运筹学第五章--线性目标规划

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第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。

管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。

可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：司的利润最大化。

1、判别问题的线性规划数学模型类型。

2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。

3、建立该问题的线性规划数学模型。

4、用线性规划求解模型进行求解。

5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。

6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。

解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。

2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：+ +决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件4x1+ 3x2≤350 车床限制条件3x1+ x3≤150 磨床限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z= + +3、本问题的线性规划数学模型max z= + +S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2≤3503x1+ x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。

5、灵敏度分析目标函数最优值为: 30变量最优解相差值x1 50 0x2 25 0x3 0 .083约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 .052 75 03 0 .033目标函数系数范围:变量下限当前值上限x1 .4 .5 无上限x2 .1 .2 .25x3 无下限.25 .333常数项数范围:约束下限当前值上限1 400 500 6002 275 350 无上限3 150（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。

线性规划

• 4.2 两阶段法
• 两阶段法是处理人工变量的另一种方法。其具体做法是在原约束条件中增加人工变量，构造一个新的目标函数，其中人工变量的系数为-1，其余变量的系数为0，这样就产生了如下的最优解有三种情形。（1）这说明在辅助问题的最优解中，还有人工变量是基变量，且取值不为0，此时原问题无可行解。（2）且最优解中人工变量均为非基变量，则把它们划去后就得到了原问题的一个基本可行解。（3）但最优解中还有人工变量是基变量，其取值为0。这时，只要选某个不是人工变量的非基变量进基，把在基中的人工变量替换出来，则情形同（2）。第二阶段：对于第一阶段的后两种情形，在第一阶段的最优单纯形表中划去人工变量所在的列，并把检验数行换成原问题目标函数（消去基变量以后）的系数，从而得到原问题的初始单纯形表，再继续迭代求解。
2014-6-19 3
例2（运输问题）
• 设有某种物资要从A1，A2，A3三个仓库运往四个销售点B1，B2，B3，B4。各发点（仓库）的发货量、各收点（销售点）的收货量以及到的单位运费如表1-2。问如何组织运输才能使总运费最少？
例3（配料问题）
• 在现代化的大型畜牧业中，经常使用工业生产的饲料。设某种饲料由四种原料B1，B2，B3 ，B4混合而成，要求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）A1，A2， A3的數量分別不少于25、36、40个单位（这些单位可以互不相同），各种原料的每百公斤中含三种成份的数量及各种原料的单价如表1-3.
1.2 线性规划的数学模型
一、一般形式上述各例具有下列共同特征： 1．存在一组变量，称为决策变量，表示某一方案。通常要求这些变量的取值是非负的。 2．存在若干个约束条件，可以用一组线性等式或线性不等式来描述。 3．存在一个线性目标函数，按实际问题求最大值或最小值。

运筹学线性规划模型及目标规划模型

问题一：建立一个资源利用的规划模型，需加入时间资源、资金资源。

1、问题的提出1.1基本情况某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。

已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：表1T项目B1配件种类资源限制B2B3资金（百元）412200劳动力/工时643360设备台时（小323210时）产品利润（元/754件）1.2提出问题1、假设每种配件的市场都是供不应求，不用考虑市场及原材料的供应问题那么在现有的条件下应该如何分配者三种配件的生产才能获得最大利润。

2、模型的建立2.1确定决策变量因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能获得的最大利润。

因此可以设尤，x ,x来表示B1，B2, B3的产量。

1 2 32.2确定目标函数该问题归结为求效益最大化的问题。

这里所追求的利润s应是最大（简写为max）max S = 7 x + 5 x + 4 x1 2 32.3确定约束条件考虑到资金限制和劳动力总工时以及设备台时的要求，会有一定的约束条件用不等式表示参考表1_1数值有'4x + x + 2x < 200<6x + 4x + 3x < 360I3x + 2x + 3x < 210侦1 2 32.4建立模型综合前述各步及变量非负的条件建立起线性规划模型如下。

求变量气(i = 1,2,3)使得目标函数：max S = 7 x + 5 x + 4 x1 2 3取得最大值，并满足如下的约束条件的要求：4x + x + 2x < 2001 2 36x + 4x + 3 x < 360s.t. < 1 2 3|3x i+ 2x2 + 3x3 < 210I x , x , x > 0v 1 2 33、模型的求解分析上述线性规划模型是非标准的线性规划模型，用常规方法将其变为标准型的线性规划模型，然后利用单纯形法进行求解。

运筹学实验报告-线性规划

商学院课程实验报告课程名称运筹学专业班级金融工程班姓名指导教师成绩2018年 9 月 20日学号：表2 所需营业员统计表星期一二三四五六日需要人数300 300350400480600 5503.建立线性规划模型设x j（j=1，2，…，7）为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员数量，则这个问题的线性规划问题模型为minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7{x1+x4+x5+x6+x7≥300 x1+x2+x5+x6+x7≥300 x1+x2+x3+x6+x7≥350 x1+x2+x3+x4+x7≥400 x1+x2+x3+x4+x5≥480x2+x3+x4+x5+x6≥600x3+x4+x5+x6+x7≥550x≥0,j=1,2,…,7（二）操作步骤1.将WinQSB安装文件复制到本地硬盘，在WinQSB文件夹中双击setup.exe。

图1 WinQSB文件夹2.指定安装软件的目标目录，安装过程中输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB菜单自动生成在系统程序中，熟悉软件子菜单内容和功能，掌握操作命令。

图2 目标目录3.启动线性规划和整数规划程序。

点击开始→程序→WinQSB→Linear and Lnteger Programming，屏幕显示如图3所示的线性规划和整数规划界面。

图3 线性规划4.建立新问题或打开磁盘中已有文件。

按图3所示操作建立或打开一个LP问题，或点击File→New Problem建立新问题。

点击File→Load Problem打开磁盘中的数据文件，点击File→New Problem，出现图4所示的问题选项输入界面。

图4 建立新问题5.输入数据。

在选择数据输入格式时，选择Spreadsheet Matrix Form则以电子表格形式输入变量系统矩阵和右端常数矩阵，是固定格式，如图5所示。

选择Normal Model Form则以自由格式输入标准模型。

运筹学(第5章目标规划)

解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目标。建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简便，把它们用一个模型来表达，如下：

运筹学第五章_目标规划

第一节目标规划实例与模型
看起来有点繁～有点 ‘烦’… … …★
因此其目标规划的数学模型： minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值，其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是极小化。有三种基本形式：
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
(4)优先级与权因子多个目标之间有主次缓急之分，凡要求首先达到的目标，赋于优先级p1,要求第2位达到的目标赋于优先级 p2,…设共有k0个优先级则规定 p1>>p2>>p3……Pk0>0 P1优先级远远高于p2,p3，只有当p1级完成优化后，再考虑p2,p3。反之p2在优化时不能破坏p1级的优先值，p3级在优化时不能破坏p1,p2已达到的优值由于绝对约束是必须满足的约束，因此与绝对约束相应的目标函数总是放在p1级
第一节目标规划实例与模型
该问题的决策目标是：（1）总利润最大；（2）尽可能少加工；（3）尽可能多销售电扇；（4）生产数量不能超过预销售数量。（5）绝对目标约束。所谓绝对目标约束就是必须要严格满足的约束。绝对目标约束是最高优先级，在考虑较低优先级的目标之前它们必须首先得到满足。

运筹学习题解答(chap5 目标规划)

第五章目标规划一、建立下列问题的数学模型1、P164, 5.8 某种牌号的酒由三种等级的酒兑制而成。

已知各种等级的酒每天供应量和单位成本如下：等级I ：供应量1500单位/天，成本6元/单位；等级Ⅱ：供应量2000单位/天，成本4.5元/单位；等级Ⅲ：供应量1000单位/天，成本3元/单位。

该种牌号的酒有三种商标（红、黄、蓝）各种商标酒的混合比及售价如表所示。

确定经营目标：P1：兑制要求配比必须严格满足；P2：企业获取尽可能多的利润； P3：红色商标酒产量每天不低于2000单位。

试对此问题建立相应的目标规划模型。

解：设红黄蓝分别为1、2、3号酒，ij x 表示i 号酒中j 原料的用量。

则依题意建立如下模型：-+-+-=33222)(min d P d d P Z.3,2,3,2,1,,0,,020000)(3)(5.4)(6)(8.4)(0.5)(5.5100020001500)%(10)%(50)%(20)%(70)%(50)%(103313121122332313322212312111333231232221131211332313322212312111333231313332313323222121232221231312111113121113==≥≥=+-++=+-++-++-++-++++++++≤++≤++≤++++≥++≤++≥++≤++≥++≤-+-+-+k j i d d x d d x x x d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k ij2、P164, 5.9 某公司从三个产地1A ，2A ，3A 将产品运往四个销地1B ，2B ，3B ，4B .各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销地的运费单价如表所示。

运筹学第五章目标规划

第五章目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征（1）目标规划的基本概念。

当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。

无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。

目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。

在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。

（2）模型特征。

目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。

1）正、负偏差变量,i i d d +-。

正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。

因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。

2）硬约束和软约束。

硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。

我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。

3）优先因子与权系数。

一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。

线性规划与目标规划

5.1 规划论基础规划论是运筹学中应用最为广泛的一个分支，本小节重点介绍在军事通信网分析和规划中常用的两类模型——线性规划和目标规划。

5.1.1 线性规划1. 问题和模型线性规划问题主要有以下2种：一是如何有效利用现有的人力、物力完成更多的任务；二是在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力、物力去实现目标。

这些规划问题的数学模型都是由3个要素组成：一是变量，或称决策变量，是需要确定的未知量，用来表明规划中的用数量表示的方案；二是目标函数，它是决策变量的线性函数，按优化目标在该函数前加上max 或min ；三是约束条件，它是含决策变量的线性等式或不等式。

下面，以一个具体的例子来说明问题。

例5.1 某通信连计划用两种通信设备A 和B 进行通信联络，建网方式有甲、乙两种，有关数据见表5.1。

问：两种方式的组网数各为多少时，能在规定的条件下，使得提供的话路总数z 达到最大？解：设12x x ，分别为甲、乙两种方式的组网数，则由已知条件，容易得到该问题的线性规划模型为：目标函数：12max 1815z x x =+约束条件：12121232422200x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，一般地，规定线性规划问题的标准形式如下：1max nj j j z c x ==∑..s t 1(1,2,,)0(1,2,,)nij j i j j a x b i m x j n ∙∙∙∙∙∙=⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑ 其中，{}(1,2,,)j x j n ∙∙∙=是决策变量，1max nj jj z c x==∑为目标函数，1nij ji j a xb ==∑，1,2,,i m ∙∙∙=，0(1,2,,)j x j n ∙∙∙≥=为约束条件，..s t （subject to 的缩写）为约束于。

约束条件右端的常数项i b 全为非负。

对于非标准形式的线性规划问题可以通过引入松弛变量等转化为标准形式。

所谓松弛变量，是指在化为标准形式时，使约束不等式变为等式时所加入的变量。

运筹学中关于规划问题的常用解决方法

运筹学中关于规划问题的常用解决方法运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。

在运筹学中，规划问题是一类常见的问题，它涉及到如何合理分配资源以达到特定的目标。

本文将介绍运筹学中关于规划问题的常用解决方法。

首先，线性规划是解决规划问题最常用的方法之一。

线性规划的目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。

线性规划的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z是要优化的目标函数，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件的常数，x₁, x₂, ..., xₙ是决策变量。

其次，整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量必须取整数值。

整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如生产调度、物流配送等。

整数规划的求解方法包括分支定界法、割平面法等。

分支定界法通过将整数规划问题划分成一系列子问题，并逐步求解，最终得到最优解。

割平面法则通过添加额外的线性约束条件来逐步逼近最优解。

除了线性规划和整数规划，规划问题还可以通过动态规划方法求解。

动态规划是一种将问题分解成子问题并逐步求解的方法。

它适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划的核心思想是通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。

动态规划在求解最短路径、背包问题等方面具有广泛的应用。

此外，启发式算法是一类基于经验和直觉的求解方法，它通过不断搜索和优化来寻找问题的近似最优解。

启发式算法常用于求解复杂的规划问题，如旅行商问题、车辆路径问题等。

运筹学第五章

A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些约束中可以加入正负偏差变量。
16

例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐玲
OR2
1
第五章

目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题多目标线性规划产品例1

资源原材料（kg) 设备（台时）单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数：目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：

线性规划与目标规划的异同和作用

线性规划与目标规划的异同和作用一、线性规划与目标规划（1）线性规划线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

线性规划模型的一般形式如下：在线性规划的数学模型中，方程（1）称为目标函数；（2）称为约束条件。

满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。

在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理利用有限的人力、物力、财力等资源，以便达到最好的经济效果。

例． [生产计划安排问题]某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，单位产品的获利，如下表所示：产品Ⅰ产品Ⅱ资源限制设备 1 1 300台时原料A 2 1 400千克原料B 0 1 250千克单位产品获利50元100元问题：计划期内工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？解：设工厂在计划期内应安排生产产品ⅠX1件, 产品ⅡX2件。

所获利润为z元。

由题意得：Max z = 50 x1 + 100 x2x1 + x2 ≤ 300s.t. 2 x1 + x2 ≤ 400x2 ≤ 250x1 , x2 ≥ 0上例有这样的特征：（1）用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的；（2）存在一定的约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示；（3）都有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。

（2）目标规划目标规划（Goal programming）目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。

目标规划的模型分为以下两大类： 1.多目标并列模型。

2.优先顺序模型。

目标规划在企业人力资源需求预测中的应用企业人力资源需求预测是人力资源管理是的一项重要工作，它可以帮助企业明确未来人力需求趋势，做好人才储备工作；同时也可以帮助企业合理预测未来各部门、各类职位人员的需求情况，做好企业的定岗定编工作。

运筹学知识点总结

运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。

线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。

目标函数：是变量的线性函数。

约束条件：变量的线性等式或不等式。

可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。

可行域：可行解的集合称为可行域。

最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。

唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。

凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。

等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。

松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。

剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。

2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。

4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。

5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。

当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。

第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。

2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。

4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。

运筹学05目标规划

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目标规划实例与模型目标规划求解方法用Excel求解目标规划的解
目
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目标规划实例与模型目标规划求解方法用Excel求解目标规划的解
一、建立模型举例：例5.1
设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 8 元，豪华型为每件 12 元。 8 元，豪华型为每件 12 元。公司经理提出如下优先次序的要求：公司经理提出如下优先次序的要求：．总利润最大（显然的） 1 1 ．总利润最大（显然的）．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） 2 2 ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏）．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 3 3 ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一致）。 1.5 倍，因此公致）。由于每件豪华型的利润是普通型的由于每件豪华型的利润是普通型的 1.5 倍，因此公司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 件。件。
2.目标约束绝对目标约束（或硬约束）是指必须要严格满足的等式或不等式约束，如线性规划问题的所有约束条件，具有最高优先级。目标约束（软约束）是把约束右端项看作是目标值，在达到此目标值时允许发生正或负偏差，在约束中加入正、负偏差变量。可根据问题的需要将绝对目标约束变换为目标约束，目标约束的形式为：f ( x) d d b

第五章运筹学目标规划分析

解：设 x1， x2 分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性规划模型为： max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12 x1 2 x2 8 s.t . 4 x1 16 4 x2 12 x1 , x2 0
它的最优解为: x1 =4, x2 =2, z =14
3. 对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条件中，组成新的约束条件；
4. 引入目标的优先等级和加权系数；建立使组合偏差最小的目标函数。
1.确定目标函数的期望值每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。
根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 2.设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
解：设 x1, x2 分别表示彩色和黑白电视机的产量。该问题的目标规划模型为：
min z P1d1 P2d 2 P3 (2d 3 d4 )
x1 x2 d1 d1 40 x1 x2 d 2 d 2 50 s.t . x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0 ( i 1, 2, 3, 4) 1 2 i i
P1 ：企业利润目标； P2 ：甲、乙产品的产量尽可能达到1∶1的要求；
P3 ：设备A、B尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备A的重要性是设备B的三倍。
min z P1d1 P2 (d 2 d2 ) 3 P3 (d 3 d3 ) P3d 4
4 x1 16 (1) (2) 4 x2 12 2 x 3 x d d 12 (3) 2 1 1 1 (4) x1 x2 d 2 d 2 0 2 x 2 x d d (5) 2 3 3 12 1 x 2x d d 8 (6) 1 2 4 4 x , x 0, d , d i i 0 ( i 1, 2, 3, 4) 1 2

运筹学中的线性规划和整数规划

运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。

其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。

一、线性规划线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。

在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。

其数学模型可以表示为：$\max c^Tx$$s.t. Ax \leq b,x\geq 0$其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。

如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解方法来确定决策变量的最优值。

线性规划的求解方法一般分为单纯形法和内点法两种方法。

单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的情况。

内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解在可行域内部，直到找到最优解为止。

这种方法对大规模问题求解能力强，使用较多。

二、整数规划整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。

整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。

与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。

因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。

分支定界是一种常用的整数规划求解方法。

它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。

割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。

总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。