中点四边形课件[1]
中点四边形的判定和性质
中点四边形的判定和性质1.中点四边形是平行四边形，证明如下：设四边形ABCD的对角线AC和BD交于点E，连接AE、BE、CE、DE，分析可知AE=CE、BE=DE，因为AE=CE，所以AE/CE=1；因为BE=DE，所以BE/DE=1。
又因为AE/CE=BE/DE，所以四边形ABCD是平行四边形，其对角线的中点所形成的四边形为中点四边形，因此中点四边形也是平行四边形。
2. 中点四边形的对角线相等，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
根据三角形中位线定理，可知AO^2+BO^2=AC^2/2+BD^2/2=AC^2=BD^2=OC^2+OD^2。
因为AO=OC，BO=OD，所以AO^2=OC^2，BO^2=OD^2，代入可得OC^2+OD^2=AC^2/2+BD^2/2，即AC^2=BD^2，所以中点四边形的对角线相等。
3. 中点四边形的对角线互相平分，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以∠AMB=∠CMD，∠AMC=∠BMD。
由此可以得到∠AOC=∠BOD，所以中点四边形的对角线互相平分。
4. 中点四边形的对边互相平行，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以AB∥CD，BC∥AD，因此中点四边形的对边互相平行。
专题1：中点四边形4--对角线相等且垂直的四边形
18.18专题1：中点四边形4--对角线相等且垂直的四边形一．【知识要点】1.对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。
二．【经典例题】1．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝BD，点E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点．求证：四边形EFGH是正方形．1.四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，求证：四边形EFGH是菱形。
（2）如图2，若AC=BD，则四边形EFGH的形状是（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形EFGH是矩形。
（4）如图4，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是3.在四边形ABCD 中，AB=CD,∠ABC+∠DCB=90°，点E,F,M,N分别为AD,BD,BC,AC的中点，试判断四边形EFMN的形状并加以证明。
三．【题库】【A】【B】1.四边形ABCD 中，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点。
（1）如图1，当时，四边形EFGH为正方形。
（2）如图2，E,F,G,H分别为AD,BD,BC,AC的中点，①当时，四边形EFGH为矩形。
②当时，四边形EFGH为菱形。
【C】1．如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，连接DE、可以得到：DE∥BC，且DE═BC（不需要证明）．【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在【探究】的条件下：（1）四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC、BD相交于点O．若HE⊥EF，HE＝5，EF＝8，则四边形ABCD的面积为．【D】1．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F 分别为边BC，CD的中点时，有：①AF＝DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE＝DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．。
中考专题复习中点四边形ppt(共17张PPT)
D
D1
C3
C2
C1
B3 B2
C
A D2 O
D3
A1
A3
A2
B1
B
3、如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点，AF,DE相交于点G， 则可得结论：
①AF=DE ②AF⊥DE(不须证明) ⑴如图②，若点E,F不是正方形ABCD的边BC,CD的中点，但满足CE=DF则上面 的结论①②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）
A
H
D
E
G
B
F
C
问题4：
依次连接怎样一个四边形四边中点的图形是菱形？
连接对角线相等的四边形四条边中点得到的四边形
是菱形
问题5：
依次连接菱形四边中点得到的四边形是什么四边形?
已D求A证知的：：中四如点边图，形，EAEF、GFH、是G矩H、形。H分别是D 菱形ABGCD四条边CAB、BC、CD、 依⑶中依2依求∴依∴∴∴已使⑶中求依依2∴求⑶中①C∴依 求5D_∴求使_、 、、四 E四 E四 四 四）1次如的次次证次知四如的证次次证如的A次证证四_AFF连连 如F_边边边边边矩1是=连 图 哪 连 连 ： 连 ： 边 图 哪 ： 连 连 ： 图 哪 连： ： 边_=的接接 图形形形形形形_D△接④一接接四接如形④一四接接四④一接 四四形_A中对对 ，AEEEEEE，_怎，种菱怎边普图E，种边怎怎边，种怎 边边ECBFFFFF_点②角角 四FF矩=CGGGGG_样在，形样形通，在，形样样形在，样 形形GG6，A线线 边的形HHHHH一（并四一平（并一一（并一EEEEEEHHF的的的的的以相相 形中FFFFF、是是⊥个写边个行写个个写个222GGGGG周周周周周此等等）））A位F矩矩D四出中四四出四四出四HHHHHB、长长长长长类E的的的的的线是是是是是形形CD边证点边边证边边证边(G为为为为为推不四 四基基基D）平平矩菱平，，形明得形形明形形明形、面22222，须边边础础础矩行行形形行应应四过到四四过四四过四00000H积四证形形上上上形四四。。四添添边程的边边程边边程边分为边明四四，，，，边边边加加中。四中中。中中。中别1形)条条连连连正形形形的的，点边点点点点点是A边边接接接方。。。条条A的形的得的的的等1中中AAA1形B件件图是图到图图图腰、EEE1点点是是和和和C形什形的形形形梯B得得11EEE是么是四是是是形D、到到FFF1矩四菱边菱正菱A,,,C若若若的的的B形边形形形方形1点 点 点C面四四、？形？是？形？DMMM积边边D四什？?。。,,,1NNN是形形条分么,,,PPP_是是边别四,,,_QQQ菱菱_A是边分分分_B形形_A形别别别、_B_?为为为B、_C四AAAB、EEEC边,,,C、EEE形DFFFC,,,A、FFFD2DDDD、B,,,AAAA2DC的DDDA2的的的中的D中中中2点中的点点点，点面,,,请请请，积先先先A_2判判判_、_断断断_B_2四 四 四_、_边边边_C四形形形2、边MMMDNNN形2PPPA分QQQ2是是是别01矩矩矩是0B形形形A210,,,B菱菱菱110形形形、C,,,2B正正正011方方方C01形形形D、2,,,等等等0C11腰腰腰0D的梯梯梯1、面形形形积
中点四边形
中点四边形长沙市第七中学黄曙一、基本说明1教学内容所属模块：八年级(下)2年级：初二3所用教材出版单位：人民教育出版社4所属的章节：第十九章第四节第3课时(课题学习)5学时数：45 分钟二、教学设计1、教学目标：（1）进一步复习和巩固特殊四边形的性质与判定。
（2）理解和熟悉中点四边形与原四边形之间的联系（3）掌握由特殊到一般的数学证明方法（4）通过对中点四边形的探讨，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
2、内容分析：教学重点：复习和巩固特殊四边形的性质与判定。
教学难点：特殊四边形之间的区别与联系3、学情分析：学生在学习了四边形一章的内容后，已掌握了一些特殊四边形的性质与判定的推理与证明的方法，但如何灵活运用所学知识,如何正确的联想到要用的知识点来解决问题,一直是本章学习的难点。
本节课以探讨中点四边形的形状和性质入手,通过图形大量的变化让学生学会观察与分析，抓住实质性的东西,从而使学生加深对特殊四边形的性质与判定的理解和掌握。
4、设计思路：根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用多媒体教学,主要借助《几何画板》及幻灯片展示相关图形的变化,让学生在“变化”中感知“不变”,从而获取相关知识,培养学生的观察分析能力。
教学流程为：知识回顾与思考→初步感知→类比推广→逆向思维→拓展深化→归纳总结。
三、教学过程四、教学反思1、由于学生基础较好,虽然内容多,但学生都跟得上,尤其是动态演示过程中学生兴趣很浓,在类比推广和逆向思维阶段参与积极.2. 拓展深化阶段学生先感到疑惑,但随着分析的深入学生豁然开朗,课堂气氛非常活跃.学生思考问题也细致,课后给出了另一些结论.如:①当原四边形为凹四边形时，利用《几何画板》演示仍然发现相应的中点四边形为平行四边形。
(如图1所示)②当四边形转化为图2所示的形状时,只要AB=CD,中点四边形就一定是菱形.③对于直角三角形如图3所示当点B,D,F为各边中点时,所得小矩形的面积也等于该直角三角形面积的一半.图(1) 图(3)附：中点四边形课件(两个课件采用链接交替使用,使用前安装《几何画板》)。
各种四边形各边中点连线课件
数学竞赛中的应用
• 数学竞赛中的中点连线问题：在数学竞赛中，中点 连线问题是一个常见的题型，通常涉及到几何、代 数和解析几何等多个知识点。这类问题需要参赛者 具备严密的逻辑推理能力和扎实的数学基础，以找 到最优的解决方案。
05
中点连线在数学中的发展 与前景
中点连线在数学中的地位与作用
中点连线是几何学中的基本概念，它在数学中具有重要的地 位和作用。通过中点连线，我们可以研究几何图形的性质、 关系和变化，解决各种几何问题。
分类与特性
分类
根据四边形的对边关系，可分为平行 四边形、梯形、不规则四边形等。
特性
平行四边形对角相等且平行；梯形只 有一组对边平行；不规则四边形则无 特定特性。
面积与周长的计算
面积
根据四边形的不同类型，面积计算公式也不同。平行四边形面积=底×高；梯 形面积=(上底+下底)×高/2；不规则四边形面积需要通过分割或特殊性质来求 解。
各种四边形各边中点连线课件
目录
• 四边形的定义与性质 • 四边形各边中点连线 • 中点连线性质与定理 • 中点连线在实际生活中的应用 • 中点连线在数学中的发展与前景
01
四边形的定义与性质
定义与性质
定义
四边形是由四条线段首尾顺次连 接围成的平面图形。
性质
四边形具有不稳定性，即容易变 形；相对边相等且平行；相对角 相等或互补。
中点连线在数学教育中的意义与价值
中点连线是数学教育中的重要内容之一，通过学习中点连 线，学生可以掌握基本的几何知识和技能，培养逻辑思维 能力、空间想象能力和解决问题的能力。
中点连线的学习对于提高学生的数学素养和综合素质具有 重要意义，同时也有助于培养学生的创新意识和实践能力 。
中点四边形PPT课件2人教版
•
30、经验是由痛苦中粹取出来的。
•
31、绳锯木断，水滴石穿。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
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18、励志照亮人生，创业改变命运。
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19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。
•
20、当你能飞的时候就不要放弃飞。
•
21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。
•
22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。
•
•
50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。
•
51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。
•
52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。
•
53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。
51
:1
2
5 1 0.618 2
我们称点C将线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金
分割点。
A
C B
1
试试看： 你能找到五角星中黄金比吗？
E
A FGD
B
C
AG:AD=0.618:1
中点四边形
中 点 四 边 形一、概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形为中点四边形。
A BCD E FG H A B C D E F G H A B D E F G H图（1）如图（1）都是三个不规则的凸四边形的各边中点连线所构成的中点四边形。
由三个图可以发现，所构成的中点四边形都与平行四边形极为相似，由此做出假设：凸四边形内部构成的中点四边形都是平行四边形。
下面我们可以用图（1）中的其中一个图进行论证证明：连接四边形对角线AC 、BD （如图） ∵在△ACB 中，F 、E 分别为边BC 、BA 的中点 即FE 为中位线 ∴FE=21AC 、FE//AC 同理，在△ACD 中可得：GH=21AC 、GH//AC ∵FE=21AC 、GH=21AC ∴FE=GH （等量代换）又∵FE//AC 、GH//AC∴FE//GH （平行于同一条直线的两条直线相互平行）∴在四边形EFGH 中，FE=GH 、FE//GH∴四边形EFGH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形） 通过上述证明可得：任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形。
二、分类讨论结论得出任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形，而平行四边行有几种特殊情况，如：1、菱形2、矩形3、正方形。
如果想得到的中点四边形为菱形、矩形或正方形这三种图形时，那原先的四边形又应具有哪些特性呢？1、菱形菱形：一组邻边相等相等的平行四边形是菱形。
刚才我们已经证明到任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形，也就意味着想得到菱形，就是在已知的平行四边形EFGH 中不仅要FE=GH ，同时要FE=GF ，而由中位线定理得FE=21CA 、GF=21BD ，则： 令FE=GF ∵FE=21CA 、FE=21BD A B CD E F G H A B CD E F GH∴CA=BD也就是说当原四边形的两条对角线相等时，新的中点四边形会变成菱形。
中点四边形PPT课件_1
D
H
A
E
G
B
F
C
2021
17
这一节课你学到了什么？
1.中点四边形的定义；
2.中点四边形的形状与原四边形 的对角线的关系。
3.中点四边形的面积与原四边形 的面积之比为多少？
2021
18
小组合作探究:
❖ 任意四边形的中点四边形都是_平__行__四__边_；形 ❖ 平行四边形的中点四边形是__平__行__四__边__形； ❖ 矩形的中点四边形是________________； ❖ 菱形的中点四边形是________________； ❖ 正方形的中点四边形是______________；
❖ 对角线相等的四边形的中点四边形是 ________________；
❖ 对角线垂直的四边形的中点四边形是 ____________；
❖ 对角线垂直且相202等1 的四边形的中点四边形是 19
❖探究二：
❖凹四边形或折四 边形的中点四边形
2021
20
思考：结合刚才的证明过程，小组讨论
❖ 凹四边形或折四边形的中点四边形的形 状与原四边形的对角线的关系是否仍然 成立？
（2）四边形A2B2C2D2是 （
）形。
面积是多少？
菱形
A
Ａ１ D2 Ｄ１
B A2
C2
D
B1 Ｂ２ Ｃ１
2021
Ｃ
15
(3)那么四边形：AnBnCnDn
（
）形，面积是多少？
A
Ａ１
D2
Ｄ１
A2 B
C2
D
B1
Ｂ２
Ｃ１
Ｃ
中点四边形的面积与原四边形的面积之源自比为多少？2021
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我思,我进步6
想一想,做一做
A
举例 D G C H
驶向胜 利的彼 岸
中点四边形的面积与原四边形的面积的 关系，并说出理由。
E B F
结论:
1. 任意四边形的中点四边形都为平行 四边形。
2. 中点四边形为特殊的平行四边形的 决定因素取决于原四边形对角线是否相 等和垂直。 3.中点四边形的面积总等于原四边形 面积的一半
D E H
A
C O
F
G
B
对角线互相垂直的四 边形的中点四边形为 矩形
6 我思考,我进步
顺次连接正方形各边中点所成的四 边形是什么四边形?
A
H
D
E
G
B F
C
正方形的中点四边形是正方形
5 我思考,我进步
顺次连接对角线相等且互相垂直的 已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形 ABCD各边中点，AC=BD且AC⊥BD。 四边形各边中点所成的四边形是什么 求证：四边形EFGH是正方形
“我”的命运谁主宰
——探究中点四边形
知识回顾
1
如下图：在三角形ABC中，点D是AB的中 点，点E是AC的中点。
DE为三角形ABC的 中位线 定理:三角形的中位线平行于第三边, A 且等于第三边的一半.
∵DE是△ABC的中位线,
1 ∴DE∥BC, DE BC . 2
B D
E
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系 的依据.
C
中点四边形的定义 顺次连接四边形各边中点所得的 四边形叫做中点四边形。
B
A C D
我思,我进步1
想一想,做一做
驶向胜 利的彼 岸
给你一个四边形纸片，你能把它折成平 行四边形吗？
举例
1 我思考,我进步
已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形 顺次连接任意四边形各边中点 ABCD各边中点。 所成的四边形是什么形? 求证：四边形EFGH为平行四边形。 请同学们画一画、看一看、 证明：连接AC E 猜一猜并证一证 A
思考题:
探究四边形中一组对边的中点 和两条对角线的中点构成的四 边形的形状？
谢 谢
家 欢 提 迎 出 各 宝 位 贵 领 意 导 见 、 ！ 专
G
C
平行四边形
菱形
G
C
填空：
（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线 有
密切关系； （2）只要原四边形的两条对角线 相等 ，就能 使中点四边形是菱形； （3）只要原四边形的两条对角线 互相垂直 ， 就能使中点四边形是矩形； （4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符 合的条件是 对角线相等且互相垂直 。
A E H D
G
A B
E
C
F G G C
D F
“我”的命运由对角线主宰
原四边形的对角线
既不相等又不垂直 相等
中点四边形
平行四边形 菱形
垂直
相等且垂直
矩形
正方形
小组合作交流:
平行四边形 任意四边形的中点四边形都是________；
平行四边形 平行四边形的中点四边形是__________；
4 我思考,我进步
A E H
B
D
ห้องสมุดไป่ตู้
F C
G
顺次连接菱形各边中点所成的四边 形是什么四边形?
A E H
B
D
F C
G
菱形的中点四边形是矩形。
5 我思考,我进步
已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形 顺次连接对角线互相垂直的四边形 ABCD各边中点，且AC⊥BD。 各边中点所成的四边形是什么四边形? 求证：四边形EFGH是矩形
连结两条对角线
H
A B
E
G
C
D F
矩形的中点四边形是菱形。
3 我思考,我进步
顺次连接对角线相等的四边形各边 已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形 ABCD各边中点，且AC=BD。 中点所成的四边形是什么形?
请同学们画一画、看一看、 求证：四边形EFGH是菱形
A
E
猜一猜并证一证
B
H
F
D
G
C
对角线相等的四边 形的中点四边形为 菱形
菱形 矩形的中点四边形是________________；
菱形的中点四边形是________________；
正方形的中点四边形是______________；
梯形的中点四边形是________________；
直角梯形的中点四边形是____________；
等腰梯形的中点四边形是____________。
其它各种四边形的中点四边形边是何种四 边形呢？先观察并猜一猜,再证明.正方形ABCD
矩形ABCD
菱形ABCD
A H D
E
B F A
D
A F
E
B
E D
C H
G
F
G C
菱形
梯形ABCD
G
C
矩形
B F
直角梯形ABCD
B
D
正方形
E
A H D
E
等腰梯形ABCD
A H D
E
B
F H
A
B F
C G
D
平行四边形
H
B
∵ E、F是AB、BC边中点
1 ∴EF∥AC且EF＝ 2 AC
F
D
G
C
1 同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC 2
∴EF ∥ HG且EF ＝ HG
∴四边形EFGH为平行四边形。 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
任意四边形的中点四 边形都为平行四边形
2 我思考,我进步
顺次连接矩形各边中点所成的四边 形是什么四边形？
四边形?
E
D
H
A O
C
F
G
B
对角线相等且垂直的四 边形的中点四边形为正 方形
结合刚才的证明过程，小组讨论并思考：
（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有着密 切的关系？ 对角线 （2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是 矩形吗？ （3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是 B 菱形吗？