平面向量基础知识复习+练习(含答案)

平面向量

1. 基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2. 加法与减法的代数运算：

(1)A] A2 A2A3 A n i A n A1A n .

⑵若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则 a b= ( X i x?, y i y ).

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量AB = a、AD = b为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量

AC = a + b, BD=b —a,DB = a —b

且有丨a I —I b I <| a b I <| a I + I b I .

向量加法有如下规律： a + b = b + a (交换律)；a+(b+c)=(a+ b)+c (结合律)；—F- —F —k —V-

a + 0= a a + (—a )=0.

3 .实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量。

(1) I a I = I I・I a I ;

(2) 当 >0时，a与a的方向相同；当v 0时，a与a的方向相反；当=0时，

—t

a = 0.

(3) 若a= ( X i, y i)，则a= ( X i, y i).

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= a .

―b- —te-

(2) 若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则a // b x』2 x? y i 0 .

平面向量基本定理：

若e i、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有

—*■

一对实数i, 2，使得a = i e i+ 2 e2.

4. P分有向线段P i P2所成的比:

设P l 、P 2是直线l 上两个点，点P 是I 上不同于P l 、P 2的任意一点，则存在一个实数 使PP = PF 2， 叫做点P 分有向线段P 1P 2所成的比。 X i X 2

X 2

( 工一1 ),中点坐标公式： y 丫1 J 2

2

5. 向量的数量积： (1)向量的夹角：

—*■

----- *- ―I- !- —F-

已知两个非零向量 a 与b ,作OA = a , OB =b,则/ AOB= ( 00 180°)叫做向量a

与b 的夹角。

(2)两个向量的数量积： 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为，则a •= 1 a 丨• b 丨cos 其中丨b I cos 称为向量b 在a 方向上的投影. (3) 向量的数量积的性质:

右 a = ( x 1, y 1) ,b= ( x 2, y 2 )贝9 e a = a •= I a I cos

X 1X 2 y 』2

2

2 2

2

.X 1 y 1

、X 2 y 2

⑷向量的数量积的运算律:

a b=

b a ;( a ) b =

(a b)=a ( 6. 主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点， 以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问

题，特别是处理向量的相关位置关系，

正确运用共线向量和平面向量的基本定理，

计算向量

的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往 会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

分点坐标公若 PP = P P 2 ； R, P, P 2 的坐标分别为(X 1, y 1) , ( X , y ) , ( x ?, y ?);

y 2

(e 为单位向量); a b =0

X 1X 2 y 1y 2

0 ( a , b 为非零向量)

;I a I = a?a

cos

=a?b =a ? b

b);(a + b) c= a c+b c .

当点P 在线段RF 2上时， > 0;当点P 在线段PP 2或P 2P 1的延长线上时， v 0;

x 2^

课本题

1 已知 |a| |b| |a b| 1，则 |a b|= _ ”3 _______________

2•若非零向量’，' 满足「

' |，则•与—所成角的大小为 —90° ______

3•已知|a| |b| 2，a 与b 的夹角为—，则a b 在a 上的投影为

3

3

4•在直角坐标平面上，向量

OA (4,1)，向量OB (2, 3),两向量在直线|上的正射影长

1 度相等，则直线I 的斜率为

3或-- 2

5 •设平面向量a =(-2,1) , b =(1,),若a 与b 的夹角为钝角，贝U

的取值范围是

1 1

(

，2)

(

2,2) °

6.已知向量 OB (2,0),OC

(2,2),CA G 2cos ,-. 2 sin )，则向量OA,OB 的夹角范围是

a 平移后得到y 2x 6的图象，给出以下四个命题:

上述说法正确的是 ①②③④

7•将函数y 2x 的图象按向量 ①a 的坐标可以是(3,0)； ②a 的坐标可以是(3,0)和(0,6)； ③a 的坐标可以是(0,6)；

④a 的坐标可以有无数种情况。

&已知 ABC 中，CB a,CA b,a b 0,S ABC

匹，2| 3, |b | 5，则a 与b 的夹角为150。° 4