双曲线的定义、标准方程及几何性质

高二数学学案 序号 112-113高二年级 班 教师 毕 环 学生 复习三十五 双曲线的定义、标准方程及几何性质

〖学习目的〗1、掌握双曲线的定义、标准方程及几何性质

2、会用定义和几何性质解决简单问题；会求双曲线的标准方程； 〖重点难点〗定义、几何性质的理解及应用 〖学习过程〗 一、复习归纳

1、双曲线的定义：到两定点距离之差的绝对值等于一个常数（小于两定点间距离）的动点 的轨迹为双曲线。

即：当21212F F a PF PF <=-时，P 的轨迹为双曲线；21F F 是焦距，c F F 221= 注： 1）双曲线有两支，设21,F F 分别是左、右焦点，则当a PF PF 221=-时表示右支； 当a PF PF 212=-时表示左支； 2）当21212F F a PF PF ==-时，P 的轨迹为以1F 、2F 为端点的两条射线；

3） 当21212F F a PF PF >=-时，P 的轨迹不存在； 2、双曲线的标准方程

1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b

y a x ，其中：焦点坐标是)0,(c ±

2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为

)0,0(122

22>>=-b a b

x

a y ，其中：焦点坐标是),0(c ± 注意：（1）222

b a

c += 注意与椭圆的区别。

（2）方程特征：左边是平方差的结构，右边是1；分母均大于0，但大小不定； （3）根据方程判断焦点的位置的方法：看系数的符号（正负）； 即2x 的系数大于0则在x 轴上，且2x 的分母即是2a ； 反之，2y 的系数大于0则在y 轴上，且2y 的分母即是2a 。

3、求双曲线方程，先要判断焦点的位置，若两种均有可能，则分两种情况讨论； 有的问题也可用两种标准方程的统一形式：)0(122

<=+mn ny mx 来设方程。

4、常用小结论：

1）与双曲线

122

22

=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22

22

≠=-λλb

y

a x 2）、以x a

b

y ±=渐近线的双曲线可设为：)0(2222≠=-λλb y a x

5、双曲线的标准方程与几何性质

二、例题讲解

例1、（1）已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程

（2）已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足1210PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.

（3）已知双曲线C 与双曲线14

162

2=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(，求该双曲线的方程。

例2、方程

1112

2=-++k

y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-

例3、已知双曲线的两个焦点为F 1（-10，0）、F 2（10，0），P 是此双曲线上的一点， 且021=⊥PF PF

2=，求该双曲线的方程。

例4、 设21,F F 是双曲线14

22

=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 6021=∠PF F ， 求21F PF ∆的面积。

例5、求双曲线22

916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

例6、求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）顶点在y 轴上，两顶点间的距离是8，离心率4

5

=e ；

（2）求经过点(3,1)A -，且对称轴都是坐标轴的等轴双曲线的方程，并渐近线方程和离心率。

例7、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直，求双曲线的离心率。

例8、求与双曲线

116

92

2=-y x 有共同的渐近线，且经过点)32,3(-的双曲线标准方程；

三、课后练习

1、过两点)26,7(--A 、)3,72(B 的双曲线的标准方程为 。

2、双曲线22

55x ky +=

的一个焦点是，那么实数k 的值为 ．

3、方程

22

141x y k k

+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围

4、已知双曲线112

42

2=-

y x 上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为

5、已知双曲线19

162

2=-

y x 上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项， 则点P 到左焦点的距离为

6、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，-2），则它的离心率为

7、求中心在原点，F )0,5(为右焦点，离心率为2

5

=e 的双曲线方程及其渐近线方程。

8、设P 是双曲线19

2

22=-

y a x 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是3x+4y=0，F 1，F 2分别是 双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=10，则|PF 2|=

9、已知双曲线的一条渐近线方程是x-2y=0，且过点P （4，3），求双曲线的标准方程．