数值分析-习题答案(插值法)
数值分析课程第五版课后习题答案
*
[解] = (0.031 × 385.6) 1 × 10 − 4 + (1.1021 × 385.6) 1 × 10 −3 + (1.1021 × 0.031) 1 × 10 −3 ; 2 2 2 −3 −3 −3 = 0.59768 × 10 + 212.48488 × 10 + 0.01708255 × 10 = 213.09964255 × 10 −3 = 0.21309964255
ε * (R* ) 1 1 1 从而 ε * ( R * ) = 1% × R * ,故 ε r* ( R * ) = 。 = 1% × = * 3 300 3 R
6 、设 Y0 = 28 ,按递推公式 Yn = Yn −1 − 1 783 (n = 1,2, ) 计算到 Y100 ,若取 100
783 ≈ 27.982 (五位有效数字, )试问计算 Y100 将有多大误差? [解]令 Yn 表示 Yn 的近似值, e * (Yn ) = Yn − Yn ,则 e * (Y0 ) = 0 ,并且由 1 1 × 27.982 , Yn = Yn −1 − × 783 可知, 100 100 1 × (27.982 − 783 ) ,即 Yn − Yn = Yn −1 − Yn −1 − 100 1 2 从 e * (Yn ) = e * (Yn −1 ) − × (27.982 − 783 ) = e * (Yn − 2 ) − × (27.982 − 783 ) = , 100 100 Yn = Yn −1 − 而 e * (Y100 ) = e * (Y0 ) − (27.982 − 783 ) = 783 − 27.982 ,
而 783 − 27.982 ≤
1 1 × 10 −3 ,所以 ε * (Y100 ) = × 10 −3 。 2 2
数值分析习题集及答案
(适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》)第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2%,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211N dx x +∞+⎰9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101nn y y-=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数). 11. 证明1()k k k k k k fg f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差. 22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤ 14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求()y f t =.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰;(2)2()()()()()2b a f f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224b a a b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式,并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析(第四版)课后习题及答案
0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j
j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk
x0
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二:插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时, 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格(Runge )给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分,分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求:(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ,画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1,1]上的图像,比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数,例如定义在区间[-5,5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式,比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上,根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本,其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数,方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20,画出原函数和拉格朗日插值函数的图像,如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出,当n 较小时,拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x),即插值效果越来越好。
数值分析课后习题答案4
第一章题12给定节点01x =−,11x =,23x =,34x =,试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项:(1)(1)3()432f x x x =−+(2)(2)43()2f x x x =−解(1)(4)()0f x =,由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=;(2)(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!f x p x x x x x x x x x −=−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15证明:对于()f x 以0x ,1x 为节点的一次插值多项式()p x ,插值误差01210()()()max ()8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=−−,其中01x x ξ≤≤,010101max ()()()()()()()()2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()8x x x x x f x ≤≤−′′≤.题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==,(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x :(1)(1)用待定系数法;(2)(2)利用承袭性,先考察插值条件(0)(0)0p p ′==,(1)1p =的插值多项式()p x .解(1)有四个插值条件,故设230123()p x a a x a x a x =+++,2123()23p x a a x a x ′=++,代入得方程组001231123010231a a a a a a a a a =⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之,得01230021a a a a =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=−⎩23()2p x x x ∴=−;(2)先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==,(1)1p =的插值多项式()p x ,由0为二重零点,可设2()p x ax =,代入(1)1p =,得1a =,2()p x x ∴=;再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==,(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ,可设22()(1)p x x bx x =+−,2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵,代入(1)1p ′=,得1b =−,2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.题33设分段多项式323201()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数,试确定系数,b c 的值.解由(1)2S =得212b c ++−=,1b c ∴+=;223201()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩,由(1)5S ′=得625b c ++=,21b c ∴+=−;联立两方程,得2,3b c =−=,且此时6201()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨+<<⎩,(1)8(1)S S −+′′′′==,()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组:24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.解记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩,得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩,解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37用最小二乘法求形如2y a bx =+的多项式,使与下列数据相拟合:x1925313844y19.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=,20()x x ϕ=,其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠,其中00(,)5ϕϕ=,0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==,11(,)7277699ϕϕ=,0(,)271.4f ϕ=,1(,)369321.5f ϕ=,解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩,20.97260.05y x ∴=+.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量地高,并指明求积公式所具有的代数精度:(2)10120113()(()()424f x dx A f A f A f ≈++∫(2)从结论“在机械求积公式中,代数精度最高的是插值型的求积公式”出发,11000013()(224()11133()()4244x x A l x dx dx −−===−−∫∫,11110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫,11220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫,10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫,当3()f x x =时,有左边=113001()d d 4f x x x x ==∫∫,右边=3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=,左边=右边,当4()f x x =时,有左边=114001()d d 5f x x x x ==∫∫,右边=44421112321112337()()()()()()343234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=,左边≠右边,所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表x 1.11.3 1.5xe3.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.51.1x e dx∫.解辛甫生法1.51.1xe dx ∫()1.5 1.13.00424 3.66934.4817 1.477546−≈+×+=;复化梯形法1.51.1xe dx ∫()0.23.00422 3.66934.4817 1.482452≈+×+=.题17用三点高斯公式求下列积分值12041dxx π=+∫.解先做变量代换,设)(1+21=t x ,则1204d 1x x +∫=112112418d d 124(1)1(1)4t t t t −−⋅=++++∫∫()2225888589994014141≈×+×+×++⎛⎞⎞++⎜⎟⎟⎝⎠⎠3.141068=.第三章用欧拉方法求解初值问题y ax b ′=+,(0)0y =:(1)试导出近似解n y的显式表达式;解(1)其显示的Euler 格式为:11111(,)()n n n n n n y y hf x y y h ax b −−−−−=+=+⋅+故122()n n n y y h ax b −−−=+⋅+⋯⋯100()y y h ax b =+⋅+将上组式子左右累加,得0021()n n n y y ah x x x nhb−−=+++++⋯(02(2)(1))ah h h n h n h nhb =+++−+−+⋯2(1)/2ah n n nhb=−+题10选取参数p 、q ,使下列差分格式具有二阶精度:1111(,)n n n n y y hK K f x ph y qhK +=+⎧⎨=++⎩.解将1K 在点(,)n n x y 处作一次泰勒展开,得11(,)n n K f x ph y qhK =++21(,)(,)(,)()n n x n n y n n f x y phf x y qhK f x y O h =+++()221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h =++++++2(,)(,)(,)(,)()n n x n n n n y n n f x y phf x y qhf x y f x y O h =+++代入,得()21(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y h f x y phf x y qhf x y f x y O h +=++++2231(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h +=++++而231()()()()()()2n n n n n h y x y x h y x hy x y x O h +′′′=+=+++23()(,())(,())(,())(,())()2n n n x n n n n y n n h y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h ⎡⎤=++++⎣⎦考虑其局部截断误差,设()n n y y x =,比较上两式,当12p =,12q =时,311()()n n y x y O h ++−=.第四章题2证明方程1cos 2x x=有且仅有一实根;试确定这样的区间[,]a b ,使迭代过程11cos 2k kx x +=对一切0[,]x a b ∈均收敛.解设1()cos 2f x x x=−,则()f x 在区间(,)−∞+∞上连续,且11(0)cos 0022f =−=−<,1(cos 022222f ππππ=−=>,所以()f x 在[0,]2π上至少有一根;又1()1sin 02f x x ′=+>,所以()f x 单调递增,故()f x 在[0,]2π上仅有一根.迭代过程11cos 2k k x x +=,其迭代函数为1()cos 2g x x=,[0,]2x π∀∈,110()cos 222g x x π≤=≤≤,()[0,]2g x π∴∈;1()sin 2g x x ′=−,1()12g x ′≤<,由压缩映像原理知0[0,2x π∀∈,11cos 2k kx x +=均收敛.注这里取[,]a b 为区间[0,]2π,也可取[,]a b 为区间(,)−∞+∞等.题5考察求解方程1232cos 0x x −+=的迭代法124cos 3k kx x +=+(1)(1)证明它对于任意初值0x 均收敛;(2)证明它具有线性收敛性;证(1)迭代函数为2()4cos 3g x x=+,(,)x ∀∈−∞+∞,()(,)g x ∈−∞+∞;又22()sin 133g x x ′=−≤<,由压缩映像原理知0x ∀,124cos 3k k x x +=+均收敛;(2)***1*2lim ()sin 03k k k x x g x x x x +→∞−′==−≠−(否则,若*sin 0x =,则*,x m m Z π=∈,不满足方程),所以迭代124cos 3k kx x +=+具有线性收敛速度;题7求方程3210x x −−=在0 1.5x =附近的一个根,证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛:(1)(1)改写方程为211x x =+,相应的迭代公式为1211k k x x +=+;(2)(2)改写方程为321x x =+,相应的迭代公式为1k x +=解(1)3232211011x x x x x x −−=⇔=+⇔=+,迭代公式为1211k k x x +=+,其迭代函数为21()1g x x =+[1.3,1.6]x ∀∈,2221111.3 1.3906111 1.5917 1.61.6 1.3x ≤≈+≤+≤+≈<,()[1.3,1.6]g x ∴∈;又32()g x x ′=−,333222-0.9103==-0.48831.3 1.6x −−−≤≤,()0.91031g x ′≤<,由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈,1211k k x x +=+均收敛;(2)3232101x x x x x −−=⇔=+⇔=1k x +=其迭代函数为()g x =[1.3,1.6]x ∀∈,1.3 1.3908 1.5269 1.6≤≈≤≤≈<,()[1.3,1.6]g x ∴∈;又()g x ′=,00.4912≤≤≤=,()0.49121g x ′≤<,由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈,1k x +=均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组:1231231235325242511x x x x x x x x x +−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=−⎩(2)其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩,取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,迭代发散;其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩,取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组)12312312323553476335x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解(2)对其增广矩阵进行列主元消元得23553476347634763476235501/31/3105/32/331335133505/32/3301/31/31⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠347605/32/33001/52/5⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠回代求解上三角方程组1232333476523331255x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得321214x x x =⎧⎪=⎨⎪=−⎩,所以412x −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.。
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。
(1)用单项式基底。
(2)用Lagrange 插值基底。
(3)用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解:(1)用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=,所以:6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为:2652337)(x x x P ++-= (2)用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为:372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为:22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下:Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为:22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论(12) 第二章 插值法(40-42)2、当2,1,1-=x 时,4,3,0)(-=x f ,求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ,6.01=x ,则693147.0)5.0()(00-===f x f y ,510826.0)6.0()(11-===f x f y ,则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ,从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ,5.01=x ,6.02=x ,则916291.0)4.0()(00-===f x f y ,693147.0)5.0()(11-===f x f y ,510826.0)6.0()(22-===f x f y ,则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ,从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题:1、令00=x ,11=x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ,并估计插值余项。
(完整版)数值分析第四版习题和答案解析
第四版数值分析习题第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2%,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()nx ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii) (0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005. 16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数. 17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x=在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()nn x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.2y a bx =+.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式,并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析第五版习题答案清华大学出版社
若,则
则
则法方程组为
从而解得
故
均方误差为
21。在某佛堂反应中,由实验得分解物浓度与时间关系如下:
时间
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
浓度
0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求。
计算到。若取(5位有效数字),试问计算将有多大误差?
解:
……
依次代入后,有
即,
若取,
的误差限为。
7.求方程的两个根,使它至少具有4位有效数字()。
解:,
故方程的根应为
故
具有5位有效数字
具有5位有效数字
8.当N充分大时,怎样求?
解
设。
则
9.正方形的边长大约为了,应怎样测量才能使其面积误差不超过?
解:正方形的面积函数为
证明:
若
令,可得
当时,
当时,
又,故
得证。
10。证明切xx多项式满足微分方程
证明:
切xx多项式为
从而有
得证。
11。假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式?
解:
在闭区间上连续
存在,使
取
则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
由切xx定理知
P为的零次最佳一致逼近多项式。
12。选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?
解:
令
则在上为奇函数
又的最高次项系数为1,且为3次多项式。
与0的偏差最小。
从而有
13。求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差。
解:
于是得的最佳一次逼近多项式为
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算) 解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取(3.14109 , 3.14209)之间的任意数,都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字?(有效数字的计算)解:3*1021-⨯≤-aa ,2*1021-⨯≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差?(误差的计算) 解:已知δ=-**xx x ,则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。
解:近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。
解:设()n f x x =,则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?解:球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6.设028Y =,按递推公式1n n Y Y -= (n=1,2,…)计算到100Y 27.982≈(5位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?解:1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后,有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论(12)之阳早格格创做1、设0>x ,x 的相对付缺面为δ,供x ln 的缺面.[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对付缺面为δε=)(*x r ,千万于缺面为**)(x x δε=,进而xln 的缺面为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ,相对付缺面为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==.2、设x 的相对付缺面为2%,供n x 的相对付缺面.[解]设*x 为x 的近似值,则有相对付缺面为%2)(*=x r ε,千万于缺面为**%2)(x x =ε,进而nx 的缺面为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对付缺面为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε.3、下列各数皆是通过四舍五进得到的近似数,即缺面不超出末尾一位的半个单位,试指出它们是几位灵验数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x .[解]1021.1*1=x 有5位灵验数字;0031.0*2=x 有2位灵验数字;6.385*3=x 有4位灵验数字;430.56*4=x 有5位灵验数字;0.17*5⨯=x 有2位灵验数字.4、利用公式(3.3)供下列各近似值的缺面限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数.(1)*4*2*1x x x ++;[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x . [解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k kεεε. 5、预计球体积要使相对付缺面限为1%,问度量半径R 允许的相对付缺面是几? [解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知,)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=, 进而***31%1)(R R ⨯=ε,故300131%1)()(*****=⨯==RR R r εε.6、设280=Y ,按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 预计到100Y ,若与982.27783≈(五位灵验数字,)试问预计100Y 将有多大缺面?[解]令n Y 表示n Y 的近似值,n n n Y Y Y e -=)(*,则0)(0*=Y e ,而且由982.2710011⨯-=-n n Y Y ,78310011⨯-=-n n Y Y 可知, )783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ,即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ,进而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ,而31021982.27783-⨯≤-,所以3100*1021)(-⨯=Y ε. 7、供圆程01562=+-x x 的二个根,使它起码具备四位灵验数字(982.27783≈)[解]由78328±=x 与982.27783≈(五位灵验数字)可知,982.55982.2728783281=+=+=x (五位灵验数字).而018.0982.2728783282=-=-=x ,惟有二位灵验数字,不切合题意.然而是22107863.1982.55178328178328-⨯==+=-=x .8、当N 充分大时,何如供⎰++1211N N dx x? [解]果为N N dx xN Narctan )1arctan(1112-+=+⎰+,当N 充分大时为二个相近数相减,设)1arctan(+=N α,N arctan =β,则αtan 1=+N ,βtan =N ,进而11)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα,果此11arctan 11212++=-=+⎰+N N dx x N Nβα. 9、正圆形的边少约莫为100cm ,应何如丈量才搞使其里积缺面不超出12cm ?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知,若央供1))((2**=l ε,则2001100212))(()(*2****=⨯==l l l εε,即边少应谦脚2001100±=l .10、设221gt S =,假定g 是准确的,而对付t 的丈量有1.0±秒的缺面,道明当t 减少时S 的千万于缺面减少,而相对付缺面却缩小.[道明]果为******1.0)()()()(gt t gt t dtdS S ===εεε,***2******51)(2)(21)()()(t t t t g t gt S S S r====εεεε,所以得证.11、序列{}n y 谦脚递推闭系),2,1(1101 =-=-n y y n n ,若41.120≈=y (三位灵验数字),预计到10y 时缺面有多大?那个预计历程宁静吗?[解]设n y 为n y 的近似值,n n n y y y -=)(*ε,则由⎪⎩⎪⎨⎧-==-110210n ny y y 与 ⎩⎨⎧-==-11041.110n n y y y 可知,20*1021)(-⨯=y ε,)(1011---=-n n n n y y y y ,即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-,进而82100*1010*1021102110)(10)(⨯=⨯⨯==-y y εε,果此预计历程不宁静. 12、预计6)12(-=f,与4.12≈,利用下列公式预计,哪一个得到的截止最佳?6)12(1+,3)223(-,3)223(1+,27099-.[解]果为1*1021)(-⨯=f ε,所以对付于61)12(1+=f ,2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯+='=e f f e ,有一位灵验数字; 对付于32)223(-=f ,1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯-='=e f f e ,不灵验数字; 对付于33)223(1+=f ,2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯+='=e f f e ,有一位灵验数字;对付于270994-=f ,111*44*10211035102170)4.1()(⨯<⨯=⨯⨯='=--e f f e ,不灵验数字. 13、)1ln()(2--=x x x f ,供)30(f 的值.若启仄圆用六位函数表,问供对付数时缺面有多大?若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 预计,供对付数时缺面有多大?[解]果为9833.298991302==-(六位灵验数字),4*1021)(-⨯=x ε,所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(---⨯=⨯⨯-=⨯⨯---='=x e f f e ,6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(---⨯=⨯⨯+=⨯⨯-+-='=x x x e f f e .14、试用消元法解圆程组⎩⎨⎧=+=+2101021102101x x x x ,假定惟有三位数预计,问截止是可稳当?[解]透彻解为110210,110101*********--=-=x x .当使用三位数运算时,得到1,121==x x ,截止稳当.15、已知三角形里积c ab s sin 21=,其中c 为弧度,20π<<c ,且丈量a ,b ,c 的缺面分别为c b a ∆∆∆,,,道明里积的缺面s ∆谦脚cc b b a a s s ∆+∆+∆≤∆. [解]果为c c ab b c a a c b x x f s nk k k ∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos 21sin 21sin 21)()(1, 所以cc b b c c c c b b c c c ab cc ab b c a a c b ss ∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tan sin 21cos 21sin 21sin 21. 第二章 插值法(40-42)1、根据(2.2)定义的范德受止列式,令⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----nn n n n nn n x x xx xx x x x x x x x V21211020110111),,,,(,道明)(x V n 是n 次多项式,它的根是121,,,-n x x x ,且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V .[道明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--⋅=-⋅-=1110111010110)(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得供证.2、当2,1,1-=x 时,4,3,0)(-=x f ,供)(x f 的二次插值多项式.[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L .3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值预计54.0ln 的近似值.[解]若与5.00=x ,6.01=x , 则693147.0)5.0()(00-===f x f y ,510826.0)6.0()(11-===f x f y ,则 604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ,进而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L . 若与4.00=x ,5.01=x ,6.02=x ,则916291.0)4.0()(00-===f x f y , 693147.0)5.0()(11-===f x f y ,510826.0)6.0()(22-===f x f y ,则217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ,进而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L .4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表,步少 )60/1(1='=h ,若函数具备5位灵验数字,钻研用线性插值供x cos 近似值时的总缺面界.[解]设插值节面为h x x x x +=<<010,对付应的x cos 值为10,y y ,函数表值为10,y y ,则由题意可知,5001021-⨯≤-y y ,5111021-⨯≤-y y ,近似线性插值多项式为01011011)(x x x x y x x x x y x L --+--=,所以总缺面为()100101110100100101110100101111,,)()())((2cos )()())((!2)()()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---=---+---+--''=-+-=-=ξξξ,进而55555201051015100101110100101047.310211094.621102114400121102142110211021))((21))((cos 21)(-------⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+≤--⨯⨯+--⨯⨯+---≤---+---+--≤h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ.5、设3,2,1,0=+=k kh x x k,供)(max 220x l x x x ≤≤.[解])3)()((max 21)()2()3)()((max))()(())()((max)(max 000300032120231023033030h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l xx x xx x x x x x x x -----=------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤.令)34()383()43()3)()(()(0220302020203000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=,则)383()43(23)(202002h h x x x h x x x f ++++-=',进而极值面大概为 hx h h x h h x x h x h x x 37437)43(6)383(12)43(4)43(2002020200±+=±+=++-+±+=,又果为30)20714(271375371374)374(h h h h h x f -=--⨯-⨯-=-+, 30)71420(271357371374)374(h h h h h x f +-=-⨯+⨯+=++, 隐然)374()374(00h x f h x f ++≤-+,所以277710)71420(27121)374(21)(max 3303230+=+=++=≤≤h h h x f h x l x x x . 6、设),,1,0(n j x j=为互同节面,供证:1)),,1,0()(0n k x x l x kn j j k j =≡∑=;2)),,2,1()()(0n k x x l x x knj j k j =≡-∑=;[解]1)果为左侧是k x 的n 阶推格朗日多项式,所以供证创制. 2)设k x y y f )()(-=,则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶推格朗日多项式,令x y =,即得供证.7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ,供证)(max )(81)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤. [解]睹补充题3,其中与0)()(==b f a f 即得.8、正在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节面函数表,若用二次插值供x e 的近似值,要使截断缺面不超出610-,问使用函数表的步少h 应与几?[解]由题意可知,设x 使用节面h x x -=10,1x ,h x x +=12举止二次插值,则插值余项为()201112102,)],()[)](([6))()((!3)()(x x h x x x x h x x ex x x x x x f x R ∈+----=---'''=ξξξ,令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=,则)3(63)(22112h x x x x x f -+-=',进而)(x f 的极值面为h x x 331±=,故3932)331()331(33)(max2h h h h x f xx x =-⋅+⋅=≤≤,而 343422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ,要使其不超出610-,则有63410273-≤h e ,即22226210472.010389.74863.310243---⨯=⨯≈⨯≤ee h . 9、若n n y 2=,供n y 4∆及n y 4δ.[解]nn n n n n nn n n n n n n n n j jn j j n j jn n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(123441322314040440444=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆++++++++=-+=-∑∑.22221221122413211204024024021)4(2142121422282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j jn j j n j j j njj jn n y y y y y y j y E j y E Ej y E E y δ. 10、如果)(x f 是m 次多项式,记)()()(x f h x f x f -+=∆,道明)(x f 的k 阶好分)0()(m k x f k ≤≤∆是k m -次多项式,而且0)(=∆+x f l m (l 为正整数).[道明]对付k 使用数教归纳法可证. 11、道明k k k k k k g f g f g f ∆+∆=∆+1)(. [道明]kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ∆+∆=-+-=-+-=-=∆++++++++++1111111111)()()(.12、道明∑∑-=+-=∆--=∆11001n k k k n n n k kk f g g f g f g f .[道明]果为01111111111011)()]()([)(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g fn n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k-=-=-+-=∆+∆=∆+∆∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=,故得证.13、道明:0102y y y n n j j∆-∆=∆∑-=.[道明]01112)(y y y y y n n j j j n j j ∆-∆=∆-∆=∆∑∑-=+-=.14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个分歧真根n x x x ,,,21 ,道明⎩⎨⎧-=-≤≤='-=∑1,20,0)(11n k a n k x f x n nj j k j. [道明]由题意可设∏=-=---=ni i n n n x x a x x x x x x a x f 121)()())(()( ,故∏≠=-='nji i i j n j x x a x f 1)()(,再由好商的本量1战3可知:)!1()(1],,[1)()()1(1111-==-='-=≠==∑∏∑n x a x x x a x x a x xf x n k n n k n nj nj i i i j n k jnj j k j,进而得证.15、道明n 阶均好有下列本量:1)若)()(x cf x F =,则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =; 2)若)()()(x g x f x F +=,则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=.[道明]1)],,,[)()()()()()(],,,[1000000010n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj n x x x cf x xx f c x xx cf x xx F x x x F =-=-=-=∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠=.2)],,,[],,,[)()()()()()()()()(],,,[10100000000010n n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj j nj nji i i jj n x x x g x x x f x xx g x xx f x xx g x f x xx F x x x F +=-+-=-+=-=∑∏∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠==≠=.16、13)(47+++=x x x x f ,供]2,,2,2[71f ,0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f . [解]1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ,]2,,2,2[810 f .17、道明二面三次埃我米特插值余项是()1212)4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ,并由此供出分段三次埃我米特插值的缺面限. [解]睹P30与P33,缺面限为k nk f h h '+≤≤0max 278)(ω. 18、XXXXXXXXXX .19、供一个次数不下于4次的多项式)(x P ,使它谦脚0)0()0(='=P P ,1)1()1(='=P P ,1)2(=P .[解]设1223344)(a x a x a x a x a x P ++++=,则122334234)(a x a x a x a x P +++=',再由0)0()0(='=P P ,1)1()1(='=P P ,1)2(=P 可得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++==+++='=++++==='===012341234012*********)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-===432141234900aa a a a .进而4)3()96(4492341)(2222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P .20、设],[)(b a C x f ∈,把[]b a ,分为n 仄分,试构制一个台阶形的整次分段插值函数)(x n ϕ,并道明当∞→n 时,)(x n ϕ正在[]b a ,上普遍支敛到)(x f .[解]令n i x f x f x ii ii x x x x x xi ,,3,2,1,2)(inf)(sup )(11 =+=≤≤≤≤--ϕ.21、设)1/(1)(2x x f +=,正在55≤≤-x 上与10=n ,按等距节面供分段线性插值函数)(x I h ,预计各节面中面处的)(x I h 与)(x f 的值,并预计缺面.[解]由题意可知,1=h ,进而当[]1,+∈k k x x x 时,)(])1(1[1)()1(1)1(1111)(2121211211k k kk k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++--+=+=++++++.22、供2)(x x f =正在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ,并预计缺面.[解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10,则当[]1,+∈k k x x x ,1,,2,1,0-=n k 时, 进而缺面为))(())((!2)()(112++--=--''=k k k k x x x x x x x x f x R ξ, 故4))(()(212h x x x x x R k k ≤--=+.23、供4)(x x f =正在[]b a ,上的分段埃我米特插值,并预计缺面. [解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10,则当[]1,+∈k k x x x ,1,,2,1,0-=n k 时,)(4)(42121)()(121312113112141121141111++++++++++++++++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='+'++=k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk kk k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα,进而缺面为212212)4(2)()()()(!4)()(++--=--=k k k k x x x x x x x x f x R ξ, 故16)()()(42122h x x x x x R k k ≤--=+.24、给定数据表如下:试供三次样条函数)(x S ,并谦脚条件: 1)6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ; 2)0)53.0()25.0(=''=''S S .[解]由05.025.030.00=-=h ,09.030.039.01=-=h ,06.039.045.02=-=h ,08.045.053.03=-=h ,及(8.10)式)1,,1(,,111-=+=+=---n j h h h h h h jj j j jj j j μλ可知,14909.005.009.01011=+=+=h h h λ,5206.009.006.02122=+=+=h h h λ,7408.006.008.03233=+=+=h h h λ,14509.005.005.01001=+=+=h h h μ,5306.009.009.02112=+=+=h h h μ,7308.006.006.03223=+=+=h h h μ,由(8.11)式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j jμλ可知,7541.2700019279)900768145500477149(3)30.039.05477.06245.014525.030.05000.05477.0149(3])()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.413.2100046332564)6004635390076852(3)39.045.06245.06708.05330.039.05477.06245.052(3])()(53)()(52[3]),[],[(3232312123222122=⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.0814.27001457140011894634)8004727360046374(3)45.053.06708.07280.07339.045.06245.06708.074(3])()(73)()(74[3]),[],[(3343423234333233==⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.进而1)矩阵形式为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.11497541.227405325201452321m m m ,解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6570.08278.09078.0321m m m ,进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.2)此为自然鸿沟条件,故862.2500477325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=⨯=--⨯=--⨯==x x x f x f x x f g ;145.2800572345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=⨯=--⨯=--⨯==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ,矩阵形式为:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡145.20814.2413.27541.2862.227400732740005325200014521490001243210m m m m m ,不妨解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210m m m m m ,进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.25、若],[)(2b a C x f ∈,)(x S 是三次样条函数,道明 1)⎰⎰⎰⎰''-''''+''-''=''-''babababadx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222;2)若),,1,0()()(n i x S x f i i ==,式中ix 为插值节面,且b x x x a n =<<<= 10则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S ba '-'''-'-'''=''-''''⎰.[解]1)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''bababab a ba b ababadxx S dx x f dxx S x f dx x S x f x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([.2)由题意可知,[]b a x A x S ,,)(∈=''',所以)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dxx S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a b ab ab aba'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''⎰⎰⎰.补充题:1、令00=x ,11=x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ,并预计插值余项.[解]由1)(000===-e x y y ,111)(-==e x y y 可知,xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---,余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R , 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ. 2、设4)(x x f =,试利用推格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节面的三次插值多项式. [解]由插值余项定理,有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ,进而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=.3、设)(x f 正在[]b a ,内有二阶连绝导数,供证:)(max )(81)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a bx a ''-≤---+-≤≤≤≤.[证]果为)()()()(a x ab a f b f a f ---+是以a ,b 为插值节面的)(x f 的线性插值多项式,利用插值多项式的余项定理,得到:))()((21)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ,进而)(max )(81)(41)(max 21))((max )(max 21)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a ba b x a ''-=-⋅''=--⋅''≤---+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ.4、设15)(37++=x x x f ,供好商]2,2[10f ,]2,2,2[210f ,]2,,2,2[710 f 战]2,,2,2[810 f .[解]果为7)1()2(0==f f ,1691252)2()2(371=+⨯+==f f ,167051454)4()2(372=+⨯+==f f ,所以162716912)1()2(]2,2[10=-=--=f f f ,826821691670524)2()4(]2,2[21=-=--=f f f ,27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[02102121=-=--=f f f , 1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ,0!80!8)(]2,,2,2[)8(810===ξf f .5、给定数据表:5,4,3,2,1=i ,供4次牛顿插值多项式,并写出插值余项. [解]由好商表可得4次牛顿插值多项式为:)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ,插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R .6、如下表给定函数:4,3,2,1,0=i ,试预计出此列表函数的好分表,并利用牛顿背前插值公式给出它的插值多项式. [解]构制好分表:由好分表可得插值多项式为:32)1(3322)1(332)1()(2020004++=-++=⨯-++=+∆-+∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N .第三章 函数迫近与预计(80-82)1、(a )利用区间变更推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式;(b )对付x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上供1次战3次伯恩斯坦多项式并绘出图形,并与相映的马克劳林级数部分战缺面搞出比较. [解](a )令t a b a x )(-+=,则[]1,0∈t ,进而伯恩斯坦多项式为∑=-=nk k n x P n k a b f x f B 0)())((),(,其中kn k k x a b x k n x P ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(. (b )令t x 2π=,则[]1,0∈t ,进而伯恩斯坦多项式为∑==nk k n x P n kf x f B 0)()2(),(π,其中k n k k x x k n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()(π. xx x x x x x f x x f x P kf x f B k k =+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(010101πππππππ;3223323223223223312213033)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()2(13)6()2(03)0()()6(),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P kf x f B k k ----=+-++-=+-+-=⨯+-⨯+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=πππππππππππππππππππππ.2、供证:(a )当Mx f m ≤≤)(时,M x f B m n ≤≤),(;(b )当x x f =)(时,x x f B n =),(.[道明](a )由∑==nk k n x P nk f x f B 0)()(),(及Mx f m ≤≤)(可知,∑∑∑∑====≤≤≤≤nk k nk k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0)()(),()()(,而1)]1([)1()(00=-+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑=-=nnk k n k nk k x x x x k n x P ,进而得证. (b )当x x f =)(时,xx x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k nk kn k f nk kn k nk k n =-+=----=------=--⨯==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--=--=----=-==-=∑∑∑∑∑110)1(1)1()1(110)0(00)]1([)1()!1(!)!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(.3、正在次数不超出6的多项式中,供x x f 4sin )(=正在[]π2,0的最佳普遍迫近多项式.[解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知,14sin 1≤≤-x ,进而最小偏偏好为1,接错面为ππππππππ815,813,811,89,87,85,83,8,此即为6)(H x P ∈的切比雪妇接错面组,进而)(x P 是以那些面为插值节面的推格朗日多项式,可得0)(=x P .4、假设)(x f 正在[]b a ,上连绝,供)(x f 的整次最佳普遍迫近多项式.[解]令)(infx f m bx a ≤≤=,)(sup x f M bx a ≤≤=,则2)(mM x f +=正在[]b a ,上具备最小偏偏好2m M -,进而为整次最佳迫近一次多项式.5、采用常数a ,使得ax x x -≤≤310max 达到极小,又问那个解是可唯一?[解]果为ax x -3是奇函数,所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤311310max max ,再由定理7可知,当)34(4141333x x T ax x -==-时,坐即43=a ,偏偏好最小.6、供x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最佳一次迫近多项式,并预计缺面.[解]由πππ22sin 2sincos )()()(221=--=='=--=x x f ab a f b f a 可得π2arccos2=x ,进而最佳一次迫近多项式为ππππππππππππ2arccos1242)2arccos 21(224)22arccos0(2)]2sin(arccos 0[sin 21)2()]()([2122212--+=-+-=+-++=+-++=x x x x a x a x f a f y 7、供x e x f =)(正在[]1,0上的最佳一次迫近多项式.[解]由101)()()(01212-=--=='=--=e e e e xf a b a f b f a x 可得)1ln(2-=e x ,进而最佳一次迫近多项式为)1ln(212)1()]1ln(21)[1(2)2)1ln(0)(1(][21)2()]()([21)1ln(0212---+-=---+=-+--++=+-++=-e e e x e e x e e e x e e e x a x a x f a f y e .8、怎么样采用r ,使r x x p +=2)(正在[]1,1-上与整偏偏好最小?r 是可唯一?[解]由r r x x p x x +=+=≤≤-≤≤-1)(max )(max 21111,r r x x p x x =+=≤≤-≤≤-)(min )(min 21111可知当与整偏偏好最小时,r r =+1,进而21-=r .另解:由定理7可知,正在[]1,1-上与整偏偏好最小的二次多项式为21)12(21)(21222-=-=x x x T ,进而21-=r .9、设13)(34-+=x x x f ,正在[]1,0上供三次最佳迫近多项式. [解]设所供三次多项式为)(3x P ,则由定理7可知81)188(81)(21)()(2424433+-=+-==-x x x x x T x P x f ,进而893)81()13()81()()(232434243-+=+---+=+--=x x x x x x x x x f x P .10、令[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n ,供)(*0x T 、)(*1x T 、)(*2x T 、)(3x T . [解]由[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n 可知,令[]1,1,211-∈+=t t x ,则[]1,1),()121(-∈=+t t T t T n n ,进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=1,21),121(21,1),()(00*x x T x x T x T n . 11、试证{})(*x T n 是正在[]1,0上戴权21xx -=ρ的正接多项式.?12、正在[]1,1-上利用插值极小化供x x f arctan )(=的三次近似最佳迫近多项式.[解]由题意可知,插值节面为)3,2,1(,812cos =-k k π,即ππππ87cos ,85cos ,83cos ,81cos 4321====x x x x ,则可供得)(3x L .13、设x e x f =)(正在[]1,1-上的插值极小化近似最佳迫近多项式为)(x L n ,若∞-nL f 有界,道明对付所有1≥n ,存留常数n n βα,,使得)11()()()()(11≤≤-≤-≤++x x T x L x f x T n n n n n βα.[道明]由题意可知,[]1,1),()!1(2)()()(1)1(-∈+=-++ξξx T n f x L x f n n n n ,进而与)!1(2)(min )1(11+=+≤≤-n x f nn x n α,)!1(2)(max )1(11+=+≤≤-n x f n n x n β,则可得供证.14、设正在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ,试将)(x ϕ落矮到3次多项式并预计缺面.[解]果为x x T x 16545161355-+=,8181244-+=x T x ,所以323232307254510241234096199310241029)16545(3840165)81(3841524381211)(~x x x x x x x x x x ---=-------=ϕ,缺面为0056.040962381384016516138415)(~)(≈=+≤-x x ϕϕ.15、正在[]1,1-利用幂级数项数俭朴供x x f sin )(=的3次迫近多项式,使缺面不超出0.005.[解]果为 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n ,与前三项,得到!5!3)(535x x x x L +-=,缺面为0002.0!71)(sin 5≈≤-x L x ,又果为 x x T x 16545161355-+=,所以3次迫近多项式为3333227384383)16545(!51!3sin x x x x x x x +-=-+-=,此时缺面为005.010986.71611201!714<⨯≈⨯+-. 16、)(x f 是[]a a ,-上的连绝奇(奇)函数,道明不管n 是奇数大概奇数,)(x f 的最佳迫近多项式n n H x F ∈)(*也是奇(奇)函数. [解])(x f 的最佳迫近多项式是由切比雪妇多项式得到的,再由切比雪妇多项式的本量4即得.17、供a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小,并与1题及6题的一次迫近多项式缺面做比较. [解]由2120ππ=⎰dx ,8220ππ=⎰dx x ,243202ππ=⎰dx x ,1sin 200==⎰πxdx d ,1cos |)cos (sin 2020201=---==⎰⎰πππxdx x x xdx x d ,可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1124882322a b ππππ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=1148.0)3(86644.0)4(2423ππππb a . 18、],[)(),(1b a C x g x f ∈,定义 (a )()⎰''=aadx x g x f g f )()(,;(b )())()()()(,a g a f dx x g x f g f aa+''=⎰. 问它们是可形成内积?[解](a )果为()0)(0)]([,0)(2='⇔='=⇒=⎰x f dx x f f f x f ba ,然而反之不可坐,所以不形成内积. (b )形成内积.19、用许瓦兹不等式(4.5)预计⎰+161dx xx 的上界,并用积分中值定理预计共一积分的上下界,并比较其截止. [解]1961.026113121)131()11()()11(110131012612106≈==+-=+≤+⎰⎰⎰x x dxx dx xdx x x .果为[]1,0,12666∈≤+≤x x xx x ,所以7112141106106106=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x . 20、采用a ,使下列积分与最小值:⎰-1022)(dx ax x ,⎰--112dx ax x .[解]481)45(51512131)2()(22142321022+-=+-=+-=-⎰⎰a a a dx x a ax x dx ax x ,进而45=a .当0=a 时,12121100111112=+=+-==-⎰⎰⎰⎰---xdx xdx dx x dx ax x ,当0≠a 时,由02=-ax x ,可得接面为ax 1=,若1>a ,则1323121316161)2131()2131()3121()2131()()()(222012310321123012102112112>+=++++-=-+-+-=-+-+-=----⎰⎰⎰⎰a a a aa a x ax ax x x ax dxx ax dx ax x dx x ax dx ax x a aa a,若01>≥a ,则1)2131()3121()()(012102112=----=-+-=-⎰⎰⎰--a a dx x ax dx ax x dx ax x .共理可知,当01<≤-a 时,1112=-⎰-dx ax x ,当1-<a 时,1112>-⎰-dx ax x ,进而当1≤a 时,积分博得最小.21、设{}x span ,11=ϕ,{}1011002,x x span =ϕ,分别正在21,ϕϕ上供一元素,使其为]1,0[2C x ∈的最佳仄圆迫近,并比较其截止.[解]由1110=⎰dx ,2110=⎰xdx ,31102=⎰dx x ,41103=⎰dx x 可知,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ,即正在1ϕ上为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,61. 由201110100100=⋅⎰dx x x ,202110101100=⋅⎰dx x x ,203110101101=⋅⎰dx x x ,1031102100=⋅⎰dx x x ,1041102101=⋅⎰dx x x 可知, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148.37510310420320298243.37510410320220199b a ,即正在2ϕ上为()148.375,243.375-.22、x x f =)(正在[]1,1-上,供正在{}421,,1x x span =ϕ上的最佳仄圆迫近.[解]由1100111=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ,2113013112=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ,。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)
根是x,,2…,x-,且V。x,x…·,x)=V,Cx6,x…·)(x-x)…(x-x)。
V,(xo,x,…x-x)=11】 -x,)用a-x,)
[证明]由
可得求证。
=V,(Cx8,x,…,xX))11(x-x)
2、当x=1-1,2时,f(x)=0,-3.4,求f(x)的二次插值多项式。
L,(x)=y%((xx6--xx,)((xx-2x-x22))
y=f(x)=f0.5)=-0.693147,y2=f(x)=f(0.6)=-0.510826,则
L2(x)=y。 (x-x)(x-x2)
(x6-x)x-x)
(x-x)(x-x)
(x-x)(x-x2)
(x-xo)(x-x) (x2-xo)(x2-x)
=-0.916291×.(0(.x4-0-.05.)5()x(-00..64)-0.6-.
30—+2—9.x9583x31 ̄02'=0.8336×104
14、试用消元法解方程x组1+10"x=100
x+x2=2
,假定只有三位数计算,问结果是否
可靠?
[解]精确解为x1=0100-*1 10"-2 ,当使用三位数运 算时,得到
x =1,x2=1,结果可靠。
15、已知三角形面积s=s去= absinc,其中c为弧度,0<c< 且测量a,b,c
位有效数字;x=56.430有5位有效数字;x=7×10有2位有效数字。 4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中x,x;,x,x;均为第3题所给
的数。
(1)x+x2+x:
e(x+x写+x)=>
[解]
E(x)=E(x)+E(x)+E(x;)
3+tx10=1.05×103
(2)xxx;
(完整版)数值分析插值法
第二章插值法2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值,对每个n值,分别画出插值函数及f(x)的图形。
(1)多项式插值①先建立一个多项式插值的M-file;输入如下的命令(如牛顿插值公式):function [C,D]=newpoly(X,Y)n=length(X);D=zeros(n,n)D(:,1)=Y'for j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endendC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)))m=length(C);C(m)= C(m)+D(k,k);end②当n=10时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clf,hold on;X=-1:0.2:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.2:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f(x)图形:③当n=20时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clf,hold on;X=-1:0.1:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.1:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f(x)图形:(2)三次样条插值①先建立一个多项式插值的M-file;输入如下的命令:function S=csfit(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));C=H(2:N);U=6*diff(D);B(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1));B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N));for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);endM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);endM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1));S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6;S(k+1,4)=Y(k+1);end②当n=10时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clcX=-1:0.2:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图:②当n=20时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clcX=-1:0.1:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图:第三章函数逼近与快速傅里叶变换2. 由实验给出数据表x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0y 1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46试求3次、4次多项式的曲线拟合,再根据数据曲线形状,求一个另外函数的拟合曲线,用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
(完整版)数值分析课后习题答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。
解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足,而,故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。
解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.下列公式如何才比较准确?(1)(2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。
(1)(2)4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取,利用:式计算误差最小。
四个选项:第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。
线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值误差限,因,故二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值误差限,故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h 应取多少?解:用误差估计式(5.8),令因得3. 若,求和.解:由均差与导数关系于是4. 若互异,求的值,这里p≤n+1.解:,由均差对称性可知当有而当P=n+1时于是得5. 求证.解:解:只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解:根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解:先构造差分表计算,用n=4得Newton前插公式误差估计由公式(5.17)得其中计算时用Newton后插公式(5.18)误差估计由公式(5.19)得这里仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。
数值分析版试题及答案
数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-例1、已知函数表求()f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解:(1)由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为(2)一阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton 二次插值多项式为例2、 设2()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解:若{}span 1,x Φ=,则0()1x ϕ=,1()x x ϕ=,且()1x ρ=,这样,有 所以,法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程,得到14a =,0116a =故,所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解:若{}span 1,x Φ=,则0()1x ϕ=,1()x x ϕ=,这样,有 所以,法方程为解法方程,得到00.8732a =,1 1.6902a =, 故,所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解:(1)用4n =的复合梯形公式由于2h =,()f x =,()121,2,3k x k k =+=,所以,有 (2)用4n =的复合辛普森公式由于2h =,()f x =,()121,2,3k x k k =+=,()12220,1,2,3k xk k +=+=,所以,有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
数值分析李庆杨版习题及答案
第四版数值分析习题答案第一章 绪论习题参考答案1. ε(lnx )≈***()()r x x xεεδ==。
2.1******()()()()0.02n nnr nn n x x x n x x n xxxεεεε-=≈==。
3. *1x 有5位有效数字,*2x 有2位有效数字,*3x 有4位有效数字,*4x 有5位有效数字,*5x 有2位有效数字。
4.******4333124124()()()()0.5100.5100.510 1.0510x x x x x x εεεε----++≈++=⨯+⨯+⨯=⨯************123231132123()()()()0.214790825x x x x x x x x x x x x εεεε≈++=****62224***24441()()()8.85566810x x x x x x x εεε-≈-=⨯。
5.1()1()()()0.00333333r r r V R V V V εεεε=≈===。
6.33100111()100101010022Y ε--=⨯⨯⨯=⨯。
7.12855.982x =≈,21280.0178655.982x ==≈≈。
8. 21arc 12N dx tgN x π+∞=-+⎰9.121()()0.0052x S S εεε-=≈=。
10. ()()0.1S g t t g t εε≈=,2()2()0.2()12r g t t t S t t gt εεε≈==,故t 增加时S 的绝对误差增加,相对误差减小。
11. 1081001()10()102y y εε==⨯,计算过程不稳定。
12.61)0.005051f =≈,1.4=,则611)0.004096f ==,20.005233f ==,33(30.008f =-=,40.005125f ==,5991f =-=,4f 的结果最好。
13.(30) 4.094622f =-,开平方时用六位函数表计算所得的误差为41102ε-=⨯,分别代入等价公式)1x x (ln )x (f ),1x x (ln )x (f 2221++-=--=中计算可得411()ln(1(60103102f x εε--=+≈=+=⨯⨯=⨯,47211()ln(1108.3310602f ε--=+≈=⨯⨯=⨯。
数值分析第五版习题答案清华大学出版社
1.设 x 0 , x 的相对误差为 ,求 ln x 的误差。
解:近似值
*
x 的相对误差为
* e* x * x
= er
x*
x*
而 ln x 的误差为 e ln x *
ln x * ln x
1 e*
x*
进而有 (ln x*)
2.设 x 的相对误差为 2%,求 xn 的相对误差。
解:设 f ( x )
cos x 的近似
值时,采用的线性插值法插值余项不为 0,也会有一定的误差。因此,总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
当 0 x 90 时,
令 f ( x ) cos x
1 取 x0 0, h ( )
60
1 60 180
令 xi x 0 ih , i 0,1,..., 5400
10800
则 x5400
3
2.给出 f ( x ) ln x 的数值表
X
0.4
lnx
-0.916291
用线性插值及二次插值计算
解:由表格知,
0.5
0.6
-0.693147
-0.510826
ln 0.54 的近似值。
x0 0.4, x1 0.5, x 2 0.6, x3 0.7, x4 0.8; f ( x 0 ) 0.916291, f ( x1 ) 0.693147 f ( x 2 ) 0.510826, f ( x3 ) 0.356675 f ( x 4 ) 0.223144
2 1.41
( y 0 *)
1
2
10
2
又 y n 10 yn 1 1
y1 10 y0 1
( y1*) 10 ( y 0 *) 又 y 2 10 y1 1
数值分析习题答案
第一章 绪论3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:**1 1.1021x =,**20.031x =, **3385.6x =, **456.430x =,**57 1.0.x =´解:*1 1.1021x =是五位有效数字;是五位有效数字;*20.031x =是二位有效数字;是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字;是四位有效数字;*456.430x =是五位有效数字;是五位有效数字; *57 1.0.x =´是二位有效数字。
是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
题所给的数。
解:解:*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x e e e e e -----=´=´=´=´=´ ***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x e e e e ----++=++=´+´+´=´***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x e e e e ---=++=´´´+´´´+´´´»**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x e e e ---+»´´+´´=´= 6.设028Y =,按递推公式11783100n n Y Y -=- (n=1,2,n=1,2,……)计算到100Y 。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
(1)*4*2*1x x x ++;[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。