随机过程复习题

第一章 1． 填空

若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '=

(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′

(1)-[ P ′

(1)]2

证明:(1)因为()0

k

k

k P s p s

∞

==

∑，则()1

1

k k

k P s kp s

∞

-='=

∑，令1s →，得

()1

1k

k E X P kp ∞

='==∑ 。

（2）()1

1

k k

k P s kp s

∞

-='=

∑，

()()2

2

1k k k P s k k p s

∞

-=''=-∑()2222

=k k k k k k p s kp s ∞

--=-∑

令1s →，得()()()2

22112

P 1=

1k k k k

p kp EX p EX p EX p ∞

='''-=--+=-∑

()()2=P 1+1EX p '''∴

()()()()2

22P 1+11DX EX EX p p ''''∴=-=-⎡⎤⎣⎦ 证毕

3． 设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2

,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n n

C p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,

()00

k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛

⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

⎝

⎭

⎝

⎭

--===+∑∑== 由性质得 ()()

,

0n t d

it

EX i i

np dt

p q g

e ==-=-=+

()()()22

"

2

2

2

2

0n t it

i npq d i p q g p

n

e EX dt

===-=+-+

()2

2DX =EX EX =npq -

4．设

()0,1X

N ，求X 的特征函数()g t

解 dx x

t g e

itx ⎰∞

+∞

--=

2

2

21)(π

由于e e

x

x x

ix

itx 22

2

2

=-，且

〈+∞⎰∞

+∞

--dx x

e

itx 2

2

21π

，故由积分号下求导公式有

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-=

=-∞

+∞-∞

+∞--⎰⎰de e ixe

g x i dx x

t ixt itx 22'

2

2

221)(ππ

dx x

t x

i

e

e

itx itx ⎰⎰∞

+∞

--∞+∞

-∞

+∞

---

=

2

2

2

2

22π

π

)(t tg -=

于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为e

C

t

t g +-=2

2

)(

由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为e t

t g 2

2

)(-

=

5． 设随机变量()2,Y

N μσ，求Y 的特征函数是()Y g t .

解：设

()0,1X

N ,则由例1.3知X 的特征函数 e

t

t g 2

2

)(-=

令Y X σμ=+,则()2,Y

N μσ，由前面的命题知Y 的特征函数是

()()e

g e g t

t t t i X

x

i Y

2

2

2σσμμ

-==，

6.()12,,

,n X X X p i

i 设是相互独立的随机变量，且X b n ，

i=1,2,,n, ,b n p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

∑∑n

n i

i i=1

i=1证明Y=X

()()()

()()()()

1

11

,,i

n

i i

i n it n n n n it it i i p t pe q t t pe q pe q b n p ====+∑=∏=∏+=+⎛⎫

⎪⎝

⎭

∑

∑

∑i

i i i X n i Y X i=1

n n i i i=1

i=1

证因为X b n ，所以其特征函数为g i=1,2,,n,由特征函数的性质知，Y=X 的特征函数为g g 再由特征函数的唯一性定理知Y=X