运用口诀判断二次函数的系数关系式.docx
二次函数速记口诀.docx
二次函数速记口诀二次方程零换y,二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调止相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点, 提収配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减插号内，号外上加下要减。
二次方程零换y,就得到二次函数。
图像叫做抛物线，立义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
分为：二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、面积等问题）重要思想：①分类讨论I 代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题;②转化思想（待泄系数）j 代表性题型：面积问题，二函数图彖与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等；③最短路径j 代表性题型：利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标; ④ 尺规作图T 代表性题型：二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直 角三角板与圆规进行尺规作图分析；提取配方定顶点, 平移描点皆成图。
列表描点后连线, 三点大致定全图。
若要平移也不难, 先画基础抛物线,顶点移到新位置， 二次函数与儿何方法开口大小随基础。
⑤极端值思想-代表性题型：动态几何问题，动态函数问题；⑥数形结合思想-代表性题型：函数与几何综合题。
二次函数的常见考法(1) 考查一些带约束条件的二次函数最值；(2) 结合二次函数考查一些创新问题二次函数的实际应用在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多"利润最大"、"用料最少"、"开支最节约"、"线路最短"、"面积最大"等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
二次函数根与系数的关系公式
二次函数根与系数的关系公式二次函数是代数中的一种重要函数类型，其形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的根是使得函数等于零的x值。
根据二次函数的定义，当f(x) = ax² + bx + c = 0时，求解x的值就是求二次函数的根。
求二次函数的根是我们经常需要做的一种数学问题。
在计算过程中，我们需要了解二次函数的根与系数之间的关系公式，以便更好地理解和解决这类问题。
从解二次方程的角度来看，二次函数的根可以通过求解相应的二次方程来获得。
对于一般的二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以使用以下公式来求解：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a这个公式称为二次方程的求根公式，它给出了二次方程的根与系数a、b、c之间的关系。
根据这个公式，可以看出：1. 根的个数：二次方程的根的个数由判别式决定，即b² - 4ac。
如果判别式大于零，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，则方程没有实数根。
2.根的取值：根的取值由公式中的正负号决定。
在求根公式中，我们可以看到±号，这表示在求解根的过程中，我们需要考虑两个可能的根。
取正号的根对应着加号，取负号的根对应着减号。
此外，二次函数的系数a、b、c之间也存在一定的关系。
我们可以看出：1.a的正负：二次函数的系数a的正负决定了抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.a的绝对值：二次函数的系数a的绝对值决定了抛物线的背离x轴的程度。
绝对值越大，抛物线与x轴的交点越远。
3.根的和与积：根的和可以通过系数b/a得到，根的积可以通过常数项c/a得到。
具体地，根的和为-b/a，根的积为c/a。
这些关系对于解决一些实际问题时，可以提供便利。
二次函数压轴题解题口诀
二次函数压轴题解题口诀，是高中数学学习中最重要的一环，可以帮助学生更好的掌
握二次函数的知识，加深对二次函数的理解。
学习二次函数压轴题解题口诀有以下三个步骤：
第一步：认真研究题目，把题目中的关键信息提取出来，如方程的参数、函数的表达
式等；
第二步：根据口诀，结合题目中的关键信息，来解决题目；
第三步：检查解题的正确性，进行有效的复核，确保解题正确。
二次函数压轴题解题口诀的最重要的就是“以a为关键，b和c要靠肩，求根号内容，反求外部法”。
其中a是二次函数的系数，b和c是二次函数的一次项和常数项，求根号
内容是指求二次函数的两个实数根，反求外部法是指求出二次函数的表达式。
此外，还有一些其他的口诀，如：“三角求根，解二次方程，用函数表示，反求外部法”。
这些口诀把二次函数的解题思路概括得很形象，可以帮助学生更好的理解二次函数。
总之，学习二次函数压轴题解题口诀，不仅可以帮助学生深入理解二次函数，还可以
提高学生的解题能力，更好地应对二次函数压轴题。
初中二次函数知识点详解助记口诀
关于y轴对称，x变成-x，y不变 。
关于原点对称，x变成-x，y变 成-y。
伸缩变换规律
横向伸缩
自变量的系数变化。系数大于1是横向压缩；系数 小于1是横向拉伸。
纵向伸缩
函数值的系数变化。系数大于1是纵向拉伸；系数 小于1是纵向压缩。
04
二次函数与一元二次方程关系
Chapter
一元二次方程根与系数关系
01
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的根 $x_1, x_2$ 与系数 $a, b, c$ 的关系为：$x_1 + x_2 = -frac{b}{a}, quad x_1 times x_2 = frac{c}{a}$
02
判别式 $Delta = b^2 - 4ac$，当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根 ；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程无实 根。
平移规律要记牢，左加右减常 数项。
伸缩变换看系数，横纵坐标同 比例。
图像变换规律助记口诀
01
02
03
04
抛物线平移规律清，左 加右减纵不变。
伸缩变换看系数，横坐 标变纵不变。
对称轴和顶点变，开口 方向和宽窄见。
实际应用多体验，数形 结合思维显。
THANKS
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初中二次函数知识点详解助记口诀
汇报人：XXX 2024-01-28
目录
• 二次函数基本概念与性质 • 二次函数解析式与求法 • 二次函数图像变换规律 • 二次函数与一元二次方程关系 • 二次函数在实际问题中应用 • 助记口诀及学习技巧分享
初中二次函数知识点详解助记口诀
初中二次函数知识点详解助记口诀一、基本概念：一元二次函数二种加前缀，顶点和对称轴要学记。
开口向下时，a是正的；开口向上时，a是负的。
对称轴x=-b/2a，顶点就是“反b”。
二次项系数a说明开口，a>0是开口向上的；轴对称的顶点在x轴上。
二、一元二次函数图像特点：若a>0，开口向上往后走；若a<0，开口向下导孔。
三、顶点坐标和轴对称：对称轴的坐标是x=-b/2a,顶点的坐标是(-b/2a,f(-b/2a))。
四、二次函数的平移变换：y=a(x-h)²+k，顶点平移是y坐标;a决定开口的方向；正数代表开口向上，负向下；k是y坐标增量的意思；b/c的平移还出问题。
五、二次函数的图像倒置：要记住它的奇偶图像变化特性：当a>0，图像是奇，左偏有右；当a<0，图像是偶，左右相等。
六、二次函数图像变宽窄：a>0,宽窄形状调：大弯小长，穿插中值两点；a<0,宽窄形状变：小弯大长，在其中间旋。
七、一次、二次函数交点：解方程可以求“两”交点；重联中使用可以减。
八、满二次平方差分：若f(x)=2((x-1)²)+15,f(x)-f(1)=2(x-1)²+15-2=2(x-1)²+13同理：f(x)= (x-1)²+sin(x),则f(x)-f(1)= (x-1)²+sin(x) - 0 ² + sin(0) = (x-1)²+sin(x)-sin(0)九、关于系数a1>a2,a1 red, a2 yellow,y=a1*f(x) 宽;a1 green, a2 purple,y=a2*g(x) 窄。
a1=a2,颜色滑稽，开口相同，图形相似。
十、二次函数的判别式：b²-4ac=”b”的平方差大的等于大，开口向下；大的小于零，开口向上；等于零的状况两个相同。
十一、二次函数零点以及范围：可以根据判别式来判断。
二次函数配方口诀
二次函数配方口诀求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程、最大值或最小值等都需要运用配方法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，其中配方是学习中的难点，这里的配方虽然与一元二次方程的配方有点类似，但不尽相同，不少初学者茫然无措．现将配方过程归纳为如下口诀，方便大家的学习．二次系数先提取，常数暂且往后移；一次系数取一半，平方以后再加减；前三配方四相乘，最后再算常数项．口诀解析：'二次系数先提取，常数暂且往后移'的意思是：把y=ax2+bx+c的二次项系数a作为公因式提取，常数项c放到括号外的后面，化为：'一次系数取一半，平方以后再加减'的意思是：在括号内的x2+bx/a，取一次项的系数b/a的一半b/(2a)，加上和减去它的平方[b/(2a)]2，化为：'前三配方四相乘'的意思是：具体运用看如下例子：例1把y=2x2-3x-5化为y=a(x-h)2+k的形式.解：'二次系数先提取，常数暂且往后移'，得：y=2(x2-3x/2)-5；'一次系数取一半，平方以后再加减'得：y=2(x2-3x/2+9/16-9/16)-5；'前三配方后相乘'，得y=2(x-3/2)2-9/16×2-5；'再加后面常数项'，得：y=2(x-3/2)2-49/8.例2 用配方法求二次函数y=-x2+4x+1的图象顶点坐标．解：根据配方口诀，得：y=-( x2-4x)+1=-( x2-4x+4-4)+1=-[ (x-2)2-4]+1=-(x-2)2-4×(-1)+1=-(x-2)2+5.所以顶点坐标为（2，5）．例3 求二次函数y=3x2/2+9x-7的最小值．解：根据配方口诀，得：y=3/2(x2+6x)-7=3/2(x2+6x+9-9)-7=3/2[(x+3)2-9]-7=3/2(x+3)2-9×3/2-7=3/2(x+3)2-41/2，因为a=3/2>0，所以当x=-3时，y最小值=-41/2. 例4求抛物线y=ax2-4ax+1的对称轴方程．解：y=a(x2-4x)+1=a(x2-4x+4-4)+1=a[(x-2)2-4]+1=a(x-2)2-4a+1，所以对称轴方程为x=2.。
二次函数必背口诀
二次函数必背口诀一、二次函数定义二次函数是指一般的二次方程可以写成y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数的顶点二次函数的顶点即抛物线的最低点或最高点。
当a>0时，顶点是最低点；当a<0时，顶点是最高点。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是抛物线的中轴线，对称轴的方程是x=-b/2a。
五、二次函数的零点二次函数的零点即方程ax²+bx+c=0的解，可以使用求根公式或配方法来求得。
六、二次函数的平移二次函数的平移是指将抛物线沿x轴或y轴方向移动一定的距离。
平移后的二次函数的顶点、对称轴和零点位置都会发生变化。
七、二次函数的性质1. 当a>0时，二次函数的图像在顶点处是最小值；当a<0时，二次函数的图像在顶点处是最大值。
2. 当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
3. 当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
4. 当a>0时，二次函数的零点有两个；当a<0时，二次函数的零点有零个或两个。
5. 当a>0时，二次函数的对称轴是x=-b/2a；当a<0时，二次函数的对称轴是x=-b/2a。
6. 当a>0时，二次函数的顶点是最低点；当a<0时，二次函数的顶点是最高点。
八、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。
例如，抛物线的运动轨迹、物体的抛射运动、电磁波的传播和反射等都可以用二次函数来描述和分析。
九、总结通过对二次函数的必背口诀的学习，我们可以更好地理解和掌握二次函数的定义、图像、顶点、对称轴、零点、平移、性质和应用。
二次函数是数学中重要的概念和工具，对于解决实际问题和学习其他数学知识都具有重要意义。
九年级二次函数口诀大集结
二函数口诀（一）
二次函数抛物线，图像对称是关键。
开口顶点和交点，它们确定图象限。
开口大小由a断，c 与y轴来相见。
b的符号较特别，联合a c定顶点。
顶点坐标最重要，配方以后它就到。
横坐标是对称轴，纵坐标把最值找。
注意：a的绝对值越大开口张开程度就越小
二次函数口诀（二）
二次函数抛物线，待定需要三个点。
a的正负开口判，c 的大小y 轴看。
△的符号最简单，X 轴上数交点。
b的正负a来判，a,b同号轴左边。
抛物线平移a不变，顶点牵着图像转。
三种形式可变换，配方作用最关键。
象限角的平分线，坐标特征有特点。
一三横纵都相等，二四横纵确相反。
二次函数应用小口诀（三）
二次函数被应用，生活当中真不少。
求个面积最大值，或者看谁利润高。
面积关键长和宽，都用X表示它两。
销量单价算利润，若有成本要减掉。
根据题目找变量，设列解求不能少。
设出变量列方程，解除变量求最值。
熟练掌握这四步，实际问题搞定了。
二次函数配方口诀（四）
二次函数要注意，首项系数化为一。
常数要往中间看，中间一半再平方。
有借有还不再难，括号尾部往前乘。
尾部系数要化简，完全平方记心间。
二次函数顺口溜(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】九年级数学顺口溜函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。
一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。
24. 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象限；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。
若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限；k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。
二次函数二次方程零换y，二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫做抛物线，定义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
初中二次函数知识点详解助记口诀 (2)
二次函数知识点详解知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22yx+知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
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黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）内含 <全文看完后再决定下不下载>十二个知识点最新原创助记口诀用心背后就知好二次函数疑难问题一扫光简洁实用直指中考高分知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0x⇔y>,0>点P(x,y)在第二象限0⇔yx<,0>点P(x,y)在第三象限0x⇔y,0<<点P(x,y)在第四象限0x⇔y,0<>2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上0⇔y，x为任意实数=点P(x,y)在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22yx+知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
二次函数一般式及平移规律口诀
二次函数一般式及平移规律口诀二次函数一般式及图像关系二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c(a≠0)。
a、b、c值与图像关系a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
c>0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c<0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。
a=0时，此图像为一次函数。
b=0时，抛物线顶点在y轴上。
c=0时，抛物线在x轴上。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
二次函数的平移规律口诀上加下减，左加右减y=a(x+b)²+c，是将y=ax²的二次函数图像按以下规律平移(1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。
(2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。
(3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。
(4)b<0时，图像向右平移b个单位(右减)。
二次函数的顶点坐标公式二次函数的一般式为:y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式为：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)。
推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀.doc
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向 对称轴 顶点坐标2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2 ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
二次函数知识点详解及巧记口诀
5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙。
k S k xy xky ==∴=,, 。
知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
知识点九、二次函数的性质1、二次函数的性质 函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）； （3）在对称轴的左侧，即当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>a b2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=a b 2-时，y 有最小值，a b ac y 442-=最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（ab 2-，ab ac 442-）； （3）在对称轴的左侧，即当x<ab 2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab 2-时，y 有最大值，ab ac y 442-=最大值2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
二次函数速记口诀
二次函数速记口诀二次方程零换y，二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫做抛物线，定义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。
二次函数与几何方法分为：二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、面积等问题)重要思想：①分类讨论→代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题;②转化思想(待定系数)→代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等; ③最短路径→代表性题型：利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标;④尺规作图→代表性题型：二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直角三角板与圆规进行尺规作图分析;⑤极端值思想→代表性题型：动态几何问题，动态函数问题;⑥数形结合思想→代表性题型：函数与几何综合题。
二次函数的常见考法(1)考查一些带约束条件的二次函数最值;(2)结合二次函数考查一些创新问题二次函数的实际应用在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
那么解决这类问题的一般步骤是：第一步：设自变量;第二步：建立函数解析式;第三步：确定自变量取值范围;第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。
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运用口诀判断二次函数的系数关系式
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍儿个口诀来帮助同学们解惑.
1.基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数.“四看”是对二次函数y=ax? + bx+c (aHO)的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图彖直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用.
例1二次函数y = ax2+bx+c(aH0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( )
(A)b2-4ac>0 (B)a>()
(C)c>0 (D)b<0
分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称
轴在y轴的右侧，则a、b异号,故bvO：由抛物线与y轴交于
负半轴，故c<0；
由抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0. 所以本题答案是C.
分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“才盾排除法”.
对A屮的图象分析可得：在抛物线
屮，
a>().b>0,c>0
；
在直线
屮，
a>0,b>0,无矛
盾, 可为备选答案.
对B中的图象分析可得：在抛物线
中，a<0,b<0,c<0
；
在直线
中，
a>0.b=0,有矛
盾, 故排除.
对C中的图象分析可得：在抛物线
中，a>0,b<0,c>0
；
在直线中, a<0,b>0,有矛
盾, 故排除.
对D中的图象分析可得，在抛物线
中，
av(),b>0,c<0
；
在直线中, av(),b<(),有矛
盾，故排除.
所以本题答案是A.
注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象我们可以
对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号
判断.但如果遇到关于a、b、c间的一些加减组合式又如何来处理呢？
2.组合二看
（1）三全看点
在a、b、c间的加减组合式中,最常见的如“a+b+c”，“a-b+c”，“4a+2b+c”，“4a —2b+c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1,这时只要取x为b前的系数代入二次函数y = ax2+bx+c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可.
（2）有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决.少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c,则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b,则可利用对称轴提供的a、b 间转换信息，把a （或b）用b （或a）代换即可.
例3已知二次函数（aHO）的图彖如图3所示，有下列4个结论：©2a+b=0；②
b<a+c；③4a+2b+c>0；④3a+c>0.其中正确的结论有（）
（A）l 个（B）2 个
（C）3 个D. 4 个
分析本题中的②③三个字母都在，且符合“三
全看点”的特征，其中②变形后为a —b+c>0,由
f（—1 ）<0»知a—b+c<0»不符合；③中由
f（2）>0,知4“+2b+c>0,符合要求.
本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征, 其中①少c,可直接找对称轴, 由对称轴方程为直线x=~ —= 1,即2a+b=0,符合要求；而④少b,显然是利用对称2a
轴方程中b=—2a这个关系式，将原来式子中的b代换成了s,我们可能根据“三全看点” 中a、b间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为a-b+c,或为9a+3b+c, 再任取其一判断，可得3a+c<0,不符合.
所以本题答案是B.
例4如图4,已知二次函数y = ax?+bx+c的图象与x轴相交于（xi，0）,（X2，0）
两点,且O<xi<l, 1<X2<2,与y轴相交于（0, 一2）・下列结论：©2a+b>l；②3a+b>0；
③a+b<2；④b2+8a>0；⑤a—b>2.其中正确结论的个数为（
（A）l 个（B）2 个
（C）3 个（D）4 个
分析本题有一个重要数据条件“与y
轴相交于（0, —2）”，即c=—2.所以本题不少
选项中的C 为一2所取代，如在③中要判断3
+ b<2是否正确，就是要看a+b —2<0是否正确，即判断“a+b+c",所以可以取x=l 得 a+b+c>0,即 a+b —2>0,故③错误；
同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“a—b+c”与“4a+2b+c”，分别取x =—1与x=2,即知①⑤都是错误的.
由④所给的%2 + 8a>0n 可联想到“抛物线与x 轴有两个交点”，所以由b 2-4ac>0即 得④正确.
只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线x=- —,由“抛
1
Q
物线与 X 轴相交于(XI ，0),(X2, 0)两点,且 OVX]V1, 1VX1V2"可知“一 且“抛物线下口向下”知“a<0”，故有“a+b 〉0”或“3a+b<0”，可得②错误.
所以本题答案是A.
注 与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时, 更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息.
3・取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试収值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据 (或范围)，取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断.
例5从如图5所示的二次函数y=ax2 + bx+c (aHO)的图象中，观察得出了下面五 条信息：①“b>0；②a+b+cvO ；③b+2c>0；④a —2b+4c>0；⑤a — — b.
你认为其中正确信息的个数有() (A)2 个 (B)3 个
(C)4 个 (D)5 个
分析 本题可用“取值法”判断.
4 |
根据对称轴収(一上，0)、(-, 0)两点，再任取与y
3 3
4 2
9 3
即得8= ——, b = —— , c= 1.
把它代入到①~⑤中，即可知都是正确的. 所以本题答案是D.
注 用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可
,
2 2a 2
轴正半轴上的一个交点(0, 1),可求出
但如果遇到抛物线在某特定范围内变化吋，要判断某些字母的取值范围时，我们还要采用“取临界值法”加以研究.
例6如图6所示，抛物线y = ax? + bx + c 与x 轴交于点A( —1, 0),顶点坐标为(1, n),与y 轴的交点在(0, 2)、(0, 3)之间(包括端点).有下列结论：①当x>3时，y<0；② 2 Q
3a+b>0；③一IWaW ——:④—WnW4.其中正确的有(
)
3 3
(A)l 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
分析 本题由対称可知抛物线与x 轴的另一个交点为 (3, 0),故①是正确的.
由对称轴为直线x= —— =1,知b=—2a,则3a+b = 2a 3a-2a=a<0,故②是错误的.
这里③④用逻辑判断就比较难，这时我们可以使用“取值法”.因为“抛物线与y 轴 的交点在(0, 2)、(0, 3)之间(包括端点)”，故可以使用“取临界值法”，分别取(0, 2), (0, 3)与(一1, 0), (3, 0)进行计算，可求出它们所对应的两个抛物线的解析式为
2 2
所以可知一lWaW —— ,
即③④都是正确的.
3 3 所以本题答案是C.
上述方法有吋计算量较大，但仍有一定的实用性，笔者希望大家能够了解和掌握
.
和 y=—（X —1）2+4,。