新教材苏教版必修第二册 第11章 11.2 第1课时 正弦定理(1) 课件(44张)
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苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第11章 解三角形 11.2 正弦定理
1
S△ABC=
2
aha=
1
bh
b
2
1
chc
2
=
.
2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则
1
S△ABC= 2
absin C=
1
acsin
2
B
=
1
bcsin
2
A
.
名师点睛
三角形面积公式的其他形式
abc
(1)S△ABC= ,其中
4R
R 为△ABC 的外接圆半径;
(2)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
)
答案 AD
解析 设△ABC 的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得 2×2Rsin Asin C
= 2×2Rsin C,因此 sin
2
A= 2 ,故
A=45°或 135°.
知识点3 三角形的面积公式
1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则
2
120°=3 3.
.
2.在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则C=
.
答案 30°或150°
解析 由
1
S△ABC= absin
2
C,得
1
4= ×2×8sin
2
C,解得 sin
1
C= ,故
2
C=30°或 150°.
3.在△ABC中,已知A=75°,C=45°,b=4,求△ABC的面积.
于是 C=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得
S△ABC=
2
aha=
1
bh
b
2
1
chc
2
=
.
2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则
1
S△ABC= 2
absin C=
1
acsin
2
B
=
1
bcsin
2
A
.
名师点睛
三角形面积公式的其他形式
abc
(1)S△ABC= ,其中
4R
R 为△ABC 的外接圆半径;
(2)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
)
答案 AD
解析 设△ABC 的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得 2×2Rsin Asin C
= 2×2Rsin C,因此 sin
2
A= 2 ,故
A=45°或 135°.
知识点3 三角形的面积公式
1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则
2
120°=3 3.
.
2.在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则C=
.
答案 30°或150°
解析 由
1
S△ABC= absin
2
C,得
1
4= ×2×8sin
2
C,解得 sin
1
C= ,故
2
C=30°或 150°.
3.在△ABC中,已知A=75°,C=45°,b=4,求△ABC的面积.
于是 C=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得
新教材苏教版必修第二册 11.1 余弦定理 课件(51张)
类型二 已知三边解三角形(数学运算) 【题组训练】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,b=3,c= 13 , 则C= ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
2.(2020·合肥高一检测)已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90°
B.120°
所以 c2 4c2 = , 1
2bc 4
4
2bc
所以 3c =，所1 以
2b 4
×b 4==3 6.
c2
备选类型 余弦定理的实际应用(数学建模) 【典例】(2020·成都高一检测)如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速 度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的 方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.
【思考】
已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定?
提示:当已知两边及其夹角时,不妨设a,b边和其夹角C已知,由余弦定理可知,
c2 a2-2abb2 cosC,c唯一,cos B=
a2,因 c为2 -b02<B<π,所以B唯一,从而
2ac
A也唯一,所以三角形其他元素唯一确定.
2.三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素 三角形的_三__个__角__A_,_B_,_C_和它们的_对__边___a_,_b_,_c_叫作三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的_几__个__元__素__求其他_元__素__的过程叫作解三角形.
【思考】已知三角形的三个角能不能解三角形? 提示:根据余弦定理知,已知三角形的两边及一角或已知三角形的三条边,可以解 三角形,根据三角形的三个角,无法解三角形.
苏教版高中数学11.2正弦定理课件(28张)
【答案】
3 2
.
【详解】如图，
分别取 AB ， AC 的中点 D ， E ，连接OD ，OE ，则 AB OA AB 1 AB 1 c2 ； AC OA AC 1 AC 1 b2 ，因为
2
2
2
2
，设 cos B AB cosC AC 2OA
sin C
sin B
ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得 a b c 2R ，所以两边同 sin A sin B sin C
2
2
c cos B b cosC 2R
c
a2
c2 b2 2ac
b
a2
b2 c2 2ab
2 R
a 2R
.故答案为： . a sin A sin 3
3
2R
32
2
随堂练习
9．在
ABC
中，
A
0
π 2
，b
m．分别根据下列条件，求边长
a
的取值范围．
(1) ABC 有一解；
又 ，所以 ， ，则 mn sin 2C
sin 2C 2sin Ccos C sin C
0Cπ
sin C 0
所以cosC 1 ．又0 C π ，所以C π ；
2
3
（2）由已知sin Asin B 2sin C 及正弦定理得2c a b ．
因为CA AB AC CACB 18 ，所以 abcosC 18 ，所以 ab 36 ．
(2) ABC 有两解；
(3) ABC 无解．
随堂练习
【详解】（1）由正弦定理
a sin A
b sin B
可得，sin
B
b sin a
11.2第1课时 正弦定理(1)-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册课件
·
8
·
情 景
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于(
课
)堂
导
小
学
A．5 2
B．10 3
·
结
探
提
新
素
知
C．103 3
D．5 6
养
合 作 探 究
释
B
[由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.]
课 时 分 层 作
疑 难
2
业
返 首 页
·
9
·
情 景
第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.通过对任意三角形边长和角
1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 度关系的探索，掌握正弦定理的 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 内容及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
养
合
作 探
2．能运用正弦定理与三角形内 2．借助利用正弦定理求解三角形
课 时
究
思考 2：正弦定理的主要功能是什么？
分 层
释
作
疑 难
提示： 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
业
返 首 页
·
6
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
2．应用正弦定理解三角形
·
提
新
素
知
应用正弦定理可以解两类三角形：
新教材苏教版必修第二册113余弦定理正弦定理的应用课件2
南偏东 60°，则 A，B 之间距离为
()
A． 2a km C．a km
B． 3a km D．2a km
解析：△ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以 AB＝ 2a.故选 A．
答案：A
4．一船以每小时 15 km 的速度向东行驶，船在 A 处看到一灯塔 B 在北偏东 60°，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°，这时船与灯塔的距离为 ________km.
[跟踪训练] 某海上养殖基地 A 接到气象部门预报，位于基地南偏东 60°相距 20( 3＋1)海里的海面 上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 2 海里的速度沿某一方向匀速 直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且 3＋1 小时后开始持续影响基地 2 小时．求台风移动的方向． 解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台风中心为 C，基地刚好不受 影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20. 由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2， BC＝( 3＋1)×10 2.在△ADC 中， 因为 DC2＝AD2＋AC2， 所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
[解] 设所需时间为 t 小时，则 AB＝10 3t，CB＝10t， 在△ABC 中，根据余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，
可得(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，
整理得 2t2－t－1＝0，解得 t＝1 或 t＝－12(舍去)． 所以护航舰需要 1 小时靠近货船．
此时 AB＝10 3，BC＝10，
在△ABC 中，由正弦定理得sin∠BCCAB＝sinA12B0°，
正弦定理 课件-苏教版高中数学必修第二册
苏教版必修第二册
11.2 正弦定理
古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的 规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河 面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC， ∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利 用这些数据计算的呢？
答案 A
4.在△ABC 中， a＝5，b＝5 3，A＝30°，则 B＝________.
解析
由正弦定理，得 sin B＝5
3sin 5
30°＝
3 2.
∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°，∴B＝60°或120°.
答案 60°或120°
(2)由正弦定理sina A＝sinb B，得ab＝ssiinn AB. 又 acos A＝bcos B，所以ab＝ccooss BA， 所以ssiinn AB＝ccooss BA，所以 sin A·cos A＝sin B·cos B，
所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B，
∵A，B为三角形内角， 所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，得 A＝B 或 A＋B＝π2， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案 (1)等腰 (2)等腰或直角
规律方法 利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有 关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状； (2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换 得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状.
【训练1】 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.
11.2 正弦定理
古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的 规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河 面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC， ∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利 用这些数据计算的呢？
答案 A
4.在△ABC 中， a＝5，b＝5 3，A＝30°，则 B＝________.
解析
由正弦定理，得 sin B＝5
3sin 5
30°＝
3 2.
∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°，∴B＝60°或120°.
答案 60°或120°
(2)由正弦定理sina A＝sinb B，得ab＝ssiinn AB. 又 acos A＝bcos B，所以ab＝ccooss BA， 所以ssiinn AB＝ccooss BA，所以 sin A·cos A＝sin B·cos B，
所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B，
∵A，B为三角形内角， 所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，得 A＝B 或 A＋B＝π2， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案 (1)等腰 (2)等腰或直角
规律方法 利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有 关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状； (2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换 得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状.
【训练1】 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.
高中数学苏教版必修第二册第十一章《余弦定理、正弦定理的应用》示范公开课教学课件
解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，．又， ．由余弦定理，得，．即，．化简，得，，解得（负值舍去），由正弦定理，得，所以，方位角为答：舰艇应沿着方位角为的方向航行，经过就可靠拢渔轮.
如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为、距离为的处，并测得该渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救．求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）．
判断正误并说明理由？
∵三角形内角和为，∴每个内角都要大于小于．分以下两种情况讨论：①如果，根据正弦函数的性质，当时，单调递增，所以时，成立；②如果时，因为三角形内角和为，所以，即，根据诱导公式可转换：，同样根据正弦函数的增减性质，，所以有，即．
∵三角形有两个解，∴，即，解得的取值范围是．
那么利用正弦定理和余弦定理，我们可以解决哪些与三角形有关的实际问题？
用余弦定理、正弦定理解三角形
几何应用
实际应用
求角度、边长
判断三角形形状
求面积
距离问题
高度问题
角度问题
（1）在△ABC中，A>B必有sinA>sinB． （2）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC是等腰三角形．（3）若满足条件C=60°，AB=，BC=a的△ABC有两个解，则实数a的取值范围是(，2)．
因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出到；再根据正弦定理求出．
作用于同一点的三个力，，平衡，已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）
根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出
解：应和，的合力平衡，所以和在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在中，由余弦定理，得 再由正弦定理，得，，所以，从而答：为，和的夹角为
如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为、距离为的处，并测得该渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救．求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）．
判断正误并说明理由？
∵三角形内角和为，∴每个内角都要大于小于．分以下两种情况讨论：①如果，根据正弦函数的性质，当时，单调递增，所以时，成立；②如果时，因为三角形内角和为，所以，即，根据诱导公式可转换：，同样根据正弦函数的增减性质，，所以有，即．
∵三角形有两个解，∴，即，解得的取值范围是．
那么利用正弦定理和余弦定理，我们可以解决哪些与三角形有关的实际问题？
用余弦定理、正弦定理解三角形
几何应用
实际应用
求角度、边长
判断三角形形状
求面积
距离问题
高度问题
角度问题
（1）在△ABC中，A>B必有sinA>sinB． （2）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC是等腰三角形．（3）若满足条件C=60°，AB=，BC=a的△ABC有两个解，则实数a的取值范围是(，2)．
因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出到；再根据正弦定理求出．
作用于同一点的三个力，，平衡，已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）
根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出
解：应和，的合力平衡，所以和在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在中，由余弦定理，得 再由正弦定理，得，，所以，从而答：为，和的夹角为
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第11章 解三角形 11.2 正弦定理 (2)
解∵
sin
=
，∴
sin
sin =
sin
=
2
，∴
2
= 45∘ 或 = 135∘ .∵ > ，
∴ > ，∴ = 45∘ .
∴=
75∘ ，
=
sin
sin
=
6⋅sin 75∘
sin 60∘
= 3 + 1.
【题型三】三角形形状判断
例3[2023南通月考]在△ 中，内角，，所对的边分别为，，，已知
可得sin2 − sin2 = sin2 + ，
因为 + + = π，所以 + = π − ，可得sin + = sin ，
可得sin2 − sin2 = sin2 ，
由正弦定理，可得2 − 2 = 2 ，即 2 + 2 = 2 ，
（2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有:
sin =
，sin
2
=
，sin
2
=
（为△
2
外接圆的半径）.
跟踪训练3[2023启东月考]在△ 中，若 − cos ⋅ sin = − cos sin ，
则这个三角形是() D
A.底角不等于45∘ 的等腰三角形B.锐角不等于45∘ 的直角三角形
2 − 2 = cos + cos 2 ，试判断△ 的形状，并写出证明过程.
解△ 是直角三角形.证明如下：因为2 − 2 = cos + cos 2 ，
所以由正弦定理，可得sin2 − sin2 = sin cos + sin cos 2 ，
sin
=
，∴
sin
sin =
sin
=
2
，∴
2
= 45∘ 或 = 135∘ .∵ > ，
∴ > ，∴ = 45∘ .
∴=
75∘ ，
=
sin
sin
=
6⋅sin 75∘
sin 60∘
= 3 + 1.
【题型三】三角形形状判断
例3[2023南通月考]在△ 中，内角，，所对的边分别为，，，已知
可得sin2 − sin2 = sin2 + ，
因为 + + = π，所以 + = π − ，可得sin + = sin ，
可得sin2 − sin2 = sin2 ，
由正弦定理，可得2 − 2 = 2 ，即 2 + 2 = 2 ，
（2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有:
sin =
，sin
2
=
，sin
2
=
（为△
2
外接圆的半径）.
跟踪训练3[2023启东月考]在△ 中，若 − cos ⋅ sin = − cos sin ，
则这个三角形是() D
A.底角不等于45∘ 的等腰三角形B.锐角不等于45∘ 的直角三角形
2 − 2 = cos + cos 2 ，试判断△ 的形状，并写出证明过程.
解△ 是直角三角形.证明如下：因为2 − 2 = cos + cos 2 ，
所以由正弦定理，可得sin2 − sin2 = sin cos + sin cos 2 ，
新教材苏教版必修第二册第11章113余弦定理正弦定理的应用课件4
[解] F3 应和 F1，F2 的合力 F 平衡，所以 F3 和 F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在 △OF1F 中，由余弦定理，得
F＝ 302＋502－2×30×50cos 120°＝70(N)， 再由正弦定理，得 sin∠F1OF＝50si7n0120°＝5143，
所以∠F1OF≈38.2°， 从而∠F1OF3≈141.8°． 即 F3 为 70 N，F3 和 F1 间的夹角为 141.8°．
[解] 如图，作O→E＝F，将 F 沿 A 到 O， O 到 B 两个方向进行分解，即作▱OCED，则O→D ＝C→E＝F1，O→C＝F2．由题设条件可知，|O→E| ＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE ＝180°－50°－70°＝60°．
在△OCE 中，由正弦定理， 得sin|F5|0°＝sin|F61|0°， sin|F5|0°＝sin|F72|0°， 因此，|F1|＝1s0isnin5600°°≈11.3 N， |F2|＝1s0isnin5700°°≈12.3 N． 即灯杆 OA 所受的力为 11.3 N，灯杆 OB 所受的力为 12.3 N．
1．解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求 解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程 思想的运用．
2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点 间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的 辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题， 从而利用正、余弦定理求解．
类型 2 正、余弦定理在几何中的应用 【例 2】 如图，在△ABC 中，B＝π4，AC＝2 5，cos C＝25 5．
高中数学苏教版必修第二册第十一章《正弦定理(1)》示范公开课教学课件
C
在中, ，，，若有两解， 则的取值范围为( )． A. B. C. 2 D.
解：因为有两解，所以，即，得2故选C．
B
解：由正弦定理，可得，即，故或．由，得，所以，故，由勾股定理得．故选B．
对于钝角三角形（2），锐角三角形（3），上述结论还成立吗？
在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比等于其外接圆的直径．
A
在中，已知，，，则 ( )．A. B. C. D.
解，因为，所以 .故选A．
相关公式
正弦定理的应用
正弦定理
已知两角与任一边，解三角形．（解是唯一确定的）
已知两边与其中一边的对角，解三角形．（需判断三角形解的个数）
变式
实现边与角的正弦互换．
教材92页练习第1-4题．
判断正误并说明理由？
正弦定理的公式正弦定理的应用．
判断依据
பைடு நூலகம்
正弦定理适用于任意三角形．
根据正弦定理可知， ，而不是 ；
因为，故此三角形有两个解．
根据正弦定理可知，当三角形确定时，则各边与其所对的角的正弦的比值是定值．
如图，在中，，，，求，（精确到）．
解：∵，，∴∵，∴．．因此，，的长分别为和．
向量方法
如图在中，、、的长分别为、、．则：，两边同时平方，得，即，．
这节课我们继续探索三角形的边角关系．
在中，不妨设为最大角，过点作于点，与的夹角为．∴即，，①
∵，
当为锐角时，，当为直角时，，当为钝角时，．
当为锐角或直角时，，当为钝角时，．即，无论为锐角、直角或钝角，都有．
（2）当为直角或钝角时，同理可得当时，无解；当时，一个解．
a
综上可得：若为锐角时， ；若为直角或钝角时，．
高中数学苏教版必修第二册第十一章《正弦定理(2)》示范公开课教学课件
在中，若，试判断的形状．
解： ∵，即，∴，即∴.又，∴，∴，∴是等腰直角三角形．
在中，已知，则的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解
D
(多选)在中，已知，，，则的面积为( ) A. B． C． D．
如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度（精确到）．
要求
先求
解
解：过点作，交于．因为，所以，于是．又因为，所以．在中，由正弦定理，得．在中，.答：山的高度约为811 m．
在中，是的平分线，用正弦定理证明：．
证明：设，，则，．在和中，分别运用正弦定理，得，．又因为，所以，即．
在中，已知两个角和任意一边，可以先求出另一个角，再根据正弦定理，即可求出．
解：在中，∵，，∴．由正弦定理，得：，即：．∴．在中，∵， ∴．
也可以先求出，再在中，求出．
解：在中，∵，，∴．由正弦定理，得：，即：．∴．在中，∵， ∴．
运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．
正弦定理：．
解：令，由正弦定理，得 ，，．代入已知条件，得：．即，．又因为，，，所以．故为正三角形．
解：由余弦定理，得：；；代入已知条件，得即，从而∵都大于，∴故为正三角形．
判断三角形形状的两种途径：化边为角，利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时注意应用这个隐含条件；化角为边，利用正（余）弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
高中数学苏教版必修第二册第十一章《余弦定理(2)》示范公开课教学课件
∴．
在中，已知，，则为( )A．等边三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解：由余弦定理，得，因为，，所以，化为，得，所以为等边三角形．故选A．
由三边关系判断的形状
已知船在灯塔北偏东处，且到的距离为，船在灯塔北偏西处，且，两船的距离为，则到的距离为________．
你能用余弦定理证明该结论吗？
你能用余弦定理证明该结论吗？
证明：设，．在中，，在中，，∵，∴．整理得：．即证．
余弦定理：
证明：；；．
射影定理
在中，若，试判断的形状．
解：由并结合余弦定理得：，整理得：．∵，∴，即．故是直角三角形．
cos =
cos =
如图，是的边上的中线，求证：．
要证
只需证
只需证
在，中，分别由余弦定理表示出即可
如图，是的边上的中线，求Байду номын сангаас：．
证明：设，则．在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．∵，，∴，从而．
如图，是的边上的中线，求证：．
平行四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和.
第11章 解三角形
余弦定理
上节课，我们定量的探究了三角形边和角的关系，得到了余弦定理，你能回忆起余弦定理的内容吗？
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
已知三角形的两边及其夹角，求第三边．
已知三角形的三边，求任意一个内角．
解：由题作图，如图所示，则，，，所以根据余弦定理可得：，解得或 (舍去)，故答案为.
在中，，，已知，是方程的两个根，且．(1)求角C的大小；(2)求AB的长．
解：(1)由题意可得，，所以，所以．(2)由题意得所以 ．所以．
在中，已知，，则为( )A．等边三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解：由余弦定理，得，因为，，所以，化为，得，所以为等边三角形．故选A．
由三边关系判断的形状
已知船在灯塔北偏东处，且到的距离为，船在灯塔北偏西处，且，两船的距离为，则到的距离为________．
你能用余弦定理证明该结论吗？
你能用余弦定理证明该结论吗？
证明：设，．在中，，在中，，∵，∴．整理得：．即证．
余弦定理：
证明：；；．
射影定理
在中，若，试判断的形状．
解：由并结合余弦定理得：，整理得：．∵，∴，即．故是直角三角形．
cos =
cos =
如图，是的边上的中线，求证：．
要证
只需证
只需证
在，中，分别由余弦定理表示出即可
如图，是的边上的中线，求Байду номын сангаас：．
证明：设，则．在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．∵，，∴，从而．
如图，是的边上的中线，求证：．
平行四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和.
第11章 解三角形
余弦定理
上节课，我们定量的探究了三角形边和角的关系，得到了余弦定理，你能回忆起余弦定理的内容吗？
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
已知三角形的两边及其夹角，求第三边．
已知三角形的三边，求任意一个内角．
解：由题作图，如图所示，则，，，所以根据余弦定理可得：，解得或 (舍去)，故答案为.
在中，，，已知，是方程的两个根，且．(1)求角C的大小；(2)求AB的长．
解：(1)由题意可得，，所以，所以．(2)由题意得所以 ．所以．
新教材苏教版必修第二册第11章解三角形112第1课时正弦定理1课件1
∴sin(B－C)＝0． 又－90°<B－C<90°， ∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC 是等腰直角三角形．
(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B＋ sin2C”改为“b＝acos C”，其它条件不变，试判断△ABC 的形状．
[解] ∵b＝acos C， 由正弦定理，得 sin B＝sin Acos C．(*) ∵B＝π－(A＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则 sin
A∶sin B∶sin C 等于( )
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
1234 5
B [∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b＋4 c＝c＋5 a＝a＋6 b． 令b＋4 c＝c＋5 a＝a＋6 b＝k(k>0)，
类型 2 用正弦定理解三角形
【例 2】 已知△ABC 中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角 B，
边 b，c． [解] ∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理得：c＝assiinnAC＝10 2． b＝assiinnAB＝10s·isnin3100°5°＝20sin(60°＋45°)＝5( 6＋ 2)． ∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2．
第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
学习任务
核心素养
1．通过对任意三角形边长和角度 1．通过对正弦定理的推导及应
关系的探索，掌握正弦定理的内容 用正弦定理判断三角形的形状，
及其证明．(难点)
培养逻辑推理的核心素养．
2．能运用正弦定理与三角形内角 2．借助利用正弦定理求解三角
苏教版必修第二册112正弦定理课件_1
故选 A．
2．在△ABC 中，A＝60°，sin B＝12，a＝3，求三角形中其他边与角的大小． 解：因为 sin B＝12，所以 B＝30°或 150°，当 B＝30°时，由 A＝60°得 C＝ 90°；当 B＝150°时，不合题意，舍去． 所以由正弦定理sinb B＝sinc C＝sina A，得 b＝ssiinn AB·a＝ssiinn 3600°°×3＝ 3，c ＝ssiinn AC·a＝ssiinn 9600°°×3＝2 3.
2．在△ABC中，若(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A，试判断△ABC的形 状． 解：因为(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A， 所以a sin B－a cos Bsin B＝b sin A－c cos C sin A， 而由正弦定理可知a sin B＝b sin A，所以a cos B sin B＝c cos C sin A. 即sin A cos B sin B＝sin C cos C sin A， 所以cos B sin B＝sin C cos C，即sin 2B＝sin 2C， 所以2B＝2C或2B＋2C＝180°，即B＝C或B＋C＝90°， 故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝6，
sin A＝ 43，则 B＝(
)
A．π3
B．23π
√C．π3或23π
D．π6或56π
解析：因为
a＝3，b＝6，sin
A＝
43，所以由正弦定理可得
sin
B＝b
sin a
A＝
6× 3
3 4＝
23，又
sin
A＝
新教材苏教版必修第二册111余弦定理课件_4
答案：C
2．在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，C＝120°，则 AC＝
A．1
B．2
C．3
D．4
()
解析：在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，可得 13＝9＋AC2＋3AC，解得 AC＝1 或 AC＝－4(舍去)．故选 A．
cos A＝___2_b_c___，cos B＝____2_a_c____，cos C＝____2_a_b___
在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？ 提示：a2＝b2＋c2.勾股定理．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)余弦定理适用于任何三角形． (2)在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一． (3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角． (4)在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则角C为钝角．
已知三边解三角形
[例2] 在△ABC中，已知a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3，求A，B，C．
[解] 根据余弦定理，得cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝（6＋2
3）2＋（4 2×（6＋2
3）2－（2 3）×4 3
6）2＝
3 2.
π ∵A∈(0，π)，∴A＝ 6 ，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝（2
第十一
章
解三角形
11．1 余弦定理
新课程标准解读 理解余弦定理的证明，并会运用余弦定理解决相关问题
核心素养 逻辑推理、数学运算
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道 的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到 山脚B，C的距离，其中AB＝ 3 km，AC＝1 km，再利用经纬 仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.
11.2.1正弦定理课件-2021-2022学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册
上课人：杨胜
审核人：王海成
指导老师：齐云
复习：
1、若 0， ，sin 1 ，则 ______
2
（上周周练）在 ABC中,已知sin2A sin2B,则ABC是什么三角形？
2、sin15o ___________，sin75o ___________,sin105o ___________,
a 2R
sin A
c 2R sin C
所以：
a sin
A
b sin B
c sin C
探究3：作高法
在ABD中
A
AD csin B
c
b 在ACD中
B
aD C
AD bsinC
csin B bsinC
c b sin C sin B
也可以证明正弦定理
三角形面积：
S
1 1 a AD 2
21
a
a
c
b
1．知识清单： (1)____________________________
(2)____________________________ (3)____________________________2．方法归纳：________________ ______________3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易 忽略分类讨论．
探究五：
在△ABC中，已知边长a，b及A，判断△解得个数
1、当A为锐角时
b A
当a bsin A时，a无解
b
b sin A
A
当a bsin A时，a只有一个解
b A
当bsin A a b时，a有两个解
b A
当a b时，a有一个解
典例 不解三角形，判断下列三角形解的个数．
审核人：王海成
指导老师：齐云
复习：
1、若 0， ，sin 1 ，则 ______
2
（上周周练）在 ABC中,已知sin2A sin2B,则ABC是什么三角形？
2、sin15o ___________，sin75o ___________,sin105o ___________,
a 2R
sin A
c 2R sin C
所以：
a sin
A
b sin B
c sin C
探究3：作高法
在ABD中
A
AD csin B
c
b 在ACD中
B
aD C
AD bsinC
csin B bsinC
c b sin C sin B
也可以证明正弦定理
三角形面积：
S
1 1 a AD 2
21
a
a
c
b
1．知识清单： (1)____________________________
(2)____________________________ (3)____________________________2．方法归纳：________________ ______________3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易 忽略分类讨论．
探究五：
在△ABC中，已知边长a，b及A，判断△解得个数
1、当A为锐角时
b A
当a bsin A时，a无解
b
b sin A
A
当a bsin A时，a只有一个解
b A
当bsin A a b时，a有两个解
b A
当a b时，a有一个解
典例 不解三角形，判断下列三角形解的个数．
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第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.通过对任意三角形边长和角
1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 度关系的探索，掌握正弦定理的 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 内容及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
养
合
作 探
2．能运用正弦定理与三角形内 2．借助利用正弦定理求解三角形
3．在△ABC 中，A＝π3，BC＝3，AB＝ 6，则 C＝(
)
课 堂
导
小
学
探 新
A．π4或34π
B．34π
·
结
提 素
知
养
合 作
C．π4
D．π6
课
探 究
释
C
[由sBinCA＝siAnBC，得 sin C＝ 22.∵BC＝3，AB＝
时
6，∴A>C，
分 层
作
疑
难 则 C 为锐角，故 C＝π4.]
业
返
首 页
探 究
都对应 CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
返 首 页
·
15
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
[跟进训练]
养
合 作
1．在△ABC 中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边 c.
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
16
作 业
返 首 页
·
11
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
·
12
定理证明
情
课
景
堂
导 学
【例 1】 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．
小 结
·
探 新
[证明]
知
一点，
合
作
探
究
释 疑 难
如图，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上
课
探
时
究
释 疑
＝5×sin
60°cos
45°＋cos sin 30°
60°sin
45°
分 层 作 业
难
＝52( 6＋ 2).
返
首
页
·
·
17
用正弦定理解三角形
情
课
景
堂
导 学
【例 2】
已知△ABC 中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角 B，
小 结
·
探 新
边 b，c.
提 素
知
养
合
[思路点拨] ①角 A，B，C 满足什么关系；
分 层 作
疑
业
难
故sina A＝sinb B＝sinc C.
返
首
页
·
14
·
情
课
景 导
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联
堂 小
学
结
·
探 系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
提
新
素
知
养
合 作
2．要证sina A＝sinb B，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 课
[解] 由三角形内角和定理知 A＋B＋C＝180°，
·
情
课
景
所以 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
堂
导
小
学
探 新
由正弦定理sina A＝sinc C，
·
结
提 素
知
养
合 作
得
c＝a·ssiinn
CA＝5×ssiinn13005°°＝5×sin
60°＋45° sin 30°
课 时
究
角和定理解决简单的解三角形
的边长或角的大小的学习，培养数
分 层
释
作
疑
难 问题．(重点)
学运算的核心素养.
业
·
返 首 页
3
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情景
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
4
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探 新 知
如图，在 Rt△ABC 中，sina A，sinb B，sinc C各
·
8
·
情 景
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于(
课
)堂
导
小
学
A．5 2
B．10 3
·
结
探
提
新
素
知
C．103 3
D．5 6
养
合 作 探 究
释
B
[由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.]
课 时 分 层 作
疑 难
2
业
返 首 页
·
9
·
情 景
·
10
·
情 景 导
4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝π3，则 C＝________.
课 堂 小
学
结
探 新
π 2
[由正弦定理得：
3 π＝sin3B，所以 sin B＝12.
·
提 素
知
sin 3
养
合
作 探 究
又 a>b，所以 A>B，所以 B＝π6，
课 时 分
层
释 疑 难
所以 C＝π－π3＋π6＝π2.]
课 时
究
思考 2：正弦定理的主要功能是什么？
分 层
释
作
疑 难
提示： 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
业
返 首 页
·
6
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
2．应用正弦定理解三角形
·
提
新
素
知
应用正弦定理可以解两类三角形：
养
合 作
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
课
探
时
究
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
7
·
情
课
景
堂
导 学
探
1．在△ABC 中，下列式子与sina A的值相等的是( )
·
小 结
提
新
素
知
A．bc
B．ssiinn
B A
养
合
作
课
探 究
C．sinc C
D．sinc C
时 分 层
释
作
疑
难
C
[由正弦定理得，sina
A＝sinc
C，所以sina
A＝sinc
C .]
业
返 首 页
时 分 层
释
作
疑 难
∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2.
业
返 首 页
·
19
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探 新
正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina合 自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
5
·
情 景 导 学
1．正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦之比相等．即sina A
课 堂 小 结
·
探 新 知
＝sinb B＝sinc C.
提 素 养
合
思考 1：正弦定理的适用范围是什么？
作 探
提示： 正弦定理对任意三角形都成立．
提 素
养
课 时 分 层 作 业
·
返 首 页
13
·
根据正弦函数的定义知：
情
课
景 导 学
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CaD＝sin B．
·
堂 小 结
探
提
新
∴CD＝bsin A＝asin B．
素
知
养
合 作
∴sina A＝sinb B.
课
探
时
究 释
同理，sinb B＝sinc C.
作
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.通过对任意三角形边长和角
1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 度关系的探索，掌握正弦定理的 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 内容及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
养
合
作 探
2．能运用正弦定理与三角形内 2．借助利用正弦定理求解三角形
3．在△ABC 中，A＝π3，BC＝3，AB＝ 6，则 C＝(
)
课 堂
导
小
学
探 新
A．π4或34π
B．34π
·
结
提 素
知
养
合 作
C．π4
D．π6
课
探 究
释
C
[由sBinCA＝siAnBC，得 sin C＝ 22.∵BC＝3，AB＝
时
6，∴A>C，
分 层
作
疑
难 则 C 为锐角，故 C＝π4.]
业
返
首 页
探 究
都对应 CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
返 首 页
·
15
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
[跟进训练]
养
合 作
1．在△ABC 中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边 c.
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
16
作 业
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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定理证明
情
课
景
堂
导 学
【例 1】 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．
小 结
·
探 新
[证明]
知
一点，
合
作
探
究
释 疑 难
如图，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上
课
探
时
究
释 疑
＝5×sin
60°cos
45°＋cos sin 30°
60°sin
45°
分 层 作 业
难
＝52( 6＋ 2).
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用正弦定理解三角形
情
课
景
堂
导 学
【例 2】
已知△ABC 中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角 B，
小 结
·
探 新
边 b，c.
提 素
知
养
合
[思路点拨] ①角 A，B，C 满足什么关系；
分 层 作
疑
业
难
故sina A＝sinb B＝sinc C.
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14
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情
课
景 导
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联
堂 小
学
结
·
探 系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
提
新
素
知
养
合 作
2．要证sina A＝sinb B，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 课
[解] 由三角形内角和定理知 A＋B＋C＝180°，
·
情
课
景
所以 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
堂
导
小
学
探 新
由正弦定理sina A＝sinc C，
·
结
提 素
知
养
合 作
得
c＝a·ssiinn
CA＝5×ssiinn13005°°＝5×sin
60°＋45° sin 30°
课 时
究
角和定理解决简单的解三角形
的边长或角的大小的学习，培养数
分 层
释
作
疑
难 问题．(重点)
学运算的核心素养.
业
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3
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情景
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探 新 知
如图，在 Rt△ABC 中，sina A，sinb B，sinc C各
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8
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情 景
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于(
课
)堂
导
小
学
A．5 2
B．10 3
·
结
探
提
新
素
知
C．103 3
D．5 6
养
合 作 探 究
释
B
[由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.]
课 时 分 层 作
疑 难
2
业
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情 景
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10
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情 景 导
4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝π3，则 C＝________.
课 堂 小
学
结
探 新
π 2
[由正弦定理得：
3 π＝sin3B，所以 sin B＝12.
·
提 素
知
sin 3
养
合
作 探 究
又 a>b，所以 A>B，所以 B＝π6，
课 时 分
层
释 疑 难
所以 C＝π－π3＋π6＝π2.]
课 时
究
思考 2：正弦定理的主要功能是什么？
分 层
释
作
疑 难
提示： 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
业
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情
课
景
堂
导
小
学
结
探
2．应用正弦定理解三角形
·
提
新
素
知
应用正弦定理可以解两类三角形：
养
合 作
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
课
探
时
究
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
分 层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导 学
探
1．在△ABC 中，下列式子与sina A的值相等的是( )
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小 结
提
新
素
知
A．bc
B．ssiinn
B A
养
合
作
课
探 究
C．sinc C
D．sinc C
时 分 层
释
作
疑
难
C
[由正弦定理得，sina
A＝sinc
C，所以sina
A＝sinc
C .]
业
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时 分 层
释
作
疑 难
∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2.
业
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情
课
景
堂
导
小
学
结
探 新
正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina合 自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情 景 导 学
1．正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦之比相等．即sina A
课 堂 小 结
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探 新 知
＝sinb B＝sinc C.
提 素 养
合
思考 1：正弦定理的适用范围是什么？
作 探
提示： 正弦定理对任意三角形都成立．
提 素
养
课 时 分 层 作 业
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根据正弦函数的定义知：
情
课
景 导 学
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CaD＝sin B．
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堂 小 结
探
提
新
∴CD＝bsin A＝asin B．
素
知
养
合 作
∴sina A＝sinb B.
课
探
时
究 释
同理，sinb B＝sinc C.
作