立体几何好题及答案

A 1

C

B A

B 1

C 1

D 1

D

O

高三数学·单元测试卷(九）

第九单元 [简单几何体],交角与距离

(时量:120分钟 １5０分）

一、选择题：本大题共1０小题,每小题5分，共5０分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.

1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有

A.1８对 ﻩＢ．２4对

C ．30对 ﻩ

D ．36对

2..一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为

A.π28 Ｂ.π8ﻩＣ.π24ﻩ D.π4

3．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V,P 、Q 分别是侧棱AA 1、C Ｃ1上的点,且PA ＝ＱC １,则四棱锥B －AP ＱC 的体积为

Ａ.V

６

B.错误! ﻩC ．错误! D.错误!

4.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ＡBCD 是边长为1的正方形，且△A ＤE 、△BCF 均为正三角形,ＥＦ∥A Ｂ,EF=2，则该多面体的体积为

Ａ.32 B.3

3 C ．

3

4

Ｄ．错误!

５.设α、β、γ为平面,l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是

A ．l m l ⊥=⋂⊥

,,βαβαﻩＢ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,m

C.αγβγα⊥⊥⊥m ,, D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,

6．如图，正方体ＡBCD －A 1B １C 1D 1的棱长为1，O 是底面Ａ1B 1C 1D １的中心，则O 到平面A ＢC 1D 1

的距离为 Ａ.＼f （1,2) Ｂ．错误!

C ．错误!

D.错误!

7.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有

A ．３个

B ．４个 ﻩ

C ．6个

．7个 8．正方体AB ＣＤ-Ａ1B 1C 1Ｄ１中，E 、F 分别为棱ＡB 、C 1D 1的中点,则直线A １Ｂ１与平面A 1Ｅ

ＣF 所成角的正弦为

Ａ．错误!ﻩﻩﻩ Ｂ.错误!ﻩ ﻩ Ｃ.错误!ﻩﻩ D ．错误!

9．在空间直角坐标系O —x yz 中，有一个平面多边形，它在ｘO ｙ平面的正射影的面积为8，

在ｙO ｚ平面和ｚO x 平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为

A ．2错误!ﻩ

B ．错误!ﻩ

C ．2错误!ﻩＤ.错误!

1０．将半径都为1的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小

值为 A.

3

6

23+ Ｂ.2+

3

6

2 C.4＋3

6

2 Ｄ.

3

6

234+

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

二、填空题：本大题共5小题,每小题4分，共20分．把答案填在横线上. １１．正三棱锥Ｐ-AB Ｃ的四个顶点同在一个半径为2的球面上,若正三

棱锥的侧棱长为2＼r （3),则正三棱锥的底面边长是_＿_＿__＿__＿___ . 12.如图，P Ａ⊥平面AB Ｃ,∠ABC ＝90°且PA=A Ｂ＝BC=a ,

则异面直线PB 与ＡＣ所成角的正切值等于_＿_＿____．

13.已知球面上A 、B 两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的

夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是 . 1４．下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是_＿＿＿__________（写出所有真命题的编号）.

1５．在正方体ABCD －A １B 1C 1D 1中，过对角线BD １的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于Ｆ，则

① 四边形BFD 1E 一定是平行四边形 ② 四边形ＢF Ｄ1E 有可能是正方形

③ 四边形BFD 1Ｅ在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD 1E 有可能垂直于平面ＢB 1Ｄ

以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号)．

三、解答题:本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1６．(本题满分l2分)

在四棱锥V-A ＢCD 中，底面ＡB ＣD 是正方形， 侧面VAD 是正三角形,平面ＶAD ⊥底面AB ＣD. (Ⅰ）证明ＡB ⊥平面ＶAD.

(Ⅱ）求面ＶAD 与面VDB 所成的二面角的大小．

D C

B

A

V

１７．（本题满分12分）

如图1,已知AB ＣD 是上、下底边长分别是2和6,高为错误!的等腰梯形．将它沿对称轴OO １折成直二面角，如图2.

（Ⅰ）证明AC ⊥BO 1;

（Ⅱ)求二面角O-AC-Ｏ1的大小.

18.(本题满分1４分）

如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，ＰA ⊥底面ABC Ｄ，PA=AB ＝1，BC=2. (1）求证：平面PDC ⊥平面P ＡD;

(2）若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与P Ｃ所成角的余弦值;

（3)在BC 边上是否存在一点Ｇ，使得D 点到平面PA Ｇ的距离为1，若存在,求出ＢＧ的值；若不存在，请说明理由.

A

B

O

C

O 1

D

P

A B

C

D

E