流体力学计算题及答案

流体力学计算题及答案第二章例1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。

已知：水面高程z 0=3m,压差计各水银面的高程分别为z 1=0.03m , z 2=0.18m , z 3=0.04m, z 4=0.20m, 水银密度3/13600m kg ρ='，水的密度3/1000m kg ρ= 。

试求水面的相对压强p 0。

解：ap z z γz z γz z γp =-----+)(')(')(3412100)()('1034120z z γz z z z γp ---+-=∴例2：用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。

该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。

已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm ，倾角θ=30∘，试求压强差p 1 – p 2 。

解： 224131)()(p z z γz z γp=-+--θL γz z γp p sin )(4321=-=-∴例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。

两个U 形管的工作液体为水银，密度为ρ2 ，其连接管充以酒精，密度为ρ1 。

如果水银面的高度读数为z 1 、 z 2 、 z 3、 z 4 ，试求压强差p A – p B 。

解： 点1 的压强 ：p A )(21222z z γp p A--=的压强：点)()(33211223z z γz z γp p A -+--=的压强：点BA p z z γz z γz z γp p =---+--=)()()(3423211224)()(32134122z z γz z z z γp p B A ---+-=-∴例4：用离心铸造机铸造车轮。

求A-A 面上的液体总压力。

解： Cgz r p +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2221ωρ ap gz r p +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2221ωρ在界面A-A 上：Z = - ha p gh r p +⎪⎭⎫⎝⎛+=∴2221ωρ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=∴⎰2420218122)(ghR R rdr p p F a R ωπρπ例5：在一直径d=300mm ，而高度H=500mm的园柱形容器中注水至高度h 1 = 300mm ，使容器绕垂直轴作等角速度旋转。

如图所示。

(1)试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数n 1；(2)求抛物面顶端碰到容器底时的转数n 2，此时容器停止旋转后水面高度h 2将为多少？ 解：(1)由于容器旋转前后，水的体积不变(亦即容器中空气的体积不变)，有：14214221ππd L d H h ⋅=-() ∴=-==L H h mm m 2400041().图在xoz 坐标系中，自由表面1的方程：gr z 2220ω=对于容器边缘上的点，有：m L z m d r 4.015.02==== )/(67.1815.04.08.922220s rad r gz =⨯⨯==∴ω∵ωπ=260n /∴==⨯=n r 160260186721783ωππ..(/min)(2)当抛物面顶端碰到容器底部时，这时原容器中的水将被甩出一部分，液面为图中2所指。

在'''x o z 坐标系中：自由表面2的方程： gr z 2220ω'='当m H z m dr 5.0,15.02=='==时)/(87.2015.05.08.92222s rad r z g =⨯⨯='='ωmin)/(3.199287.20602602r ππωn =⨯='=∴这时，有：14214222ππd H d H h ⋅=-()mm Hh Hh H 2502222==∴=-∴例6：已知：一块平板宽为 B ，长为L,倾角θ，顶端与水面平齐。

求：总压力及作用点。

解：总压力：LB θL γA h γF c 2sin ⋅==压力中心D ：方法一：dA θy γy ydF dM sin ==3sin sin sin 322L BθγBdy y θγdA y θγM L A===⎰⎰DFy M = L F M yD32/==∴方法二：62212123LL BL L BL L A y J y y c cx c D +=+=+=例7：如图，已知一平板，长L,宽B,安装于斜壁面上，可绕A 转动。

已知L,B,L 1,θ。

求：启动平板闸门所需的提升力F 。

解：BLθL γf sin 211=BL θL γf sin 12=232cos 21Lf L f FL ⋅+⋅≥∴θ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥∴212132cos 1f f F θ例8：平板A B,可绕A 转动。

长L=2m,宽b=1m,θ=60°，H 1=1.2m,H 2=3m 为保证平板不能自转，求自重G 。

解：N θH b H γF 8153sin 2111== N bL θL γF 169862sin 2== NbL θL H γF 24870)sin (23=-=0232sin 31cos 23211≥-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+L F L F θH L F θL GNG 69954≥∴例9：与水平面成45°倾角的矩形闸门AB(图1)，宽1m ，左侧水深h 1 = 3m ，右侧水深h 2 = 2m ，试用图解法求作用在闸门上的静水总压力的大小和作用点。

解：如图2所示，作出闸门两侧的静水压强分图1布图，并将其合成。

AE h h m EB h m =-=====122451451414452452828sin sin .()sin sin .()°°°°)(943.0414.13232)(93.61414.1)23(8.921)(2112111m AE AD KN b AE h h b P =⨯===⨯⨯-⨯⨯=⋅⋅-=⋅Ω=γ)(71.271828.2)23(8.9)(2122KN b BE h h b P =⨯⨯-⨯=⋅⋅-=⋅Ω=γED EB m AD AE ED m 222121228281414141414142828==⨯==+=+=..()...()静水总压力：P P P KN =+=+=1269327713464...()设合力的作用点D 距A 点的距离为l ，则由合力矩定理：()m P AD P AD P l AD P AD P l P 45.264.34828.271.27943.093.622112211=⨯+⨯=⋅+⋅=∴⋅+⋅=⋅即，静水总压力的作用点D 距A 点的距离为2.45m 。

例10：如图，一挡水弧形闸门，宽度为b （垂直图2于黑板）,圆心角为θ ，半径为R ，水面与绞轴平齐。

试求静水压力的水平分量F x 与铅垂分量F z 。

解： θbR θR γFxsin sin 21⋅= 压力体如图所示：⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=θR θR R ππθb γF z cos sin 2122例11：一球形容器由两个半球铆接而成(如图1所示)，铆钉有n 个，内盛重度为γ的液体，求每一铆钉所受的拉力。

解：如图2所示，建立坐标系xoyz 取球形容器的上半球面ABC 作为研究对象，显然由于ABC 在yoz 平面上的两个投影面大小相等、方向相反，故x 方向上的静水总压力Px=0；同理P y =0。

即：ABC 仅受铅垂方向的静水总压力P V zP=γ而： VV V P=-园柱半球图1)3()32(32)(3421)(223232RH R R H R R R H R R R H R R +=-+=-+=⨯-+=ππππππ故：P V R H RZ P ==⋅+γγπ23() 方向铅垂向上，即铆钉受拉力。

每一铆钉所受的拉力为： F P n n R H R ZZ==⋅+132γπ() 第三章例1：已知u =－(y+t2)， v =x+t ，w =0。

求t=2，经过点（0，0）的流线方程。

解：t=2时， u =－(y+4)， v =x+2， w =0 流线微分方程：2)4(+=+-x dyy dx c y x =+++∴22)4(21)2(21流线过点（0，0） ∴ c=10 流线方程为： (x+2)2+(y+4)2=20例2：已知某流场中流速分布为：u = -x ， v = 2y ，w = 5-z 。

求通过点(x,y,z)=(2,4,1)的流线方程。

解： 流线微分方程为：wdzv dy u dx ==图2zdz y dy x dx -==-∴52⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==-∴---=⋅=-∴z z d xdx y y d x dx z z d y y d x dx 5)5(2)2(215)5(2)2(21由上述两式分别积分，并整理得：①⎪⎩⎪⎨⎧=-+=05221c z c x c y x即流线为曲面1c y x=和平面x c z c+-=2250的交线。

将(,,)(,,)x y z =241代入①可确定21c c 和： 21421==∴c c ，故通过点(2,4,1)的流线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=0524z x y x例3.求小孔出流的流量：解：如图，对断面0-0和断面1-1列伯努利方程，不计能量损失，有：gV αγp z g V αγp z a 22211120000++=++()ghz z g V 22101=-=∴ghA μA V μQ 21==∴上式中：A 为小孔的面积，μ A 为1-1断面的面积。

例4.用文丘里流量计测定管道中的流量： 解：如图，在1-1及2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有：gV αγp z g V αγp z 222222221111++=++2211A V A V =由于：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-γp z γp z A A g V 221121222212故：()()()34422311z z γz z γp z z γp -'+-+=-+又()()342234221111z z ρργp z z z γγγp z γp z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛-'++=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'++=+∴h ρρA A g V ∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴112212222()()2122121A A hg ρρV -∆-'=∴22A V μQ =∴μ：考虑能量损失及其它因素所加的系数。

μ<1。

例5：输气管入口，已知：ρ’=1000kg/m 3，ρ=1.25kg/m 3，d = 0.4m ，h = 30mm 。

求：Q = ?解：对0—0和1—1断面列伯努利方程，不计损失，有：gV αγp z γp z a 2211110++=+ap h γp z z α='+==1101,,0.1又因为：s m gh ρρgh γγV /784.21221='='=∴sm d πV Q /737.24321==∴例6：如图，已知：V 1 、 A 1 、 A 2 ； θ；相对压强p 1 ；且管轴线在水平面内，试确定水流对弯管的作用力。