数理方程第二次作业参考答案

第二次作业

1.化下列方程为标准形式：

0=+yy xx yu u

解：根据题意可得y c b a ===,0,1，则有y ac b -=-=∆2。

（1）当0=y 时，0=∆，方程为抛物型方程，标准形式为0=xx u ；

（2）当0>y 时，0<∆，方程为椭圆型方程，对应的特征方程为

022=+ydx dy

解得两条特征线为

C ix y =±2 选取变换x y ==ηξ,2，带入原方程可得

01=-+ξηηξξξ

u u u （3）当0∆，方程为双曲型方程，对应的特征方程为

022=+ydx dy

解得两条特征线为

C x y =±--2 选取变换y x y x -+=--=2,2ηξ，带入原方程可得

()

()ηξξηηξu u u ---=21 2.确定下列方程的通解：

023=+-yy xy xx u u u

解：根据题意可得2,23,1=-==c b a ，04

12>=-=∆ac b ，方程为双曲型方程，对应的特征方程为 02322=++dx dxdy dy

解得两条特征线为

212C x y C x y =+=+

选取变换x y x y 2,+=+=ηξ，可把原方程化简为

0=ξηu

此方程的通解是

()()ηξg f u +=

其中是g f ,关于ηξ,的任意二次可微的连续函数，

所以原方程的通解为

()()y x g y x f u +++=2

作业中出现的问题：

第一题：

1.有的同学以为特征线就是通解，这也太荒谬了。

2.有的同学没有讨论0=y 时候的情况。

3.作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂，不可取。另外化简的时候没有化到最简，方程中还包含y x ,。此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果，这是完全错误的。还有计算问题也出现了很多。

第二题：

1.到0=ξηu 这一步都没有什么大问题，主要是后面求这个积分出现了问题，一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号，另一方面有很多同学都没有讨论g f ,和性质。