2021届四川省泸州市高三上学期一诊考试数学(文)试卷参考答案
2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷(文科)(解析版)
2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣2）}，B＝{x|x2≥9}，则A∩（∁R B）＝（）A．[2，3）B．（2，3）C．（3，+∞）D．（2，+∞）2．已知命题p：∀x≥0，e x≥1或sin x≤1，则￢p为（）A．∃x＜0，e x＜1且sin x＞1B．∃x＜0，e x≥1或sin x≤1C．∃x≥0，e x＜1或sin x＞1D．∃x≥0，e x＜1且sin x＞13．已知α是第二象限角，，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S ＝．若a2sin C＝24sin A，a（sin C﹣sin B）（c+b）＝（27﹣a2）sin A，则用“三斜求积公式”求得的S＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（4，y），且sinθ＝﹣，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数8．某品牌牛奶的保质期y（单位：天）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝a kx+b（a ＞0，a≠1），该品牌牛奶在0℃的保质期为270天，在8℃的保质期为180天，则该品牌牛奶在24℃的保质期是（）A．60天B．70天C．80天D．90天9．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝b b，则x、y、z的大小关系为（）A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π11．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f（x），则函数f（x）的图象与函数y＝2sinπx（﹣4≤x≤6）图象所有交点的横坐标之和等于（）A．12B．4C．6D．812．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届四川省泸州市高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题Word版含解析
2021届四川省泸州市高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2}B xx =≤‖，则A B =（ ）A ．{3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】B【解析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 解：{0,1,2,3},{|22}A B x x ==-≤≤，{0,1,2}A B ∴⋂=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题．2．下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（ ）A ．()f x =B ．()2xf x -=C ．()ln f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”，可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项即可判断． 【详解】解：“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项可知，()f x =(0,)+∞单调递增，不符合题意，1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，符合题意， ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3．“sin 0α=”是“sin 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由sin 0α=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.【详解】 解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 4．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选：D5．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行 C ．相交 D ．不确定 【答案】B【解析】如图所示，直线a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，求证a ∥b ．只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解：由a ∥α得，经过a 的平面与α相交于直线c ，则a ∥c ，同理，设经过a 的平面与β相交于直线d ， 则a ∥d ，由平行公理得：c ∥d ，则c ∥β，又c ⊂α，α∩β=b ，所以c ∥b ， 又a ∥c ，所以a ∥b ． 故答案为B ．6．函数()()1ln f x x x =-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数定义域以及函数值正负识别函数图象，并进行选择. 【详解】当1x >时()()()1ln 1ln 0f x x x x x =-=->，所以舍去B,C; 当0x =时()()1ln f x x x =-无意义，所以舍去D; 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，考查基本分析判断能力，属基础题.7．已知:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<，0:q x ∃∈N ，200210x x --=，则下列选项中是假命题的为（ ）A ．p q ∨B ．()p q ∧-C ．p q ∧D ．()p q ∨-【答案】C【解析】命题p ：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q ：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可． 【详解】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ， 过P 作PM x ⊥轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin MP α=，弧长PA 即为角α；显然MP <弧长PA ； ∴:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<是真命题； 命题q ：解方程200210x x --=，则12x = 因此0:q x ∃∈N ，200210x x --=，是假命题．则下列选项中是假命题的为p q ∧．而A ，B ，D 都是真命题． 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．3B ．12-C ．12D ．32【解析】利用平移后的图像关于y 轴对称求出ϕ，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值. 【详解】平移得到的图像对应的解析式为()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为()g x 为偶函数，所以()0sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，其中k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当2x π=时，()min 12f x =-，故选B. 【点睛】本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题.9．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，+中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，x =确定x 的值，的值为（ ）A ．3B ．12C ．6D ．【答案】A【解析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 【详解】(0)m m =>，则两边平方得，则23m +=， 即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去．【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．10．若将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，则x min 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nxf x ae =（其中e 是自然对数的底数）.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min 后，甲桶中的水只有L 4a ，则m 的值为（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3【答案】C【解析】由题意，函数()nxy f x ae ==满足1(5)2f a =，解出11ln 52n =．再根据1()4f k a =，建立关于k 的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k 的值，由5m k =-即可得到． 【详解】解：∵5min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数()nty f t ae ==，满足51(5)2nf aea ==可得11ln 52n =， 因此，当k min 后甲桶中的水只有4a升， 即1()4f k a =， 即111ln k ln 524⋅=， 即为111ln 2ln 522k ⋅=，解之得10k =，经过了55k -=分钟，即5m =． 故选：C ． 【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．11．在四棱锥P ABCD -中，PA ABC ⊥平面，且ABC ∆为等边三角形，3AB =，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．16πC ．8πD ．32π【答案】B【解析】先确定三棱锥P ABC -的外接球球心位置，再列方程求解球半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】由题意得三棱锥P ABC -的外接球球心在过ABC ∆中心1O 且垂直平面ABC 的直线上，设为点O ，球半径设为R ,则111,31322PAOO AO R ====+=,从而外接球的表面积为2416R ππ=, 故选：B 【点睛】本题考查锥体外接球及其表面积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.12．已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()71,2log 3 B ．()52,2log 3-- C ．()52log 3,1--D ．71log 3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】把函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，转化为3log ()k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象，转化为关于k 的不等式组求解．【详解】解：由函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3xg x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()()131xh x g x =-=-， 函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，即3log ()k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：要使函数3log y k x =与()y h x =-的图象有3个交点，则k 0<，且33log 32log 52k k >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-． ∴实数k 的取值范围是()52,2log 3--． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．二、填空题13．函数()2log f x x =-的定义域为_________． 【答案】(]0,1【解析】根据偶次根式被开方数非负列不等式，解对数不等式得结果. 【详解】由题意得22log 0log 001x x x -≥∴≤∴<≤ 故答案为：(]0,1 【点睛】本题考查函数定义域以及对数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(18)f 的值为________.【答案】9【解析】推导出(18)(353)(3)f f f =⨯+=，由此能求出结果．【详解】解：∵函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，∴2(18)(353)(3)39f f f =⨯+===． 故答案为：9． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．函数()cos22sin x x f x =+的最小值为______. 【答案】3-【解析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值. 【详解】()2cos22sin 12sin 2sin x x x f x x =+=-+所以令sin t x =，则()22132212(),[1,1]22y t t t t f x ==-++=--+∈- 因此当1t =-时，()f x 取最小值3-， 故答案为：3- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16．已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________.（写出所有正确结论的编号） ①每个面都是直角三角形的四面体； ②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体. 【答案】①②④【解析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可． 【详解】 解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E −ABC ，所以①正确； ②每个面都是等边三角形的四面体；如E −BGD ，所以②正确； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A −BDE ，所以④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．三、解答题 17．已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为实数）. （1）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间； （2）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）(1,3)- （2）[1,)+∞【解析】（1）对()f x 求导，代入1x =-使导函数为零，求出a 的值，进而利用导数可求出()f x 的减区间.（2）()f x 在(2,)-+∞上是增函数转化为'()f x 在(2,)-+∞上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）因为321()3f x x x ax =-+，所以2()2f x x x a '=-+， 因1x =-是()f x 的极值点，所以(1)0f '-=，即120a ++=，所以3a =-， 故2()23f x x x '=--，当1x <-或3x >时，()0f x '>，当13x时，()0f x '<，所以3a =-符合题意， 且()f x 的减区间为(1,3)-；（2）因为()f x 在(2,)-+∞上为增函数，所以2()20f x x x a '=-+≥在(2,)-+∞上恒成立， 所以22a x x ≥-+在(2,)-+∞上恒成立，因为2()2g x x x =-+在(2,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数， 所以()(1)1g x g ≤=，所以1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞， 【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos sin c a B B =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）已知c =，BC 边上的高1AD =，求b 的值.【答案】（Ⅰ）34A π=（Ⅱ）b =【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据两角和正弦公式化简求结果，（Ⅱ）先根据三角形面积公式得到a =，再利用余弦定理求b 的值. 【详解】解：（Ⅰ）由()cos sin c a B B =-， 及正弦定理得()sin sin cos sin C A B B =-， 即()sin sin cos sin sin A B A B A B π-+=-⎡⎤⎣⎦， 所以sin cos cos sin sin cos sin sin A B A B A B A B +=-， 即cos sin sin sin 0A B A B +=，由于B 为ABC ∆的内角，所以sin 0B ≠， 所以tan 1A =-， 又()0,A π∈，所以34A π=； （Ⅱ）因为11sin 22S bc A AD a ==⋅，代入c =1AD =，sin A =a =，由余弦定理得22222cos 10a b c bc A b =+-=++，代入a =，得24100b --=，解得b =b =，所以b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =+-()x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，且()15g a =，3,22a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2g a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（Ⅰ）最小值是x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）先根据二倍角正余弦公式以及辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求最值， （Ⅱ）先根据三角函数图象变换得()g x 解析式，再根据两角差正弦公式求结果. 【详解】解：（Ⅰ）()22cos sin 2cos 1f x x x x =+-，sin 2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2242x k πππ+=-+，即38x k ππ=-()k Z ∈时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值是1-，所以函数()f x 的最小值是， 此时x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭； （Ⅱ）()f x 的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x ，所以()g x 的最小正周期为4π，故()124g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()11245g a a π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1sin 2410a π⎛⎫+=⎪⎝⎭. 又3,22a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1,242a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2410a π⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 1122244g a a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11sin cos cos sin 244244a a ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦102102⎛=--⨯ ⎥⎝⎭⎣⎦5=. 【点睛】本题考查两角差正弦公式、二倍角正余弦公式、辅助角公式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.20．如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，点C 是圆锥底面的圆周上，2AB BD ==，6BDC π∠=，AE ED =，F 是AC 上一点，且平面BFE ⊥平面ABD .（Ⅰ）求证AD BF ⊥； （Ⅱ）求多面体BCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）310【解析】（Ⅰ）先根据等腰三角形性质得AD BE ⊥，再根据面面垂直性质定理得AD BEF ⊥平面，即可证得结果，（Ⅱ）先求A BEF V -，根据等体积法或求高可得A BEF V -，再根据A BEF V -与多面体BCDEF 的体积关系得结果. 【详解】解：（Ⅰ）因为ABD ∆是等边三角形，AE ED =， 所以AD BE ⊥，因为平面BFE ABD ⊥平面，且交线为BE ， 所以AD BEF ⊥平面， 因为BF BEF ⊂平面，所以AD BF ⊥；（Ⅱ）解法一：因为30BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，2BD =，所以3CD =4435cos 2228CAD +-∠==⨯⨯，在Rt AEF ∆中，5cos 8AE CAD AF ∠==，又1AE =， 所以85AF =，25CF =，所以点F 到平面ABE 的距离为点C 到平面ABE 的距离的45， 所以三棱锥F ABE -的体积142255F ABE C ABD A BCD V V V ---=⨯=， 所以多面体BCDEF 的体积为35BCDEFA BCD V V -=3153BCD S AO ∆=⨯⋅135210=⨯=.解法二：5EF =，BE =在ABC ∆中，7cos 8BAC ∠=，BF =，在BEF ∆中，cos BFE ∠=，所以sin BFE ∠=从而1325BEF S ∆==， 由（Ⅰ）可知AD BEF ⊥平面，所以113113355A BEF BEF V S -∆=⨯⨯=⨯=， 又因为1132A BCD BCD V S AO -∆=⨯⨯=，所以多面体BCDEF 的体积为1132510BCDEF A BCD A BEF V V V --=-=-=. 【点睛】本题考查面面垂直性质定理、线面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()ln f x x =，()1g x a x=+（其中a 是常数）. （Ⅰ）求过点()0,1P -与曲线()f x 相切的直线方程； （Ⅱ）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当1x a >时不等式()1f x g x kx a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）1y x =-（Ⅱ）存在实数2k e =，a 【解析】（Ⅰ）先求导数，根据导数几何意义用切点坐标表示切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过点求切点坐标，即得结果,（Ⅱ）先化简不等式，构造函数()21ln k k m x x x x a a a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，利用导数研究新函数单调性，确定最小值取法，再根据最小值不大于零，结合解得唯一性确定k ，a 的值. 【详解】解：（Ⅰ）设过点()0,1P -的直线与曲线()f x 相切于点()00,ln x x ， 因()ln f x x =，则()1f x x'=， 所以在()00,ln x x 处切线斜率为()001f x x '=， 则在()00,ln x x 处切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 将()0,1P -代入切线方程，得0ln 0x =， 所以01x =，所以切线方程为1y x =-；（Ⅱ）假设存在1k ≠的正实数，使得只有唯一的正数a ，当1x a >时不等式()1f x g x kx a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即2ln 1a xx kx ax ≤-恒成立， 因为1x a >，所以()21ln k ax x a -≤，即()21ln 0k ax x a--≤， 令()()2211ln ln k ax k k m x x x x x a a a a -⎛⎫=-=-+> ⎪⎝⎭则()1k m x x a '=-，由于()00m x '=，即0a x k =， （1°）当1a k a>即20k a <<时，01,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00m x '>，则()m x 在01,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,x x ∈+∞时，()00m x '<，则()m x 在()0,x +∞上为减函数，则()()02min 1ln 0k a m x m x a k==-++≤， 即2ln 1k a a k +≤，令()(2lnk ah a a a k=+>， 则()233122k a k h a a a a-'=-=，由()00h a '=，得0a a =>，)0a a ∈时，()0h a '<，则()h a在区间)0a 上为减函数，()0,a a ∈+∞时，()0h a '>，则()h a 在区间()0,a +∞上为增函数，因此存在唯一的正数a >()1h a ≤，故只能()min 1h a =.所以()()0min 1ln 12h a h a ==+=， 所以2k e =，此时a只有唯一值e. （2°）当1a k a ≤即2k a ≥时，()0m x '>，所以()m x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数， 所以()11lim ln0x am x a→=≤，即1a ≥，故1k >.所以满足1a ≤≤a 不唯一，综上，存在实数2k e =，a，当1x a >时，恒有原式成立. 【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属难题. 22．如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为2,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB .（1）求曲线1M 的极坐标方程；（2）设点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值.【答案】（1）4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3πθ=【解析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果． （2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【详解】解：（1）设以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ， 所以该圆的极坐标方程为4cos ρθ=， 则1M 的方程为4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；（2）由点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，则114cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，则24cos 3233ππππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即224cos 363πππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为12||,||OP OQ ρρ==，所以12||||OP OQ ρρ+=+，即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为32ππθ≤≤，且263ππθ-≤≤，所以32ππθ≤≤，因为||||6OP OQ +=，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 32πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以3πθ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 23．设()|-3||4|f x x x =+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值.【答案】（1）[2.5,4.5] （2）65a =【解析】（1）讨论x 的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2f x ≤的解集； （2）结合题意，利用柯西不等式求得2()x y +的最大值，列方程求出a 的值．【详解】解：（1）当3x <时，不等式化为342x x -+-+≤，此时2.53x ≤<， 当34x ≤≤时，不等式化为342x x --+≤，成立， 当4x >时，不等式化为342x x -+-≤，此时4 4.5x <≤， 综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得22222))()x y ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，因为2223(0)x y a a +=>， 所以25()6x y a +≤，（当23x y =时，取等号），又因为x y +的最大值为1，所以65a =. 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．。
四川省泸州市2021 2021学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解
四川省泸州市2021 2021学年高三数学一诊试卷（文科）Word版含解四川省泸州市2021-2021学年高三数学一诊试卷（文科）word版含解四川省泸州市2022-2022学年高三试卷（文科数学）一、多项选择题（每个子题5分，共50分。
每个子题给出的四个选项中只有一个符合问题要求）1。
设置a={x | x2x≤ 0}，B={0，1，2}，然后是a∩ B=（）A？b、{0}C.{0，1}D.{0，1，2}2。
复数z=a.1b．（I是一个虚单位），然后| Z |=（）Cd．2)图像的对称轴方程为（）d．x=π3.函数f（x）=sin（x+a.x）=b．x=c、 x=4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出s=（）a、不列颠哥伦比亚省。
5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，分层抽样，120分以上100人，90~120分250人。
那么在这个测试中得分低于90分的人数是（）a.600b。
450摄氏度。
300天。
1506．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）a．108b．72c．36d．97.是单位向量，|+2 |=，那么向量的夹角是（）A.30°b.45°c.60°d.90°8．实数x、y满足，这z=3x+4y，则z的取值范围是（）a、 [1,25]B[4,25]C[1,4]D[5,24]9。
下面的命题是正确的（）a．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件b．“?x∈r，x2＞0”的否定是“?x0∈r，x02＞0”c、“如果a=4，那么函数f（x）=AX2+4x1只有一个零点”的逆命题是真命题D。
“函数f（x）=lnx2和函数g（x）=的图象相同”10.已知两个方程x2+（1+a）x+1+a+B=0（a，B）∈ R）大约X分别是X1和X2，并且0<X1<1<X2，那么X的值范围是（）ab．c。
四川省泸州市合江县2024届高三一诊模拟考试数学(文)试题含解析
高2021级高三一诊模拟考试数学（文史类）（答案在最后）第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()i i 1i x y +=+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位），复数i z x y =+，则z z ⋅=（）A.2B.C.23i +D.23i-+【答案】A 【解析】【分析】对()i i 1i x y +=+化简，可求出复数z ，从而可求出z z ⋅【详解】由()i i 1i x y +=+，得i 1i y x +=-+．所以1,1x y ==-因为i z x y =+，所以1i z =-，1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=-+=．故选：A2.设集合{}| 0M x x =<，1|282x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，R 是实数集，则()R C M N =U （）A.{|3}x x ≥B.{}|10x x -<< C.{}|10x x x ≤-≥或 D.{}|3x x <【答案】A 【解析】【分析】先求出集合N ，再求解并集和补集.【详解】因为1282x <<，所以13222x -<<，即13x -<<，{3}M N x x ⋃=<，所以(){3}R M N x x ⋃=≥ð，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（参考数据：20.3010lg ≈）A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602【答案】C 【解析】【分析】根据对数运算以及pH 的定义求得此时胃酸的pH 值.【详解】依题意()22.5100lg 2.510lg lg lg 401002.5pH -=-⨯=-==()lg 410lg 4lg102lg 2120.30101 1.602=⨯=+=+≈⨯+=.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.4.若2log 0.2a =，0.22b =，0.2log 0.3c =，则下列结论正确的是A.c b a >> B.b a c>> C.a b c >> D.b c a>>【答案】D 【解析】【详解】分析：利用指数函数的性质以及对数函数的性质，分别确定2log 0.2a =，0.22b =，0.2log 0.3c =的范围，从而可得结果.详解：因为0.22log 0.20,21,a b ==0.20log 0.31c <=<，所以b c a >>，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.函数()41f x x x=+的图象为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性和函数值符号使用排除法可得.【详解】因为()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且()4411()()f x f x x x x x-===-+-+所以()f x 为偶函数，可排除AB ；又当0x >时，()410f x x x=>+，故C 错误.故选：D6.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，点()2,5P -是角α终边上的一点，则cos 2=α（）A.2029B.2129C.2129-D.2029-【答案】C 【解析】【分析】首先由任意角的三角函数的定义求出cos α，再利用二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为点()2,5P -是角α终边上的一点cos α∴==，故2421cos 22cos 1212929αα=-=⨯-=-，故选：C ．【点睛】本题考查任意角的三角函数及二倍角公式的应用，属于基础题.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面11AB D 的交点为,M O 为线段11B D 的中点，则下列结论错误的是（）A.,,A M O 三点共线B.1,,,M O A B 四点异不共面C.1,,,B B O M 四点共面D.1,,,B D C M 四点共面【答案】C 【解析】【分析】由长方体性质易知11,,,A A C C 四点共面且1,OM BB 是异面直线,再根据M 与1AC 、面11ACC A 、面11AB D 的位置关系知M 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上,同理判断O A 、,即可判断各选项的正误.【详解】因为11//AA CC ,则11,,,A A C C 四点共面.因为1M A C ∈,则M ∈平面11ACC A ,又M ∈平面11AB D ,则点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,同理,O A 、也在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,所以,,A M O 三点共线;从而1,,,M O A A 四点共面,都在平面11ACC A 内，而点B 不在平面11ACC A 内，所以1,,,M O A B 四点不共面，故选项B 正确；1,,,B B O 三点均在平面11BB D D 内，而点A 不在平面11BB D D 内，所以直线AO 与平面11BB D D 相交且点O 是交点，所以点M 不在平面11BB D D 内，即1,,,B B O M 四点不共面，故选项C 错误；11BC D A ，且11=BC D A ，所以11BCD A 为平行四边形，所以11,CA BD 共面，所以1,,,B D C M 四点共面，故选项D 正确.故选:C.8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,∞+上是增函数，则下列各式一定成立的是（）A.()()25f f >-B.()()50f f -<C.()()20f f -<D.()()52f f ->【答案】D 【解析】【分析】由()f x 是R 上的偶函数，得()()55f f -=，()()22f f -=，再根据()f x 在[)0,∞+上是增函数可逐项判断得出答案.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()55f f =-，()()22f f -=，且()f x 在[)0,∞+上是增函数，因为()()()255f f f <=-，所以A 错误；因为()()()550f f f -=>，所以B 错误；因为()()()220f f f -=>，所以C 错误；因为()()()552f f f -=>，所以D 正确.故选：D.【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路：（1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间；（2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥，则A =（）A.102B.10 C.5D.10【答案】B 【解析】【分析】由题意()f x 的周期6T =可得π3ω=，由()f x 图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭可得π6ϕ=，从而π()sin 3π6f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 与y 轴的交点0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭，由0NM NP ⋅= 解得A .【详解】若()f x 的周期为T ，由题意有531422M P T x x =-=-=，所以6T =，所以2ππ63ω==，()f x 图象与x 轴的交点为5,02M⎛⎫ ⎪⎝⎭，则)π5π(32k k ϕ⨯+=∈Z ，因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=，即π()sin 3π6f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 与y 轴的交点0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭，由NM NP ⊥，则NM NP ⋅= 255,1,022224A A A ⎛⎫⎛⎫-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10A =或10A =(舍)．故选：B.10.若函数()329f x x ax =+-在2x =-处取得极值，则=a （）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由()f x 在2x =-时取得极值，求出()f x '得(2)0f '-=，解出a 的值．【详解】解：32()9f x x ax =+- ，2()32f x x ax ∴'=+；又()f x 在2x =-时取得极值，(2)1240f a ∴'-=-=；3a ∴=．故选：B ．【点睛】本题考查了应用导数求函数极值的问题，是基础题．11.在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90ABC ∠=︒，2PA =，若三棱锥-P ABC 的体积为6，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.18π B.24πC.36πD.40π【答案】D 【解析】【分析】PA ⊥平面ABC ，则有PA AC ⊥，PA BC ⊥，然后由AB BC ⊥得线面垂直后得PB BC ⊥，从而可得PC 就是外接球直径，再由体积计算出PC 长后可得球表面积．【详解】∵PA ⊥平面ABC ，∴PA AC ⊥，PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC PB ⊥，PC 中点到四个点,,,P A B C 的距离相等，即PC 为三棱锥-P ABC 外接球的直径．12633P ABC ABC ABC V PA S S -=⋅==△△，9ABC S = ，又,90BA AC ABC =∠=︒，∴2192ABC S BA ==△，BA =6AC ==，PC ==∴所求外接球表面积为224402PC S PC πππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故选：D .【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定外接球的球心，本题是利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中点到三顶点的距离相等”确定的．12.已知0ω>，函数()sin(4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.221log 12log 92-=______.【答案】2；【解析】【分析】根据对数的运算性质求值即可.【详解】222222211log 12log 9log 34)log 32log 3log 3222(-=⨯-=+-=，故答案为：214.曲线()3f x x x =-在点（2，6）处的切线方程为_______．【答案】11160x y --=【解析】【分析】求出()f x '，()2f '即可.【详解】因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --=故答案为：11160x y --=15.已知奇函数()f x 为R 上的减函数，若()()23210f a f a +-≥，则实数a 的取值范围是__________．【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【详解】分析：由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性得到关于a 的不等式求解二次不等式即可确定实数a 的取值范围.详解：不等式()()23210f af a +-≥即：()()2321f a f a ≥--，函数为奇函数，则不等式等价于()()2321f af a ≥-+，函数在R 上单调递减，脱去f 符号有：2321a a ≤-+，即：23210a a +-≤，()()11310,13a a a +-≤-≤≤，故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．16.在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.【答案】6+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c==，22,22b b b c +===+时等号成立.故答案为：6+三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=>，()f x 图像的相邻两对称轴之间的距离为2π．（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，求5sin 46πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（1）2ω=；（2）79-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可．（2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可．【详解】（1）13()2(sin )2sin()23f x x x x πωωω=+=+，()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离为2π，∴22T π=，即2T ππω==，得2ω=．（2）2ω=Q，()2sin(2)3f x x π∴=+，2()3f α=，22sin(2)33πα∴+=，得1sin(2)33πα+=，设23πθα=+，则1sin 3θ=，且23παθ=-，55523sin(4)sin[2()]sin(2)sin(2)663632ππππππαθθθ-=--=-+=-sin(2)cos 22πθθ=--=-217(12sin )1299θ=--=-+⨯=-18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且)()sin sin sin b B a A c A B -=-+.（1）求A 的大小；（2）过点C 作CD BA ∥，在梯形ABCD 中，4BC =，CD =，120ABC ∠=︒，求AD 的长.【答案】（1）45︒（2【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得22)b a c c -=-，利用余弦定理计算即可得出结果.（2）在BCD △中，由正弦定理求得AC =，在ACD 中，由余弦定理2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠计算即可求得结果.【小问1详解】由正弦定理可得：22)b a c c -=-，即222b c a +-=，所以222cos 22b c a A bc +-==，又0180A << ,所以45A =︒.【小问2详解】在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，因为445,120BC BAC ABC =∠=︒∠=︒，，所以AC =.在ACD 中，由余弦定理可得，222222cos 2cos 4515AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯︒=所以AD =.19.已知函数()32215333f x x ax a x =-++-．(1)若1a =-时，求()f x 在区间[4,2]-上的最大值与最小值；(2)若函数()f x 仅有一个零点，求a 的取值范围．【答案】(1)最大值为0，最小值为323-；(2)(1)3-，．【解析】【分析】(1)求导，并判断()f x 在[4,2]-上的单调性，再求出其最大值与最小值；(2)利用分类讨论判断()f x 在定义域内的单调性，求出极值，再判断极值与0的大小关系，进一步求出参数a 的取值范围.【详解】(1)由题意得()()()22'233f x x ax a x a x a =-++=--+．当1a =-时，()(1)(3)f x x x -'=-+，[4,2]x ∈-．由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43x -≤<-或12x <≤．∴函数()f x 在区间(3,1)-上单调递增，在区间[4,3)--，(1,2]单调递减．又2532(4)(3)33f f -=--=-，，()()71023f f ==-，，∴函数()f x 在区间[4,2]-上的最大值为0，最小值为323-．(2)函数()f x 只有一个零点．∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a =-++--+'，i )当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数()f x 在区间(3,)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数()f x 在区间(,3)a -∞，(,)a -+∞上单调递减．又5(0)03f =-<，∴只需要()0f a -<，解得10a -<<．∴实数a 的取值范围为10a -<<．ii )当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立．iii )当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<，即()f x 在区间(,3)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(,)a -∞-，(3,)a +∞上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得03a <<．综上：实数a 的取值范围是(1-．【点睛】利用导数求最值问题，既要求函数的极值，也需要求出其端点值，再比较大小；零点相关问题求参数取值范围，通常有两种思路，一种是分离参数，转化为求参数与另外一个函数的交点个数问题，另一种是直接含参讨论单调性求极值解不等式.20.如图所示，ABC 是等边三角形，//DE AC ，//DF BC ，面ACDE ⊥面ABC ，22AC CD AD DE DF =====．（1）求证：EF BC ⊥；（2）求四面体FABC 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】(1)由余弦定理可得E F EF DF ⊥，结合//DF BC 即可得出结果.(2)由面面垂直的性质定理得DO ⊥平面ABC ，且DO =，根据线线平行得出平面//DEF 平面ABC ，进而得到F 与D 到底面ABC 的距离相等，结合棱锥体积公式即可.【详解】（1）证明：//DE AC ，//DF BC ，又ABC 是等边三角形，60EDF ACB ∴∠=∠=︒，又22AC DE BC DF ====，在EDF 中，由余弦定理可得，EF =，222EF DF DE ∴+=，故EF DF ⊥，又//DF BC ，EF BC ∴⊥；（2）解：取AC 的中点O ，连接DO ，由AD DC =，得DO AC ⊥，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE 平面ABC AC =，DO ∴⊥平面ABC ，且求得DO ==．由//DE AC ，DF ⊄平面,ABC BC ⊂平面ABC ，可得//DF 平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积11221322V =⨯⨯⨯⨯．【点睛】(1)证明线线垂直的方法主要有：线面垂直的性质定理、勾股定理的逆定理或者采用空间向量法；(2)求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．21.已知函数()ln 1f x a x ax =++.（1）当1a =时，求()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()e x f x x ≤恒成立，求a 的取值集合.【答案】（1）y =2x（2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数()e ln 1x g x x a x ax =---，将问题转化成求()g x 的最小值，通过对a 进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln 1f x x x =++，所以(1)2f =，又()11f x x '=+，所以()11121f '=+=，故()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)2y x =-+，即2y x =.【小问2详解】解法一：因为()e x f x x ≤恒成立，e ln 10x x a x ax ---≥恒成立，令函数()e ln 1x g x x a x ax =---，则()()1e e (1)e (1)(e )x x x x a x a a g x x a x x x x x +'=+--=+-=+-①当0a ≤时，()()1(e )0x a g x x x'=+->在区间(0,)+∞恒成立，此时g (x )在区间(0,)+∞单调递增，又11221111()e ln21(e 2)(ln2)22222a g a a =+--=-+-，易知12e 2,<1ln 22<，所以1(02g <，故0a ≤不合题意，②当0a >时，由()()1e 0xa g x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，可得e 0x a x -=，即e 0x x a -=令()e x h x x =，则()()e e 1e 0x xx h x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立所以()e xh x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00h =，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得00e x x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=，则当0(0,)x x ∈时，e x x a <，即()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，e x x a >，即()0g x '>，所以当0x x =时，()0000min e ln 1ln 1xg x x a x ax a a a =⋅---=--，故要使()0g x ≥恒成立，只需ln 10--≥a a a ，令()ln 1a a a a ϕ=--，则()11ln ln a a a a aϕ=--⨯=-'，由()0a ϕ'>，得到01a <<，由()0a ϕ'<，得到1a >，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，()()10a ϕϕ≤=，即()ln 10a a a a ϕ=--≤，所以ln 10--≥a a a 只有唯一解，即1a =.综上，a 的取值集合为{}1.解法二：由题意可得()e ln e10x x x a x --≥恒成立，令()e x t x x =，则()()e e 1e 0x x xt x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立，所以()e xt x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00t =，所以()e 0x t x x =>，所以()e ln e 10x xx a x --≥恒成立，即ln 10t a t --≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln 1g t t a t =--，又因为(1)0g =，要使()0g t ≥恒成立，则1t =是()g t 的极小值点，又因为()1a g t t '=-，所以()110g a '=-=，解得1a =.当1a =时，令()ln 1ln 1g t t a t t t =--=--，11()1t g t t t -'=-=，所以(0,1)t ∈时，()0g t '<，()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()(1)1ln110g t g ≥=--=，满足题意.综上，a 的取值集合为{}1.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0g x ≥，然后由导数求得()g x 的最小值min ()g x ，解不等式min ()0g x ≥即可得参数范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4极坐标与参数方程）22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，倾斜角为α的直线l 过点0M ，点0M 的极坐标为π(2,)3.（1）求曲线1C 的普通方程和直线l 的参数方程.（2）若l 与1C 交于A ，B 两点，且点B 为0AM 的中点，求AB【答案】（1）222x y x +=，1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即得1C 的普通方程，求出点0M 的直角坐标，按条件写出l 的参数方程作答.（2）将l 的参数方程代入1C 的普通方程，再利用参数的几何意义计算作答.【小问1详解】曲线1C ：22cos ρρθ=，把222cos x x yρθρ=⎧⎨=+⎩代入得1C 的普通方程：222x y x +=，因点0M 的极坐标为π(2,3，则点0M的直角坐标是，而直线l 的倾斜角为α所以直线l的参数方程为：1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.【小问2详解】把直线l的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入曲线1C 的普通方程22(1)1x y -+=得：22(cos )sin )1t t αα++=，整理得：2sin 20t α++=，212sin 80α∆=->，即6sin 3α>，令点A ，B 所对参数分别为12,t t ，则有122t t =，因点B 为0AM 的中点，即有212t t =，于是得2||1t =，所以122||||1AB t t t =-==.（选修4-5不等式选讲）23.设函数()4f x x x a =+-，其中R a ∈.（1）当6a =时，求曲线()y f x =与直线480x y -+=围成的三角形的面积；（2）若a<0，且不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-，求a 的值.【答案】（1）64（2）17-【解析】【分析】（1）由题知()56,636,6x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分x a ≥和x a <两种情况求解得()2f x <的解集为2{|}5a x x +<，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当6a =时，()56,64636,6x x f x x x x x -≥⎧=+-=⎨+<⎩，所以，()624f =，设(6,24)C ；直线480x y -+=与36y x =+交于点(2,0)A -，与直线56y x =-交于点(14,64)B ，且AB =点(6,24)C 到直线480x y -+=的距离d =，所以，要求图形的面积1642S AB d =⨯⨯=；【小问2详解】解：当x a ≥时，()5f x x a =-，()2f x <，即52x a -<，解可得25a x +<，此时有25a a x +≤<，当x a <时，()3f x x a =+，()2f x <，即32x a +<，解可得23a x -<，又由a<0，则23a a ->，此时有x a <，综合可得：不等式的解集为2{|}5a x x +<，因为不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-所以，235a +=-，解可得17a =-；所以，17a =-.。
四川省泸州市2024届高三上学期一诊模拟(二)数学(文)试题(解析版)
泸州老窖高2021级高三上期一诊模拟(二)数学（文科）（答案在最后）第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}|2B x x =≤，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,2,3 D.{}1,2,3,4解：由题意知A B = {}1,2.故选：B2.已知34a =，2log 3b =，则ab =（）A .2 B.9C.4D.5解：因为34a =，所以3log 4a =，所以322lg 2lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⨯=⨯=.故选：A3．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β解：对于A 选项，设α∩β＝a ，若l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，此时α与β相交，故A 选项错误；对于B 选项，l ∥α，l ⊥β，则存在直线a ⊂α，使得l ∥a ，此时a ⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B 选项正确；对于C 选项，若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β或l ⊂β，故C 选项错误；对于D 选项，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系不确定，故D 选项错误．选B.答案：B4.当某种药物的浓度大于100mg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L （安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L ，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈，lg86 1.935≈）A.4小时 B.6小时 C.8小时 D.12小时【分析】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y -=⨯-，由题意可得()160010.14100n -⨯-<，两边取常用对数求解即可.解：设n 小时后药物浓度为()160010.14n y-=⨯-若n 小时后药物浓度小于100mg/L ，则需再服药.由题意可得()160010.14100n -⨯-<，即110.866n -<所以()1lg 0.86lg 6n -<-，则lg 6lg 2lg 30.3010.4770.778111.969lg 0.86lg 86lg100 1.93520.065n -++->=-=-=≈--所以12.969n >所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适故选：D5.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）A .()1,0- B.[]0,1C.(]()10,-∞-+∞ , D.(](),11,-∞-⋃+∞解：若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则201440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A 6.已知π3sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.33- D.33解：因为22πππ31cos 2=cos212sin 1236633ααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2πππ1cos 2cos π2cos 23333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A.7．若1a b >>，01c <<，则（C）A ．c ca b <B ．c cab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a b c c<解：用特殊值法，令a =3，b =2，12c =，可知选项A 错误；11223223⨯>⨯，选项B 错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误.故选C.考点：指数函数与对数函数的性质8.如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=-，D 是BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为（）A ．94πB ．52πC ．92πD ．5π且长方体的长、宽、高分别为1、2、2，设三棱锥C ABD '-外接球的半径为R ，则2222222(2)1(2)(2)5R DA DB DC '=++=++=.所以，三棱锥C ABD '-外接球的表面积为24π5πS R ==.故选D.9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A ．32B ．72C ．2D ．3【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.解：将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝3（km ），CD ＝33（km ），在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，∠BED ＝150°，则两山顶A 、C 之间的距离为（）A ．63(km)B ．53(km)C(km)D(km)【分析】先计算BE ，DE ，利用余弦定理计算BD ，再利用勾股定理计算AC ．解：在Rt △ABE 中，∵AB＝，CD ＝3，∠AEB ＝30°，∠CED ＝45°，∴BE ＝3，DE ＝3，又∠BED ＝150°，∴BD ＝＝3，过A 作AF ⊥CD 于F ，则AF ＝BD ＝3，CF ＝CD ﹣AB ＝2，∴AC＝＝＝5（km ）．故选：B ．11.已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（）A．BC ．1D ．e【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.解：函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P '=+=⇒=⇒=⇒，所以min PQ==故选：A12.若函数f (x )的定义域为R ，且f (2x +1)为偶函数，f (x –1)的图象关于点(3，3)成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①f (x )的一个周期为2；②f (22)=3；③f (x )图象的一条对称轴为x =5；④191()57i f i ==∑.A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.曲线e cos x y x =在0x =处的切线方程为_____．【答案】10x y -+=【分析】根据导数的几何意义即得.解：因为e cos x y x =，所以si e c s e n o x x y x x -⋅'⋅=，当0x =时，00e cos 0e sin 0=1y '=-⋅⋅，0co e s 01y ==，故切线方程为：()110y x -=⨯-，即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解：由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C 1ABCD )，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC 1.由正方体棱长AB ＝2知最长棱AC 1的长为2 3.答案：2315.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=___________．255-解：∵()f x =sin 2cos x x -5(sin cos )55x x -令cos ϕ=5，sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=5-.则下列结论中正确的有①//AF 平面1A DE③1A ，D ，E ，H 四点共面【答案】①③【分析】取1A D 的中点的中点N ，连接NG ，延长面1A DP 相交，可判断②；显然不成立可判断④.如上图，取1A D 的中点M ，连接AM //AM ，=EF AM ，则四边形⊄平面1A DE ，ME ⊂平面如上图，取11D C 的中点N ，连接NG ，延长DE 与11D C 交与点P ，连接1A P ，因为11//=A A NG A A NG ，，所以四边形1A AGN 是平行四边形，可得1//A N AG ，因为1A ∈平面1A DP ，N ∉平面1A DP ，所以直线1A N 与平面1A DP 相交，所以AG 与平面1A DE 相交，故②错误；如下图，连接EH ，则1//EH B C ，11//A D B C ，所以1//EH A D ，可得1A ，D ，E ，H 四点共面，故③正确；若1A ，D ，E ，1C 四点共面，则11//A D C E ，显然不成立，所以④错误.故填：①③.PAB，平面AEF，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.的极坐标；，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到30,2MOK ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.。
四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）A．B ．C．D ．与的大小与有关2. 已知过坐标原点的直线与函数的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为，则下列等式成立的是（ ）A．B．C．D．3. 已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若，则下列结论不正确的是（ ）A．B．C．D．5. 已知双曲线的中点在原点，焦点，点为左支上一点，满足且，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．6. 如图，正六边形的边长为2，取正六边形各边的中点，，，，，，作第二个正六边形；然后再取正六边形各边的中点，，，，，，作第三个正六边形；依此方法一直继续下去……，则第2022个正六边形的面积为（）A．B．C．D．7. 已知集合A={|﹣2≤x ≤3}，B ={x |y =}，则A ∩B =A ．{x |1＜x ≤3}B ．{x |x ≥﹣2}C ．{1，2，3}D ．{2，3}8. 为了绿色发展，节能减排，相关部门随机调查了10户居民今年二月份的用电量（单位：kW.h ），数据如下：1071017899881277423131156则该组数据的极差为（ ）A ．20B ．30C ．180D ．2009. 随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到如下频率分布直方图，其中右侧三组小长方形面积成等差数列.则下列说法正确的是（ ）四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题 (2)四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题 (2)三、填空题四、解答题A ．身高在范围内的频率为0.18B ．身高的众数的估计值为115C ．身高的中位数的估计值为125D ．身高的平均数的估计值为121.810.已知正方体的棱长为2，棱AB 的中点为M ，点N 在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（）A．三棱锥的体积为定值B ．当最大时，MN 与BC所成的角为C ．正方体的每个面与点N 的轨迹所在平面夹角都相等D ．若，则点N的轨迹长度为11. 下列说法正确的是（ ）A ．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于C ．经过小时，时针转了D ．若角和角的终边关于对称，则有12.已知的展开式中共有7项，则（ ）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第4项D ．有理项共4项13. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b ，2003年产生的垃圾量为a 吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为__________吨，2008年的垃圾量为____________吨．14. 已知定义在上的函数满足，且，若关于的方程有且只有一个实根，则的取值范围是__________．15. 已知公差不为0的等差数列中，存在，，满足，，则项数__________.16. 第五代移动通信技术（5th Generation Mobile Communication Technology，简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，5G通讯设施是实现人机物互联的网络基础设施。
四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文科)试题11.23(含答案)
D．4
11．在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中， E ， F 分别为 C1D1 ， B1C1 的中点， O ， M 分别为 BD ， EF 的
中点，则下列说法错误的是 A. 四点 B、D、E、F 在同一平面内 B. 三条直线 BF ， DE ， CC1 有公共点 C. 直线 A1C 上存在点 N 使 M ， N ， O 三点共线 D. 直线 A1C 与直线 OF 不是异面直线
则 tan( − ) = ___________．
16．已知直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的所有棱长均为 4，且 ABC = 120 ，点 E 是棱 BC 的中点，
则过 E 且与 BD1 垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) = 3 sin x − 2cos2 x +1． 2
（Ⅰ）若 f ( ) = 2 3 f ( + ) ，求 tan 的值； 6
（Ⅱ）若函数 f (x) 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 1 倍得到函数 g(x) 的图象，求函 2
第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、 选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的．
1．已知集合 A = {1, 2,3, 4}， B = x | x = 2n −1, n N ，则 A B =
A． 3
B． 1, 3
泸州市高2021级高三(一模)第一次教学质量诊断性考试文科数学试卷及答案
泸州市高2021级第一次教学质量诊断性考试数学（文科）本试卷分第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第1卷1至2页，第II 卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答1每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I 已知集合A=｛XII斗<4,xE z}, B=｛斗2x>l}，则AnB=A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{1,3}2.已知命题p :VxER,3">2·`．；命题q :3x 。
ER,lnx 。
=－2,则下列命题是真命题的为A .(-,p )＾qB.p/\q C .p A(-.q)2五3若sinx ＝一—-，则cos2x =1 1 7A.-B.--C .-99 9 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为D .(-,p )＾（-,q )D.－一门一�丿勹上1T俯筏Ill艺2A 竺2BC.2兀 D.4冗5.“碳中和“是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳零排放＇．某地区二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式S=ab'，已知经过43a年，该地区二氧化碳的排放量为—-（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二颌4 化碳排放量为己（亿吨），则该地区要实现“碳中和“，至少需要经过（参考数据：lg2""0.30, lg3"" 0.48)3 A.13年B.14年C.15年D.16年6."sin(a-/J)=O “是“tana= tan/J"的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.函数.f (x)2x-1=-—• si11.,"t '的图象大致为2'+1yyyy工A. B. C. D.8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA..l底面ABCD,PA=AB, E为线段PB的中点，F 为线段BC 上的动点，则下列结论一定正确的是pcA.平面AEF上平面PBC C.直线EF II平面PCDB.平面AEF上平面ABCD D.直线EF J_平面PAB9 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x+2)=f(-x)，当xE(O,I)时，/(x)=ln(x+l)，则f（罕）＝l 一2nA3一2nB2一31 Ic D.ln210.已知菱形ABCD 的边长为6,乙BAD =60•,将t:::,.BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A -BD -P 为90·,则此时三棱锥P -ABD 的外接球的表面积为A.48冗B.32✓3冗C.20平冗D.60冗11.已知f(x)＝｛釭－l，（x<a)(x-2)2,(x a) 的值域为R，则a的最小值为5A.0B.2C..:...D.I12 已知函数f(x) = 2sin((JJx-f)c{i)>O)在（咚）上存在砓值且在（气，叶上单1问则Q的取值范围是A.［峙］B.［飞］c.[%,甘D.［琵］第I1卷（非选择题共90分）注意事项：(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．(2)本部分共10个小题，共90分．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．13.函数f(x)＝-江的对称中心为x-114.已知一个圆锥的体积为3开，侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为15.写出“使函数f(x)= ae x -lnx在区间(1,2)上单调递增＂的实数a的一个值．16.过点(O,m)有两条直线与曲线y=.!.+ lnx相切，则实数m的取值范围是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）已知函数f(x) = 2sin2x + 2✓3s i几xcosx-1(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)将函数f(x)图象向右平移工个单位长度得到g(x)的图象，若g g十工＝－3，OE O卫，求sin0(2l2) 7 (』的值18.（本小题满分12分）已知x=－是函数／（x)= x2 -1 lx + a lnx的极值点．（I)求a的值(TI)若函数.f(x)在(l,c)上存在最小值，求c 的取值范围19.（本小题满分l2分）心ABC 的内角A,B, C 的对边分别为a,b, c,设12b s inB=c s inAco s B+a s inBco sC.a(I)求一的值；b (II)若a=6,AD为t:::,.ABC 的内角平分线，且AD=CD,求co sC 的值．20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，且平面PBC..L 平面ABCD.0, E 分别是BC,PA 的中点，经过0,D, E 兰点的平面与棱P B 交于点F,平面PB Cn 平面P A D =l ,直线D E 与直线l 交于点G.PF(I)求一一的低PB(II)若PB=PC=CD=2,求多面体POCDEF 的体积．21.（本小题满分12分）已知函数f (x) = tanx-ax.(I)若a I,证明：当XE （吁）时，f(x)>O,(II)若函数g (x) =f (x) + sinx 在（二琴）上有三个零点，求实数a 的取值范围2 2（二）选考题：共IO 分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为psin （三］早曲线c 2｛芦：aosa(a为参数）．(I)求C 2的极坐标方程：(II)已知点M(2,0)，曲线C J 的极坐标方程为0=互,C 3与G 的交点为P,与c 2的交点为o,Q,求3 凶PQ的面积．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=lxl+lx-21-1 (I)求不等式f(x)5的解集；a 2(II)若函数f(x)的最小值为m,且a+b=m(a >0,b >0) 求证：——+——-b2Ia+I b+l 3泸州市高2021级第一次教学质量诊断性考试数学（文科）参考答案及评分意见评分说明：I.本解答给出了一种成几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则，2.对计邻题，当考生的解答在某一步出现错误时，如呆后维部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严堡的错误，就不再给分．3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的只加分数，4,只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题，| :; | ; | ： I ; | ； | ; | ； | ； | ：I : I :二、填空题，11-D 12-C13.(1,1);三、解答题，17,烧由题意，f(x )=-cos 2x ．十石s i n 2-.:...........................................................I 分..fi .~ I =2（一sin 2'<--;:-cos 2x)...............,.............,..........................................2分2 214..[j ;I15.“>－的任意一个实数值；e16.(In 2，如）．冗=2sin (2x-一），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.....4分62兀所以函数J (x ）的嵌小正周期T=一－＝冗： (2)6分冗冗冗(II）由聪意，g(:c)= 2si n [2(x －一）－一＝2si n(2x －一）＝一2co s2x,..................….7分66 2°”“因为g(-＋一）＝－2c os (0＋一）＝－一，22 l2 67 冗所以co s(0+－）＝-，I....................................................,..........,............ g 分6 7冗冗冗2冗因为0e(O 一），所以0+－e（一，一），2 6 6 3冗所以sin(B＋一）＝一一，颂........................................................................... 9分6'7冗冗冗冗”“s i n0 = sin[(B＋一）－一＝sin(B ＋一）co s-－c心（0+一）s in一..........……......,......J O 分6 6 6 6 6 6 4✓3 ✓3 1.. 1 11 -—X -－ －一X 一＝－....................................................................... 12分7 2 7 2 14愤j三·文数答案第1页共6页18.解：（I)因为／（x)=x2-llx+alnx,所以/'(x)=2x-l l+f!.(x>O),············.. ·························... ·............. 2分X3因为x=－是函数函数f(x)的极值点，22a所以!'(2)=3-11＋一＝o,3............................................................ 3分(x-4)(2:飞一3)a=12,此时f'(x)•�(x > 0),X......................................... 4分3 3所以f(x)在(0．一）上单调递增，在(-,)上单涸递减，在(4..l.OO）上单调递增，2 2故所求o的值为121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．妇........................................6分3 3(II)当a=12时，f(x)在(0，一）上单调递增，在(-A)上单调递减，在(4,-t«>）上单调递2 2增，/(1)=1-11=-IO,······························.. ··............................... 7分/(4) =16-44+121n4 =-28+241n 2, ·······•············· ·········......... ··· ······ 8分/(I)-/(4)= -10-(-28-24ln 2)=6(3-lnl6), ·· ··············· ··"....... •·· ····· 10分因为e1>16,所以f(l)> /(4), ·· ···· ·· ·· ··· · ··· ··· ····· ······ ······ ·· ··..... ···· ··11分所以c的取值范围是（4,心))............................... ... . (2)19．衅（l)因为1泌sinB= csinAcosB+asinBcos C.由正弦定理得12sm2B = s inCsi n Aco s B＋血AsinBco s C,· ···．．．．．．．,.......…··2分所以12sm2B=smAsit1(B+C)=sit1Asin[冗一(B+C))=s m2A, ·······……………4分所以12sia12B = sir12 A, ........................................................................... 5分因为A,Be(O，冗），所以sinA >0, sinB>O,所以sin2 A=12si n2 B即2＝史-4=2石b sinB....................................................... 6分（日）解法一：由a=6,a-＝ 2石，得b＝./3'...........................................................7分b设DD=x,则AD=CD=6－．飞，因为AD为/::.ABC的内角平分线，1s .:.AD•ABsin乙BAD 所以土巫＝24空s I CD't:.ACD .:..A D· AC sin L.CAD2AB�D C ................................................ g分所以AB BDAC CD ， AB=石．｀．6-x................................,,,,,.......................... 9分在f:::.ABC中，石飞－（生．）2由余弦定理得co s C= �2x..[3x6设A C的中点为E，连接DE,则DEJ.AC,高三·文数答案第2页共6页 0五CE _ 2在R IA CED 中，co sC =－-=-—·CD 6-x 乱62一（亟)2fJ 所以6-x 2 9 ＝－一，鲜得x=－,2x./3x66-x · "".. ·· 2 §所以co s c =..::t.-=五，．，，．．．．．．，．．．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．．．，．．．．．．．..12分6-."C 3解法二：因为AD为!:':.ABC的内角平分线，·,.. ·............. ·.. ·.. ·.... ·...... · · 11分I s .:.,JD • AB s in乙B AD 所以今坐＝2 s I心co .:.AD ·AC sin 乙C A DBDCD ' ................................................ 7分所以AB BD， AC CD记AB BD －一＝一＝1，1,AC CD 由a=6,岊＝2石，得b=石．．．．．．．．．．．．．．．．．．...........................................g 分6 CD=—,L+m 在!:,.ABC中，由余弦定理得cosC = �, 战）2+62一（石m)22x./3x6设AC 的中点为E,连接D E,则DE l AC ,cosC= CE./J(l +m)=,CD 12贝l j AD=..{3m , 6mBD=—, 1+111在Rt6CED中，........................ 9分 0故石项－（岛）2=五�.解得m =3,….........……..................II 分2x$x612 叔l+m)_.fi 所以cosC =＝一－．..............................................................12分123 20.烧（I)因为ADIi BC, AD ,:;:平面PBC,所以从）／／平面PBC,·············..................... J 分因为平面P BCn 平面P AD=l,所以I II AD,............................................. 2分因为直线DE与宜线I 交千点G,连接OG,OG与PB 的交点即为点F ,················........................ 3分因为底而ABCD是正方形，0是BC的中点．AD =20B ,···············... ·.. ·.......................... 4分因为E是PA的中点，可得P G=AD，则PG=20B,因为I ll AD,所以l II BC , l::,PGF "'!::,BOP ,……......……….....…......…5分PF PG PF 所以一－＝－－ ＝2.即一－＝2:............................................................ 6分FB OB . FBOE,多面体POCDEF的休积V=v 区尤{)+V,-,oo +V s －应，…….........7分c（日）连接OP,高三·文数答案第3页共6页因为PB=PC=2,0为BC中点，所以PO」./JC，PO=.JPC2-oc2＝石·又平面PBC上平面A!J C D ，平面PBCn平面AJJC D =BC,POc平面PBC,所以PO J_平面A B CD ,······....................................................................... g分而ODc平面ABCD,所以PO上OD,I I I J 所以Vp.OC D =－x S AOCD x PO =－X-xl x 2x 石＝一·3 3 2 3 ...............,...,....................9分因为E为PA中点，I I所以V8-t”=5V 小沁产了肛。
2021-2022学年四川省泸州市高三(上)一诊数学试卷(文科)(附详解)
2021-2022学年四川省泸州市高三（上）一诊数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={−2,−1,0,1,2}，B={y|y=√x}，则A∩B=()A. {0,1}B. {1}C. {0,1,2}D. {−2,−1,0}2.下列函数既是奇函数又是单调函数的是()A. y=sinxB. y=2cosxC. y=2xD. y=x33.“a>b”是“a>b>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家们通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震级数M之间的关系式为lgE=4.8+1.5M.若某次地震释放出的能量是另一次地震释放出的能量的300倍，则两次地震的震级数大约相差(参考数据：lg3≈0.3)()A. 0.5B. 1.5C. 2D. 2.55.下列命题正确的是()A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 四边形确定一个平面D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面6.已知cos(x+π4)=13，则sin2x=()A. 79B. −79C. 29D. −297.已知命题p：平行于同一平面的两直线平行；命题q：垂直于同一平面的两直线平行．则下列命题中正确的是()A. p∧qB. p∨qC. p∧(￢q)D. (￢p)∧(￢q)8.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为ℎ时，水流出所用时间为t，则函数ℎ=f(t)的图象大致是( ) A. B. C. D.9. 已知三棱锥S −ABC 的棱SA ⊥底面ABC ，若SA =2，AB =AC =BC =3，则其外接球的表面积为( )A. 4πB. 32π3C. 16πD. 32π10. 设函数f(x)是定义域为R 的偶函数，f(x)+f(4−x)=0，f(0)=2，则f(2020)+f(2022)=( )A. 4B. 2C. −2D. 011. 已知函数f(x)=|cos2x|+cosx ，下列四个结论中正确的是( )A. 函数f(x)在(0,π)上恰有一个零点B. 函数f(x)在[0,π2]上单调递减C. f(π)=2D. 函数f(x)的图象关于点(π2,0)对称12. 已知函数f(x)=x(lnx −ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,0)B. (0,12)C. (0,1)D. (0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)={x,0≤x <11x,x ≥1的值域为______． 14. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.已知当x∈[1,4]时，函数f(x)=mx−1的图象与g(x)=√x的图象有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是______．16.已知函数f(x)=asin2x−2√3cos2x的一条对称轴为x=−π，且f(x1)f(x2)=16，12则|x1+x2|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=sin2x−sinxcosx．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)把f(x)的图象沿x轴向右平移π个单位得到函数g(x)的图象，求不等式g(x)≤08的解集．18.已知曲线f(x)=ax3+bx(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程是y+2=0．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)若对任意x1，x2∈[−2,3]，都有|f(x1)−f(x2)|≤m，求实数m的取值范围．19.如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知√2bcosB+acosC+ccosA=0．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若AB=CD=2，且_______，求线段AD的长．从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解．①△ABC的面积S=2；②AC=2√5．20.如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD⊥平面ABEF，AD//BC，AD⊥DC，AD=3DC=3BC=3．(Ⅰ)在线段AD上是否存在点P，使平面EBP⊥平面EBC，请说明理由；(Ⅱ)求多面体ABCDEF的体积．21.已知函数f(x)=e x−ax2(其中e为自然对数的底数)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的导函数f′(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=cosx+x−f(x)，当a>1时，证明：x=0为g(x)的极小值点．22. 如图，在极坐标系Ox 中，正方形OBCD 的边长为2．(Ⅰ)求正方形OBCD 的边BC ，CD 的极坐标方程；(Ⅱ)若以O 为原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线E ：x 2+y 2=5与边BC ，CD 分别交于点P ，Q ，求直线PQ 的参数方程．23. 已知函数f(x)=|x +2|+|x −1|．(Ⅰ)求不等式f(x)<5的解集；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正数，且a 2+b 2+c 2=m.求证：a +b +c ≤3．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={−2,−1,0,1,2}，B={y|y=√x}={y|y≥0}，∴A∩B={0,1,2}．故选：C．求出集合B={y|y=√x}={y|y≥0}，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：y=sinx，y=2cosx不是单调函数，不符合题意；y=2x不是奇函数，不符合题意；y=x3为奇函数且在定义域R上单调递增，符合题意．故选：D．结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：“a>b”不一定能得出“a>b>0”，如：0>a>b；但“a>b>0”一定能得到“a>b”．故选：B．根据充分必要条件，即可作出判断．本题考查了充分必要条件，学生的逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设某次地震释放出的能量为E2，另一次为E1，某次地震级数为M2，另一次为E1，故E 2=300E 1，代入关系式lgE =4.8+1.5M 可得，{lgE 2=4.8+1.5M 2lgE 1=4.8+1.5M 1， 故lgE 2−lgE 1=1.5(M 2−M 1)，即lg E2E 1=1.5(M 2−M 1)， ∵E 2=300E 1，∴1.5(M 2−M 1)=lg300=lg3+lg100=lg3+2≈2.3，∴M 2−M 1≈2.31.5≈1.5．故选：B ．根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的性质是解本题的关键，属于基础题． 5.【答案】D【解析】解：A 、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A 不对； B 、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B 不对；C 、比如空间四边形则不是平面图形，故C 不对；D 、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D 正确．故选：D ．根据公理2以及推论判断A 、B 、D ，再根据空间四边形判断C ．本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．6.【答案】A【解析】解：因为cos(x +π4)=13，所以cosxcos π4−sinxsin π4=√22(cosx −sinx)=13，可得cosx −sinx =√23， 两边平方，可得cos 2x +sin 2x −2sinxcosx =1−sin2x =29，则sin2x =79．故选：A ．由已知利用两角和的余弦公式可求得cosx−sinx=√2，两边平方，根据同角三角函数3基本关系式，二倍角公式即可求解．本题主要考查了两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：平行于同一平面的两条直线可以平行，也可以相交，还可以异面，故命题p不是真命题，￢p是真命题；命题q是线面垂直的性质定理，故命题q是真命题，￢q是假命题；故选项A是假命题，B是真命题，C是假命题，D是真命题；故选：B．根据线面平行的判定和性质，即可作出判断．本题考查了复合命题真假的判断，学生逻辑推理能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：函数ℎ=f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，ℎ随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，ℎ随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和ℎ的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=2，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，∵△ABC是边长为3的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=√3，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，故球的半径R=√3+1=2，三棱锥S−ABC外接球的表面积为：4π×4=16π．故选：C．由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．属于中档题．10.【答案】C【解析】解：因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，f(4−x)=f(x−4)，因为f(x)+f(4−x)=0，所以f(x)+f(x−4)=0，即f(x)=−f(x−4)，所以f(x+4)=−f(x)，即f(x)=f(x+8)，所以函数f(x)的周期为8，所以f(2020)=f(8×252+4)=f(4)，f(2022)=f(8×253−2)=f(−2)，令x=0，所以f(0)+f(4)=0，所以f(4)=−f(0)=−2，令x=2，则f(2)+f(2)=0，所以f(2)=0，所以f(−2)=f(2)=0，所以f(2020)+f(2022)=f(4)+f(−2)=−2+0=−2，故选：C．根据条件求出函数的周期为8，然后有f(2020)=f(4)，f(2022)=f(−2)，通过赋值可求得结果．本题考查了抽象函数的奇偶性，周期性，求值问题，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：A：当x∈(0,π4]∪[3π4,π)时，cos2x>0，cosx∈[√22,1)∪(−1,−√22]，则f(x)=|cos2x|+cosx=cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=0，∴cosx=12或cosx=−1，不符合题意，当x∈(π4,3π4)时，cos2x<0，cosx∈(−√22,√22)，则f(x)=|cos2x|+cosx=−cos2x+cosx=−2cos2x+cosx+1=0，∴cosx=−12或cosx=1，∴x=2π3，∴函数f(x)在(0,π)上恰有一个零点，∴A正确，B：∵f(π4)=|cosπ2|+cosπ4=√22，f(π2)=|cosπ|+cosπ2=1，∴f(π4)<f(π2)，∴函数f(x)在[0,π2]上单调递减不一定成立，∴B错误，C：∵f(π)=|cos2π|+cosπ=0，∴C错误，D：∵f(π2)=|cosπ|+cosπ2=1，∴函数f(x)的图象关于点(π2,0)对称不正确，∴D错误，故选：A．分类讨论x∈(0,π4]∪[3π4,π)和x∈(π4,3π4)，再化简判断A，举特殊值判断B，求出f(π)判断C，求出f(π2)≠0判断D．本题考查余弦函数的单调性，零点的求法，以及对称性．先运用余弦二倍角公式化简函数是解决问题的关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的极值点，属于中档题．先求导函数，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，等价于函数y=lnx与y=2ax−1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f(x)=x(lnx−ax)，则f′(x)=lnx −ax +x(1x −a)=lnx −2ax +1，令f′(x)=lnx −2ax +1=0得lnx =2ax −1，函数f(x)=x(lnx −ax)有两个极值点，等价于f′(x)=lnx −2ax +1有两个零点，等价于函数y =lnx 与y =2ax −1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)，当直线y =2ax −1与y =lnx 的图象相切时，设切点为(x 0,y 0)， 对于y =lnx ，y′=1x ，则{y 0=2ax 0−1y 0=lnx 02a =1x 0，解得a =12，由图可知，当0<a <12时，y =lnx 与y =2ax −1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是(0,12).故选B ．13.【答案】[0,1]【解析】解：当0≤x <1时，f(x)=x ，故0≤f(x)<1，当x ≥1时，f(x)=1x ，故0<f(x)≤1，故函数的值域为[0,1]，故答案为：[0,1]．由分段函数的性质知，先求各段上的值域，再求并集即可．本题考查了分段函数的值域，利用了分类讨论的思想，属于基础题．14.【答案】√3π6【解析】解：由三视图可知，几何体原图为半个圆锥，底面半径为1，高为√3．所以几何体的体积为12×13×π×12×√3=√36π．故答案为：√3π6．观察得到几何体原图，然后求解其体积即可．本题主要考查三视图还原几何体的方法，锥体体积的计算等知识，属于基础题．15.【答案】[34,2]【解析】解：当x∈[1,4]时，函数f(x)=mx−1的图象与g(x)=√x的图象有且只有一个公共点，函数f(x)=mx−1过定点A(0,−1)，如图：，结合图象可得：k AB≤m≤k AC，即2−(−1)4−0≤m≤1−(−1)1−0⇒34≤m≤2，故答案为：[34,2]．根据题意画出图象，结合图象即可求解结论．本题主要考查函数图象的应用以及数形结合思想，属于基础题．16.【答案】π6【解析】解：f(x)=asin2x −2√3cos2x =√a 2+12sin(2x −θ)，由于函数f(x)的对称轴为x =−π12，所以f(−π12)=−12a −3，则|−12a −3|=√a 2+12，解得：a =2，所以：f(x)=4sin(2x −π3)，由于：f(x 1)⋅f(x 2)=16，当函数f(x)在x =x 1和x =x 2取最大值时，所以：x 1=k 1π2+5π12，x 2=k 2π2+5π12，k ∈Z ； 所以：|x 1+x 2|=|k 1π2+k 2π2+5π6|，可得其最小值为π6． 当函数f(x)在x =x 1和x =x 2取最小值时，所以：x 1=k 1π2−π12，x 2=k 2π2−π12，k ∈Z ； 所以：|x 1+x 2|=|k 1π2+k 2π2−π6|，可得其最小值为π6．故答案为：π6． 通过三角恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值求出结果．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin 2x −sinxcosx =12(1−cos2x)−12sin2x =−√22sin(2x +π4)+12， 故函数的最小正周期为T =2π2=π．(Ⅱ)把f(x)的图象沿x 轴向右平移π8个单位得到函数g(x)=−√22sin2x +12的图象， 由于g(x)≤0，整理得sin2x ≥√22， 即2kπ+π4≤2x ≤2kπ+3π4(k ∈Z)，整理得：kπ+π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z)． 即不等式的解集为：{x|kπ+π8≤x ≤kπ+3π8}(k ∈Z)．【解析】(Ⅰ)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；(Ⅱ)利用函数的关系式的平移变换和三角函数的不等式的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=ax 3+bx ，得f′(x)=3ax 2+b ，由题意可得，{3a +b =0a +b =−2，解得a =1，b =−3． ∴f(x)=x 3−3x ；(Ⅱ)由f(x)=x 3−3x ，得f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)．当x ∈(−2,−1)∪(1,3)时，f′(x)>0，当x ∈(−1,1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调增区间为(−2,−1)，(1,3)，单调减区间为(−1,1)．函数的极大值为f(−1)=2，极小值为f(1)=−2，又f(−2)=−2，f(3)=18，∴f(x)在[−2,3]上的最小值为−2，最大值为18．则对任意x 1，x 2∈[−2,3]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤18−(−2)=20．∵对任意x 1，x 2∈[−2,3]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤m ，∴m ≥20．即实数m 的取值范围是[20,+∞)．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，由题意可得关于a ，b 的不等式组，求解可得a 与b 的值，则函数解析式可求；(Ⅱ)利用导数求f(x)在[−2,3]上的最值，可得|f(x 1)−f(x 2)|的最大值，结合题意可得实数m 的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵√2bcosB +acosC +ccosA =0，∴√2sinBcosB +sinAcosC +sinCcosA =0，∴√2sinBcosB+sin(A+C)=0，∴√2sinBcosB+sinB=0，∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosB=−√22，∴B=34π．(Ⅱ)选①，∵△ABC的面积S=2，∴S=12acsin3π4=2，即a=2√2，∴AC=√c2+a2−2accosB=2√5，∴cos∠CAB=2×2×2√5=2√55，又∵AC平分∠BAD，∴cos∠CAD=22×2√5×AD =2√55，∴AD=4．选②，∵AC=2√5，在△ABC中，由余弦定理可得cosB=AB2+BC2−AC22×AB×BC，解得BC=2√2，由正弦定理可得2√2sin∠BAC =2√5sin3π4，∴sin∠BAC=√55，∵AC平分∠BAD，∴sin∠BAD=√55，∵CD=2,AC=2√5，∴△ABC是直角三角形，且∠ADC=90°，∴AD=4．【解析】(Ⅰ)根据三角函数的和差公式就可求解．(Ⅱ)①首先根据面积公式求出BC，再根据余弦定理求出AC，最后根据角平分线即可求出结果．②首先根据余弦定理求出BC，再根据正弦定理求出sin∠BAC，再由角分线和正弦值即可求出结果．本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(I)存在这样的点P，线段AD上取DP=1.由3BC=3.得BC=1，所以DP=BC，AD//BC，所以四边形PDCB是平行四边形，AD⊥DC，所以四边形PDCB是矩形，所以BP⊥BC，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABEF为正方形，所以BE⊥平面ABCD，又EB⊂平面CBE，所以平面ABCD⊥平面CBE，又BP⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面CBE=BC，所以BP⊥平面CBE，又BP⊂平面BPE，所以平面EBP⊥平面EBC；(II)在Rt△ABP可求得AB=√1+4=√5，BD=√2，在△ABP中，sin∠BAD=BPAB =1√5=√55，所以可得AB边上的高ℎ=3×√55=3√55，所以V D−ABEF=13×√5×√5×3√55=√5，V E−BCD=13×S△BCD×BE=√56，所以多面体ABCDEF的体积为7√56．【解析】(I)线段AD上取DP=1.由3BC=3.得BC=1，所以DP=BC，AD//BC，进一步可证BP⊥BC，可证平面ABCD⊥平面CBE，进而证得平面EBP⊥平面EBC；(II)分别求V D−ABEF=√5，V E−BCD=13×S△BCD×BE=√56，可求得多面体的体积．本题考查面面垂直的问题各多面体的体积的求法，属中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：f′(x)=e x−2ax，令F(x)=e x−2ax，则F′(x)=e x−2a，①当a≤0时，F′(x)>0，②当a>0时，x∈(ln2a,+∞)时，F′(x)>0，x∈(−∞,ln2a)时，F′(x)<0，综上所示，当a≤0时，f′(x)在R上是增函数；当a>0时，f′(x)在(ln2a,+∞)上单调递增，在(−∞,ln2a)上单调递减；(Ⅱ)证明：g(x)=cosx+x−f(x)=cosx+x−e x+ax2，则g′(x)=−sinx+1−e x+2ax，所以g′(0)=0，又g′′(x)=−cosx−e x+2a，当x=0时，g′′(0)=2a−2，因为a>1，所以g′′(0)>0，当x∈(−π,0)时，g′′(x)单调递减，则g′′(x)>0，当x>0时，若x→0时，则g′′(x)→g′′(0)>0，所以取x=0附近极小的一个范围，不妨设x1<0<x2，则g′′(x)>0在(x1,x2)上恒成立，故g′(x)在(x1,x2)上单调递增，又g′(0)=0，所以当x1<x<0时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，当0<x<x2时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，所以当x=0时，函数g(x)取得极小值，故x=0为g(x)的极小值点．【解析】(Ⅰ)求出f′(x)，令F(x)=e x−2ax，求出F′(x)，分a≤0和a>0两种情况，利用导数的正负与函数单调性的关系，分析求解即可；(Ⅱ)求出g′(x)，g′′(x)，通过g′(x)的连续性，结合g′′(0)>0，取x=0附近极小的一个范围，不妨设x1<0<x2，得到函数g′(x)的单调性，再利用g′(0)=0，确定函数g(x)的单调性，由极值的定义即可证明．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数单调性的应用，利用导数研究函数极值的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(I)正方形OBCD的边BC的极坐标方程为ρcosθ=2，θ∈[0,π4]，正方形OBCD的边CD的极坐标方程为ρsinθ=2，θ∈[π4,π2 ].(II)边BC的直角坐标方程为x=2，边CD的直角坐标方程为y=2，∵曲线E：x2+y2=5与边BC，CD分别交于点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴{x 1=2x 12+y 12=5，解得{x 1=2y 1=1，故P(2,1)，{y 2=2x 22+y 22=5，解得{x 2=1y 2=2，故Q(1,2)， ∴k PQ =2−11−2=−1，直线PQ 的倾斜角为34π， ∴直线PQ 的参数方程为{x =tcos 34π+1y =tsin 34π+2，即{x =−√22t +1y =√22t +2 (t 为参数)．【解析】(I)根据图形，即可直接求解．(II)根据已知条件，分别求出P ，Q 两点的坐标，再结合斜率公式，即可求解． 本题主要考查简单曲线的极坐标方程，以及参数方程的求解，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)<5，即|x +2|+|x −1|<5．∴{x <−2−x −2+1−x <5，①，或{−2≤x ≤1x +2+1−x <5，②，或{x >1x +2+x −1<5，③． 解①求得−3<x <−2，解②求得−2≤x ≤1，解③求得1<x <2．综上可得，不等式的解集为{x|−3<x <2}．(Ⅱ)证明：由|x +2|+|x −1|≥|x +2−x +1|=3．∴m =3；可得a 2+b 2+c 2=3，∴(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca)≤3(a 2+b 2+c 2)=9，当且仅当a =b =c =1时，等号成立，所以a +b +c ≤3．【解析】(Ⅰ)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)利用绝对值不等式的几何意义，求解m 的最小值，然后利用基本不等式转化得证即可．本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．。
2021届四川省泸州市高三第一次诊断性考试数学(文)试题Word版含解析
2021届四川省泸州市高三第一次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|12,}A x x x N =-<≤∈， {}2,3B =，则A B ⋂=（ ）A. {}0,1,2,3B. {}2C. {}1,0,1,2-D. ∅【答案】B【解析】由题意得{}{}|12,0,1,2A x x x N =-<≤∈=,∴{}{}{}0,1,22,32A B ⋂=⋂=。
选B 。
2．“0x >”是“10x +>”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】“10x +>”即为“1x >-”。
所以当“0x >”时“1x >-”成立，反之不一定成立。
因此“0x >”是“10x +>”的充分不必要条件。
选B 。
3．若1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值为（ ） A. 13- B. 13C. 3D. 3- 【答案】A 【解析】1tan()tan 11442tan tan[()]14431tan[()tan 11442ππαππααππα+--=+-===--++⨯，选A 。
（也可将tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开直接求tan α。
） 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，棱所在直线与直线1BA 是异面直线的条数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中与棱1BA 所在直线是异面直线的有1111,,,,DC DA D C D A 11,DD CC ，共6条。
选C 。
点睛：（1）异面直线是指不同在任何一个平面内的直线，而不是指在两个平面内的直线，注意“任意”一词的含义。
（2）判断异面直线时常用的结论是：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
5．定义在R 上的函数()3f x x m =-+与函数()()g x f x kx =-在[]1,1-上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. (],3-∞-C. [)3,-+∞D. [)0,+∞【答案】D【解析】由题意知，函数()3f x x m =-+在R 上单调递减。
四川省泸州市高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题文(含解析)
数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.命题“，”的否定是A. 不存在，使B. ，使C. ，使D. ，使【答案】D【解析】【分析】利用全称命题“”的否定为特称命题“”可得结果.【详解】全称命题的否定是特称命题，否定全称命题要改全称量词为存在量词,“，”的否定是，使，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.设，，，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4.已知函数，则函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，故选C.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．5.函数的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，故选D.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】7.实数，满足，则下列关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法则可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数的性质与对数的运算法则，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.在中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，表面积为两个圆锥侧面积的和，，故选A.【点睛】求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 16B. 8C. 4D. 20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考查数形结合思想的应用，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，故选A.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，则，要使的值域为，则，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，则，在上递增，在上递减，要使的值域为，则，，又，的范围是，故选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：（1）求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据单调性可得函数的极值，如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（3）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】本题主要考查对数的基本性质，意在考查对基础知识的理解与运用，属于简单题.14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．15.已知函数，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，，，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.（1）若，求的值；（2）的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】（1）由，则，且，由正弦定理，因为，所以，所以，（2），∴，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）。
四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文科)答案
四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试数学（文科）答案一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}21,B x x n n ==-∈N ，则A B =（ ）A ．{}3B ．{}1,3C ．{}1,3,4D ．{}1,2,3,4【答案】B 【分析】直接利用交集的定义求解.【解析】由题得{}{}21,1,1,3,5,7,B x x n n ==-∈=-N ，所以AB ={}1,3.故选：B2．“1x =”是“2x x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由2x x =得到0x =或1x =，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【解析】由2x x =得到0x =或1x =；所以由“1x =”能推出“2x x =”；由“2x x =”不能推出“1x =”；因此，“1x =”是“2x x =”的充分不必要条件.故选：A. 3．已知3log 5a =，1ln 2b =， 1.11.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A 【分析】利用指对数函数的性质，确定a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系.【解析】由3log 51a =>，1ln 02b =<， 1.10 1.51c -<=<，可知：a c b >>.故选：A4．我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon ）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式2log 1S C W N ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，其中W 是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中SN叫做信噪比．根据此公式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为（ ）（参考数据：0.210 1.58≈）A ．1559B ．3943C ．1579D ．2512【答案】C 【分析】由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．【解析】由题意得：()()()222log 1log 19960%log 199W W W λ+-+≈+，则()22log 1 1.6log 100λ+≈，1.6 3.230.211001*********λ+≈==⋅≈，1579λ∴≈故选：C5．下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是（ ） A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+【答案】D 【分析】利用初等函数的奇偶性逐一分析选项，利用导数判断含有三角函数的单调性即可.【解析】解：A 选项：1()f x x=为奇函数，在(),0-∞和()0,∞+上单调递减，故A 错误；B 选项：()sin f x x =定义域为(),-∞+∞，但在定义域上不单调，故B 错误；C 选项：()cos f x x x =，定义域为(),-∞+∞且为奇函数，取10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10f x >，取 2,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()20f x <，12x x <，()()12f x f x >，在()0,∞+上不是单调增函数，故C 错误；D 选项：()sin f x x x =+，定义域为(),-∞+∞且为奇函数，'()1cos 0f x x =+≥，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增，故D 正确.故选：D.6．下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）A ．10πB ．8πC ．9πD ．10π【答案】A 【分析】由三视图确定几何体为圆锥体，应用圆锥体侧面积公式求面积即可. 【解析】由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体， ∴其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半径的扇形， 故几何体的侧面积为221312102S ππ=⋅+⋅=，故选：A 7．已知两点1(,0)A x ，2(,0)B x 是函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>与x 轴的两个交点，且两点A ，B 间距离的最小值为3π，则ω的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】由已知得112232T ππω==⨯，解之可得选项． 【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，则由已知得112232T ππω==⨯，解得3ω=，故选：B ． 8．函数3e e x xxy -=+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案.【解析】由题得函数的定义域为R , 因为3()()x xxf x f x e e ---==-+，所以函数是奇函数，所以排除B ；当0x >时，()0f x >，所以排除C ；当x →+∞时，()0f x →，所以选A .故选：A9．已知四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形，3AB =且AB ⊥平面BCDE ，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．174πC ．17πD ．8π【答案】C 【分析】由题意，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内，得到四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球，结合长方体的性质，求得球的半径，根据球的面积公式，即可求解.【解析】由题意，四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形， 3AB =且AB ⊥平面BCDE ，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内， 其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球， 设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R ， 可得2222232R ++=，解得172R =， 所以该四棱锥外接球的表面积为2217=4=4()172S R πππ⨯=.故选：C.10．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()g x x =的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】由题设可知()f x 的周期为2，关于1x =对称的偶函数，结合已知区间的解析式及()g x x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【解析】由题意知：()f x 的周期为2，关于1x =对称，且(2(2))()(2)()f x f x f x f x -+=-=+=，∴()f x 为偶函数，即可得()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 交于(1,1),(0,0),(1,1)-三点， 故选：C11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点，O ，M 分别为BD ，EF 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．四点B ，D ，E ，F 在同一平面内 B ．三条直线BF ，DE ，1CC 有公共点 C ．直线1A C 与直线OF 不是异面直线D ．直线1A C 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线【答案】C 【分析】利用两条平行线确定一个平面可判断A ；利用点共线公理可判断B ；根据异面直线的定义可判断C ；连接OM 可判断D. 【解析】作出图象，如图：对于A ，连接11B D ，则11//B D BD ，11//B D EF ，所以//BD EF ， 所以四点B ，D ，E ，F 在同一平面内，故A 正确； 对于B ，延长,BF DE ，则,BF DE 相交于点P ， 又BF ⊂平面11BCC B ，DE ⊂平面11DD C C ， 则P ∈平面11BCC B ，P ∈平面11DD C C ， 且平面11BCC B 平面111DD C C CC =，所以1P CC ⊂，即三条直线BF ，DE ，1CC 有公共点，故B 正确； 对于C ，直线1A C 为正方体的体对角线，所以直线1A C 与直线OF 不可能在同一平面内，所以直线1A C 与直线OF 是异面直线，故C 错误； 对于D ， 11,,,A O C C 均在平面11AAC C 内，连接OM ，则OM 与1A C 相交， 所以直线1A C 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线，故D 正确； 故选：C12．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>，若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,53⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,3(3,5)3⎛⎫⋃⎪⎝⎭C ．18,67⎛⎫⎪⎝⎭D ．18,4(4,6)7⎛⎫⋃⎪⎝⎭【答案】D 【分析】根据导数判断函数的单调性，画出函数的大致形状，然后根据题意进行求解即可.【解析】32'212()()2()3f x ax x f x ax x ax x a=+⇒=+=+， 因为0a >，所以当0x >或2x a<-时，'()0f x >，()f x 单调递增，当20x a-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，()00f x x =⇒=或3x a=-，函数图象大致如下图所示：因为存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以有21221(1)1(1)()2a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，或312(2)2a a -<-<-， 解(1)得：1847x <<，解(2)得46x <<， 故选：D 二、填空题13．已知函数23,0()21,0xx x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 【答案】3【分析】根据解析式求出()11f -=，再求出()1f 即可.【解析】23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，()1231f ∴-=-+=， ()()()11213f f f ∴-==+=.故答案为：314．函数()ln ln(2)f x x x =+-的最大值为______.【答案】0【分析】由二次函数、对数函数的单调性确定复合函数的单调性，进而求最值即可【解析】由2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，且02x <<，∴令21(1)()x t x --=+，()ln f t t =，即()t x 在01x <<为单调递增，12x <<为单调递减，而()f t 为增函数，∴()f x 在01x <<上单调递增，12x <<上单调递减，max ()(1)0f x f ==， 故答案为：015．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan 2α=，则tan()αβ-=______． 【答案】43-【分析】由题意得βπα=-，然后由tan()t an 2αβα-=求解. 【解析】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，且tan 2α=， 所以βπα=-，所以22t an 4tan()tan(2)t an 21-t an 3ααβαπαα-=-===-， 故答案为：43-16．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，的所有棱长均为4，且120ABC ∠=︒，点E 是棱BC 的中点，则过点E 且与1BD 垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为______.【分析】取AB 的中点F ，在1BB 取点M ，使得1BM=，分别连接,,EF ME MF ，且BD 与EF 交于点N ，连接MN ，根据线面位置关系，1BD ⊥平面MEF ，得到截面MEF 为等腰三角形，再结合三角形的面积公式，即可求解.【解析】由题意，取AB 的中点F ，在1BB 取点M ，使得1BM=，分别连接,,EF ME MF ，且BD 与EF 交于点N ，连接MN ，因为底面ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥，又由,E F 是,BC AB 的中点，可得//EF AC ，所以EF BD ⊥，因为直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1EF BB ⊥，所以EF ⊥平面11BDD B ， 又由1BD ⊂平面11BDD B ，可得1EF BD ⊥，在正方形11BDD B 中，可得11BD B D ⊥，因为1//MN B D ，可得1MN BD ⊥， 从而得到1BD ⊥平面MEF ，此时MEF 为等腰三角形， 在直角BME 中，2,1BE BM ==，可得5ME =， 又由111433244EN EF AC ===⨯=， 在直角MNE 中，可得222MN ME NE =-=， 所以截面的面积为11232622S EF MN =⋅=⨯⨯=. 故答案为：6.三、解答题17．已知函数2()32cos 12xf x x =-+． （Ⅰ）若()236f παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，求tan α的值； （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【分析】（Ⅰ）先将函数解析式整理，得到()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由题中条件，结合三角恒等变换，即可得出结果；（Ⅱ）先根据三角函数的伸缩变换，得到()g x 的解析式，再结合正弦函数的性质，即可求出结果.【解析】解：（Ⅰ）2()2cos12xf x x =-+cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()6f παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以sin 6παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1cos 2ααα-=，所以cos αα-=，所以tan α=； （Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象， 所以()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭， 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1()2g x -≤≤ 故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.18．已知曲线()sin f x kx x b =+在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为230x y --=． （1）求k ，b 的值； （2）判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上零点的个数，并证明． 【分析】（1）求出2f k π⎛⎫'=⎪⎝⎭即得k 的值，求出22kf b ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即得b 的值； （2）先证明()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为单调递增函数且图象连续不断，再求出(0)30f =-<，302f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即得证.【解析】（1）因为()sin cos f x k x kx x '=+，所以sin cos 2222f k k k ππππ⎛⎫'=+⨯= ⎪⎝⎭， 又因为sin 2222k f k b b ππππ⎛⎫=⨯+=+⎪⎝⎭， 因为曲线()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为230x y --=． 所以2k =， 所以223,222f b πππ⎛⎫=+=⨯-⎪⎝⎭所以3b =-； （2）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点， 因为()2sin 2cos f x x x x '=+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为单调递增函数且图象连续不断， 因为(0)30f =-<，302f ππ⎛⎫=->⎪⎝⎭， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点． 19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 2A a C c =． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABDADCSS=，求AD ．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得sin cos2A A=，再利用二倍角公式即可求解.（Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ，根据3ABDADCSS=可得12h h =，从而确定AD 是ABC 角A 的内角平分线，然后由34ABD ABC S S =△△，结合三角形面积公式即可求解. 【解析】解：（Ⅰ）因为sin cos 2Aa C c =，由正弦定理得sin sin sin cos 2A A C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin cos2A A =， 所以2sincos cos 222A A A =，因为022A π<<，所以cos 02A≠，所以1sin22A =，即26A π=，所以3A π=． （Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ， 因为3ABDADCS S=，3c =，1b =，所以1211322c h b h ⋅=⨯⋅， 所以12h h =，AD 是ABC 角A 的内角平分线，所以π6BAD ∠=， 因为3ABDADC S S=，可知34ABD ABC S S =△△， 所以131sin sin 26423AB AD AB AC ππ⨯⨯=⨯⨯⨯， 所以334AD =． 20．如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，G 是线段AB 上一点(不含,A B )，在平面SGD 内过点G 作GP //平面SBC 交SD 于点P .（1）写出作点P ､GP 的步骤(不要求证明)； （2）若3BAD π∠=，2AB SA SB SD ====，P 是SD 的中点，求三棱锥S PBC-的体积.【分析】（1）运用面面平行的性质定理可做出图形所需的步骤；.（2）运用线与面平行时，线上的所有点面的距离相等和等体积法可求得所求得三棱锥的体积.【解析】解：（1）第一步：在平面ABCD 内作//GH BC 交CD 于点H ；第二步：在平面SCD 内作//HP SC 交SD 于P ； 第三步：连接GP ，点P ､GP 即为所求.（2）因为P 是SD 的中点，//HP SC ，所以H 是CD 的中点，而//GH BC ，所以G 是AB 的中点，所以13sin12022GBCSBC GB ︒=⋅⋅=， 连接AC ，GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ，因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==，即M 为ABD △的外心，所以M 与O 重合， 因为23OD =2SD =，所以26SO =，所以123S GBC GBC V S SO -=⋅⋅=△GP //平面SBC ， 所以2S PBC P SBC G SBC S GBC V V V V ----====. 21．已知函数1()ln f x x m x m x=---，其中[]1,e m ∈，e 是自然对数的底数． （Ⅰ）当52m =，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值； （Ⅱ）设关于x 的不等式1()ln f x x x kx n x≤--+对[]1,e x ∀∈恒成立时k 的最大值为[](),1,e c k n ∈∈R ，求n c +的取值范围．【分析】（Ⅰ）由52m =得到155()ln 22f x x x x =---，然后用导数法求解.（Ⅱ）将不等式1()ln f x x x kx n x≤--+对[]1,e x ∀∈恒成立,转化为(1ln )ln m x x x x nk x+-++≤，对[]1,e x ∀∈恒成立,根据[]1,e m ∈，[]1,e x ∈，得到(1ln )ln 1ln ln m x x x x n x x x x nx x +-+++-++≥，令1ln ln ()x x x x n g x x +-++=，求导2ln ()x x n g x x-+-'=，令()ln p x x x n =-+-，分(1)0p ≥，(e)0p ≤，(1)(e)0p p <讨论求解. 【解析】（Ⅰ）当52m =时，155()ln 22f x x x x =---， 所以22215252()122x x f x x x x -+'=+-=， 因为0x >，由()0f x '>得22520x x -+> 所以102x <<，或2x >， ()f x 在[)1,2上单减，(]2,e 上单增，所以函数()f x 在[)1,2上的最小值为1555(2)2ln 21ln 22222f =---=--； （Ⅱ）因为x 的不等式1()ln f x x x kx n x≤--+对[]1,e x ∀∈恒成立, 所以(1ln )ln m x x x x nk x+-++≤，对[]1,e x ∀∈恒成立,令1ln ln ()x x x x ng x x+-++=，即2ln ()x x ng x x-+-'=， 令()ln p x x x n =-+-，即1()10p x x'=-+>，所以()p x 在[]1,e x ∈上递增； ①当(1)0p ≥，即1n ≤时， 因为[]1,e n ∈，所以1n =，当[]1,e x ∈，()0p x ≥，即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,e 上递增， 所以min ()(1)c g x g n ===， 故22n c n +==；②当(e)0p ≤即[]e 1,e n ∈-时，因为[]1,e x ∈，()0p x ≤，即()0g x '≤，所以()g x 在[]1,e 上递减，所以min 2()(e)en c g x g +===， 故212e ,e 1e ee n n c n +⎡⎤+=+∈+++⎢⎥⎣⎦； ③当(1)(e)0p p <，即(1,e 1)n ∈-时， 因为()ln p x x x n =-+-在[]1,e 上递增，所以存在唯一实数0(1,e)x ∈，使得()00p x =，即00ln n x x =-， 则当()01,x x ∈时，()0p x <，即()0g x '<； 当()0,e x x ∈时，()0p x >，即()0g x '>， 故()g x 在()01,x 上单减，()0,e x 上单增， 所以()0000min 00001ln ln 1()ln x x x x n c g x g x x x x +-++====+，所以00000011ln ln n c x x x x x x +=++-=+， 设()0001()(1,e)u x x x x =+∈，则220011()10x u x x x -'=-=>， 所以()u x 在[]1,e 上递增，所以12,e e n c ⎛⎫+∈+⎪⎝⎭． 综上所述，22,e 1e n c ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦． 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 是圆心在()0,2，半径为2的圆，曲线2C 的参数方程为4x ty t π⎧=⎪⎨⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎩（t 为参数且02t π≤≤），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2C 与坐标轴交于A 、B 两点，点P 为线段AB 上任意一点，直线OP 与曲线1C 交于点M （异于原点），求OM OP的最大值．【分析】（1）求出曲线1C 的直角坐标方程，根据直角坐标与极坐标的转换关系可得出曲线1C 的极坐标方程；（2）求出点A 、B 的坐标，求出线段AB 的极坐标方程，设P 、Q 的极坐标分别为()1,P ρθ、()2,Q ρθ，求出1ρ、2ρ关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得OM OP的最大值．【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为24sin ρρθ=，即4sin ρθ=；（2）曲线2C的参数方程为4x t y t π⎧=⎪⎨⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，因为曲线2C 与两坐标轴相交，所以曲线2C 交x 轴于点()2,0A 、交y 轴于点()0,2B ， 所以，线段AB 的方程为()2002x y x +-=≤≤， 则线段AB 的极坐标方程为cos sin 2002πρθρθθ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭， 设点P 、Q 的极坐标分别为()1,P ρθ、()2,Q ρθ，点P 在线段AB 上，可得11cos sin 2ρθρθ+=，可得12sin cos OP ρθθ==+，点Q 在曲线1C 上，则24sin OM ρθ==，2sin cos 4sin 2sin 2sin cos sin 2cos 212OM OP θθθθθθθθ+=⨯=+=-+214πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，02πθ≤≤，可得32444πππθ-≤-≤， 当242ππθ-=时，即当38πθ=时，OMOP 1．23．若0,0a b >>且223a b ab ++=，已知ab 有最小值为k . （1）求k 的值；（2）若0x R ∃∈，使不等式2x m x k -+-≤成立，求实数m 的取值范围.【分析】（1）由基本不等式，可知32222ab a b ab -=+≥ab 的取值范围，进而可求出答案；（2）由（1）知2k =，则0R x ∃∈，使不等式22x m x -+-≤成立，求出2x m x -+-的最小值，令()min22x m x -+-≤，即可求出实数m 的取值范围.【解析】解：（1）由322222,ab a b ab =++≥即23()2220ab ab -≥，2ab ≥23ab ≤-(舍去)，当且仅当1,2a b ==时取得“=，所以2ab ≥， 即k 的最小值为2.（2）由2k =，2()(2)2x m x x m x m -+-≥---=-，当()()20x m x --≤时，等号成立又0,x R ∃∈使不等式22x m x -+-≤成立，所以22,m -≤即222m -≤-≤，解得04m ≤≤，所以m 的取值范围是[0,4]．。
四川省泸州市泸县二中教育集团2021届高三毕业班上学期“泸州一诊”模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前四川省泸州市泸县二中教育集团2021届高三毕业班上学期“泸州一诊”模拟考试数学(文)试题一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知}2|{>=x x A ，{N |4}B x x =∈≤，则=B AA.}4{3，B. ,3,4}2{C.{|24}x x <≤D. }2|{>x x2.下列说法正确的是A.“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”B.“012,2>--∈∃x x R x ”的否定为“012,2<--∈∀x x R x ”C. “若y x >，则y x 22>”的逆否命题为真命题D. “1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件3．用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1sin x x x ≥+，命题:q x R ∃∈，1x e <，则下列为真命题的是A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∧5.已知sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（0απ≤≤），则)tan(απ-=A 3B 3C ．3D ．3- 6.已知圆柱的高为1，它的外接球的直径为2，则该圆柱的表面积A ．π)323(+ B ．π)343(+ C ．π29 D ．π)3223(+ 7.如图，设有圆C 和定点O ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时,它扫过的圆内阴影部分的面积S 时间t 的函数,它的图象大致是如图所示的四种情况中的哪一种？A ．B ．C ．D ．8.设m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中是真命题的是A.若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n ；B.若α∥β,β∥γ,m ⊥α,则m ⊥γ；C.若α∩β＝n ,m ∥n ,m ∥α,则m ∥β；D.若m ∥α,n ∥β,m ∥n ,则α∥β．。
2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷(文科)
2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=log2(x−2)}，B={x|x2≥9}，则A∩(∁R B)=()A. [2,3)B. (2,3)C. (3,+∞)D. (2,+∞)2.已知命题p：∀x≥0，e x≥1或sinx≤1，则￢p为()A. ∃x<0，e x<1且sinx>1B. ∃x<0，e x≥1或sinx≤1C. ∃x≥0，e x<1或sinx>1D. ∃x≥0，e x<1且sinx>13.已知α是第二象限角，sin(π−α)=513，则cos(π+α)=()A. −1213B. −513C. 513D. 12134.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2].若a2sinC=24sinA，a(sinC−sinB)(c+b)=(27−a2)sinA，则用“三斜求积公式”求得的S=()A. 3√1654B. 15√54C. 15√64D. 15√745.函数f(x)=x2+cosxx的图象大致为()A. B.C. D.6.角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35，则tanθ=()A. −43B. 43C. −34D. 347.已知函数f(x)=3x−(13)x，则f(x)=()A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数8.某品牌牛奶的保质期y(单位：天)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=a kx+b(a>0,a≠1)，该品牌牛奶在0℃的保质期为270天，在8℃的保质期为180天，则该品牌牛奶在24℃的保质期是()A. 60天B. 70天C. 80天D. 90天9.若0<a<b<1，x=a b，y=b a，z=b b，则x、y、z的大小关系为()10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积()A. √3πB. 2√3πC. 4√3πD. 12π11.将函数y=x−3x−2的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f(x)，则函数f(x)的图象与函数y= 2sinπx(−4≤x≤6)图象所有交点的横坐标之和等于()A. 12B. 4C. 6D. 812.若对于任意的0<x1<x2<a，都有lnx1x1−lnx2x2<1x2−1x1，则a的最大值为()A. 2eB. eC. 1D. 12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=ln(√x2+a+x)是奇函数，则a=______．14.曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，则a=________．15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_________m．16.已知函数f(x)=2x−2−x，若不等式f(x2−ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知向量m⃗⃗⃗ =(√3,1)，n⃗=(cosx,sinx)，f(x)=(m⃗⃗⃗ ⋅n⃗ )sinx．(1)求f(x)的最小正周期和最大值；318.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC．(1)求A；(2)若√2a+b=2c，求sin C．(a为实常数)19.已知函数f(x)=a−43x+1(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当f(x)为奇函数时，对任意的x∈[1,5]，不等式f(x)≥u恒成立，求实数u的最大值．3x20.如图，在多面体ABCDEF中，侧面ADEF是平行四边形，底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，顶点E在底面ABCD内的射影恰为点C．(Ⅰ)求证：BC⊥平面ACE；(Ⅱ)若CD=CE，求四面体ABEF的体积．21. 已知函数f(x)=x 2+2alnx ，g(x)=2x 2−1，其中a ∈R ．(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)=g(x)在[1,e](e 为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+cosαy =2+sinα，(α为参数)，直线C 2的方程为y =√3x ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|．23. 已知函数f(x)=|x −2|+|2x +1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)已知a 2+(b −1)2+(c +1)2=6，证明：−8≤2a −b +c ≤4．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|y=log2(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，B={x|x2≥9}={x|x≥3或x≤−3}，∁R B={x|−3<x<3}，则A∩(∁R B)={x|2<x<3}=(2,3)故选：B．根据条件求出集合A，B的等价条件，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题p：∀x≥0，e x≥1或sinx≤1，则￢p为：∃x≥0，e x<1且sinx>1，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】D【解析】解：因为α是第二象限角，sin(π−α)=513，可得sinα=513，所以cosα=−√1−sin2α=−1213，则cos(π+α)=−cosα=1213．故选：D．由已知利用诱导公式可得sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据诱导公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=24，则由a(sinC−sinB)(c+b)=(27−a2)sinA得a2+c2−b2=27，利【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=24sinA，得ac=24，由a(sinC−sinB)(c+b)=(27−a2)sinA，可得a(c−b)(c+b)=(27−a2)a，则c2−b2=27−a2，即c2+a2−b2=27，∴S=√14[242−(272)2]=15√74．故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题．先判断函数奇函数，再求出f(1)即可判断．【解答】解：f(−x)=(−x)2+cos(−x)−x =−x2+cosxx=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，故排除AD，当x=1时，f(1)=1+cos1>0，故排除B，故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35，∴sinθ=−35=√422，整理可得：y=−3，∴tanα=yx =−34．故选：C．根据任意角的三角函数的定义可求y的值，进而根据任意角的三角函数的定义可求tanθ的值．本题主要考查三角函数的定义的应用，比较基础．7.【答案】A【解析】【分析】由已知得f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，由函数y =3x 为增函数，y =(13)x 为减函数，结合“增”−“减”=“增”，可得答案． 【解答】解：函数f(x)的定义域为R ， ∵f(x)=3x −(13)x =3x −3−x ， ∴f(−x)=3−x −3x =−f(x)， 即函数f(x)为奇函数，又由函数y =3x 为增函数，y =(13)x 为减函数， 故函数f(x)=3x −(13)x 为增函数． 故选A ．8.【答案】C【解析】解：某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =a kx+b (a >0,a ≠1)， 该品牌牛奶在0℃的保质期为270天，在8℃的保质期为180天，∴{a 0k+b =270a 8k+b =180，解得a 8k =23， ∴该品牌牛奶在24℃的保质期：y =a 24k+b =(a 8k )3×a b =(23)3×270=80(天)． 故选：C ．由该食品在0℃的保鲜时间是270天，在8℃的保鲜时间是180天，列出方程组，求出a 8k =23，然后由此能出该食品在24℃的保鲜时间．本题考查该食品在24℃的保鲜时间的求法，考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】A【解析】解：因为0<a <b <1， 故f(x)=b x 单调递减； 故：y =b a >z =b b ， g(x)=x b 单调递增； 故x =a b <z =b b ，故选：A．根据指数函数与幂函数的单调性即可求解．本题考查了指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R=√(√2)2+12=√3，S=4⋅π⋅(√3)2=12π．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.【答案】A【解析】解：由题意得y=x−3x−2=x−2−1x−2=1−1x−2，函数y=x−3x−2的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f(x)，则f(x)=−1x−1，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且函数y=2sinπx的周期是2，且点(1,0)也是的对称点，在同一个坐标系中，画出两个函数的图象：由图象可知，两个函数在[−4,6]上共有12个交点，设其中对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=2×1=2，∴12个交点的横坐标之和为6×2=12．故选：A．由题意和图象平移法则化简解析式，求出函数y=2sinπx的周期、对称中心，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，由图象判断出交点的个数，根据对称性求出答案．本题考查函数交点个数以及数值的计算，函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，难度较大，综合性较强．12.【答案】C【解析】解：∵lnx1x1−lnx2x2<1x2−1x1，∴lnx1+1x1<lnx2+1x2，据此可得函数f(x)=lnx+1x在定义域(0,a)上单调递增，其导函数：f′(x)=1−(lnx+1)x2=−lnxx2≥0在(0,a)上恒成立，据此可得：0<x≤1，即实数a的最大值为1．故选：C．整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果．本题考查函数的单调性，导数研究函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．13.【答案】1【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(√x2+a+x)，则f(−x)=ln(√x2+a−x)，若f(x)为奇函数，则有f(x)+f(−x)=ln[(√x2+a+x)(√x2+a−x)]=lna=0，解可得：a=1，当a=1时，f(x)=ln(√x2+1+x)，为奇函数，符合题意，则a=1，故答案为：1．根据题意，求出f(x)的表达式，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)=0，变形计算可得a的值，验证即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．14.【答案】−3【解析】【分析】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，属于基础题．利用切线的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=(ax+1)e x，可得y′=ae x+(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，可得：a+1=−2，解得a=−3．故答案为−3．15.【答案】100√6【解析】解：设此山高ℎ(m)，则BC=√3ℎ，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得√3ℎsin30°=600sin45∘，解得ℎ=100√6(m)故答案为：100√6．设此山高ℎ(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．16.【答案】(−2,6)【解析】解：f(x)=2x−2−x=2x−12x，∵y=2x与y=−12x均为实数集上的增函数，∴函数f(x)为实数集上的增函数，又f(−x)=2−x−2x=−f(x)，∴f(x)为实数集上的奇函数，由不等式f(x2−ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立，得f(x2−ax+a)>−f(3)=f(−3)对任意实数x恒成立，则x2−ax+a>−3恒成立，即x2−ax+a+3>0恒成立，则△=(−a)2−4(a+3)=a2−4a−12<0，解得−2<a<6．故答案为：(−2,6)．由函数解析式可得函数f(x)为定义域上的增函数且为奇函数，把不等式f(x 2−ax +a)+f(3)>0对任意实数x 恒成立转化为x 2−ax +a +3>0恒成立，由判别式小于0求得实数a 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：(1)因为向量m ⃗⃗⃗ =(√3,1)，n⃗ =(cosx,sinx)， 所以f(x)=(m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ )sinx =√3sinxcosx +sin 2x =√32sin2x +1−cos2x 2=sin(2x −π6)+12， 故f(x)的最小正周期为T =2π2=π， 当2x −π6=2kπ+π2，k ∈Z 时，f(x)的最大值为32．(2)由f(B)=32，可得2B −π6=2kπ+π2，k ∈Z ，可得B =kπ+π3，k ∈Z ，由B ∈(0,π)，可得B =π3，因为b =4，△ABC 的周长为12，所以a +c =8，由余弦定理可得a 2+c 2−ac =16，即(a +c)2−3ac =16，所以ac =16，故S △ABC =12acsinB =12×16×√32=4√3．【解析】(1)由已知利用平面向量的坐标运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f(x)=sin(2x −π6)+12，进而利用正弦函数的性质即可求解．(2)由(1)及f(B)=32，可得B =kπ+π3，k ∈Z ，进而可求B 的值，a +c =8，由余弦定理可解得ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了平面向量的坐标运算，三角函数恒等变换，正弦函数的性质，余弦定理以及三角形的面积公式等知识的综合应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题． 18.【答案】解：(1)∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ，则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC ，∴由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3．(2)∵√2a +b =2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ，∴√62+sin(2π3−C)=2sinC ，即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ， 即√62+√32cosC −32sinC =0， 即sin(C −π6)=√22， ，则， ∴C −π6=π4，C =π4+π6， ∴sinC =sin(π4+π6) =sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．(1)由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，再由余弦定理求出A ．(2)由已知及正弦定理可得：sin(C −π6)=√22，可解得C 的值，即可得解． 19.【答案】解：(1)当a ≠2时，f(1)=a −1，f(−1)=a −3，故f(−1)≠f(1)，且f(−1)≠−f(1)，于是f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；当a =2时，f(x)+f(−x)=2a −43+1−43+1=2a −4=0，即f(−x)=−f(x)，故此时f(x)为奇函数；(2)由f(x)为奇函数，由(1)可得a =2，则f(x)=2−43+1，由不等式f(x)≥u 3x ，可得u ≤2⋅3x −4⋅3x3x +1，可令3x +1=t ，t ∈[4,244]，(因为x ∈[1,5])，故u ≤2(t −1)−4(t−1)t =2(t +2t)−6， 由于函数φ(t)=2(t +2t )−6的导数φ′(t)=2(1−2t 2)>0，可得φ(t)在[4,244]递增，所以φ(t)min =φ(4)=3，因此不等式f(x)≥u 3x 在x ∈[1,5]上恒成立时，u 的最大值为3．【解析】(1)讨论当a ≠2时，当a =2时，计算f(−x)和f(x)的关系，即可判断函数f(x)的奇偶性；(2)求得f(x)=2−43x +1，由题意可得u ≤2⋅3x −4⋅3x 3x +1，运用换元法和指数函数的单调性，以及对勾函数的单调性，求得此不等式右边函数的最小值，可得所求u 的最大值．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用分类讨论思想，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数、对勾函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：在平面ABCD 内，作CM ⊥AB ，垂足为M ，∵底面ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，AB =4，BC =CD =2，∴BM =12(AB −CD)=1，∴CM =√3，AM =3，AC =2√3，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，∵顶点E 在底面ABCD 内的射影恰为点C ，∴BC ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥CE ，又AC ∩CE =C ，∴BC ⊥平面ACE ．(Ⅱ)解：在AB 上取点N ，使得AN =CD ，连接CN ，EN ，∵AN//CD ，AN =CD ，∴四边形ANCD 是平行四边形，∴AD//CN ，AD =CN ，又四边形ADEF 是平行四边形，∴AD//EF ，AD =EF ，∴CN//EF ，CN =EF ．∴四边形CEFN 是平行四边形，∴CE//FN ，CE =EN =2．又CE ⊥平面ABCD ，∴FN ⊥平面ABCD ，∴FN ⊥AB ，FN ⊥CM ，∴S △ABF =12×4×2=4，∵CM ⊥AB ，CM ⊥FN ，FN ∩AB =N ，∴CM ⊥平面ABF ，∵CE//FN ，FN ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ，∴CE//平面ABF ，∴E 到平面ABF 的距离等于C 到平面ABF 的距离CM =√3，∴四面体ABEF 的体积为V E−ABF =13×4×√3=4√33．【解析】(I)利用勾股定理证明AC⊥BC，结合CE⊥BC即可得出BC⊥平面ACE；(II)证明CE//平面ABF，计算C到平面ABE的距离和△ABF的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查四棱锥的体积的计算，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当a=−1时，f(x)=x2−2lnx(x>0)，则f′(x)=2x−2x =2(x2−1)x，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增；(2)∵f(x)=g(x)，∴x2+2alnx=2x2−1，即x2−2alnx−1=0，令F(x)=x2−2alnx−1，由题意得只需函数y=F(x)在[1,e]上有唯一的零点，又F′(x)=2x−2ax =2(x2−a)x，其中x∈[1,e]，①当a≤1时，F′(x)≥0恒成立，F(x)递增，又F(1)=0，则函数F(x)在区间[1,e]上有唯一零点，②当a≥e2时，F′(x)≤0恒成立，F(x)递减，又F(1)=0，则函数F(x)在区间[1,e]上有唯一零点，③当1<a<e2时，当1≤x≤√a时，F′(x)<0，F(x)递减，又F(1)=0，故F(√a)<F(1)=0，则函数F(x)在区间[1,√a]上有唯一零点，当√a<x≤e时，F′(x)>0，F(x)递增，则当F(e)<0时，F(x)在[√a,e]上没有零点，符合题意，即e22−a−12<0，解得：a>e2−12，故当e2−12<a<e2时，F(x)在(√a,e]上没有零点，此时函数F(x)在区间[1,e]上有唯一零点，故实数a是取值范围是(−∞,1]∪[e2−12,+∞)．【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)令F(x)=x2−2alnx−1，由题意得只需函数y=F(x)在[1,e]上有唯一的零点，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2+cosαy =2+sinα(α为参数)，直角坐标方程为(x −2)2+(y −2)2=1，即x 2+y 2−4x −4y +7=0，极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−4ρsinθ+7=0直线C 2的方程为y =√3x ，极坐标方程为； (2)直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2−(2+2√3)ρ+7=0，设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2√3，ρ1ρ2=7，∴1|OA|+1|OB|=|ρ1+ρ2||ρ1ρ2|=2+2√37．【解析】本题考查三种方程互相转化的方法，考查极坐标方程的运用，属于中档题．(1)利用三种方程互相转化的方法，即可得出结论； (2)利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求1|OA|+1|OB|． 23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)≥3即为|x −2|+|2x +1|≥3，等价为{x ≥2x −2+2x +1≥3或{−12<x <22−x +2x +1≥3或{x ≤−122−x −2x −1≥3， 解得x ≥2或0≤x <2或x ≤−23，综上可得，原不等式的解集为(−∞,−23]∪[0,+∞)；(Ⅱ)证明：由柯西不等式可得[a 2+(b −1)2+(c +1)2]⋅[22+(−1)2+12]≥[2a −(b −1)+c +1]2， 当a 2=1−b =c +1时，上式取得等号．又a 2+(b −1)2+(c +1)2=6，则(2a −b +c +2)2≤36，即−6≤2a −b +c +2≤6，即为−8≤2a −b +c ≤4．【解析】(Ⅰ)由零点分区间法，以及绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； (Ⅱ)可由柯西不等式和不等式的解法，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式的证明，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
2021年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）
2021年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，2，3}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，2，3}B．{2，3}C．{0，2，3}D．{3}2．（5分）命题“∀x∈R，e x＞x”的否定是（）A．∃x∈R，e x＜x B．∀x∈R，e x＜x C．∀x∈R，e x≤x D．∃x∈R，e x≤x3．（5分）设a＝lnπ，b＝ln，c＝（），则下列关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b4．（5分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π5．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而没必要要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也没必要要条件7．（5分）实数a，b知足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是（）A．＝2B．＝1C．＝2D．8．（5分）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕AC 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．πB．πC．πD．π9．（5分）如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．4B．8C．16D．2010．（5分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9：25，则sin2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数的部份图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，取得的函数图象关于直线x＝对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（f（x））的值域相同，则a的取值范围为（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x﹣a），若f（2）＝0，则a＝．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，若a sin A＝c sin C+（a﹣b）sin B，则角C的大小为．15．（5分）已知函数f（x）＝，则f（x+1）﹣9≤0的解集为．16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有极点都在同一球面上，底面ABC是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于．三、解答题：共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第17～21题为必考题，每一个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生按照要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边别离是a，b，c，已知a＝6，．（1）若b＝5，求sin C的值；（2）△ABC的面积为，求b+c的值．18．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣+cos x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间[0，π]上是增函数，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA＝α，且．（Ⅰ）若，求x1的值；（Ⅱ）若∠AOB＝，求y＝x12+y22的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且∠BCD＝，BC⊥PD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PC＝PD；（Ⅱ）若底面ABCD是边长为2的菱形，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点B 到平面PCD的距离．21．（12分）已知函数．（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；（2）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．(二)选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C 相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|P A||PB|＝|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知概念在R上的函数f（x）＝|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若a＞1，b＞1，f（a）+f（b）＝4，求证：．2021年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，2，3}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，2，3}B．{2，3}C．{0，2，3}D．{3}【分析】先别离求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2，3}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）命题“∀x∈R，e x＞x”的否定是（）A．∃x∈R，e x＜x B．∀x∈R，e x＜x C．∀x∈R，e x≤x D．∃x∈R，e x≤x 【分析】直接利用全称命题是不是定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，e＞x”的否定是：∃x∈R，e x≤x．故选：D．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，大体知识的考查．3．（5分）设a＝lnπ，b＝ln，c＝（），则下列关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a＝lnπ＞1，b＝ln＜0，c＝（）∈（0，1）．∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】切化弦，结合二倍角公式，利用周期公式可得答案；【解答】解：函数＝＝＝．概念域知足：tan2x≠1，cos2x≠0，cos x≠0可得且．∴周期T＝故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，化简能力，比较基础．5．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值别离进行判断即可．【解答】解：因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A．当x＝1时，y＞0，所以排除C．因为，所以当x→+∞时，y→1，所以排除D．故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别，要充分利用函数的性质去判断．6．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而没必要要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也没必要要条件【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”必然有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，大体知识的考查．7．（5分）实数a，b知足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是（）A．＝2B．＝1C．＝2D．【分析】将指数式化为对数式，再倒过来相加即得．【解答】解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log2 10，b＝log5 10，∴＝lg2，＝lg 5∴+＝lg2+lg5＝lg（2×5）＝1，故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质．属基础题．8．（5分）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【分析】按照题意画出图形，结合图形求出将△ABC绕AC所在的直线旋转一周所围成几何体的表面积．【解答】解：△ABC中，∠ABC＝，AB＝3，BC＝4，如图所示；将△ABC绕AC所在的直线旋转一周，围成几何体是两个同底的圆锥，且底面圆的半径为r＝AD＝＝，则该几何体的表面积为S＝πr（l1+l2）几何体＝π××（3+4）＝．故选：A．【点评】本题考查了旋转体的表面积计算问题，是基础题．9．（5分）如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．4B．8C．16D．20【分析】通过三视图苹果几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图的几何体是四棱锥，底面的边长为二、6的矩形，四棱锥的极点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是4，所以几何体的体积为：×6×2×4＝16．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力，空间想象能力与计算能力．10．（5分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9：25，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系可得5sinα﹣5cosα＝3，两边平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵小正方形与大正方形面积之比为9：25，设小正方形的边长为3，则大正方形边长为5，由题意可得，小直角三角形的三边别离为5cosα，5sinα，5，∵4个小直角三角形全等，故有5cosα+3＝5sinα，即5sinα﹣5cosα＝3，平方可得sin2α＝，故选：D．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．11．（5分）已知函数的部份图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，取得的函数图象关于直线x＝对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由函数的图象的极点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得θ的最小值．【解答】解：按照函数的部份图象如图，可得A＝2.3，•＝﹣，∴ω＝1．再按照五点法作图可得1×+φ＝0，∴φ＝﹣，∴f（x）＝2.3sin（x﹣）．将函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得y ＝2.3sin（4x﹣）的图象；再将所得图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，可得y＝2.3sin（4x﹣4θ﹣）的图象．∵取得的函数图象关于直线x＝对称，∴4×﹣4θ﹣＝kπ+，即θ＝﹣+，k∈Z，令k＝2，可得则θ的最小值为，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部份图象求解析式，由函数的图象的极点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（f（x））的值域相同，则a的取值范围为（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．D．【分析】求出f（x）的单调区间和值域，从而得出f（x）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣+（a﹣1）x+a（a＞0），其概念域知足：x＞0．则f′（x）＝﹣ax+（a﹣1）（a＞0）令f′（x）＝0，可得x＝（舍去），x＝1．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，1）递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（1，+∞）递减；∴当x＝1时，f（x）取得最大值为；f（x））的值域为（﹣∞，]，∴函数f（f（x））的值域为（﹣∞，]，则≥1；解得：a．则a的取值范围为（0，]；故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x﹣a），若f（2）＝0，则a＝3．【分析】按照x＝2时，函数值为0，即可求解a的值；【解答】解：由题意，f（2）＝0，即log2（4﹣a）＝0可得4﹣a＝1，则a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是对数大体运算，难度不大，属于基础题．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，若a sin A＝c sin C+（a﹣b）sin B，则角C的大小为．【分析】利用正弦定理与余弦定理即可得出．【解答】解：a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B，由正弦定理可得：a2﹣c2＝ab﹣b2，即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得：cos C＝＝，又C∈（0，π），∴C＝．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）已知函数f（x）＝，则f（x+1）﹣9≤0的解集为[﹣4，+∞）．【分析】按照f（x）＝，求解f（x+1），分段求解可得解集；【解答】解：由f（x）＝，∴f（x+1）＝∵f（x+1）﹣9≤0即f（x+1）≤9当x≤﹣1时，可得2﹣x﹣1+1≤9，可得：x≥﹣4；当x＞﹣1时，可得≤9，显然恒成立综上可得f（x+1）﹣9≤0的解集为[﹣4，+∞）；故答案为：[﹣4，+∞）；【点评】本题考查的知识点是分段函数不等式的解法，属于基础题．16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有极点都在同一球面上，底面ABC是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于64π．【分析】由球心在正三角形ABC所在平面内，利用正弦定理得出正三角形的边长为，由三棱锥S﹣ABC的高的最大值为R，结合三棱锥的体积公式可计算出R的值，再利用球体的表面积公式可得出球的表面积．【解答】解：设外接球的半径为R，由于球心在三角形ABC所在平面，由正弦定理可得，所以，，三角形ABC的面积为，三棱锥S﹣ABC的体积的最大值为，解得R＝4，因此，球O的表面积为4πR2＝4π×42＝64π．故答案为：64π．【点评】本题考查球的表面积的计算，解决本题的关键主要在于对问题的转化，和找准三棱锥的体积取最大值时极点的位置，属于中等题．三、解答题：共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第17～21题为必考题，每一个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生按照要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边别离是a，b，c，已知a＝6，．（1）若b＝5，求sin C的值；（2）△ABC的面积为，求b+c的值．【分析】（1）由已知及同角三角函数大体关系式可求sin A的值，由正弦定理可得，进而由，可求，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式可求sin C的值；（2）利用三角形的面积公式可求bc＝20，利用余弦定理可得b2+c2＝41，联立可求b+c的值．【解答】解：（1）由，则，且，由正弦定理可得：，因为b＜a，所以，所以，可得：sin C＝sin（A+B）＝，（2），∴bc＝20，可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝，∴b2+c2＝41，可得：（b+c）2＝b2+c2+2bc＝41+40＝81，∴b+c＝9．【点评】本题主要考查了同角三角函数大体关系式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣+cos x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间[0，π]上是增函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，问题转化为a≥x+sin x，令g（x）＝x+sin x，按照函数的单调性求出函数的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a＝1时，，则f'（x）＝1﹣x﹣sin x，当x＝0时，f（0）＝1，f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为x﹣y+1＝0．（2）f'（x）＝a﹣x﹣sin x，因为f（x）在区间[0，π]上是增函数，所以f'（x）≥0在区间[0，π]上恒成立，令a﹣x﹣sin x≥0，即a≥x+sin x，令g（x）＝x+sin x，则g'（x）＝1+cos x≥0，所以g（x）在区间[0，π]上单调递增，所以g（x）max＝g（π）＝π，故实数a的取值范围是[π，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用和转化思想，是一道综合题．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA＝α，且．（Ⅰ）若，求x1的值；（Ⅱ）若∠AOB＝，求y＝x12+y22的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的概念，同角三角函数大体关系求得cos（+α）的值，再利用两角差的余弦公式，求得的值．（Ⅱ）先化简y＝x12+y22的解析式为，再按照正弦函数的概念域和值域求得它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数的概念有x1＝cosα，因为，，所以，，所以＝＝＝．（Ⅱ）若∠AOB＝，由题知x1＝cosα，，＝＝＝，，，，．所以y的取值范围是．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的概念，同角三角函数的大体关系，两角和差的三角公式，正弦函数的概念域和值域，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且∠BCD＝，BC⊥PD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PC＝PD；（Ⅱ）若底面ABCD是边长为2的菱形，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点B 到平面PCD的距离．【分析】（Ⅰ）过P作PE⊥BC，垂足为E，连接DE，推导出PE⊥平面ABCD，BC⊥平面PDE，从而DE⊥BC，由此能证明PD＝PC．（Ⅱ）设点B到平面PCD的距离为h，由V P＝V B﹣PCD，由此能求出能求出﹣BCD点B到平面PCD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）过P作PE⊥BC，垂足为E，连接DE，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，因为PD⊥BC，所以BC⊥平面PDE，所以DE⊥BC，因为，所以DE＝EC，因为△PED≌△PEC，所以PD＝PC．（Ⅱ）因为底面ABCD的边长为2，则，由（1）知PE⊥平面ABCD，即PE是四棱锥P﹣ABCD的高，所以四棱锥P﹣ABCD的体积为，所以，所以PC＝PD＝2，设点B到平面PCD的距离为h，∵V P＝V B﹣PCD，∴，﹣BCD所以，即点B到平面PCD的距离是．【点评】本题考查两线段相等的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知函数．（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；（2）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，令，问题转化为证明h（x）在区间上有唯一零点x0，按照函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）因为，所以，＝，（ⅰ）当﹣a≤0即a≥0时，所以x+a＞0，且方程g'（x）＝0在（0，+∞）上有一根，故g（x）在（0，1）上为增函数，（1，+∞）上为减函数，（ⅱ）当﹣a＞0即a＜0时，所以方程g'（x）＝0在（0，+∞）上有两个不同根或两相等根，（ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；（ⅱ）当a＜﹣1时，由f'（x）＞0得1＜x＜﹣a，所以f（x）在（1，﹣a）上是增函数；在（0，1），（﹣a，+∞）上是减函数；（ⅲ）当﹣1＜a＜0时，由f'（x）＞0得﹣a＜x＜1，所以f（x）在（﹣a，1）是增函数；在（0，﹣a），（1，+∞）上是减函数；（2）证明：因为，令，则，因为，所以，即h（x）在（0，+∞）是增函数，下面证明h（x）在区间上有唯一零点x0，因为，h（2a）＝ln2a+1，又因为，所以，，由零点存在定理可知，h（x）在区间上有唯一零点x0，在区间（0，x0）上，h（x）＝f'（x）＜0，f'（x）是减函数，在区间（x0，+∞）上，h（x）＝f'（x）＞0，f'（x）是增函数，故当x＝x0时，f（x）取得最小值，因为，所以，所以＝，因为，所以f（x）＞0，所以，f（x）＞0．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用和分类讨论思想，转化思想，老师的零点定理，是一道综合题．(二)选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|P A||PB|＝|AB|2，求a的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），得：ρ2sin2θ＝2aρcosθ（a＞0），所以曲线C的直角坐标方程y2＝2ax，因为，所以，直线l的普通方程为y＝x﹣2；（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入y2＝2ax，得：，设A，B对应的参数别离为t1，t2，则，t1t2＝32+8a，t1＞0，t2＞0由参数t1，t2的几何意义得|t1|＝|P A|，|t2|＝|PB|，|t1﹣t2|＝|AB|，由|P A||PB|＝|AB|2，得，所以，所以，即a2+3a﹣4＝0，故a＝1，或a＝﹣4（舍去），所以a＝1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知概念在R上的函数f（x）＝|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若a＞1，b＞1，f（a）+f（b）＝4，求证：．【分析】（1）要使不等式|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，再由m∈N*，能求出实数m的值．（2）先求出α+β＝3，从而＝，由此利用大体不等式能证明：．【解答】解：（1）因为|x﹣m|+|x|≥|（x﹣m）﹣x|＝|m|．…（2分）要使不等式|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．…（4分）因为m∈N*，所以m＝1．…（5分）证明：（2）因为α，β＞1，所以f（α）+f（β）＝2α﹣1+2β﹣1＝4，则α+β＝3．…（6分）所以．…（8分）（当且仅当，即α＝2，β＝1时等号成立）…（9分）又因为α，β＞1，所以恒成立．故．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意大体不等式性质的合理运用．。
2021年四川省泸州市高考数学一诊填空与解答题综合练习含答案(文科)
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα=．14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值．15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD= m．16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．（1）求a的值；（2）求f（x）≥0使成立的x的集合．18．（12分）设f（x）=ae x﹣cosx，其中a∈R．（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；（2）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin （A+B），它的面积S=c2．（1）求sinB的值；（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx．（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2．证明x1＜．请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=，∴1+2sinαcosα=，解得sinαcosα=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值3．【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3，若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去．综上a=3，故答案为：3．15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=150 m．【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=h，在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°，∴BC=h，AB=300．根据勾股定理得，3h2=h2+90000，∴h=150．即CD=150m．故答案为：150．16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（，）．【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，故答案为：（，）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．（1）求a的值；（2）求f（x）≥0使成立的x的集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a==，∴=，∴a=；（2）由（1）知，f（x）=，由f（x）≥0，得≥0，即，k∈Z．∴，k∈Z．∴f（x）≥0成立的x的集合为[]，k∈Z．18．（12分）设f（x）=ae x﹣cosx，其中a∈R．（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；（2）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ae x﹣cosx，其中a∈R．可得f′（x）=ae x+sinx，f′（0）=a，f（0）=a﹣1，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（a﹣1）=ax，即a（x+1）﹣（y+1）=0，切线恒过（﹣1，﹣1）点．（2）由（1）可知：f′（x）=ae x+sinx=0，函数f（x）在（0，）上存在极值，说明方程有解，可得a=，令h（x）=，h′（x）=，x∈（0，），当x∈（0，）时，h′（x）＜0，函数是减函数，当x∈（，）时，h′（x）＞0，函数是增函数，函数的最小值为：=，函数的最大值为：x=0时的函数值，即：h（0）=0．所以实数a的取值范围：[，0）．19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin （A+B），它的面积S=c2．（1）求sinB的值；（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B），∴sinA=2sinC，a=2c，∴S=sinB•c•2c=c2，故sinB=；（2）由（1）sinB=，cos，∴cosB=，sin∠ADB=，∴sin∠BAD=sin（B+∠ADB）=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB=×+×=，由=，得：=，解得：BD=c，故=3．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，由余弦定理可得AD==a，则BD⊥AD，由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，由AD=SD=a，在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a，△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，由SH⊥平面BCD，可得×a××a2=，解得a=1，由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD，SB===2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=a，则△SAB的面积为×SA×a=a=．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx．（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2．证明x1＜．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）f′（x）=x﹣a+=，（a＜0），△=a2﹣4a．当a＜0时，△＞0，f′（x）=0的根＜0，＞0x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x2）递减，（x2，+∞）上单调递增，（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0，由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2，令h（x）=g（x）﹣g（），（x＞2），h（x）=g（x）﹣g（）=）=﹣x++3lnx﹣ln2（x＞2），h′（x）=﹣，当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（）＜0，即g（x1）＜g（），因为g（x）在（0，1）上单调递增，所以x1＜，请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．【解答】解：（1）由=3，即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．∵y=﹣2+t，∴x=y+6=t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0．将（1）中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0，并整理得：t2﹣2（1+a）t+12=0，又△=12（1+a）2﹣4×12=12（a2+2a﹣3）＞0，解得：a＞1，设P、Q对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=2（1+a），t1•t2=12，由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=（t1+t2）2﹣4t1•t2=12（1+a）2﹣4×12，|MP|•|MQ|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，所以12（1+a）2﹣4×12=12，解得：a=﹣1，∴实数a的值﹣1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，可得或或，解得：﹣≤x≤；故不等式的解集是[﹣，]；（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a，由绝对值不等式的性质可得：||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．。
四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知函数，则（ ）A．B ．1C．D．2. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）A．B．C．D．3. 若函数同时满足：①定义域内任意实数，使得；②当时，恒有；③当时，恒有；则称函数为“函数”.下列函数中为“函数”的是（ ）A．B．C．D．4. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．48B ．16C ．24D ．85. 已知实数，满足，且，，则执行如图所示的程序框图，输出是（）A．B ．2C．D ．36. 若，（为虚数单位，是的共轭复数），则（ ）A ．2B．C．D ．67. (多选)给定下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若，分别是平面的法向量，则B ．若，分别是平面的法向量，则C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直8.已知数列的前项和满足，下列说法正确的是（ ）四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(2)四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题(2)三、填空题四、解答题A ．若首项，则数列的奇数项成等差数列B ．若首项，则数列的偶数项成等差数列C ．若首项，则D ．若首项，若对任意，恒成立，则的取值范围是9. 定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均值时，取较大整数），令函数，如：.则__________；_________.10. 为了筹办某运动会开幕式，导演组从某高校的6名男生代表和6名女生代表中选取8人加入开幕式志愿者团队．在志愿者招募的过程中，为了平衡男女比例，要求本次选取的8人中至少有3名女生，则选取的8人中男女生人数均等的概率为______．11. 已知满足对且时，（为常数），则的值为__________．12. 已知函数f(x)=f'(-1)x 2+3x-4,则f'(1)=____.13. 已知函数（）(1)当时，比较与的大小；(2)若存在两个不同的零点，，且，证明：.14. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．(1)证明：为等腰三角形；(2)若，，求的面积．15.记为数列的前项和，已知的等差中项为.(1)求证为等比数列；(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.16. 已知定义在R上的奇函数满足．(1)求实数a 的值；(2)当时，用定义证明函数为单调递增函数；(3)当时，解不等式．。
泸县四中2021届高三上学期一诊模拟考试 文科数学试题(含答案)
泸县四中2021届高三上学期一诊模拟考试文科数学试题第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设集合(){}lg 1A x y x ==-，12xB y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =A ．()0,∞+B ．[)1,0-C ．()0,1D ．(),1-∞2．下列函数是偶函数，且在()0,∞+上是增函数的是A ．()ln f x x =B ．()12f x x=C ．()1f x x x=-D ．()3xf x = 3．函数()32ln1y x x x =++-的图象大致为A ．B ．C ．D ．4．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70°，80°，则A 、B 的高度差约为 A ．10米 B ．9.72米C ．9.40米D ．8.62米5．若1451314,log 12,log 9a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．已知a ,b R ∈,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．48．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了 A ．10%B ．30%C ．50%D ．100%9．设函数23()cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 10．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，给出的下列命题中，正确的个数为①////a c b c ⎫⇒⎬⎭a∥b；②////a b γγ⎫⇒⎬⎭a∥b；③////c c αβ⎫⇒⎬⎭α∥β；④////αγβγ⎫⇒⎬⎭ α∥β.A ．1B ．2C ．3D ．411．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为A ．28727π B ．2879πC ．282127π D ．28219π 12．已知关于x 不等式x ae x b ≥+对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则ab的最小值为 A ．12B ．1C ．2D ．2第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届四川省泸州市高三上学期一诊考试
数学（文）参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．
3．解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数,选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
13．3； 14．0； 15.4
3-； 16
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）因为2()2cos 12x f x x =-+
cos x x -
····················· 1分 2sin()6x π
=-, ····················· 2分
因为()()6f παα=+,所以sin()6παα-=, ······· 3分。