随机过程-C4马尔可夫链
随机过程报告——马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。
它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。
这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上改变它的状态。
随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ⋯其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。
定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足}i {},...,i X i {1n 10001n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。
实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。
如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。
或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。
这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。
假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。
定义1.2 条件概率}{P 1)(i X j X p n n n ij ===+称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转移概率。
一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。
当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。
若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫链Xn,n ∈T}的转移概率)(P n ij 与n 无关，则称马尔可夫链是齐次的。
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
随机过程第四章马尔可夫链
0,
p(n) ij
1, i,
jI
jI
即P(n)也为随机矩阵.
当n
1时,
p (1) ij
pij
,
P (1)
P
当n
0时,规定pi(j0)
0 , i 1 , i
j j
13
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定理4.1 设{Xn, nT}为马尔可夫链, 则对任意 整数n0, 0l<n和i,jI, n步转移概率 p具i(jn) 有性
Ckx 0
pxqy ，
,
k ( j i)为偶数 k ( j i)为奇数
11
4.1 马尔可夫链与转移概率
例4.4 具有吸收壁和反射壁的随机游动状态空间 {1,2,3,4}, 1为吸收壁, 4为反射壁.
解：状态转移图
状态转移矩阵
1 3
1 0 0 0
1
1
3
1 1
3
1
1
1 1 1
1 3
1 3
2
P 3
5
4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
6
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔 可夫链{Xn, nT}在时刻n的一步转移概率,简 称转移概率,其中i,jI.
P{X 0 i}P{X1 i1 | X 0 i} iI
P{X 2 i2 | X1 i1} P{X n in | X n1 in1}
马尔可夫链的基本概念与应用
马尔可夫链的基本概念与应用随机过程是用来描述随机事件演变的数学模型。
在现实生活中，很多情况下的随机事件都有时间上的相关性，也就是说当前的随机事件决定于之前的一些随机事件，这就涉及到了马尔可夫链。
马尔可夫链是序列上的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只由当前状态决定，而与之前的状态无关。
马尔可夫链的概念和应用在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念和应用两个方面介绍马尔可夫链。
一、基本概念马尔可夫链是一个由若干个状态及其转移概率组成的随机过程。
若状态空间为S={s1,s2,...,sn}，则一个马尔可夫链可以表示为一个n×n的矩阵P={pij}，其中pij表示转移从状态si到状态sj的概率。
一般来说，一个马尔可夫链从某一个状态开始，每一次转移是根据概率分布进行的，而且每次的转移只依赖于当前状态，而不依赖于之前的状态。
这也就是说，如果我们知道当前状态，就可以确定下一步的状态。
马尔可夫链的一个重要概念是状态转移矩阵。
状态转移矩阵是指某一时刻处于一个状态，下一时刻转移到另一个状态的所有可能性的概率矩阵。
在状态转移矩阵中，每一个元素pij表示从状态i 转移到状态 j 的概率。
状态转移矩阵是唯一的，因为每个状态只有一种可能的下一个状态。
马尔可夫链是一种随机过程，因此它的演化具有随机性。
由于其状态转移矩阵具有随机性，所以我们可以通过模拟来预测其未来的状态。
在模拟马尔可夫链时，我们需要一个状态转移矩阵和一个初始状态。
然后，根据初始状态和状态转移矩阵，我们可以生成整个马尔可夫链的状态序列。
二、应用马尔可夫链在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用。
1.自然语言处理在自然语言处理中，马尔可夫链被广泛用于以下场景：文本生成、词性标注、语音识别、机器翻译等等。
其中，最常见的应用是文本生成。
文本生成是指通过某种方式生成一段看似自然的、有意义的文本，而马尔可夫链是一种被广泛应用于文本生成的方法。
马尔可夫链生成文本的基本思路是：通过一个有限的语料库训练出一个马尔可夫模型，然后随机生成一些文本，最后通过概率分布进行筛选，从而得到一些看似自然的、有意义的文本。
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
随机过程课件-马尔可夫链
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
随机过程-C4马尔可夫链复习过程
随机过程-C4马尔可夫链收集于网络，如有侵权请联系管理员删除练习四：马尔可夫链 随机过程练习题1．设质点在区间[0，4]的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在其它整数点分别以概率31向左、右移动一格或停留在原处。
求质点随机游动的一步和二步转移的概率矩阵。
2．独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n 求，令n X =0，1，2或3，这些值分别对应于第1-n 次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正）或（反，反）。
求马尔可夫链},2,1,0,{Λ=n X n 的一步和二步转移的概率矩阵。
3．设}0,{≥n X n 为马尔可夫链，试证：（1）},,,|,,,{11002211n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ======++++++ΛΛ }|,,,{2211n n m n m n n n n n i X i X i X i X P =====++++++Λ（2）}|,,,,,,{11221100++++++======n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ΛΛ}|,,,{111100++=====n n n n i X i X i X i X P Λ==⋅+++m n n n X i X P ,,{22Λ }|11+++=n n m n i X i4．设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为==0{X P p i 4,3,2,1,41}==i i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P ，试证 }41|4{}41,1|4{12102<<=≠<<==X X P X X X P5．设}),({T t t X ∈为随机过程，且)(11t X X =，,),(22Λt X X =Λ),(n n t X X =为独立同分布随机变量序列，令2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n ，试证}0,{≥n Y n 是马尔可夫链。
随机过程中的马尔可夫过程
随机过程中的马尔可夫过程在随机过程中的马尔可夫过程马尔可夫过程是在随机过程中常见且重要的一种形式。
它具有一定的数学特性和模型结构，能够描述在离散或连续时间段内状态的转移以及相关的概率。
本文将对马尔可夫过程的基本概念、特性和应用进行详细介绍。
一、概述马尔可夫过程是一种随机过程，其状态转移满足马尔可夫性质。
马尔可夫性质是指在给定当前状态下，未来和过去的转移概率仅与当前状态有关，与过去状态无关。
这种性质使得马尔可夫过程具有简化模型和简单计算的优势，被广泛应用于各个领域。
二、基本概念1. 状态空间：马尔可夫过程的状态空间是指所有可能取值的集合。
例如，一个骰子的状态空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 转移概率：马尔可夫过程中的状态转移概率描述了从一个状态到另一个状态的概率。
用P(Xt+1 = j | Xt = i)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 转移矩阵：将所有状态之间的转移概率整合到一个矩阵中，称为转移矩阵。
转移矩阵是一个方阵，大小为n×n，其中n是状态空间的数量。
4. 平稳分布：在马尔可夫过程中，如果某个状态的概率分布在经过无限次转移后保持不变，那么该概率分布称为平稳分布。
平稳分布可以通过解线性方程组来计算。
三、特性1. 马尔可夫链：马尔可夫过程可以看作是离散时间的马尔可夫链。
马尔可夫链是指具有无记忆性质的随机序列，即未来状态只依赖于当前状态。
2. 齐次马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的转移概率与时间无关，那么称为齐次马尔可夫过程。
齐次马尔可夫过程的转移概率矩阵在时间上保持不变。
3. 连续时间马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的时间是连续的，则称为连续时间马尔可夫过程。
连续时间的马尔可夫过程可以用微分方程来描述。
四、应用领域1. 金融学：马尔可夫过程常用于金融市场的建模和分析，例如股票价格的预测和风险管理。
2. 信号处理：马尔可夫过程可以用于信号和图像的分析与处理，包括语音识别和图像识别等领域。
概率统计和随机过程课件第十三章 马尔可夫链
9
n
(2)转移概率的性质:对于状态空间 S 内的任意两个
状态 i和 j ,恒有 (1) (2)
p (tm) 0
(n) ij
(n ) p , n 1 ,2 , ij (tm) 1 j S
p
jS
(n) ij
(tm ) S P { X ( t ) j |X ( t ) i } j m n m j S
P ( X 1 |X 1 )( P X 1 |X 1 ) n 1 n n 2 n 1 p p 0 . 8 1 1 11 1
24
三.有限维概率分布
X ( t ), t t , t , t , } 马尔可夫链 { 在初始时刻 t 0 的概率 0 1 2
进一步改写为矩阵形式
P P
(2)
2
(2 ) (2 ) 其中 P 是两步转移概率矩阵, P 是一步转移 (p ij )
20
用数学归纳法可得
P P
( n )
n
n 2 , 3 , 4 ,
P
(13.8)
(n)
这表明: n步转移概率矩阵
( p )
(n) ij
等于一步转移概率矩阵P的 n 次幂.
5
恒成立,则称此过程为马尔可夫链. 式(13.1)称为马尔可夫性,或称无后效性. 马氏性的直观含义可以解释如下:
将 t n 看作为现在时刻,那末 t1,t2,,tn1 ,就是过去时 刻,而 t n 1 则是将来时刻.于是, (13.1) 式是说,当已知
注： t , t ,, t 并 不 需 要 间 隔 相 等 ， 比 如 1 2 n 1
马尔可夫链 是离散状态的马尔可夫过程, 最初是由俄国数学家马尔可夫1896年 提出和研究的应用十分广泛,其应用领域涉 及计算机,通信,自动.控制,随机服务,可靠性, 生物学,经济,管理,教育,气象物理,化学等等.
第四章-马尔可夫链-随机过程
计算 n 步转移概率的方法。
切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切n,m 0，一切 i，j，有(4.2.1)
P nm ij
Pikn Pkmj
k0
证明：
P nm ij
P{ X nm
j|
X0
i}
P{Xn k | X0 i}P{Xnm j | Xn k, X0 i}
顾客数构成一个泊松过程。所以，
Pi, j
e t (t )i1 j dG(t ), j 1,
0
(i 1 j)!
i 1
这是因为若一个来客发现有 i 个人在系统中，那么下一个来客将
发现人数为 i+1 减去已服务完毕的人数，易知有 i+1-j 个人被服
务完毕的概率(对相继来到之间的时间取条件)等于上式的右端。
0
0
0 P43
例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客 依照一个任意的更新过
程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步
假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来
到时见到系统中的顾客数，以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客
不可被 d 整除的 n 有 Piin 0，且 d 是具有此性质的最大整数(d 是
{n : Piin 0}的最大公约数)。(若对一切 n>0， Piin 0，则定义 i 的周 期是无穷大。)具有周期 1 的状态称为非周期的(aperiodic)。以 d(i)记 i 的周期。
例设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}， 转移概率如下图
P nm ij
随机过程中的马尔可夫链与转移概率矩阵计算
金融领域：马尔可夫链模型可以用 于股票价格预测、风险评估和投资 组合优化等方面
添加标题
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添加标题
添加标题
机器学习：利用马尔可夫链模型进 行概率图模型的建模，如朴素贝叶 斯分类器等
生物信息学：利用马尔可夫链模型 对基因序列、蛋白质序列等进行建 模和预测
Part Three
转移概率矩阵的计 算
转移概率矩阵的定义
06 马 尔 可 夫 链 的 模 拟 与仿真
Part One
单击添加章节标题
Part Two
马尔可夫链的概述
马尔可夫链的定义
定义：马尔可夫链 是一个随机过程， 其中每个状态只与 前一个状态有关， 当前状态与过去状 态无关。
特点：未来状态只 与当前状态有关， 与过去状态无关。
数学表示：马尔可 夫链可以用一个状 态转移矩阵来表示 ，其中每个元素表 示从某一状态转移 到另一状态的概率 。
随机数生成：根据转移概率矩阵生成随机数，用于模拟状态转移 状态转移判断：根据当前状态和随机数，判断下一个状态 状态转移实现：根据判断结果，更新当前状态，进行状态转移 模拟过程重复：重复上述步骤，直到达到模拟终止条件
模拟结果的分析与解读
模拟结果的可 靠性验证
模拟结果的统 计特性分析
模拟结果与真 实情况的比较
定义：转移概率矩阵是描述马尔可夫链中状态之间转移概率的矩阵 特点：每一行元素之和为1，表示从某一状态转移到其他任意状态的概率之和 计算方法：根据历史数据或实验结果，统计状态转移的次数，计算转移概率 应用：在随机过程中，转移概率矩阵是描述系统状态变化的重要工具
转移概率矩阵的计算方法
定义：转移概率矩阵描述状态之间 的转移概率
添加标题
添加标题
随机过程-马尔可夫链4.3-4.4
∑ 下面证明对任一 j ∈ Gr , 有 k∈G
p jk = 1
r +1
。
实际上
1 = ∑ p jk =
k∈C
k∈Gr +1
∑
p jk +
k∉Gr +1
∑
p jk =
k∈Gr +1
∑
p jk
r+1
p i(jn d + r ) > 0 , 故当 k ∉ G 最后一个等式是因设
( ( piimd + s + h ) ≥ pijmd + s ) p(jih ) > 0.
由此可见 r+h 及 s+h 都能被 d 除 从而其差(r+h)-( s+h)=r-s 也可被 d 尽， 从而其差 除尽，但 0 ≤ r , s ≤ d − 1 ，故只能 r-s=0， 除尽， ， 因 而 Gr = Gs , 这 说 明 当 r ≠ s 时 ，
试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。 试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。
解
由图 4.8 知
∞ n =1
( ( f113) =1, f11n ) =0,n≠3。所以 ≠ 。
( u1 = ∑ n f11n ) = 3
1
3
1
可见1 可见1为正常返状态且 周期等于3 周期等于3。含1的基本 常返闭集为
d −1
( nd + r ) ij
> 0}
其 次 ， 如 存 在 j ∈ Gr ∩ Gs ， 由 上 式 必 存 在 n 及 m 使 ( nd + r ) ( md + s ) p (jih ) > 0, 于是 pij > 0, pij > 0, 又因 j ↔ i, 故必存在 h,使 使
马尔可夫链算法总结
马尔可夫链算法总结马尔可夫链算法（Markov Chain）是一种基于概率的算法，用于描述具有随机性的过程，如自然语言处理、图像处理和机器学习等领域。
本文将对马尔可夫链算法进行一些总结和介绍。
一、什么是马尔可夫链马尔可夫链是一种数学模型，可以在离散时间内表示随机事件的演化过程。
其特点是未来状态只与当前状态相关，而与过去状态无关。
因此，马尔可夫链可以用一个状态转移矩阵来描述状态之间的转移。
具体来说，设状态集合为S={S1，S2，...，Sn}，转移概率矩阵为P={p(i,j)，i,j=1,2,...,n}，其中p(i,j)表示从状态Si到状态Sj的概率。
二、马尔可夫链的应用马尔可夫链广泛应用于自然语言处理和机器学习等领域。
例如，文本生成可以使用马尔可夫链来预测下一个单词可能出现的概率，从而生成一篇新的文章；图像处理可以使用马尔可夫链来处理分割和分析，提高图像处理的精度；机器学习可以使用马尔可夫链来进行决策，从而提高计算机自动化决策的能力。
三、马尔可夫链算法的工作原理马尔可夫链算法的工作原理是通过给定的状态集合和转移概率矩阵，计算从起始状态到结束状态的概率。
具体来说，假设给定状态序列S={S1，S2，...，Sn}，则S的概率为P(S)=p(1,2)p(2,3)...p(n-1,n)，即从S1到Sn的转移概率。
从而，马尔可夫链算法可以用于计算任意状态的概率，并进一步预测未来状态。
四、马尔可夫链算法的优势马尔可夫链算法具有很多优势。
首先，它可以处理大规模、复杂的随机事件，如文字、数字或图像。
其次，它可以根据已知的状态序列预测未来状态。
最后，它可以处理概率模型，并进行精确的计算。
因此，马尔可夫链算法在自然语言处理、机器学习和图像处理等领域具有广泛应用前景。
总之，马尔可夫链算法是一种基于概率的重要算法，广泛应用于自然语言处理、机器学习和图像处理等领域。
本文对其进行了一些总结和介绍，希望能够对读者了解马尔可夫链算法有所帮助。
马尔可夫链法
马尔可夫链法1. 简介马尔可夫链法（Markov Chain）是一种基于概率的数学模型，用于描述具有随机性质的离散事件序列。
它是根据马尔可夫性质而命名的，该性质指的是未来状态只与当前状态相关，与过去状态无关。
马尔可夫链法被广泛应用于各个领域，如自然语言处理、金融市场预测、信号处理等。
它的核心思想是通过建立状态转移矩阵来描述事件之间的转移关系，并利用概率计算不同状态出现的概率。
2. 历史背景马尔可夫链法最早由俄国数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出。
他在研究随机过程时发现了一种特殊的概率性质，即未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
这一发现为后来的马尔可夫链方法奠定了基础。
20世纪50年代以后，随着计算机技术的快速发展和数学理论的深入研究，马尔可夫链方法得到了广泛应用。
尤其是在自然语言处理领域，马尔可夫链法被用于模拟文本生成、语音识别等任务，取得了显著的成果。
3. 基本概念3.1 状态空间马尔可夫链方法中，事件被抽象为若干个状态。
这些状态构成了一个状态空间，记作S。
每个状态表示系统在某一时刻的特定情况或状态。
3.2 状态转移概率马尔可夫链的核心是描述不同状态之间的转移关系。
假设当前时刻系统处于状态i，下一个时刻系统可能转移到另一个状态j。
这个转移的概率可以用条件概率P(j|i)表示，其中i和j都属于状态空间S。
3.3 转移矩阵将所有可能的状态转移概率按照一定规则组织起来形成一个矩阵，称为转移矩阵。
转移矩阵通常记作P，其元素P(i,j)表示从状态i到状态j的转移概率。
3.4 马尔可夫性质马尔可夫性质指的是未来状态只与当前状态相关，与过去状态无关。
具体而言，在马尔可夫链中，给定当前状态，过去状态对未来状态的影响可以通过当前状态来表示。
4. 马尔可夫链模型4.1 离散时间马尔可夫链离散时间马尔可夫链是指系统在离散时间点上的状态转移。
假设在每个时间点t，系统处于某个状态Si，那么在下一个时间点t+1，系统将以一定概率转移到另一个状态Sj。
随机过程与马尔可夫链的状态转移矩阵计算
应用领域：随机 过程广泛应用于 物理学、统计学 等领域，而马尔 可夫链主要用于 预测和决策等领
域。
随机过程与马尔可夫链的应用领域
金融领域：用于股票价格预测和风 险评估
物理科学领域：用于研究自然现象 和实验数据的分析
添加标题
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通信领域：用于信号处理和数据传 输
社会科学领域：用于人口统计、市 场分析和行为研究
总结与展望
总结
随机过程与马尔可 夫链的状态转移矩 阵计算的基本概念 和原理
状态转移矩阵的 计算方法及其在 各个领域的应用
状态转移矩阵的特 性和性质，以及其 在预测和决策中的 作用
未来研究方向和 展望
展望
深入研究随机过程与马尔 可夫链的内在联系
探索更高效的状态转移链的转移概率
定义：马尔可夫链中从一个状态转移到另一个状态的概率 计算方法：通过状态转移矩阵或转移概率矩阵来计算 特性：只与当前状态和下一个状态有关，与过去状态无关 应用：在各种领域如物理、化学、生物、经济、金融等都有广泛应用
状态转移矩阵的 计算
状态转移矩阵的定义
状态转移矩阵是描述随机过程 中状态之间转移概率的矩阵
结合人工智能技术，实现 自动化分析和预测
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随机过程的状态
定义：随机过程是由一系列随 机变量组成的过程
分类：离散状态和连续状态
状态空间：随机过程的所有可 能状态组成的集合
状态转移：随机过程从一个状 态转移到另一个状态的过程
马尔可夫链的特 性
马尔可夫链的定义
定义：马尔可夫链是一个随机过程，其中每个状态只与前一个状态有关，当前状态与过去状态无关。
马尔可夫链的基本原理和使用方法(四)
马尔可夫链的基本原理和使用方法马尔可夫链是一种随机过程，它的基本原理是当前状态的转移概率只依赖于前一个状态，和之前的状态无关。
这种特性使得马尔可夫链在许多领域都有着广泛的应用，比如金融、生态学、自然语言处理等。
在本文中，我们将探讨马尔可夫链的基本原理和使用方法。
1. 马尔可夫链的基本原理马尔可夫链的基本原理可以用数学公式来表达。
设有一个有限的状态空间S={1,2,...,n}，则一个离散时间的马尔可夫链是一个序列X={X0, X1, X2, ...}，其中Xi表示在第i个时刻系统所处的状态，且满足以下马尔可夫性质：P(Xi+1 = j | Xi = i0, Xi-1 = i1, ..., X0 = i0) = P(Xi+1 = j | Xi = i0)其中P(Xi+1 = j | Xi = i0)表示在当前状态为i0的情况下，下一个状态为j的概率。
这个条件概率只依赖于当前状态，和之前的状态无关，这就是马尔可夫性质。
2. 马尔可夫链的使用方法马尔可夫链在实际应用中有着广泛的用途，其中最常见的就是用来建模随机过程。
在金融领域，马尔可夫链被用来建立股票价格的模型，帮助投资者预测未来的股价走势。
在生态学中，马尔可夫链被用来研究物种的迁移和数量变化，从而帮助保护生物多样性。
在自然语言处理领域，马尔可夫链被用来建立文本生成模型，从而帮助计算机理解和生成自然语言。
除了建模随机过程外，马尔可夫链还被广泛用于解决一些特定的问题，比如：a. 随机游走随机游走是一种通过随机转移来描述某个随机过程的方法。
在数学上，随机游走可以用马尔可夫链来建模。
通过分析随机游走的性质，可以帮助我们理解和预测一些具有不确定性的现象，比如股票价格的波动、气候变化等。
b. 马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程是一种用来描述决策问题的数学模型。
在马尔可夫决策过程中，决策者需要根据当前状态和可选的行动来选择最优的策略。
通过分析马尔可夫决策过程，可以帮助我们理解和优化一些具有随机性和不确定性的决策问题，比如供应链管理、资源分配等。
随机过程-第五章 马尔可夫链
0.95 0.02 0.02 0.01 0.3 0.6 0.06 0.04 P 0.2 0.1 0.7 0 0.2 0.2 0.1 0.5
P
jS
ij
1, i S 。则称该矩阵为随机矩阵。
显然，随机矩阵的各行元素之和都等于 1。
例 5.1 赌徒输光问题 ：考虑一赌徒，在每局赌博中他以概率 p 赢得 1 元，以概率
q 1 p 输掉 1 元，假设各局赌博是相互独立的，赌徒开始有 i （ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i n ）元，且他在赌
显然， Markov 链的统计特征由其初始分布 P{ X 0 i0 } 和转移概率 P{ X k i X k 1 ik 1} （ k 1, 2,, n ）决定。
定义 5.3 时齐 Markov 链： 当 Markov 链的转移概率 P{ X n1 j X n i} 只与状态 i, j 有
m n m, n 0 使得 P ij 0, Pjk 0 ，利用 C-K 方程（1）可知
n n Pikm n Pirm Prk Pijm Pjk 0 rS
K 类似地可以证明存在 K 0 使得 Pki 0 。
称互通的两个状态属于同一个类，且由命题 5.1 可知，任何一个状态不能同时属于两个 不同的类，即任意两个不同的类不相交。 思考：对例 5.1 中的赌徒问题的状态分类？ 定义 5.7 可约：若 Markov 链只存在一个类，则称它为不可约的；否则称为可约的。 在不可约的 Markov 链中，一切状态都是彼此互通的。
概率论中的马尔可夫链与随机游走
概率论中的马尔可夫链与随机游走马尔可夫链和随机游走是概率论中重要的概念，用于描述随机过程中状态的变化和演化。
马尔可夫链是一种数学模型，其特点是在给定当前状态下，未来状态只与当前状态相关，而与过去状态无关。
随机游走则是在具体的空间中，随机地在不同的位置间移动。
1. 马尔可夫链马尔可夫链是一个序列，其中每个状态都是由其前一状态引起的，同时又与当前状态的概率相关。
马尔可夫链具有无记忆性，即未来状态只与当前状态相关，与过去状态无关。
马尔可夫链可以用有向图表示，图中的每个节点表示一个状态，有向边表示状态之间的转移概率。
在马尔可夫链中，每个节点之间的转移概率是已知的，且满足转移概率矩阵的性质。
转移概率矩阵表示从一个状态到另一个状态的概率分布。
如果存在一个马尔可夫链，使得对于所有的状态，从任意一个状态出发的转移概率都是固定的，则该马尔可夫链是时间齐次的。
2. 马尔可夫链的性质马尔可夫链具有一些重要的性质，如有限性、连通性和遍历性。
（1）有限性：马尔可夫链如果状态空间是有限的，则称之为有限马尔可夫链。
有限马尔可夫链具有稳定分布，即当链收敛时，存在一个稳定的状态分布。
（2）连通性：马尔可夫链中，如果任意两个状态之间都存在一条路径，则称之为连通的。
连通性保证了在有限时间内可以从任意一个状态到达其他任意状态。
（3）遍历性：马尔可夫链中，如果从任意一个状态出发都可以回到该状态，则称之为遍历的。
遍历性保证了在无限时间内，马尔可夫链可以在状态空间内随机漫步。
3. 随机游走随机游走是一种随机过程，其基本思想是在一定的状态空间中，通过随机选择下一步的状态来进行移动。
随机游走可以用来模拟随机漫步的现象，例如在二维平面上，随机选择上、下、左、右四个方向中的一步进行移动。
随机游走与马尔可夫链密切相关。
事实上，随机游走可以看作是马尔可夫链的一种具体应用。
在随机游走中，每一步的移动都是根据一定的概率进行的，而这些概率正是马尔可夫链中的转移概率。
随机过程_C4马尔可夫链
0.5丿 当初始分布为P{ X 0 = 1} =P{X 0 =2} = 0, P{ X 0 = 3} = 1时经三步转移后处于状态 3的概率。
7 .已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：1•设质点在区间［0 , 4］的整数点作随机游动，到达 0点或4点后以概率1停留在原处, 1 —向左、右移动一格或停留在原处。
求质点随机游动的一 3在其它整数点分别以概率 步和二步转移的概率矩阵。
2.独立地重复抛掷一枚硬币， 1, 2或3,这些值分别对应于第 n -1次和第n 次抛掷的结果为(正，正)，(正，反)， (反，正)或(反，反)。
求马尔可夫链{X n ,n 0,1,2,…}的一步和二步转移的概 率矩阵。
设{X n , n _0}为马尔可夫链，试证： (1 ) P{X n.1=i n1,X n.2=i n.2, ,X n^ ~lnm |X 0 - i 0,X ^i 1, ,X n=i n }= P{X n ・1 =in1,X n 2 - i n 2 , , X n m - i n m | X n - i n }(2) P{X 0 =i°,X 1 , X n - i n , Xn 2 ~ i n 2 , , X n ~ i n m | Xn ~ i n 1}= P{X ° = i°,X 1 二「…，X n -i n |X n^^i n-1} P{X n-2 ~ i n 2 / , Xn m i n m | Xn 1 _ i n 1}设{X n , n _1}为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 每次抛掷出现正面的概率为 p ,对于n 一 2求，令X n =0, 3. 4. P i 二 P{X 。
5. P{X 2=4|X 设{X(t),r T}为随机过程 立同分布随机变量序列，令 {Y n , n _0}是马尔可夫链。
1/4 1/4 1/4 1/4"1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/8 1/4 3/8J/4 1/4 1/4 1/4』0=1, 1 <X 1<4^ P{X ，且 X 1 =X(t 1),X 2，试证 1 「4"3,4，八 2 = 4 |1 :： X r :： 4}= X(t 2),…，X n = X(tJ …为独 Y 0 -0,Y ^-Y(t 1W X 1,Y ncY n 4^X n, n 一2，试证0.5 0.56.已知随机游动的转移概率矩阵为0.5 0.5 ,求三步转移概率矩阵 P (3)及0.5(1) P T(O) =(0.4, 02 0.4), P 二0.80.80.1 0.10.70.2 020.20.60.7 0.1 0.1 0.1?0.1 0.6 0.2 0.1(2) P T(0)=(02 02 0.3, 0.3) , p =0.1 0.1 0.6 0.230.1 0.2 0.5」求下一、二个月的销售状态分布。
随机过程课件-马尔可夫链
第n次抽取后甲袋的球数，n=1,2,….{Xn,n=1,2,…}
甲
是一随机过程，状态空间I={0,1,2,3,4,5},当Xn=i
时，Xn+1=j的概率只与i有关，与n时刻之前如何取到
i值是无关的，这是时齐马氏链，一步转移矩阵为：
0 1 2 34 5
乙
0
1 2
1 2
0 0 0 0
1
1 2
0
1 2
0
1
2
3 奶酪
456
7猫 8 9
浙江大学随机过程
21
解：一旦老鼠跑到3号或7号房间，我们就认为老鼠将永
远呆在那个房间。用X n表示n时老鼠所在的位置。则 {X n}是一时齐Markov链，状态空间是{1, 2,...,9},3和7是两 个吸收态。所求的就是从2出发最终被7吸收的概率。
令hi P(最终被7吸收 | X 0 i),则h7 1, h3 0.
性质 : pij (m, m n) 0, pij (m, m n) 1 jI
记P(m, m n) ( pij (m, m n))II 为对应的n步转移矩阵
性质: 各元素非负，每行之和为1
浙江大学随机过程
7
定义： 如果对任何状态i, j, P( X n1 j | X n i）不依赖于n, 则称{X n}是时齐的Markov链
pij： P( X n1 j | X n i）称为从i到j的一步转移概率
P （pij）II 称为一步转移概率
浙江大学随机过程
8
例2（. 0 1传输系统）
X0
1
X1
2
… X2
Xn-1
n
Xn …
只传输0和1的串联系统中，设每一级的传真率为p,误码率
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练习四：马尔可夫链 随机过程练习题
1．设质点在区间[0，4]的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，
在其它整数点分别以概率
3
1
向左、右移动一格或停留在原处。
求质点随机游动的一步和二步转移的概率矩阵。
2．独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n 求，令n X =0，
1，2或3，这些值分别对应于第1-n 次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），
（反，正）或（反，反）。
求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移的概率矩阵。
3．设}0,{≥n X n 为马尔可夫链，试证： （1）},,,|,,,{11002211n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ======++++++ }|,,,{2211n n m n m n n n n n i X i X i X i X P =====++++++
（2）}|,,,,,,{11221100++++++======n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P
}|,,,{111100++=====n n n n i X i X i X i X P ==⋅+++m n n n X i X P ,,{22 }|11+++=n n m n i X i
4．设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为==0{X P p i
4,3,2,1,4
1}==i i ，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P ，试证 }41|4{}41,1|4{12102<<=≠<<==X X P X X X P
5．设}),({T t t X ∈为随机过程，且)(11t X X =，,),(22 t X X = ),(n n t X X =为独
立同分布随机变量序列，令2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n ，试证
}0,{≥n Y n 是马尔可夫链。
6．已知随机游动的转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=5.005.05.05.0005.05.0P ，求三步转移概率矩阵)
3(P 及
当初始分布为1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时经三步转移后处于状态
3的概率。
7．已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：
（1）)4.0,2.0,4.0()0(=T
P ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=6.02.02.02.07.01.01.08.08.0P ；
（2）)3.0,3.0,2.0,2.0()0(=T
P ，⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=5.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.0P ；
求下一、二个月的销售状态分布。
8
后的销售状态分布。
10．讨论下列转移概率矩阵的马尔可夫链的状态分类。
（1）⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=010
06.04.000000
010
0003.07
.0005.03.02.0P ；（2）⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=02.02.06.00
07.03.000010100
P ； （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=10000000
00001
p r q p r q p
r q P ，其中1=++p r q ，},,1,0{b I =
11．设马尔可夫链的转移概率矩阵为（1）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛3/23/12/12/1；（2）⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛33221
10
00p q
q p q p ；计算)(11n f ，)
(12
n f ，3,2,1=n 12．设马尔可夫链的状态空间}7,,2,1{ =I ，转移概率矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2.08.0000007.03.000000003.05.02.000006.004.0000004.06.0001.01.01.02.02.03.01.01.01.01.001.02.04.0P
求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
13．设马尔可夫链的转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= 00000010221
1p q p q P ，求它的平稳分
布。
14．艾伦菲斯特(E renfest)链。
设甲乙两个容器共有N 2个球，每隔单位时间从这N 2个球中任取一球放入另一容器中，记n X 为在时刻n 甲容器中球的个数，则}0,{≥n X n 是齐次马尔可夫链，称为艾伦菲斯特链，求该链的平稳分布。
15．将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以)(n X 表示经过n 次交换后甲盒中红球数，则}0),({≥n n X 为一齐次马尔可夫链，（1）求一步转移概率矩阵；（2）证明}0),({≥n n X 是遍历链；（3）求
2,1,0,lim )(=∞
→j P n ij n 16．设}1),({≥n n X 为非周期不可约马尔可夫链，状态空间为I ，若对一切I j ∈，其一步转移概率矩阵满足条件：
1=∑∈I
i j
i p
，试证（1）对一切I j ∈，1)(=∑∈I
i n j i p ；（2）
若状态空间},,2,1{m I =，计算各状态的平均返回时间。
17．设河流每天的BOD （生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间}4,3,2,1{=I 是按BOD 浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单位）
为⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=4.04.02.001.06.02.01.01.02.05.02.001
.04.05.0P 。
若BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。
（1）证明
该链是遍历链；（2）求该链的平稳分布；（3）河流再次达到污染的平均时间4μ。
答 案
1．解：质点随机游动的一步转移的概率矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100003/13/13/10003/13/13/10003/13/13/100001
P
质点随机游动的二步转移的概率矩阵为。