二元一次方程组的运用2(分配问题、配套问题、工程问题)
初一数学：二元一次方程组实际应用：调配问题模板
1. 工程问题等量关系：工作效率×工作时间=工作总量说明：这一类型题目中往往会出现两种工作效率，两种工作时间，以及两种工作总量，根据题意列出两个等式即可解决问题。
2. 浓度问题等量关系：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂题型：（1）稀释问题（2）浓缩问题（3）不同浓度的液体混合后求混合后液体的浓度注意：稀释后液体质量会增大，溶解在液体中的物质质量不变浓缩后液体质量会减小，溶解在液体中的物质质量不变3. 调运问题等量关系：A车数目×A车费用+B车数目×B车费用=总费用A车数目×A车运货量×运货次数+B车数目×B车运货量×运货次数=货物总量说明：这类问题以运货的形式出现，用轮船或卡车运货，题目中会出现不同的运输工具，不同的运货总量，不同的运货时间和费用。
4. 配套问题（1）这类问题涉及的产品一般由A、B两个部件构成，而为了配套，这两个部件必须满足一个比例关系。
例如：生产一件商品需要2个部件A，3个部件B，那么我们生产部件A和部件B的总数之比就是2：3，才能保证生产出的产品配套。
（2）另一方面涉及一种材料做成不同部件的数目不同。
例如：一张铁皮可以做10个部件A或30个部件B。
我们要根据1和2两方面来找等量关系，从而列出两个等式来解决问题。
例题1 有两种药水，一种浓度为60％，另一种浓度为90％，现要配制浓度为70％的药水300克，问每种药水各需多少克？解析：根据两种药水共300克及配置前后溶质的质量不变，可以列出两个方程。
答案：解：设浓度为60％的药水x克，浓度为90％的药水y克。
由题意，得609030073000x y x y ⎧⎨+=⨯+=⎩％％％ 解得：200100x y =⎧⎨=⎩答：浓度为60％的药水200克，浓度为90％的药水100克. 点拨：抓住浓度问题中的等量关系是解题的关键。
例题2 小兰在玩具厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分。
二元一次方程组的应用 和差倍分与配套问题 说课
二元一次方程组的应用和差倍分与配套问题说课二元一次方程组是数学中的一种常见问题类型。
它可以用来解决许多实际问题，如两个物品的价格、两个人的年龄等。
在解决二元一次方程组问题时，我们可以使用和差倍分法和配套问题方法。
首先，我们来介绍一下和差倍分法。
这种方法适用于求解形如$x+y=a$和$x-y=b$的二元一次方程组。
我们可以将两个方程相加或相减，得到一个新的方程，然后通过倍分法解出其中一个未知数，再代入原来的方程组中解出另一个未知数。
例如，在下面这个方程组中：$$begin{cases}x+y=15x-y=5end{cases}$$我们可以将两个方程相加，得到：$$2x=20$$然后，我们将$x$解出来，得到$x=10$。
接着，我们代入其中一个方程，例如$x+y=15$，解出$y$，得到$y=5$。
因此，方程组的解为$(10,5)$。
接下来，我们来介绍一下配套问题方法。
这种方法适用于求解形如$x+y=a$和$xy=b$的二元一次方程组。
我们可以通过设法将一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入原方程组，再解出未知数。
例如，在下面这个方程组中：$$begin{cases}x+y=10xy=21end{cases}$$我们可以设$x$和$y$的和为$t$，即$x+y=t$。
然后，我们将$t$代入到$xy=21$中，得到：$$x(t-x)=21$$移项得：$$x^2-tx+21=0$$接着，我们使用求根公式，解出$x$的值。
因为$x$和$y$是对称的，所以我们可以用$t-x$得到$y$的值。
因此，方程组的解为$(3,7)$和$(7,3)$。
通过和差倍分法和配套问题方法，我们可以解决许多二元一次方程组问题，为实际问题的解决提供了重要的数学工具。
(完整版)二元一次方程组应用题的常见类型
（二元一次方程组实际应用〔1〕（列方程解应用题的根本关系量（〔1〕行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆（水速度=静水速度—水流速度（2〕工程问题：工作效率×工作时间=工作量（3〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（4〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间（二元一次方程组解决实际问题的根本步骤（1、审题，搞清量和待求量，分析数量关系.〔审题，寻找等量关系〕（2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．〔设未知数，列方程组〕（3、列出方程组并求解，得到答案．〔解方程组〕（4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．〔检验,答〕（列方程组解应用题的常见题型（1〕和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量（2〕产品配套问题：加工总量成比例（3〕速度问题：速度×时间=路程（4〕航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类（1．顺流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度+水〔风〕速（2．逆流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度--水〔风〕速（5〕工程问题：工作量=工作效率×工作时间（一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问（题（6〕增长率问题：原量×〔1＋增长率〕=增长后的量，原量×〔1＋减少率〕（=减少后的量（7〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（8〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率（9〕利润问题：利润=售价—进价，利润率=〔售价—进价〕÷进价×100%（10〕盈亏问题：关键从盈〔过剩〕、亏〔缺乏〕两个角度把握事物的总量（11〕数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12〕几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13〕年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的【典题精析】例1〔南京市〕某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得x y 50,6x4y230.x15,解得，35.y故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2〔四川省眉山市〕某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利〔元〕100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨〔两种加工不能同时进行〕．〔1〕如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成以下表格：销售方式全部直接全部粗加工尽量精加工，剩余局部销售后销售直接销售获利〔元〕〔2〕如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，那么应如何分配加工时间？解：〔1〕全部直接销售获利为：100×140=14000〔元〕；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000〔元〕；尽量精加工，剩余局部直接销售获利为：450×〔6×18〕＋100×〔140－6×18〕=51800〔元〕.〔2〕设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.由题意，得x y15,6x16y140.x10,解得，y 5.故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.1、小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的3、〔分配问题〕某幼儿园分萍果，假设每人3个，那么剩2个，假设每人4个，邮票各买了多小？解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票那么有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，题中的两个相等关系：萍果有y个=总枚数1、10分邮票的枚数可列方程为：+20分邮票的枚数题中的两个相等关系：1、萍果总数可列方程为：2、萍果总数=每人分=3个+2、10分邮票的总价+=全可列方程为：部邮票的总价可列方程为：10X+=4、〔金融分配问题〕需要用多少每千克售元的糖果才能与每千克售元的糖果混合成每千克售糖果为x千克，每千克售元的杂拌糖200千克？解：设每千克售元的糖果为y千克元的2、小兰在玩具工厂劳动，做题中的两个相等关系：4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个元的糖果销售总价+=1、每千克售小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时可列方程为：间？2、每千克售元的糖果重量+=题中的两个相等关系：可列方程为：1、做4个小狗的时间+=3时42分可列方程为：2、+做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：二元一次方程组实际应用〔1〕〔李老师〕姓名：一、和差倍分例1、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，那么乙盒球就是甲盒球数的6倍，假设从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？例2、我区某学校原方案向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原方案的120%，高中学生捐赠了原方案的115%，问初中学生和高中学生各比原方案多捐赠了图书多少册？例3、(2021年浙江省宁波市)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表〞生活用水阶梯式计费价格表的一局部信息：小王家2021年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元,求a,b的值自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a超过17吨不超过30吨的局部b超过30吨的局部例4、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，方案撤除一局部旧校舍，建造新校舍，撤除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.方案在年内撤除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了方案的80%，而撤除旧校舍那么超过了方案的10%，结果恰好完成了原方案的拆、建总面积.1〕求：原方案拆、建面积各是多少平方米？2〕假设绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？同步练习：1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，假设设男生人数为x人，女生人数为y人，那么可列方程组为2、甲乙两数的和为10，其差为2，假设设甲数为x，乙数为y，那么可列方程组为3、某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y所满足的方程为4、学校购置35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，那么列方程组，方程组的解是5、一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y，那么列的二元一次方程组为6、〔2021广东肇庆〕顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，那么到两地旅游的人数各分别为7、〔2021湖北咸宁〕某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，那么入住单人间和双人间各5个共需元．8、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，那么这个队胜了场，平了场，负了场。
关于二元一次方程组的工程问题
二元一次方程组是高中数学中的重要内容，也是工程领域中常见的数学问题之一。
在工程问题中，二元一次方程组常常用来描述两个或多个变量之间的关系，例如工程设计中的力和位移、温度和时间等。
我将从简单到复杂，由浅入深地探讨二元一次方程组在工程问题中的应用。
1. 了解二元一次方程组在工程问题中，常常会遇到两个未知数的关系，例如两个力的合成、两个变量的比例关系等。
此时，我们可以通过列方程的方式来解决问题。
二元一次方程组通常可以用以下形式表示：\[ \begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases} \]在这个方程组中，\(a, b, c, d, e, f\)为已知数，\(x, y\)为未知数。
通过解二元一次方程组，可以求得\(x, y\)的值，从而解决工程问题中的未知变量关系。
2. 工程问题中的应用举例在土木工程中，常常需要计算桥梁或建筑物受力的情况。
假设有一座桥梁上承受着两个力，分别为\(F_1\)和\(F_2\)，它们的合力为\(F\)，方向和大小都是未知的。
我们可以通过列出受力平衡的方程来求解\(F_1\)和\(F_2\)的大小和方向。
又如在化工生产中，温度和时间之间的关系常常是一个二元一次方程组。
假设一种化学反应的温度与反应时间呈线性关系，我们可以通过记录实验数据，建立二元一次方程组来描述它们之间的关系，从而预测反应的进行情况和最终产物的性质。
3. 总结与展望通过上面的实例可以看出，二元一次方程组在工程问题中有着广泛的应用。
工程师们常常需要利用数学工具来分析和解决复杂的问题，而二元一次方程组正是其中一种重要的工具。
从求解桥梁受力到化工生产的温度控制，二元一次方程组的应用使工程问题的解决变得更加精确和高效。
未来，随着工程技术的不断发展，二元一次方程组定将在工程领域中发挥越来越重要的作用。
个人观点上，我认为掌握和深入理解二元一次方程组是工程师们必备的技能之一。
它不仅可以帮助我们更好地分析和解决工程问题，也可以培养我们的逻辑思维能力和数学建模能力。
配套问题二元一次方程解题技巧
配套问题二元一次方程解题技巧在学习数学中，解二元一次方程是一个重要的基础知识点。
二元一次方程即含有两个未知数的一次方程，一般形式为 ax + by = c，其中 a、b、c为已知数。
解二元一次方程的过程需要运用一些具体的技巧和方法，下面将结合具体例题介绍解题技巧。
把握方程的性质在解题时，首先需要了解二元一次方程的一些基本性质。
对于方程ax + by = c，其中a、b不同时为0，能够通过变换求解x或y的值，此时两个未知数具有对称性，可以相互替换。
解方程的思路通常是找到一元一次方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，再代入求解。
通过消元法解题一种常见的二元一次方程解题方法是消元法。
当已知一个方程的x或y的系数为1时，可以直接将这个方程代入另外一个方程进行消元。
假设有二元一次方程组：$$ \\begin{align*} 2x - y &= 1 \\\\ 3x + 2y &= 11 \\end{align*} $$观察可知，第一个方程中y的系数已为-1，直接代入第二个方程可得：2y=5从而解出$y = \\frac{5}{2}$，再代回第一个方程即可得到x=3。
这种消元法能够简化方程组，缩小解题的范围。
利用加法法解题除了消元法外，加法法也是解二元一次方程的一种常用方法。
通过将两个方程相加或相减，可以消除一个未知数，从而求解另一个未知数值。
假设有二元一次方程组：$$ \\begin{align*} 2x + 3y &= 5 \\\\ 3x - 2y &= 7 \\end{align*} $$通过将两个方程相加可得：5x=12解出$x = \\frac{12}{5}$，再代回任意一个方程即可求解出y的值。
深入研究常见类型题目解二元一次方程的过程中，需要深入研究一些常见类型的题目，例如“轻重平衡”、“捆绳子”等问题，这些题目常常可以转换为二元一次方程组的形式。
通过多练习这类题目，可以锻炼解题的思维能力和技巧，提高对方程解题的熟练程度。
(完整版)数学人教版七年级下册二元一次方程实际应用
二元一次方程组的应用一、方案设计1、“5?12”汶川大地震后，全国各族人民均伸出救助之手，增援灾区人民抗震救灾．现有两批救灾物质从泰州出发，第一批 360t，用 6 节火车皮和 15 辆汽车正好装完；第二批440t，用8 节火车皮和10 辆汽车正好装完．据相关统计检查，每吨救灾物质用火车皮装运需花费 20 元，用汽车装运需花费 90 元．（ 1）每节火车车皮和每辆汽车均匀各能装多少物质（单位：t）（2）若此刻 560t 的救灾物质要运往灾区，如用相同的火车皮和汽车装运，试问有几种运输方案？（假定每节火车皮和每辆汽车都以标准载重量满载）（3）在（2）的条件下，假如你负责此次救灾物质的调运，应怎样安排调运方案能够使总花费较少．2、集体购置公园门票票价以下：购票人数1～5051～100100 人以上每人门票 /元50 元48 元45 元今有甲、乙两个旅游团，已知甲旅游团人数少于 50 人，乙旅游团人数不超出 100 人．若分别购票，两旅游团合计对付门票费5110 元，若合在一同作为一个集体购票，总计对付门票费 4725 元．（1）请你判断乙团的人数能否也少于 50 人；（2）甲、乙两个旅游团各有多少人？（ 3）假如乙旅游团有 a 人因有其余活动不可以参加该公园的游乐，已知 10≤ a≤20．那么，应当怎样购票，才能使两旅游团合计对付的门票费最少？3、某牛奶加工厂现有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获收益500元，制成酸奶销售，每吨可获收益1200 元，制成奶片销售，每吨可赢利2000元．该厂的生产能力是：如制成酸奶，每日可加工 3 吨，制成奶片，每日可加工1 吨，受人员限制，两种加工方式不行同时进行，受气温限制，这批牛奶需在4天内所有销售或加工完成，为此，该厂设计了两种方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余鲜奶直接销售；方案二：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰巧 4 天达成．解答以下问题：（ 1）求出方案一的收益；（2）求出方案二的收益；（3）试比较（ 1）、（ 2）的结果，你以为应选择哪一种方案可赢利最多？4、商场计划拨款 9 万元，从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家生产三种不一样型号的电视机，出厂价分别为甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500元．（ 1）若商场同时购进此中两种不一样型号的电视机共50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案．（ 2）若商场用 9 万元同时购进三种不一样型号的电视机50 台，请你研究一下能否可行？若可行，请给出设计方案；若不行行，请说明原因．二．经济型问题：1、甲、乙两家企业共有 150 名工人，甲企业每名工人月薪资为 1200 元，乙企业每名工人月薪资为 1500 元，两家企业每个月需付给工人薪资合计 19.5 万元．（ 1）求甲、乙企业分别有多少名工人？（ 2）经营一段时间后发现，乙企业工人人均月产值是甲企业工人的 3.2 倍，于是甲企业决定内部调整，选拔了本企业部分工人到新的岗位工作．调整后，原岗位工人和新岗位工人的人均月产值分别为调整前的 1.2 倍和 4 倍，且甲企业新岗位工人的月生产总值不超出乙企业月生产总值的 40%，甲企业的月生产总值许多于乙企业的月生产总值，求甲企业选拔到新岗位有多少人？（3）在（ 2）的条件下，甲企业决定取出 10 万元所有用于奖赏本企业工人，每人的奖金不低于 500 元，且每名新岗位工人的奖金高于原岗位工人的奖金．若以整百元为单位发放，请直接写出奖金发放方案．2、某旅馆有若干间住宅，住宿记录供给了以下信息：① 4 月 2 日所有住满，一天住宿费收入为 3600 元；② 4 月 3 日有 10 间房空着，一天住宿费收人为 2800 元；③该旅馆每间房每日收费标准相同．（1）求该旅馆共有多少间住宅，每间住宅每日收费多少元？（2）经过市场检查发现，每个住宅每日的订价每增添 10 元，就会有一个房间安闲；己知该旅馆安闲房间每日每间花费 10 元，有游旅居住宅间每日每间再增添 20 元的其余花费，问房价定为多少元时，该旅馆一天的收益最大？3.已知某电脑企业有 A 型、 B 型、 C 型三种型号的电脑，其价钱分别为 A 型每台价钱分别为 6000 元，B 型每台 4000 元，C 型每台 2500 元．某商场计划将 100500 元钱所有用于从该电脑企业购进此中两种型号的电脑共36 台。
二元一次方程组中的“配套问题”
二元一次方程组中的“配套问题”
在做一次方程组的应用题时，很多同学对于“配套”问题一筹莫展，对于这种“配套”问题如何解答呢？往往我们可以根据数量关系列比例来求解。
今天就来列举“配套”问题的具体做法。
分析：由题意，加工的总镜架数=加工镜架的人数×72，加工的总镜片数=加工镜片的人数×96，根据常识，总镜框数：总镜片数=1：2，利用比例求解。
分析：由题意，打坯的总数=打坯的人数×5，磨光的总数=磨光的人数×3，由题意，打坯：磨光=1：1，利用比例求解。
分析：由题意，甲零件总数=加工甲的人数×16，乙零件的总数=加工乙的人数×21，由题意，甲零件总数：乙零件的总数=5：3，利用比例求解。
分析：(1)由题意，桌子总数=加工桌子的人数×4，椅子总数=加工椅子的人数×10，根据常识，双人桌子：椅子=1：2，利用比例求解。
分析：(2)由题意，如图，桌子：椅子=3：8，利用比例求解。
在做应用题时，往往可以利用已知量的数量关系设比例求解，从而使解题思路更加清晰，用“已知”求“未知”。
二元一次方程组的应用
二元一次方程组的应用二元一次方程组是数学中常见的问题形式，可以通过解方程组来求解未知数的取值。
在实际生活和工作中，二元一次方程组有着广泛的应用。
本文将讨论二元一次方程组的一些常见应用场景。
一、消费问题在购物中，我们常常需要计算多个商品的总价。
假设商品A的价格为x元，商品B的价格为y元，购买A商品m件，B商品n件，总花费为p元。
此时可以列出如下二元一次方程组：mx + ny = p (1)m + n = t (2)其中，t为商品的总件数，p为总花费金额。
通过求解方程组，可以得到商品A和商品B的价格。
二、速度问题在物理学中，速度问题通常为二元一次方程组的典型应用。
设一个物体的速度恒定不变，物体在t秒内运动了s米，根据匀速运动的定义，可以得到如下方程组：vt - s = 0 (3)v' - v = 0 (4)其中，v为物体的速度，s为物体的位移，v'为物体的平均速度。
通过解方程组，可以求解物体的速度和位移。
三、投资问题在投资领域，经常需要计算不同投资项目的收益率。
假设我们有两个投资项目A和B，投资A的金额为x元，投资B的金额为y元，A项目的收益率为r1，B项目的收益率为r2，可以列出如下方程组：rx = r1x + r2y (5)x + y = t (6)其中，t为总投资金额。
通过求解方程组，可以得到投资项目A和B的收益率。
四、运动员的成绩在体育竞技中，运动员的成绩常常可以用二元一次方程组来表示。
假设运动员A和运动员B分别参加了两个项目，A在第一个项目中获得了x分，在第二个项目中获得了y分，B在第一个项目中获得了p分，在第二个项目中获得了q分。
根据成绩的计算方法，可以列出如下方程组：x + y = t (7)p + q = t (8)其中，t为满分。
通过解方程组，可以得到运动员A和运动员B在两个项目中的得分情况。
五、人员分配问题在人员分配和调度问题中，可以利用二元一次方程组来求解不同人数的分配。
二元一次方程组及实际问题应用
二元一次方程组及实际问题应用
二元一次方程组是由两个二元一次方程构成的方程组。
一个二元一次方程的一般形式为:
ax + by = c
其中，a、b、c为实数，且a与b不全为0。
一元一次方程组是指由两个这样的方程组成的方程组。
二元一次方程组及其求解在实际问题中有广泛的应用，例如:
1. 解决经济问题：经济学中常常使用二元一次方程组来描述供需关系、价格变化等。
通过求解方程组可以得到供求平衡点、市场均衡价格等。
2. 解决几何问题：几何学中常常需要求解含有两个未知数的方程组来求解几何问题，如求交点、平行线等。
3. 解决物理问题：在物理学中，二元一次方程组的应用非常广泛。
例如，求解加速度、速度、位移等问题都可以转化为求解方程组。
4. 解决工程问题：工程学中常常使用二元一次方程组来描述电路、力学等问题。
通过求解方程组可以计算电流、电压、力的大小等。
用二元一次方程组解决配套问题
购票人数 每人门票价
1～50人 13元
51～100人 100人以上
11元
9元
解：设初一(1)班有x 人，初一(2)班有y人，则
x + y = 104， 13x +11 y = 1240.
解得
x 48,
y
56.
答:初一(1)班有48人，初一(2)班有56人.
解:设用水标准A为x m3,小红一家超标使用了ym3 的水,则
x + y = 12, 1.3x + 2.9y = 22.
x 8,
解得
y
4.
答:用水标准A为8 m3,小红一家超标使用了4m3 的水.
课本第43页习题7.4第1、2题
2.长风乐园的门票价格规定如下表所列.某校初一(1)、(2)两 个班共104人去游长风乐园,其中(1)班人数较少,不到50人,(2) 班人数较多,有50多人.经估算,如果两班都以班为单位分别购 票，则一共应付1240元；如果两班联合起来,作为一个团体 购票,则可以节省不少钱.问两班各有多少名学生?
激趣导入，明确目标
7.4 实践与探索 （一）
学习目标 激趣导入，明确目标
• 1、知识与技能目标: • 进一步掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，会
分析题目中的数量关系，寻找题目中的“相等关系”，能列二元 一次方程组解决有关“配套”问题； • 2、过程与方法目标： • 能利用数形结合思想来解决问题，培养多角度分析问题的习 惯和团结协作精神，培养理论联系实际的能力，提高分析问题、 解决问题的能力： • 3、情感态度与价值观目标: • 通过实际问题的探究和实践活动，体验数学知识源于生活又 实践于生活，从现实生活的经历与体验出发，从而激发对生活的 热爱和对数学问题的兴趣，了解数学知识的功能与价值，形成主 动学习的态度。激励学生感恩父母。
二元一次方程(组)应用题专题讲解及练习(附答案)
实际问题与二元一次方程组（一） 要点一.常见的一些等量关系 1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价. 要点二.实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案．例题讲解题型一.和差倍分问题例1.电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？【跟踪训练】根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（ ）A ．7元B ．35元C ．45元D ．50元题型二.配套问题例2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【跟踪训练】某家具厂生产一种方桌，设计时13m的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有103m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 题型三.工程问题例3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?题型4.利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲24 36乙33 48（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？【跟踪训练】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗专题练习（一）一、选择题1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) .A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（）A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) .A．赔了10元 B．赚了10元C．赔了约7元 D．赚了约7元5.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的数分别为（）A．50人，40人 B．30人，60人C．40人，50人 D．60人，30人6.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( ) .A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．8．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．9．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.10．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．11．如图，3个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为9cm，8个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为14cm，则100个这样的纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ cm．12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票张儿童票张。
二元一次方程组二元一次方程组的应用
详细描述
利润最大化问题通常是每个生产商所追求的目标。通 过建立二元一次方程组来表示这个问题，我们可以找 到最优的生产策略，以实现最大的利润。
05
二元一次方程组的应用场 景三：几何问题
三角形问题
总结词
二元一次方程组在三角形问题中有着广泛的应用，可以 通过建立方程来求解三角形的边长、面积等问题。
详细描述
A可以给B一部分钱，而自己保留另一部分 。这种分配方式是基于比例的，而不是绝对
的。
时间问题
总结词：时间计算
详细描述：时间问题也是日常生活中常见的应用场景 之一。例如，假设一个人早上8点出发，他需要在下午 5点到达目的地。那么他需要计算从早上8点到下午5 点的时间间隔，以便安排他的行程。这可以通过简单 的减法计算得出，即5（下午） - 8（早上）= 7小时 。
二元一次方程组的应用
2023-11-07
目录
• 引言 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的应用场景一：
行程问题 • 二元一次方程组的应用场景二：
生产问题
目录
• 二元一次方程组的应用场景三： 几何问题
• 二元一次方程组的应用场景四： 日常生活中的问题
01
引言
背景介绍
二元一次方程组是数学中一种重要的代数方程组形式，它涉及到两个未知数和两 个等式。
详细描述
在矩形问题中，我们通常会用二元一次方程组来表示边长之间的关系。比如，设矩形的长为x，宽为y，则矩形 的周长为2x+2y，面积为中心思想的矩形面积公式xy。通过建立方程组并求解，我们可以得到矩形的周长和面 积等属性值。
圆的问题
总结词
圆是一种常见的几何图形，具有无边无际的特点。利用二元一次方程组可以求解圆的半径、面积等问 题。
二元一次方程组分类应用题（二）
（浓度分配问题）1、要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？2、有两种药水，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，现要配制浓度为70%的药水300克，问每种各需多少克（金融分配问题）1、需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？ 2、小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的邮票各买了多小？ （几何分配问题）1、如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米（材料分配问题）1、一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？2、某服装厂要生产一批同样型号的运动服，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，现有此种布料600米，请你帮助设计一下，该如何分配布料，才能使运动服成套而不致于浪费，能生产多少套运动服？3、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐需甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？（和差倍问题）1、学校的篮球比足球数的2倍少3个，篮球数与足球数的比为3：2，求这两种球队各是多少个？2、一次篮,排球比赛,共有48个队,520名运动员参加,其中篮球队每队10名,排球队每队12名,求篮,排球各有多少队参赛？3、一次篮、排球比赛，共有48个队，520名运动员参加，其中篮球队每队10名，排球队每队12名，求篮、排球各有多少队参赛？4、有甲、乙两种金属，甲金属的16分之一和乙金属的33分之一重量相等，而乙金属的55分之一比甲金属的40分之一重7克，求两种金属各重多少克？5、某厂第二车间的人数比第一车间的人数的五分之四少30人.如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的四分之三.问这两个车间各有多少人？6、一条公路，第一天修了全程的8分之一多5米；第二天修了全程的5分之一少14米，还剩63米，求这条公路有多长？7、3 种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。
七年级数学下册《用二元一次方程组解决配套问题》教案、教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以学生熟悉的生活场景为背景，提出一个关于物品价格的问题，引导学生思考如何解决。
教师出示问题：“小华的生日礼物有两件，分别是衣服和鞋子。如果衣服的价格是x元，鞋子的价格是y元，已知衣服和鞋子的总价是100元，且衣服的价格是鞋子的2倍。请问小华的衣服和鞋子各是多少元？”
在教学过程中，教师应注重培养学生的团队合作精神，鼓励学生发表自己的观点，尊重学生的思考成果。同时，教师应及时给予学生反馈，指导学生调整学习策略，提高学习效果。
二、学情分析
七年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了线性方程的知识，并具备初步的解决问题的能力。在此基础上，学生对二元一次方程组的学习将面临以下挑战：
3.教师总结：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识，并对本节课的教学效果进行评价。
五、作业布置
为了巩固学生对二元一次方程组知识的学习，培养他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础题：
（1）根据课堂所学的消元法和代入法，求解以下二元一次方程组：
① 2x + 3y = 8，x - y = 1
② 5x - 4y = 3，3x + 2y = 19
2.掌握消元法、代入法等解题方法，并能灵活运用解决实际问题。
3.培养学生从多个角度分析问题，提高解题策略的灵活性。
教学设想：
1.采用情境教学法，以实际问题导入课程，激发学生的学习兴趣。例如，可以设置一个关于物品搭配的问题，让学生思考如何用二元一次方程组解决。
（1）引入生活案例：小华的生日礼物有两件，分别是衣服和鞋子。如果衣服的价格是x元，鞋子的价格是y元，已知衣服和鞋子的总价是100元，且衣服的价格是鞋子的2倍。请问小华的衣服和鞋子各是多少元？
二元一次方程组的运用2(分配问题、配套问题、工程问题)
解得
a
1 10
b
1 15
∴单独请甲组做，要10天做完，需付款6600×10＝66000元，
单独请乙组做，要15天做完，需付款2400×15＝36000元，
故请乙组单独做费用最少。
答：请乙组单独做费用最少。
和生产流程，每天可生产这种工作服200套， 这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量 多生产25套，求订做的工作服是几套？要求 的期限是几天？
解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天， 依题意，得 4 x=150y
5x+25=200（y-1）
解得
x=3375 y=18
点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个 基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率” 以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工 作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工 作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
解：(1)设甲公司单独做一天商店应付x元，乙公司单独做一天商店应
付y元，依题意得：
6x 6 y 54000 4x 9 y 48000
解得
x 6600
y
2400
答：甲公司单独做一天商店应付6600元，乙公司单独做一天商店应付 2400元。
6、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周
11 3 7
x y 20, 3y 4x.
解得x
y
84 7
11 3 7
由于解是分数,所以若白卡纸不套裁, 8张白卡纸做 盒身,可做16个盒身,则最多能做成16个包装盒;
若可套裁,用8张做盒身,可做8×2=16(个)盒身; 11张做盒底盖,可做11×3=33(个)盒底盖;
将余下的一张白卡纸剪成两半, 一半做1个盒身, 另一半做1个盒底盖,则共可做盒身17个,盒底盖 34个,正好配成17个包装盒,较充分地利用了材料.
二元一次方程组解决配套问题
解：设甲乙两人的速度分 别为xm/min、ym/min 根据题意，得
2.5(x+y)=400
甲、乙两人在周长为 400ｍ的环形跑道上练 跑，如果相向出发，每 隔2.5min相遇一次
A
B
解：设甲乙两人的速度分 别为xm/min、ym/min 根据题意，得
2.5(x+y)=400 10(X-Y)=400
列表分析：
产品类型 盒身 盒底 白卡纸张数 单张纸生产个数 总产量 2 3
白卡纸张数和为20
盒底的个数=盒身 的个数的2倍
用做盒身的白卡纸张数+用做盒底的白卡纸张数=20 盒底的个数= 盒身的个数×2
。 解:设用x张白卡纸做盒身,用y张制盒底, 则共制盒身2x个,共制盒底3y个. 根据题意 ,得
列表分析：
产品类型 螺钉 螺母 生产人数 单人生产 总产量 1200 2000
人数和为22人
螺钉总产量：螺 母总产量=1:2
生产螺母人数＋生产螺钉人数=22 螺母数量=螺钉数量 ×2
解：设用x立方米做桌面，y立方米做桌腿， 则可以做桌面50x个，做桌腿300y条。根据 题意 ，得 x+y=5 解得 根据题意 ， 得 4×50x=300y X=3 Y=2
若甲车先出发1ｈ后 乙车出发，则乙车 出发后5ｈ追上甲车
若甲车先开出30ｋｍ后乙 车出发，则乙车出发4ｈ 后乙车所走的路程比甲车 所走路程多10ｋｍ．
x
4y
5x
30km
4x
例2.一列快车长230米，一列慢 车长220米，若两车同向而行， 快车从追上慢车时开始到离开慢 车，需90秒钟；若两车相向而行， 快车从与慢车相遇时到离开慢车， 只需18秒钟，问快车和慢车的速 度各是多少？
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4独请甲组做，要10天做完，需付款6600×10＝66000元， 单独请乙组做，要15天做完，需付款2400×15＝36000元， 故请乙组单独做费用最少。 答：请乙组单独做费用最少。
解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天， 4 依题意，得 x=150y 5 x+25=200（y-1）
解得
x=3375 y=18
点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个 基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以 及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效 率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大 小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
x 3y
(2)底盖总数是盒身总数的2倍,正好配套.
+
y
=20
=
( 2x ) ×2
4 x 8 7 解得 y 11 3 7
解:设用x张白卡纸做盒身,y张白卡纸做盒底盖,则
x y 20, 3 y 4 x.
x y 20, 3 y 4 x.
答:设同学有8人,铅笔有44枝.
3、要用20张白卡纸做包装盒,每一张白卡纸可以做盒身2个,或是做盒底盖3个. 如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒,那么能否把这些白卡纸分成两 部分,一部分做盒身,一部分做底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套? 分析:设用x张白卡纸做盒身,y张白卡纸做盒底盖. (1)做盒身的白卡纸张数与做盒底盖的白卡纸张数的和等于20张.
作业： 1.若干学生住宿,若每间住4人则余20人,若每间住8人,则有一间不空也不 满,问宿舍几间,学生多少人? 2、甲、乙两人要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2 天，则还有60个无法完成，若两人合作3天，则可超产20个，问甲、乙 两人每天各加工多少个零件？ 3、甲、乙两人同时加工一批零件，前3个小时两人共加工126件，后5小 时中甲先花1个小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，结果 在5小时内，甲比乙多加工10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？ 4、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣 的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布 料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
二元一次方程组的应用 （分配问题、配套问题、工程问题）
1、某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若 每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为 y组，则列方程组为 （ ） A、 B、
C、
D、
2.第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每各取4枝, 其余的人每人取3枝,则还剩16枝;若有1人只取2枝,则其余 的人恰好每人各可得6枝,问同学有多少人?铅笔有多少枝? 解:设同学有x人,铅笔有y枝, 根据题意,有 y=4×4+3(x-4)+16, y=3x+20, ① y=1×2+6(x-1). y=6x-4. ② 即 ②代入①,得 6x-4= 3x+20, 6x-3x= 20+4, 3x=24, x=8. x 8, 把x=8代入①,得 y=44. 所以 y 44.
6、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周 完成需工钱5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来 做，还需9周完成，需工钱4.8万元.(1)甲、乙两组工作一天，商 店应各付多少元？（2）若只选一个公司单独完成，从节约开支 的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.
答 : 甲 , 乙 , 丙 3 种零件各应生产15 天 , 12 天 , 3 天 .
例5、 某服装厂接到生产一种工作服的订货任 务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂 原来的生产能力，每天可生产这种服装150套， 按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完 4 成订货的 5 ；现在工厂改进了人员组织结构 和生产流程，每天可生产这种工作服200套， 这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量 多生产25套，求订做的工作服是几套？要求 的期限是几天？
4.某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或 者丙种零件200个，甲，乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个， 才能配一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲，乙， 丙3种零件各应生产多少天？
解 : 设甲种零件生产 x 天 , 乙种生产 y 天 , 丙种生产 z 天 . x y z 30 根据题意 得 120x : 100y : 200z 3 : 2 : 1 x y z 30 化简 得 x 5z y 4z x 15 解之得 y 12 z 3
4 x 8 7 解得 y 11 3 7
由于解是分数,所以若白卡纸不套裁, 8张白卡纸做 盒身,可做16个盒身,则最多能做成16个包装盒; 若可套裁,用8张做盒身,可做8× 2=16(个)盒身; 11张做盒底盖,可做11× 3=33(个)盒底盖; 将余下的一张白卡纸剪成两半, 一半做1个盒身, 另一半做1个盒底盖,则共可做盒身17个,盒底盖 34个,正好配成17个包装盒,较充分地利用了材料.