第四章刚体的转动40页PPT
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定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。
d
用正负号表示方向
d
3. 角加速度
d 角加速度方向与 d 相同。 dt
加速转动 , 方向一致; 减速转动 , 方向相反
4. 角量与线量的关系
vvv rrr
aaattt
dddvvv dddttt
ddd((( rrr
dddttt
)))
rrr
ddd
dd2tdd ddtdd J
1m2l
2l
d3d
2l
3gcos
0 2l cosd0d
3g
J
mgslin
Biblioteka Baidu
l
3gsin
三、转动惯量
M J 定轴 MJ
1. 定义 Jmiri2 在（SI）中，J 的单位：kgm2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。
F＝ma
地位相当，m反映质点的平动惯
性，J反映刚体的转动惯性。
2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原
因。
3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向， 所 以用正负号表示方向。
定轴转动刚体的转动定律的应用
例１ 一个质量为 M半径为R 的定滑轮（当
N
作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固
定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体
•
而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m 由静止下
落高度h 时的速度和此时滑轮的角速度。
Mg T 1
＝ R J( J＝ 1M R 2)
2
a
： M ＝ T对 ＝ 解R M ：J 对 M ： ： M M J ＝ 对 T m T1 1 R : ＝ R M m J JR 2J T ＝ g J ＝ 1 2 对 m 对 M 1 2m m M 2 :R :m a 2m a R T g R T 1 m g m aa a a R m gRh 2 解方程得：
0 0 t5s
t
010转 0 /分 010 .7r4 ad/s
20.9rad2/s
fr
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M frR N J R m 2 R
NRmR 2 Nm R78N 4
0
N
0
作业： P149 1 , 2 , 4
例3 一根长为l 质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑
向分解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的
代数和即为这些力的合力矩;
(4) 由于刚体内质点间 的相互作用力总是成对 出现，并遵守牛顿第三 定律，所以这些力对转
F iF 1 r1 ri
F1 F r1 1 r2
F1 r1 F2
F
F1
r1
r
轴的合力矩为零，即合
r1
内力矩为零。
二、转动定律
对mi 用牛顿第二定律： F if im ia i
2. 刚体的转动
当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作 转动，该直线称转轴。
转轴
瞬时转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
转轴
定轴转动的特点：转轴相对参照系固定，刚体内所有点都 具有相同的角位移、角速度、角加速度.这些角量也称刚体 的角量。
3. 刚体的自由运动
刚体的自由运动可分解为质心的平动及绕质心轴的转动。 质心：刚体的质量中心，当刚体不大或匀质对称时，质心和 重心重合。
dddttt
rrr
aaannn
vvv222 rrr
rrr 222
刚体作匀变速转动公式:
0
0t
1t2
2
0t
2022 ( 0)
四、刚体的非定轴转动
v
o
r
A
B
B
A
B A
1 2
A
A A B B 1 2
1 2
1 2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
z
1M . 力矩F的d定义F:rsFin在平面内 MrF 大 小 M： FrsinFd
F
M
r
2. 物理意义 MrF
od P
是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、
方向和作用点对物体转动的影响。
3. 定轴转动的力矩
(1) 力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表 示力矩的方向;
(2) 若有n个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面 内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和;
(3) 若力不在垂直于转轴的平面内,则将这些力沿平面和转轴方
水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，
求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。(
解：棒下摆为加速过程，外力矩为
x
) J 1 ml 2
3
重力对O 的力矩。
O
x
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中
作用在质心所产生的力矩一样。
mg
重M力力1矩m为gcl：oM s mgxM12mgclos3gcos(为一变 ) 量
a
m
m M
g
v 2ah 4mgh v 1 4m gh
2mM
R R 2mM
2
例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转 的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而 最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ （J = mR2 ）
解：飞轮制动时有角加速度
firisin i0 F ir isii n ( m ir i2 )
令 J m iri2
转动惯量
用M表示合外力矩, 则有: M＝J 矢量式: M J
刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上 的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
说明： 1.
M
J
与
切向分量式为：F isii n fisiin m ia it
两边同乘ri
ait ri
F ir isii n fir isiin m ir i2
z
fi
Fi
i
O ri mi i
外力矩
内力矩
对所有质点求和： F i r isi i n f i r isi i ( n m i r i 2 )
3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点
的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘 积之和。
质量离散分布的刚体 J miri2
m1
r1
r2 m2
若质量连续分布 J r2dm
质量为线分布
A• •
•A •
三、描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
1. 角坐标和角位移
d
角位移
PP
x
参考
方向
P
转动平面 转轴
Qx
定轴转动的刚体中,各质点的线量一般
x 不同，但角量都相同，描述刚体整体的
运动常用角量。
d 是矢量，方向用右手螺旋法则确定。
2. 角速度
d 角速度方向用右手螺旋法则确定。 dt
d
用正负号表示方向
d
3. 角加速度
d 角加速度方向与 d 相同。 dt
加速转动 , 方向一致; 减速转动 , 方向相反
4. 角量与线量的关系
vvv rrr
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)))
rrr
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dd2tdd ddtdd J
1m2l
2l
d3d
2l
3gcos
0 2l cosd0d
3g
J
mgslin
Biblioteka Baidu
l
3gsin
三、转动惯量
M J 定轴 MJ
1. 定义 Jmiri2 在（SI）中，J 的单位：kgm2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。
F＝ma
地位相当，m反映质点的平动惯
性，J反映刚体的转动惯性。
2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原
因。
3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向， 所 以用正负号表示方向。
定轴转动刚体的转动定律的应用
例１ 一个质量为 M半径为R 的定滑轮（当
N
作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固
定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体
•
而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m 由静止下
落高度h 时的速度和此时滑轮的角速度。
Mg T 1
＝ R J( J＝ 1M R 2)
2
a
： M ＝ T对 ＝ 解R M ：J 对 M ： ： M M J ＝ 对 T m T1 1 R : ＝ R M m J JR 2J T ＝ g J ＝ 1 2 对 m 对 M 1 2m m M 2 :R :m a 2m a R T g R T 1 m g m aa a a R m gRh 2 解方程得：
0 0 t5s
t
010转 0 /分 010 .7r4 ad/s
20.9rad2/s
fr
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M frR N J R m 2 R
NRmR 2 Nm R78N 4
0
N
0
作业： P149 1 , 2 , 4
例3 一根长为l 质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑
向分解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的
代数和即为这些力的合力矩;
(4) 由于刚体内质点间 的相互作用力总是成对 出现，并遵守牛顿第三 定律，所以这些力对转
F iF 1 r1 ri
F1 F r1 1 r2
F1 r1 F2
F
F1
r1
r
轴的合力矩为零，即合
r1
内力矩为零。
二、转动定律
对mi 用牛顿第二定律： F if im ia i
2. 刚体的转动
当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作 转动，该直线称转轴。
转轴
瞬时转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
转轴
定轴转动的特点：转轴相对参照系固定，刚体内所有点都 具有相同的角位移、角速度、角加速度.这些角量也称刚体 的角量。
3. 刚体的自由运动
刚体的自由运动可分解为质心的平动及绕质心轴的转动。 质心：刚体的质量中心，当刚体不大或匀质对称时，质心和 重心重合。
dddttt
rrr
aaannn
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刚体作匀变速转动公式:
0
0t
1t2
2
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2022 ( 0)
四、刚体的非定轴转动
v
o
r
A
B
B
A
B A
1 2
A
A A B B 1 2
1 2
1 2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
z
1M . 力矩F的d定义F:rsFin在平面内 MrF 大 小 M： FrsinFd
F
M
r
2. 物理意义 MrF
od P
是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、
方向和作用点对物体转动的影响。
3. 定轴转动的力矩
(1) 力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表 示力矩的方向;
(2) 若有n个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面 内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和;
(3) 若力不在垂直于转轴的平面内,则将这些力沿平面和转轴方
水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，
求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。(
解：棒下摆为加速过程，外力矩为
x
) J 1 ml 2
3
重力对O 的力矩。
O
x
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中
作用在质心所产生的力矩一样。
mg
重M力力1矩m为gcl：oM s mgxM12mgclos3gcos(为一变 ) 量
a
m
m M
g
v 2ah 4mgh v 1 4m gh
2mM
R R 2mM
2
例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转 的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而 最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ （J = mR2 ）
解：飞轮制动时有角加速度
firisin i0 F ir isii n ( m ir i2 )
令 J m iri2
转动惯量
用M表示合外力矩, 则有: M＝J 矢量式: M J
刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上 的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
说明： 1.
M
J
与
切向分量式为：F isii n fisiin m ia it
两边同乘ri
ait ri
F ir isii n fir isiin m ir i2
z
fi
Fi
i
O ri mi i
外力矩
内力矩
对所有质点求和： F i r isi i n f i r isi i ( n m i r i 2 )
3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点
的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘 积之和。
质量离散分布的刚体 J miri2
m1
r1
r2 m2
若质量连续分布 J r2dm
质量为线分布
A• •
•A •
三、描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
1. 角坐标和角位移
d
角位移
PP
x
参考
方向
P
转动平面 转轴
Qx
定轴转动的刚体中,各质点的线量一般
x 不同，但角量都相同，描述刚体整体的
运动常用角量。
d 是矢量，方向用右手螺旋法则确定。
2. 角速度
d 角速度方向用右手螺旋法则确定。 dt