编号36柱锥台球的体积
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柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
柱锥台球的表面积体积
A
6
55
O•
D
B
5
6 E
5C
球的体积
祖暅原理：两等高的几何体若在所有等
高处的水平截面的面积相等，则 这两个几的体积?
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
那么 r = R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
r
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知， 它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A
C B
D A
C B
D1 A1
O C1
B1
D1 A1
O C1
B1
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
练习1：长方体的共顶点的三个侧面积分别 为 3 、 5 、15 ，则它的外接球的表面积 为 __________
练习：2把一个半径为R的球放在墙角，且与墙角 的三个面都相切，则球心与墙角顶点的距离（） 3在球面上有四点P, A, B,C，已知PA, PB, PC两 两垂直，且PA PB PC a,则球的表面积（）
l
R
o
lll l o
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
那么 r = R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
r
l
R
o
l o
o
球的体积
设球的半径为R,截面半径为r,平
面与截面的距离为 l
人教版柱锥台球体积上课用详解演示文稿
（B） 1 V 3
（D） 2 V 3
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则
它的体积是
3 5 5.
6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个
球的体积是V，则这个正方体的体积
Байду номын сангаас
是
2 3V 3
.
7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的 体积扩大为原来的（ D ）
（A）3倍 （B）9倍 （C）27倍 （D）3 3 倍
D/
D/
C/
A/
A/
B/
D
D
C
C
A
S
B
1
h5
例2: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
C1
解:
V V A1 棱B 1锥 A 1B1C 棱B 锥 A 1B 1 C 1
13SA1B1C1 BB1
O
11a2 a 3 2
D
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
5 a3
A
6
所以多面体A1D1C1-ABCD的体积为
D
5 a3 6
C B
求体积的方法
等体积法：它是通过选择合适的底面来求 体积的一种方法
例3、一个正方体的所有顶点都在球面上 （球的内接正方体）若正方体棱长为a， 求此球的体积。
解：由题意知，球的直径为正方体的
2a
体对角线
a
3a
由球的体积公式得
V34
祖暅原理:幂势既同，则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体 积相等。
1.3.1柱、锥、台、球的体积
h?
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
s' s
s' 0
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
１、长方体的体积
D1 A1 D A C1
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
d
B1
c
C
S a
B
b
d a b c
2 2 2
2
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
等底等高柱体的体积相等吗？
2、柱体的体积
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
定理：等底等高柱体的体积相等
祖恒原理
3、锥体的体积
《柱、锥、台球的体积》 课本（考察球、台体体积公式）
王光宁
18
《柱、锥、台球的体积》 王光宁 １.圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱的体积。
侧面展开图
直值
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
已知正四棱台两底面的边长, 和棱台体积, 求棱台的高.
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
定理：等底等高锥体的体积相等
等底等高的 棱柱和棱锥 体积的关系
4、台体的体积
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
柱、锥、台体积的关系
s' s
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
s' 0
5、球的体积
课本P29例3(考察柱体体积公式)
《柱、锥、台球的体积》 王光宁
求此棱柱挖 去圆柱后的 体积和表面 积
柱锥台球表面积和体积获奖解析PPT课件
S侧面积
=
1 2
c2（l+x）-
1 2
Cc1’Xx
=
1 2
c2 l +
1 2
c2x
-
1 2
c1x
=
1 2
+ 12（c2 - c1）X
S
又∵
c1 c2
=
X X+l
∴
x
=
c1 l c2- c1
c1 c2
=
1 2
+
12（c2
-
c1）cc21-
l
c1
l
O 1 rr1 M
l
=
1 2
+
1 2
c1l
r R2
O2
N
例3.已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边
长都是8 cm，求它的侧面积．
[解] 法一：在 Rt△B1FB 中， B1F＝h′， BF＝12(8－4)＝2，B1B＝8， ∴B1F＝ 82－22＝2 15， ∴h′＝B1F＝2 15. ∴S 正棱台侧＝4×12×(4＋8)×2 15 ＝48 15(cm2)．
三.台体的表面积(一)
1
S侧正棱台= 2 (c+c’)·h’
a' h h'
a
台体的表面积(二)
如图，上底周长是 c’=2πr1、c=πr2，侧面母线长 是l
S侧面积 = （12 c 1+c2）l=∏（r 1+r2）l
S
c1 c2
O 1 rr1 M
l
l
r R2
O2
N
证明： 将圆台补成圆锥.作其侧面展开图，设SM=x
人教版高中数学必修二（B版）第一章 P25-32
柱、锥、台和球的体积
3
A’ C’
3
B’
2
１
A C
连接B’C,然后 把这个三棱柱 分割成三个三 棱锥。 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2 、3 。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 1 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
3
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’
V台体
1 ( S S S S )h 3
其中S 、S分别为上、下底面积， h为高。
1 ' 1 ' 2 2 V圆台 (S S S S )h (r rR R )h 3 3
想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？ 从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为 一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相 同时，台成为柱。因此只要分别令S'=S和S'=0便 可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。 从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
结 论 ： 等 底 等 高 的 柱 体 体 积 相 等 。
α
（二）锥体（棱锥、圆锥）的体积
在小学我们就通过比较容积的方法，验证了圆锥的体 积是底面积相等、高也相等的圆柱的体积的三分之一。利 用祖暅定理也可分析得到。
V锥体
1.1.7 柱、锥、台和球的 体积
祖暅原理：幂势既同，则积不容异
说明：等底面积，等高的两个柱体体积 相原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：
h
1 Sh 3
h
S
S
A’ C’
3
B’
2
１
A C
连接B’C,然后 把这个三棱柱 分割成三个三 棱锥。 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2 、3 。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 1 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
3
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’
V台体
1 ( S S S S )h 3
其中S 、S分别为上、下底面积， h为高。
1 ' 1 ' 2 2 V圆台 (S S S S )h (r rR R )h 3 3
想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？ 从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为 一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相 同时，台成为柱。因此只要分别令S'=S和S'=0便 可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。 从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
结 论 ： 等 底 等 高 的 柱 体 体 积 相 等 。
α
（二）锥体（棱锥、圆锥）的体积
在小学我们就通过比较容积的方法，验证了圆锥的体 积是底面积相等、高也相等的圆柱的体积的三分之一。利 用祖暅定理也可分析得到。
V锥体
1.1.7 柱、锥、台和球的 体积
祖暅原理：幂势既同，则积不容异
说明：等底面积，等高的两个柱体体积 相原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：
h
1 Sh 3
h
S
S
柱锥台球体积
3
练习3、圆台的上下底面半径和高的比 为1：4：4，母线长为10，求圆台的 体积。
224
练习4、(1)如果圆柱的底面半径不变， 要使它的体积扩大到原来的5倍，那么 需要把它的高扩大到原来的多少倍？
(2) 如果圆柱的高不变，半径扩 大到原来的多少倍才能使它的体积扩 大到原来的5倍。
V圆柱 r 2 h
祖暅原理:幂势既同，则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体 积相等。
一、柱体的体积（棱柱和圆柱）
柱体的体积
长方体的体积
柱体的体积
V柱体 S h
V圆柱 r 2 h
h
ss
Ss
sS
等底等高的柱体体积相等
二、锥体的体积（棱锥和圆锥）
h’
S’
S’
4 3
R3
例1、在长方体ABCD-A/B/C/D/中，用截
面截下一个棱锥C-A/DD/，求棱锥C-
A/DD/的体积与剩余部分的体积之比。
D/
D/
C/
A/
A/
B/
D
D
C
C
A
S
B
1
h5
例2: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
C1
解: V V A 棱锥B1A1BC1
3
r2）
3
r
r
r2）
形 四、柱、锥、台体积关系
S’
S
S
S
数
V柱体=sh
S=S/
V台
h (s 3
柱锥台球的体积公开课
平。
3
注意事项
保持专注，遵守比赛规则，尊重对手和 裁判。
柱锥台球比赛的经ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ案例
世界冠军赛
每年世界各地举行的顶级比赛， 吸引顶尖选手角逐冠军。
技巧表演赛
技巧高手展示令人惊叹的击球技 能和特技表演。
社交交流赛
为爱好者提供机会互相切磋和交 流，并享受友好的比赛氛围。
柱锥台球在中国的现状和未来发展方 向
1 快速增长
柱锥台球在中国的受欢迎程度快速增长，社区和俱乐部也越来越多。
2 专业化发展
越来越多的年轻人将柱锥台球作为职业并加入职业联赛。
3 推广活动
举办推广活动，提高柱锥台球的知名度。
柱锥台球的体积公开课
欢迎来参加我们精彩纷呈的柱锥台球体积公开课！我们将探索柱锥台球的起 源和发展，以及了解其基本规则和比赛规则。
柱锥台球的器材和设备
台球桌
使用尺寸标准的台球桌作为比赛场地。
球杆
特殊设计的球杆，适应柱锥球的形状和大小。
柱锥球
独特的柱状球体，用于击打和推动。
计分板
记录比赛得分和进球情况的计分板。
柱锥台球的技巧和战术
击球技巧
使用适当的力度和击球角度来 控制柱锥球的运动。
策略战术
制定战略计划，例如如何击中 对手的球并争取优势。
防守技巧
学习遮挡对手击球路线，进行 有针对性的防守。
柱锥台球的训练方法和注意事项
1
基础训练
学习基本击球技巧并加强稳定性和准确
进阶训练
2
性。
挑战更复杂的球路和战术，提高比赛水
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S S'
台体 V1(S SSS)h 3 S'0
锥体 V 1 S h 3
V柱体Sh
S = S'
1 V台体3S SS'S' h
S' = 0
1 V锥体 3 S h
S=S'
S'
S'=0
S
S
S
学习目标 1.了解几何体体积的含义，以及 柱体、锥体与台体的体积公式. 2.熟悉台体与柱体和锥体之间体 积的转换关系.
---
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体=abc 或 V长方体=Sh
这里，S，h分别表示长方体的底面积和高。
---
棱柱和圆柱的体积
h
s
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等
1.一圆台的上下两底的半径为2和3.高为2, 那么它的体积为_________
2．一个正四棱台形油槽可以装油190升，假 如它的上、 下底边长分别等于60cm和40cm， 求它的深度．
---
柱、锥、台体积的关系：
S S
S 0
V柱体=Sh
V台体 1 3(S SSS)h
V锥体=
1 3
Sh
---
综合应用
S为底面积,h为高.
s
s
---
2．锥体体积
A1
以三棱柱为例
C1 B1
A
C
B
如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，
高是ｈ，那么它的体积是：
V锥体
1 3
Sh
如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的
体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
---
应用：1.求棱长为2的2.已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为3 求这个正六棱锥的体积。
---
1．柱体的体积
V柱体= sh
V圆柱= r2h
应用
1.把边长为4和8的矩形绕其一边卷成一个 圆柱的侧面,则圆柱的体积为________
2.一个底面为菱形的直四棱柱的两条对角线 长分别为9和15,高是5,则它的体积为____
---
等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
V圆柱= 5 21 00 .7 8 5 1 0 3(m m 3)
一个毛坯的体积为
V=3.74×103-0.785×103
≈2.96×103（mm3）=2.96cm3 约有毛坯5.8×103÷（2.96×7.8)≈251(个) 答．这堆毛坯约---有251个.
1.柱体、锥体、 台体的体积
---
柱体 V Sh
---
3．台体的体积
设棱台上底面积为S‘， 下底面积为S，高为h， 大棱锥的高为h1，小棱 锥的高为h2，则
VV P AB C V P D A B C D
1(S SSS)h 3
两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积 相等
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12 r1r2 r22)
1
V台体3hs
sss
有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面 六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是
10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为7.8g/cm3)
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱
的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可．
解. V正六棱柱=
31226103.74103(mm3) 4
台体 V1(S SSS)h 3 S'0
锥体 V 1 S h 3
V柱体Sh
S = S'
1 V台体3S SS'S' h
S' = 0
1 V锥体 3 S h
S=S'
S'
S'=0
S
S
S
学习目标 1.了解几何体体积的含义，以及 柱体、锥体与台体的体积公式. 2.熟悉台体与柱体和锥体之间体 积的转换关系.
---
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体=abc 或 V长方体=Sh
这里，S，h分别表示长方体的底面积和高。
---
棱柱和圆柱的体积
h
s
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等
1.一圆台的上下两底的半径为2和3.高为2, 那么它的体积为_________
2．一个正四棱台形油槽可以装油190升，假 如它的上、 下底边长分别等于60cm和40cm， 求它的深度．
---
柱、锥、台体积的关系：
S S
S 0
V柱体=Sh
V台体 1 3(S SSS)h
V锥体=
1 3
Sh
---
综合应用
S为底面积,h为高.
s
s
---
2．锥体体积
A1
以三棱柱为例
C1 B1
A
C
B
如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，
高是ｈ，那么它的体积是：
V锥体
1 3
Sh
如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的
体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
---
应用：1.求棱长为2的2.已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为3 求这个正六棱锥的体积。
---
1．柱体的体积
V柱体= sh
V圆柱= r2h
应用
1.把边长为4和8的矩形绕其一边卷成一个 圆柱的侧面,则圆柱的体积为________
2.一个底面为菱形的直四棱柱的两条对角线 长分别为9和15,高是5,则它的体积为____
---
等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
V圆柱= 5 21 00 .7 8 5 1 0 3(m m 3)
一个毛坯的体积为
V=3.74×103-0.785×103
≈2.96×103（mm3）=2.96cm3 约有毛坯5.8×103÷（2.96×7.8)≈251(个) 答．这堆毛坯约---有251个.
1.柱体、锥体、 台体的体积
---
柱体 V Sh
---
3．台体的体积
设棱台上底面积为S‘， 下底面积为S，高为h， 大棱锥的高为h1，小棱 锥的高为h2，则
VV P AB C V P D A B C D
1(S SSS)h 3
两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积 相等
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12 r1r2 r22)
1
V台体3hs
sss
有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面 六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是
10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为7.8g/cm3)
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱
的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可．
解. V正六棱柱=
31226103.74103(mm3) 4