刚体力学基础 动量矩

m
m 2mr dm =σds = 2 2πrdr = 2 dr πR R
J = ∫ r dm = ∫ 0 0
m 2
R
2m 3 m 2 r dr = R 2 R 2
J 与转轴的位置有关 z M O
J =∫ 0
L 2
z M x O
L/ 2
L dx
L dx
1 2 ML 12
x
1 2 x λdx = ML 3
的均匀细直棒， 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动， 面内转动，初始时它在水平位置 求 它由此下摆 θ 角时的 ω O
1 解 M = mglcosθ 2
由动能定理
θ θ
•
m
l
x
l A = ∫ Mdθ = ∫ mgcosθdθ 0 0 2 1 2 lmg 1 2 J = ml = sinθ − 0 = Jω − 0 3 2 2 3gsinθ 1/ 2 3gsinθ 2 ω =( ) ω = l l
J = ∑∆mk rk 质量不连续分布
2 k
r
J = ∫ r2dm
V
质量连续分布
确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置 确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置 :(1)
J 与刚体的总质量有关 例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z L 2 L 2M 1 2 J = ∫ x λdx = ∫ x dx = ML 0 0 L 3 M O J铁 > J木 dx
Tr = Jα
Fr 98×0.2 = = 39.2 rad/s2 J 0.5
rO
T′ F
α=
mgr α= J + mr2
两者区别
T
a = rα
98×0.2 = = 21.8 rad/s2 0.5 +10×0.22
mg
例 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。 系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。
• 根据功的定义
= F rdθ τ
= Mdθ
r r dA = F ⋅ dr = Fcosθds
O
ω
dθ
力矩做功的微分形式） （力矩做功的微分形式）
r r dr r' r .θ r P
v F
对一有限过程
A = ∫ Mdθ
θ1
θ2
若M=C
A = M(θ2 −θ1)
讨论 (1) 合力矩的功
A = ∫ Mdθ = ∫ (∑Mi )dθ = ∑∫ Midθ = ∑A i θ θ θ
k k k
∑Fτ r + ∑ f τ r
内力矩之和为0 内力矩之和为0
= (∑mk rk ) α
2
转动惯量 J
刚体的转动定律） 刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律）
dω M = Jα = J dt
与牛顿第二定律比较： 与牛顿第二定律比较： M →F, J →m,α →a
2.3 转动惯量( rotational inertia, moment of inertia) 定义
θ = f (t) (运动学方程) 运动学方程) dθ ω = = f '(t)
dt
dω d2θ α = = 2 = f "(t) dt dt
P
Байду номын сангаас
θ
II
当 α =c
ω = ω0 +α t 1 θ −θ0 = ω0 t + α t 2 2 2 ω2 −ω0 = 2α(θ −θ0 )
3.1 绕定轴转动刚体的动能(rotational kinetic energy of a rigid body) 绕定轴转动刚体的动能
∆m , ∆m2,⋅ ⋅ ⋅, ∆mk ,⋅ ⋅ ⋅, ∆mN 1 r r r r r , r2 ,⋅ ⋅ ⋅, rk, ⋅ ⋅⋅, rN 1 r r r r v1,v2 ,⋅ ⋅ ⋅,vk ,⋅ ⋅ ⋅,vN ∆mk 的动能为 1 2 1 Ek = ∆mkvk = ∆mk rk 2ω2 2 2
r r
A
r F ⊥
2.2 刚体绕定轴转动微分方程
r r r 第 k个质元 F + fk = m ak 个质元 k k
切线方向
rk
fk
v F k
Fkτ + fkτ = mk akτ
在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和
k
Fτ rk + fkτ rk = mk akτ rk = mk rk ⋅ rk α k
r r r r r LO = r × P = r ×mv
其大小 S
ϕ
r LO
r P
r r
O
LO = rpsinϕ = mrvsinϕ
特例： 特例：质点作圆周运动
惯性参照系
L = rp = mrv
质点的动量矩与质点的动量及位矢( 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关 位矢
例 一质点 ，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考 一质点m，速度为 ，如图所示， 此时m 点,此时 相对三个点的距离分别为 1 、d2 、 d3 此时 相对三个点的距离分别为d 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 解
α
m r
T 1
T 1
T2
T2 m2
m2g
m1
mg 1
(m1 − m2 )gt
a1 = a2 = a = rα
(m1 − m2 )g
α=
m + m + 1 mr 1 2 2
ω = ω0 +α t =
m + m + 1 mr 1 2 2
3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
2.力对点的力矩 2.力对点的力矩
r Mo
O .
r r r MO = r × F
大小 MO = rF sinα 指向由右螺旋法则确定 指向由右螺旋法则确定 右螺旋法则
r F
r r
α
z
力对定轴力矩的矢量形式
r F //
r F
r r r MZ = r × F ⊥
力对轴的力矩只有两个指向） （力对轴的力矩只有两个指向）
此题也可用机械能守恒定律方便求解
•C mg
θ
4 动量矩(angular momentum)和 动量矩守恒定律(law of conservation of angular momentum)
4.1 质点动量矩 (角动量 定理和动量矩守恒定律 角动量)定理和动量矩守恒定律 角动量 1. 质点的动量矩 对O点) 质点的动量矩(对 点
与质点的匀加速直 线运动公式相似
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 任意一点都绕同一轴作圆周运动 , 且 ω，α 都相同
v = rMω
z ω,α r
v
O
刚体
rM • M
θ
an = rMω2
dv aτ = = rMα dt
2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
2.1 力矩(torque) 力 改变质点的运动状态 力矩 改变刚体的转动状态 质点获得加速度 刚体获得角加速度
LA = d1mv LB = d1mv
A
d1
m r v
d3 C
d2 B
LC = 0
2. 质点的动量矩定理
r r r r ×F = M
r r v ×m = 0 v
r r r dL d r r d(mv) dr r r = (r ×mv ) = r × + ×mv dt dt dt dt r r dL r r 质点动量矩定理的微分形式) 质点动量矩定理的微分形式 M= Mdt = dL (质点动量矩定理的微分形式 dt
L x
J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J = ∫ R dm = ∫ R2λdl 0 0
L 2 2πR
dl m R O
= R λ∫ dl = 2πR3 0
2 2πR
m = mR2 2πR
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
R dr r O
1. 力 F 对z 轴的力矩
在垂直于轴的平面内) (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r r
r F //
Mz (F) = Fr sinα
r F
r F τ r F n
=Fh
= Fτ r
(力不在垂直于轴的平面内) 力不在垂直于轴的平面内)
h α
A
r F⊥
Mz (F) = F r sinα = F h = Fr ⊥ ⊥ τ
（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零） 设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。 滑轮转动角速度随时间变化的规律。 为研究对象, 解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析 物体 m1： m g −T = m a1 1 1 1 物体 m2： T2 − m2 g = m2a2 1 2 滑轮 m： T r −T2r = Jα = mr α ： 1 2
∫t
说明
t2
r r r (质点动量矩定理的积分形式 质点动量矩定理的积分形式) M ⋅ dt = L2 − L (质点动量矩定理的积分形式) 1
1
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
冲量矩是质点动量矩变化的原因 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
1 1
θ2
θ2
θ2
1
(2) 力矩的功就是力的功。 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 内力矩作功之和为零。
i
i
i
3.3 转动动能定理(rotational kinetic energy theorem) —— 合力矩功的效果 对于一有限过程
θ2
1
dω 1 2 dA= Mdθ = (J )dθ = Jωdω = d( Jω ) = dEk dt 2
A = ∫ dA = ∫ θ ω
ω2
1
1 2 1 d( Jω ) = Jω22 − 1 Jω12 = ∆Ek 2 2 2
绕定轴转动刚体在任一过程中转动动能的增量， 绕定轴转动刚体在任一过程中转动动能的增量，等于在该过程中作用在刚 体上所有外力矩所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的—— ——动能定理 体上所有外力矩所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理
J = ∫ L/ 2x2λdx = −
平行轴定理(parallel axis theorem)
z' L
Jz' = Jz + ML
2
z M C
Jz' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 Jz ⇒ 刚体绕通过质心的轴
L ⇒ 两轴间垂直距离
2.4 转动定律的应用举例 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以 的拉力， 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， 见图 见图) 不计， (见图 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量 =98 N的物体挂在绳端， 如以重量P 的物体挂在绳端， 的物体挂在绳端 试计算飞轮的角加速度 解 (1) Fr = Jα (2) mg −T = ma
刚体的总动能
z
ω
O
r rk
r vk
P
• ∆mk
1 1 1 2 E = ∑Ek = ∑ ∆mk rk ω2 = ∑∆mk rk 2 ω2 = Jω2 2 2 2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半
(
)
3.2 力矩的功(work done by torque) 力的累积过程——力矩的空间累积效应 力矩的空间累积效应 力的累积过程
2. 刚体绕定轴的转动(rotation of a rigid body around a fix axis) 刚体内各点都绕同一直线(转轴) 圆周运动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度
_____
刚体转动
z
A′′
A
B′
A′
B′′
B
平动的特点: 平动的特点:
r r rB = rA + AB
r r ∆rA = ∆rB r r vA =vB
z M
r rB r rA
B B 1 A
B2
B3
A 3
Bn A n
A 1
A 2
r r aA = aB
x
O
y
刚体中各质点的运动情况相同, 刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动
刚体力学基础 动量矩
本章内容： 本章内容：
1 刚体和刚体的基本运动 2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 4 动量矩和动量矩守恒定律
1 刚体和刚体的基本运动
1.1 刚体(rigid body)的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 特殊的质点系， 形状和体积不变化 在力作用下， 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动(translation of a rigid body) 刚体运动时， 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行