13-09 量子力学中的氢原子问题
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
量子力学对氢原子的处理
(2)若 E<0, 即E=Ek+U<0 则 Ek＜U 根据其波函数必须满足的标准条件,解得
En
mee4
4
2 0
(2)2
1 n2
me4
8 02 h
2
1 n2
n=1,2,3,…
n 称为主量子数 n=1,2,3 ，…其决定着氢原子能量的取值。
5
n=1 ，称之为基态，代入有关数据,算得
E1 13.6eV
+
计算表明：
Lz ml ml 0,1,2...... l
Ml 称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。 对于一个给定的 l ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
9
例：当 l=2 时， L 与轴的夹角可有如图的几种形式。 ml=0，± 1,± 2 ml=0 ，表示 L与 Z轴垂直 ,"±"表示 L 对 Z 轴正负向的投影,
l 0
2
对应于每一个能级有 n2 个简并态，
对应于每一个电子状态,需要三个量子数 n, l, ml 来描述。
11
3, … (n-1) 电子的状态 , 现仍沿用这些称号。 例如， n=2,l=0,1 就分别称之为 2 s态和 2 p 态，其对应关 系详见下节教材。 (3)简并现象，简并态,简并度
上面计算表明，对应于一个主量子数 n,可有 n 个不同的 l 值，也就是说，在同一能级，电子可取 n 个不同的角动量，电 子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作 "简并" 现象。
d 2
d 2
ml
2
0
(1)
1
sin
氢原子 能级跃迁 量子力学
氢原子能级跃迁量子力学以氢原子能级跃迁为主题的量子力学研究是一项重要的物理学研究领域。
在量子力学中，氢原子是最简单的原子系统，其能级跃迁过程是量子力学理论的基础之一。
本文将从能级结构、跃迁机制以及实验观测等方面探讨氢原子能级跃迁的量子力学原理。
我们来了解一下氢原子的能级结构。
根据量子力学的理论，氢原子的能级由主量子数n、角量子数l和磁量子数m确定。
主量子数n 决定了能级的大小，角量子数l决定了能级的形状，而磁量子数m 决定了能级在空间中的方向。
氢原子的能级可以用能级图表示，其中每个能级用一个水平线表示，而能级之间的跃迁用垂直的箭头表示。
在氢原子中，能级跃迁可以分为吸收和发射两种过程。
吸收过程是指氢原子从低能级跃迁到高能级，而发射过程是指氢原子从高能级跃迁到低能级。
根据量子力学的原理，能级跃迁的发生是由于原子吸收或发射了一个能量等于能级差的光子。
根据能级差的大小，能级跃迁可以分为不同的系列，如巴尔末系列、帕舍尼系列等。
在量子力学中，氢原子能级跃迁的概率可以用跃迁几率表示。
跃迁几率与跃迁矩阵元相关，而跃迁矩阵元又与波函数之间的叠加积分有关。
根据量子力学的计算方法，可以通过求解氢原子的定态薛定谔方程来计算跃迁几率。
定态薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解该方程可以得到氢原子的波函数，进而计算出能级跃迁的几率。
实验观测是验证量子力学理论的重要手段之一。
通过精密的实验测量，科学家们可以观察到氢原子能级跃迁的现象，并验证量子力学的预测。
实验观测可以通过光谱技术来实现，光谱技术可以分析物质吸收或发射的光线的频率和强度。
利用光谱技术，科学家们可以测量氢原子能级跃迁所对应的光谱线，从而验证量子力学理论对能级跃迁的描述。
在实际应用中，氢原子能级跃迁在很多领域都有重要的应用价值。
例如，在激光技术中，氢原子能级跃迁可以用来产生激光光源。
通过在氢原子中引入外部能级跃迁的能量，可以激发氢原子发射出一束高强度、单色性好的激光光束。
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子中的量子力学
氢原子中的量子力学量子力学是物理学中的基础理论之一，它在解释微观世界中的现象和规律方面发挥着重要作用。
氢原子作为量子力学研究的经典模型之一，对于理解量子力学的基本原理和应用具有重要意义。
本文将对氢原子中的量子力学进行探讨和分析。
1. 氢原子的结构在研究氢原子的量子力学前，我们需要了解氢原子的基本结构。
氢原子由一个质子和一个电子组成，其中质子带正电荷，电子带负电荷。
质子位于氢原子的中心，被一个电子绕着围绕。
氢原子的结构可以用量子力学的波函数来描述。
2. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的核心方程，用于描述微观粒子的行为。
对于氢原子来说，薛定谔方程可以写为：HΨ = EΨ其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子各个能级的波函数和能量。
3. 氢原子的能级和波函数根据薛定谔方程的求解结果，氢原子具有一系列离散的能级。
每个能级对应着不同的能量和波函数。
能级的能量大小与主量子数n有关，主量子数n越大，能级越高。
波函数则用于描述电子在不同能级上的空间分布。
4. 轨道角动量和磁量子数与经典力学不同，量子力学引入了轨道角动量概念。
在氢原子中，电子围绕质子运动形成了各种可能的轨道。
轨道角动量的大小由量子数l决定，而轨道的形状由量子数l和磁量子数m决定。
具体来说，轨道角动量大小为√(l(l+1))ħ，其中ħ为普朗克常数除以2π。
5. 能级跃迁和光谱氢原子的能级之间存在跃迁现象，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会吸收或辐射能量。
这种能级跃迁的现象在光谱研究中得到了广泛应用。
通过观察氢原子的光谱，我们可以了解到能级之间的能量差异和波长特性。
6. 精细结构与自旋在考虑相对论效应后，氢原子的能级结构发生了微小的变化，形成了精细结构。
精细结构与电子的自旋状态有关，自旋可以取两个值：向上和向下。
通过考虑自旋，我们可以得到更加精确的氢原子能级和波函数。
7. 氢原子的波函数叠加在量子力学中，波函数可以叠加，形成各种可能的状态。
量子力学中的氢原子结构分析
量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。
氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。
本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。
1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。
氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。
氢原子的能级也可以根据波函数求得。
具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。
这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。
2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。
这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。
巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。
这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。
除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。
在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。
而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。
3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。
氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。
量子力学中的氢原子波函数
量子力学中的氢原子波函数在量子力学中，氢原子是一个非常重要的研究对象。
其波函数描述了氢原子的量子态，是解决氢原子的薛定谔方程得到的解。
氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到，它描述了氢原子中电子的位置和能量。
在这篇文章中，我们将探讨氢原子波函数的性质以及它在量子力学中的重要性。
一、氢原子波函数的基本性质氢原子波函数是一个复数函数，可以用来描述氢原子中电子的位置和动量分布。
波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
具体来说，氢原子波函数有如下几个基本性质：1. 规范化：波函数必须是归一化的，也就是说波函数的模的平方在整个空间积分为1。
这保证了在任意位置找到电子的概率为1。
2. 连续性：波函数和其一阶导数在整个空间上必须是连续的。
这意味着波函数不能出现不连续的跳跃或奇点。
3. 平方可积：波函数的平方必须可积，也就是说其模的平方在整个空间上的积分是有限的。
这保证了波函数的总概率是有限的。
二、氢原子波函数的形式氢原子波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到。
一般来说，氢原子波函数可以写成径向波函数和角向波函数的乘积形式。
1. 径向波函数：径向波函数描述了电子与原子核之间的距离关系。
它是一个关于径向坐标的函数，常用的表示形式是利用Laguerre多项式和指数函数来表示。
2. 角向波函数：角向波函数描述了电子在各个方向上的分布情况。
它是一个关于极坐标的函数，常用的表示形式是球谐函数。
将径向波函数和角向波函数的乘积形式代入薛定谔方程，可以得到一系列的能量本征方程和对应的波函数解。
三、氢原子波函数的物理意义氢原子波函数是描述氢原子量子态的工具，它包含了电子的位置和动量信息。
通过对波函数的分析，我们可以得到以下几个重要的物理意义：1. 能级结构：氢原子波函数给出了氢原子中电子的能级结构。
电子的能量由波函数的离散本征能量给出，能量越低表示电子越靠近原子核。
2. 轨道形状：波函数的模的平方给出了找到电子在不同位置上的概率密度。
原子物理学——量子力学对氢原子的描述
§3.6 量子力学对氢原子的描述一、氢原子的波函数 1、薛定谔方程电子在原子核的库仑场中运动：re V 024πε-=定态薛定谔方程：)()(]42[0222r E r re m ψψπε=-∇- 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：ϕθcos sin r x = ϕθsin sin r y =θcos r z = )(1222r r rr ∂∂∂∂=∇)(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r2222sin 1ϕθ∂∂+r 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：)(1[2222r r r r m ∂∂∂∂- )(sin sin 12θθθθ∂∂∂∂+r ψϕθ]sin 12222∂∂+r ψψπεE r e =-024 ),,(ϕθψψr = 2、分离变量(1)．),()(),,(ϕθϕθψY r R r =代入方程，并用),()(/2ϕθY r R r 乘以两边：2202222422)(1r rme r mE dr dR r dr d R πε++ λϕθθθθθ=∂∂+∂∂∂∂-=]sin 1)(sin sin 1[1222Y Y Y λ是一个与ϕθ,,r 无关的常数。
径向方程：0422)(1220222=-++R r R r me R mE dr dR r dr d r λπε 角方程：Y YY λϕθθθθθ-=∂∂+∂∂∂∂222sin 1)(sin sin 1 (2)．)()(),(ϕθϕθΦΘ=Y代入方程，并用)()(/sin 2ϕθθΦΘ乘以两边：νϕθλθθθθ=∂ΦΦ-=+ΘΘ2221sin )(sin sin d d d d d ν是一个与ϕθ,无关的常数。
0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθνλθθθθd d d d022=Φ+∂Φνϕd 3、、R ΘΦ、三方程的解 (1)．Φ方程的解022=Φ+∂Φνϕd 令 2m =ν 022=Φ+∂Φm d ϕ方程的解为：ϕϕim Ae =Φ)( 波函数单值：)2()(πϕϕ+Φ=Φπϕπϕϕ2)2(im im im im e Ae Ae Ae ==+ 12sin 2cos 2=+=πππm i m e im 3,2,1,0±±±=∴m波函数归一化：12*220220===ΦΦ⎰⎰A d A d πππϕϕ π21=A ϕπϕim e 21)(=Φ 3,2,1,0±±±=m (2)．Θ三方程的解0)sin ()(sin sin 12=Θ-+Θθλθθθθm d d d d关联勒让德方程。
量子力学中的氢原子和氢原子能级
量子力学中的氢原子和氢原子能级在量子力学中，氢原子是研究最为广泛的系统之一。
它的研究不仅为量子力学奠定了基础，也为我们理解原子结构和能级提供了深入的见解。
本文将探讨氢原子的基本特性以及氢原子能级的形成和性质。
一、氢原子的基本特性氢原子是由一个质子和一个电子组成的最简单的原子。
它具有以下几个基本特性：1. 电子轨道：根据量子力学的原理，氢原子的电子存在于一系列离散的能级中。
这些能级分别用主量子数$n$来表示，从$n=1$开始依次增大。
每个能级中又存在着若干个子能级，用角量子数$l$来表示。
子能级的数量为$2l+1$。
角量子数$l$还决定了电子轨道的形状，如$l=0$对应$s$轨道，$l=1$对应$p$轨道，以此类推。
2. 能量：氢原子能级的能量与主量子数$n$有关，能级越高，能量越高。
利用氢原子的波尔模型，可以得到氢原子第$n$能级的能量公式： $$E_n = -\frac{13.6 \textrm{eV}}{n^2}$$其中，$E_n$为第$n$能级的能量，$n$为主量子数。
3. 自旋：除了电子的轨道运动外，它还具有自旋运动。
自旋量子数用$m_s$表示，它的取值为$+\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$。
自旋对氢原子的能级结构有一定的影响。
二、氢原子能级的形成和性质氢原子能级的形成是由于质子和电子之间的相互作用。
根据量子力学的理论，可以通过求解薛定谔方程来获得氢原子的能级结构。
1. 薛定谔方程：氢原子的薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了电子在氢原子中的运动。
通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子的波函数和能级。
2. 能级分裂：在氢原子中，电子和质子之间存在库仑相互作用力。
这个相互作用力导致了氢原子能级的分裂，称为斯塔克效应。
斯塔克效应导致了同一能级的分裂成许多子能级。
3. 能级跃迁：当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会发射或吸收一定频率的光子。
这些光子的频率与能级差有关，可以通过测量这些光子的频率来确定氢原子能级的差异。
量子力学32 合流超几何方程解法 氢原子问题
量子力学是描述微观粒子行为的物理学分支，其理论框架包括量子力学32 合流超几何方程解法以及氢原子问题的研究。
本文将对量子力学32 合流超几何方程解法及氢原子问题进行深入探讨，并提出相关解决方案。
一、量子力学32 合流超几何方程解法1.概述量子力学32 合流超几何方程是描述高能物理过程中的“合流”场景的一种重要方程。
该方程形式复杂，解析解难以获得，在解决实际问题时常需要借助数值计算方法。
然而，通过对方程特性的深入研究，可以寻找一些特殊情况下的解析解，为实际问题的研究提供重要参考。
2.解决方法对于量子力学32 合流超几何方程的解法，可以采用数值计算方法进行近似求解。
也可以利用变换和推导等数学方法，寻找特殊情况下的解析解。
还可以借助计算机模拟和数值模拟的手段，对方程进行深入研究，探索其中的规律和特性，为实际问题的解决提供参考。
3.实际应用量子力学32 合流超几何方程的解法在高能物理实验和理论研究中具有重要意义。
通过对该方程的研究和求解，可以更好地理解物质微观结构和相互作用规律，为高能物理实验的设计和数据解读提供支持。
二、氢原子问题1.概述氢原子是量子力学研究的经典问题之一，它涉及到氢原子中电子的运动规律、能级结构和谱线特性等重要问题。
通过对氢原子问题的研究，可以深入理解量子力学的基本原理和应用。
2.解决方法氢原子问题的解决涉及到多体量子力学、波函数、哈密顿算符等内容，在求解过程中通常采用定态薛定谔方程进行分析。
通过对定态薛定谔方程的求解，可以得到氢原子的能级和波函数，进而揭示其内在规律和特性。
3.实际应用氢原子问题在原子物理和量子化学领域有着广泛的应用。
通过对氢原子问题的研究，可以为原子光谱的解释、分子结构的预测和材料性能的优化提供重要的理论支持，并且对于发展新型材料和设计新型能源装置具有重要意义。
结语量子力学32 合流超几何方程解法和氢原子问题是量子力学研究中的重要课题，对于推动量子力学理论的发展和应用具有重要意义。
用量子力学讨论氢原子问题
用量子力学讨论氢原子问题摘要:本论文在量子力学理论计算的基础之上,对求解出来的能量及能量本征函数对氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明。
关键词:量子力学氢原子光谱系能级1900年,普朗克假说脱颖而出并率先在黑体辐射上有新的突破,1905年,爱因斯坦用量子化概念成功的解释了光电效应,1911年,卢瑟福依据粒子散射实验提出原子核式结构模型,接着1913年,玻尔在前人研究的基础上建立“玻尔理论”。
但玻尔理论是以经典物理为基础,加上一些量子化的条件限制,具有一定的局限性。
到玻尔理论建立十年之后,量子力学体系逐步建立起来,才完全解释了原子问题。
而氢原子是最简单的原子,在量子力学建立过程中有着特殊地位。
通过计算,已经得到氢原子的能量及能量本征函数,即氢原子的能量为:,氢原子的本征函数为:。
在此基础之上,本文就氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明。
以便为解决其它复杂原子和分子结构作一基础。
1 氢原子的能级分布根据前面解出的归一化的径向波函数的通解,可得出最低几条能级的径向波函数是:n=1,;n=2,,;n=3,,,2 能级的简并度对于给定能级(即给定主量子数n),按式=0,1,2,…,n-1相应有:=n-1,n-2,n-3,…,0而对于给定量子数,磁量子数可以取个可能值m=,-1,…,-+1,-因此,属于能级共有量子态的数目为:,此即的简并度。
由计算结果可以看出,它比一般中心力场能级的简并度高,这是因为,一般中心力场中的粒子的能级,依赖于量子数和,但是氢原子的核外电子处在库伦场中,能量只依赖于n,它是和的一种特殊组合,即,对于给定能级,角动量可以取0,1,…,。
此即简并,这比一般中心力场的简并度要高。
从径向方程求解可以看出,这是∝所导致的。
从物理上讲,这是氢原子核外电子所处的库伦场比一般的中心力场的几何对称性更高的动力学对称性的表现。
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
氢原子与量子力学
氢原子与量子力学在自然界中，氢原子是最简单的原子之一，由一个质子和一个电子构成。
它的基本性质和行为可以通过量子力学来解释和理解。
量子力学是一种描述微观世界的物理学理论，它提供了解释原子和分子行为的理论框架。
量子力学告诉我们，原子的能量是离散的，即只能取具有特定数值的能量。
这个能量的分立性质可以通过考虑氢原子的波函数来解释。
波函数描述了一个粒子的性质，包括其位置和动量。
在氢原子中，电子围绕着质子运动，形成一个电子云。
根据量子力学的原理，电子不处于确定的轨道上，而是存在于一系列可能的状态中。
每个状态由一对整数（n，l）来描述，其中n代表主量子数，l代表角量子数。
主量子数定义了电子的能级，而角量子数定义了电子的轨道形状。
氢原子的波函数可以用数学方程式来描述，即薛定谔方程。
这个方程可以解出电子的波函数和相应的能级。
薛定谔方程给出了氢原子中电子分布的概率密度，即电子出现在各个位置的可能性。
根据薛定谔方程的解，氢原子的能级是离散的，即只能取特定的数值。
这些数值被称为能级，用整数表示。
能级从低到高依次排列，能级越高，电子的平均距离质子越远。
氢原子的能级之间的跃迁可以通过吸收或发射光子来观察到。
当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，它会吸收或释放特定频率的光子。
这种现象被称为光谱。
根据氢原子的能级结构，可以预测和解释氢原子的光谱线。
除了能级结构和光谱之外，量子力学还可以解释氢原子的其他性质。
例如，根据波函数，可以计算出电子的平均位置和动量，以及其不确定性。
不确定性原理指出，无法同时准确知道一个粒子的位置和动量。
此外，量子力学还可以描述氢原子的自旋。
自旋是电子的一种内禀性质，类似于一个带电的旋转。
自旋有两个可能的方向，即上旋和下旋。
根据量子力学的规则，自旋不能够同时具有确定的值，只能有一个或另一个。
综上所述，氢原子作为最简单的原子之一，可以通过量子力学来解释和理解其行为。
量子力学的波函数和薛定谔方程提供了描述和预测氢原子的能级结构和光谱的工具。
氢原子的量子力学描述
氢原子的量子力学描述氢原子是最简单的原子，也是量子力学的经典案例之一。
在量子力学的描述中，氢原子的性质可以通过薛定谔方程来研究。
本文将从波函数、能级、角动量等方面对氢原子的量子力学描述进行详细介绍。
我们来介绍氢原子的波函数。
波函数是描述粒子在空间中的概率幅的函数。
对于氢原子而言，其波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
波函数的模的平方表示了粒子存在于某一位置的概率密度。
对于氢原子而言，其波函数有一些特殊的解，分别对应不同的能级。
这些能级由主量子数n来标记，其中n=1,2,3...。
每个能级对应的波函数都具有特定的空间分布，这些分布在球坐标系中可以用球谐函数来描述。
接下来，我们来介绍氢原子的能级。
根据量子力学的理论，氢原子的能级可以通过求解薛定谔方程得到。
能级的大小由主量子数n来决定，能级越高，主量子数n的值越大。
每个能级都具有固定的能量，能量越高，能级越远离原子核。
而能级之间的能量差是不连续的，这就是量子力学的离散性质。
除了能级外，氢原子还具有角动量。
角动量是描述粒子旋转运动的物理量，对于氢原子而言，其角动量由轨道角动量和自旋角动量两部分组成。
轨道角动量是由电子围绕原子核运动而产生的，而自旋角动量是电子自身的固有性质。
氢原子的轨道角动量由量子数l来标记，其取值范围为0到n-1，其中n为主量子数。
自旋角动量由量子数s来标记，其取值为1/2。
这些角动量的取值对应着不同的能级和波函数，它们在氢原子的能级结构中起到重要的作用。
总的来说，氢原子的量子力学描述涉及到波函数、能级和角动量等方面。
波函数可以描述粒子在空间中的分布情况，能级则决定了粒子的能量和空间分布，而角动量则描述了粒子的旋转运动。
这些描述对于理解氢原子的性质和行为具有重要的意义，也为量子力学的发展提供了重要的范例。
通过对氢原子的量子力学描述的研究，我们可以更好地理解量子世界的奥秘。
为什么量子力学氢原子基态n=1
量子力学是描述微观粒子行为的理论体系，它改变了人们对自然界的认识和理解。
氢原子是最简单的原子，由一个质子和一个电子组成，是研究原子结构和性质的重要模型。
在量子力学中，氢原子基态的能级被描述为n=1的状态，其特性受到广泛关注和研究。
本文将就为什么量子力学氢原子基态n=1进行探讨。
一、基态概念量子力学中，基态是指系统的最低能量状态。
对于氢原子而言，基态就是电子绕核旋转的最低能量状态，也是最稳定的状态。
基态的性质对于研究原子的结构和性质具有重要意义。
二、氢原子的基态能级1.氢原子的基态能级由原子的玻尔模型和量子力学给出。
2.玻尔模型通过经典物理的方法描述了氢原子的基态能级，但是无法描述大量实验现象。
3.量子力学将氢原子的基态描述为能级为-13.6电子伏特的状态，这个描述符合实验现象，更加精确。
三、基态n=1的性质1.基态n=1对应于氢原子最低能级的状态，这意味着电子距离原子核最近，具有最低的能量。
2.基态n=1的波函数是通过求解薛定谔方程获得的，描述了电子在基态下的运动和分布。
3.基态n=1还具有特定的角动量和自旋性质，这些性质影响着基态下氢原子的行为和相互作用。
四、基态n=1的研究意义1.研究基态n=1有助于深入理解氢原子的结构和性质，为原子物理和化学领域提供重要的理论基础。
2.基态n=1的研究可帮助科学家更好地探索和利用量子效应，拓展量子技术的应用范围。
3.氢原子基态的研究也有助于揭示基本粒子和宇宙的起源和演化规律。
五、未来展望1.随着实验技术和计算能力的提升，人们对氢原子基态的研究将更加深入和精确。
2.未来可以通过更精密的实验手段和更先进的理论模型来验证和理解基态n=1的特性。
3.量子技术的发展也将为基态n=1的研究提供更多机会和挑战。
量子力学氢原子基态n=1的研究对于推动原子物理和量子技术发展具有重要意义，也有助于揭示自然界微观世界的奥秘，值得科学家和研究人员进一步探索和挖掘。
六、氢原子基态n=1的实验研究量子力学氢原子基态n=1的理论研究为相应的实验提供了重要的指导和验证依据。
量子力学中的氢原子问题modified
2
y2
2
z2
2m 2
(
E
e 2 ) 4 0r
0.
y
为使求解的问题变得简便，通
常采用球坐标（r, , ）。
2/17
拉普拉斯算符 变为：
2
1
(r 2
)
1
(sin )
1
2
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin2 2
7/17
（3）轨道角动量空间量子化和磁量子数
氢原子中的电子，绕核运动的角动量 L ，不仅 大小L是量子化的，其空间取向也是量子化的。 Detail 若取外磁场 B 的方向为 z 轴，角动量 L 在 z 轴
上的投影 Lz ，只能取：
Lz ml ,
其 中 m l 0, 1, ..., l . ml 称为磁量子数。
l=0 z
l=1 m=0
y
z
y
l=1
m=±1
z
y
| Y0,0 (
,
)
|2
1
4
球对称
|
Y1,0
(
,
)
|2
3
4
cos2
|
Y1,1(
,)
|2
3
8
sin2
17/17
作业 习题：13-42，44
19/17
En
me4
32 2 022
1 n2
me4
8
2 0
h2
1 n2
,
n 1, 2, 3, ...
13.6 1 (eV). n2
量子物理4
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数 U(r) e2
S.E.
2
2
e2
E
4πε0r
2m
4πε0r
Hale Waihona Puke 采用球坐标（r，θ， ）1 r2
r
(r2
r
)
1
r 2 sin
(sin
)
1
r 2 sin2
2 2
决定电子绕核运动的角动量 L l(l 1)
(3) 磁量子数 ml 0, 1, 2, l
决定角动量的空间取向
(4)自旋磁量子数
ms
1 2
h Lz ml 2π
决定电子自旋角动量的空间取向 Sz
ml
1 2
原子中电子的分布：遵从两个原理 1、能量最小原理：当原子处于正常状态时，原子中
)
l(l
1)
★ 二、量子化条件和量子数
求解上述方程时可得以下一些量子数及量子
化特性
1、能量量子化和主量子数
1 En n2 E1
n =1,2,3,...为主量子数
me4
E1 802h2 13.6 (eV)
2、[“轨道”]角动量量子化和角量子数 电子绕核运动时的角动量为：
L l(l 1) h 2π
的电子尽可能地占据未被填充的最低能级。
一般地，主量子数n越大的主壳层其能级越 高；在同一主壳层内，副量子数l越大的支壳层 其能级越高。但也有例外。
n和l都不同，（n+0.7l）值越大，能级越高
2、泡利不相容原理 泡利在1925年提出：在原子中，不可
10-氢原子
解：由公式： Δ = n + 0.7 E (3d ) = 3 + 0.7 × 2 = 4.4 E (4 s ) = 4 + 0.7 × 0 = 4
[例13-33] 在原子的K壳层中，电子可能具有的四个量 子数 (n, l , ml , ms ) 是： ( 2)、4) ( 1 1 ( 1 ) ( 1 ,1 , 0 , ) ( 2 ) (1 , 0 , 0 , ) 2 2 1 1 ( 3 ) ( 2 ,1 , 0 , − ) ( 4 ) (1 , 0 , 0 , − ) 2 2 [例13-34] 在主量子数 n=2，自旋磁量子数 ms=1/2 4 的量子态中，能够填充的最大电子数是：______ [例13-35]在氢原子的L壳层中电子可能具有的各量子数 （ n, l , ml , ms ）是： B
Lz = m l
( m l = 0,±1,±2,
,± l )
氢原子内电子的状态 l=0 (s) l=1 (p) l=2 (d) l=3 (f) l=4 (g) l= 5(h) L=0 L = 2 L = 6 L = 2 3 L=2 5 L = 30
n =1 1s n =2 2s n =3 3s n =4 4s n =5 5s n =6 6s 2p 3p 4p 5p 6p 3d 4d 5d 6d 4f 5f 6f 5g 6g 6h
§13-10电子的自旋 原子的电子壳层结构
一、施特恩—格拉赫实验 原子通过不均匀磁场（沿z方向）所受力为： e 由量子力学：Lz
dB Lz 若原子中的电子只有轨道运动： Fz = − 2m dz
= ml
对于基态原子： n=1
l =0
ml =0
原子进入沿z 轴变化的磁场时，不受力，原子束运 动方向不变 对于激发态原子：ml=0 ±1 ±2 … （奇数个） 原子进入沿z轴变化的磁场时，受力，原子束将分 成奇数束
(完整word版)波尔理论与量子力学对于氢原子描述的联系与区别
波尔理论与量子力学对于氢原子描述的联系与区别背景：按照经典力学的原理，电子在原子核的库伦场中的运动有加速度时，就会辐射；而发射出来的电磁波的频率等于辐射体运动的频率，原子中的电子轨道具有向心加速度，就应该连续辐射，但这样不符合下列事实：1、量子如果辐射，他的能量就会逐渐降低，电子的轨道就会慢慢缩小，直到碰到原子核湮灭。
那么原子的半径就会只有原子核那么小，显然是不符合事实的。
2、按照电动力学，原子锁发光的频率等于原子中电子运动的频率。
原子辐射时其电子轨道连续缩小，轨道运动的频率就会连续增大，那么发光的频率应该是连续变化的，原子光谱应该是连续谱，但事实并不是这样的。
此时波尔在经典理论的基础上，加入了一些量子化假设：1、定态假设：假设电子围绕原子核做圆周运动时，只能处在一些分立的稳定状态，简称定态。
当电子处在这些状态时，电子做加速运动，但是不辐射能量，因此原子具有稳定能量。
这些能量并不连续，成为能级，2、跃迁假设：电子从一个定态到另一个定态是跳跃式的，成为跃迁。
当原子从高能级定态向低能级定态跃迁时，发出一个光子。
反之，则吸收一个光子。
光子频率由下式确定：3、量子化条件：假设在定态时，电子的轨道角动量也是量子化的，只能取约化普朗克常数的整数倍。
L=nh/2缺陷：波尔理论只是在经典力学中加入了量子化的假设，并未完整的建立量子化系统。
改进：随着实物粒子波粒二象性的本质逐渐被人们了解，量子力学迅速发展。
量子力学中的薛定谔方程，能解出描述粒子在空间各点出现概率的波函数（必须满足单值、有限和连续的条件）。
通过求解，也可以得出粒子能量量子化。
相比较于波尔理论，求解薛定谔方程得出的波函数、角动量量子化和能量量子化并没有做任何假设，而只是根据量子力学的基本原理。
两者区别：1、在波尔理论中，通过定态和能级描述电子在空间某处的最可几概率。
它并没有描述所以电子在空间的分布，而仅仅是得到电子最大概率存在的几个能级。
在量子力学中，通过波函数来描述自由电子在空间各处存在的概率。
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13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
3）“轨道”角动量空间量子化和磁量子数 ） 轨道”角动量空间量子化和 空间量子化
Lz = ml h
(ml = 0, ±1, ± 2,L, ± l )
ml ：轨道磁量子数，共有（2l +1）个允许值 . 轨道磁量子数，共有（ ）
注意 在量子力学中不能再认为电子在确定的轨道上绕 在量子力学中不能再认为电子在确定的轨道上绕 不能 核转动， 核转动，因此轨道角动量也就不能被理解为电子 绕某个闭合轨道运动的角动量 . “轨道”一词只是沿用，为的是与下一节所叙述 轨道”一词只是沿用， 轨道 的自旋角动量加以区别 .
Lz = ml h
l L
Lz
4h 3h 2h h 0 h 2h 3h 4h
(ml = 0, ±1, ± 2,L, ± l )
1
2h
0 0
2
பைடு நூலகம்6h
3
12h
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
4）本征波函数 ）
ψnlm (r,θ,) = Rnl (r) Θlm (θ ) Φm ()
w(r ) = Y (θ , )
2
电子角向概率密度与 无关， 电子角向概率密度与 n 无关，仅决定于l . 角向概率密度
l = 0 的各个态电子的概率分布是球对称的 . l ≠ 0 的各个态电子的概率分布则和角 θ 有关 .
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
氢原子部分状态的电子云立体图
第十三章 量子物理基础 十三章
R10 (r ) = 2 exp( r ) 3 a0 a0 1 (2 r ) exp( r ) R20 (r ) = 3 a0 2 a0 8a0 1 ( r ) exp( r ) R21 (r ) = 3 a 2 a0 24a0 0 R30 (r ) = 1 [2 4r + 4 ( r ) 2 ] exp( r ) 3 3a0 27 a0 3a0 27 a0
l l l
氢原子的电子状态（定态）是由一组量子数 氢原子的电子状态（定态）是由一组量子数 n、l、ml 来表征的 . 与本征能量 En、本征角动量 L 和角动量分量 Lz 相对应 . 径向波函数 —— Rnl (r)
R10 (r ) = 2 exp( r ) 3 a0 a0
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
例 用图示法分别求出 l = 0, 1, 2, 3 时的轨道角 动量的各个可能方向。 动量的各个可能方向。 解
L = l (l + 1)h
(l = 0, 1, 2, L , n 1)
l = 0,1,2,3 时轨道角动量的大小分别为 时轨道角动量 角动量的
dP = ψ dV = R Θ Φ r sinθ dr dθ d
2 2 2 2 2
1）电子在 r→r+dr 球壳体积元 ） 电子径向概率密度
dV = 4πr dr的概率 2 2 w( r ) = R ( r ) r
2
电子径向概率密度与 无关， 电子径向概率密度与 ml 无关，只与 n、l 有关 径向概率密度
me e 4 1 13.6eV En = 2 2 2 = 8ε 0 h n n2
n = 1, 2, 3, …
主量子数 2）“轨道”角动量量子化与角量子数 ） 轨道”角动量量子化与
L = l (l + 1)h
(l = 0, 1, 2, L , n 1)
l：轨道角量子数（角量子数） 轨道角量子数（角量子数）
0， 2h， 6h， 12h
LZ 轨道角动量空间量子化的数值为
Lz = ml h
从
(ml = 0, ±1, ± 2,L, ± l )
ml h 到 ml h 的（2l + 1）个允许值 .
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
L = l (l + 1)h
(l = 0, 1, 2, L , n 1)
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
三 氢原子中电子的概率分布
m 定态 ( n、l 、 l ) 的电子分布的概率密度
ψ nlm (r ,θ , ) = Rn l (r ) Θl m (θ ) Φm ( )
l l l
2
2
电子出现在 r→r+dr，θ→θ+dθ，→+d 内 体积元 dV = r 2sinθdrdθd 的概率为
玻尔半径 a0 =
ε0h
2 2
πmee
= 5.29×1011m
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
角向波函数 —— Yl ml (θ , ) = Θl ml (θ ) Φml ( )
1 Y00 (θ , ) = 4π 3 cos θ Y10 (θ , ) = 4π 3 sin θ e ±i Y1±1 (θ , ) = m 8π 5 (3 cos 2 θ 1) Y20 (θ , ) = 16π
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
一 氢原子的定态薛定谔方程 电子在库仑引力场中的势能函数
2
e U (r ) = 4 πε 0 r
电子的定态薛定谔方程
U (r )
h 2ψ 1 e ψ = Eψ 2me 4πε 0 r
直角坐标 解方程 分离变量
2
2
o
r
(x, y, z)
球坐标 (r,θ,)
ψ (r,θ,) = R(r) Θ(θ ) Φ()
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
二 量子化条件和三个量子数 波函数的标准条件：有限、单值、连续、 波函数的标准条件：有限、单值、连续、归一化 . 标准条件 1）能量量子化与主量子数 ）能量量子化与
13 – 9 量子力学中的氢原子问题
第十三章 量子物理基础 十三章
基态 n =1的电子概率密度最大值在玻尔半径 a0 处 .
n = 2，l =1时，电子概率密度极大值出现在4a0 处 .
2）电子在立体角 ）
d = sin θdθd 内出现的概率
电子的概率分布与 无关（概率角向分布对于 电子的概率分布与 无关（ z 轴具有旋转对称性） 轴具有旋转对称性 旋转对称性） 电子角向概率密度 电子角向概率密度 角向