复合函数的单调性.ppt
合集下载
4.2.2指数型复合函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版
∴ 原函数 y 2x2 ax5 与t=f(x)= x2 ax5 单调性相同
又t=f(x)的单调递增区间是 [ a ,+∞) 2
∴ 原函数 y 2x2 ax5 的单调递增区间是[ a ,+∞)
2 ∴ a =2 即 a=4
2
（2）定义域为x∈R
∵ 底数a=2>1
∴ 原函数 y 2x2 ax5 与t=f(x)= x2 ax5 单调性相同
2
五、小结
方法1
定义法
判断 y a f x 单调性
方法2
方法3
同增异减 a>1
0<a<1
y a f x 与t=f(x) 单调性相同 y a f x 与t=f(x) 单调性相反
思考题：
已知函数
f
x
1 2
ax2 2 x3
在区间(-1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是
.
解：∵
底数a=
1 2
∴原函数
y
1 2
x2 2x3
的单调递增区间为（-∞，1
)，
单调递减区间为(1,+∞)
例3、（1）已知函数 y 2x2 ax5 单调递增区间是[2,+∞)，则 a 的取值是
。
（2）已知函数 y 2x2 ax5 在[2,+∞)上单调递增，则 a 的取值范围是
。
解：（1）定义域为x∈R
∵ 底数a=2>1
A. (-∞,-2]
B. [-2,0)
C. (0,2]
D. [2,+∞)
二、复合函数的单调性 对于复合函数y=f(g(x)),设t=g(x)在(a,b)上是单调函数，且y=f(t)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上也是单调函数， 那么y=f(g(x))在(a,b)上的单调性如下表所示： 同 增 异 减
又t=f(x)的单调递增区间是 [ a ,+∞) 2
∴ 原函数 y 2x2 ax5 的单调递增区间是[ a ,+∞)
2 ∴ a =2 即 a=4
2
（2）定义域为x∈R
∵ 底数a=2>1
∴ 原函数 y 2x2 ax5 与t=f(x)= x2 ax5 单调性相同
2
五、小结
方法1
定义法
判断 y a f x 单调性
方法2
方法3
同增异减 a>1
0<a<1
y a f x 与t=f(x) 单调性相同 y a f x 与t=f(x) 单调性相反
思考题：
已知函数
f
x
1 2
ax2 2 x3
在区间(-1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是
.
解：∵
底数a=
1 2
∴原函数
y
1 2
x2 2x3
的单调递增区间为（-∞，1
)，
单调递减区间为(1,+∞)
例3、（1）已知函数 y 2x2 ax5 单调递增区间是[2,+∞)，则 a 的取值是
。
（2）已知函数 y 2x2 ax5 在[2,+∞)上单调递增，则 a 的取值范围是
。
解：（1）定义域为x∈R
∵ 底数a=2>1
A. (-∞,-2]
B. [-2,0)
C. (0,2]
D. [2,+∞)
二、复合函数的单调性 对于复合函数y=f(g(x)),设t=g(x)在(a,b)上是单调函数，且y=f(t)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上也是单调函数， 那么y=f(g(x))在(a,b)上的单调性如下表所示： 同 增 异 减
21《指数函数及其性质之复合函数的单调区间与值域》课件20页PPT
2
2
y （1）x 1的图象由y （1）x 1的图象向上移2个单位。
2
2
湖南省古丈县第一中学 高数组制作
必修一
推广到一般情况： y ax与y ax m(a 0, a 1, m R)之间的关系： y a x m(a 0, a 1, m R)的图象可以由y ax的 图象变化而来； 当m 0时，y ax的图象向上移m个单位得到 y a x m的图象； 当m 0时，y ax的图象向下移m 个单位得到 y a x m的图象； 上述规律也简称为“上加下减”
湖南省古丈县第一中学 高数组制作
必修一
(2)当0a 1时,指数函数 y ax在定义域 ( , )上为减函,数 若x f (t)在t [M, N] 上为增函,数 则函数y af (t)在t [M, N]上为 减函数,若x f (t)在t [M, N]上为减函,数 则 函数y af (t)在t [M, N]上为增函;数
湖南省古丈县第一中学 高数组制作
必修一
由几何画板上的图象，可以看出，
y （1）x，y （1）x 1，y （1）x 1的图象有如下关系：
2
2
2
y （1）x 1的图象由y （1）x的图象向上移1个单位；
2
2
y （1）x -1的图象由y （1）x的图象向下移1个单位；
2
2
y （1）x -1的图象由y （1）x 1的图象向下移2个单位；
2
2
y （1）x1的图象由y （1）x-1的图象向左移2个单位。
2
2
湖南省古丈县第一中学 高数组制作
必修一
推广到一般情况： y ax与y axm (a 0, a 1, m R)之间的关系： y a xm (a 0, a 1, m R)的图象可以由y ax的 图象变化而来； 当m 0时，y ax的图象向左移m个单位得到 y a xm的图象； 当m 0时，y ax的图象向右移m 个单位得到 y a xm的图象； 上述规律也简称为“左加右减”
高中数学培优课5复合函数的单调性及应用课件a必修1a高一必修1数学课件
第六页，共十六页。
求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤： ①确定函数的定义域． ②将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)． ③分别(fēnbié)确定这两个函数的单调区间． ④若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增 一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
第二章 基本(jīběn)初等函数(Ⅰ)
培优课(五) 复合函数的单调(dāndiào)性及应用
12/8/2021
第一页，共十六页。
函数y＝f(φ(x))是由函数y＝f(u)与u＝φ(x)复合而成的，这 类函数的单调性是函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性共同决定的．若 函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，函数y＝f(φ(x))为增函数；若 函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(xiāngfǎn)，函数y＝f(φ(x))为减函 数，即符合“同增异减”的原则．
12/8/2021
第十四页，共十六页。
谢谢 观看！ (xièxie)
12/8/2021
第十五页，共十六页。
内容(nèiróng)总结
第二章 基本初等函数(Ⅰ)。函数y＝f(φ(x))是由函数y＝f(u)与u＝φ(x)复合而成的，这类函 数的单调性是函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性共同决定的．若函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，
答案：(－∞，0)
12/8/2021
第十二页，共十六页。
6．设a>0，且a≠1，函数(hánshù)y＝ax2－2x＋3有最大值，求函 数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
解：设 t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 当 x∈R 时，t 有最小值，为 2. ∵y＝ax2－2x＋3 有最大值，∴0<a<1. 由 f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为－∞，32.
求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤： ①确定函数的定义域． ②将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)． ③分别(fēnbié)确定这两个函数的单调区间． ④若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增 一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
第二章 基本(jīběn)初等函数(Ⅰ)
培优课(五) 复合函数的单调(dāndiào)性及应用
12/8/2021
第一页，共十六页。
函数y＝f(φ(x))是由函数y＝f(u)与u＝φ(x)复合而成的，这 类函数的单调性是函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性共同决定的．若 函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，函数y＝f(φ(x))为增函数；若 函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(xiāngfǎn)，函数y＝f(φ(x))为减函 数，即符合“同增异减”的原则．
12/8/2021
第十四页，共十六页。
谢谢 观看！ (xièxie)
12/8/2021
第十五页，共十六页。
内容(nèiróng)总结
第二章 基本初等函数(Ⅰ)。函数y＝f(φ(x))是由函数y＝f(u)与u＝φ(x)复合而成的，这类函 数的单调性是函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性共同决定的．若函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，
答案：(－∞，0)
12/8/2021
第十二页，共十六页。
6．设a>0，且a≠1，函数(hánshù)y＝ax2－2x＋3有最大值，求函 数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
解：设 t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 当 x∈R 时，t 有最小值，为 2. ∵y＝ax2－2x＋3 有最大值，∴0<a<1. 由 f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为－∞，32.
指数函数与复合函数的单调性(第三课时)ppt课件
0 x=1 x
质 两点 ：定点( 0 , 1 ) ,特征点( 1 , a )； 两线 ：x = 1与y = 1
在 R 上是增函数 ppt课件 在 R 上是减函数 3
思考1 如图所示： 则下列式子中正确的是（ B ）
y ax A.0 a b 1 c d
y
y bx
B.0 b a 1 d c
2、利用图像变换画出下列函数的图象
(1) y 2 x (3) y ( 1 )|x| 1
2
(2) y | 2x 1| (4) y 2 x2
ppt课件
10
精讲细练
(1) y 2 x
y 2x y 2|x|
y
ppt课件
1 01
x
11
y
精讲细练
(2) y | 2x 2 |
6
y
思考2
函数f (x) ax1 3 的图象一定过定点P, 则P点的坐标是(_1_,_4_)
ppt课件
1 01
x
7
典例分析
例1.下列函数的图象，是由函数f(x)=2x的图
象经过怎样的变换得到的.
(1) y 2x1
(2) y 2x 1
(3) y 2|x|
(4) y | 2x 1|
C.0 d c 1 b a
c
d
D.0 a b 1 d c 1 a b
0
ppt课件
y cx
1
x=1
y dx
x
4
思考2 问题：函数f (x) ax1 3 的图象一定过定点P, 则P点的 坐标是 ____
ppt课件
5
规律探究 函数的图像变换
质 两点 ：定点( 0 , 1 ) ,特征点( 1 , a )； 两线 ：x = 1与y = 1
在 R 上是增函数 ppt课件 在 R 上是减函数 3
思考1 如图所示： 则下列式子中正确的是（ B ）
y ax A.0 a b 1 c d
y
y bx
B.0 b a 1 d c
2、利用图像变换画出下列函数的图象
(1) y 2 x (3) y ( 1 )|x| 1
2
(2) y | 2x 1| (4) y 2 x2
ppt课件
10
精讲细练
(1) y 2 x
y 2x y 2|x|
y
ppt课件
1 01
x
11
y
精讲细练
(2) y | 2x 2 |
6
y
思考2
函数f (x) ax1 3 的图象一定过定点P, 则P点的坐标是(_1_,_4_)
ppt课件
1 01
x
7
典例分析
例1.下列函数的图象，是由函数f(x)=2x的图
象经过怎样的变换得到的.
(1) y 2x1
(2) y 2x 1
(3) y 2|x|
(4) y | 2x 1|
C.0 d c 1 b a
c
d
D.0 a b 1 d c 1 a b
0
ppt课件
y cx
1
x=1
y dx
x
4
思考2 问题：函数f (x) ax1 3 的图象一定过定点P, 则P点的 坐标是 ____
ppt课件
5
规律探究 函数的图像变换
指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性——洪俊卫ppt资料
谢谢观看
• 主讲人：洪俊卫
制作人：洪俊卫
感谢观看
感谢观看
高 届数学组 洪俊卫
（1） 2、会求解指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
指数函数底数a（复习） 2、会求解指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
高 届数学组 洪俊卫
第五小组
学案 第五题 （2）
第七小组
学案 第六题
各小组讲评员进行讲解
学案第三题
函数f (x) ax (a 0且a 1)
大小 内外
小函数
大函数
f (t ) ( 1 )对t x加一 2 定的条件
限制呢
tx22x1
f (x)(1)x22x1 2
同增异减
宗旨
复合函数单调性求解
掌握要点
同增 异减
内函数
（注意x的范围哦）
求出内函数单调区间
外函数 下结论
判断外函数单调性
结合内外函数分析
写出函数单调区间 及单调性
展示
第一小组 3、求解复合函数单调性书写过程的规范
2、复合函数的内外函数的确定 高 届数学组 洪俊卫
2、会求解指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
3 x 2 - 2 x -1的单调区间
.
指数函数底数a（复习）
指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性
3、求解复合函数单调性书写过程的规范
0<a<1
3、求解复合函数单调性书写过程的规范
指数函数底数a（复习）
在区间1,2上的最大值比
最小值大a ，求a的值. 2
学案第五题（1）
求函数f (x) (1)-x22x的单调区.间 2
两者的区别？
当0 x 3时，又如何？
复合函数的单调性
≤
2
的最大值为2,无最小值.
2
−1
=2,∴函数f(x)
典例剖析
例2、 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是
A.(-∞,-2)B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
( D )
D.(4,+∞)
[解析] 由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4,因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是
例1、判断f(x)=
2
1 −2
的单调性,并求其最值.
2
1
2
解:令u=x -2x,则原函数变为y=
.∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在
2
(1,+∞)上单调递增,又∵y=
2
1
1 −2
在(-∞,+∞)上单调递减,∴y= 2
在(-∞,1]上单
2
1 1
2
2
调递增,在(1,+∞)上单调递减.∵u=x -2x=(x-1) -1≥-1,∴0<
高中数学
• 复合函数的单调性
杜玉成
• 复合函数的单调性
• 函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)，
u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝
φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．即“同增异减”．
典例剖析
1
∵y＝( )t 为减函数，∴f(x)的减区间为 t＝|2x－4|的递增区间[2，＋∞)，
3
所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
)
巩固练习
2、函数y=log 1 (x2+2x-3)的单调递减区间为 (1,+∞) .
2
的最大值为2,无最小值.
2
−1
=2,∴函数f(x)
典例剖析
例2、 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是
A.(-∞,-2)B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
( D )
D.(4,+∞)
[解析] 由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4,因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是
例1、判断f(x)=
2
1 −2
的单调性,并求其最值.
2
1
2
解:令u=x -2x,则原函数变为y=
.∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在
2
(1,+∞)上单调递增,又∵y=
2
1
1 −2
在(-∞,+∞)上单调递减,∴y= 2
在(-∞,1]上单
2
1 1
2
2
调递增,在(1,+∞)上单调递减.∵u=x -2x=(x-1) -1≥-1,∴0<
高中数学
• 复合函数的单调性
杜玉成
• 复合函数的单调性
• 函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)，
u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝
φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．即“同增异减”．
典例剖析
1
∵y＝( )t 为减函数，∴f(x)的减区间为 t＝|2x－4|的递增区间[2，＋∞)，
3
所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
)
巩固练习
2、函数y=log 1 (x2+2x-3)的单调递减区间为 (1,+∞) .
复合函数 ppt课件 (2)
⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分 作出，再利用偶函数关于y轴的对称性作出 x≤0的图象。
1、函数y＝-2-x的图象一定过第__象限。
2、为了得到函数y＝3×(1/3)x的图象， 可以把函数y＝(1/3)x的图象________________。
3、函数y＝log2x与y＝log1/2x的图象关于 ________。 4、函数y＝(1/2)|x|的图象有什么特征？你 能根据图象指出其值域和单调区间吗？
图象的平移变换 ：
① yf(xa)a (0)的图象可由 y f(x)的图象
沿 x轴向右平移 a个单位得到；
yf(xa)a (0)的图象可由 y f(x)的图象
沿 x轴向左平移 a个单位得到；
② yf(x)h(h0)的图象可由 y f(x)的图象
沿 y轴向上或向下平移 h个单位得到。
口诀：左加右减，上加下减。
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数
yf(g(x))中 x的取值范围。
⑵ 中间变量 u的取值范围即为 g ( x)
的值域。
⑶ f (g(x))与 g(f (x))表示不同的复合
函数。
例题：函数 y 32x1 是由 y3u和 u2x1
复合而成的函数。
图象的对称变换 ：
① y f(x)与yf(x)的图象关于 y轴对称； ② y f(x)与yf(x)的图象关于 x轴对称；
③ y f(x)与yf(x)的图象关于原点轴对称；
④ y f(x)与 y f -1(x) 的图象关于 yx对称；
图象的对称变换 ：
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下 方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余 部分不变；
1、函数y＝-2-x的图象一定过第__象限。
2、为了得到函数y＝3×(1/3)x的图象， 可以把函数y＝(1/3)x的图象________________。
3、函数y＝log2x与y＝log1/2x的图象关于 ________。 4、函数y＝(1/2)|x|的图象有什么特征？你 能根据图象指出其值域和单调区间吗？
图象的平移变换 ：
① yf(xa)a (0)的图象可由 y f(x)的图象
沿 x轴向右平移 a个单位得到；
yf(xa)a (0)的图象可由 y f(x)的图象
沿 x轴向左平移 a个单位得到；
② yf(x)h(h0)的图象可由 y f(x)的图象
沿 y轴向上或向下平移 h个单位得到。
口诀：左加右减，上加下减。
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数
yf(g(x))中 x的取值范围。
⑵ 中间变量 u的取值范围即为 g ( x)
的值域。
⑶ f (g(x))与 g(f (x))表示不同的复合
函数。
例题：函数 y 32x1 是由 y3u和 u2x1
复合而成的函数。
图象的对称变换 ：
① y f(x)与yf(x)的图象关于 y轴对称； ② y f(x)与yf(x)的图象关于 x轴对称；
③ y f(x)与yf(x)的图象关于原点轴对称；
④ y f(x)与 y f -1(x) 的图象关于 yx对称；
图象的对称变换 ：
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下 方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余 部分不变；
第三讲复合函数 公开课PPT课件
令t 2x 1.1 t 2 1 2x 1 2 0 x 1 . 2
故f
(2
x
1)的定义域为
0,
1 2
.
例2：已知f (2x 1)的定义域1,2,求f (x)的定义域。
令t 2x 1.1 x 2 3 2x 1 5,即3 t 5.
故f (x)的定义域为3，5.
例3：求函数y
口诀：a 1,同增同减；a 1,增减相反。
例3：求函数y (1)x23x2的单调区间。 2
例4：求函数y log1 (x2 3x 2)的单调区间。
注意：
2 1.函数的定义域；
2.值域： 方法：
2.数形结合。
先求g(x)的范围，再利用单调性求y的范围。
例5：求函数y (1 )x22x3的值域。 2
例6：求函数y log1 (x2 2x 3)的值域。
2
练习：
1.求y log2 (x2 4x 3)的单调区间。 2.求y log1 (2x x2 )的单调区间。
2
3.求y 0.3x22x1的单调区间。
y
log 1
2
(
1 2
)
x
1的定义域。
三.指数型、对数型复合函数的单调性与值域： 指数型复合函数：
y ag(x) (a 0且a 0).
对数型复合函数：
y loga g(x)(a 0且a 0, g(x) 0).
1.单调性：
方法： a 1: u g(x)增, y增；u g(x)减, y减。 0 a 1: u g(x)增, y减；u g(x)减, y增。
第三讲：复合函数
一.复合函数的定义：
设y f (u),u g(x),则y f g(x)叫做复合函数。
复合函数的单调性 ppt课件
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是 增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为 减函数。
2020/12/2
5
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 则y=f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增
函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
减函数。 “同增异减”
2020/12/2
以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2020/12/2
8
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2x－x2)
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为 函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b) 上是增函数。
4
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
高中数学沪教版(上海)高一第一学期 复合函数的单调性 精品课件
例5：设定义在 (0,) 上的函数 f (u) 在 (0,) 上
是增函数，如果 f (ax2 x)在 x [2,4]上是增函数，
求 a 的取值范围．
f (ax2 x) y f (u) u ax2 x
x [2,4]
增
(0,)
增
x[2,4] u 0
？增
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 复合函数的单调性 课件
．
二、复合函数单调性的判定
引理 若 u g(x) 在区间 (a,b)上是增函数， 其值域为 (c, d ) ，又函数 y f (u) 在区间 (c, d )上
是增函数，那么复合函数 y f [g(x)] 在区间 (a,b)上是
增函数．(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间)
任取 x1, x2 (a,b)
3．复合函数的概念：设函数 y f [g(x)] ，
则 y 是由 f 、g 复合而成的关于 x 的复合函数．
其中 u g(x) (x D,u A) 是它的内层函数，
y f (u) 是它的外层函数．
复合关系的分解练习：
1
(1) 函数 y 2 x 3 1 可以看成哪两个函数的复合，
内层函数是
1
2x 1
1增
在
[0,) 上的单调性．
在[0,)上的单调递减．
u
2．外层函数只有一种单调性，内层函数有两种单调性的复合型：
例2：写出函数 y (1) x2 2x1 的单调增区间． 3
y (1)u 减，u x2 2x 1
3
的减区间
单调增区间为(,1] ．
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 复合函数的单调性 课件
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是增函数 结论4：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函
数，则f(x)-g(x)是增函数
结论5：若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增函数，
则 n f (x), f n(x)(n 1)也是增函数
引入
溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过PH刻画的.PH的计算公式 为PH= －lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓 度，单位是摩尔/升.
1、在求函数的值域、最值、单调区间、奇偶性 时，首先必须考察函数的定义域.
2、掌握求解复合函数单调区间的一般步骤: (1)求复合函数的定义域 (2)求u=g(x)的单调区间，判断y=f (u)的单调性 (3)利用“同增异减”下结论
作业
1、求函数 y log2 (4x2 5x 1的) 单调区间.
2、求函数
y
1 2
1
x
的单调区间.
思考题：已知函数y=f (x)在R上是减函数，求 函数y=f (|1 - x|)的单调递增区间.
lg[H1+ ]也在减小，即PH 减小.
所以，随着[H ]的增大，PH减小，即溶液中氢 离子的浓度越大，溶液的酸碱度就越大.
引入
例: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减 函数，求证：f [g(x)]在[a,b]上是减函数.
证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2 ∵g(x)在[a,b]上单调递减 ∴g(x1)>g(x2) ∵ f (x)在R上递增
根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说
明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关
系;
引入
根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关 系;
解:根据对数的运算性质，有
PH
lg[H ]
lg[
H
1
]
lg 1 [H ]
在(0, )上，随着[H ]的增大，[H1 ] 减小，相应地，
答案：
单调减区间：
1 4
,
2
单调增区间：
3 2
,
1 4
求函数 f (x) log1 (2x2 x 6)的单调区间
2
求函数f (x) loga (2x2 x 6)(a 0, a 1)的单调 区间
例题讲解
例4、已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，4)上 是减函数，求实数a的取值范围
又∵ g(x1)∈R，g(x2)∈R ∴f [g(x1)]>f [g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数新源自讲解2、复合函数的单调性的规律
y=f (u)
增
u=g(x) 增 减
y=f [g(x)] 增 减
结论：同增异减
减 增减 减增
例题讲解
例2、求函数 f (x) x2 x 6 的单调区间
答案：0 a 1 或a 2 2
教辅P84 课后评价 13
练习
1、下列函数在(0,+∞)上是增函数的是 （ D）
1
A.y 5x
C.y log1 (2x 1)
2
1
B.y
1 3
x1
x1
D. y
1 2
x
2、函数 y log1 (2x 4)的递增区间是____________
2
小结：
y=f(x)保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上 去，得到y=|f(x) |
结论1：y＝f(x)(f(x) 恒不为0)，与 y
1
f ( x)的单调
性相反
结论2： y＝f(x)与y＝kf(x)，当k>0时，单调性相同；
当k<0时，单调性相反
结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则f(x)+g(x) 也
答案： 单调减区间：(-∞，-3] 单调增区间：[2，+∞)
方法总结：1、求复合函数的定义域 2、求u=g(x)的单调区间，判断 y=f (u)的单调性 3、利用“同增异减”下结论
注意：复合函数y=f [g(x)]的单调区间必然是 其定义域的子集
例题讲解
例3、求函数 f (x) log2 (2x2 x 6) 的单调区间
函数的图象变换
常用的图象变换方法有三种，即平移变换、对 称变换和伸缩变换. (1)平移变换： 左加右减，上加下减 ①由y=f(x)的图象变换得到y=f(x+a)的图象，其步骤是：
y=f(x向) 右沿(ax＜轴0向)平左移(a|＞a|0个)或单位y=f(x+a) ②由y=f(x)的图象变换得到y=f(x)+b的图象，其步骤是：
y=f(x)向下沿(by＜轴0向)平上移(b|＞b|0个)或单位y=f(x)+b
函数的图象变换
(2)对称变换： y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；
y=f(x)与y= - f(x)的图象关于x轴对称；
y=f(x)与y= -f(-x)的图象关于原点对称；
y=f(x)去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象;再作 其关于y轴对称图象，得到y=f(|x|).