线性代数二次型习题及答案
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第六章 二次型
1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1
2A ⎛⎫
⎪⎝
⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B B 合同.
证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 1
2⎛⎫
=
⎪⎝⎭
C C C ，则C 可逆，于是有
T
T 1111111
T
2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝
⎭A 与12⎛⎫
⎪⎝⎭B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称
证：由A 对称，故T =A A .
因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是
T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B
即B 为对称矩阵.
3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.
证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使
E AM M =T
记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使
T 11diag(,
,)n D μμ==Q B Q
T 11,
,.
n μμ=B M BM 其中为的特征值
令P=MQ ，则有
D BP P
E AP P ==T T ,
,A B 同时合同对角阵.
4．设二次型2111
()m
i in n i f a x a x ==+
+∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的
秩等于()r A .
证：方法一 将二次型f 写成如下形式：
2111
()m
i ij j in n i f a x a x a x ==+
++
+∑
设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =
则 111111
1
j
n i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A
于是 1T T T T
T 11(,,,,)m
i m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑A A A A A A A A A A
故 2
111()m
i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211
[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑
=11111
[(,,
)(,,
)]i m
j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑=1T
11
(,,
)()m
j n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑A A
=X T (A T A )X
因为A A T 为对称矩阵，所以A A T 就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．
方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是 =Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则
222T T T 11()m
i m i f y y y ===+
+==∑Y Y X A A X .
因为A A T 为对称矩阵，所以A A T 就是所求的二次型f 的表示矩
阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．
5．设A 为实对称可逆阵，T f x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.
证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.
因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即
T T T T T 1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y
22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）
因为A 是正交矩阵，显然T 1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.
⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是
T T ()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY 其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .
显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T =A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A 是正交矩阵.
6．设A 为实对称阵，||0 因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使 T 1diag(, ,, ,)i n λλλ==P AP D 其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0 使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ξP ，则有 T T 0(0,,1,,0)10⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ξAξP AP 1(0,,1,0,0)k n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0k λ=<