实对称矩阵相似矩阵
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线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
5.4 对称矩阵的相似矩阵
由 于 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 线性方程组 (A −
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
1 2 1 3. 设 2为非奇异矩阵A的一个特征值， 则矩阵( A ) 有一个 3 特征值等于( ).( 93年) 4 3 1 1 答案：B ( A ) ， ( B ) ， (C) ， ( D) . 3 4 2 4 4. 向量组 1 (1， 1，， )， 2 (0，，， )， 3 ( 3，，，4)， 2 4 31 2 0 7 1 4 (1， 2，， )， 5 ( 2，，， )的极大线性无关组为( ).(94年) 2 0 1 5 10 ( A ) 1， 2， 3，B ) 1， 2， 4，C) 1， 2， 5，D) 1， 2， 4， 5 . 答案： . ( ( ( B
第五章 相似矩阵
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
1. 实对称矩阵的性质：
(1) 实对称矩阵的特征值必为实数. 证: 设为对称矩阵 的特征值 对应的特征向量为, A , x 则 Ax x , x 0. Ax x, A x x， A x x,
( A x )T ( x )T , x T A x T , x T Ax x T x , x T x x T x , ( ) x T x 0.
( 3) 设A为 n阶对称矩阵, 是A的 k重特征值, 则R(E A) n k , 从而对应 恰有k个线性无关的特征向量.
2. 实对称矩阵相似对角化 ：
(1) 实对称矩阵必与对角矩 阵相似， 即可对角化. 如果把对应特征值i ( i 1，， ，)的k i 个线性无关的特征向量 2 r pi 1， i 2， ， iki p p ei 1，i 2， ，iki ， e e 正交规范化得 则ei 1，i 2， ，iki 为i的两两正交的单位特征 e e 向量. 令P (e11，12， ，rk r )， 则P为正交矩阵，且P 1 AP ， e e 其中为对角矩阵， 且该矩阵主对角线上元 素为A的特征值. ( 2) 设A为实对称矩阵， 则存在正交矩阵P， P 1 AP为对角矩阵. 使
相似矩阵
k 1 k 2 k m
(k = 1,2,L, m − 1)
把上列各式合写成矩阵形式，得
m ⎛ 1 λ1 L λ1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ m −1 ⎜ 1 λ2 L λ2 ⎟ ( x1 p1 , x2 p2 ,L, xm pm )⎜ ⎟ = (0,0,L,0 ) M ⎟ ⎜M M ⎜1 λ L λm − 1 ⎟ ⎝ m m ⎠
5.1 方阵的特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵的相似矩
第五章
相似矩阵
从花斑猫头鹰说起
一九九0年六月，美国鱼类和野生动物管理局终 于将花斑猫头鹰列为濒危物种，并据此而划出了总 数达六百九十万英亩的花斑猫头鹰栖息保护区。做 出这一决定的根据纯粹是科学性的。 八十年代伐木业的增长正使这个地区的古代森林急 剧减少，不仅严重威胁着花斑猫头鹰的生存，甚至 也威胁到这个地区的生态环境。
~
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 2 ⎟, ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
得基础解系
⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ p2 = ⎜ − 2 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝
所以k
p (k ≠ 0)是对应于λ = λ
2 2
3
= 1的全部特征向量 .
⎛ − 2 1 1⎞ ⎟ ⎜ 例３ 设 A = ⎜ 0 2 0 ⎟ ,求A的特征值与特征向量． ⎜ − 4 1 3⎟ ⎠ ⎝
数理生态学家们为了搞清楚花斑猫头鹰的数量动 态，他们把猫头鹰的生命周期划分为三个阶段： 雏鸟期(1岁以前)，接近成年期(1-2岁)，成年期 (2岁以后)。 猫头鹰在未成年期或成年期寻找配偶并终身生活 在一起大约20年，每一对需要约4平方英里生活领 地，最危险的时刻在雏鸟离开巢穴时。要想存活 并成长接近成年，雏鸟必须能够找到新的生活空 间及配偶。
(k = 1,2,L, m − 1)
把上列各式合写成矩阵形式，得
m ⎛ 1 λ1 L λ1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ m −1 ⎜ 1 λ2 L λ2 ⎟ ( x1 p1 , x2 p2 ,L, xm pm )⎜ ⎟ = (0,0,L,0 ) M ⎟ ⎜M M ⎜1 λ L λm − 1 ⎟ ⎝ m m ⎠
5.1 方阵的特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵的相似矩
第五章
相似矩阵
从花斑猫头鹰说起
一九九0年六月，美国鱼类和野生动物管理局终 于将花斑猫头鹰列为濒危物种，并据此而划出了总 数达六百九十万英亩的花斑猫头鹰栖息保护区。做 出这一决定的根据纯粹是科学性的。 八十年代伐木业的增长正使这个地区的古代森林急 剧减少，不仅严重威胁着花斑猫头鹰的生存，甚至 也威胁到这个地区的生态环境。
~
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 2 ⎟, ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
得基础解系
⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ p2 = ⎜ − 2 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝
所以k
p (k ≠ 0)是对应于λ = λ
2 2
3
= 1的全部特征向量 .
⎛ − 2 1 1⎞ ⎟ ⎜ 例３ 设 A = ⎜ 0 2 0 ⎟ ,求A的特征值与特征向量． ⎜ − 4 1 3⎟ ⎠ ⎝
数理生态学家们为了搞清楚花斑猫头鹰的数量动 态，他们把猫头鹰的生命周期划分为三个阶段： 雏鸟期(1岁以前)，接近成年期(1-2岁)，成年期 (2岁以后)。 猫头鹰在未成年期或成年期寻找配偶并终身生活 在一起大约20年，每一对需要约4平方英里生活领 地，最危险的时刻在雏鸟离开巢穴时。要想存活 并成长接近成年，雏鸟必须能够找到新的生活空 间及配偶。
16实对称矩阵的相似对角化-线性代数重点
实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：,),,,(,)(21T n n n ij a a a a A ==⨯αTA A A A ==为实对称阵，故由于性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
,的特征值阶实对称矩阵是设A n λ（1）两端取转置，得：T T T A αλα =α两端同时右乘ααλααλT T =⇒ λλααα=∴≠=02T 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。
对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。
T n a a a ),,,(21 =α，即是对应的特征向量αλα =A ,两边取共轭，得：)1(αλα =A T T A αλα =⇒ααλααT T A =⇒0)(=-⇒ααλλT的特征向量。
的属于特征值征向量，求的特的属于特征值是），，（），，（个特征值，的是三阶实对称方阵，，例：设11122,111311121-==-A A A TT αα,13213T x x x A ），，（的特征向量为的属于特征值设=-α正交，与213,ααα ⎩⎨⎧=++=++⇒0220321321x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→100111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→100011⎩⎨⎧=-=⇒0312x x x T ），，（0113-=⇒α0,,2313==∴）（）（αααα性质3：实对称矩阵A 的k 重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k 个。
由此推出：实对称矩阵A 一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化：定理1：实对称矩阵A 一定与对角矩阵相似。
为对角阵。
，使求正交阵为对角阵。
，使求可逆阵，：设例AQ Q Q AP P P A 11)2()1(2424222211--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=λλλλ-------=-242422221E A 2)2)(7(-+-=λλ定理2：实对称矩阵A 一定与对角矩阵正交相似。
第二节实对称矩阵的相似对角化（精品）
−3 1
1 −3
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎣
x x
3 4
⎥ ⎥ ⎦
⎢0⎥
⎢⎣0
⎥ ⎦
解得基础解系
ζ1 = [1 −1 −1 1]′
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时，有
⎡ 1 1 1 −1⎤⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎢
1
1 −1
1⎥⎥
⎢⎢x
2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢ 1 −1 ⎢⎣−1 1
1 1
1⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
⎡ 2⎤
p2 =
ζ2 ζ2
⎢⎥
=
⎢ ⎢
⎢
2⎥
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ 1⎤
p3 =
ζ3 ζ3
=
1 6
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥
,
⎢⎥
⎣ 0⎦
⎡− 1⎤
p4 =
ζ4 ζ4
=
1
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
2 3⎢1⎥
⎢⎥
⎣3⎦
令
P = [p1 p2 p3 p4 ]
则P是正交阵，且满足
⎡− 3
⎤
⎢ P−1AP = Λ = ⎢
ζ3
=
ξ2
−
[ξ2 , ζ2 [ζ 2 , ζ2
] ]ζ2
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥
−
1 2
⎢⎢1⎥⎥ ⎢0⎥ ⎢⎥
=
1 2
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎥
⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣ 0⎦
ζ4
=
ξ3
−
[ξ3 [ζ 3
, ,
ζ ζ
3 3
] ]
ζ
3
ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵
2 1 1 2 ( 1)( 3)
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
福Hale Waihona Puke 州 大 学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
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3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
实对称矩阵的相似矩阵
4 0 0 | A–E |= 0 3 1 = (2–)(4–)2=0
0 1 3
得A的特征值1=2, 2=3=4.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=2,由(A–2E)x=0, 得
2x1
x2
x3
0 0
,
得基础解系
x2 x3 0
0
1
1 1
对2=3=4,由(A–4E)x=0, 得
1. 求A的特征值1, 2 , ···, s ; 2. 由(A–iE)x=0求出i 的ri 个特征向量; 3. 将i 的ri 个特征向量正交化;
4. 将所有特征向量单位化.
例1:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为
对角阵.
A022
2 1
2
020.
解: 第一步, 求A的特征值.
2 2 0 | A–E |= 2 1 2 =(4–)(–1)( +2)=0
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的性质
说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均 指实对称矩阵.
定理5: 实对称矩阵的特征值为实数. 证明: 设向量x(x0)为实对称矩阵A的对应复特征
值的特征向量, 即 Ax =x,
用 表示的共轭复数, 用 x表示x的共轭复向量.
AxAx A xxx.
0 2
得A的特征值1=4, 2=1, 3=–2.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=4,由(A–4E)x=0, 得
22xx11
2x2 3x2
2x3
0 0,
2x2 4x3 0
得基础解系 1
2 2 1
.
对2=1,由(A–E)x=0, 得
第五篇第四节实对称矩阵的相似矩阵
2 ( p1' p2 ).
(1 2 )( p1' p2 ) 0.
1 2 , 即 1 2 0.
p1' p2 0. 即 p1与 p2 正交. 证毕.
3
返回
定理八. 设是实对称阵A的k重特征值,
那么对应与的所有特征向量中, 其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
推论. 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
2
返回
性质2.设1 , 2是 实 对 称 阵A的 两 个 特 征 值, p1, p2 是相应的特征向量, 若1 2 ,
则 p1与 p2 正交.
证明: Ap1 1 p1, Ap2 2 p2 .
1( p1' p2 ) (1 p1') p2 ( Ap1 )' p2
( p1' A') p2 p1'( Ap2 ) p1 '(2 p2 )
求出A的特征向量.
对于 1 2, 解方程组 (2E A)X 0.
2
2E
A
0
0
0 1 1
0
1 1
r1
(
1 2
)
r3 r2
1
0 0
0 1 0
0
1. 0
取同解方程组:
x1 x2
0 x3
0.
7
返回
x1 x2
0 k1
x3 k1
x1 0
x2
k1
1
.
x3 1
8
返回
0
基础解系:
1
1
.
1
对于 2 3 4, 解方程组 (4E A)X 0.
0
4E A 0 0
0 1 1
实对称矩阵相似对角化的条件
实对称矩阵相似对角化的条件好嘞，今天我们来聊聊一个有点儿学术气息的话题，实对称矩阵的相似对角化条件。
听起来是不是有点深奥？别担心，我会把它说得轻松有趣。
想象一下，这个矩阵就像一个性格各异的小伙伴，咱们想把它打扮得更好看一点，搞个相似对角化，哇，那可是个大工程呢！啥是实对称矩阵？简单说就是那种左右对称的矩阵。
就好比你照镜子，镜子里映出的你跟真实的你一模一样。
对称矩阵在数学里可是个大明星，常常出现在各种公式和定理里。
它的特性让人眼前一亮，想想看，生活中有多少事物都是对称的？像是蝴蝶的翅膀，花瓣的排列，哎，都是那么和谐。
相似对角化又是什么呢？这就像是我们把一个小伙伴的个性用不同的方式展现出来，反正就是希望能把它变得更简洁，更容易理解。
对于实对称矩阵来说，能够相似对角化的关键就在于它的特征值和特征向量。
特征值就像是这个小伙伴的核心特质，而特征向量则是它在不同情况下展现出来的样子。
你可能会问，怎么样的实对称矩阵才能被相似对角化呢？嘿嘿，这就来了！一个实对称矩阵如果想要顺利地完成相似对角化，它必须得满足几个条件。
特征值得是实数，别搞成虚数了，那可就麻烦了。
特征向量要彼此正交，也就是在空间中不相交，这样才能保证矩阵的各个部分都能独立开来，各自发挥自己的优势，齐心协力。
说到特征向量的正交性，这里就有一个经典的故事。
想象一下几位朋友在舞会上，大家跳得热火朝天，然而这几位跳舞的朋友之间得有点距离，免得碰到一起，那可真是尴尬得要命。
这就是正交性的重要性，只有保持足够的“社交距离”，才能让每个朋友的舞步尽情展现。
这样一来，整个舞会看起来就特别和谐美好。
好啦，再来聊聊实对称矩阵的另一个特点。
你知道吗？每个实对称矩阵的特征值都可以被重复，也就是说，它们可能会出现多次。
这就好比一个人身上有很多优点，大家都争着想要学习他的长处。
只要特征值能重复出现，那特征向量也可以被相应地多次构造出来。
这个过程就像组队玩游戏一样，人人都有机会参与，形成一个大团队。
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
0 − 1 1 0 0 0 . 0 0 0
0 ⋅ x1 − x2 + x3 = 0.
9
返回
x1 = k2 x2 = k 3 x3 = k 3
x1 1 0 x = k 0 + k 1 . ⇒ 2 3 2 0 1 x3 1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . 基础解系: 基础解系 0 1
4
返回
二、求正交矩阵的方法
求正交矩阵的具体步骤为: 求正交矩阵的具体步骤为
1. 求出n阶实对称阵A的所有特征值λ1 ,L , − A) x = 0, 求出A
的线性无关的特征向量 p1 , p2 , L pn
3. 将 p1 , ,pn 正交规范化得 e1 ,L , en ; L 4. 写出正交矩阵 P = (e1 ,L , en ).
12
返回
0 1 0 0 − 1 − 1 . 0 0 0
x1 = 0 取同解方程组: 取同解方程组 x2 + x3 = 0.
7
返回
x1 = 0 ⇒ x2 = k1 x3 = − k1
x1 0 x = k 1 . 1 2 − 1 x3
§4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的特征值的有关性质 二、求正交矩阵的方法
1
返回
一、实对称矩阵的特征值的有关性质
a11 a 12 对称阵 A = L a 1n a12 L a1n a22 L a2 n ⇔ A' = A. L L L a 2 n L a nn
5
返回
4 0 0 例. 设 A = 0 3 1 , 求一个正交阵 P , 0 1 3 使 P −1 AP = Λ . 第一步: 求出A的所有特征值 的所有特征值. 解: 第一步: 求出 的所有特征值. A的特征多项式 的特征多项式: 的特征多项式 0 0 λ −4 λE − A = 0 λ − 3 − 1 = (λ − 2)(λ − 4)2 . 0 −1 λ − 3
实对称矩阵的相似对角化.ppt
1 (
2, 5
1 5
,0)T ，2
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
将3
(1，2，
2)T
单位化，得：3
（1 ，2 ， 33
2）T . 3
2 2 1
5 3 5 3
Q 1
2
3
1 5
0
4 2
35 5
35
3 2
3
Q 1
AQ
2
2
7
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值 1, 2 ,, m ;
实对称矩阵的相似对角化
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵 A的特征值, (a1, a2,, an )T
是对应的特征向量 ,即A ，两边取共轭，得： A (1) A (aij )nn , (a1, a2,, an )T ,
由于A为实对称阵，故 A A AT （1）两端取转置，得：
反之，若 A与对角阵相似且已知 A的特征值及特征向 量，也就是已知 P与，也可以求出矩阵 A. A PP1
例1：设三阶方阵 A满足Ai ii ,i 1,2,3.
1 (1,2,2)T ,2 (2,2,1)T ,3 (2,1,2)T ,求A. Ai ii , i 1,2,3. 1,2 ,3是A的属于特征值 1,2,3的特征向量。
(iv) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个
n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时
Q 1AQ QT AQ 为对角阵。
EX
:
பைடு நூலகம்
设A
2 2
用相似变换将实对称阵的对角化
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下页
返回
对应特征值λ 根据定理 5 及定理 7 知，对应特征值 i ( i = 1, 2, …, s ) , 恰有 ri 个线性无关的实特征向量，把它们 个线性无关的实特征向量， 正交并单位化， 个单位正交的特征向量， 正交并单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量，由 ( r1+ r2 + … + rs = n ) , 知这样的特征向量共可得 n 个。 按定理 6 知，对应于不同的特征值的特征向量正 个单位特征向量两两正交。 交，故这 n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为 是正交阵， 列向量构成的矩阵 P 是正交阵，并有
1 r r p 单位化后可得 2 = 0, p3 = 0 0 1 . 2 1 2
上页
下页
返回
1 0 r r r 1 于是得正交阵 P = ( p1 , p2 , p3 ) = 0 2 − 1 0 2
0 0 r r 1 p ξ 得基础解系 1 = 1 , 单位化后可得 1 = . − 1 2 − 1 2
上页 下页 返回
r r 当λ2 = λ3 = 4时, 解方程组 A − 4E) x = 0,由 ( 0 0 1 − 1 0 0 A − 4E = 0 − 1 1 ~ 0 0 0 , 0 1 − 1 0 0 0 1 0 r r r r , ξ ξ 得基础解系 2 = 0,ξ3 = 1, 此时 2与ξ3正好正交 0 1
上页 下页 返回
= λ3 (λ − 4a) = 0,
故得特征值 λ1 = 4a, λ2 = λ3 = λ4 = 0.
5.4实对称矩阵的相似矩阵
1
1=5: 基础解系: P1 1
1 1
1
2=3=
1
:
基础解系:
P2
1
,
P3
0
0
1
将P2,P3正交化: 取2=P2
1
3
P3
[ 2 , P3 ] [2, 2]
2
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
2
1
将P1,2,3单位化,得:
e1
1
3 1
3
,
e2
那么对应于的所有特征向量中,其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
故n阶实对称矩阵必有n个线性无关的
特征向量.
推论 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
定理九 若A为n阶实对称阵,则总有正交阵
P,使
1
P1AP==
2
n
其中1,2,,n是A的特征值.
二、求正交矩阵的方法
求正交矩阵的具体步骤为: (1)求出n阶实对称矩阵A的所有特征值
1
2 1
2
,
e3
1
6 1
6
1
0
2
3
6
将e1,e2,e3构成正交矩阵:
1
P
(e1 , e2
,
e3
)
3 1
3
1
3
5
有:
P 1 AP
1
1
1 2
1 2
0
1
6 1
6
2
6
定义 设n阶方阵A,B,如果存在可逆矩阵P, 使得P AP=B,则称A与B相合(或合同)
相合满足反身性,对称性和传递性
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵
实对称矩阵与相似对角阵
此定理不予证明
二、实对称矩阵的正交相似对角化
复习：
1。定义(107页) 如果n阶实方阵A满足ATA= E，
AAT= E则称 A为 正交矩阵.
A的行（列）向量组都是单位向量且两两正交.
2、 将线性无关的向量组1，2，…，r化为 2. 正交矩阵的性 一组两两正交的单位向量组的方法。 施密特(Schmidt) 质 方法 （108页 ） (1) 将线性无关的向量组1，2，…，r正交化. 令 1=1， = - 2 , 1 ， 2 2 1 1 , 1 3, 2 3 , 1 3 = 31 2， 2, 2 1 , 1 … … … … … … … ， r , 2 r , r 1 r , 1 r = r1 - , 2 - …- , r-1. 1 , 1 2 2 r 1 r 1 (2) 将1，2，…，r单位化，令
1
1
4
1、P中特征向量与对角阵中特征值的顺序要一致
2、实对称阵的重特征值对应的特征向量有多种取法， 故这里的正交矩阵P不唯一。
3、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交， 可检验计算的正确性
【定理6.4 】设A为 n 阶实对称矩阵， 使得 则必存在 n 阶正交矩阵P，
P AP
P AP
1
Λ
2
例题分析
例2
2 1 1 1 2 1 A 设 1 1 2
求一个正交矩阵P
1 使 P AP 为对角阵.
解
(1)求特征值
A E
2 1 1
1
1
2 1 1 2
( 4)( 1)2
故得特征值
1 2 1
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由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的 特 征 向 量, 故 它 们 必 两 两 正 交.
第四步 将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1, 2 , 3
证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
由定理3，对应于特征值 i (i 1, 2,L , s),
恰有 ri 个线性无关的特征向量， 又由定理2及 r1 r2 L rs n 知，A 有 n个线性无 关的特征向量， 从而 A 与对角矩阵相似。
定理5 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P
使 P 1 AP ，其中 是以 A 的 n 个特征值为对
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2x2 2x3 0
2
第三步 将特征向量正交化
量一定正交,故
p1T
0即 1
x2 x3 0 0
解之得基础解系
p2
0 0
,
p3
11
又 A 的对应于二重特征值 1 的线性无关的特
角元素的对角矩阵。
三. 实对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
5.将求出的n个正交规范的特征向量构成矩阵P， 则P为正交矩阵使得P1AP 。
则 Ax x , A x x, 即A x x
于是有 xT Ax xT Ax xT x xT x,
及 xT Ax xT AT x Ax T x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xT x xi xi xi 2 0 0,
即存在正交矩阵P ,使得P1 AP
1 1
A2008
P P 1
2008
P2008 P1
PEP1
E
例3 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为-1,1,1,与特
征值-1对应的特征向量为 p1 (0,1,1)T
,求 A x1
解:设与特征值
1
对应的特征向量为
x2
由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向 x3
其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与 P 中列向量的排列顺序相对应.
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
第四节 教学要求
1、掌握实对称矩阵特征值的性质 2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法
一、实对称矩阵特征值的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,
即
Ax x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量,
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将 1, 2 , 3单位化,令i
i i
i
1,2,3得
0
1 1 2 ,
1 2
1
2 0,
0
0
3 1 2.
1 2
于是得正交阵
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
P
1
,2
,3
1
0 2
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
则
P 1 AP
2 0
0 4
0 0.
0 0 4
利用对角化可求方阵的幂
例2 设 A为3阶实对称矩阵,A的特征值为
1 2 1, 3 1. 求 A2008 .
解: 由于A是实对称矩阵,故A必可对角化,且
1
A ～ 1 1
1
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
二、实对称矩阵的相似理论
定理4 任意实对称矩阵 A 都与对角矩阵相似。
证明：设 A 的互不相等的特征值为 1,2 ,L ,s
它们的重数依次为 r1, r2 ,L , rs 其中 r1 r2 L rs n
1
3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
P
1
AP
0
1
0 .
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0
是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
系, 从而对应的特征向量可以取实向量.
定理2 设1, 2 是实对称矩阵A的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量, 若1 2,则p1与p2正交.