22.3 圆的对称性 课件1 (北京课改版九年级上册)

．
O A C B
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
∴圆心O到水面的距离OC为6．
例3 已知：如图，线段AB与⊙O 交于C、D两点，且OA=OB ．求 证：AC=BD ．
思路：
作OM⊥AB，垂足为M ∴CM=DM ∵OA=OB ∴AM=BM ∴AC=BD．
．
O A C M D B
驶向胜利 的彼岸
1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 1 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5.
D
A
600
B
A
O ┌ E
D
600
O ø650
B
C
船能过拱桥吗

驶向胜利 的彼岸
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？

相信自己能独立 完成解答.
船能过拱桥吗

A
M
O ．
B
五、目标训练
5． 已知⊙O的半径为10，弦 AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB 和CD的距离为 2或14 ． 6．如图，已知AB、AC为弦， OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ， BC=4，求MN的长．
M B O
A
．
N C
思路：由垂径定理可得M、 1 N分别是 AB、AC的中点，所以MN= BC=2． 2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
“垂直与弦的直径平分弦，并且平
分这条弦所对的两条弧”圆的这条 非常重要的性质 。
讨论
（3）
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 （2） （1） （4） （5） （1） （ 3） （ 2） （ 5） （1） （3） （4） （2）
（2） （4） （5）
Ｎ
强调：等分弧时一定 要作弧所对的弦的垂 直平分线．
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在 圆弧上任意取 三点，得到三 条弦，画其中 两条弦的垂直 平分线，交点 即为圆弧的圆 心．
a
C
b
A
B
O
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
垂径定理的应用

驶向胜利 的彼岸
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. C 解:连接OC.
E F
●
老师提示: 注意闪烁 的三角形 的特点. O
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 D CF CD 600 300(m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理, 得
小结：1、有时并未直接给出“圆的直径 垂直于弦”这样的条件，而是给出下图 所示条件，我们可以得到他们具有和垂 直与弦的直径一样的性质。
C O A Ｅ D 图11 B A O D 图12 B A O Ｅ D B
图13
圆的半径垂直于弦 圆心到弦的垂 线段（弦心距）
过圆心的直 线垂直于弦
2、在圆中接有关弦的问题， 常常需要做一条辅助线：垂直与弦 的直径或半径或弦心距。从而利用
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
C
A
┗
●
M
●
O
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 我们发现图中有: ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ 可推得 ④ AC=BC, ③ AM=BM

D
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
垂径定理的逆定理

驶向胜利 的彼岸
如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这 条弧的中点．(先介绍弧中点概念）
作法： ⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分线 CD， 交弧AB于点E.
E A D B C
⌒
点E就是所求弧AB的中点．
变式一： 求弧AB的四等分点．
C
m
F
E G
n
A
B
来自百度文库
D
变式一： 求弧AB的四等分点． 错在哪里？
Ｅ
C
Ｍ
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高. 37.4 由题设 AB 37.4, CD 7.2, C
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C
A
M└
●
B O

你可以写出相应的结论吗?
D
观察下列哪些图形满足“垂直于弦的直径”的条件？为什 么？ C C
O A Ｅ 图5 D B A 图6 O Ｅ D B A 图7 C O A Ｅ D 图8 B A 图9 O D B A O Ｅ D B C
（1）
（3）
（4）
（5）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF A E C D O
O Ｅ
D
B
图10
例1 如图，两个圆都 以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在同 一条直线上。你认为AC 与BD的大小有什么关系？ 为什么？
O A C
G
D B
例2 一条排水管的截面如图所示．排 水管的半径OB=10，水面宽AB=16， 求截面圆心O到水面的距离OC ．
思路： 先作出圆心O到水面的距离 OC，即画 OC⊥AB， ∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，
B
.
F
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． 小结： 1．画弦心距是圆中 常见的辅助线；
d A C O
．
r B
2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成 的直角三角形是研究与圆有关问题 的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r2 d 2 .
五、目标训练
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦 心距为5，则这条弦的弦长等于 24 ．
垂径定理的几何语言
A
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB） ∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
C E B
O
D
垂径定理的逆定理:
平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条 弧.

AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C E B
O
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ①EA=EB；② AC=BC，AD=BD． 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合， ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 合． ∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
归纳得出：
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所 对的弧．
2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E， A 则下列结论中不一定成立的是（ ）C A．∠COE=∠DOE C．OE=BE B．CE=DE
⌒ D．⌒ BD=BC
O ． C E B D
五、目标训练
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为 8cm，那么OM长为（ A） A ．3 B．6cm C． 41 cm D．9cm 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上 的动点，则OM的长的取值范围是（ A） A．3≤OM≤5 C．3<OM<5 B．4≤OM≤5 D．4<OM<5
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
赵州石拱桥

驶向胜利 的彼岸
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
O
垂径定理的应用

驶向胜利 的彼岸
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
（2）圆的对称轴有无数条．
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直 径CD； 2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD 相交于点E．
问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你 发现哪些点、线段、圆弧重合？
A C E B D
O
三、新知识在你们动手实验中产生
A
得出结论：
1．若将一等腰三角形沿着底 边上的高对折， 将会发生什 么结果?
２．如果以这个等腰三角形的顶 点为圆心，腰长为半径作圆，得 到的圆是否是轴对称图形呢？
二、新课
1．结论：
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴， 经过圆心每一条直线都是它的对称轴． 强调：
（1）对称轴是直线，不能说每一条直径 都是它的对称轴；
六、总结回顾
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计 算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直 角三角形是研究与圆有关问题的主要思路， 2 2 它们之间的关系：
弦长AB 2 r d .