的概率是概率组合计算的第二步。
事件的概率是描述事件发生的可能性，它是用概率值来表示的。
确定事件的概率需要将事件发生的可能性与总样本空间进行比较，然后计算出事件发生的概率。
三、概率组合的应用概率组合在各种领域都有广泛的应用，具体包括以下几个方面：1. 统计学中的应用在统计学中，概率组合用于描述随机变量的组合出现的概率。
随机事件的概率与计算知识点总结
随机事件的概率与计算知识点总结概率是数学中一个重要的分支，用于描述事件发生的可能性。
在我们日常生活中，随机事件无处不在，了解概率与计算知识点能够帮助我们更好地理解和分析各种事件的发生概率。
本文将对随机事件的概率与计算知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，在0到1之间取值，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件E，其概率记作P(E)。
2. 事件的排列与组合在考虑多种事件同时发生的情况下，我们需要了解事件的排列与组合。
排列是指考虑事件中元素的顺序，而组合则只考虑元素的选择与不考虑顺序。
在计算排列与组合中，我们可以使用阶乘、组合数学公式等方法来求解。
3. 加法法则加法法则用于计算多个事件中至少有一个事件发生的概率。
如果事件A和事件B是互斥事件（即两者不能同时发生），则它们的概率可通过简单相加得到：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 乘法法则乘法法则用于计算多个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B是相互独立事件（即一个事件的发生不影响另一个事件的发生），则它们的概率可通过简单相乘得到：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
5. 条件概率在一些情况下，事件的发生可能会受到其他事件的影响。
条件概率用于描述在给定其他事件发生的前提下，某个事件发生的概率。
条件概率可通过P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来计算，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是描述事件的后验概率与先验概率之间关系的数学公式。
它以事件的条件概率为基础，并利用贝叶斯公式来进行计算，即P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)，其中P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
7. 随机变量与概率分布随机变量是概率论中一个重要的概念，它可以用于描述随机事件的结果。
概率与排列组合事件的排列与组合计算
概率与排列组合事件的排列与组合计算概率与排列组合是数学中的重要概念之一，它们在实际生活和各个学科中都有广泛的应用。
本文将探讨概率与排列组合事件的排列与组合计算方法，介绍其定义、公式以及应用案例。
通过对这些知识的学习，我们能够更好地理解和应用概率与排列组合，提高问题解决能力。
一、概率的基本概念和计算方法概率是研究随机事件发生的可能性的数学方法。
在概率计算中，我们关注事件的发生与否，用一个数值来表示事件发生的可能性大小。
概率的计算方法包括古典概率和统计概率两种方式。
1.1 古典概率古典概率又称为理论概率，它是指在具有相同可能性的基本事件中，某个事件发生的概率。
计算古典概率的方法是利用事件的排列与组合。
1.2 统计概率统计概率又称为实验概率，它是通过实验或观察得到的频率进行估计。
统计概率的计算方法是通过大量实验或观察，得到事件发生的频率，从而估计出概率。
二、排列与组合的基本概念和计算方法排列与组合是排列数学中的两个重要概念，它们用于计算事件的不同排列与组合情况。
2.1 排列排列是从n个不同的元素中取出m个元素进行排列，其中n≥m。
排列的计算方法是通过先后顺序进行排列，即需要考虑元素的顺序。
2.2 组合组合是从n个不同的元素中取出m个元素进行组合，其中n≥m。
组合的计算方法是不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。
三、概率与排列组合的应用案例概率与排列组合的应用非常广泛，以下是几个典型的应用案例。
3.1 抽奖活动中奖概率的计算在抽奖活动中，我们可以利用概率计算的方法来计算某个人获奖的概率。
假设有10个人参加抽奖，共有3个奖品，我们可以通过排列的计算方法计算出中奖概率。
3.2 出生日期相同的概率计算在一个班级或者一个团体中，我们可以利用概率计算的方法来计算两人生日相同的概率。
假设一个班级有30个学生，我们可以通过组合的计算方法计算出生日相同的概率。
3.3 排队的排列计算在排队的场景中，我们可以利用排列的计算方法来计算不同的排队方式。
排列组合问题,看这个就够了!
排列组合问题也是公考中一个比重较大的问题，也是公考的重点和难点之一，也是进一步解答概率的基础。
事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。
这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。
先说排列组合，分类用加法，分步用乘法，排列P与顺序有关，排列C与顺序无关两个大类：1、分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+…+m n种不同的方法．2、分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1.m2…m n种不同的方法．分类计数原理和分步计数原理区别：1、分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
2、分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径以下是解解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略排列组合从解法上看，大致有以下几种：(1)有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；(2)排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；(3)不相邻问题插空法，相邻问题捆绑法；(4)排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；(5)枚举法，将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律；(6)定序问题“无序化”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；(7)隔板法，例如：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？可将10个球排成一排，再用2块“隔板”将它们分成三个部分，有C92种方法。
高中生物遗传概率计算技巧-生物遗传概率计算口诀
高中生物遗传概率计算技巧新课改高中生物《遗传变异》部分，涉及各种类型的概率计算，与数学知识联系密切，学生普遍感到难度较大，计算时易犯各种各样的错误。
笔者现把教学中积累的、学生易犯错的几个方面做一下总结，希望能对学生的学习起到帮助作用。
一、巧用棋盘格法用棋盘格法求概率，是概率计算最基本的方法，用来求解子代出现的种类和概率极其方便，但大部分同学不善使用或使用不当。
例1：有一种病，在人群中发病概率为1/100，现有一对正常夫妇生有一个患病女儿和正常儿子。
问该妇女离婚和另一正常男子结婚，所生子女中患该病的概率是？解析：由题意看出，该病是常染色体隐性遗传病，该妇女的基因型为aa，只要知道与她二次结婚的正常男子的基因型，就可求他们后代的患病概率。
那么怎样求这一男子的基因型呢？用棋盘格法：由题意知：aa=1/100，所以a=1/10，a=1-1/10=9/10。
则aa=81/100，aa=18/100。
该男子正常要么是aa，要么是aa，是aa 的概率为18/100÷（18/100+81/100）=18/99，是aa的概率为81/100÷（18/100+81/100）=81/99，所以：该妇女×另一正常男子aa × aa（81/99）aa（18/99)只有该男子为aa时后代才可能患病，所生后代患病概率为1×18/99×1/4=1/22总结：本题极易出现的错误解法：错误一：由棋盘格推出a=9/10，a=1/10，aa=9/100（因为aa在棋盘格中出现了两次，正确答案应为：9/100×2=18/100）。
错误二：把另一正常男子的概率计算为：aa=81/100，aa=18/100（应为aa=81/99，aa=18/99）。
应用：在人群中的abo血型系统中，a型血为32/100，o型血为4/100，求ab型血和b型血在人群中的概率。
解析：由题意知，ii=4/100，可推出i=0.2，a型血为：iaia+2 iai=（ia）2+2 iai=0.32，即：（ia）2+2×0.2ia-0.32=0，也就是（ia-0.4）（ia+0.8）=0，求得ia=0.4，那么：ib=1-ia-i=0.4。
解读概率的规律与常见问题
解读概率的规律与常见问题概率在数学和统计学中扮演着重要的角色，用于研究随机事件的可能性和规律。
解读概率的规律有助于我们更好地理解和应用概率概念，同时也能帮助我们回答一些常见的问题。
本文将介绍概率的基本原理、规律以及解决常见问题的方法。
一、概率的基本原理概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常表示为一个介于0和1之间的数字。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的计算基于事件的样本空间和事件出现的频率。
1.1 样本空间样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一个骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
1.2 事件与事件的概率事件是样本空间的子集，通常用大写字母表示。
事件的概率是指该事件发生的可能性大小。
概率由事件包含的基本单元数量与样本空间的基本单元数量之比求得。
二、概率的规律概率的规律涉及几个重要概念，包括互斥事件、独立事件、条件概率和全概率公式。
2.1 互斥事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生。
如果两个事件A和B是互斥事件，那么它们的概率之和等于各自事件的概率之和。
2.2 独立事件独立事件指的是两个事件的发生不会相互影响。
如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的概率相乘等于各自事件的概率。
2.3 条件概率条件概率是指在某个已知事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以通过将事件A与事件B的交集除以事件A的概率来计算。
2.4 全概率公式全概率公式可以用来解决复杂事件的概率计算问题。
如果事件A是一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn的并集，那么事件A的概率可以表示为各个事件B1，B2，...，Bn发生的概率之和。
三、常见问题的解决方法在实际应用中，我们常常遇到需要计算概率的问题。
以下是一些常见问题的解决方法：3.1 事件的概率计算对于简单事件，可以通过计算事件发生的频率来估计概率。
例如，投掷一枚硬币正面朝上的概率为1/2，即50%。
概率题型中＂三有＂与＂三无＂问题剖析
一
所 ｐ若 ＝ ｎ ２ ． 以＝ 恭 （ ， ≥ｎ
所 以 ｎ＝２ ，故 ｎ＝２时 ，三次摸球 中恰有 一次 中奖 的概率
只黑球 ，分 别计算 ： 最大． （ ） 中一次摸 出 Ｐ＋ｇ只球 ，求摸 出的Ｐ只 白球 、ｑ只黑 １从 例 ４ （０ １年广州市普通 高中毕业班综合测试 （ ２１ 一）理科 球的概率 ； １ ７题 ） （ ） 中一次摸 出一只球 ，不放 回 ，连续摸 Ｐ ｇ次 ，求摸 ２从 某企业 生产 的一批产 品中有一 、二 、三等 品及 次品共 四个
２只球 都是 白球 的概率．
（） ３ 设一次摸球 中奖 的概率是 Ｐ，则三次摸球中恰有一次 中 分析 ：（ ） １ 问中，一 次摸 出两只球 ，则球没有先后顺序 ，属 奖 的概 率 是 ｆ（ ＝Ｃ Ｐ ・ １ Ｐ ｐ 一６ ｐ ＜ Ｐ） ・ （ 一 ）＝３ ｐ ＋３ ，０ Ｐ＜１ ， 于无序 问题 ；（ ） ２ 中分两次摸 出，则是有序问题． 因 为 ＿ （ ＝９ ２ 厂 ｐ） ｐ ＋１ｐ＋３ （ ＝３ｐ一１（ｐ一１ ， ）３ ）
解析 ．（） １ ｐ＝
（） ２ ｐ＝
一 一
＝ ： ： ！ ： ： ：
‘
对这些问题进行简单剖析 ，供广大读者参考．
、
Ａ： Ｐ；
“ 序”与 “ 有 无序 ” 问 题
Ｃ 。 Ｃ：
。
‘
本 题 中 ，一 次 摸 出 Ｐ＋ｑ只 球 ，这 Ｐ ｑ只球 是 不 计 较 先 后 序” ，比如 安排 元素 问题 ，是否有位 置的 区别 ．有位置 的区别 ， 顺 序的 ，属无序 ，可用组合数公式 来列式计算 ；从 中一次摸 出 就是有序 问题 ；没有位 置的区别 ，就是无 序问题 ；比如取球模 只球 ，不放 回 ，连续摸 Ｐ＋口次 ，这 Ｐ ｑ只球是要计较先 后 型，要看有序与无序 问题 ，区别在于取球是否有先后 ． 排序顺 序的 ，可用排列数公式来列式计算． 通过计算发现 ：两种
高中数学排列与组合的概率题解思路分享
高中数学排列与组合的概率题解思路分享在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念，它们在解决实际问题中起着至关重要的作用。
而概率题则是排列与组合的一个重要应用方向，通过概率题的解答，我们可以更好地理解排列与组合的概念和应用。
本文将通过具体的题目举例，分析解题思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用排列与组合的概率题。
一、排列与组合的基本概念回顾在开始解答概率题之前，我们首先需要回顾一下排列与组合的基本概念。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，排列的结果是有序的。
组合则是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合，组合的结果是无序的。
例如，有5个人要从10个不同的座位中选取3个座位坐下，问有多少种不同的坐法？解答：根据排列的定义，我们可以知道，这是一个从10个不同元素中取出3个元素进行排列的问题，即A(10, 3)。
根据排列的计算公式，我们可以得到A(10, 3) = 10! / (10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720种不同的坐法。
二、概率题的解题思路在解答概率题时，我们需要先确定事件的样本空间，然后计算出事件发生的可能性，即事件的概率。
在计算概率时，我们可以利用排列与组合的概念来简化计算过程。
例如，有4个红球和6个蓝球，从中任取3个球，问取到2个红球的概率是多少？解答：首先，我们需要确定事件的样本空间。
从4个红球和6个蓝球中任取3个球，共有C(10, 3)种可能的取法。
接下来，我们需要计算取到2个红球的可能性。
我们可以将这个事件分解为两个子事件：取到2个红球和1个蓝球的情况，以及取到3个红球的情况。
对于取到2个红球和1个蓝球的情况，我们可以先从4个红球中任取2个红球，再从6个蓝球中任取1个蓝球，共有C(4, 2) × C(6, 1)种可能的取法。
对于取到3个红球的情况，我们可以直接从4个红球中任取3个红球，共有C(4, 3)种可能的取法。
最后，我们将两个子事件的取法相加，即可得到取到2个红球的总共可能的取法。
如何利用排列组合解决概率问题
如何利用排列组合解决概率问题在解决概率问题时，排列组合是一种常用的方法。
通过排列组合的计算，可以求解事件发生的可能性以及各种可能的情况数量。
本文将介绍如何利用排列组合解决概率问题，并提供相关示例。
一、概率的定义和基本原理概率是描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。
概率越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。
概率的计算受到排列和组合的影响。
二、排列问题的解决方法排列是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干元素，形成一个有序的排列。
排列问题通常涉及到“有放回”和“无放回”两种情况。
1. 有放回排列在有放回排列中，每次取出的元素放回原来的位置后再进行下一次的取出。
有放回排列的计算公式为：P(n, m) = n^m其中，P(n, m)表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数。
示例1：如果有4个不同的球（红、黄、蓝、绿），现在从中取出3个球进行排列，请问一共有多少种不同的排列方式？解：根据有放回排列的计算公式，可以得到：P(4, 3) = 4^3 = 64因此，一共有64种不同的排列方式。
2. 无放回排列在无放回排列中，每次取出的元素不放回原来的位置，所以每次取出的元素数量会递减。
无放回排列的计算公式为：P'(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) = n!/(n-m)!其中，P'(n, m)表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数，n!表示n的阶乘。
示例2：某班有10个学生，现要从中选出3名学生组成一个小组，请问一共有多少种不同的组合方式？解：根据无放回排列的计算公式，可以得到：P'(10, 3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10*9*8 = 720因此，一共有720种不同的组合方式。
三、组合问题的解决方法组合是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干元素，形成一个无序的组合。
组合问题只涉及到“无放回”的情况。
不排序概率计算公式
不排序概率计算公式在概率论中，不排序概率是指在一组事件中，不考虑事件发生的顺序，只关注事件发生的可能性。
不排序概率可以用来计算一系列事件中某一事件发生的概率，而不考虑其他事件的顺序。
在本文中，我们将介绍不排序概率的计算公式及其应用。
不排序概率的计算公式如下：P(E) = n(E) / n(S)。
其中，P(E)表示事件E发生的概率，n(E)表示事件E发生的次数，n(S)表示总事件发生的次数。
不排序概率的计算公式可以用来计算各种事件的发生概率，比如投掷硬币、掷骰子等。
下面我们将通过具体的例子来说明不排序概率的计算方法。
例1，投掷一枚硬币，出现正面的概率是多少？解，根据不排序概率的计算公式，投掷硬币出现正面的概率为P(E) = n(E) /n(S)，其中n(E)表示出现正面的次数，n(S)表示总的投掷次数。
假设我们投掷了10次硬币，出现正面的次数为6次，那么投掷硬币出现正面的概率为P(E) = 6 / 10 = 0.6。
例2，掷一枚骰子，出现奇数的概率是多少？解，同样根据不排序概率的计算公式，掷骰子出现奇数的概率为P(E) = n(E) /n(S)，假设我们掷了20次骰子，出现奇数的次数为10次，那么掷骰子出现奇数的概率为P(E) = 10 / 20 = 0.5。
通过以上两个例子，我们可以看到不排序概率的计算方法是非常简单的，只需要统计事件发生的次数和总的事件发生次数，就可以得到事件发生的概率。
不排序概率的计算方法可以应用于各种事件的概率计算，包括抛硬币、掷骰子、抽奖等。
除了简单的事件，不排序概率的计算方法也可以应用于复杂的事件。
比如在一个有限的集合中，从中抽取若干个元素，不排序概率可以用来计算某一特定元素被抽取的概率。
不排序概率的计算方法可以为我们提供一种简单而有效的工具，来计算各种事件的发生概率。
在实际应用中，不排序概率的计算方法可以帮助我们做出合理的决策。
比如在市场营销中，我们可以利用不排序概率的计算方法来预测产品的销售量，从而制定合理的营销策略。
概率计算与事件的排列组合
概率计算与事件的排列组合在我们的日常生活和各种科学领域中，概率计算与事件的排列组合是非常重要的概念和工具。
它们帮助我们理解和预测各种不确定的现象，从抽奖的中奖机会到遗传基因的组合，从复杂的数据分析到简单的游戏策略。
首先，让我们来了解一下什么是概率。
概率简单来说，就是某一事件发生的可能性大小。
它的值在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率就是 05，因为硬币只有正反两面，且两面出现的可能性相同。
那么，如何计算概率呢？通常情况下，我们用某一事件发生的可能结果数除以所有可能的结果数。
举个例子，从一副 52 张的扑克牌中随机抽取一张红桃牌，因为一副牌中有 13 张红桃，总共有 52 张牌，所以抽到红桃牌的概率就是 13÷52 ＝ 025。
接下来，我们谈谈事件的排列组合。
排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式。
比如说，从 A、B、C 三个字母中选取两个进行排列，有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这六种情况。
而组合则不考虑顺序，同样从 A、B、C 三个字母中选取两个的组合，只有 AB、AC、BC 这三种情况。
在实际应用中，排列组合的计算有专门的公式。
排列的公式是：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！，其中 n 表示总数，m 表示选取的个数。
组合的公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！。
比如说，从 5 个人中选取 3 个人排成一排，那么排列数就是 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 60 种。
如果是从 5 个人中选取 3 个人组成一组，不考虑顺序，那么组合数就是 C(5, 3) ＝ 5! ／ 3!（5 3)！＝ 10 种。
概率计算与事件的排列组合常常是相互关联的。
例如，在抽奖活动中，假设总共有 1000 个号码参与抽奖，只有 10 个号码能中奖。
那么每个人中奖的概率就是 10÷1000 ＝ 001。
求解概率问题常见典型错误例析
计算点数之和大于 7 的概率 .
错解：记点数之和为 X，则 X 的可能值为
2、3、4、…、11、12，共 11 种结果 . 由于基本事
件数 N = 11，“X > 7”有 8、9、10、11、12 共 5 种
不同结果，即 n = 5，所以根据概率计算公式
可得
P（X
>
7）=
5 11
.
剖析：对于公式 P（A）=
例 5 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋 内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事 件是（ ）.
题 4 道 . 甲、乙两人依次各抽 1 题：（1）甲抽到
选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）
甲、乙两人至少有 1 人抽到选择题的概率是
多少？
错解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题
的可能结果有 C61C41 个，又甲、乙二人依次抽
到题的可能结果有 C120 个，所以甲抽到选择
题、乙抽到判断题的概率为
C61C
1 4
设甲、乙两人至少有 1 人抽到选择
题为事件 A，则甲、乙两人都未抽到选择题为
事 件 A，由 对 立 事 件 的 计 算 公 式 ，得
P(A)
=
1
-
P（A）
=
1
-
C41C31 C120
=
11 15
.
剖析：上述解法错把甲、乙依次抽一题
理解为甲、乙同时抽一题，前者与顺序有关，
的，也就是说结果产生了重复，故解法 1 是
错误的 . 错解 2 错在将题中“获得及格”误当
成“恰好及格”，实际上当他 3 道题都答对
时，也“获得及格”，这种情况遗漏了 .
正解：正确结果为：
P（A）=
排列组合中的“序”、“分”例析【高考一题通论文欣赏之六】
定序元素，再排定序元素，最后转化为排列数计算问题． 2 . 2 . 2 隐含定序 例 5 某停车场划出一排 8 个停车位，今有 5 辆车需要停放，要求空车位连在一起， 不 同的停车方法共有多少种？ 解法 l 把 3 个连在一起的空车位看成一个元素，这样 8 个停车位就看成了 6 个空位， 选一个位置作为 3 个连在一起的空车位，有 C 6 种选法；再将其余 5 个位置停放 5 辆车， 有 A 5 种，故有 C 6 A 5 = 720 种停车方法． 解法 2 把 3 个连在一起的空车位看成一个元素，把 5 辆车看成 5 个元素，问题成
6 5 1 5 1
为 6 个元素的全排问题，即有 A6 ＝720 种停车方法． 评注 本题中连在一起的空车位是定序的， 这一条件是隐含在问题的实际背景中的， 需要 解题人自己来判断， 而 5 辆车的停放是应排序的． 解法 1 将问题转化为组合与排列的混合 问题，解法 2 将问题转化为全排列问题． 2 . 2 . 3 利用定序解决实际问题 例 6 已知 《 三国演义 》 有 20 章，《 水浒传 》 有 120 章，《 西游记 》 有 100 章， 《 红楼梦 》 有 120 章．某人一天只读其中一部名著中的一章，读每部书的顺序都 是从前到后，读完这四大名著共有多少种不同的顺序？ 解法 l 四大名著共有 20 + 120 + 100 + 120=360 章． ． 若不考虑它们的顺序， 则共有 360！ 排法， 但满足条件的排法占总数的 顺序． 解法 2
5 9 A9 =5！ ·9！种方法． 5 9
评注本题进行了两次排序：第一次，排女生，这便解决了必须相邻的 5 个女生之间的顺 序问题；第二次，将 8 个男生与捆绑好并视为一个元素的女生共计 9 个元素进行全排， 这便解决了全体学生的顺序问题． 2 . 2 定序 2 . 2 . 1 明显定序 例 4 8 个人参加一百米比赛，其中甲、乙、丙、丁、戊这 5 个人的顺烹是从前到后（但 不一定相邻） ．假设 8 个人的名次各不相同，则有多少种不同的排名结果？ 解法 1 8 个人不同排名结果共有 A8 种，但因其中 5 人顺序已定，故符合条件的只占
例析概率问题中的“有序”与“无序”
例析概率问题中的“有序”与“无序”在求随机事件的概率时，很多学生解题的失误源于对“有序”或“无序”问题的处理不当，笔者结合在教学中的几点感悟就此类问题的几种情况进行探讨，研究错因及解决方法。
一、认真审题，确定是“有序问题”还是“无序问题”例1 从5名乒乓球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙前出场的概率为（ ） A. 103 B. 203 C. 201 D. 109 错解：甲在乙前出场的概率为109351313=⋅=C C C P 。
错因：题中“甲在乙前出场”已经暗示了此题应作为有序问题处理，所以正确解法应为203351313=⋅=A C C P 。
例2 从分别写有E D C B A ,,,,的5张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ）A. 51B. 52C. 103D. 107 错解：恰好按字母顺序相邻包含四种情况，即A 与B ，B 与C ，C 与D ，D 与E ，所以51425==A P 。
错因：事件的描述中“恰好是按字母顺序相邻”是对“任取”的两字母的特点的要求，此题应为无序问题，即52425==C P 二、“可有序可无序”问题遵循“分子跟着分母走”的原则在处理概率问题时，有些问题可以按“有序”处理，也可按“无序”处理，但处理时必须保证分子和分母的统一性。
例3有10张奖券，3个人购买奖券，每人购买一张，已知其中有3张中奖奖券，问恰好有一人中奖的概率。
因为是三人购买三种彩票，所以，答案是按“有序”问题处理的：解：3个人购买奖券，每人购买一张，其中一个人中奖而另两个人不中奖的可能有2713A A ⋅种，因此，购买奖券的3人中恰好有1人中奖的概率为402133102713=⋅=A A A P 。
其实，购买三张奖券，可看为从十个元素中取三个元素的一个组合问题，所以分母为310C ，相应的，分子也应做“无序”处理，三张中恰有一张为中奖奖券的可能有2713C C ⋅，所以，所求概率为41203102713=⋅=C C C P 。
概率中的“有序”和“无序”
概率中的“有序”和“无序”江苏省 仓万林 刘燕楠通常认为只有在排列组合中才要考虑顺序，由于概率问题中许多要转化为排列或者组合数比值的结构，同样要分析“有序”还是“无序”。
有许多问题,从“有序”和“无序”的角度均可以解决，同时联系在学习中出现的实际情况，出了差错后同学们往往无从检验.一、“有序”“无序”两相宜例题 某产品中有7只正品，3只次品，每次取1只测试，求经过5次测试，3只次品恰好全被发现的概率.分析 设事件A :经过5次测试后3只次品恰好全被发现. 化为“有序”模型“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有510A 种等可能的基本事件，“3只次品恰好全被发现”指5件中恰有3只次品,且第5只产品为第3只次品,共有224734C C A ⋅⋅种,所以2247345101()20C C A P A A ⋅⋅==化为“无序”模型在问题中,从实际效果来看,前4次测试的顺序并不重要,从而221731511061()20C C C P A CC⋅⋅==⋅.可有可无的顺序问题,在实际处理时,不求“明察秋毫”, 但求“标准统一”. 二、错把“有序”当“无序”例题 从6双规格相同而颜色不同的手套中任取4只,求其中恰有2只成双的概率. 错解 设事件A :4只手套中恰有2只成双.6双手套中任取4只,所有的取法有412C 种,而4只手套中恰有2只成双的取法如下:从6双中任取1双,第三只再从剩余的5双中任取1只,有110C 种方法,同理第4只有18C 种方法,所以11108412632 ()33C CP AC==.思考3233已接近于1,果真有那么大吗?不妨按照同一思路,从完备性的角度分析一下: 4只手套可细分为以下几种互斥的情形:恰成2双、恰有2只成双、任意2只不成双.设事件B:4只手套中任意2只不成双,则1111121086412128()111C C C CP BC==>,显然出问题了.为什么会出现这一明显错误的答案呢?仔细分析一下,不难发现, 在事件A中取手套时,第三只从剩余的5双中任取1只,有110C(相当于从剩余5双中取定1双,再定左右手)种方法,实际上有了次序要求,属于重复型错误.正确的解法为211522412616 ()33C C CP AC==.从上面的问题中还可以看出，概率中“有序”和“无序”出了差错，要比排列组合中更具有迷惑性.问题的价值还在于提供了一种检验的方法，也就是教学当中除了教会解决问题的方法外，还应该教会学生一种常见的纠错的途径：从完备性的角度检验，而这正是我们在平时教和学中所容易忽略的，应该引起重视.。
高中数学总结归纳点拨 古典概型中的有序和无序问题
古典概型中的有序和无序问题求古典概型中某事件的概率的关键是列举基本事件，在列举基本事件的时候，同学们会发现，有些事件和顺序有关，有些事件和顺序无关，那么到底哪些事件应该考虑顺序，哪些事件应该不考虑顺序呢？例1 一个袋子中有白球2个，红黄球各1个，规定：现依次从袋子中抓3个球，求得分不大于1分的概率.解：因为抓出球的数目大于2，所以用树形图表示会比较清晰。
用1，2表示白球，用a 表示红球，b 表示黄球.所有基本事件用树形图列举如下：基本事件总数为：46=24⨯其中得分不大于1分的基本事件共有18个。
183(3244P ∴==抓个球得分不大于1分） 如果我们不考虑抽取顺序，所有基本事件可以表示为：从上面的树形图可以看出，基本事件总数为4，其中得分不大于1分的基本事件有3个。
3(34P ∴=抓个球得分不大于1分） 考虑顺序和不考虑顺序的结果是一样的，为什么会这样呢？细心的同学会发现下面六个基本事件(1,2,a), (1,a,2), (2,1,a), (2,a,1), (a,1,2), (a,2,1)，如果不考虑抽取顺序，其实表示的是同一个结果：抽到2个白球，1个红球。
原来当不考虑顺序时的每一个基本事件都有6个考虑顺序的基本事件和它对应，每个事件都扩大6倍，这样，在用公式()AP A=所包含的基本事件数基本事件总数计算概率时，分子分母同时扩大6倍，所以结果相同。
而我们列举基本事件时，指列举“一次试验中可能出现的每一个基本结果”而既然在上面所求的问题中，考虑顺序的六个事件表示的是同一个结果，所以对于此类问题，我们在解答时不考虑顺序.那么，是不是所有的基本事件都可以看作无序的呢？例2.一个盒子里有点数分别为1，2，3，4的4张牌，有放回的连续抽取两次，求“两张牌点数之和不小于6的概率”。
解：考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 基本事件共有4416⨯=个，其中符合题意的如划线所示，共有6个。
概率除序问题
概率除序问题
排列组合定序问题的除法：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数百除于这几个元素的全排列数，即先全排，再除以定序元素的全排列。
即n个元素的全排列中若有m个元素必须按照一定顺序排列，这m个元素相邻或不相邻不受限制，其排列数为
例：7人排队，其中度甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法知？
分析：(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间道的全排列数，则共有不同排法种数是：
扩展资料：
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：
1、认真审题弄清要做什么事；
2、怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类内,或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类；
3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题，元素总数容是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
小结：“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
有序无序现象
有序无序现象有序-无序：主要表示结构状态、同质多象、广义解释、及所分的两种情况。
一种物质的有序变体和无序变体是一种特殊类型的同质多象，亦即两个变体间不仅化学成分相同，而且结构的基本格架也一样，仅其中的两种或两种以上不同质点的相对排布方式不同。
一般说来，一种物质的有序变体的对称性总是低于无序变体；相应地后者中的同一组等效位置，在有序变体中则分裂成互不等同的几组等效位置，而有序变体结构的单位晶胞则往往数倍于无序变体。
在某一临界温度以上，晶体结构中的两种或多种不同质点（原子或离子以至空位）都随机地分布于某一种（或几种）结构位置上,相互间排布没有一定规律性,这种结构状态称为无序态；在此临界温度以下，这些不同的质点可以各自有选择地分占这些结构位置中的不同位置，相互间作有规则的排列，这样的结构状态称为有序态，相应的晶体结构称为超结构或超点阵。
例如AuCu3晶体结构，当常压下在395℃以上呈无序态时,表现为立方面心晶格，Au、Cu 两种原子都随机地分布在立方面心格子的各个结点位置上，Au原子在统计上占据任一位置的几率(称为占位率)均为1/4, Cu原子则为3/4。
但当呈有序态时,Au原子只占据立方格子角顶上的特定位置，在此种位置上Au原子的占位率为1而Cu原子为0；立方格子的面心位置则只为Cu原子所占有,Cu的占位率为1而Au为0;晶格相应地转变为立方原始格子，原来只是一组的等效位置分裂成了互不等同的两组等效位置,Au、Cu两种原子分别各占一组。
那么要如何理解自然辨证法中的有序和无序呢？一、首先要理解什么是有序和什么是无序。
有序即：1、在空间上表现为整齐和规则性；2、在时间上表现为周期和预见性或可测性；3、在条件上因果关系稳定，有其因必有其果。
而无序正好与有序相反，通俗讲即混乱。
二、有序与无序之间具有密切的关系。
1、有序是无序产生的。
例如：自然界分子的热运动，就单个分子的运动来讲是无序的，你不知道它下一刻它的运动的位置和方向，你也无法了解它的运动原因和条件。
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例析概率问题中的“有序”与“无序”
在求随机事件的概率时，很多学生解题的失误源于对“有序”或“无序”问题的处理不当，笔者结合在教学中的几点感悟就此类问题的几种情况进行探讨，研究错因及解决方法。
一、认真审题，确定是“有序问题”还是“无序问题”
例1 从5名乒乓球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙前出场的概率为（ ） A. 103 B. 203 C. 201 D. 10
9 错解：甲在乙前出场的概率为10935
1313=⋅=C C C P 。
错因：题中“甲在乙前出场”已经暗示了此题应作为有序问题处理，所以正确解法应为
20335
1313=⋅=A C C P 。
例2 从分别写有E D C B A ,,,,的5张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ）
A. 51
B. 52
C. 103
D. 10
7 错解：恰好按字母顺序相邻包含四种情况，即A 与B ，B 与C ，C 与D ，D 与E ，所以5
1425==A P 。
错因：事件的描述中“恰好是按字母顺序相邻”是对“任取”的两字母的特点的要求，此题应为无序问题，即5
2425==C P 二、“可有序可无序”问题遵循“分子跟着分母走”的原则
在处理概率问题时，有些问题可以按“有序”处理，也可按“无序”处理，但处理时必须保证分子和分母的统一性。
例3有10张奖券，3个人购买奖券，每人购买一张，已知其中有3张中奖奖券，问恰好有一人中奖的概率。
因为是三人购买三种彩票，所以，答案是按“有序”问题处理的：
解：3个人购买奖券，每人购买一张，其中一个人中奖而另两个人不中奖的可能有27
13A A ⋅种，因此，购买奖券的3人中恰好有1人中奖的概率为40213310
2713=⋅=A A A P 。
其实，购买三张奖券，可看为从十个元素中取三个元素的一个组合问题，所以分母为310
C ，相应的，分子也应做“无序”处理，三张中恰有一张为中奖奖券的可能有2713C C ⋅，所以，所求概率为4120310
2713=⋅=C C C P 。
例4 有5副不同的手套，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只，求事件=A {甲正好取到两只配对手套}的概率。
解：基本事件总数为410A ，事件A 含的基本事件数为28110A C ⨯，所以，
91)(410
28110=⨯=A A C A P 。
三、在计数问题明确有序与无序。