2020中考数学精选例题解析：方差

（2）∵
S
2 甲
＝3.6，
S
2 乙
＝4.2
∴
S
2 甲
＜
S
2 乙
故甲种农作物的 10 株苗长的比较整齐。
2、（1）甲组合格人数为 3 人，甲组及格率为 3 100% 30% ；同理乙组的及格 10
率为 50％，所以乙组的及格率高。
（2）∵
x甲
＝2，
x乙
＝2，
S
2 甲
＝1，
S
2 乙
＝1.8
∴
S
2 甲
＜
则这名学生射击环数的标准差是
。
3、若 a 、4、2、5、3 的平均数是 b ，且 a 、 b 是方程 x 2 4x 3 0 的两个根，则这
组数据的方差为
。
4、已知样本 99、101、102、 x 、 y （ x ≤ y ）的平均数为 100，方差为 2，则 x
＝
，y＝
。
5、现有 A、B 两个班级，每个班级各有 45 名学生参加一次测验，每名参加者可获得 0、1、2、 3、4、5、6、7、8、9 分这几种不同分值中的一种。测试结果 A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示。
S
2 乙
∴甲组的口语会话的合格次数比较稳定。
3、134，134.5，135，1.8。评价：①从众数看，甲班每分钟输入 135 字的人最多， 乙班每分钟输入 134 字的人最多；②从中位数看，甲班每分钟输入 135 字以上的人数
比乙班多；③从方差看，
S
2 甲
＜
S
2 乙
，甲班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，
（1）由观察所得，
班的标准差较大；
（2）若两班合计共有 60 人及格，问参加者最少获
分值可以及格。
三、解答题：
1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了 10 株苗，测得苗高如下（单 位：cm）：
甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8
乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
S
2 甲
＝172，
S
2 乙
＝256，所以
S
2 甲
＜
S
2 乙
，甲组成绩比乙组更
稳定；④从高分段看，甲、乙两组成绩达到或超过 90 分的分别有 20 人、24 人，因此 乙组成绩较好。
6
∴有方程组
m
2
n2
0.4 ，解得： n
0.6
∴ x 0.2 20 19.8 ， y 0.6 20 20.6
因此该工人最后加工的两件轴中有一件是符合要求的（直径为 19.8 毫米的），一 件是不符合要求的（直径为 20.6 毫米的）。 跟踪训练： 一、选择题： 1、已知一组数据－1， x ，0，1，－2 的平均数是 0，那么这组数据的方差是（ ）
3、设 x1 、 x2 、…、 xn 的方差是 S 2 ，则 5x1 1 、 5x2 1…、 5xn 1的方差是
（）
A、 5S 2
B、 5S 2 1
C、 25S 2
D、 25S 2 1
4、下列各组数据中，满足条件“容量为 5，平均数为 4，方差为 2”的是（ ）
A、3，4，4，3，5
B、4，4.5，3.5，6，2
80，因此
取 a 80 运用公式：
S2
1 n
(
x12
x2 2
xn 2 )
____
nx2
求方差较简便。
答案：（1） S 2 6 ；（2） S 2 1 5 ；（3） S 2 1 5
9
9
【例 2】甲、乙两人在相同条件下，各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示，
（1）请填写下表：
1
平均数
分析：由于（1）中各数据及它们的平均数为较小整数，因此选用公式：
S 2
1 n
(x1 x)2
(x2
x)2
(xn
x)2
求方差较简便；（2）中各数据虽为
较小整数，但它们的平均数为分数，因此选用公式：
S2
1 n
(
x1
2
x2 2
xn
2
)
____
nx 2
求方差较简便；（3）中数据较大且接近
2020 中考数学精选例题解析：方差
知识考点：
了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，掌握它们的计算方法，并能以此比 较同类问题的两组数据的波动情况，了解用样本方差估计总体方差的思想方法。
精典例题：
【例 1】选用恰当的公式，求下列各数据的方差。
（1）－2，1，4
（2）－1，1，2 （3）79，81，82
分数
50
60
70
80
90
100
甲组
2
人数
乙组
4
5
10
13
14
6
4
16
2
12
12
参考答案
一、选择题：BDCC 二、填空题：
1、0.02；2、 3 ；3、2；4、 x ＝98， y ＝100；5、（1）A，（2）4 分
三、解答题：
1、（1）∵ x甲 ＝10， x乙 ＝10
5
∴两种农作物的 10 株苗的平均高度相同。
方差
数
甲班学生（人） 1 0 1 5 2 1 135 135 135 1.6
乙班学生（人） 0 1 4 1 2 2
请你填写上表中乙班学生的相关数据，再根据所学的统计学知识，从不同方面评价 甲、乙两班学生的比赛成绩（至少从两个方面进行评价）。
4、一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已知算得两个组的平均分都是 80 分， 请根据你所学的统计学知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理 由。
（1）如果合格 3 次以上（含 3 次）作为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高？
（2）请你比较哪个小组的口语会话的合格次数较稳定？
3、甲、乙两个班举行电脑汉字输入速度比赛，各选 10 名学生参加，各班参赛学生 每分钟输入汉字个数统计如下表：
平均
输入汉字（个） 132 133 134 135 136 137 众数 中位数
如果你也经过了这次考察，请你经过计算后回答下列问题：
（1）哪种农作物的 10 株苗长的比较高？
（2）哪种农作物的 10 株苗长的比较整齐？
4
2、甲、乙两个小组各 10 名同学进行英语口语会话练习，各练 5 次，他们每个同学 合格的次数分别如下：
甲组：4，1，2，2，1，3，3，1，2，1
乙组：4，3，0，2，1，3，3，0，1，3
C、 4 2 ，3，6，3， 4 2 二、填空题：
D、5，3，4，7，1
3
1、为了考查一个养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取 5 只，称得它们的重量如下（单位：
千克）：3.3，3.0，3.4，3.1，3.2，在这个问题中，样本方差 S 2 ＝
。
2、一名学生军训时连续射靶 10 次，命中的环数分别为 4、7、8、6、5、9、10、7、6、8，
方差
中位数 命中 9 环以上次数
甲
7
1.2
1
乙
（2）请从下面四个不同的角度，对这次测试结果进行分析。
①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从平均数和命中 9 环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）
解：（1）略；
探索与创新：
【问题一】某工人加工一种轴，轴的直径要求是 20±5 毫米，他先加工了 8 件，量 得直径分别为（单位：毫米）：19.7、20.2、19.6、19.8、20.2、20.3、19.8、20.0。当 他加工完 10 件后，发现这 10 件的直径平均数为 20 毫米，标准差为 0.3 毫米，请问此 工人最后加工的两件轴的直径符合要求吗？为什么？
2
__
由 x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
(0.3 0.2 0.4 0.2 0.2 0.3 0.2 0 m n) 得： m n 0.4
10
由 S 2 1 (0.3)2 0.22 (0.4)2 m2 n2 ) 0.32 得： m2 n2 0.4 10
m n 0.4
m 0.2
（2）①∵平均数相同，
S
2 甲
S
2 乙
，∴甲的成绩比乙稳定；
②∵平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些；
③∵平均数相同，命中 9 环以上环数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些；
④甲成绩的平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比 甲少的情况发生，乙较有潜力。
评注：方差、标准差都是反映数据波动大小的量，波动大小是数据的属性，而不是 判断好坏的标准。
分析：要想作出正确的判断，需首先根据已知的平均数和标准差求出最后加工的两 件轴的直径。
解：此工人最后加工的两件轴中，只有一件的直径符合要求。
设最后加工的两件轴的直径分别为 x 毫米， y 毫米（ x ≤ y ），令 x 20 m ，
__ __
y 20 n ，取 a 20 ，则 x x a 20 20 0 。
A、 2
B、2
C、4
D、10
2、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样调查，在 10 天中，这个生产小组每天出的次 品数为（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，在这 10 天中，该生产小组 生产零件所出的次品数的（ ）
A、平均数是 2
B、众数是 3
C、中位数是 1.5
D、方差是 1.25
乙班速度最快的选手比甲班多 1 人。
4、①从成绩的众数来看，由于甲组、乙组成绩的众数分别为 90 分、70 分，因此 甲班成绩较好；②从中位数、平均数来看，甲乙两组成绩的中位数、众数都是 80 分， 成绩相同，其中成绩在 80 分以上的甲、乙两班各有 33 人，26 人，因此甲组成绩总体
较好；③从方差来看，