13-09 量子力学中的氢原子问题

me e 4 1 13.6eV En = 2 2 2 = 8ε 0 h n n2
n = 1, 2, 3, …
主量子数 2）“轨道”角动量量子化与角量子数 ） 轨道”角动量量子化与
L = l (l + 1)h
(l = 0, 1, 2, L , n 1)
l：轨道角量子数（角量子数） 轨道角量子数（角量子数）
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
一 氢原子的定态薛定谔方程 电子在库仑引力场中的势能函数
2
e U (r ) = 4 πε 0 r
电子的定态薛定谔方程
U (r )
h 2ψ 1 e ψ = Eψ 2me 4πε 0 r
直角坐标 解方程 分离变量
2
2
o
r
(x, y, z)
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第十三章 量子物理基础 十三章
3）“轨道”角动量空间量子化和磁量子数 ） 轨道”角动量空间量子化和 空间量子化
Lz = ml h
(ml = 0, ±1, ± 2,L, ± l )
ml ：轨道磁量子数，共有（2l +1）个允许值 . 轨道磁量子数，共有（ ）
注意 在量子力学中不能再认为电子在确定的轨道上绕 在量子力学中不能再认为电子在确定的轨道上绕 不能 核转动， 核转动，因此轨道角动量也就不能被理解为电子 绕某个闭合轨道运动的角动量 . “轨道”一词只是沿用，为的是与下一节所叙述 轨道”一词只是沿用， 轨道 的自旋角动量加以区别 .
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第十三章 量子物理基础 十三章
例 用图示法分别求出 l = 0, 1, 2, 3 时的轨道角 动量的各个可能方向。 动量的各个可能方向。 解
L = l (l + 1)h
(l = 0, 1, 2, L , n 1)
l = 0,1,2,3 时轨道角动量的大小分别为 时轨道角动量 角动量的
0， 2h， 6h， 12h
LZ 轨道角动量空间量子化的数值为
Lz = ml h
从
(ml = 0, ±1, ± 2,L, ± l )
ml h 到 ml h 的（2l + 1）个允许值 .
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第十三章 量子物理基础 十三章
L = l (l + 1)h
(l = 0, 1, 2, L , n 1)
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第十三章 量子物理基础 十三章
基态 n =1的电子概率密度最大值在玻尔半径 a0 处 .
n = 2，l =1时，电子概率密度极大值出现在4a0 处 .
2）电子在立体角 ）
d = sin θdθd 内出现的概率
电子的概率分布与 无关（概率角向分布对于 电子的概率分布与 无关（ z 轴具有旋转对称性） 轴具有旋转对称性 旋转对称性） 电子角向概率密度 电子角向概率密度 角向
球坐标 (r,θ,)
ψ (r,θ,) = R(r) Θ(θ ) Φ()
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第十三章 量子物理基础 十三章
二 量子化条件和三个量子数 波函数的标准条件：有限、单值、连续、 波函数的标准条件：有限、单值、连续、归一化 . 标准条件 1）能量量子化与主量子数 ）能量量子化与
Lz = ml h
l L
Lz
4h 3h 2h h 0 h 2h 3h 4h
(ml = 0, ±1, ± 2,L, ± l )
1
2h
0 0
2
6h
3
12h
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第十三章 量子物理基础 十三章
4）本征波函数 ）
ψnlm (r,θ,) = Rnl (r) Θlm (θ ) Φm ()
dP = ψ dV = R Θ Φ r sinθ dr dθ d
2 2 2 2 2
1）电子在 r→r+dr 球壳体积元 ） 电子径向概率密度
dV = 4πr dr的概率 2 2 w( r ) = R ( r ) r
2
电子径向概率密度与 无关， 电子径向概率密度与 ml 无关，只与 n、l 有关 径向概率密度
玻尔半径 a0 =
ε0h
2 2
πmee
= 5.29×1011m
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第十三章 量子物理基础 十三章
角向波函数 —— Yl ml (θ , ) = Θl ml (θ ) Φml ( )
1 Y00 (θ , ) = 4π 3 cos θ Y10 (θ , ) = 4π 3 sin θ e ±i Y1±1 (θ , ) = m 8π 5 (3 cos 2 θ 1) Y20 (θ , ) = 16π
w(r ) = Y (θ , )
2
电子角向概率密度与 无关， 电子角向概率密度与 n 无关，仅决定于l . 角向概率密度
l = 0 的各个态电子的概率分布是球对称的 . l ≠ 0 的各个态电子的概率分布则和角 θ 有关 .
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氢原子部分状态的电子云立体图
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第十三章 量子物理基础 十三章
三 氢原子中电子的概率分布
m 定态 ( n、l 、 l ) 的电子分布的概率密度
ψ nlm (r ,θ , ) = Rn l (r ) Θl m (θ ) Φm ( )
l l l
2
2
电子出现在 r→r+dr，θ→θ+dθ，→+d 内 体积元 dV = r 2sinθdrdθd 的概率为
第十三章 量子物理基础 十三章
R10 (r ) = 2 exp( r ) 3 a0 a0 1 (2 r ) exp( r ) R20 (r ) = 3 a0 2 a0 8a0 1 ( r ) exp( r ) R21 (r ) = 3 a 2 a0 24a0 0 R30 (r ) = 1 [2 4r + 4 ( r ) 2 ] exp( r ) 3 3a0 27 a0 3a0 27 a0
l l l
氢原子的电子状态（定态）是由一组量子数 氢原子的电子状态（定态）是由一组量子数 n、l、ml 来表征的 . 与本征能量 En、本征角动量 L 和角动量分量 Lz 相对应 . 径向波函数 —— Rnl (r)
R10 (r ) = 2 exp( r ) 3 a0 a0
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