实数的运算及分式化简
【火线100天】(云南专版)中考数学复习集训题型专项二计算求解题
计算求解题本专题是对计算求解题的巩固和深化，在云南的考题中主要包括实数的运算，分式的化简求值，解方程(组)和不等式(组)，主要考查学生的计算能力，难度不大，但需要熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂、负指数幂、二次根式的化简、分式的约分和通分、因式分解、整式的计算等相关知识，并密切注意运算顺序．类型1 实数的运算1．(2015·济宁)计算：π0＋2－1－14－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13.2. (2015·兰州) 计算：2－1－3tan60°＋(π－2 015)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.3．(2015·昆明西山区二模)计算：(－1)2 013＋(π－3.14)0－(12)－1＋38.4．(2015·昆明官渡区二模)计算：(－1)2 015＋38－2 0150－(－12)－2.|－2|＋(π－1)0＋(13)－1－2sin45°.6．(2015·金华)计算：12＋2－1－4cos30°＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.7．(2015·菏泽)计算：(－1)2 015＋sin30°－(π－3.14)0＋(12)－1.8．(2015·乐山)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋8－4cos45°＋(－1)2 015.9．(2015·绍兴)计算：2cos45°－(π＋1)0＋14＋(12)－1.10．(2015·怀化)计算： |2－1|＋4sin30°－(12)－1－(3－π)0＋9.11．(2015·扬州)计算：(14)－1＋||1－3－27tan30°.类型2 分式的化简求值1．(2015·毕节)先化简，再求值：(x 2＋1x 2－x －2x －1)÷x ＋1x－1，其中x ＝－3.2．(2015·珠海)先化简，再求值：(x x －1－1x ＋1)÷1x 2－1.其中x ＝ 2.3．(2015·中山)先化简，再求值：x x 2－1÷(1＋1x －1)，其中x ＝2－1.4．(2015·昆明二模)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.5．(2015·昆明盘龙区一模)先化简，再求值：x 2－1x 2－x ÷(2＋x 2＋1x)，其中x ＝2sin45°－1.6．(2015·资阳)先化简，再求值：(1x －1－1x ＋1)÷x ＋2x 2－1，其中x 满足2x －6＝0.7．(2015·漳州)先化简，再求值：m 2m －1－1－2m 1－m，再选取一个适当的m 的值代入求值．8．(2015·昆明盘龙区二模)先化简，再求值：(a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a )÷b 2a 2－ab，其中a ，b 满足a ＋1＋|b －3|＝0.类型3 方程(组)的解法1．(2015·广州)解方程：5x＝3(x－4)．2．(2015·中山)解方程：x2－3x＋2＝0. 3．(2015·兰州)解方程：x2－1＝2(x＋1)．4．(2015·宁德)解方程：1－2x－3＝1x－3.5．(2015·黔西南)解方程：2xx－1＋11－x＝3.6．(2015·重庆)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，①x ＋3y ＝6.②7．(2015·荆州)解方程：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7.②类型4 不等式(组)的解法1．(2015·绍兴)解不等式：3x －5≤2(x ＋2)．2．(2015·南京)解不等式2(x ＋1)－1≥3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．3．(2015·昆明西山区二模)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，①x －12－2x －13＞1.②4．(2015·怀化)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，2（x －1）＋（3－x ）>0，并把它的解集在数轴上表示出来．5．(2015·北京)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1）≤7x ＋10，x －5<x －83，并写出它的所有非负整数解．参考答案类型1 实数的运算1.原式＝1＋12－12－13＝23. 2.原式＝12－3×3＋1＋12＝12－3＋1＋12＝－1. 3.原式＝－1＋1－2＋2＝0.4.原式＝－1＋2－1－4＝－4.5.原式＝2＋1＋3－2×22＝2＋1＋3－2＝4. 6.原式＝23＋12－4×32＋12＝23＋12－23＋12＝1. 7.原式＝－1＋12－1＋2＝12. 8.原式＝12＋22－4×22－1＝12＋22－22－1＝－12. 9.原式＝2×22－1＋12＋2＝2－1＋12＋2＝2＋32. 10.原式＝2－1＋4×12－2－1＋3＝2－1＋2－2－1＋3＝2＋1. 11．原式＝4＋3－1－33×33＝4＋3－1－3＝ 3. 类型2 分式的化简求值1.原式＝x 2＋1x （x －1）·x x ＋1－2x －1·x x ＋1－1＝x 2＋1（x －1）（x ＋1）－2x （x －1）（x ＋1）－ x 2－1（x －1）（x ＋1）＝－2（x －1）（x －1）（x ＋1）＝－2x ＋1. 当x ＝－3时，原式＝－2x ＋1＝－2－3＋1＝1. 2.原式＝(x x －1－1x ＋1)÷1（x ＋1）（x －1）＝x x －1·(x ＋1)(x －1)－1x ＋1·(x ＋1)(x －1) ＝x(x ＋1)－(x －1)＝x 2＋1.当x ＝2时，原式＝x 2＋1＝2＋1＝3.3.原式＝x （x ＋1）（x －1）÷x x －1＝x （x ＋1）（x －1）·x －1x ＝1x ＋1. 当x ＝2－1时，原式＝1x ＋1＝12－1＋1＝22. 4.原式＝a －（a －b ）a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b ＝b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝a ＋b. 当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝3＋1＋3－1＝2 3.5.原式＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）÷2x ＋x 2＋1x ＝（x ＋1）（x －1）x （x －1）·x （x ＋1）2＝1x ＋1. 当x ＝2sin45°－1＝2×22－1＝2－1时，原式＝12－1＋1＝22. 6.原式＝[x ＋1（x －1）（x ＋1）－x －1（x ＋1）（x －1）]÷x ＋2x 2－1＝2（x －1）（x ＋1）÷x ＋2（x －1）（x ＋1） ＝2（x －1）（x ＋1）·（x －1）（x ＋1）x ＋2 ＝2x ＋2.∵2x －6＝0， ∴x ＝3.当x ＝3时，原式＝25. 7.原式＝m 2m －1＋1－2m m －1＝m 2－2m ＋1m －1＝（m －1）2m －1＝m －1. 当m ＝2时，原式＝2－1＝1.(答案不唯一，只要m ≠1，计算正确就可以)8.原式＝[（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ]·a （a －b ）b2 ＝(a ＋b a －b －a a －b )·a （a －b ）b2 ＝b a －b ·a （a －b ）b 2＝a b . 又∵a ＋1＋|b －3|＝0，∴a ＝－1，b ＝ 3.∴原式＝－13＝－33. 类型3 方程(组)的解法1.去括号，得5x ＝3x －12.移项，得12＝3x －5x.合并同类项，得12＝－2x.系数化为1，得x ＝－6.2.x 2－3x ＋2＝0.(x －1)(x －2)＝0.∴x 1＝1，x 2＝2.3.x 2－2x －3＝0.(x ＋1)(x －3)＝0.∴x 1＝－1，x 2＝3.4.去分母，得x －3－2＝1.解得x ＝6.检验，当x ＝6时，x －3≠0.∴原方程的解为x ＝6.5.去分母，得2x －1＝3(x －1)．括号括、移项、合并同类项，得－x ＝－2.系数化为1，得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －1≠0，∴x ＝2是原分式方程的解．6.②－①，得5y ＝5，y ＝1.将y ＝1代入①，得x －2＝1，x ＝3.∴原方程组的解为错误!②×3，得3x ＋9y ＝21.③－①，得11y ＝22，y ＝2把y ＝2代入②，得x ＋6＝7，x ＝1.∴方程组的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩1.去括号，得3x －5≤2x ＋4.移项，得3x －2x ≤4＋5.合并同类项，得x ≤9.2.去括号，得2x ＋2－1≥3x ＋2.移项，得2x －3x ≥2－2＋1.合并同类项，得－x ≥1.系数化为1，得x ≤－1.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.解不等式①，得x ≤3.解不等式②，得x ＜－7.∴不等式组的解是x ＜－7.4.由①得x ≤2.由②得2x －2＋3－x>0，2x －x>2－3，x>－1.∴不等式组的解集为－1<x ≤2.解集在数轴上表示为：5.由①得4x ＋4≤7x ＋10, －3x ≤6，x ≥－2.由②得3x －15＜x －8，2x ＜7，x ＜72. ∴－2≤x ＜72.∴非负整数解为0，1，2，3.。
实数(运算问题2)备战2023年中考数学考点微专题
考向04 实 数（运算问题2）例 1、（2018·浙江临安·中考真题）阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状． 解：∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4 （A ）∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2） （B ） ∴c 2=a 2+b 2 （C ） ∴△ABC 是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； （2）错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为： ．【答案】（1）C ；（2）没有考虑a=b 的情况；（3）△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B 到C 可知没有考虑a=b 的情况； （3）根据题意可以写出正确的结论．解答：（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C ， 故答案为C ；（2）错误的原因为：没有考虑a=b 的情况， 故答案为没有考虑a=b 的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故答案为△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【点拨】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．例 2、（2021·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：()012cos3021232+3.14--︒-π（2）先化简：2223+2+344+4x x x x x x x x-÷⋅--，然后x 从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．【答案】（1）32-；（2）2x +，当x ＝1时，原式＝3【分析】（1）根据实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）先根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可得结果．解：（1）()012cos3022+3.14--︒-π＝(12212-+1212-+＝32-；（2）2223+2+344+4x x x x x x x x-÷⋅-- ＝()()()()23222··32x x x x x x x x ++--+- ＝2x +∵x 取0或2时，原式无意义， ∴x 只能取1 当x ＝1时，原式＝3【点拨】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握运算法则．例 3、（2021·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2a ．【答案】2a a -，1 【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为2aa -，再代入求值． 解：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()()()2132221a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦()()()21221a a a a a a +-=⨯+--2aa =-．当2a 时，原式1===【点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．1、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
专题09 代数计算与代数推理问题(解析版)
专题09 代数计算问题题组一：本题组包含的题型有实数的运算、整式的化简、分式的化简求值、解分式方程、一元二次方程的解法、根的判别式和根与系数的关系、待定系数法求函数解析式、一次函数的性质、二次函数的性质、二次函数的最值问题、纯函数计算推理问题、代数式规律探究问题.1．（2020•太湖县一模）（1）计算：4cos30°+（1−√2）0−√12；（2）化简：（3x﹣y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．【解析】（1）原式＝4×√32+1﹣2√3＝2√3+1﹣2√3＝1；（2）原式＝9x2﹣6xy+y2﹣9x2+y2＝2y2﹣6xy．2．（2020•迁安市二模）先化简，再求值：（xy2+x2y）×xx2+2xy+y2÷x2yx2−y2，其中x＝（π﹣1）0−(13)−1，y=√2tan45°−√8．【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x与y的值，代入计算求出值．【解析】原式＝xy（x+y）•x(x+y)2•(x+y)(x−y)x2y=x﹣y，当x＝1﹣3＝﹣2，y=√2×1﹣2√2=−√2时，原式＝﹣2+√2．3．（2020•河北模拟）（1）若a+b＝3，2a﹣b＝3，求代数式a2b2+4a+√a2+b2+b的值．（2）解方程：x2﹣4x﹣60＝0．【分析】（1）根据a+b＝3，2a﹣b＝3，可以求得a、b的值，然后代入所求式子，即可求得所求式子的值；（2）根据因式分解的方法可以解答此方程．【解析】（1）∵a+b＝3，2a﹣b＝3，∴a＝2，b＝1，∴a2b2+4a+√a2+b2+b＝22×12+4×2+√22+12+1＝4×1+8+√4+1+1＝4+8+√5+1＝13+√5；（2）∵x 2﹣4x ﹣60＝0∴（x ﹣10）（x +6）＝0∴x ﹣10＝0或x +6＝0解得，x 1＝10，x 2＝﹣6．4．（2020•江西模拟）解不等式组{2x −7＜3(x −1)5−12(x +4)≥x ，并将解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】解不等式2x ＜7（x ﹣1）得x ＞﹣4，解不等式5−12（x +4）≥x ，得：x ≤2，∴不等式组的解集为﹣4＜x ≤2，在数轴上表示如图．故最小整数解是﹣3．5．（2020•海淀区校级模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x +3m ﹣12＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程只有一个根是正数，求m 的取值范围．【分析】（1）先计算判别式的意义得到△＝（m ﹣7）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式解方程得x 1＝3，x 2＝m ﹣4，再根据题意得到m ﹣4≤0，从而得到m 的范围．【解答】（1）证明：∵△＝（m ﹣1）2﹣4（3m ﹣12）＝m 2﹣14m +49＝（m ﹣7）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x =m−1±(m−7)2，解得x1＝3，x2＝m﹣4，∵方程只有一个根是正数，∴m﹣4≤0，∴m≤4．6．（2020•淮安模拟）已知抛物线y＝ax2的图象经过点A（2，﹣8），求：（1）该抛物线的解析式；（2）判断点B（3，﹣18）是否在该抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标是﹣50的点的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式计算，求出a，得到抛物线的解析式；（2）把点B（3，﹣18）代入抛物线的解析式计算，判断即可；（3）把y＝﹣50代入解析式，解方程得到答案．【解析】（1）把点A（2，﹣8）代入y＝ax2，得﹣8＝a×22，解得，a＝﹣2，掌握抛物线的解析式为y＝﹣2x2；（2）在，∵﹣2×32＝﹣18，∴点B（3，﹣18）是否在该抛物线上；（3）由题意得，﹣2x2＝﹣50，解得，x＝±5，∴此抛物线上纵坐标是﹣50的点的坐标为（5，﹣50）、（﹣5，﹣50）．7．（2018•宝应县二模）定义：直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“友好直线”．如：直线y＝2x+1与直线y＝x+2互为“友好直线”．（1）点M（m，2）在直线y＝﹣x+4的“友好直线”上，则m＝34；（2）直线y＝4x+3上的一点M（m，n）又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标；（3）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（2m，m﹣2n）在它的“友好直线”上，求直线y＝ax+b的解析式．【分析】（1）由“友好直线”可得直线y＝﹣x+4的“友好直线”，代入可得m的值；（2）先表示直线y＝4x+3的“友好直线”，再分别代入列方程组可得M的坐标；（3）先表示直线y ＝ax +b 的“友好直线”，并将点M 和N 分别代入可得方程组，得：（2b +2a ﹣1）m ＝﹣a ﹣2b ，根据对于任意一点M （m ，n ）等式均成立，则{2b +2a −1=0−a −2b =0，可得结论． 【解析】（1）由题意得：直线y ＝﹣x +4的“友好直线”是：y ＝4x ﹣1，把（m ，2）代入y ＝4x ﹣1中，得：4m ﹣1＝2，m =34，故答案为：34；（2）由题意知，y ＝4x +3的“友好直线”是y ＝3x +4，又∵点M （m ，n ）是直线y ＝4x +3上的点，又是它的“友好直线”上的点，∴{4m +3=n 3m +4=n， ∴解得{m =1n =7， ∴点M （1，7）；（3）∵点M （m ，n ）是直线y ＝ax +b 上的任意一点，∴am +b ＝n ①，∵点N （2m ，m ﹣2n ）是直线y ＝ax +b 的“友好直线”上的一点，即N （2m ，m ﹣2n ）在直线y ＝bx +a 上∴2bm +a ＝m ﹣2n ②，将①代入②得，2bm +a ＝m ﹣2（am +b ），整理得：2bm +2am ﹣m ＝﹣a ﹣2b ，∴（2b +2a ﹣1）m ＝﹣a ﹣2b ，∵对于任意一点M （m ，n ）等式均成立，∴{2b +2a −1=0−a −2b =0， 解得{a =1b =−12，∴y ＝x −12．8．（2020•江苏模拟）（1）解方程：x+1x−1−4x 2−1=1．（2）解不等式组{2x ≥−9−x 5x −1＞3(x +1)，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解析】（1）去分母，得：（x +1）2﹣4＝（x 2﹣1），去括号，得：x 2+2x +1﹣4＝x 2﹣1，移项，得：x 2+2x ﹣x 2＝4﹣1﹣1，化简，得：2x ＝2，系数化为1，得：x ＝1，检验，知：x ＝1时，分母为0，原方程无意义，所以，x ＝1是原方程的增根，所以，原方程无解；（2）解不等式2x ≥﹣9﹣x 得：x ≥﹣3，解不等式5x ﹣1＞3（x +1）得：x ＞2，画数轴得：所以，原不等式组的解集为：x ＞2．9．（2020•黄冈模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx ﹣3m 2+8m ﹣4＝0．（1）求证：原方程恒有两个实数根；（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围．【分析】（1）要证明原方程恒有两个实数根，只要计算出该方程的根的判别式不小于零即可，代入数据计算△的值，即可证明结论成立；（2）先求出题目中方程的两个根，然后根据方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，可以得到关于m 的不等式组，然后解答即可求得m 的取值范围．【解答】（1）证明：∵x 2﹣2mx ﹣3m 2+8m ﹣4＝0，∴△＝（﹣2m ）2﹣4（﹣3m 2+8m ﹣4）＝4m 2+12m 2﹣32m +16＝16m 2﹣32m +16＝16（m ﹣1）2≥0，∴原方程恒有两个实数根；（2）∵x 2﹣2mx ﹣3m 2+8m ﹣4＝0，∴[x ﹣（3m ﹣2）][x +（m ﹣2）]＝0，∴x ﹣（3m ﹣2）＝0或x +（m ﹣2）＝0，解得，x 1＝3m ﹣2，x 2＝2﹣m ，∵方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，∴{3m −2＜52−m ＞22−m ≤3m −2或{3m −2＞22−m ＜53m −2≤2−m ， 解得，无解集，即m 的取值范围是无解集．10．（2020•海门市校级模拟）已知：二次函数y ＝ax 2+bx 满足下列条件：①抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝x 只有一个交点；②对于任意实数x ，a （﹣x +5）2+b （﹣x +5）＝a （x ﹣3）2+b （x ﹣3）都成立．（1）求二次函数y ＝ax 2+bx 的解析式；（2）若当﹣2≤x ≤r （r ≠0）时，恰有t ≤y ≤1.5r 成立，求t 和r 的值．【分析】（1）由①联立方程组，根据抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝x 只有一个交点可以求出b 的值，由②可得对称轴为x ＝1，从而得a 的值，进而得出二次函数解析式；（2）进行分类讨论，分别求出t 和r 的值．【解析】（1）y ＝ax 2+bx 与y ＝x 联立得：ax 2+（b ﹣1）x ＝0，∵抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝x 只有一个交点，∴△＝0，∴（b ﹣1）2＝0，解得b ＝1．∵对称轴为：−x+5+x−32=1，∴−b 2a =1，∴a =−12．∴二次函数解析式为：y =−12x 2+x ．（2）因为y =−12x 2+x ＝﹣（x ﹣1）2+12，所以顶点坐标为（1，12）． 当﹣2＜r ＜1，且r ≠0时，当x ＝r 时，y 最大=−12r 2+r ＝1.5r ，解得r ＝﹣1，当x ＝﹣2时，y 最小＝﹣4，所以，这时t ＝﹣4，r ＝﹣1．当r ≥1时，y 最大=12，所以1.5r =12，所以r =13，不符合题意，舍去，综上所述，t ＝﹣4，r ＝﹣1．11．（2020•思明区校级模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象经过点A （1，2）．（1）当b ＝1，c ＝﹣4时，求该二次函数的表达式；（2）已知点M （t ﹣1，5），N （t +1，5）在该二次函数的图象上，请直接写出t 的取值范围；（3）当a ＝1时，若该二次函数的图象与直线y ＝3x ﹣1交于点P ，Q ，将此抛物线在直线PQ 下方的部分图象记为C ，①试判断此抛物线的顶点是否一定在图象C 上？若是，请证明；若不是，请举反例；②已知点P 关于抛物线对称轴的对称点为P ′，若P ′在图象C 上，求b 的取值范围．【分析】（1）将点A 的坐标和b 、c 的值代入y ＝ax 2+bx +c 中便可求得a 的值，问题便可解决；（2）由点M ，N 的坐标推出该二次函数的对称轴是直线x ＝t ，结合抛物线 （a ＞0）开口向上推出点M ，N 分别落在点A （1，2）的左侧和右侧，由此可列出关于t 的不等式组，解此不等式组即可；（3）①如举反例抛物线y ＝x 2+1与直线y ＝3x ﹣1，判断它们有两个交点（即联立方程组有两组不同的解），并求出抛物线顶点坐标不在直线y ＝3x ﹣1之下便可；②要使点P 关于抛物线对称轴的对称点为P ′在图象C 上，则二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）图象的顶点必在C 上，则当x =−b 2a 时，ax 2+bx +c ＜3x ﹣1，得到一个关于a 、b 、c 的不等式，把a ＝1，A （1，2）代入y＝ax2+bx+c（a＞0）中，用b表示c，再把a＝1与c代入前面得到的关于a、b、c的不等式中，便可求得b的取值范围．【解析】（1）把点A（1，2）．b＝1，c＝﹣4代入二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）得，2＝a+1﹣4∴a＝5，b＝1，c＝﹣4，∴二次函数的表达式为y＝5x2+x﹣4；（2）∵点M（t﹣1，5），N（t+1，5）在该二次函数的图象上，∴该二次函数的对称轴是直线x＝t，∵抛物线（a＞0）开口向上，A（1，2），M，N在该二次函数图象上，且5＞2，∴由二次函数的图象及性质得，点M，N分别落在点A的左侧和右侧，∴t﹣1＜1＜t+1，∴t的取值范围是0＜t＜2；（3）①不是．反例如下：若抛物线的解析式为y＝x2+1，则把y＝3x﹣1代入上式，得x2+1＝3x﹣1，整理得，x2﹣3x+2＝0，∵△＝9﹣8＞0，∴方程x2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根，则抛物线y＝x2+1与直线y＝3x﹣1有两个交点，∵y＝x2+1的顶点为（0，1）当x＝0时，y＝3x﹣1＝﹣1＜1，∴抛物线y＝x2+1的顶点在直线y＝3x﹣1的上方，∴此抛物线的顶点不在图象C上．②∵点P关于抛物线对称轴的对称点为P′，且P′在图象C上，∴当a＝1时，该二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点在直线y＝3x﹣1下方，∴当x=−b2时，x2+bx+c＜3x﹣1，即4c−b24＜−3b2−1，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c中，得1+b+c＝2，故c＝1﹣b，∴4(1−b)−b24＜−3b2−1，整理得b2﹣2b＞8，∴（b﹣1）2＞9，∴b﹣1＞3或b﹣1＜﹣3，∴b＞4或b＜﹣2．12．（2020•哈尔滨模拟）已知函数y＝﹣x m﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数其图象的对称轴为直线x ＝1（I）求该二次函教的解析式；（Ⅱ）当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据对称轴方程，列式求出b的值，从而求得二次函数的解析式；（Ⅱ）先由y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2知函数有最大值﹣2，然后求出x＝﹣2和x＝0时y的值即可得答案．【解析】（Ⅰ）∵函数y＝﹣x m﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数其图象的对称轴为直线x＝1，∴m﹣1＝2，−b2×(−1)=1，∴m＝3，b＝2．∴该二次函教的解析式为y＝﹣x2+2x﹣3．（Ⅱ）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴当x＝1时，函数y有最大值﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣11；当x＝0时，y＝﹣3；∵﹣2＜0＜1，∴当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围为﹣11≤y≤﹣3．13．（2020•埇桥区模拟）观察下列数据的规律，完成各题的解答：（1）第8行的最后一个数是64；（2）第n行的第一个数是（n﹣1）2+1，第n行共有（2n﹣1）个数．【分析】（1）观察数据规律可得，第n 行最后一个数是n 2，进而可得第8行的最后一个数是64；（2）第n 行的第一个数是第n ﹣1行最后一个数加上1，即（n ﹣1）2+1；再观察数据可得，第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，…即可发现规律，得第n 行共有（2n ﹣1）个数．【解析】（1）观察数据规律可知：第n 行最后一个数是n 2，则第8行的最后一个数是64；故答案为64；（2）第n 行的第一个数是第n ﹣1行最后一个数加上1，即（n ﹣1）2+1；因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，…发现规律，第n 行共有（2n ﹣1）个数．故答案为：（n ﹣1）2+1，（2n ﹣1）．14．（2020•重庆模拟）定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续计算．例如55263→5526+12＝5538，5538→553+32＝585，585→58+20＝78，78÷13＝6，所以55263是“一刀两断”数.3247→324+28＝352，35+8＝43，43÷13＝3…4，所以3247不是“一刀两断”数．（1）判断5928是否为“一刀两断”数： 是 （填是或否），并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；（2）对于一个“一刀两断”数m ＝1000a +100b +10c +d （1≤a ≤9，0≤b ≤9，0≤c ≤9，0≤d ≤9，a ，b ，c ，d 均为正整数），规定G （m ）＝|b 2−c a−d |，若m 的千位数满足1≤a ≤4，千位数字与十位数字相同，且能被65整除，求出所有满足条件的四位数m 中，G （m ）的最大值．【分析】（1）依照样例进行计算便可判断5928是不是“一刀两断”数，设任意一个能被13整除的n 位数前n ﹣1位数字为P ，个位数字为Q ，则这个n 位数可表示为10P +Q ＝13k （k 为正整数），再证明P +4Q 是13的倍数；（2）由m ＝1000a +100b +10c +d ，m 能被65整除，得m 既能能被13整除又能被5整除，∴d ＝0或d ＝5，再分d ＝0和d ＝5两种情况，分别求得m 的值，进而求得结果．【解析】（1）∵5928→592+32＝624，624→62+16＝78，78÷13＝6，∴5928是“一刀两断”数，故答案为：是；证明：设任意一个能被13整除的n 位数前n ﹣1位数字为P ，个位数字为Q ，则这个n 位数可表示为10P +Q ＝13k （k 为正整数），∴Q ＝13k ﹣10P ，∴10P +Q →P +4Q ＝P +4（13k ﹣10P ）＝52k ﹣39P ＝13（4k ﹣3P ），∴10P +Q 是“一刀两断“数．∴任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；（2）∵m ＝1000a +100b +10c +d ，m 能被65整除，∴m 既能能被13整除又能被5整除，∴d ＝0或d ＝5，当d ＝0时，100a+10b+c+4d 13=100a+10b+a 13=7a +10(a+b)13，∴a +b 是13的倍数，∵1≤a ≤9，0≤b ≤9，∴a +b ＝13，∵1≤a ≤4，∴a ＝4，b ＝13，∴m ＝4940，当d ＝5时，100a+10b+c+4d 13=101a+10b+2013=7a +10(a+b+2)13，∴a +b +2是13的倍数，∵1≤a ≤9，0≤b ≤9，∴a +b +2＝13，∴a +b ＝11，∵1≤a ≤4，∴a＝2，b＝9或a＝3，b＝8或a＝4，b＝7．∴m＝2925或3835或4745∴G（4940）=774，G（4745）＝45，G（3835）=612，G（2925）=793，∴G（m）的最大值为45．15．（2020•南岸区校级模拟）请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+1【分析】（1）设t＝x2+3x﹣1，则原方程可化为：t2+2t＝3，求得t的值再代回可求得方程的解；（2）根据杨辉三角形的特点得出a n，b n，c n，然后代入4（b n﹣a n）•c n+1再因式分解即可．【解答】（1）解：令t＝x2+3x﹣1则原方程为：t2+2t＝3解得：t＝1 或者t＝﹣3当t＝1时x2+3x﹣1＝1解得：x=−3+√172或x=−3−√172当t＝﹣3时x2+3x﹣1＝﹣3解得：x＝﹣1或x＝﹣2∴方程的解为：x=−3+√172或x=−3−√172或x＝﹣1或x＝﹣2（2）解：根据杨辉三角形的特点得出：a n ＝n ﹣1b n =(n−1)(n−2)2 c n =(n−2)(n−3)2∴4（b n ﹣a n ）•c n +1＝（n ﹣1）（n ﹣4）（n ﹣2）（n ﹣3）+1＝（n 2﹣5n +4）（n 2﹣5n +6）+1＝（n 2﹣5n +4）2+2（n 2﹣5n +4）+1＝（n 2﹣5n +5）216．（2020•港南区一模）（1）计算：（12）﹣1+20190+√27−2cos30° （2）先化简，再求值，a−2a+3÷a 2−42a+6−5a+2，其中a ＝﹣5．【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（1）（12）﹣1+20190+√27−2cos30° ＝2+1+3√3−2×√32＝2+1+3√3−√3＝3+2√3；（2）a−2a+3÷a 2−42a+6−5a+2 =a−2a+3⋅2(a+3)(a+2)(a−2)−5a+2=2a+2−5a+2=−3a+2，当a ＝﹣5时，原式=−3−5+2=1． 17．（2020•成都模拟）（1）计算：√12−2tan60°+（√2020−1）0﹣（13）﹣1； （2）解不等式组：{2(x −6)＜3−x 2x−13−5x+12≤1 【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接分别解不等式，进而得出不等式组的解集．【解析】（1）原式＝2√3−2×√3+1﹣3，＝﹣2．（2）{2(x −6)＜3−x ①2x−13−5x+12≤1② 由①得：x ＜5，由②得：x ≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x ＜5．18．（2020•武汉模拟）已知抛物线线C 1：y 1＝﹣2x 2+4mx ﹣2m 2+m +5的顶点P 在定直线l 上运动．求直线l 的解析式；【分析】利用配方法求出顶点坐标即可解决问题．【解析】∵y 1＝﹣2x 2+4mx ﹣2m 2+m +5＝﹣2（x ﹣m ）2+m +5，∴顶点坐标为（m ，m +5），∴顶点在直线y ＝x +5，∴直线l 的解析式为y ＝x +5．19．（2020•江西模拟）先化简，再求值：（2a+1+a+2a 2−1）÷a a−1，其中a ＝2√3−1． 【分析】首先将括号里面通分运算进而化简，再利用已知数据代入求出答案．【解析】原式=2(a−1)+a+2(a+1)(a−1)•a−1a =3a (a+1)(a−1)•a−1a =3a+1， 当a =2√3−1时，原式=√32．20．（2020•运城模拟）（1）计算：√−183−|−√3|+2−1+3tan30°（2）化简：a 2−8a+16a 2−4a ÷(a −16a )【分析】（1）直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案；（2）直接将分式的分子与分母分解因式，再将括号里面通分运算，进而化简得出答案．【解析】（1）原式=−12−√3+12+3×√33，=−12−√3+12+√3，＝0；（2）原式=(a−4)2a(a−4)÷a 2−16a =a−4a •a (a+4)(a−4)=1a+4．21．（2020•太湖县一模）（1）解方程：x x−2−1=1x； （2）解不等式组：{5x −7＜2(x +1)x+103＞2x ． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解析】（1）去分母得：x 2﹣x 2+2x ＝x ﹣2，解得：x ＝﹣2，经检验x ＝﹣2是分式方程的解；（2）{5x −7＜2(x +1)①x+103＞2x②， 由①得：x ＜3，由②得：x ＜2，则不等式组的解集为x ＜2．22．（2020•丹江口市模拟）已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+2k ＝0，有两个实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两实数根x 1，x 2满足x 1•x 2﹣x 12﹣x 22＝﹣16，求实数k 的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2k +1）2﹣4（k +2）≥0，然后解不等式得到k 的范围；（2）据题根与系数的关系得到x 1+x 2＝2k +1，x 1x 2＝k 2+2k ，再利用x 1•x 2﹣x 12﹣x 22＝﹣16得到﹣（x 1+x 2）2+3x 1x 2＝﹣16，则﹣（2k +1）2+3（k 2+2k ）＝﹣16，然后解关于k 的方程得到满足条件的k 的值．【解析】（1）由题意得△＝（2k+1）2﹣4（k+2）≥0，解得k≤1 4；（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1•x2﹣x12﹣x22＝﹣16，∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5，k2＝﹣3，∵k≤1 4，∴k＝﹣3．23．（2020•秦皇岛一模）按要求完成下列各小题．（1）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°；（2）若x＝2是方程x2﹣4mx+m2＝0的一个根，求m的值．【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．（2）将x＝2代入原方程即可求出m的值．【解析】（1）原式=√3−12+1﹣2×√32==√3+12−√3=12；（2）将x＝2代入方程可知：4﹣8m+m2＝0，解得：m＝4±2√3m的值为4+2√3或4−2√3．24．（2020•安徽二模）已知点P为二次函数y＝x2﹣2kx﹣4的图象的顶点．（1）过点P作x轴的垂线，垂足为点Q，求线段PQ的最小值；（2）设正比例函数y＝mx与上述二次函数的图象相交于点P，A，当OP＝OA时，求m，k的值．【分析】（1）将二次函救的解析式由一般式化为顶点式，用含k的式子表示出顶点坐标，进而表示出线段PQ的长，并结合二次函数的性质求线段的最值；（2）由题意可知点A，P关于原点对称，用含k的式子表示出顶点P的坐标后，根据对称性表示出点A的坐标，将点A的坐标代入二次函数的解析式求解即可得到k的值，进而得到点P的坐标，将点P的坐标代入正比例函数的解析式即可得到m的值．【解析】（1）∵y＝x2﹣2kx﹣4＝（x﹣k）2﹣k2﹣4，∴P（k，﹣k2﹣4），∴PQ＝|﹣k2﹣4|＝k2+4．∴当k＝0时，PQ取得最小值，最小值为4．（2）∵y＝mx是正比例函数，OP＝OA，∴点A，P关于原点O对称，则A（﹣k，k2+4）．将A（﹣k，k2+4）代入y＝x2﹣2kx﹣4，得（﹣k）2﹣2k（﹣k）﹣4＝k2+4，解得k＝±2．当k＝2时，点P的坐标为（2，﹣8）．∵点P在正比例函数y＝mx的图象上，∴m＝﹣4；当k＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣8）．∵点P在正比例函数y＝mx的图象上，∴m＝4．∴m，k的值分别为﹣4，2或4，﹣2．25．（2017秋•海淀区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是x＝2；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；（3）若该二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；（2）构建方程求出a的值即可解决问题；（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，可得t+1≤5，由此即可解决问题；【解析】（1）对称轴x=−−4a2a=2．故答案为2．（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．∴4a﹣8a+3a＝2．∴a＝﹣2，y＝﹣2x2+8x﹣6，∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6．（3）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，∴t+1≤5，∴t≤4，∴t的最大值为4．26．（2020•南通模拟）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c和一次函数g（x）＝﹣bx，其中a、b、c，满足a ＞b＞c，a+b+c＝0．（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1的长的取值范围．【分析】（1）首先将两函数联立得出ax2﹣2bx+c＝0，再利用根的判别式得出它的符号即可；（2）利用线段AB在x轴上的射影A1B1长的平方，以及a，b，c的符号得出|A1B1|的范围即可．【解析】（1）联立方程得：ax2+2bx+c＝0，△＝4（a2+ac+c2），∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，∴△＞0，∴两函数的图象相交于不同的两点；（2）设方程的两根为x1，x2，则|A1B1|2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，＝（−2b a ）2−4c a =4b 2−4ac a 2=4(−a−c)2−4ac a 2， ＝4[（c a）2+c a +1]， ＝4[（c a +12）2+34]， ∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞﹣（a +c ）＞c ，a ＞0，∴﹣2＜c a ＜−12，此时3＜A 1B 12＜12，∴√3＜|A 1B 1|＜2√3．27．（2019•北碚区校级一模）阅读下列材料，解决材料后的问题：材料一：对于实数x 、y ，我们将x 与y 的“友好数”用f （x ，y ）表示，定义为：f （x ）=x y+2，例如17与16的友好数为f （17，16）=1716+2=1718． 材料二：对于实数x ，用[x ]表示不超过实数x 的最大整数，即满足条件[x ]≤x ＜[x ]+1，例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……（1）由材料一知：x 2+2与1的“友好数”可以用f （x 2+2，1）表示，已知f （x 2+2，1）＝2，请求出x 的值；（2）已知[12a ﹣1]＝﹣3，请求出实数a 的取值范围； （3）已知实数x 、m 满足条件x ﹣2[x ]=72，且m ≥2x +112，请求f （x ，m 2−32m ）的最小值． 【分析】（1）根据材料一直接代入列方程即可解决；（2）根据[x ]≤x ＜[x ]+1列不等式，即可解决问题； （3）首先根据材料解出x 的值，再求出f （x ，m 2﹣m ）的解析式为二次函数，求最小值即可．【解析】（1）∵f （x 2+2，1）＝2，∴x 2+21+2=2，∴x 2＝4，∴x ＝±2；（2）∵[x ]≤x ＜[x ]+1，∴−3≤12a −1＜−3+1，解得﹣4≤a＜﹣2；（3）∵x﹣2[x]=7 2，∴[x]=12x−74，∴12x−74≤x＜12x−74+1，∴−72≤x＜−32，设12x−74=k，又x＝2k+7 2，∴−72≤k＜−52，∴整数k＝﹣3，∴x=−5 2，又m≥2x+112=12，∴f（x，m2−32m），=xm2−32m+2，=−52m2−32m+2，=5−2m2+3m−4，设y＝﹣2m2+3m﹣4，则y＝﹣2（m−34）2−238，∵﹣2＜0，∴当m=34时，y有最大值是−238，此时f（x，m2−32m）有最小值，最小值是5−238=−4023，此时最小值为−40 23．28．（2020•安徽二模）观察下列图形与等式：⇒22﹣12＝2×1+1×1；图（1）⇒32﹣22＝3×1+2×1；图（2）⇒42﹣32＝4×1+3×1；图（3）⇒？图（4）……根据图形面积与等式的关系找出规律，并结合其中的规律解决下列问题：（1）根据规律，图（4）对应的等式为 52﹣42＝5×1+4×1 ；（2）请你猜想图（n ）对应的等式（用含n 的等式表示），并证明．【分析】（1）观察上边图形面积与等式的关系：可得图（4）对应的等式；（2）根据（1）即可发现规律，得图（n ）对应的等式为：（n +1）2﹣n 2═（n +1）×1+n ×1，再根据完全平方公式即可证明．【解析】观察上边图形面积与等式的关系：（1）图（4）对应的等式为：52﹣42＝5×1+4×1，故答案为：52﹣42＝5×1+4×1；（2）根据（1）发现规律：图（n ）对应的等式为：（n +1）2﹣n 2═（n +1）×1+n ×1证明：左边＝n 2+2n +1﹣n 2＝2n +1，右边＝2n +1，∴左边＝右边，即（n +1）2﹣n 2＝（n +1）×1+n ×1．29．（2020•安徽一模）观察以下等式：第1个等式：11×21+1×(1+12)=2； 第2个等式：12×22+1×(2+22)=2； 第3个等式：13×23+1×(3+32)=2； 第4个等式：14×24+1×(4+42)=2；第5个等式：15×25+1×(5+52)=2；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第7个等式： 17×27+1×(7+72)=2 ；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示），并加以证明．【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；（2）根据规律写出通项公式然后证明即可．【解析】（1）通过观察不难知道等式右边都等于2，等式左边：第一个因式的分子为1，分母与等式序号数相等；第二个因数分子为2，分母是等式的序号数加1；第三个因数是等式序号数与序号数的平方之和．∴写出第7个等式为：17×27+1×(7+72)=2故答案为：17×27+1×(7+72)=2；（2）第n 个等式：1n ×2n+1×(n +n 2)=2．证明：左边=1n ×2n+1×(n +n 2)=2n 2+n×(n +n 2)=2=右边． 30．（2019•沙坪坝区校级三模）菩名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：377=7×5+27=5+27=527．x 2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x +−(x−1)+2x−1=x −1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x ﹣1的和的形式．阅读材料二：若将一个三位数的百位数字放在十位，十位数字放在个位，个位数字放在百位，得到一个新的三位数，若新的三位数与原数的差是99的偶数倍，则我们称这个数为“长长久久数”，如：335变形之后为533，533﹣335＝198为99的两倍，所以335是一个“长长久久数”．根据以上两则阅读材料，解答下列问题：（1）若x 为整数，求使得分式4x 2+2x−12x−1为最大整数时的x 的值； （2）若一个百位数字为4a 3−4a 2+3a+12a 2−a+1，十位数字为m ，个位数字为n 的三位数是一个“长长久久数”（其中a 、n 、m 均为整数且n ≤4），请求出所有“长长久久数．【分析】（1）仿照材料1，将式子化为4x 2+2x−12x−1=（2x ﹣1）+12x−1+3，即可求解； （2）将式子化为4a 3−4a 2+3a+12a 2−a+1=2a ﹣1+22a 2−a+1，结合题意可得a ＝0或a ＝1，再由“长长久久数”的定义可以得到当a ＝0时，m ＝1，n ＝1或n ＝3；当a ＝1时，m ＝2，n ＝2或n ＝4，进而求解．【解析】（1）4x 2+2x−12x−1=(2x−1)2+3(2x−1)+12x−1=（2x ﹣1）+12x−1+3， 当2x ﹣1=12x−1时，式子有最值， ∴x ＝1或x ＝0，当x ＝0时，4x 2+2x−12x−1有最小值， 当x ＝1时，4x 2+2x−12x−1有最大值， ∴x ＝1；（2）∵4a 3−4a 2+3a+12a 2−a+1=(2a 2−a+1)⋅2a−(2a 2−a+1)+22a 2−a+1=2a ﹣1+22a 2−a+1， 设2a ﹣1+22a 2−a+1=t ， ∵t 是正整数，∴a ＝0或a ＝1，∴t ＝1或t ＝2，由“长长久久数”的定义可得tmn −ntm =90t +9m ﹣99n 是99的偶数倍，当t ＝1时，m ＝1，n ＝1或n ＝3；当t ＝2时，m ＝2，n ＝2或n ＝4；∴“长长久久数”为111或113或222或224．。
实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)(解析版)2018年数学全国中考真题-2
2018年数学全国中考真题实数的运算（含二次根式 三角函数特殊值的运算）（试题二）解析版一、选择题 1. 计算的结果等于（ ） A. 5 B. C. 9 D.【答案】C【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算． 详解：（-3）2=9， 故选C ．点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．2. （2018黑龙江绥化，4，3分） 下列运算正确的是（ ） A.2a +3a =5a 2B.552-=-)( C.a 3·a 4=a12D.(π-3)0=1【答案】D.【解析】解：A 、235a a a +=，故错误； B 255-=()，故错误；C 、34347·a a a a +==，故错误；D 、0(3)1π-=，故正确.故选：D.【知识点】合并同类项，二次根式的性质，同底数幂的乘法，零指数幂的意义3. （湖北省咸宁市，1，3）咸宁冬季里某一天的气温为- 3℃〜2 ），则这一天的温差是( )A ．1℃B ．-1℃C ．5℃D ．-5℃ 【答案】C【解析】解：根据“温差=最高气温-最低气温”，2℃－（－3））=2℃+3℃=5℃，故选C ． 【知识点】有理数的减法运算4. （2018吉林省，1, 2分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣3【答案】A【解析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出（﹣1）×（﹣2）=2．故选A ．【知识点】有理数的乘法5. （2018贵州铜仁，10，4）计算990013012011216121++++++ 的值为（ ） A. 1100 B. 99100 C. 199D. 10099【答案】B【解析】∵21-121121=⨯=，31-2132161=⨯=，41-31431121=⨯=，51-41541201=⨯=， 61-51651301=⨯=，……，1001-90110099199001=⨯=， ∴990013012011216121++++++ =11111111111122334455699100 =1991100100.6.（2018云南省昆明市，12，4分）下列运算正确的是（ ）A .2193-=⎛⎫ ⎪⎝⎭B . 020181-=- C . 32326(0)a a a a -⋅=≠ D =【答案】C ．【解析】A 选项是幂的乘方，213-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝（13-）×（13-）＝19，故A 选项错误； B 选项02018-1－（－2）＝3，故B 选项错误；3232a a -⋅＝3×2·32a -＝6a ，故C 选项正确是同底数幂的乘法，其法则是底数不变，指数相加，即32325a a a a +⋅==，故C 选项正确；D ==故D 选项错误，故选C ．【知识点】幂的乘方；同底数幂的乘法；零指数幂；负指数幂；合并同类二次根式7. （2018湖北恩施州，16，3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图６，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．【答案】1838．【解析】本题为探索规律型，由题意可知，因为满六进一，从右到左依次排列的绳子分别代表绳结束乘以6的0次幂，6的1幂，6的2次幂，6的3次幂，6的4次幂．她一共采集到的野果数量为1838个．8. （2018辽宁锦州，6，3分）下列运算正确的是A 、7a －a=6B 、a 2·a 3=a 5C 、(a 3)3=a 6D 、(ab)4=ab 4【答案】B ，【解析】：根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则进行解答． 二、填空题1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，12，3分）112()2--= ．【答案】0【解析】直接利用二次根式的化简、绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简，再计算．2323)21(23331=--+=--+-【知识点】二次根式分母有理化，绝对值，负整数指数幂2. （湖北省咸宁市，5，3）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：1111,,,,,261220则这个数列的前2018个数的和为__________. 【答案】20182019【解析】11111111,,,,,21262312342045====⨯⨯⨯⨯则第2018个数为120182019⨯ 则这个数列的前2018个数的和为111111223344520182019+++++⨯⨯⨯⨯⨯ =1111111111223344520182019-+-+-+-++- =112019-=20182019【知识点】探究规律3. （2018年黔三州，19,3）根据下列各式的规律，在横线处填空： 11+12−1=12，13+14−12=112，15+16−13=130，17+18−14=156，... (1)2017+12018− =12017×2018 . 【答案】11009【解析】按照等式顺序，第一个为11+12−1=12，第二个为13+14−1(3−1)÷2+1=13×4，第3个式子15+16−1（5−1）÷2+1=15×6，17+18−1(7−1)÷2+1=17×8，… …以此类推，12017+12018−1(2017−1)÷2+1 =12017×2018 . 【知识点】等式规律探索4. （2018江苏常州，9，2）计算:3-1-=_______． 【答案】2 【解析】21313=-=--5. （2018四川巴中，21（1），6分）（1）计算：│－2│ －2cos 60°＋()－1－(2018－）0【答案】原式＝2－2×＋6－1＝2﹣1＋6﹣1＝6.【解析】依据数的绝对值意义，│－2│＝2；由特殊角的三角函数值得cos 60°＝；由负整数指数幂的意义得()－1＝611＝6或者()－1＝（6－1）－1＝6；根据a 0＝1（a ≠0）得(2018－）0＝1.6.（2018广西南宁，17，3） 观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是 ． 【答案】3，【解析】∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81∴各位数4个数一循环， ∴(2018+1)÷4=504余3， ∴1+3+9=13∴30+31+32+…+32018的结果的个位数字3．7. （2018湖北十堰，14，3分） 对于实数a ，b ，定义运算“）”如下，a ）b ＝a 2－ab ，例如，5）3＝52－5*3＝10．若（x ＋1））(x －2)＝6，则x 的值为 ． 【答案】1【解析】由于（x ＋1））(x －2)＝6，所以（x ＋1）2－（x ＋1）（x －2）＝6，即有3x ＋3＝6，解得x ＝1，故答案为：1．8. （2018湖北随州11，3分）8|2－2＋2tan45°＝______．【答案】4．【解析】842⨯2根据“负数的绝对值等于它的相反数”可得|2－2|＝22－2；熟记特殊角的三角函数值可得2tan45°＝2×1＝2，所以原式＝222)＋2＝222＋2＝4．三、解答题1. （2018省市，题号，分值）计算：11220182-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【思路分析】先计算各项的值，进而求得结果，一个负数的绝对值为它的相反数，任何非零数的零次幂都为1，一个数的-1次幂相当于它的倒数 【解题过程】原式=2-1+2=3【知识点】绝对值；零指数幂和负整指数幂；有理数加减2. （2018省市，题号，分值）先化简，再求值：22221644a a a aa-+-，其中a 【思路分析】先将分式化简，再将a 值代入求值【解题过程】()()()222244216224444a a a a a a a a a a a a +--==+-+-,当a =2时，原式 【知识点】分式的乘除；二次根式3. （2018广西省桂林市，19，6分）1103)6cos 45+2---︒⎛⎫⎪⎝⎭．【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．1103)6cos 45+2---︒⎛⎫ ⎪⎝⎭＝6+121232-⨯=-=． 【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简4. （2018黑龙江省龙东地区，21，5分） 先化简，再求值：2221(1)21a a a a a a --÷+++，其中a ＝sin30°． 【思路分析】先化简分式，再求a 的值，最后把a 的值代入计算即可．【解题过程】解：原式＝2222(1)()(1)(1)a a a a a a a a a a ++-+-++＝22(1)(1)(1)(1)a a a a a a +++-＝1aa -．当a ＝sin30°＝12时，原式＝－1．【知识点】分式的化简求值；特殊角的锐角三角函数值；平方差公式；完全平方公式5. （2018山东省东营市，19①，4分） 计算：02018112133012)tan ()()--︒+-- 【思路分析】根据绝对值、0指数、三角函数、负数的偶次幂、分数的负整数指数幂的法则性质进行计算即可。
江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类(含答案)
江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．实数的运算（共1小题）1．（2023•宿迁）计算：．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A 种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 （填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．6．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．五．三角形综合题（共1小题）7．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．六．四边形综合题（共1小题）8．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN 扫过的面积．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．八．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB， ．求证： ；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．九．圆的综合题（共1小题）11．（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中， ，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展应用】（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．一十一．列表法与树状图法（共1小题）13．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2023•宿迁）计算：．【答案】0．【解答】解：原式＝，＝0．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．【答案】x﹣1；．【解答】解：＝＝＝x﹣1，当时，原式＝．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A 种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；（2）m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，由题意可得：，解得，答：（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，∵A种商品售价不低于B种商品售价，∴30﹣m≥24，解得m≤6，∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 ② （填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．【答案】（1）②；（2）①2；②，；（3）＞16．【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②；（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；②∵2x2﹣5x+2＝﹣，∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，∴2x2﹣3x﹣1＝0，∴x＝或x＝．故答案为：，．（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）①证明见解答；②；（3）．【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴OC＝2，∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，当CD＝2时，的最小值为＝；（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝8，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BF＝2﹣1＝1，如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCF＝∠BAH，tan∠BCF＝tan∠GAA'，∴＝＝，设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，∴a1＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（0，4），设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，∴，解得：，∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，∵△OCD∽△A′BD，∴＝＝＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，设BD＝t，则CD＝2t，∴A'D＝2﹣2t，OD＝2A'D＝8﹣8t，∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝3，∴8﹣8t+t＝3，∴t＝，∴A'D＝2﹣＝，∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，∠A'BD＝∠ABN，∴△A'BD≌△ABM（ASA），∴AM＝A'D＝，∵△AHM是等腰直角三角形，∴AH＝MH＝，∴M（，﹣），易得BM的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，解得：3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．6．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【答案】（1）y＝；（2）P的坐标是（6，﹣7）；（3）当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，∴根据抛物线的两点式知，y＝．（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．∴＝＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO，∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，又∵P在抛物线上，∴②，联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，∴点P的坐标是（6，﹣7）．（3）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），则H（a，），PH＝，若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，∴AQ1＝2PQ1，即a+1＝2（），解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，∴∠CFA＝∠Q1HB，又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，∴△ACF∽△BQ1H，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F（1，），∴AF：，将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），此时PH＝．若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），∵∠CAF+∠CFA＝90°，∠PAQ+∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠PAQ1，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E（，2），∴AE：，联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．此时PH＝．∴当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；五．三角形综合题（共1小题）7．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．【答案】【问题背景】17m；【活动探究】3.5m；【应用拓展】信号塔AB的高度约为20m．【解答】解：【问题背景】由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝∠FEB＝∠FED＝90°，∵∠CEF＝∠AEF，∴∠FEB﹣∠AEF＝∠FED﹣∠CEF，即∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴＝，∴AB＝＝＝17（m），答：建筑物AB的高度为17m；【活动探究】如图②，过点E1作E1F⊥BD，过点E2作E2H⊥BD，由题意得：GB⊥BD，CD⊥BD，∴∠GBE1＝∠CDE1＝∠ABE2＝∠CDE2＝∠FE1B＝∠FE1D＝∠HE2B＝∠HE2D＝90°，∵∠CE2H＝∠AE2H，∠CE1F＝∠GE1F，∴∠FE1B﹣∠GE1F＝∠FE1D﹣∠CE1F，∠HE2B﹣∠AE2H＝∠HE2D﹣∠CE2H，即∠GE1B＝∠CE1D，∠AE2B＝∠CE2D，∴△GE1B∽△CE1D，△AE2B∽△CE2D，∴＝，＝，∴BE1＝BD﹣DE1＝10﹣2＝8（m），BE2＝BD﹣DE2＝10﹣3.4＝6.6（m），∴GB＝＝＝6.8（m），AB＝＝＝3.3（m），∴AG＝GB﹣AB＝6.8﹣3.3＝3.5（m），答：这个广告牌AG的高度为3.5m；【应用拓展】如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由题意得：BG⊥DG，CD⊥DG，∴∠AGD＝∠CDG＝∠BMA＝∠CND＝90°，∵∠BAM＝∠GAD，∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠GAD，即∠ABM＝∠ADG，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ADG+∠CDN＝90°，∴∠CDN＝∠DAG，∴90°﹣∠CDN＝90°﹣∠DAG，即∠DCN＝∠ADG，∴∠DCN＝∠ADG＝∠ABM，∴△DCN∽△ABM，∴＝，由题意得：AE＝AD﹣DE＝17﹣2.8＝14.2（m），∵tan∠ADG＝，∴tan∠DCN＝＝，tan∠ABM＝＝，设DN＝am，AM＝bm，则CN＝，BM＝，∵CN2+DN2＝CD2，∴（）2+a2＝1.72，解得：a＝0.8（m）（负值已舍去），∴EN＝DE﹣DN＝2.8﹣0.8＝2（m），CN＝＝1.5（m），∴＝，∴AB＝，同【问题背景】得：△BME∽△CNE，∴＝，∴＝，解得：b＝（m），∴AB＝×≈20（m），答：信号塔AB的高度约为20m．六．四边形综合题（共1小题）8．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN 扫过的面积．【答案】（1）＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由见解析过程；（3）9π．【解答】解：（1）如图①，连接AF，AC，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF 与AD交点为P，CF与AG交点为R，∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE，∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME（ASA），∴CH＝EF，ME＝HM，∴AE＝CH，∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCH，又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°，∵MH＝ME，点N是BE中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝6，∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）直线AC与⊙O相切，理由见解答；（2）6﹣π．【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°，∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴直线AC与⊙O相切；（2）连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，∵AO＝OB，AB＝4，∴S△ABD＝•AB•OD＝×4×2＝4，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD＝×4×4﹣×4﹣＝8﹣2﹣π＝6﹣π．八．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB， ①（答案不唯一） ．求证： ②（答案不唯一） ；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．【答案】（1）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；证明过程见解答；（2）阴影部分的面积为．【解答】解：（1）若选择：①作为条件，②作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE与⊙O相切，求证：DE⊥AC，证明：连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；若选择：②作为条件，①作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE⊥AC，求证：DE与⊙O相切，证明：连接OD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；故答案为：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；（2）连接OF，DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝3，AD＝BD＝3，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°，在Rt△AED中，DE＝AD＝，AE＝DE＝，∵∠EAD＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，∵OD＝OF，∴△DOF都是等边三角形，∴∠ODF＝60°，∴∠DOB＝∠ODF＝60°，∴DF∥AB，∴△ADF的面积＝△ODF的面积，∴阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积＝AE•DE﹣＝××﹣＝﹣＝，∴阴影部分的面积为．九．圆的综合题（共1小题）11．（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中， tan∠DCE＝ ，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展应用】（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．【答案】【操作探究】tan∠DCE＝；【拓展应用】（1）见解析部分；（2）见解析部分．【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中，tan∠DCE＝，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．故答案为：tan∠DCE＝；【拓展应用】（1）如图②中，点P即为所求．作法：取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，∴＝；（2）如图③中，点P即为所求．作法：取格点J，K，连接JK交AB于点P，点P即为所求．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【答案】约为14米．【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：设AC＝x米，由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，∴PC＝AC＝x（米），在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，∵PC﹣QC＝PQ＝5米，∴x﹣（x+3）＝5，解得：x＝4（+1），∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），答：无人机飞行的高度约为14米．一十一．列表法与树状图法（共1小题）13．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，故答案为：；（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片图案相同的概率为＝．。
中考数学复习数与式知识点总结
中考数学复习数与式知识点总结第一部分：教材知识梳理-系统复第一单元：数与式第1讲：实数知识点一：实数的概念及分类1.实数是按照定义和正负性来分类的。
其中，既不属于正数也不属于负数的数是零。
无理数有几种常见形式：含π的式子是正有理数；无限不循环小数是无理数；开方开不尽的数是无理数；三角函数型的数是实数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
负无理数和正无理数的定义很明确。
2.在判断一个数是否为无理数时，需要注意开得尽方的含根号的数属于无理数，而开得尽的数属于有理数。
3.数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。
实数与数轴上的点一一对应，数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
4.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。
5.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.若|a|+b2=0，则a=b=0.绝对值等于该数本身的数是非负数。
知识点二：实数的相关概念2.数轴是一个直线，用来表示实数。
数轴上的每个点都对应着一个实数，反之亦然。
3.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.4.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.5.倒数是乘积为1的两个数互为倒数。
a的倒数是1/a(a≠0)。
6.科学记数法是一种表示实数的方法，其中1≤|a|＜10，n为整数。
确定n的方法是：对于数位较多的大数，n等于原数的整数位减去1；对于小数，写成a×10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）。
7.近似数是一个与实际数值很接近的数。
它的精确度由四舍五入到哪一位来决定。
例：用科学记数法表示为2.1×104.19万用科学记数法表示为1.9×10^5，0.0007用科学记数法表示为7×10^-4.知识点三：科学记数法、近似数科学记数法是一种表示极大或极小数的方法，它的基本形式是a×10^n，其中1≤a<10，n为整数。
分式的认识与运算
分式的认识与运算分式是数学中的一种表达形式，它由分子和分母组成，用分子除以分母表示。
在分式中，分子和分母可以是整数、小数、甚至是其他分式。
分式在数学中具有广泛的应用，特别是在代数、方程式求解以及实际问题中的运用。
一、分式的认识分式的基本形式是a/b，其中a称为分子，b称为分母。
分式可以用来表示实数的比值、比例或部分数额。
例如，10/5表示10和5的比值，即2；3/4表示3的四分之三。
分式也可以表示为小数，比如1/2等于0.5。
分式可以化简为最简形式。
即分子和分母的公因数要被约去，使得分子和分母没有公因数。
例如，4/8可以化简为1/2，16/20可以化简为4/5。
化简分式使其更加简洁明了，方便运算和理解。
二、分式的运算1. 分式的加减运算：两个分式相加减，要求分母相同，可以先找到它们的最小公倍数，然后对分子进行运算，并保持分母不变。
例如，1/3 + 2/3 = 3/3 = 1。
2. 分式的乘法运算：两个分式相乘，直接将它们的分子和分母相乘即可。
例如，1/4 × 3/2 = 3/8。
3. 分式的除法运算：两个分式相除，可以将除法转化为乘法，即将除数的分子和除数的倒数的分子相乘，同时分母作同样的操作。
例如，1/4 ÷ 3/2 = 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6。
在进行分式的运算时，可以先将分式化简为最简形式，然后再进行运算，最后再将结果化简为最简形式，以保证结果的准确性。
三、应用实例1. 比例问题：分式可以用来表示比例关系，例如三个数a、b、c成比例，可以写为a/b = c/d。
通过解方程，可以求出未知数的值。
2. 面积和体积问题：对于一些复杂的几何图形，可以通过设立分式表示其面积或体积与已知量之间的关系。
通过解方程，可以求出未知量的值。
3. 财务问题：分式可以用来描述资金的分配比例、投资收益率等内容。
通过运算，可以帮助实际问题的解决。
总结：分式在数学中起着重要的作用，它可以用来表示比例、比值、部分数额等内容。
中考数学复习讲义课件 中考题型讲练 题型2 计算与化简求值
解得y＝1. 故原方程组的解xy＝＝为－1. 2，
6．(2020·德州)先化xx－－21－x＋x 2÷x2－4－4xx＋4
简：
，然后选择一个合
适解：的原x式值＝x代2x－（入xx－－求x22）＋值4·．（x4－－2x）2
＝x（4x－－x2）·（x4－－2x）2＝x－x 2. 当 x＝1 时，原式＝1－1 2＝－1.
考法示例
类型1 实数的运算
☞示例1 计算2 ：2·sin45°－(－2021)0－|1－ 2|＋(－12)－2.
[分析] 根据0次幂、负整数指数幂、特殊三角函 数值和绝对值的运算法则求出各项的值，然后根 据四则运算求出结果即可．本题容易出现错误的 有三角函数值记误、0次幂误记为0、去绝对值时 的符号错误、负整数指数幂的符号错误．
7．(2020·赤峰)先化简，再求值：
m－m2＋m22－m1＋1÷mm－1
，其中m满足m2－m－1＝0.
解：原式＝m－（m＋（1m）＋（1）m－2 1）·mm－1
＝m－mm＋1＝mm＋2 1.
∵m2－m－1＝0，∴m2＝m＋1，
∴原式＝mm＋＋11＝1.
[分析] 先根据分式混合运算的法则把原式进行化 简，再把a的值代入进行计算即可．
[解答] 解：原式＝（2（a＋a－1）1）（＋a－a＋1）2 ·a－a 1 ＝（a＋1）3a（a－1）·a－a 1＝a＋3 1.
当 a＝
5－1 时，原式＝
5－31＋1＝
3 ＝3 5
5
Байду номын сангаас
5 .
变式训练 4．(2020·怀化)先化简，再x－求1 1－值x：＋1 1÷xx2＋－21
3．(2020·襄阳)先化简，再求值： (2x＋3y)2－(2x＋y)(2x－y)－2y(3x＋x＝5y2)，，y＝其2中6－1.
实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)
一、填空题1.（2019山东滨州，13，5分）计算：（－12）－2－=____________．【答案】243【解析】原式=4－+31218=4－=243．【知识点】负整数指数幂；绝对值；二次根式的乘除2.（2019重庆市B 卷，13，4分）计算：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-21113=【答案】3【解析】解题关键是理解零指数幂和负整数指数幂的意义．思路：利用“任意不为0的数的0次幂都等于1”，“任意不为零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数”，然后求和即可．故答案为3． 【知识点】零指数幂，负整数指数幂.3.（2019重庆A 卷，13，4）计算：=+1-0213-）（）（π．【答案】3．【解析】因为原式＝1＋2＝3，所以答案为3． 【知识点】实数的运算；0指数幂；负整数指数幂．二、解答题1.（2019重庆A 卷，19，10分）计算：（1）)2(2y x y y x +-+）（；（2）292492--÷--+a a a a a ）（．【思路分析】（1）按完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；（2）按分式的运算法则进行计算即可．【解题过程】（1）原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy －y 2＝x 2；（2）原式＝22294229a a a a a a -+--⋅--＝2(3)22(3)(3)a a a a a --⋅-+-＝33a a -+． 【知识点】整式的运算；分式的运算．2.(2019浙江台州, 18, 8分)先化简,再求值：22332121x x x x x --+-+,其中x ＝12. 【思路分析】先做减法,后约分,然后代入求值即可. 【解题过程】原式＝()()22313332111x x x x x x --==-+--,当x ＝时,原式＝31x -＝－6.【知识点】分式计算,因式分解3.（2019浙江衢州，17，6分）计算，|-3|+（π-3）0- 4+tan45°.【思路分析】根据绝对值、零次幂、算术平方根的意义，化简代数式，根据特殊三角函数值的概念得到tan45°的值，依据运算法则进行计算。
分式的化简公式
分式的化简公式分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成，分子和分母都是代数式或者数。
在解决问题的过程中，我们经常需要对分式进行化简，以便更方便地进行计算。
下面将介绍一些分式的化简公式及其应用。
一、分式的乘法公式当两个分式相乘时，可以利用分式的乘法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A×B = (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d)这个公式可以将两个分子相乘再除以两个分母的积，从而得到分式的乘法结果。
例如，化简分式(3/5) × (4/7)：(3/5) × (4/7) = (3 × 4)/(5 × 7) = 12/35二、分式的除法公式当两个分式相除时，可以利用分式的除法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A/B = (a/b) ÷ (c/d) = (a × d)/(b × c)这个公式可以将第一个分子乘以第二个分母，并且将第一个分母乘以第二个分子，从而得到分式的除法结果。
例如，化简分式(5/9) ÷ (2/3)：(5/9) ÷ (2/3) = (5 × 3)/(9 × 2) = 15/18 = 5/6三、分式的加法和减法公式当两个分式相加或相减时，可以利用分式的加法和减法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A + B = (a/b) + (c/d) = (a × d + b × c)/(b × d)A -B = (a/b) - (c/d) = (a × d - b × c)/(b × d)这个公式可以将两个分式的分子与分母进行相应运算，并将结果合并为一个分式。
(完整word版)2019年中考专题复习第二讲实数的运算(含详细参考答案)
2019年中考专题复习 第二讲 实数的运算【基础知识回顾】一、实数的运算.1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算,按照 的顺序依次进行. 2、运算法则：加法：同号两数相加,取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号,并用较大的 减去较小的 ，任何数同零相加仍得 。
减法，减去一个数等于 。
乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ,并把 相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的 。
乘方：(-a ）2n +1= (—a ) 2n=3、运算定律：加法交换律：a+b= 加法结合律：（a+b ）+c= 乘法交换律:ab= 乘法结合律：（ab ）c= 分配律： （a+b ）c= 二、零指数、负整数指数幂。
0a = （a≠0) a -p= （a≠0)【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起,计算时要注意运算顺序和运算性质。
2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（31)-1= 】三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照的原则进行比较以外，，还有比较法、比较法等，两个负数大的反而小。
2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为。
【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。
22的大小，可以先确定10和65的取值范围，然后得结论：10+2 65—2。
】【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。
例1 （2018•福建）在实数|-3|，—2,0，π中,最小的数是（）A．｜-3| B．-2 C．0 D．π【思路分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．解：在实数｜—3｜，-2，0,π中，|—3｜=3,则-2＜0＜|-3|＜π，故最小的数是：—2．故选:B．【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．考点二:估算无理数的大小例2 （2018•南京)下列无理数中，与4最接近的是（）A B C D【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近4的无理数是解题关键． 考点三：实数与数轴例3（2018•北京）实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ) A ．|a ｜＞4 B ．c —b ＞0 C ．ac ＞0 D ．a+c ＞0【思路分析】本题由图可知，a 、b 、c 绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错． 解：∵—4＜a ＜-3,∴|a ｜＜4，∴A 不正确； 又∵a ＜0，c ＞0,∴ac ＜0，∴C 不正确; 又∵a ＜—3，c ＜3，∴a+c ＜0，∴D 不正确； 又∵c ＞0，b ＜0,∴c-b ＞0，∴B 正确; 故选：B ．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负． 考点四：实数的混合运算例4 （2018•怀化）计算：0112sin 3022|31|π-︒--+-+（）（）【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=1213122⨯-+-+ =1+3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 考点五：实数中的规律探索。
实数方程知识点总结
实数方程知识点总结实数方程的知识点包括实数的性质、方程的基本概念、解方程的方法以及实际问题的应用等方面。
在下面的内容中，我将逐步介绍这些知识点，并对实数方程进行深入的分析和讨论。
一、实数的性质1. 实数的定义：实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能表示为有理数之比的数。
实数包括了所有的数字，如整数、小数、无穷小数和无理数等。
2. 实数的运算：实数之间可以进行加、减、乘、除等基本运算，这些运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
3. 实数的大小关系：实数之间可以进行大小的比较，可以使用大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等符号来表示大小关系。
对于无理数之间的大小比较，通常需要使用近似值进行比较。
4. 实数的轴表示：实数可以用数轴上的点表示，数轴上每个点对应着一个实数，通过数轴可以直观地展示实数的大小关系。
5. 实数的绝对值：实数的绝对值是指该实数到原点的距离，绝对值始终为非负数，且满足非负性、同号相乘性和三角不等式等性质。
二、方程的基本概念1. 方程的定义：方程是含有未知数的等式，通常用字母表示未知数。
方程的一般形式为“ax+b=0”，其中“a”和“b”为实数，这种方程称为一元一次方程。
2. 方程的解：方程的解是指能使方程成立的未知数的值，对于一元一次方程，其解是指能使方程“ax+b=0”成立的x的值。
3. 方程的变形：为了求解方程，可以通过变形等价性质，将方程转换为更简单的形式，例如通过加减乘除等运算，将方程变形为“x=...”的形式。
4. 方程的解的分类：方程的解可分为实数解、无解、恒等式有解等情况。
一元一次方程通常有且仅有一个实数解。
5. 方程的根的性质：一元一次方程的根满足唯一性、存在性和对称性等性质，通过这些性质可以判断方程的解的情况。
三、解方程的方法1. 直接代入法：将给定的实数代入方程中，求解未知数的值，通常适用于一元一次方程。
实数、整式、分式及二次根式
专题一 实数一、考点扫描1、实数的分类：实数0⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩正实数有理数或无理数负实数 2、实数和数轴上的点是一一对应的．3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab （a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a5、近似数和有效数字；6、科学记数法；7、整指数幂的运算：()()m m mmn n m n m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0） 负整指数幂的性质：p p p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 零整指数幂的性质：10=a （a ≠0） 8、实数的开方运算：()a a a a a =≥=22;0)( 9、实数的混合运算顺序 *10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．···(41 无限循环）；（2（3（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一*11、实数的大小比较：(1).数形结合法 (2).作差法比较 (3).作商法比较 (4).倒数法: 如6756--与 (5).平方法二、考点训练1、（2005、杭州，3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17 是17的平方根，其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2那么x 取值范围是（ ） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞23、－8） A ．2 B ．0 C ．2或一4 D ．0或－44、若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m 为（ ） A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．－15、若实数a 和 b 满足 b=a+5 +-a-5 ,则ab 的值等于_______6、在 3 － 2 的相反数是________，绝对值是______.7、81 的平方根是（ ） A ．9 B ．9 C ．±9 D ．±38、若实数满足|x|+x=0, 则x 是（ ） A ．零或负数 B ．非负数 C ．非零实数D.负数三、例题剖析1、设a= 3 － 2 ，b=2－ 3 ，c = 5 －1,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a2、若化简|1－x|2x-5，则x 的取值范围是（）A ．X 为任意实数B ．1≤X ≤4C ．x ≥1D ．x ＜43、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17⑴___________是错误的；⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________4、计算：20012002=5、我国1990年的人口出生数为人。
初中数学 数与式 知识点 考点 思维导图 实数及其运算 整式 分式 二次根式
分式的加减法／ 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分
４、参数法∶当已经条件形如工－上＝三，所要求值的代数式
是一个含ｘ，ｙ，ｚ，ａ，ｂ，ｃ，而又不易化简的分式
时，通常设 艺－为＝三＊（ｋ就是我们所说的参数），
分式
＼式，然后相加减，ｂ即 ４ｄ± 二ｂ＝ｄａｄ ，ｂｂｄｃ＿ ａｄｂ±ｄｂｃ
运算顺序
作商法 ＝１ｅａ＝ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）
＜１ｅａ＜ｂ
（４） （ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）； ｎ（５）ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ
分级∶加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算．
三级运算的顺序是三、二、一、（如果有括号，先算括号内的；如
果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种
运算，都要注意先定符号后运算．）
学习误区
合并同类项
系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 ＿不变叫做合并同类项．
整式的加减 就是合并同类项，遇到括号，一般先去掉括号，去 括号的方法是∶＋（ａ＋ｂ－ｃ）＝ａ＋ｂ－ｃ；－（ａ＋ｂ－ｃ）＝－ａ－ｂ＋ｃ．
知能提升
整式有关概念
总并华结 梳知理识
整式 幂的运算法则 的运算 整式的乘法
中Ａ，Ｂ，Ｍ／都是整式，特别要注意整式Ｍ的值不等于零．
２、分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何
两个，分式的值不变如－－＝－为＝号，再如一ｂａ
知能提升
分式的概念
并总华结
知识
梳理
式子表述 告Ａ部告告（ｕ２０，如为整式）
基本性质
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，
即号±８ａ±ｏ，
３、分式有意义的条件是分母不为０；分式无意义的条件是
数与式的计算求值题
数与式的计算求值题类型1 实数的运算1.计算：π)0-2|1-sin30°|+(12)-1. 2.计算：(-3)2+|-2|-2 014012)-1.3.12)-1+(0°. 4.计算：2-1+(π0 2 014.5.°+(2 014-π)0-22. 6.计算：(3.14-π)0+(-12)-2°.7.计算：°+tan60°-(-13)-1π-3)0.类型2 整式的运算1.化简：(a+1)2+2(1-a). 2.先化简，再求值：(x+1)(x-1)-x(x-1),其中x=12.3.先化简，再求值：(1+a)(1-a)+a(a-2)，其中a=12.4.先化简，再求值：a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b)，其中a=1，b=-12.5.已知多项式A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3. (1)化简多项式A ；(2)若(x+1)2=6，求A 的值.类型3 分式的运算1.化简：222a a b --1a b +.2.计算：211x x -+²2221x xx x --+.3.化简：(33a a --3a a +)²29a a-. 4. 先化简，再求值：(a+1-451a a --)÷(11a --22a a -)，其中a ＝-1.5.先化简，再求值：2a b a b -+÷222244a b a ab b -++-1,其中a ＝2sin60°-tan45°，b ＝1.6.先化简，再求值：2442x x x-+÷222x xx -+1,在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值.7.先化简，再求值：1x ÷(221x x x +--21x -)+11x +，其中x 的值为方程2x=5x-1的解.8.先化简，再求值：(2x x + - 12x x --)÷2444x x x --+，其中x 是不等式3x+7>1的负整数解.参考答案类型1 实数的运算 1.原式=1-2³(1-12)+2=1-2³12+2=1-2³12+2=2. 2.原式＝9+2-1-3+2＝9. 3.原式＝2＝3-32＝32.4.原式=12125.原式＝3-4³12+1-4＝3-2+1-4＝-2. 6.原式³2=4. 7.原式2类型2 整式的运算1.原式=a 2+2a+1+2-2a=a 2+3.2.原式=x 2-1-(x 2-x)=x 2-1-x 2+x=x-1.当x=12时，原式=12-1=-12. 3.原式=1-a 2+a 2-2a=1-2a.当a=12时，原式=1-2³12=0.4.原式＝a 2-3ab+a 2+2ab+b 2-a 2+ab ＝a 2+b 2.当a=1，b=-12时，原式＝12+(-12)2＝54.5.(1)A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3=3x+3.(2)(x+1)2=6,则x+1=,∴A=3x+3=3(x+1)=±.类型3 分式的运算 1.原式=()()2a a b a b +-- ()()a b a b a b -+-=()()a ba b a b ++-=1a b -.2.原式=()()111x x x -++²()()211x x x --=x.3.原式=［()()()3333a a a a ++-- ()()()333a a a a -+-］²29a a - =2a+12.4.原式=21451a a a --+-÷()21a a a --=(a-2)2a-1²a(a-1)a-2=a 2-2a. a=-1时，原式=(-1)2-2³(-1)=3.5.原式=2a b a b -+÷()()()22a b a b a b +-+-1=2a b a b -+³()()()22a b a b a b ++--1=2a b a b ++-1=ba b +.6.原式=()222x x-²()22x x x -+1=22x -+1=2x .当x=1时，原式=12. 7.原式=1x ÷［()211x x x +--21x -］+11x +=1x ÷()2121x x x x +--+11x +=1x ²()()211x x x --+11x + =11x -+11x + =()()111x x x ++-+ ()()111x x x -+-=221xx -. 解方程2x=5x-1，得x=13. 当x=13时，原式=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=-34. 8.原式=()()()()2212x x x x x x -+---²2444x x x -+-=()2242x x x x x --+-²()224x x --=()42x x x --²()224x x -- =2x x-. 由3x+7>1,解得x>-2. 又∵x 为负整数，∴x=-1. 当x=-1时，原式=121---=3.。
中考数学第一轮复习教案(实数、整式、分式、根式)
中考总习1 实数1、平方根定义1：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
即a x =。
规定：0的算术平方根是0。
定义2：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。
即a x ±=。
定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
因为一个非零实数的平分肯定是正数，所以，正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：4的平分根为±2，是互为相反数的；0的平方根是0；负数没有平方根。
2、立方根定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。
即3a x =。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
3、无理数无限不循环小数又叫做无理数。
初中常见的无理数有：带有根号开不出来的式子，例如：、、等等；带有的式子，例如： ，等等；无限不循环小数，例如：1.325…，-0.2587…等等4、实数有理数和无理数统称实数。
即实数包括有理数和无理数。
备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
例如：3-的相反数为3，倒数为3331-=-，3-的绝对值为。
5、实数的分类分法一：负有理数 0 无理数 实数有理数正有理数负无理数 正无理数 有限小数或 无限循环小数无限不循环小数 知识要点分法二：实数 0由上可知，一个数要是分数，前提必须是有理数，所以，不是所有的a/b 这样的数，都是分数。
例如:不是分数，是无理数。
6、实数的比较大小有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
初中数学专题1：数与式分式化简求值
数学中考专题一：分式化简求值一、考纲要求（分值范围17-20分）（一）、有理数部分1.了解部分：|a|的含义。
2.理解部分：有理数的概念、相反数、绝对值、乘方的意义、有理数的混合运算、有理数的运算律。
3.掌握部分：用数轴上的点表示有理数、比较有理数的大小、相反数、绝对值、有理数的加减乘除乘方运算、有理数的混合运算、有理数的运算律。
4.运用部分：相反数、绝对值、理数的混合运算、有理数的运算律。
（二）、实数部分1.了解部分：平方根、算术平方根、立方根的概念、利用乘方和开方互逆求百以内整数的平方根和立方根、无理数和实数的概念及其与数轴上的点的对应关系、近似数的概念、二次根式及最简二次根式的概念、二次根式（根号下仅限于数）加减乘除及四则运算法则。
2.理解部分：平方根、算术平方根、立方根的概念、利用乘方和开方互逆求百以内整数的平方根和立方根。
3.掌握部分：求实数的相反数与绝对值、用有理数估计一个无理数的大致范围、用计算机进行近似计算。
4.运用部分：二次根式（根号下仅限于数）加减乘除及四则运算法则（三）、代数式1.了解部分：无。
2.理解部分：用字母表示数的意义、求代数式的值。
3.掌握部分：简单数量关系的分析与表示、求代数式的值。
4.运用部分：求代数式的值。
（四）、整式与分式1.了解部分：整数指数幂的意义和基本性质、分式和最简分式的概念。
2.理解部分：科学记数法、整式的概念、乘法公式（平方差和完全平方公式）3.掌握部分：整式的加减乘法（多项式限一次与二次式）运算、乘法公式（平方差和完全平方公式）、用提公因式法公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解、公式的基本性质、约分和通分、分式的加减乘除运算。
4.运用部分：科学记数法、乘法公式（平方差和完全平方公式）、用提公因式法公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解、公式的基本性质。
5.经历部分：乘法公式（平方差和完全平方公式）。
6.探索部分：乘法公式（平方差和完全平方公式）。
中考数学专题复习课件专题二实数整式分式的运算与化简求值(共21张PPT(完整版)5
(4)(2017·张家界)先化简(1－x－1 1)÷x2－x24－x＋1 4，再从不等式 2x－1＜6 的正 整数解中选一个适当的数代入求值；
解：原式＝xx－ －21×（x＋（1x）－（2）x－2 1）＝xx＋ －12， ∵2x－1＜6，∴2x＜7.∴x＜72.把 x＝3 代入上式，得原式＝33＋－12＝4.
解：原式＝－1－|1－ 33× 3|＋2×4＋1＝－1－0＋8＋1＝8.
2．化简： (1)(2017·十堰)化简：(a＋2 1＋aa2＋－21)÷a－a 1；
解：原式＝（2（a＋a－1）1）（＋a－a＋1）2 ·a－a 1＝2aa－ （2a＋＋1a＋）2＝a（a3＋a 1）＝a＋3 1.
(2)(2017·乐山)(2aa22－＋12a－a2－a2－ 2a＋a 1)÷a－2a1. 解：原式＝[（a＋2a1（）a＋（1a－）1）－a（（aa－－11））2]÷a－2a1＝ (a－2a1－a－a 1)÷a－2a1＝a－a 1÷a－2a1＝a－a 1·a－2a1＝12.
(5)(2017·菏泽)(1＋3xx＋－11)÷x2－x 1，
其中 x 是不等式组1－x>－12－x，的整数解． x－1>0
解：1－x>－12－x①， x－1>0②，
解不等式①，得 x＜3；解不等式②，得 x＞1. ∴不等式组的解集为 1＜x＜3.∴不等式组的整数解为 x＝2. ∵(1＋3xx＋－11)÷x2－x 1＝x4＋x1×（x＋1）x（x－1）＝4(x－1)， ∴当 x＝2 时，原式＝4×(2－1)＝4.
1．计算： (1)(2017·温州)2×(－3)＋(－1)2＋ 8； 解：原式＝－6＋1＋2 2＝－5＋2 2.
(2)(2017·黄石)(－2)3＋ 16＋10＋|－3＋ 3|；