【华农期末复习卷】高数期末试题
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学生填写）
： 姓名： 学号： 命题： 黄寿生 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）
班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封
--------------------------- 线 ------------------------------------------------
22. 求函数3
52sin x
y x x =-+的一阶导数和二阶导数
23.
2ln(1)y x =-, 求y ''.
四. 计算题（二）(四题选三题，每小题6分，总分18分)
24．方程()0sin 2
=-y xy π确定y 是x 的函数，求1
0-=='
y x y .
班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封
--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）
24*求由方程0sin 21
=+-y y x 所确定的隐函数的二阶导数22dx
y d .
25求曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-t
t
e
y e
x 2，在0=t 相应的点处的切线与法线方程. ．
26. 由方程2ln(1)
arctan x t y t t
⎧=+⎨=-⎩确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.
.
27. 设函数()y y x =由方程()()sin cos y x
x y =所确定，求()y x '.
五．证明题（每小题5分， 共10分）
28. 设()()()f x x a x =-ϕ，其中()x ϕ为连续函数。证明：()f x 在点x a =处的导数
存在且等于()a ϕ。
29．若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+，且1)0(='f ，证明
)()(x f x f ='。
两边对x 求导： ()
02cos 2
='⋅-'+y y y y x y ππ
π
21
1
0-
='⇒-==y x y 24*.求由方程0sin 21
=+-y y x 所确定的隐函数的二阶导数22dx
y d .
解： 将原方程的两边对x 求导： 0cos 211=⋅+-dx dy
y dx dy
于是
y
dx dy cos 22-= 上式两端再对x 求导,得3
222
)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dy
y
dx y d --=--= 25求曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-t
t
e
y e
x 2，在0=t 相应的点处的切线与法线方程. 解：因为
2
1
20
-=-==-=t t
t t e e dx
dy
所以切线方程： 042=-+x y 法线方程： 032=+-x y
26. 由方程2ln(1)
arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.
解： ⎩⎨
⎧-=+=t t y t x arctan )
1ln(2Θ 2
1211
12
2t t t t dt dx dt d dx dy =++-==∴ϕ
27. 设函数()y y x =由方程()
()sin cos y
x
x
y =所确定，求()y x ¢
将原方程的两边取对数：
ln sin ln cos y x x y = 对上式两边求导 ()()ln sin cot ln cos tan +=-dy dy
x y x y x y dx dx
整理得：
ln cos cot ln sin tan -=+dy y y x dx x x y
五．证明题
28.设()()()f x x a x =-ϕ，其中()x ϕ为连续函数。证明：()f x 在点x a =处的导数存在且等于()a ϕ. 证明： 由于()()()()
()lim
lim lim ()x a
x a x a f x f a x a x f a x x a x a
→→→--'===--ϕϕ， 又()x ϕ为连续函数则有lim ()()x a
x a →=ϕϕ.故()()f a a '=ϕ.
29. 若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+，且1)0(='f ，证明
)()(x f x f ='。
证明：
00()()()lim
()()(0)lim )h h f x h f x f x h
f x f h f x h →→+-'=⋅-+=
00()()()(0)lim
()(0)
lim ()h h f x f h f x f h
f h f f x h →→⋅-⋅=-= )()0()(x f f x f ='⋅=