(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题二 第三讲 冲刺直击高考
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题六 第一讲 冲刺直击高考含答案
限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．（2012·浙江高考)已知i是虚数单位，则错误!＝( ）A．1－2i B．2－iC．2＋i D．1＋2i解析：选D 错误!＝错误!＝1＋2i.2．(2012·武汉模拟）下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（)A．设数列{a n}的前n项和为S n.由a n＝2n－1，求出S1＝12,S2＝22，S3＝32，…，推断：S n＝n2B．由f（x)＝x cos x满足f（－x)＝－f（x)对∀x∈R都成立，推断:f(x）＝x cos x为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的面积S＝πabD．由（1＋1)2〉21,（2＋1)2>22，(3＋1）2>23，…,推断：对一切n∈N*，（n＋1)2>2n解析：选A 注意到，选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列｛a n}是等差数列，其前n项和S n＝错误!＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．（2012·辽宁高考)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（）A．4 B。
错误! C.错误!D．－1解析：选D 第一次循环后，S＝－1,i＝2;第二次循环后，S＝错误!，i＝3；第三次循环后，S＝错误!，i＝4;第四次循环后S＝4，i＝5；第五次循环后S＝－1，i＝6，这时跳出循环，输出S＝－1.4．(2012·安徽高考）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( ）A ．3B ．4C ．5D ．8解析：选B 当x ＝1，y ＝1时,满足x ≤4，则x ＝2，y ＝2；当x ＝2,y ＝2时，满足x ≤4，则x ＝2×2＝4，y ＝2＋1＝3;当x ＝4，y ＝3时，满足x ≤4，则x ＝2×4＝8，y ＝3＋1＝4；当x ＝8,y ＝4时，不满足x ≤4,则输出y ＝4。
(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题二 第一讲 冲刺直击高考
A．y＝fB．y＝f(2x－1)
C．y＝fD．y＝f
解 析：选B题右图的图像是由f(x)的图像向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的一半、纵坐标不变而得到的，故其解析式为y＝f(2x－1)．
5．使f(x)＝sin(2x＋y)＋cos(2x＋y)为奇函数，且在上是减函数的y的一个值是()
A.B.
C.D.
解析：选D∵f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋y)＝2sin为奇函数，∴f(0)＝0，
∴siny＋cosy＝0，
∴tany＝－，又函数f(x)在上是减函数，易知选项D满足条件故选D.
A．a为f(x)，b为g(x)，c为h(x)
B．a为h(x)，b为f(x)，c为g(x)
C．a为g(x)，b为f(x)，c为h(x)
D．a为h(x)，b为g(x)，c为f(x)
解析：选B由于函数f(x)、g(x)、h(x)的最大值分别是、1、1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图像；g(x)、h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a、c分别是h(x)、g(x)的图像．
2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分专题二第一讲冲刺直击高考
限时：50分钟 满分：78分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)
1．(2012·大纲全国卷)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()
A.B.
C.D.
解析：选C∵若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，
即sin＝±1，∴＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．只有C项符合．
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题五 第三讲2 冲刺直击高考含答案
限时：40分钟满分：56分1．（满分14分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点，离心率为错误!的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0 的圆心．（1)求椭圆E的方程；（2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为错误!的直线l1,l2.当直线l1，l2都与圆C相切时,求P的坐标．解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得（x－2）2＋y2＝2,故圆C的圆心为点（2,0)．从而可设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0），其焦距为2c。
由题设知c＝2，e＝错误!＝错误!。
所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12。
故椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。
（2）设点P的坐标为（x0,y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2,则l1，l2的方程分别为l1:y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2（x－x0),且k1k2＝错误!，由l1与圆C：（x－2)2＋y2＝2相切得错误!＝错误!，即[（2－x0）2－2］k错误!＋2（2－x0）y0k1＋y错误!－2＝0。
同理可得[（2－x0）2－2］k错误!＋2(2－x0)y0k2＋y错误!－2＝0。
从而k1，k2是方程［(2－x0)2－2］k2＋2（2－x0)y0k＋y错误!－2＝0的两个实根，于是错误!①且k 1k 2＝错误!＝错误!。
由错误!得5x 错误!－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2，或x 0＝错误!.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±错误!，它们均满足①式． 故点P 的坐标为（－2,3)，或（－2，－3），或错误!，或错误!。
2．（满分14分）如图，椭圆C 0:错误!＋错误!＝1(a 〉b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b〈t 1<a 。
点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程;（2）设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ,t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等,证明：t 12＋t 22为定值．解：(1）设 A (x 1，y 1），B (x 1,－y 1）,又知A 1（－a,0)，A 2（a,0),则直线A 1A 的方程为y ＝错误!（x ＋a ），①直线A 2B 的方程为y ＝错误!（x －a ）．②由①×②得y 2＝错误!(x 2－a 2）．③由点A（x1,y1）在椭圆C0上,得错误!＋错误!＝1。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题一 第五讲 冲刺直击高考含答案
限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．已知函数f（x）的导函数为f′（x)，且满足f(x)＝2x·f′（1)＋ln x，则f′（1)＝( ）A．－e B．－1C．1 D．e解析：选B f′（x)＝2f′(1）＋错误!，令x＝1，得f′（1)＝－1。
2．已知对任意实数x,有f（－x)＝－f(x）,g(－x）＝g(x）,且x>0时，f′(x）〉0,g′（x）>0，则x〈0时( )A．f′（x）>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′（x)<0C．f′(x)〈0，g′(x）〉0 D．f′（x）<0，g′（x）<0解析:选B 依题意得,函数f′(x）、g′（x)分别是偶函数、奇函数，当x<0时,－x〉0，f′（x)＝f′（－x）>0，g′（x）＝－g′(－x）<0。
3．（2012·乌鲁木齐模拟)直线y＝错误!x＋b与曲线y＝－错误!x ＋ln x相切,则b的值为( ）A．－2 B．－1C．－错误!D．1解析：选B 设切点的坐标为错误!,依题意,对于曲线y＝－错误!x ＋ln x，有y′＝－错误!＋错误!，所以－错误!＋错误!＝错误!，所以a＝1。
又切点错误!在直线y＝错误!x＋b上，所以－错误!＝错误!＋b,所以b＝－1.4．函数f(x)的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x＋4的解集为( )A．（－1,1) B．（－1，＋∞）C．(－∞，－1）D．（－∞，＋∞)解析：选B 记g（x)＝f(x)－（2x＋4）,则有g（－1）＝f（－1）－(－2＋4)＝0。
∵g′（x)＝f′(x)－2>0，∴g(x）在R上是增函数．不等式f（x)〉2x＋4，即g(x)>0＝g(－1），于是由g(x）在R上是增函数得，x〉－1，即不等式f(x）〉2x＋4的解集是(－1,＋∞）．5．函数f（x）＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是（)A．0 B．1C．2 D．无数个解析:选A 函数定义域为（0,＋∞），且f′(x）＝6x＋错误!－2＝错误!,由于x〉0，g(x)＝6x2－2x＋1中Δ＝－20〈0,所以g（x）>0恒成立，故f′(x）〉0恒成立，即f(x）在定义域上单调递增，无极值点．6．若f(x)＝－错误!(x－2)2＋b ln x在(1，＋∞)上是减函数,则b的取值范围是( ）A．[－1，＋∞）B．（－1，＋∞）C．（－∞，－1] D．(－∞，－1)解析：选C 由题意可知f′(x)＝－（x－2）＋错误!≤0在(1，＋∞）上恒成立，即b≤x（x－2）在x∈（1,＋∞）上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞）)的值域是（－1,＋∞），故只要b≤－1即可．7．(2012·泉州模拟)已知函数f（x）＝sin x－错误!x(x∈［0，π])，那么下列结论正确的是( ）A．f(x）在错误!上是增函数B．f(x)在错误!上是减函数C．∃x∈［0，π］，f(x）〉f错误!D．∀x∈[0，π]，f（x）≤f错误!解析：选D 注意到f′（x）＝cos x－错误!，当x∈错误!时，f′(x)>0；当x∈错误!时，f′（x）〈0，因此函数f（x)在错误!上是增函数，在错误!上是减函数，f(x）在［0,π]内的最大值是f错误!，即∀x∈［0，π］，都有f(x)≤f错误!，因此D正确．8．函数f（x)＝x cos x的导函数f′（x）在区间［－π,π]上的图像大致是( ）解析：选A f′（x)＝cos x－x sin x．取特殊值检验，当x＝0时,f′(x）＝cos x－x sin x＝1，排除C，D；当x＝错误!时，f′(x）＝cos x－x sin x＝0－错误!〈0，即在[0，π]的中间处,f′（x)〈0,显然B不符合要求．9．已知函数f（x)＝错误!，则下列选项正确的是( ）A．函数f(x)有极小值f（－2）＝－12，极大值f（1）＝1 B．函数f(x）有极大值f（－2)＝－错误!,极小值f(1)＝1C．函数f(x）有极小值f（－2）＝－错误!，无极大值D．函数f(x)有极大值f(1）＝1，无极小值解析：选A 由f′(x)＝错误!′＝错误!＝0,得x＝－2或x＝1，当x<－2时,f′（x)<0,当－2〈x〈1时，f′（x)〉0，当x〉1时，f′（x)〈0，故x＝－2是函数f(x）的极小值点，且f（－2)＝－错误!，x＝1是函数f(x)的极大值点,且f(1)＝1.10．(2012·唐山模拟）已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′（x)，且f′（0)〉0。
(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题二 第二讲 冲刺直击高考
C．60°D．60°或120°
解析：选D由正弦定理得＝，所以＝，sinB＝.又0°<B<180°，因此有B＝60°或B＝120°.
9．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则cos＝()
2．若sin＝，则cos等于()
A.B．－C.D．－
解析：选D据已知可得cos＝sin 2α＝
－cos 2＝－＝－.
3．(2012·福州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC等于()
A.B.C.D.
解析：选B依题意得b＝＝5，又＝，所以sinC＝＝＝.
2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分专题二第三讲冲刺直击高考
限时：50分钟 满分：78分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)
1．(2012·广州模拟)已知sin 2α＝－，α ∈，则sinα＋cosα＝()
A．－B.C．－D.
解析：选B∵α∈，∴cosα>0>sinα 且cosα>|sinα|，则sinα＋cos α＝＝＝.
所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，
即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ]，
也即(1－m)sin (α＋β)cosα＝(1＋m)cos (α＋β)sinα， 所以＝＝3，
所以m＝.
8．(2012·深圳模拟)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等 于sθ的取值范围是()
A.B.
C.D.
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题一 第二讲 冲刺直击高考含答案
限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分)1．（2012·福建高考）设f(x）＝错误!g（x)＝错误!则f（g（π)）的值为（）A．1 B．0C．－1 D．π解析：选B ∵g（π)＝0,f（0）＝0，∴f（g(π)）＝0.2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ）A．y＝x3B．y＝|x｜＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－｜x|解析:选B y＝x3为奇函数，y＝－x2＋1在（0，＋∞）上为减函数，y＝2－｜x|在（0，＋∞)上为减函数．3．（2012·潍坊模拟）定义一种运算：a⊗b＝错误!已知函数f(x)＝2x⊗(3－x）,那么函数y＝f(x＋1）的大致图像是（)解析：选B 由题意得函数f（x)＝错误!所以函数f(x）的大致图像如右图所示，函数f(x＋1)的图像可由函数f （x)的图像向左平移1个单位得到，故选B.4．已知定义在R上的函数f(x)，对任意两个不等实数a，b，f a－f ba－b>0恒成立，则( )A．函数f(x)是奇函数B．函数f（x)是偶函数C．f（x）在R上是增函数D．f（x)在R上是减函数解析:选C 依题意,不妨设a>b，则有f（a）－f(b）〉0,即f（a)〉f（b)，所以函数f（x)在R上是增函数．5．（2012·东北三校联考）已知函数f(x)＝log12｜x－1｜，则下列结论正确的是（)［中教网]A．f错误!<f（0）〈f(3）B．f（0)<f错误!<f（3）C．f（3)〈f错误!〈f(0)D．f（3）〈f(0)〈f错误!解析：选C 依题意得f(3)＝log122＝－1〈0，log122<f错误!＝log12错误!〈log121,即－1<f错误!〈0，又f(0)＝log121＝0，因此有f（3）<f错误!〈f（0）．6．(2012·唐山模拟)若函数y＝a x＋b的图像如图,则函数y＝b ＋错误!的图像为（)解析：选C 由函数y＝a x＋b的图像可知,函数y＝a x＋b在R上单调递减，故0<a<1。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题五 第三讲1 冲刺直击高考含答案
限时:40分钟满分：56分1．(满分14分）(2012·新课标全国卷)设抛物线C：x2＝2py(p〉0)的焦点为F，准线为l,A为C上一点，已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F 的方程;（2)若A，B，F三点在同一直线m上,直线n与m平行，且n 与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解：（1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，｜BD｜＝2p，圆F的半径|FA｜＝错误!p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝｜FA｜＝错误!p.因为△ABD的面积为4错误!，所以错误!|BD｜·d＝4错误!，即错误!×2p×错误!p＝4错误!,解得p＝－2（舍去）或p＝2.所以F（0，1），圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8。
(2）因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，即∠ADB＝90°.由抛物线定义知｜AD|＝｜FA｜＝错误!｜AB｜，所以∠ABD＝30°,m的斜率为错误!或－错误!.当m的斜率为错误!时，由已知可设n:y＝错误!x＋b，代入x2＝2py得x2－错误!px－2pb＝0。
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－错误!.因为m的纵截距b1＝错误!，错误!＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－错误!时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n 距离的比值为3。
综上,坐标原点到m，n距离的比值为3.2．(满分14分）（2012·潍坊模拟）已知直线l:y＝x＋错误!，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：错误!＋错误!＝1（a>b>0）的离心率e＝错误!.直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1）求椭圆E的方程；(2）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率，求证这两条切线互相垂直．解：(1）设椭圆E的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝错误!＝错误!，则直线l被圆O截得的弦长为2错误!＝2错误!，故b＝错误!。
(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题三 第二讲 冲刺直击高考
设数列 {an}的公差为d，
则(a2＋3d)2＝(a2＋2d)(a2＋6d)．
将a2＝3代入上式化简整理得d2＋2d＝0.
又因为d≠0，所以d＝－2.
于是an＝a2＋(n－2)d＝－2n＋7，即数列{an}的通项公式为an＝－2n＋7.
(2)假设存在正整数对(n，k)，使得nan＝kSn，则由(1)知Sn＝＝6n－n2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an ＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得
解得
所以{an}的通项an＝2n－1.
(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.
当q>0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋；
2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分专题三第二讲冲刺直击高考
限时：60分钟 满分：84分
1．(满分14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列的前n项和Tn.
解：(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，
(1)试用an－1，bn－1表示an，bn；
(2)求证：数列{an－bn}是等比数列，数列{an＋bn}是常数数列；
(3)求数列{an}，{bn}的通项公式．
解：(1)由题意知，
an＝＝an－1＋bn－1，
bn＝＝bn－1＋an－1.
(2)证明：由(1)知，an－bn＝(an－1－bn－1)，
(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题四 第一讲 冲刺直击高考
1 2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分 专题四 第
一讲 冲刺直击高考
限时：50分钟 满分：78分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)
1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(
)
解析：选D 从俯视图看，B 和D 符合，再从正视图看D 符合．
2．(2012·太原模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(
)
解析：选C 由正视图和侧视图可得该几何体可以是以下三个棱锥，它们的三视图中俯视图分别为选项中的A ，B ，D ，由此可知俯视图不可能为
C.
3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题五 第二讲 冲刺直击高考含答案
限时:50分钟满分:78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．（2012·温州质检）已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）的右焦点为F,若过F点且斜率为错误!的直线与双曲线的渐近线平行，则此双曲线的离心率为( )A。
错误!B。
错误!C．2 D．2错误!解析：选A 由题知，双曲线的一条渐近线的斜率为错误!，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!＝错误!。
2．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的两顶点为A（a，0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( ）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!解析:选B 由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c）2,即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝错误!，又因为e>0，故所求的椭圆的离心率为错误!。
3．（2012·沈阳模拟）已知椭圆错误!＋y2＝1的两焦点为F1、F 2，点M 在椭圆上，1MF ·2MF ＝0，则M 到y 轴的距离为（ ) A.错误! B 。
错误!C.错误!D.错误!解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3,即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得错误!＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则｜x |＝错误!，此即点M 到y 轴的距离． 4．已知抛物线y 2＝2px (p 〉0)上一点M (1，m )(m >0）到其焦点的距离为5，双曲线错误!－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于( )A 。
错误!B 。
错误!C.错误! D 。
错误!解析：选A ∵点M （1,m ）在抛物线上，∴m 2＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义点M 到准线x ＝－错误!的距离也为5，∴1＋错误!＝5,∴p ＝8，由此可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A （－错误!，0)，∴k AM ＝错误!，而双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!，根据题意，错误!＝错误!,∴a ＝错误!。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题四 第一讲 冲刺直击高考含答案
限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分)1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析:选D 从俯视图看，B和D符合，再从正视图看D符合．2．（2012·太原模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析:选C 由正视图和侧视图可得该几何体可以是以下三个棱锥，它们的三视图中俯视图分别为选项中的A，B,D,由此可知俯视图不可能为C。
3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( ）A.错误!B．5C.错误!D．4解析：选D 由三视图可知，此几何体为直六棱柱，且底面的面积为4，高为1，则体积V＝Sh＝4。
4．(2012·山东烟台一模）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题正确的是( )A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α,n⊥α,则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，α∥β，则m∥β解析：选B 选项A中，α与β可能相交,故A错；选项C中，m与n可能相交、异面或平行，故C错；选项D中,m可能在β内，故D错；故选项B正确．5．已知某三棱锥的三视图(单位:cm）如图所示，则该三棱锥的体积是( )A．1 cm3B．2 cm3C．3 cm3D．6 cm3解析：选A 由几何体的三视图可知,该几何体是有三个面为直角三角形的四面体，如图所示．三棱锥的底面三角形中直角边长分别为1，2，高为3，故V＝错误!S底·h＝错误!×错误!×1×2×3＝1（cm3)．6．(2012·临汾模拟）在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等,则过两点的直线必平行于该平面；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．其中正确的是( ）A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D 易知①④正确；对于②,过两点的直线可能与平面相交;对于③,垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．7．（2012·长沙模拟）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面三角形BC1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为（）A．16错误!B．8错误!C．4 3 D。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题一 第三讲 冲刺直击高考含答案
限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题,每小题5分,共50分)1．函数f(x）＝x3－16x的某个零点所在的一个区间是( )A．（－2,0）B．(－1，1)C．(0，2) D．(1，3）解析:选B 令f（x）＝0，解得x＝0或±4。
2．(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间（0,1)内的零点个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 法一:函数f(x）＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y＝2x,y＝2－x3在区间(0，1）内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间（0,1)内有1个交点,故原函数在区间(0，1）内的零点个数是1.法二：由题意知f（x)为单调增函数且f（0）＝－1<0，f(1）＝1〉0,所以在区间(0,1）内有且只有一个零点．3．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图像的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图像的交点分别为C，D,则直线AB与CD( ）A．相交，且交点在第Ⅰ象限B．相交,且交点在第Ⅱ象限C．相交，且交点在第Ⅳ象限D．相交,且交点在坐标原点解析：选D 由已知得A（2,1）,B(4,2),C（2，lg 2)，D（4,lg 4)，由于k AB＝错误!,k CD＝lg 错误!，故AB与CD相交，且两直线方程分别为y＝错误!x和y＝错误!lg 2x，两直线均过原点，即交点在坐标原点处．4．若f（x）＝错误!是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（)A．（1，＋∞) B．[4,8)C．（4，8）D．（1,8）解析:选B 函数f(x）在（－∞，1］和(1，＋∞)上都为增函数，且f（x)在（－∞，1]上的最高点不高于其在(1,＋∞)上的最低点，即错误!解得a∈[4,8)．5．若商品的年利润y（万元）与年产量x（百万件)的函数关系式:y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为（) A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件解析：选C 依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)（x＋3），当0〈x<3时，y′>0；当x>3时,y′〈0。
(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题二 第四讲 冲刺直击高考
2013届高考数学（某某专用）冲刺必备：第二部分 专题二 第四讲 冲刺直击高考 限时：60分钟 满分：84分 1．(满分14分)设f (x )＝12cos 2x ＋a sin x －a 40≤x ≤π2.(1)用a 表示f (x )的最大值M (a )．(2)在(1)中的条件下，当M (a )＝2时，求a 的值．解：(1)f (x )＝12(1－2sin 2x )＋a sin x －a4，即f (x )＝－sin 2x ＋a sin x ＋12－a4，所以f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －a22＋12－a 4＋a24.∵0≤x ≤π2，∴0≤sin x ≤1.∴当a2≥1时即a ≥2时，M (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3a 4－12；当0<a 2<1即0<a <2时，M (a )＝12－a 4＋a 24；当a2≤0即a ≤0时，M (a )＝f (0)＝12－a4.∴M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3a4－12a ≥2，12－a 4＋a 240<a <2，12－a4a ≤0.(2)当M (a )＝2时，则当a ≥2时，3a 4－12＝2⇒a ＝103，当0<a <2时，12－a4＋a24＝2⇒a ＝3(舍)或a ＝－2(舍)，当a ≤0时，12－a4＝2⇒a ＝－6.∴a ＝103或a ＝－6.2．(满分14分)(2012·某某模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝45，0<α<π3，求cos α的值． 解：(1)由图像知A ＝1， f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2， 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝45，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，又0<α<π3， 则π6<α＋π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝33＋410. 3．(满分14分)(2012·某某模拟)把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )．(1)求ω和φ的值；(2)求函数h (x )＝f (x )－g 2(x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24，π4的最大值与最小值． 解：(1)f 1(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋φ→g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx 2＋ωπ12＋φ. 由2π×2ω＝2π⇒ω＝2， 则g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π6，又φ＋π6＝π2⇒φ＝π3. (2)h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－4sin 2x＝2×12cos 2x －2×32sin x －2(1－cos 2x ) ＝3cos 2x －3sin 2x －2 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x －2 ＝－23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24，π4⇒2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π2⇒ 2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π6， 故h (x )max ＝23－2，h (x )min ＝－3－2.4．(满分14分)已知函数f (x )＝sin x 2cos x 2－sin 2x2. (1)若函数g (x )＝f (x )－m 在(－∞，＋∞)上无零点，某某数m 的取值X 围；(2)设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若f (A )＝f (B )且A ≠B ，求f (C )的值．解：(1)f (x )＝12sin x －1－cos x 2＝12(sin x ＋cos x )－12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12. g (x )＝f (x )－m 在(－∞，＋∞)上无零点，即y ＝f (x )与y ＝m 的图像无交点． 因为f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋12，2－12， 所以m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2＋12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12，＋∞. (2)由f (A )＝f (B )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4. 因为A ，B 是△ABC 的三个内角，所以A ＋π4，B ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，而A ≠B ， 故有A ＋π4＝π－⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4，即A ＋B ＝π2， 从而C ＝π－(A ＋B )＝π2， 所以f (C )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4－12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4－12＝22cos π4－12＝0. 5．(2012·某某模拟)已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三内角，设向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )，且p ∥q .(1)求A 的大小； (2)当函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2取最大值时，求B 的大小．解：(1)∵p 与q 是共线向量，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝2＋2sin A －2sin A －2sin 2A －sin 2A ＋cos 2A ＝1＋2cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝－12. 又∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2A ∈(0，π)，∴2A ＝23π，∴A ＝π3. (2)由(1)知C ＝2π3－B ， 则y ＝2sin 2B ＋cosC －3B 2＝1－cos 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3 ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 又∵π6<B <π2，∴π6<2B －π6<5π6， 则当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值．故B ＝π3. 6．如图所示，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD )的池底水平铺设污水净化管道(Rt △FHE ，H 是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝103米，记∠BHE ＝θ.(1)试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；(2)若sin θ＋cos θ＝2，求此时管道的长度L ；(3)当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．解：(1)EH ＝10cos θ，FH ＝10sin θ， EF ＝EH 2＋FH 2＝10sin θcos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2. 由于BE ＝10tan θ≤103，AF ＝10tan θ≤103，所以33≤tan θ≤3，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3. 所以L ＝10cos θ＋10sin θ＋10sin θcos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3. (2)当sin θ＋cos θ＝2时，则sin θcos θ＝12， L ＝10sin θ＋cos θ＋1sin θcos θ＝20(2＋1)(米)． (3)L ＝10sin θ＋cos θ＋1sin θcos θ，设sin θ＋cos θ＝t ， 则sin θcos θ＝t 2－12，所以L ＝20t －1. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， ∴t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32， 2 . 由于L ＝20t －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32， 2 上单调递减， 所以当t ＝3＋12即θ＝π6或θ＝π3时， L 取得最大值20(3＋1)米．答：当θ＝π6或θ＝π3时，污水净化效果最好，此时管道的长度为20(3＋1)米．。
浙江省2013届高三高考模拟冲刺数学理试卷(二)
选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 复数911⎪⎭⎫⎝⎛+-i i 的值等于 （ ）（A ）22（B ）2 （C ）i （D ）－i 2．若1既是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b 1的等差中项，则22ba ba ++的值是 （ ）（A ）1或21 （B ）1或21- （C ）1或31 （D ）1或31-3.若某程序框图如图所示，如果该程序运行后输出的p 是3，则输入的n 是（ ） （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）24．集合=P {x ，1}，=Q {y ，1，2}，其中∈y x ，{1， 2，…，9}，则满足条件Q P ⊂的事件的概率为 （ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）155．直线l 过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线l 的条数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．设实数y x ，满足10<<xy 且xy y x +<+<10，那么y x ，的取值范围是 （ ） （A ）1>x 且1>y （B ）10<<x 且1<y （C ）10<<x 且10<<y （D ）1>x 且10<<y7．已知函数qx px x x f ++=23)(与x 轴切于)0(00≠x x 点,且极小值为4-,则p q +=（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）15 （D ）16 8．已知,[,],,44x y a R ππ∈-∈且有33sin 20,4sin cos 0x x a y y y a +-=++=，则22sin(4)x y -=（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）12（D ）0 9．单位正方体在一个平面内的投影面积的最大值和最小值分别为 （ ）（A （B （C ）,13 （D ）,1210．已知圆M ：()()22234x y -+-=，过x 轴上的点(),0P a 存在圆M 的割线PBA ，使得PA AB =，则点P 的横坐标a 的取值范围是（ ）A ．[-B .[- C.[22-+ D [22-+ 非选择题部分 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题四 第二讲 冲刺直击高考
2013届高考数学（某某专用）冲刺必备：第二部分 专题四 第二讲 冲刺直击高考限时：60分钟 满分：90分1．(满分15分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA ＝AD＝1，AB ＝2，∠PAB ＝120°，∠PBC ＝90°.(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ；(2)求三棱锥D －PAC 的体积；(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥AB 且AD ∥BC ，∵BC ⊥PB ，∴DA ⊥PB ，且AB ∩PB ＝B ，∴DA ⊥平面PAB ，又∵DA ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB .(2)由(1)知DA ⊥平面PAB ，且AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PAB .∴V D －PAC ＝V P －DAC ＝V P －ABC ＝V C －PAB ＝13S △PAB ·BC ＝13·12PA ·AB ·sin∠PAB ·BC ＝16×1×2×32×1＝36. (3)由(1)知DA ⊥平面PAB ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAB .在平面PAB 内，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则PE ⊥平面ABCD ，连接EC ， 则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角，在Rt △PEA 中，∵∠PAE ＝60°，PA ＝1，∴PE ＝32， 在△PAB 中，∵PB 2＝PA 2＋AB 2－2PA ·AB cos 120°＝7， ∴PC ＝PB 2＋BC 2＝2 2. 在Rt △PEC 中，sin θ＝PE PC ＝3222＝68. 即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为68. 2．(满分15分)在直角梯形A 1A 2A 3D 中，A 1D ＝10，A 2A 3＝16，A 1A 2＝8，A 1A 2⊥A 1D ，A 1A 2⊥A 2A 3，且B ，C 分别是边A 1A 2，A 2A 3上的一点，沿线段BC ，CD ，DB 分别将△BCA 2，△CDA 3，△DBA 1翻折上去恰好使A 1，A 2，A 3重合于一点A .(1)求证：AB ⊥CD ；(2)求AC 与平面BCD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意∠BAC ＝∠BAD ＝π2，故BA ⊥平面ACD ，所以AB ⊥CD .(2)由题意得，A 1D ＝A 3D ＝10A 1B ＝A 2B ＝4A 2C ＝A 3C ＝8作点A 在平面BCD 内的射影点O ，由V A －BCD ＝V B －ACD 得，S △BCD ·AO ＝S △ACD ·AB又S △ACD ＝12×8×8＝32，S △BCD ＝12(8＋10)×8－12×4×10－12×8×4＝36，所以AO ＝32×436＝329设AC 与平面BCD 所成角为α，则sin α＝AO AC ＝329×8＝49.3．(满分15分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是平行四边形，且AA 1⊥底面ABCD ，AB ＝2，AA 1＝BC ＝4，∠ABC ＝60°，点E 为BC 中点，点F 为B 1C 1中点．(1)求证：平面A 1ED ⊥平面A 1AEF ；(2)设二面角A 1－ED －A 的大小为α，直线AD 与平面A 1ED 所成的角为β，求sin(α＋β)的值．解：(1)证明：∵AB ＝BE ＝2且∠ABC ＝60°，∴∠AEB ＝60°.∵CE ＝CD ＝2且∠BCD ＝120°，∴∠CED ＝30°，∴∠AED ＝90°，∴AE ⊥ED .∵AA 1⊥底面ABCD ，∴AA 1⊥ED ，∴ED ⊥面A 1AEF ，∴平面A 1ED ⊥平面A 1AEF .(2)∵ED ⊥面A 1AEF ，∴A 1E ⊥ED ，AE ⊥ED ，∴∠A 1EA 为二面角A 1－ED －A 的平面角，即∠A 1EA ＝α.sin α＝AA 1A 1E ＝255，cos α＝55. 过A 作A 1E 的垂线，垂足为H ，连接HD ，∵ED ⊥面A 1AEF ，∴ED ⊥AH ，∴AH ⊥面A 1ED ，∴∠ADH 为直线AD 与平面A 1ED 所成的角β，即∠ADH ＝β，易得AH ＝455，sin β＝55＝cos α， ∴α＋β＝90°，sin(α＋β)＝1.4．(满分15分)如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥EF ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：(1)由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线BF 与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连接EP ，PC .因为FE 綊AP ，所以FA 綊EP .同理，AB 綊PC .又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a .故∠CED ＝60°.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .连接MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点，连接PQ ，EQ .因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD .因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A －CD －E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝62a ，PQ ＝22a . 于是在Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝PQ EQ ＝33. 所以二面角A －CD －E 的余弦值为33. 5．(满分15分)在长方形AA 1B 1B 中，AB ＝2AA 1＝4，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点(如图1)．将此长方形沿CC 1对折，使二面角A 1－CC 1－B 为直二面角，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点(如图2)．(1)求证：C 1D ∥平面A 1BE ；(2)求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B ；(3)求异面直线C 1D 与BE 所成角的正弦值．解：(1)证明：取A 1B 的中点F ，连接DF ，EF .因为D ，F 分别是A 1B 1，A 1B 的中点，所以DF 是△A 1BB 1的中位线．所以DF ∥BB 1∥CC 1，且DF ＝12BB 1＝12CC 1. 又因为E 是CC 1的中点，所以C 1E ＝12CC 1. 所以DF ∥C 1E ，且DF ＝C 1E .所以四边形C 1EFD 是平行四边形．所以C 1D ∥EF .又EF ⊂平面A 1BE ，C 1D ⊄平面A 1BE ，所以C 1D ∥平面A 1BE .(2)证明：因为CC 1⊥A 1C 1，CC 1⊥B 1C 1且A 1C 1∩B 1C 1＝C 1，所以CC 1⊥平面A 1C 1B 1.因为BB 1∥CC 1，所以BB 1⊥平面A 1C 1B 1.因为C 1D ⊂平面A 1C 1B 1，所以BB 1⊥C 1D .又A 1C 1＝C 1B 1，且D 是A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥A 1B 1.因为A 1B 1∩BB 1＝B 1，所以C 1D ⊥平面AA 1B 1B .由(1)知EF ∥C 1D .所以EF ⊥平面AA 1B 1B .又因为EF ⊂平面A 1BE ，所以平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B .(3)由(1)知C 1D ∥EF ，所以∠BEF 为异面直线C 1D 与BE 所成的角．由A 1C 1＝2，CE ＝12CC 1＝1，得A 1E ＝5， 同理BE ＝ 5.由AA 1＝AB ＝2，得A 1B ＝22，BF ＝12A 1B ＝ 3. 又EF ⊥A 1B ，所以sin ∠BEF ＝BFBE ＝35＝155. 即异面直线C 1D 与BE 所成角的正弦值为155. 6．(满分15分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE ＝a ，点M 在线段EF 上．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？证明你的结论；(3)求二面角B －EF －D 的平面角的余弦值．解：(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，∴四边形ABCD 是等腰梯形，且∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∠DCB ＝120°，∴∠ACB ＝∠DCB －∠DCA ＝90°，∴AC ⊥BC ，又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ，∴BC ⊥平面ACFE .(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ， 在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN ，则∶NA ＝1∶2，∵EM ＝33a ，而EF ＝AC ＝3a ，∴EM ∶MF ＝1∶2，∴MF綊AN，∴四边形ANFM是平行四边形，∴AM∥NF，又∵NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，∴AM∥平面BDF.(3)取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH.∵DE＝DF，∴DG⊥EF，由(1)知BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，又∵EF⊥FC，FC∩BC＝C，∴EF⊥平面FCB，∵FB⊂平面FCB，∴EF⊥FB，又∵GH∥FB，∴EF⊥GH，∴∠DGH是二面角B－EF－D的平面角．在△BDE中，DE＝2a，DB＝3a，BE＝AE2＋AB2＝5a，∴DE2＋DB2＝BE2，∴∠EDB＝90°，∴DH＝52a.又∵DG＝52a，GH＝22a，∴在△DGH中，由余弦定理得cos∠DGH＝10 10，即二面角B－EF－D的平面角的余弦值为10 10.。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题六 第二讲 冲刺直击高考含答案
限时:50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．某市甲、乙、丙3个区共有高中学生20 000人，且甲、乙、丙3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5.现要用分层抽样方法从该市甲、乙、丙3个区所有高中学生中抽取一个样本，已知从甲区中抽取了80人,则应从乙、丙2个区中共抽取（)A．120人 B．200人C．320人D．400人解析:选C 由已知条件可得甲区高中学生人数为20 000×错误!＝4 000人,则应当从乙、丙2个区中共抽取804 000×（20 000－4 000)＝320人．2．（2012·淄博模拟）一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450，430，460,440,450，440，470,460,则该组数据的方差为( )A．120 B．80 C．15 D．150解析：选D根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4608＝450，所以该组数据的方差为错误!×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.3．从｛1，2，3,4,5｝中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则a〈b的概率为( )A。
错误! B.错误!C。
错误! D.错误!解析:选D 取出的两个数用数对表示，则数对（a,b）的不同选法共有15种，即:(1，1)，（1，2），(1，3），(2，1)，（2，2）,(2，3)，(3,1)，(3，2),(3,3)，（4，1），(4,2），(4,3)，（5，1），(5,2)，（5,3）,其中a〈b的情形有（1，2)，（1,3），(2,3），共3种，故所求事件的概率P＝错误!＝错误!。
4．(2012·皖北四市联考)从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻排列的概率为（)A.15B.错误!C。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题一 第四讲 冲刺直击高考含答案
限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分)1．若a>b,则下列不等式正确的是( )A.错误!〈错误! B．a3>b3C．a2〉b2D．a>｜b|解析：选B 若a＝1,b＝－3，则错误!>错误!，a2<b2，a〈|b｜，知A、C、D错误;函数f（x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0，函数f(x）＝x3在R 上为增函数，若a〉b，则a3〉b3。
2．（2012·济南模拟）若a〉b>0，则下列不等式不成立的是（)A．a＋b<2错误!B．a12>b12C．ln a>ln b D．0.3a〈0。
3b解析：选A 根据幂函数、对数函数、指数函数的性质可知,选项B、C、D的不等式均成立．3．若正实数a,b满足a＋b＝1，则（)A。
错误!＋错误!有最大值4 B．ab有最小值错误!C.错误!＋错误!有最大值错误!D．a2＋b2有最小值错误!解析:选C 由基本不等式，得ab≤错误!＝错误!,所以ab≤错误!，故B错；错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥4，故A错;由基本不等式得错误!≤ 错误!＝错误!，即错误!＋错误!≤错误!，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝错误!，故D错．4．(2012·新课标全国卷）已知正三角形ABC的顶点A（1,1)，B（1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y）在△ABC内部,则z＝－x ＋y的取值范围是( ）A．(1－错误!,2) B．(0,2）C．(错误!－1，2) D．（0,1＋错误!)解析：选A 如图,根据题意得C(1＋错误!,2)．作直线－x＋y＝0,并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C（1＋3,2)时，z＝－x＋y取范围的边界值,即－(1＋错误!）＋2〈z〈－1＋3，所以z＝－x＋y的取值范围是(1－错误!，2）．5．（2012·东城模拟）已知约束条件错误!若目标函数z＝x＋ay （a〉0)恰好在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．0<a<错误!B．a≥错误!C．a〉错误!D．0<a<错误!解析:选C 如图，约束条件为图中的三角形区域ABC。
浙江省2013年高考数学第二轮复习 专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用 文
专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用真题试做1．(2012·辽宁高考，文8)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D．(0，＋∞)2．(2012·浙江高考，文21)已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |＞0.3．(2012·天津高考，文20)已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围； (3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．考向分析从近三年高考来看，该部分高考命题有以下特点：从内容上看，考查导数主要有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现．热点例析热点一 导数的几何意义 【例1】设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．规律方法 1．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．2．求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0的导数f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标P (x 0，f (x 0))，由点斜式得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 特别提醒：①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．变式训练 1 (1)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝__________；(2)设f (x )＝x ln x ＋1，若f ′(x 0)＝2，则f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为__________． 热点二 利用导数研究函数的单调性【例2】已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．规律方法 利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0.②若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间内恒成立问题求解．解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想．变式训练2 已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )，a ＞0.讨论f (x )的单调性．热点三 利用导数研究函数极值和最值问题【例3】已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x ，(1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝－13是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由．规律方法 利用导数研究函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求函数f (x )的导数f ′(x )；(3)①若求极值，则先求出方程f ′(x )＝0的根，再检验f ′(x )在方程根左右边f ′(x )的符号，求出极值．当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内．②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况，从而求解．变式训练3 设a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－3x 2.(1)若x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点，求a 的值；(2)若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )，x ∈[0,2]在x ＝0处取得最大值，求a 的取值范围． 思想渗透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归常用的方法是等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．已知函数f (x )＝x (ln x ＋m )，g (x )＝a3x 3＋x .(1)当m ＝－2时，求f (x )的单调区间；(2)若m ＝32时，不等式g (x )≥f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当m ＝－2时，f (x )＝x (ln x －2)＝x ln x －2x ，定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －1.由f ′(x )＞0，得ln x －1＞0，所以x ＞e. 由f ′(x )＜0，得ln x －1＜0，所以0＜x ＜e.故f (x )的单调递增区间是(e ，＋∞)，递减区间是(0，e)．(2)当m ＝32时，不等式g (x )≥f (x )，即a 3x 3＋x ≥x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋32恒成立． 由于x ＞0，所以a 3x 2＋1≥ln x ＋32，即a 3x 2≥ln x ＋12，所以a ≥3⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2.令h (x )＝3⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2 ，则h ′(x )＝－6ln x x3， 由h ′(x )＝0得x ＝1.且当0＜x ＜1时，h ′(x )＞0； 当x ＞1时，h ′(x )＜0，即h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )在x ＝1处取得极大值h (1)＝32，也就是函数h (x )在定义域上的最大值．因此要使a ≥3⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2恒成立，需有a ≥32，此即为a 的取值范围．1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )． A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．22．(2012·浙江名校《创新》冲刺卷，文10)已知f (x )是R 上的周期为2的偶函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝12x 2＋2x －3ln x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，则( )． A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a3．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，不等式f (x )＋xf ′(x )＜0成立，若a ＝30.3f (30.3)，b ＝log π3f (log π3)，c ＝log 319f ⎝⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 间的大小关系是( )．A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b4．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)5．三次函数f (x )，当x ＝1时有极大值4；当x ＝3时有极小值0，且函数图象过原点，则f (x )＝__________.6．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a (a 为常数)在区间[－2,2]上有最大值20，那么此函数在区间[－2,2]上的最小值为__________．7．已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在x ＝12处切线的斜率；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝2x，若对任意x 1∈(0，＋∞)，存在x 2∈[0,1]，使f (x 1)＜g (x 2)，求实数a 的取值范围．8．(2012·浙江宁波十校联考，文21)设函数f (x )＝a 2ln x －4x ，g (x )＝bx 2，(a ≠0，b ≠0，a ，b ∈R )．(1)当b ＝32时，函数h (x )＝f (x )＋g (x )在x ＝1处有极小值，求函数h (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )和g (x )有相同的极大值，且函数p (x )＝f (x )＋g x x在区间[1，e 2]上的最大值为－8e ，求实数b 的值．(其中e 是自然对数的底数)参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2－1x(x ＞0)，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x >0，解得x ∈(0,1]．因此函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B.2．(1)解：由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－a 6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a6，＋∞. 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a6，a 6. (2)证明：由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2.设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 1 g ′(x ) － 0 ＋ g (x )1减极小值增1所以，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎪⎫33＝1－439＞0. 所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0.故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.3．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )． 由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )． (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f －2<0，f －1>0，f 0<0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增． ①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)， 故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3]． 下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)，f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53. 所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】(1)解：f ′(x )＝a －1x ＋b 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b＝3，a －12＋b2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.由a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1. 由f ′(x 0)＝1－1x 0－12知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 0－12(x －x 0)．令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1.令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1·|2x 0－1－1| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.∴所围三角形的面积为定值2.【变式训练1】(1)1 解析：∵y ＝ax 2，∴y ′＝2ax ，∴y ′|x ＝1＝2a .又y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行， ∴2a ＝2，a ＝1.(2)2x －y －e ＋1＝0 解析：因为f (x )＝x ln x ＋1，所以f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.因为f ′(x 0)＝2，所以ln x 0＋1＝2， 解得x 0＝e ，y 0＝e ＋1.由点斜式得，f (x )在点(e ，e ＋1)处的切线方程为y －(e ＋1)＝2(x －e)，即2x －y －e ＋1＝0.【例2】解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2x ＋1x －1x，故f (x )的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为a ≥0.【变式训练2】解：f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0. 此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－8，x 2＝a ＋a 2－8，0＜x 1＜x 2.x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时f (x )在 ⎛⎪⎫0，a －a 2－8上单调递增，在 ⎛⎪⎫a －a 2－8，a ＋a 2－8上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．【例3】解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3. ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则必有a3≤1且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.(2)依题意，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，即13＋23a －3＝0. ∴a ＝4，∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：x 1 (1,3) 3 (3,4) 4 f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) －6 －18－12 ∴f (x )在[1,4]上的最大值是f (1)＝－6.(3)函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∴x 3－4x 2－3x －bx ＝0， ∴x ＝0是其中一个根，∴方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋43＋b >0，－3－b ≠0，∴b ＞－7且b ≠－3.∴存在满足条件的b 值，b 的取值范围是b ＞－7且b ≠－3.【变式训练3】解：(1)f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． 因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1.经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．(2)由题设，g (x )＝ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ＝ax 2(x ＋3)－3x (x ＋2)． 当g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)时，g (0)≥g (2)，即0≥20a －24，得a ≤65.反之，当a ≤65时，对任意x ∈[0,2]，g (x )≤65x 2(x ＋3)－3x (x ＋2)＝3x 5(2x 2＋x －10)＝3x5(2x ＋5)(x －2)≤0，而g (0)＝0，故g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，65. 创新模拟·预测演练1．A 解析：f ′(x )＝3f ′(1)＋2x ，令x ＝1，得f ′(1)＝3f ′(1)＋2， ∴f ′(1)＝－1.故选A.2．D 解析：当0＜x ＜1时，f ′(x )＝x ＋2－3x ＝x －1x ＋3x＜0，则函数f (x )在区间(0,1)上为减函数．又b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34， c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则有b ＜c ＜a . 3．C 解析：设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0， ∴当x ＜0时，g (x )＝xf (x )为减函数．又g (x )为偶函数，∴当x ＞0时，g (x )为增函数．∵1＜30.3＜2,0＜log π3＜1，log 319＝－2，∴g (－2)＞g (30.3)＞g (log π3)， 即c ＞a ＞b ，故选C.4．B 解析：设h (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则h ′(x )＝f ′(x )－2＞0， 故h (x )在R 上单调递增，又h (－1)＝f (－1)－2＝0， 所以当x ＞－1时，h (x )＞0，即f (x )＞2x ＋4.5．x 3－6x 2＋9x 解析：设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f ′3＝0，f 1＝4，f 3＝0，f 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，27a ＋6b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＋d ＝4，27a ＋9b ＋3c ＋d ＝0，d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－6，c ＝9，d ＝0.故f (x )＝x 3－6x 2＋9x .6．－7 解析：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝0，得x ＝－1或x ＝3(舍去)． ∵f (－2)＝2＋a ，f (－1)＝－5＋a ，f (2)＝a ＋22， ∴a ＋22＝20，a ＝－2. 故最小值为f (－1)＝－7.7．解：(1)f ′(x )＝1＋1x (x ＞0)，f ′(12)＝1＋2＝3.故曲线y ＝f (x )在x ＝12处切线的斜率为3.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x ＞0)．①当a ≥0时，由于x ＞0，故ax ＋1＞0，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上f ′(x )＞0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上f ′(x )＜0.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由题可知，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＜g (x 2)，转化为[f (x )]max ＜[g (x )]max ，而[g (x )]max ＝2.由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．(或者举出反例：存在f (e 3)＝a e 3＋3＞2，故不符合题意．)当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2＞－1－ln(－a )，解得a ＜－1e3.所以，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 3. 8．解：(1)b ＝32，h (x )＝a 2ln x －4x ＋32x 2，h ′(x )＝a 2x－4＋3x ，h ′(1)＝a 2－1＝0，a2＝1，∴h (x )＝ln x －4x ＋32x 2，由h ′(x )＝1x －4＋3x ＝3x 2－4x ＋1x ＞0，得x ＞1或0＜x ＜13，所以h (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13和(1，＋∞)． (2)函数g (x )的极大值为0，且b ＜0，而f ′(x )＝a 2x －4，令f ′(x )＝0⇒x ＝a 24，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 24上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24，＋∞上单调递减，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＝a 2ln a 24－a 2＝0⇒a 2＝4e ，则p (x )＝4eln x －4x ＋bx ，根据题意得p (1)＝－4＋b ≤－8e ⇒b ≤4－8e ，p ′(x )＝4e －4－b x x ，令p ′(x )＝0⇒x ＝4e4－b，∵4－b ≥8e，∴x ≤12，∴函数p (x )在[1，e 2]上单调递减，∴p (x )最大值＝p (1)＝－4＋b ＝－8e ，得b ＝4－8e.。
高考数学 冲刺必备 第二部分 专题三 第一讲 冲刺直击高考
2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分 专题四 第二讲 冲刺直击高考限时：50分钟 满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )A.692B ．69C ．93D ．189解析：选C 设数列{a n }的公比为q .∵a 1＝3，a 2a 4＝a 23＝144，又∵{a n }是由正数组成的等比数列，∴a 3＝12＝a 1q 2＝3q 2，∴q 2＝4，∴q ＝2，∴S 5＝－251－2＝93.2．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25解析：选 B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.3．(2012·温州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，是一个以5为首项、以2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.4．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选D 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，解得d ＝23.5．设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n3 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n解析：选A 由已知得(2＋4d )2＝2(2＋12d )，解得d ＝12，则S n ＝2n ＋n n －2×12＝n 2＋7n4.6．(2012·南昌模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n(a ≠0，q ≠1，q 为非零常数)，则数列{a n }( )A ．是等差数列B ．是等比数列C ．既是等差数列也是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：选D 当n ＝1时，a 1＝aq ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a (q －1)·q n －1，易知数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列．7．(2012·皖北四市联考)已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选 C 因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 1＋2)·(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，即q (q －3)＝0，因为q ≠0，所以q ＝3.8．(2012·枣庄模拟)已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 由题意得a 1＋a 3＋…＝85，a 2＋a 4＋…＝170，所以数列{a n }的公比q ＝2，由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1－q n1－q，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．20B ．17C ．19D ．21解析：选C 由a 9＋3a 11<0得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝a 1＋a 192＝19a 10>0，S 20＝a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0.10．(2012·宝鸡模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 2 012＝a 2 011＋2a 2 010，且 a n ·a m ＝4a 1，则6⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n 的最小值为( )A.23 B ．2 C ．4D ．6解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，由题意知a 2 010q 2＝a 2 010q ＋2a 2 010，化简得q 2－q －2＝0，所以q ＝－1(舍去)或q ＝2，又由已知条件a n a m ＝4a 1，可得a 21qm ＋n －2＝16a 21，所以2m ＋n－2＝24，故m ＋n ＝6，所以6⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当n m ＝m n，即m ＝n＝3时等号成立．二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分) 11．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.解析：a 2 009＝a 503×4－3＝1，a 2 014＝a 1 007×2＝a 1 007＝a 252×4－1＝0. 答案：1 012．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 1＝3，前三项的和为21，则a 4＋a 5＋a 6＝________.解析：a 4＋a 5＋a 6＝a 1q 3＋a 1q 4＋a 1q 5＝(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)q 3＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 3， 即a 4＋a 5＋a 6＝21q 3.由前三项的和为21，且a 1＝3解得q ＝2， 故a 4＋a 5＋a 6＝21q 3＝21×8＝168. 答案：16813．数列{a n }是递减的等差数列，且a 3＋a 9＝50，a 5·a 7＝616，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 9＝50，a 5·a 7＝616，d <0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 6＝50，a 6－da 6＋d ＝616，d <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝25，d ＝－3，所以a 1＝40.所以a n ＝40－3(n －1)＝43－3n . 令a n <0，则n >1413，所以{a n }从第15项开始每项小于0，所以S n 的最大值为S 14＝14×40＋14×132×(－3)＝287.答案：28714．将正奇数按如下表的规律填在5列的数表中，则2 013排在数表的第________行，第________列.成a n ＝8n －5，当n ＝252时，a 252＝2 011.又因为此数表偶数行的数从右向左递增，故2 013排在数表的第252行，第2列．答案：252 215．(2012·四川成都二模)若数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋a n －1＝2n ＋2n －1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则log 2(S 2 012＋2)＝________.解析：因为a 1＋a 2＝22＋2，a 3＋a 4＝24＋23，a 5＋a 6＝26＋25，…， 所以S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 011＋a 2 012 ＝21＋22＋23＋24＋…＋22 011＋22 012＝－22 0121－2＝22 013－2.故log 2(S 2 012＋2)＝log 222 013＝2 013.答案：2 01316．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)，且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 的值为________．解析：由已知得3(a n ＋1－1)＝－(a n －1)，则{a n －1}是以8为首项，－13为公比的等比数列，则|S n －n －6|＝|a n －1＋a n －1－1＋…＋a 1－1－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1＋13－6＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1125，化简得3n －1>250，故满足条件的最小整数n 的值为7.答案：717．已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f xg x＝a x，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f g＋f －g －＝52，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝________. 解析：令h (x )＝f x g x＝a x，∵h ′(x )＝fx g x －f x gx[g x2<0，∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f ng n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫fn g n 的前n 项和 S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3132，解得n ＝5. 答案：5。
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1 2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分 专题二 第
三讲 冲刺直击高考
限时：50分钟 满分：78分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)
1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )
A ．a ∥b
B ．a ⊥b
C ．|a |＝|b |
D ．a ＋b ＝a －b
解析：选B 因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .
2．(2012·威海模拟)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，
则|BC ||AB |
的值为( ) A.12
B.13
C.14
D.16
解析：选A 由OA ＋2OC ＝3OB ，得OA －OB ＝2OB －2OC ，即BA ＝2CB ，
所以|BC ||AB |＝12
. 3．(2012·潍坊模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c ，都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，＋∞)
D ．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：选D 任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a ，b 不共线，当a ∥b ，即向量a ，b 共线时，满足3m －2＝2m ，解得m ＝2.故a ，b 不共线时，m ≠2，即m ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．
4．(2012·长春模拟)若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB ＝3AD ，E 、F 为另
一直径的两个端点，则DE ·DF ＝( )
A ．－3
B ．－4
C ．－6
D ．－8
解析：选 D 依题意得，DE ·DF ＝(DO ＋OE )·(DO ＋OF )＝(DO ＋
OE )·(DO －OE )＝1－9＝－8.
5．△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD。