正余弦函数的定义与诱导公式
三角函数的诱导公式和和差公式
三角函数的诱导公式和和差公式三角函数是数学中常用的一类函数，其中最为基础和重要的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数运算和计算问题时，经常会用到诱导公式和和差公式，它们是将一个角的三角函数表达式化简为另外一个角的三角函数表达式的重要工具。
本文将介绍三角函数的诱导公式和和差公式的定义和使用方法，并通过实例加以说明。
一、诱导公式1. 正弦函数和余弦函数的诱导公式对于任意角θ，根据单位圆的定义可知，在单位圆上有一点P(x,y)对应着角θ的弧度值，其中x和y分别为点P的横坐标和纵坐标。
根据正弦函数sinθ的定义可得sinθ = y同样，根据余弦函数cosθ的定义可得cosθ = x考虑到单位圆上的对称性，对于角θ而言，将角θ绕原点旋转π/2（即90°）可以得到一个新角θ + π/2。
根据单位圆的性质，新角对应的点Q(x',y')的坐标为（-y,x）。
由此可以得到，对于角θ而言，正弦函数sin(θ + π/2)和余弦函数cos(θ + π/2)有如下关系：si n(θ + π/2) = y' = -xcos(θ + π/2) = x' = y这就是正弦函数和余弦函数的诱导公式。
2. 正切函数的诱导公式正切函数tanθ的定义为tanθ = sinθ / cosθ根据正弦函数和余弦函数的诱导公式，可以得到：tan(θ + π/2) = sin(θ + π/2) / cos(θ + π/2)= -x / y由此可以推导出正切函数的诱导公式。
二、和差公式1. 正弦函数的和差公式对于两个角α和β，正弦函数sin(α ± β)的和差公式可以表示为：sin(α ± β) = sinα × cosβ ± cosα × sinβ2. 余弦函数的和差公式对于两个角α和β，余弦函数cos(α ± β)的和差公式可以表示为：cos(α ± β) = cosα × cosβ ∓ sinα × sinβ3. 正切函数的和差公式对于两个角α和β，正切函数tan(α ± β)的和差公式可以表示为：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα × tanβ)三、实例应用下面通过具体的实例应用来说明诱导公式和和差公式的使用。
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。
下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。
1.正弦函数定义：在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此正弦函数的定义可以表示为：sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y2.余弦函数定义：同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此余弦函数的定义可以表示为：cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。
接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。
设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：sinθ = -sinα4.余弦函数的诱导公式：同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：cosθ = cosα通过正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式，我们可以在单位圆上准确地计算任意角的正弦和余弦值。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式1.正弦函数和余弦函数的诱导公式：正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们之间存在一个非常重要的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cos(θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正弦函数，得到的结果是对应角的余弦函数。
通过这个公式，我们可以推导出一些其他的三角函数的诱导公式。
2.正切函数的诱导公式：正切函数是正弦函数和余弦函数的商：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正切函数，得到的结果是对应角的余切函数的倒数。
3.余切函数的诱导公式：余切函数是正切函数的倒数：cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到余切函数的诱导公式：cot(θ) = 1 / tan(θ) = 1 / [cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)] = sin(π/2 - θ) / cos(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入余切函数，得到的结果是对应角的正切函数的倒数。
4.正弦函数和余弦函数的平方和差公式：sin(θ ± ϕ) = sin(θ)cos(ϕ) ± cos(θ)sin(ϕ)cos(θ ± ϕ) = cos(θ)cos(ϕ) ∓ sin(θ)sin(ϕ)这两个公式称为正弦函数和余弦函数的平方和差公式，它们揭示了正弦函数和余弦函数的和角和差角的关系。
通过这两个公式，我们可以将任意两个角的和、差转化为正弦函数和余弦函数的乘积，从而进行更复杂的运算。
这里的正弦函数和余弦函数的平方和差公式可以通过三角函数的诱导公式和欧拉公式来证明。
3知识讲解_正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式_基础
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，能由正弦函数、余弦函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解正弦函数、余弦函数的周期性.3．理解正弦与余弦诱导公式的推导过程，掌握诱导公式的应用． 【要点梳理】要点一：任意角的正弦函数、余弦函数 1．单位圆定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆称为单位圆． 作用：单位圆是研究三角函数的有利工具． 2．任意角的正弦、余弦函数的定义在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．若用x 表示角的大小，y 表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y ＝sinx ，y ＝cos x (x ∈R )．要点诠释：(1)三角函数值只与角α的终边所在位置有关，与P 点在终边上的位置无关．(2)设角α终边上任一点P (x ，y )，||OP r =，则sin y r α=，cos x rα=． (3)定义域：sin y x =和cos y x =的定义域都是R ．值域：sin y x =和cos y x =的值域都是[-1，1]． 要点二：正弦、余弦函数在各象限的符号在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三全负，四余弦． 要点诠释：口诀的含义是在第一象限正弦、余弦函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限为负，在第四象限余弦值为正．要点三：三角函数的周期性 1．周期函数的定义及理解(1)定义：一般地，对于函数f (x )，若存在一个非零的常数T ，对定义域内任意一个x ，都有f (x+T )＝f (x )．我们就把f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期．(2)规定：对于周期函数，若所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．今后提到的函数周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期． (3)理解：①以T (T ≠0)为周期的函数f (x )，对于定义域M 内的任意x 值，x+T 也必属于M ，否则f (x+T )没有意义．因此，若一个周期函数的周期T ＞0，则其定义域必无上界；若T ＜0，则其定义域必无下界． ②周期函数的定义中“对定义域内的任意一个x ”的“任意一个x ”的含义是指定义域内的所有的x值，即如果有一个0x ，使00()()f x T f x +≠，那么T 就不是函数()f x 的周期． ③周期函数定义中的“T ”是不为0的实数． 2．周期函数()y f x =具有的特殊性质(拓展)(1)定义域：在周期函数()y f x =中，T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则x+kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)解析式：当T 是函数()y f x =的周期时，对定义域中任意x ，总有()()f x T f x +=都成立． (3)周期函数的周期有无限多个．若T 是周期，则对定义域中的任意x ，总有f (x+kT )＝f (x+(k -1)T )＝f (x+(k -2)T )＝…＝f (x )都成立，即f (x+kT )＝f (x )，所以kT (k ∈Z )也是周期．(4)值域：由于对定义域中的任意x ，总有()()f x T f x +=都成立，则周期函数()y f x =的值域与函数()y f x =在一个周期内的值域相同．(5)图像：每隔一个周期，函数()y f x =的图像重复出现，即周而复始．由此可得判断周期函数的方法：图像法，当函数()y f x =的图像每隔一段重复出现时，函数()y f x =是周期函数． 要点四：正弦、余弦函数的诱导公式 l ．公式内容(1)sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=(2)sin()sin cos()cos sin()sin cos()cos απααπααπααπα+=-+=-⎧⎨-=--=-⎩，，(3)sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-(4)sin cos cos sin 22sin cos cos sin 22ππααααππαααα⎧⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，(5)sin(2)sin k παα+=，cos(2)cos ()k k παα+=∈Z要点诠释：这五组公式都是将任意角的正弦、余弦值转化为求锐角的正、余弦值． 2．公式记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”． ①角一定要写成：()2kk πα±∈Z 的形式，则k 为奇数时，函数名改变，k 为偶数时，函数名不变．②“象限”是指将α看作锐角时，()2kk πα±∈Z 所在象限的原函数值的符号．3．与正弦、余弦函数有关的计算、求值、证明的解题技巧：诱导公式的作用在于将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，然后再利用公式转化为0°～360°的三角函数，最后再利用公式转化为锐角的三角函数，最后运用特殊角的三角函数值或查表求解，它是三角变换的基础． （1）求值利用诱导公式求值有两种题型：一是无条件的求值问题；二是有条件的求值问题．解题技巧是：整体观察角的结构特征，将所求角的三角函数值中的角，转化为所给角与特殊角的和与差的形式，实现由未知向已知方面的转化，这需要一定的观察能力，和掌握一些角的常用变形技巧． （2）化简利用诱导公式化简的思路是：利用诱导公式和题设条件逐一化简，化简到不能再化简为止．化简的基本要求是：项数尽量少，次数尽量低，能不含分母的尽量不含分母，能不含根号的尽量不含根号，能合并的尽量合并，能约分的就约分，能求值的就求值．【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α的值．【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】35，45-或35-，45【解析】 5||r a ==． 若a ＞0，则r=5a ，α是第二象限角，则33sin 55y a r a α===， 44cos 55x a r a α-===-，若a ＜0，则r=－5a ，α是第四象限角，则3sin 5α=-，4cos 5α=．【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想．三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题．举一反三：【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α的值．12或12-【解析】因为角α的终边在直线y =上，所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点．则2||r a ==（a ≠0）．若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以sin α==，1cos 22a a α==． 若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a，所以sin α==1cos 22a a α=-=-． 类型二：三角函数的符号例2．判断下列各三角函数值的符号 （1）17sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）sin269°；（3）cos191°． 【答案】（1）负（2）负（3）负 【解析】（1）因为177466πππ-=-+，且76π是第三象限角，所以176π-是第三象限角．所以17sin 06π⎛⎫-< ⎪⎝⎭． （2）∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0． （3）∵191°是第三象限的角，∴cos191°＜0． 举一反三： 【变式1】确定下列各三角函数值的符号. （1）sin532︒；（2）23cos12π；（3）sin3.1（4）sin(cos )cos(sin )θθ，其中θ是第二象限角.【答案】（1）正（2）正（3）正（4）负【变式2】若sin α＜0，cos α＞0，则α是第几象限角？ 【答案】四 【解析】因为sin α＜0，所以α为第三或第四象限角， 又cos α＞0，所以α为第一或第四象限角， 所以α为第四象限角． 类型三：周期函数 例3．已知1(1)()f x f x +=-，求证：()f x 是周期函数，并求出它的一个周期． 【思路点拨】根据题目所给条件，构造函数，推导出符合周期函数定义的式子，即可得出结论．【解析】由题意知：11(2)()1(1)()f x f x f x f x +=-=-=+-．∴ ()f x 为周期函数且2是它的一个周期．【总结升华】证明某一函数是周期函数，要善于根据所给条件的式子结构进行分析、变形． 举一反三：【变式1】以下几个命题中，正确的是( )①存在函数()f x 的定义域中有某个自变量0x ，使00()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数；②存在实数T ，使得对()f x 定义域内的任意一个x ，都满足()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】①由周期函数的定义可知()()f x T f x +=对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则(2)(())()()f x T f x T T f x T f x +=++=+=，故2T 也是周期，不正确． 类型四：利用诱导公式进行求值、化简和证明例4．求sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)-+--的值．【思路点拨】注意观察角，将角化为360,180,360k ααα⋅+±-等形式后再利用诱导公式求解． 【答案】1 【解析】原式=sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)-⨯+⋅⨯+-⨯+⋅⨯+ =sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)--⋅+--⋅- =sin 60cos30cos60sin30+11122⨯= 【总结升华】本题主要考查诱导公式，可先将负角化为正角，再化为0360的角，最后化为锐角求值．举一反三：【变式1】（1）2515cossin 34ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）sin810°+sin750°+cos360°【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值．【答案】（1）12（2）52【解析】（1）原式cos 8sin 434ππππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 342ππ=+=+=． （2）原式= sin(2×360°+90°)+sin(2×360°+30°)+cos(0°+360°)=sin90°+sin30°+cos0°=52． 【总结升华】 在弧度制下，与角α终边相同的角为2k πα+，k ∈Z ，在角度制下终边相同的角为k ·360°+α，k ∈Z ．利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值．例5．化简：sin 250cos 790+°°．=1==-．【总结升华】利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，而后再合并、去根号、约分求值．举一反三：【变式1】cos315sin(30)sin 225cos 480+-++°°°°． 【答案】1-【解析】(1)cos315sin(30)sin 225cos 480+-++°°°°cos45sin30sin 45cos60=---°°°°1112222=---=-．【变式2】化简：3131cos()cos()33k k παπα+-++-，其中k ∈Z ． 【思路点拨】由题目中的角的结构特点可知，不能直接利用诱导公式，必须对k 进行讨论之后才能用诱导公式进行化简．【解析】当2,k n n z =∈时， 原式=cos()cos()33k k πππαπα+++--=cos(2)cos(2)33n n πππαπα+++--=cos()cos()33ππαα++--=2cos()3πα+当21,k n n z =+∈时原式=cos()cos()33k k πππαπα+++--=cos[(21)]cos[(21)]33n n πππαπα+++++--=cos()cos()33πππαπα+++--=cos()cos()33ππαα-+-+ =2cos()3πα-+类型四：单位圆的应用例6．在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合： （1）3sin α≥；（2）1cos 2α≤-． 【思路点拨】作出满足31sin ,cos 2αα==-的角的终边的范围，然后根据条件确定α的集合． 【解析】（1）作直线32y =交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为222,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．（2）作直线12x =-交单位圆于C 、D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域如上图②中阴影部分，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【总结升华】 应用单位圆，解sin sin x a x a ≥≤或时需作直线y a =；解cos cos x a x a ≥≤或时需作直线x a =，这种方法简单、直观，体现了数形结合的思想．。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式是数学中关于三角函数之间的一组等式，通过这组等式可以在不依赖计算器或表格的情况下直接计算出一些角度的三角函数值，从而简化计算。
诱导公式的基本思想是通过将一个角度的三角函数转化为另一个角度的三角函数来求解。
一、正弦和余弦的诱导公式：根据正弦函数和余弦函数的定义，对于任意角度θ，有：sin θ = y/rcos θ = x/r其中，x，y，r代表直角三角形中的边长。
利用勾股定理可以得到x²+y²=r²。
现在考虑角度θ+90°，即sin(θ+90°)和cos(θ+90°)的值。
根据正弦函数和余弦函数的定义，有：sin(θ+90°) = y’/rcos(θ+90°) = x’/r其中，x’，y’，r由右边角相等可知。
然后考虑直角三角形中的边长关系：y’=xx’=-y(由右边角相等，即90°+(-θ))代入sin(θ+90°)和cos(θ+90°)，得到：sin(θ+90°) = x/r，即sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -y/r，即cos(θ+90°) = -si nθ得到正弦的诱导公式：sin(θ+90°) = cosθ；得到余弦的诱导公式：cos(θ+90°) = -sinθ。
利用这两个诱导公式，我们可以在计算中互相转化正弦和余弦的值。
二、正切和余切的诱导公式：正切和余切的定义是：tan θ = sin θ / cos θcot θ = cos θ / sin θ。
根据正弦和余弦的诱导公式，我们可以得到：sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -sinθ。
将这两个式子带入正切和余切的定义，有：tan(θ+90°) = sin(θ+90°) / cos(θ+90°) = cosθ / (-sinθ) = -cotθcot(θ+90°) = cos(θ+90°) / sin(θ+90°) = (-sinθ) /cosθ = -tanθ。
正弦余弦正切的诱导公式 三角函数
正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。
其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。
三角函数的诱导公式解析与应用
三角函数的诱导公式解析与应用三角函数是数学中常见且重要的函数之一，在解决几何问题以及物理、工程等实际应用中扮演着重要的角色。
在三角函数的学习过程中，诱导公式是我们必须要掌握和应用的一部分内容。
本文将对三角函数的诱导公式进行解析，并探讨其在数学和实际应用中的具体应用。
一、三角函数的诱导公式解析1. 正弦函数的诱导公式正弦函数是三角函数中最为常见的函数之一，其诱导公式为：sin(x ± π) = sin(x)cos(π) ± cos(x)sin(π)根据诱导公式，我们可以得出几个重要的结论：- sin(x + π) = -sin(x)- sin(x - π) = -sin(x)- sin(x + 2π) = sin(x)- sin(x - 2π) = sin(x)这些结论表明，通过加减π或2π，正弦函数的值可以保持不变或者取负值。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的函数，其诱导公式为：cos(x ± π) = cos(x)cos(π) ∓ sin(x)sin(π)同样地，根据诱导公式，我们可以得出以下结论：- cos(x + π) = -cos(x)- cos(x - π) = -cos(x)- cos(x + 2π) = cos(x)- cos(x - 2π) = cos(x)3. 正切函数的诱导公式正切函数是三角函数中较为特殊的函数，其诱导公式为：tan(x ± π) = (tan(x) ± tan(π)) / (1 ∓ tan(x)tan(π))其中，tan(π) = 0，因此可以得到以下结论：- tan(x + π) = tan(x)- tan(x - π) = tan(x)- tan(x + 2π) = tan(x)- tan(x - 2π) = tan(x)二、三角函数的诱导公式应用1. 几何问题中的应用三角函数的诱导公式在解决几何问题中有着广泛的应用。
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式1.三角函数诱导公式：正弦诱导公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)余弦诱导公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)正切诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b))这些诱导公式可以用来简化计算，将三角函数的运算转化为其他三角函数的运算，从而简化复杂的计算过程。
2.正弦定理：正弦定理用于求解具有三个边的三角形的角度。
根据正弦定理，三角形的三个边的比例等于其对应角度的正弦值的比例。
正弦定理的公式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，A、B、C为对应的三个角的度数。
正弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
3.余弦定理：余弦定理用于求解具有三个边或两边一角的三角形的边长。
根据余弦定理，三角形的一个边的平方等于另外两边的平方的和减去这两边长度的乘积与这两边所夹角的余弦值的两倍的乘积。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，C为夹在a、b之间的角的度数。
余弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
4.基本三角函数公式：基本三角函数公式包括正弦、余弦、正切的定义和性质。
正弦公式：sin(a) = opposite/hypotenuse = a/c余弦公式：cos(a) = adjacent/hypotenuse = b/c正切公式：tan(a) = opposite/adjacent = a/b其中，a、b为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
这些基本公式在解决直角三角形问题中非常常用。
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数是任意角三角函数中两个最基本的函数。
它们的定义可以通过单位圆来得出，并且它们之间存在着重要的诱导公式。
首先，我们来看正弦函数的定义。
对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义正弦函数sin(θ) 为点P 的纵坐标值。
也就是说，sin(θ) = y / r，其中 y 是点 P 的纵坐标，r 是单位圆的半径。
接下来，我们来看余弦函数的定义。
与正弦函数类似，对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义余弦函数cos(θ) 为点 P 的横坐标值。
也就是说，cos(θ) = x / r，其中x 是点 P 的横坐标，r 是单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的定义可以用下图来表示：```θr * cos(θ) ， r----------------，--------------------r * sin(θ)```在上图中，θ 是角度，r 是单位圆的半径，P 是对应的点。
点 P 的横坐标为r * cos(θ)，纵坐标为r * sin(θ)。
接下来我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
诱导公式是指，如果我们知道一个角度的正弦值或余弦值，我们可以通过其他角度的正弦函数和余弦函数来计算。
首先，我们来看正弦函数的诱导公式。
对于任意角度θ，我们可以通过一个有用的等式来计算sin(θ)。
这个等式叫做“和差化积公式”或者“诱导公式”。
根据这个公式，我们有 sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)。
如果我们令a = θ 和b = 90°，那么我们可以得到sin(θ +90°) = sin(θ) * cos(90°) + cos(θ) * sin(90°)。
根据单位圆上的图像，我们知道cos(90°)=0，sin(90°)=1，所以这个等式简化为sin(θ + 90°) = cos(θ)。
4知识讲解_正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式_提高
2
cos，cos
2
sin
(4)
sin
2
cos，cos
2
sin
(5) sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos (k Z)
要点诠释：
这五组公式都是将任意角的正弦、余弦值转化为求锐角的正、余弦值．
2．公式记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”．
①角一定要写成： k (k Z) 的形式，则 k 为奇数时，函数名改变，k 为偶数时，函数名不 2
sin
3a
3
，
2a 2
cos a 1 。 2a 2
若 a＜0，则 为第三象限角，r=－2a，所以 sin 3a 3 ， cos a 1 。
2a 2
2a 2
【总结升华】 三角函数值的大小与点 P 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意
3
把函数 y 3x 的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三 4
【变式 2】已知角 的终边落在 y=|2x|上，求 cos 值。
【答案】 5 或 5
5
5
【解析】 y=|2x|， y 2x
取点 P（1，2）， P' (1, 2)
r | OP || OP' | 5
cos x 1 5 或 5
r 55
5
类型二：三角函数的符号
例 2．（1）若 sin ＜0，cos ＞0，则 是第几象限角？ （2）若 sin2 ＞0，且 cos ＜0，试确定 终边所在象限？
1
②周期函数的定义中“对定义域内的任意一个 x”的“任意一个 x”的含义是指定义域内的所有的 x
值，即如果有一个 x0 ，使 f (x0 T ) f (x0 ) ，那么 T 就不是函数 f (x) 的周期．
任意角三角函数 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式尝试回忆1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合。
2、特别注意：角度与弧度不要混用。
如090,k k Z π+∈，应写成018090,k k Z ⋅+∈或,2k k Z ππ+∈3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？ 探究新知 1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。
单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。
单位圆可根据需要移到其它地方。
2、任意角的正、余弦函数定义在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作v=sin α; 点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos α.通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值域为设点P （a,b ）是角α终边上除原点之外的任意一点，记r =则定义sin ,cos .b ar rαα==更具有一般性。
3、三角函数值的符号根据定义，三角函数值的符号仅与点P 的纵、横坐标的符号有关。
sinα在一、二象限为正，三、四象限为负；cos α在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。
例1功能：会求任意角的三角函数值。
其步骤（1）画角；（2）求交点坐标。
可联立方程221,.x y y x ⎧+=⎨=-⎩解得；（3）求值。
4、单位圆与周期性 在单位圆中找到角,2,4666αααππ++等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；（2）交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。
从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。
即从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等。
即sin(2)sin ,.cos(2)cos ,.k x x k Z k x x k Z ππ+=∈+=∈说明：对于任意一个角x ，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。
三角函数的诱导公式与正弦定理
三角函数的诱导公式与正弦定理三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将重点介绍三角函数的诱导公式和正弦定理。
一、三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式是将一个三角函数表示为不同角度三角函数的关系式。
其中最常用的诱导公式有以下几个：1. 正弦函数的诱导公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ2. 余弦函数的诱导公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ3. 正切函数的诱导公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)这些诱导公式非常有用，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而方便计算和分析。
二、正弦定理正弦定理是三角学中的重要定理之一，它描述了一个三角形的边长和角度之间的关系。
对于任意三角形ABC，其三边长度分别为a、b和c，对应的内角为A、B和C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a/sinA表示边长a与角A对应的正弦比的比值，b/sinB和c/sinC同理。
正弦定理可以用来求解各种三角形问题，如已知三边长度求角度，已知两边和夹角求第三边长度等。
通过正弦定理，我们可以推导出许多有用的三角形性质和公式，从而在实际问题中应用。
结语三角函数的诱导公式和正弦定理是数学中不可或缺的重要内容。
它们的应用不仅仅局限于纯粹的数学领域，还涉及到物理、工程、地理等各个领域。
掌握了这些定理和公式，我们能更好地理解和解决与三角函数有关的问题。
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三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式
三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式三角公式是解决三角形问题的基本工具，包括正弦定理、余弦定理、诱导公式、二倍角公式、半角公式、积化和差公式和和差化积公式等。
下面我们详细介绍这些公式。
1. 正弦定理（Sine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C满足如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式可以用于求解已知三角形任意两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与其对应的角A、B、C满足如下关系：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个公式可以用于求解已知三角形两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。
3. 诱导公式（Tangent Addition Formula）：对于角A和角B，有如下关系：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这个公式可以用于求解角的和与差的正切值。
4. 二倍角公式（Double Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(2A) = 2*sinA*cosAcos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2*tanA / (1 - tan^2(A))这个公式可以用于求解角的两倍角的正弦、余弦和正切值。
5. 半角公式（Half Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这个公式可以用于求解角的半角的正弦、余弦和正切值。
三角函数诱导公式总结
三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式是指将一个三角函数的一个角度用另外一个角度的三角函数表示的公式。
它们是三角函数的基本性质，可以用于简化计算和推导其他三角函数的性质。
在这篇文章中，我们将总结常见的三角函数诱导公式，并给出相关推导和示例。
一、正弦函数的诱导公式正弦函数的诱导公式是：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个公式可以通过将A角和B角的正弦函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB解：我们知道sin(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
首先，我们展开sin(A + B)的定义：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这样，我们就得到了sin(A + B)的诱导公式。
二、余弦函数的诱导公式余弦函数的诱导公式是：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB这个公式可以通过将A角和B角的余弦函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例2：证明cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB解：我们知道cos(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
首先，我们展开cos(A + B)的定义：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB这样，我们就得到了cos(A + B)的诱导公式。
三、正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式是：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这个公式可以通过将A角和B角的正切函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例3：证明tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)解：我们知道tan(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
正弦函数和余弦函数的定义教案
1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义（必修4 第一章三角函数）《正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式》教案一、教学目标1：知识与技能观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。
培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的能力。
2:过程与方法理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念。
通过初中知识的回顾，探索新知，会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式。
通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一。
3:情感态度与价值观由锐角的正,余弦函数推广到任意鱼的正,余弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题,解决问题的能力。
一二、学情分析初中运算以具体数字为主，运算量小；高中以字母为主，更加抽象(也更接近数学的本质)，并且引入对字母的分类讨论，对学生的发散思维能力提出了很高要求,教师讲的太多，会导致学生产生依赖心理，时间一长，会形成恶性循环；教师讲的太多，往往拔苗助长，适得其反；让学生积极动脑思考，过程虽然慢一些，但可以培养学生捕捉问题的敏捷性，对以后的数学学习非常有利，可谓“磨刀不误砍柴工”。
教师要从各方面引导学习数学要深入下去，不能浅尝辄止，半途而废，要适时鼓励学生，给学生以学好数学的勇气和信心。
鼓励学生不要怕出错，大胆尝试，大胆地写，给学生敢写、敢做树立自信心。
在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，在第一册学生已经掌握了函数的有关对应的知识和概念,同时已经具备了一定的自学能力,这在我们今天学校用“五点法”作图提供了基础，让学生动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。
积极地鼓励学生自主的去完成作业。
遇到有疑问的问题积极的解决。
三角函数的诱导公式与应用
三角函数的诱导公式与应用三角函数是数学中非常重要的概念，广泛应用于物理、工程等领域。
为了推导和简化三角函数之间的关系，人们发现了许多有用的公式，称之为三角函数的诱导公式。
本文将介绍三角函数的诱导公式以及其应用。
一、正弦函数与余弦函数的诱导公式1. 正弦函数的诱导公式正弦函数的诱导公式是通过将一个角的正弦函数表示成另一个角的正弦函数来简化计算。
假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：sin(A) = sin(π/2 - B) = cos(B)通过正弦函数的诱导公式，我们可以将一个角的正弦函数转化为另一个角的余弦函数。
这在计算中十分有用。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数的诱导公式是通过将一个角的余弦函数表示成另一个角的余弦函数来简化计算。
同样假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：cos(A) = cos(π/2 - B) = sin(B)通过余弦函数的诱导公式，我们可以将一个角的余弦函数转化为另一个角的正弦函数。
这在解决问题时非常有用。
二、正切函数的诱导公式与倒数公式1. 正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式是通过将一个角的正切函数表示成其他两个角的正切函数之商来简化计算。
假设有两个角A和B，它们满足以下关系：A = π/2 - B。
则有以下诱导公式：tan(A) = tan(π/2 - B) = 1/tan(B)通过正切函数的诱导公式，我们可以将一个角的正切函数表示成其他两个角的正切函数之商。
这在解决实际问题时非常有用。
2. 正切函数的倒数公式正切函数的倒数公式是通过将一个角的正切函数的倒数表示成该角的余切函数来简化计算。
假设有一个角A，那么有以下倒数公式：1/tan(A) = cot(A)通过正切函数的倒数公式，我们可以将正切函数的倒数转化为余切函数，进一步简化计算。
三、三角函数的应用三角函数的诱导公式在物理、工程等领域有着广泛的应用。
高中三角函数公式及诱导公式大全
高中三角函数公式及诱导公式大全以下是高中三角函数公式及诱导公式的大全：1.三角函数的基本关系：•正弦函数（sin）：sinθ = 对边/斜边•余弦函数（cos）：cosθ = 邻边/斜边•正切函数（tan）：tanθ = 对边/邻边2.三角函数的诱导公式：•正弦函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθ•余弦函数的诱导公式：cos(-θ) = cosθ•正切函数的诱导公式：tan(-θ) = -tanθ•正弦函数的互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθ•余弦函数的互余公式：cos(π/2 - θ) = sinθ•正切函数的互余公式：tan(π/2 - θ) = 1/tanθ3.三角函数的和差公式：•正弦函数的和差公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ•余弦函数的和差公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ•正切函数的和差公式：tan(θ ± φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓tanθtanφ)4.三角函数的倍角公式：•正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ•余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ•正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)5.三角函数的半角公式：•正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]•余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]•正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]6.三角函数的和的积公式：•正弦函数的和的积公式：sinθ + sinφ = 2sin((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)•余弦函数的和的积公式：cosθ + cosφ = 2cos((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)•正弦函数的差的积公式：sinθ - sinφ = 2cos((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)•余弦函数的差的积公式：cosθ - cosφ = -2sin((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)这些公式是三角函数中常见的重要公式，掌握它们能够帮助解决各种三角函数相关的数学问题，并在数学推导和计算中提供便利。
三角函数的诱导公式与和差公式
三角函数的诱导公式与和差公式三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理和工程学等多个领域中都有广泛的应用。
在学习三角函数的过程中，诱导公式和和差公式是必不可少的重要工具。
本文将对三角函数的诱导公式和和差公式进行详细的介绍和说明。
一、三角函数的诱导公式诱导公式是指通过已知的三角函数值，推导出其他三角函数的值的公式。
常见的三角函数诱导公式包括：1. 正弦函数的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθ这个公式可以通过从一个直角三角形的角度角度角度视角的观点来证明。
假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为1，另外一条直角边的长度为sinθ，则斜边的长度为cos(π/2 - θ)。
因此，cos(π/2 - θ) = sinθ。
2. 余弦函数的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθ这个公式的证明可以类似地通过直角三角形的角度视角得到。
如果假设一条直角边的长度为1，斜边的长度为cosθ，则另外一条直角边的长度为sin(π/2 - θ)。
因此，sin(π/2 - θ) = cosθ。
3. 正切函数的诱导公式：tan(π/4 - θ) = (1 - tanθ) / (1 + tanθ)该公式的证明可以通过两个正弦函数诱导公式的结合来得到。
首先，用正弦函数的诱导公式将分母的正切函数替换为两个正弦函数的比值，然后再利用和差公式进行简化。
二、三角函数的和差公式和差公式是指将两个三角函数之和或之差转化为其他三角函数的公式。
常见的三角函数和差公式包括：1. 正弦函数的和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB这个公式可以通过利用两个角度之和的正弦函数的展开式得到。
根据三角函数展开式和加法公式，将两个角度的正弦函数展开并进行合并，即可得到正弦函数的和差公式。
2. 余弦函数的和差公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式的证明可以通过利用两个角度之和的余弦函数的展开式得到，方法与正弦函数的和差公式类似。
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美博教育一对一讲义教师： 学生： 日期： 星期： 时段：课 题 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式学习目标与分析1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念2、会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式学习重点1.正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；2.掌握诱导公式，包括推导、记忆、应用（求值、化简等）；学习方法理解记忆法学习内容与过程教师分析与批改1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。
单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。
单位圆可根据需要移到其它地方。
2、任意角的正、余弦函数定义在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作v=sin α; 点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cosα.通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表示函数值，因此 定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值域为[-1，1]。
设点P （a,b ）是角α终边上除原点之外的任意一点，记22r a b =+则定义sin ,cos .b ar rαα==更具有一般性。
3、三角函数值的符号 根据定义，三角函数值的符号仅与点P 的纵、横坐标的符号有关。
sin α在一、二象限为正，三、四象限为负；cos α在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。
4、单位圆与周期性在单位圆中找到角,2,4666αααππ++等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；（2）交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。
从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。
即sin(4)sin(2)sin ,cos(4)cos(2)cos .666666ααααααππππ+=+=+=+=从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等。
即sin(2)sin ,.cos(2)cos ,.k x x k Z k x x k Z ππ+=∈+=∈说明：对于任意一个角x ，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值xy P(a,b) α O角函数特有的，一般函数也有周期性。
周期函数的自变量不一定是角。
2π是sin ,y x x R =∈的周期，则2,,0k k Z k π∈≠都是它的周期，并且它的所有周期中有一个最小的正数2π，称2π为它的最小正周期。
同理2π也是cos ,y x x R =∈的最小正周期。
有的周期函数没有最小正周期，如()2,.f x x R =∈任意一个正数都是它的周期，但没有一个最小的正数。
周期函数的严格定义：一般地，对于函数()f x ，如果存在非零常数T ,对定义域内的任意一个x 值，都有()()f x T f x +=，则称()f x 为周期函数，T 为它的一个周期。
5.诱导公式1、角α与α-的正、余弦函数关系sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=2、角α与απ±的正、余弦函数关系sin()sin ,cos()cos .sin()sin ,cos()cos .απααπααπααπα+=-+=--=--=-3、角α与πα-的正、余弦函数关系sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=-也可以由1、2两组公式推出sin()sin()(sin )sin ,cos()cos()cos .πααπααπααπα-=--=--=-=-=-4、角α与2πα+的正、余弦函数关系sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=-5、角α与2πα-的正、余弦函数关系sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=-= 6、任意角α的正、余弦函数的诱导公式 （1）2k πα+sin(2)sin ,cos(2)cos .()k k k Z πααπαα+=+=∈（2）α-sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=（3）2πα-sin(2)sin ,cos(2)cos πααπαα-=--=x yo P (x ,y )P 1 (-x ,-y )xyoP (x ,y )P 1 (x ,-y )P 2 (-x ,y )P (x ,y )MxyoP 1 (-y , x )M 1 P (x ,y )y M xoP 1 (y , x )M 1y =xsin()sin ,cos()cos .πααπαα+=-+=- sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=-（5）2πα±sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=-sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=-= (6) 32πα±33sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=-+=33sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=--=-2k πα+、2πα-、α-、πα± 记忆规律：“函数名不变，符号看象限”。
即 它们的正、余弦函数值等于α的同名三角函数值，加上把α看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。
如把α看成锐角时，2πα-终边在第四象限，其余弦值为正，函数名称不变，所以cos(2)cos παα-=2πα±，32πα± 记忆规律：“函数名改变，符号看象限”。
即它们的正、余弦函数值等于α的“余”名三角函数值，加上把α看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。
“余”名：“正则余，余则正”。
如把α看成锐角时，2πα+终边在第二象限，其余弦值为负，函数名称改变，所以cos()sin 2παα+=-。
7、诱导公式的作用（1）可把任意角的三角函数值转化为0~2π的三角函数值求出。
一般地：负角化正角（α-），再化成为0~2π（2k πα+），再化成为0~2π求出。
第二象限用πα-，第三象限用πα+，第四象限用2.πα-角 函数 2k πα+ πα+ α- πα-2πα- 2πα+ 正弦 sin αsin α- sin α-sin αcos α cos α 余弦 cos α cos α- cos α cos α-sin αsin α-正切tan αtan αtan α- tan α- / /k π记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. .5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方和关系）； sin tan cos ααα=（商数关系）. 1、下列各式不正确的是 （ ）A ．sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ）A ．－23 mB ．－32 mC ．23 mD ．32m3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ）A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 （ ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππ D ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为（ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－66、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是( )7．设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为( ) （ ）A ．211aa ++ B ．－211aa ++ C ．211aa +- D ．211aa +-8．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为( )（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα9.求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ．10.若sin （125°－α）= 1213,则sin （α＋55°）= ．11.cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7= ．12.已知,1)sin(=+βα则=+++)32sin()2sin(βαβα .13、已知 3)tan(=+απ, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．15、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求)43()65()31()41(f g f g +++的值.16．设)(x f 满足)2|(|cos sin 4)(sin 3)sin (π≤⋅=+-x x x x f x f ,（１）求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的最大值．《诱导公式》参考答案一、选择题 ABAC BABC二、填空题9.1． 10、1312． 11、0． 12、0三、解答题 13、7．14、25．15、22)41(=g ， 5312()1,()sin()1,6233g f π=+=-+1)4sin()43(+-=πf ， 故原式=3．16、解析：（１）由已知等式(sin )3(sin )4sin cos f x f x x x -+=⋅ ①得x x x f x f cos sin 4)sin (3)(sin -=-+ ② 由３⨯①－②，得8x x x f cos sin 16)(sin ⋅=，故212)(x x x f -=．（２）对01x ≤≤，将函数212)(x x x f -=的解析式变形，得2242()2(1)2f x x x x x =-=-+＝22112()24x --+，当22x =时，max 1.f =。