第四章刚体的转动40页PPT
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刚体的转动
2） 任一质点运动 ,, 均相同，但 v, a 不同；
32019/12/23
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
二 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做
匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速
度和加速度。
Oa an r
v
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
广东技术师范学院
2019/12/23
25rad / s 78.5rad / s
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2019/12/23
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
的方向与0相同 ；
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
由 v r v v r sin r sin 900
r 78.5m / s v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
a 0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
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§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
二 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做
匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速
度和加速度。
Oa an r
v
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
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25rad / s 78.5rad / s
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§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
的方向与0相同 ；
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
由 v r v v r sin r sin 900
r 78.5m / s v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
a 0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
第4章刚体转动
16
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M1
外力在转动平面上对转
轴的力矩使刚体发生转动
F2
j2
F 2
F 1
r2 O r1
P2 d2 d1
P1
F1 力矩 M1 = r1 × F1 j1 大小 M1 = r1 F1 sin j1
= F1 d1 =F 1 r1
方向 MM2 = r2 × F2
M2
大小 M 2 = r2F2 sin j 2
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬
时角加速度 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r
瞬时线速度
质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
的大小
2019/10/31
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
11
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质点直线运动或刚体平动 位移 速度 加速度
匀速直线运动 匀变速直线运动
刚体的定轴转动 角位移 角速度 角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
2019/10/31
12
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例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动
后式其中转m速随5时40间r变 s化1，关系为2.：0s ．求m (：1 et / )
(1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
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长江大学物理科学与技术学院
第四章 刚体的转动
主讲教师：喻秋山
2010～2011年第一学期
4-0 教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动角速度和 角加速度的物理意义，并掌握角量与线量 的关系．
大学物理 第四章 刚体转动(二)ppt课件
注意以下几点：
1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负； 3. 系统中有转动和平动，
转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律 .
例题1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两
端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所
O 'P 2 ＝ x2y＋ d2
P对Z轴的转动惯量
m O 'P 2 = m x 2 y ＋ d 2= m x 2 y 2 ＋ d 2 2 yd
= m O 2 ＋ d P 2 2 yd
J＝ m O 'P 2= m O2 ＋ P d22yd
＝ m O2 P m d2 m 2yd
，问它经过多少时间才停止转动？
w
d r R
dr
e
解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元
的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
.
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M = rdmg= grreddr
dt dθ dt d θ
有 ωdω=3gsinθdθ 2l
m,l FN
θ mg
对上式积分，利用初始条件， O
w 0wdw=032gl sind
解得： ω= 3g(1cosθ) l
.
例题3 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗
糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆 盘最初以角速度w0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转
动惯量不同。
.
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
.
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体转动惯量测量课件
改进建议
根据实验结果和讨论，提出了对 实验的改进建议，如优化实验装 置、改进数据处理方法等，以提 高实验的准确性和可靠性。
THANK YOU
感谢观看
数据。
数据处理方法
采用了适当的数学方法对实验数据 进行处理，如求平均值、计算标准 差等，以确保数据的准确性和可靠 性。
结果分析
根据处理后的数据，对刚体的转动 惯量进行了计算和分析，得出了转 动惯量与质量、半径等因素的关系 。
结果误差分析
误差来源
误差处理
对实验中可能产生的误差来源进行了 分析，如测量仪器的精度、实验操作 中的误差等。
针对误差来源和传递情况，提出了相 应的误差处理方法，如提高测量仪器 的精度、规范实验操作等。
误差传递
根据误差传播定律，对实验中各环节 的误差进行了传递和合成，得出了最 终结果的误差范围。
结果讨论与改进建议
结果讨论
对实验结果进行了深入的讨论， 包括转动惯量与质量、半径等因 素的关系，以及实验结果与其他 文献结果的比较等。
落体法是通过测量刚体在自由 落体运动中的加速度和时间， 计算出刚体的转动惯量。
落体法适用于测量大型刚体的 转动惯量，具有操作简便、精 度高等优点。
在落体法中，需要使用高精度 的测量仪器，如加速度计、时 间计数器等，以确保测量结果 的准确性。
复摆法测量刚体转动惯量
复摆法是通过测量复摆的周期和 振幅，计算出刚体的转动惯量。
实验准备
检查实验装置是否 完好，确保测量工 具准确可靠。
初始测量
测量刚体的质量和 质心位置。
数据整理
整理实验数据，计 算转动惯量。
数据处理方法
质量测量
质心位置测量
转动周期测量
转动惯量计算
根据实验结果和讨论，提出了对 实验的改进建议，如优化实验装 置、改进数据处理方法等，以提 高实验的准确性和可靠性。
THANK YOU
感谢观看
数据。
数据处理方法
采用了适当的数学方法对实验数据 进行处理，如求平均值、计算标准 差等，以确保数据的准确性和可靠 性。
结果分析
根据处理后的数据，对刚体的转动 惯量进行了计算和分析，得出了转 动惯量与质量、半径等因素的关系 。
结果误差分析
误差来源
误差处理
对实验中可能产生的误差来源进行了 分析，如测量仪器的精度、实验操作 中的误差等。
针对误差来源和传递情况，提出了相 应的误差处理方法，如提高测量仪器 的精度、规范实验操作等。
误差传递
根据误差传播定律，对实验中各环节 的误差进行了传递和合成，得出了最 终结果的误差范围。
结果讨论与改进建议
结果讨论
对实验结果进行了深入的讨论， 包括转动惯量与质量、半径等因 素的关系，以及实验结果与其他 文献结果的比较等。
落体法是通过测量刚体在自由 落体运动中的加速度和时间， 计算出刚体的转动惯量。
落体法适用于测量大型刚体的 转动惯量，具有操作简便、精 度高等优点。
在落体法中，需要使用高精度 的测量仪器，如加速度计、时 间计数器等，以确保测量结果 的准确性。
复摆法测量刚体转动惯量
复摆法是通过测量复摆的周期和 振幅，计算出刚体的转动惯量。
实验准备
检查实验装置是否 完好，确保测量工 具准确可靠。
初始测量
测量刚体的质量和 质心位置。
数据整理
整理实验数据，计 算转动惯量。
数据处理方法
质量测量
质心位置测量
转动周期测量
转动惯量计算
刚体定轴转动的转动定律力矩PPT
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k
第四章 刚体力学的定轴转动
轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
4第四章 刚体的定轴转动
七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转 动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
第4章 刚体的转动
d2t
v rω
at r
at r
an
ra
an rω2
a r 2 rω2 2
et
at v
(3) 角速度矢量
O’
O
简化 加速
减速 转动平面
4.2 刚体的定轴转动定律
4.2.1 力对转轴的力矩
v M
rv
v F
大小: M rF sin
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
例1 如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平
固定轴转动. 开始时，木杆竖直下垂. 质量m1=50g的小球 以v0=30m·s-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以 v1=10m·s-1的速度向反方向弹回. 杆长l=40cm ，木杆质量 m2=600g. 设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.
4.2.3 转动惯量
J miri2 i
J r2dm
转动惯量的单位：kg·m2
转动惯量的物理意义：转动惯性的量度
(1) 转动惯量的计算
质量离散体
i3
J miri2 m1r12 m2r22 m3r32 i 1
质量连续体 J r2dm
线分布 质量为线分布
面分布
体分布
——质量线密度
质量为面分布 质量为体分布
——质量面密度 ——质量体密度
(2) 转动惯量与下列因素有关：
A 刚体的质量；B 刚体的质量分布；C 定轴的位置。
(3) 计算转动惯量的两个定理
平行轴定理
物体绕某一转轴的转动惯量 J 等于绕过质心并与该轴平行的
第四章 刚体的转动
J0 = ∫ r d = ∫−l / 2λ d = m x x
2 +l / 2 2
λl
3
12
转动惯量的计算
因λl=m，代入得 = ，
1 2 J0 = m l 1 2
当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时， （2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有
m l JA = ∫0λ dx = x = 3 3
l 2
=ω = 78 5m/ s r .
图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为
r v 和 r 构成的平面，如 v 的方向垂直于 ω r 构成的平面，
a = ar = − .14m/ s 3 t
2
角速度
r r r r 边缘上该点的加速度 a = an +a 其中 a 的方向 t t
与 为
an =ω r = 6.16×10 m/ s
§4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
1. 刚体的角动量
图为以角速度ω绕定轴oz oz转 图为以角速度ω绕定轴oz转 动的一根均匀细棒。 动的一根均匀细棒。
z r
L
ω ∆L
i
r i
O
∆ iz L
把细棒分成许多质点，其中第i 把细棒分成许多质点，其中第i 个质点的质量为 ∆ i m
θ m R ∆ i i
定轴转动
3. 刚体的定轴转动
定轴转动： 定轴转动：转轴固定不动的转动 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 且在相同时间内转过相同的角度。 动，且在相同时间内转过相同的角度。
定轴转动
特点： 角位移，角速度和角加速度均相同； 特点： 角位移，角速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内运动， 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周 运动。 运动。
第四章刚体的定轴转动
L 2
x2dx
1
ML2
L L2
12
z
(2) 由平行轴定理：
zc L/2
C
I
I C M (
L 2
)2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
例题4-2： 求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴 的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为M。
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，
环的质量为：
dm
2rdr
M
R2
2rdr
2M R2
rdr
转动惯量：
M
dr
I
r 2dm
2M R2
R r 3dr 1 MR 2
0
2
r p
§4-4 刚体的转动定理
1、力矩：
外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，
所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。
M
f
定义：外力相对于某固定轴的力矩为：
开始运动时的角速度；
(1)棒和子弹的转动惯量：
IM
1 3
Ml 2
,
Im
m(
3 4
l
)2
9 16
ml 2
由角动量守恒：
o θ0
3l
4C
mv 3 l ( 1 Ml 2 9 ml 2 )
A
43
16
求得：
36 mv
8.88 ( rad / s )
( 16 M 27 m )l
习题4-23 一匀质木棒l = 0.40m，M=1.00kg，可绕轴o在竖直面内 无摩擦转动，开始棒处于竖直位置，一质量m=8g，
第4章刚体定轴转.ppt
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第4章刚体定轴转动
• 4.1转动方程、角速度和线速度 • 4.2功率、转速与转矩间的关系 • 小结
4.1转动方程、角速度和线速度
刚体的运动形式很多，在机械中常见的有平动、绕固定轴转动 和平面运动以曲柄连杆机构为例，如图4--1所示，当曲柄为主动件时， 曲柄OA绕轴O转动，通过连杆AB带动滑块作往复直线运动这种机构 的构件就包含上述三种运动形式:滑块B作平动，曲柄OA绕固定轴转 动，连杆是在一个固定的平面内作复杂的运动，称为平面运动由于刚 体的任何复杂运动都可以分解为平动和转动，所以平动和绕定轴转动 是刚体运动的基本形式本章只研究刚体绕定轴转动
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4.2功率、转速与转矩间的关系
由以上各式可见，当功率P一定时，F与v成反比，或M与 成反
比。例如汽车上坡时需要较大的驱动力矩M或较大的牵引力，驾驶员 就用低速挡，使汽车的速度减小，以便在一定功率的情况下产生较大 的牵引力
例4.3一台10 kW的电动机，转速n=1 500r/min，求它在额定功 率时输出的转矩
逆时针转动时， 角为正;顺时针转动时， 角为负
2
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4.1转动方程、角速度和线速度
4.1.2角速度和线速度
角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量设在瞬时t，刚
体的转角为 在瞬时t’，刚体的转角为 '，如图4--3所示则在 t=t‘-t
时间内，刚体转过了 ' 角，则比值 / t 的极值称为刚体在t
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第4章刚体定轴转动
• 4.1转动方程、角速度和线速度 • 4.2功率、转速与转矩间的关系 • 小结
4.1转动方程、角速度和线速度
刚体的运动形式很多，在机械中常见的有平动、绕固定轴转动 和平面运动以曲柄连杆机构为例，如图4--1所示，当曲柄为主动件时， 曲柄OA绕轴O转动，通过连杆AB带动滑块作往复直线运动这种机构 的构件就包含上述三种运动形式:滑块B作平动，曲柄OA绕固定轴转 动，连杆是在一个固定的平面内作复杂的运动，称为平面运动由于刚 体的任何复杂运动都可以分解为平动和转动，所以平动和绕定轴转动 是刚体运动的基本形式本章只研究刚体绕定轴转动
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4.2功率、转速与转矩间的关系
由以上各式可见，当功率P一定时，F与v成反比，或M与 成反
比。例如汽车上坡时需要较大的驱动力矩M或较大的牵引力，驾驶员 就用低速挡，使汽车的速度减小，以便在一定功率的情况下产生较大 的牵引力
例4.3一台10 kW的电动机，转速n=1 500r/min，求它在额定功 率时输出的转矩
逆时针转动时， 角为正;顺时针转动时， 角为负
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4.1转动方程、角速度和线速度
4.1.2角速度和线速度
角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量设在瞬时t，刚
体的转角为 在瞬时t’，刚体的转角为 '，如图4--3所示则在 t=t‘-t
时间内，刚体转过了 ' 角，则比值 / t 的极值称为刚体在t
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dd2tdd ddtdd J
1m2l
2l
d3d
2l
3gcos
0 2l cosd0d
3g
J
mgslin
l
3gsin
三、转动惯量
M J 定轴 MJ
1. 定义 Jmiri2 在（SI）中，J 的单位：kgm2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。
A• •
•A •
三、描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
1. 角坐标和角位移
d
角位移
PP
x
参考
方向
P
转动平面 转轴
Qx
定轴转动的刚体中,各质点的线量一般
x 不同，但角量都相同，描述刚体整体的
运动常用角量。
d 是矢量，方向用右手螺旋法则确定。
2. 角速度
d 角速度方向用右手螺旋法则确定。 dt
firisin i0 F ir isii n ( m ir i2 )
令 J m iri2
转动惯量
用M表示合外力矩, 则有: M＝J 矢量式: M J
刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上 的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
说明： 1.
M
J
与
水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，
求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。(
解：棒下摆为加速过程，外力矩为
x
) J 1 ml 2
3
重力对O 的力矩。
O
x
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中
作用在质心所产生的力矩一样。
mg
重M力力1矩m为gcl：oM s mgxM12mgclos3gcos(为一变 ) 量
2. 刚体的转动
当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作 转动，该直线称转轴。
转轴
瞬时转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
转轴
定轴转动的特点：转轴相对参照系固定，刚体内所有点都 具有相同的角位移、角速度、角加速度.这些角量也称刚体 的角量。
3. 刚体的自由运动
刚体的自由运动可分解为质心的平动及绕质心轴的转动。 质心：刚体的质量中心，当刚体不大或匀质对称时，质心和 重心重合。
F
M
r
2. 物理意义 MrF
od P
是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、
方向和作用点对物体转动的影响。
3. 定轴转动的力矩
(1) 力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表 示力矩的方向;
(2) 若有n个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面 内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和;
(3) 若力不在垂直于转轴的平面内,则将这些力沿平面和转轴方
定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。
d
用正负号表示方向
d
3. 角加速度
d 角加速度方向与 d 相同。 dt
加速转动 , 方向一致; 减速转动 , 方向相反
4. 角量与线量的关系
vvv rrr
aaattt
dddvvv dddttt
ddd((( rrr
dddttt
)))
rrr
ddd
向分解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的
代数和即为这些力的合力矩;
(4) 由于刚体内质点间 的相互作用力总是成对 出现，并遵守牛顿第三 定律，所以这些力对转
F iF 1 r1 ri
F1 F r1 1 r2
F1 r1 F2
F
F1
r1
r
轴的合力矩为零，即合
r1
内力矩为零。
二、转动定律
对mi 用牛顿第二定律： F if im ia i
a
m
m M
g
v 2ah 4mgh v 1 4m gh
2mM
R R 2mM
2
例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转 的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而 最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ （J = mR2 ）
解：飞轮制动时有角加速度
0 0 t5s
t
010转 0 /分 010 .7r4 ad/s
20.9rad2/s
fr
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M frR N J R m 2 R
NRmR 2 Nm R78N 4
0
N
0
作业： P149 1 , 2 , 4
例3 一根长为l 质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑
切向分量式为：F isii n fisiin m ia it
两边同乘ri
ait ri
F ir isii n fir isiin m ir i2
z
fi
Fi
i
O ri mi i
外力矩
内力矩
对所有质点求和： F i r isi i n f i r isi i ( n m i r i 2 )
3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点
的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘 积之和。
质量离散分布的刚体 J miri2
m1
r1
r2 m2
若质量连续分布 J r2dm
质量为线分布
dddttt
rrr
aaannn
vvv222 rrr
rrr 222
刚体作匀变速转动公式:
0
0t
1t2
2
0t
Hale Waihona Puke 2022 ( 0)四、刚体的非定轴转动
v
o
r
A
B
B
A
B A
1 2
A
A A B B 1 2
1 2
1 2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
z
1M . 力矩F的d定义F:rsFin在平面内 MrF 大 小 M： FrsinFd
定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体
•
而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m 由静止下
落高度h 时的速度和此时滑轮的角速度。
Mg T 1
＝ R J( J＝ 1M R 2)
2
a
： M ＝ T对 ＝ 解R M ：J 对 M ： ： M M J ＝ 对 T m T1 1 R : ＝ R M m J JR 2J T ＝ g J ＝ 1 2 对 m 对 M 1 2m m M 2 :R :m a 2m a R T g R T 1 m g m aa a a R m gRh 2 解方程得：
F＝ma
地位相当，m反映质点的平动惯
性，J反映刚体的转动惯性。
2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原
因。
3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向， 所 以用正负号表示方向。
定轴转动刚体的转动定律的应用
例１ 一个质量为 M半径为R 的定滑轮（当
N
作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固