中考数学专题复习——分类讨论
中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解
中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解对于初中生来说中考就是一个重要的转折点，那么怎样才能在中考这场战役中取得胜利呢？别担心，看了中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解以后你会有很大的收获：中考数学答题技巧：分类讨论避免漏解中考数学复习中要擅于运动学习技巧、解题技巧！分类讨论是中学数学中一种重要的思想方法，在每年的中考中都会涉及到有关分类讨论方面的试题，而许多同学在解答过程中经常会出现漏解、讨论不完整的现象。
临近中考，将同学中出现的部分漏解现象进行分析，希望能帮助同学们提高分类讨论的能力。
概念不清，导致漏解对所学知识概念不清，领会不够深刻，导致答题不完整。
例：已知(a-3)x6，求x的取值范围。
分析：根据不等式的性质不等式的两边同乘或同除以不为零的负数，不等号的方向要改变，而此题中(a-3)的符号并未确定，所以要分类讨论(a-3)的正负问题。
例：若y2+(k+2)y+16是完全平方式，求k。
分析：完全平方式中有两种情况：(ab)2=a22ab+b2,而同学们往往容易忽略k+2=-8这一解。
思维固定，导致漏解在日常解题过程中，许多同学往往受平时学习中习惯性思维用以上方法求解必定会被遗漏。
上述是同学们在解答基础题中经常出现的分类思考不全面的情况，而在利用分类讨论思想求解相关综合题有时比较复杂，在这里介绍一些方法，给同学们一些启示。
首先，要严密审题，一字一句阅读，切勿匆匆看题。
有时疏忽了一字一句，使该讨论的不讨论，即使讨论了也不全面，如题中出现的线段、射线或直线都是有区别的，不能把它们都当作线段去求解，例如：方程(a-1)x2-6x+4=0有实数根，则a的取值范围是多少?对此题，同学们往往认为只要利用△求解一元二次方程，但题中出现方程，应该既要考虑它可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，不应人为地缩小了a的范围仅当作一元二次方程去求解。
其次，对可能出现的几种情况要全面考虑到，是否还有其他可能情况，争取做到全面、完整、勿缺、勿漏。
中考数学总复习专题三分类讨论问题课件
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种 不同情况予以讨论.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方 法，同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为 不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，能帮助学
生加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力. 分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分
∵直线 BD：y＝－ 33x＋ 3与 y 轴交于点 C， ∴点 C(0， 3)，∴OC＝ 3，
∵tan∠CBO＝CBOO＝ 33， ∴∠CBO＝30°，
如图 2，过点 A 作 AK⊥BD 于点 K，
图2 ∴AK＝21AB＝2，∴DK＝ AD2－AK2＝ 8－4＝2， ∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，
DF＝ EF2－DE2＝ 52－32＝4 cm， ∴S△AEF＝12AE×DF＝12×5×4＝10 cm2.
例 3：如图，抛物线 y＝3＋6 3x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两 点，点 A，B 分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点 B 的直线与 y 轴正半轴和抛物线的交点分别的坐标是m，38m2－145m＋6，
∴EF＝－34m＋6－38m2－145m＋6＝－38m2＋3m＝－38(m－4)2＋6，
∵－38＜0，∴当 m＝4 时，EF 取最大值 6， 此时点 E 的坐标为(4，3).
(3)设运动的时间为 t 秒，则 BP＝OQ＝t， ∴BQ＝OB－OQ＝8－t. ①当 PQ＝PB 时，过点 P 作 PD⊥QB 于点 D，如图.
设直线 BD 的函数解析式为 y＝kx＋b，
由题意可得0＝3＋3k1＋＝b－， 3k＋b，
解得k＝－
中考数学之分类讨论问题
分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。
综合中考的复习规律，我觉得分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
例1. 化简a 32a ---。
例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值 例3．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 变式思考：1.化简：1x 2x --+2.已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=（1）若方程有实数根，求k 的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.例1. 已知0≠abc ，且,p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过 A . 第一第二象限 B 第二第三象限 C 第三第四象限 D 第一第四象限例题2、如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时，S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.变式思考： 1.已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。
(完整版)中考数学分类讨论专题复习教案
中考数学分类讨论专题复习教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第５３讲中考复习专题（三）分类讨论复习教案【内容分析】重点：从问题的实际出发进行分类讨论．难点：克服思维的片面性，防止漏解．考点解读：在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。
另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。
把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。
它体现了化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。
分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。
分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【复习目标】通过复习能够掌握从问题的实际出发进行分类讨论的思想方法．当问题中存在不确定因素时，能够把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题．【教学环节安排】环节教学问题设计教学活动设计知识回顾在初中阶段数学教学中已经渗透了分类思想：如..在实数，，，，中，无理数有（）A．1个B．2个c．3个D．4个2.下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．c．D．３．在式子，，，x,,32,,2x-y中单项式有，多项式有，整式有.教师与学生共同回顾，同时根据情况，可让学生适当举例说明．综合应用【典例分析】几何类讨论【例１】如图１，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，ＢＥ=ＣＥ,ＭＮ=１，线段ＭＮ的两端在ＣＤ、AD上滑动，当Dm= 时，△ABE与以D、m、N为顶点的三角形相似.【分析】已知∠B=∠D,要使两三角形相似，必须还得使夹边对应成比例。
这就牵涉到找对应边的问题，Dm到底是和哪那条边对应边，我们不能确定，所以就要分情况来讨论：△ABE与以D、m、N为顶点的三角形相似时，Dm可以与BE 是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况.【思路点拨】当问题中存在不确定因素时，就要分情况进行讨论.【例２】如图２，在Rt△ABc中，∠BAc=90°，AB=Ac=2，点D在Bc上运动（不能到达点B、c），过D作∠ADE=45°，DE交Ac于E。
课标版数学中考第二轮专题复习-分类讨论型试题(含答案
分类讨论型问题探究分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。
分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决. 解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE ＝25（m ）由DE ∥FC 得，FCEDAC AE =，得FC ＝24（m ） S △ABC =12 ³40³24=480（m 2）(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S △ABC =1264³24=768（m 2）说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。
练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）A.2a b + B.2a b - C.2a b +或2a b - D. a+b 或a-b2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条3（2005年潍坊市）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．A ．5cmB ．11cmC ．3cmD ．5cm 或11cm图1图2A4.（2005年北京）在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD BD DC2 ²，则∠BCA的度数为____________。
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
深圳市中考数学总复习课件(专题：分类讨论问题)
思路分析：（1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠A 的范围；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且 ∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出 ∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；
（3）分三种情况分别讨论计算AB的长，从而得出当AD=2 时，AB最长，最后计算出对角线AC的长．
角形三边关系和三角形的周长公式求解即可．
解答：把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4. 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，所以
①当△ABC的腰为4，底边为3时，△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，△ABC的周长3+3+4=10．
x2 4 y2 5y 6，则第三边长为.
思路分析：直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质进而
得出x2=4，y2-5y+6=0，再利用分类讨论得出即可．
解答：∵ x2 4 y2 5y 6, 两个非负数的和为0，这两个 非负数都为0,
∴x2-4=0且y2-5y+6=0.∴x2=4，(y-2)(y-3)=0.
综上所述，该△ABC的周长为10或11． 8
故答案选D．
题型二 几何类
几何类常涉及各种图形的位置关系，未明确对 应关系的全等或相似的可能对应情况，函数的定义 以及点(坐标未给定)所在象限等;函数定义域变化、 函数图象未给出、函数对称性(反比例函数、二次函 数的图象)等，分类讨论问题也常通过数形结合的方 法来解答.
又∵x＞0，∴x=2，y=2或y=3.
当x=2，y=2时，x，y都是直角边，第三边为斜边，根据勾股
中考总复习数学专题优化训练：分类讨论思想
热点专题二 常用的数学思想和方法专题训练四 分类讨论思想一、选择题1.一等腰三角形的两边长分别为5和10，则此等腰三角形的周长为A.20或25B.20C.25D.以上都不对 2.设a 、b 为实数，则下列四个命题中正确的有______________个.①若a+b=0，则|a|=|b| ②若|a|+|b|=0，则a=b=0 ③若a 2+b 2=0，则a=b=0 ④若|a+b|=0，则a=b=0A.1B.2C.3D.43.直线y=x-1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有_____________个.A.4B.3C.2D.1 4.⊙O 中，∠AOB=84°，则弦AB 所对的圆周角是A.42°B.138°C.84°D.42°或138° .5.如图2-1，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论： ①AE=AF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP. 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有图2-1A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题6.已知|x|=3，|y|=2，且x ²y<0，则x+y 的值等于_________________.7.当式子545||2---x x x 的值为零时，x 的值是________________. 8.已知两圆的半径分别是5 cm 和6 cm ，且两圆相切，则圆心距是________________.9.已知⊙O 的直径为14 cm ，弦AB=10 cm ，点P 为AB 上一点，OP=5 cm ，则AP 的长为_______________ cm.10.用16 cm 长的铁丝弯成一个矩形，用18 cm 长的铁丝弯成一个有一条边长为5 cm 的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，则矩形的边长为___________________. 三、解答题11.由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图(如图2-2).图2-2(1)请你画出这个几何体的一种左视图；(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.12.某水果品公司急需汽车，但又无力购买.公司经理想租一辆，一出租公司的出租条件为：每百千米租费110元；一个体出租司机的条件为：每月租800元工资，另外每百千米付10元油费.那么该水果品公司租哪家合算？13.某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司提出一条合理建议.14.在一次国际象棋比赛中，每个选手都要与其他选手比赛一局.评分规则是：每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，每个选手每人各记1分.现在恰好有四个同学统计了比赛中全部选手得分总和，他们的结果分别是：1 979、1 980、1 984、1 985，经核实确定有一位同学统计无误.通过以上数据，你能计算出这次比赛中共有多少名选手参加吗？请试试看！一、选择题1答案：C提示：腰可能是5，也可能为10，但又要考虑三角形的构成条件.2答案：C提示：根据绝对值的性质. 3答案：A提示：分四种情况.如下图.4答案：D提示：弦所对的圆周角有两种情况 5答案：B提示：由旋转可知. 二、填空题 6答案：1或-1提示：|x|=3，|y|=2，所以x=±3，y=±2,再由x ²y<0确定x+y. 7答案：-5 提示：545||2---x x x 的值为零时，分子为0，所以x=±5，但分母不能为0. 8答案：11 cm 或1 cm提示：两圆相切，包括外切和内切. 9答案：4或6提示：点P 为AB 上一点，P 可能靠近A ，也可能靠近B. 10答案：3，5或2，6提示：若以5 cm 的边为底边时，则等腰三角形的面积为15 cm 2.若以5 cm 的边为腰时，则等腰三角形的面积为12 cm 2. 设矩形的一边长为x cm ， 则另一边为(8-x) cm,根据题意，得x(8-x)=15或x(8-x)=12， 解方程x(8-x)=15，得x 1=3，x 2=5. 解方程x(8-x)=12，得x 3=2，x 4=6.∴当矩形面积为15 cm 2时，一边为3 cm ，另一边为5 cm ； 当矩形面积为12 cm 2时，一边为2 cm ，另一边为6 cm. 11解：（1）左视图有以下5种情形（只要画出一种即可）.（2）n=8,9,10,11. 12答案：（1）当行驶里程为8百千米时，两家公司一样合算; （2）当行驶里程大于8百千米时，个体公司合算; （3）当行驶里程小于8百千米时，出租公司合算.提示：根据题意，列出两家公司的费用与行驶里程之间的函数关系式，然后再根据不等关系比较两家公司的费用大小.13答案：（1）y=200x+74 000(10≤x≤30，x为正整数);（2）三种方案：一、A地区甲型2台，乙型28台；B地区甲型18台，乙型2台.二、A地区甲型1台，乙型29台；B地区甲型19台，乙型1台.三、A地区甲型0台，乙型30台；B地区甲型20台，乙型0台.（3）派往A地区乙型30台；B地区甲型20台.提示：设派往A地区x台乙型联合收割机，根据题意列出y与x间的函数关系式，并写出x 的取值范围，然后再根据x的取值范围，确定方案.14答案：有45名选手.提示：设有n名选手，则得分总数必为偶数.2²2)1(-nn=1 984无整数解.由2²2)1(-nn=1 980,解得n1=45，n2=-44（舍去）.。
中考数学“分类讨论”专题复习
中考数学“分类讨论”专题复习学校：东区五校联合体主备人：刘少山审核人：刘天申时间： 3.26第一课时第一大类：分类讨论在数与代数中的应用一.目标导航：1.通过分类讨论专题复习能够区分数学对象的相同点和差异点，掌握分类的方法，掌握将数学对象区分为不同种类的思想方法。
2.掌握分类思想在代数中的应用，领会其实质，加深对基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力。
二.考点动向：分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。
中考“分类讨论”题一般分为两大类，一是分类讨论在数与代数中的应用；一是在空间与图形中的应用。
常见分类讨论在代数中的题型有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按字母的取值分类（二次根式的化简，一元二次方程概念等）；考查的方式有填空题，选择题，综合题，特别是中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。
【例题解析】考点1：按数分类讨论问题【例题1】已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
⑵若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，⑶若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。
∴第三边长为。
考点2：方程、函数中的分类讨论问题方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.【例题2】：如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．【答案】（1）(31)E ，；(12)F ，． （2）在Rt EBF △中，90B ∠=，EF ∴==设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(12)F ，，∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，． 24(01)2a ∴=-+．解得2a =．∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，3EP =，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+．（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=5==． 又5EF =，∴5FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是5+考点3：在实际应用中代数分类讨论问题【例题3】（2011河南）21. (10分)某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：人数m 0<m≤100 100<m≤200 m>200 收费标准(元/人)90 85 75甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费10 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和赳过200人吗?为什么？(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?【解析】考查了方程和不等式的问题，涉及了分类讨论问题。
中考数学专题复习《四边形的折叠问题的分类讨论、存在性问题》测试卷(带答案)
中考数学专题复习《四边形的折叠问题的分类讨论存在性问题》测试卷（带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．图1是一张菱形纸片ABCD 点,E F 是边,AB CD 上的点．将该菱形纸片沿EF 折叠得到图2 BC 的对应边B C ''恰好落在直线AD 上．已知60,6B AB ∠=︒= 则四边形AEFC '的周长为（ ）A ．24B ．21C ．15D ．122．如图 在菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 点E F 分别在,AB AD 上 沿EF 折叠菱形 使点A 落在BC 边上的点G 处 且EG BD ⊥于点M GF 交BD 于点N 若27AB =2 1.4 3 1.7） 则GN 长是（ ）A ．7B ．172C ．17D ．183．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠 恰好得到菱形AECF 若6AD 则菱形AECF 的面积为（ ）A ．3B ．43C ．4D ．84．如图 四边形ABCD 为一矩形纸带 点E F 分别在边AB CD 上 将纸带沿EF 折叠点A D 的对应点分别为A ' D 若236∠=︒ 则1∠的度数为（ ）A ．74︒B ．54︒C ．78︒D ．72︒5．矩形纸片ABCD 中 E 为BC 的中点 连接AE 将ABE 沿AE 折叠得到AFE △ 连接CF ．若4AB = 6BC = 则CF 的长是（ ）A ．3B ．175C ．72D ．1856．如图 把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠 设重叠部分为EBD △ 则下列说法错误的是（ ）A ．AB CD = B ．BAE DCE ∠=∠C ．EB ED = D ．ADB ADC ∠=∠ 7．如图 把长方形ABCD 沿EF 按图那样折叠后 A B 分别落在G H 点处 若140∠︒＝ 则AEF ∠的大小是（ ）A ．120︒B ．115︒C ．110︒D ．105︒8．如图 将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠 使点C 落在C '处 BC '交AD 于点E ．若6AB = 8AD = 那么点E 到BD 的距离为（ ）A ．154B ．754C ．165D ．325二 填空题9．如图 在ABCD 中 43AB = 12AD = 30C ∠=︒ 点M N 分别在边BC AD 上 沿MN 折叠平行四边形 使点C 与点A 重合 则线段BM 的长度为 ．10．如图 将ABCD 沿对角线AC 折叠 使点B 落在B '处 1242∠=∠=︒ 则B ∠= ．11．将矩形ABCD 纸片按图所示方式折叠 M N 、分别为AB CD 、的中点 点B 的对应点B '恰好落在MN 上．若10,AB AB BC =< 则DN 的长为 折痕AE 长为 ．12．把一张长方形的纸片沿对角线BD 折叠 若AFD △的周长为12 则长方形ABCD 的周长是 ．13．如图 在矩形ABCD 中 3AB = BC m = 点E 在边BC 上 且32BE EC =::．连接AE 将ABE 沿AE 折叠 若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的CD 边上 则m 的值为 ．三 解答题14．如图 一张矩形纸片ABCD 10cm AB = 8cmAD =将纸片折叠使点B 落在CD 边上的点E 处 折痕为AF ．(1)求线段DE 的长(2)求折痕AF 的长．15．如图 已知矩形ABCD 中 E 是边AD 上一点 将BDE △沿BE 折叠得到BFE △ 连接DF ．(1)如图1 BF 落在直线BA 上时 求证DFA BEA ∽(2)如图2 当2AD AB= BF 与边AD 相交时 在BE 上取一点G 使,BAG DAF AG ∠=∠与BF 交于点H ．①求AF AG的值 ①当E 是AD 的中点时 若15FD FH ⋅= 求AG 的长．16．如图1 有一块长方形纸板ABCD 它的边6AB = 8BC =．点E F 分别为AD CD 上的点 把长方形沿EF 折叠使得点D 落到D 满足EF AC ∥．设DF x =．(1)当x 为多少时 点D '落在AC 上(2)当x 为多少时 点D '落在BC 上(3)设D EF '和ABC 存在重叠部分 重叠部分的面积记为S 当点D '落于ABC 内部时 求S 关于x 的函数解析式 并写出x 的取值范围．17．如图 已知正方形ABCD 边长为10cm 点M 从C 到D 以1cm/s 的速度运动 将正方形ABCD 折叠 使顶点A 与点M 重合 折痕交AD 于E 交BC 于F 边AB 折叠后与BC 边交于点G ．设点M 的运动时间为t (010)t << 单位：s ．(1)求证：DEM CMG ∽(2)当5s t =时 求DEM 的周长(3)当510t <<时 求CMG 的周长．18．如图正方形纸片ABCD的边长为8 E是AB边上的动点．折叠纸片使点D与点E重合折痕为FG DC的对应边EC'交BC于点H．(1)如图1 当点E是AB的中点时则AF的长______．(2)如图2 设AE的长为x四边形CDFG面积为S．①求DF的长度（用含x的代数式表示）①求S关于x的函数关系式并求S的最小值．(3)如图3 过点D作EC'的垂线垂足为M DM交FG于点N．①求BHE的周长．∠的值．①当BHE与MNE的周长之差为2时请直接写出sin EHB参考答案：1．C2．D3．B4．D5．D6．D7．C8．A9．8310．117︒/117度11． 512．241314．1）解：①10cm AE AB == 222AD DE AE += ①264100DE +=①6cm DE =（2）解：设cm BF x = 则8CF BC BF x =-=- ①1064cm EC DC DE =-=-= 且222EF EC CF =+ ①()2222168EF EC CF x =+=+- ①EF BF x ==①()22168x x =+-解得5cm x =①222AF AB BF =+①AF =．15．（1）证明：如图1 延长BE 交DF 于点G根据折叠性质得到,BF BD EF ED == ①直线BE 是DF 的垂直平分线 ①90DGE ∠=︒①四边形ABCD 是矩形①90DAF BAE ∠=∠=︒①DEG BEA ∠=∠①ADF ABE =∠∠①DFA BEA ∽．（2）解：①延长BE 交DF 于点T根据折叠性质得到,BF BD EF ED == ①直线BE 是DF 的垂直平分线 ①90DTB ∠=︒ DT TF =①四边形ABCD 是矩形①90DAB ∠=︒①DET AEB ∠=∠①ADF ABE =∠∠①BAG DAF ∠=∠①DFA BGA ∽ ①AF AD AG AB = ①2AD AB =①2AF AG①根据解析①可知：直线BE 是DF 的垂直平分线 ①90DTB ∠=︒ DT TF =①四边形ABCD 是矩形①90DAB ∠=︒①90DAG BAG ∠+∠=︒①BAG DAF ∠=∠①90DAG DAF ∠+∠=︒①90GAF ∠=︒①点E 为AD 的中点①DE EA = ①12FE DE EA AD === ①EDF EFD ∠=∠ EFA EAF ∠=∠ ①DFE EFA EAF EDF ∠+∠=∠+∠ ①180DFE EFA EAF EDF ∠+∠+∠+∠=︒ ①90DFE EFA EAF EDF ∠+∠=∠+∠=︒ ①90AFD ∠=︒①90GTF AFT GAF ∠=∠=∠=︒ ①四边形AGTF 是矩形①AG FT DT == 90AGT ∠=︒ AF TG = AG FT ∥ ①90AGB ∠=︒①BAG DAF ∠=∠ 90AGB AFD ∠=∠=︒ ①DFA BGA ∽ ①AF AD DF AG AB BG== 设AG FT DT x === 则2DF x =①AD AB =①2AF x AD BG Bx A ===①AF BG =①12AF BG GT BT ====根据勾股定理得：AB =①AD =①根据勾股定理得：3BD x ==①AG FT ∥ BG GT =①1BG BH GT HF ==①113222BH FH BF BD x ==== ①15FD FH ⋅= ①32152x x ⋅= 解得5,5x x ==- 故5AG =16．（1）解：①长方形纸板ABCD 6AB = 8BC =①6CD = 8AD = 90ADC BCD B ∠=∠=∠=︒如图1 连接DD ' 交EF 于O由翻折的性质可知 DD EF '⊥ 12DO D O DD ''==①EF AC ∥①DD AC '⊥由勾股定理得 2210AC AB BC =+ ①1122ACD S CD AD AC DD '=⋅=⋅ 即11681022DD '⨯⨯=⨯⋅ 解得 245DD '= ①125DO D O '==①DFO ACD ∠=∠ DOF ADC ∠=∠①DFO ACD ∽ ①DF DO AC AD = 即125108x = 解得 3x =①当3x =时 点D '落在AC 上（2）解：如图2AI同理（1）DD EF '⊥ 12DO D O DD ''== DD AC '⊥ ①90CDD CD D CD D BCA '''∠+∠=︒=∠+∠ 即CDD BCA '∠=∠ ①90DCD B '∠=∠=︒①DCD CBA '∽ ①DD CD AC BC '= 即6108DD '= 解得 152DD '=①154DO = 同理（1）DFO ACD ∽ ①DF DO AC AD = 即154108x = 解得 7516x =①当7516x =时 点D '落在BC 上 （3）解：如图3 记DD '交AC 于H D E '交AC 于M D F '交AC 于NAI由（1）可知245DH = 同理（1）DFO ACD ∽ ①DF DO AC AD = 即108x DO =解得 45DO D O x '==①85DD x '= 82455D H DD DH x ''=-=- ①EF AC ∥①DEF DAC ∽ ①DE DF AD DC= 即86DE x = 解得 43DE x = ①2142233D EF DEFS S x x x '==⋅⋅= ①MN AC ∥①D MN D EF ''∽ ①2D EF S D H S D O '⎛⎫= ⎝''⎪⎭ 即22824552435x S x x ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 整理得 ()2833S x =- ①当点D '落于ABC 内部时 S 关于x 的函数解析式为()2833S x =- 75316x <<． 17．（1）根据折叠的性质知：90EMG A ∠=∠=︒①90DME CMG ∠+∠=︒①90DME DEM ∠+∠=︒ ①DEM CMG ∠=∠①90D C ∠=∠=︒①DEM CMG ∽（2）根据折叠的性质知:EM EA =当5t =时 5DM CM == ①DEM 的周长为：15cm DM DE EM DM DE EA DM DA ++=++=+= （3）依题意得：10CM t DM t ==-， 设EM EA x == 则]10DE x =- 在Rt DEM 中 222EM DE DM =+ 即()()2221010x x t =-+- 解得：210,20t x t =-+ ①21020t DE x t =-=- DEM CMG ∽ME GM DE CM ∴= 即 10x GM t t=- 解得： 22002020t t GM t-+=- 同理可得： 2002020t CG t-=- CMG ∴的周长为：2200202002020cm 2020t t t CM CG MG t t t--+++=++=--． 18．（1）解：四边形ABCD 是正方形90A ∴∠=︒ 8AB AD ==当E 为AB 的中点时 142AE AB == 设AF x =则8EF FD AD AF x ==-=-在Rt AEF 中 222AE AF EF += 则()22248x x +=-解得：3x =3AF ∴=故答案为：3（2）①如图 过点G 作GK AD ⊥ 则四边形CGKD 是矩形连接ED 交FG 于点PE D 关于FG 对称ED FG ∴⊥90FPD FKG ∴∠=∠=︒ADE DFP FGK DFP ∴∠+∠=∠+∠90=︒ADE KGF ∠=∠由正方形性质可知KG CD AD ==ADE KGF ∴≌设AE x = 则FK x = 8DF FE AF ==-()2228x AF AF ∴+=-21416AF x ∴=-∴218416DF AF x =-=+ ①由矩形的性质可得21416CG KD FD FK x x ==-=+- ∴四边形CDFG 面积为()22111844421616S CG FD x x x ⎛⎫=+⨯=+-++ ⎪⎝⎭ 214322x x =-+ ()214242x =-+ ()214242S x ∴=-+ 最小值为24 （3）①如图 由（2）可得AE x = 21416AF x =- 21416EF x =+ 则8BE x =-在正方形ABCD 中由于对折可知 90ADC FEH ∠=∠=︒①1290∠∠=︒＋又①90A B ∠=∠=︒①1390∠∠=︒＋①23∠∠=①AEF BHE ∽ ①AF AE EF BE BH EH== ①8BE AB AE x =-=-()281618416x x AE BE x BH AF x x -⋅===+- ()222184641618416x x BE EF x EH AF x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⋅+⎝⎭===+- ①BHE 的周长216648168x x BH EH x x BE +++-=+==＋＋ 即：BHE 的周长为16①连接EN由折叠可知 DFN EFN ∠=∠ =EF FD EF EC '⊥ DM EC '⊥EF DM ∴∥MNG EFN ∴∠=∠ FEN ENM ∠=∠ DFN MNG ∴∠=∠①FND MNG ∠=∠DFN DNF ∴∠=∠DF DN ∴=EF ND ∴=∴四边形EFDN 是平行四边形 EN FD ∴∥ EN FD =EF FD =∴四边形EFDN 是菱形EF EN ∴=EN AD ∴∥FEN AFE ∴∠=∠AEF BHE ∽∴EHB NEM ∠=∠DM EH ⊥90NME B ∴∠=∠=︒EMN HBE ∴∽ BHE 的周长为16当BHE 与MNE 的周长之差为2时 则MNE 的周长为14或18 147168EN EH ∴==或189168EN EH == EF EN =78EF EH ∴=或98AEF BHE ∽EF AF EH BE∴= BHE AEF ∠=∠ 78AF BE ∴=或98 8BE x =- 21416AF x =- 21471688x x -∴=-或21491688x x -=- 解得16x = 28x =或18x = 210x = 08x ≤≤6x ∴=∴6AE =2197441644AF x ∴=-=-= 21925441644EF x ∴=+=+= 774sin sin 25254AF EHB AEF EF ∴∠=∠===．。
中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析
第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)内容特性分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.解题策略很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并得出结论.基本思想分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝1x的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是()A．b>2 B．－2<b<2 C．b>2或b<－2 D．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3(·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．8(2)(·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA 全等，则AP＝.(3)(·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四 由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s )，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造▱PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MFCO＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。