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运用口诀判断二次函数的系数关系式

学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍儿个口诀来帮助同学们解惑.

1.基础四看

“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数.“四看”是对二次函数y=ax? + bx+c (aHO)的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图彖直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用.

例1二次函数y = ax2+bx+c(aH0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( )

(A)b2-4ac>0 (B)a>()

(C)c>0 (D)b<0

分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称

轴在y轴的右侧，则a、b异号,故bvO：由抛物线与y轴交于

负半轴，故c<0；

由抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0. 所以本题答案是C.

分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“才盾排除法”.

对A屮的图象分析可得：在抛物线

屮，

a>().b>0,c>0

；

在直线

屮，

a>0,b>0,无矛

盾, 可为备选答案.

对B中的图象分析可得：在抛物线

中，a<0,b<0,c<0

；

在直线

中，

a>0.b=0,有矛

盾, 故排除.

对C中的图象分析可得：在抛物线

中，a>0,b<0,c>0

；

在直线中, a<0,b>0,有矛

盾, 故排除.

对D中的图象分析可得，在抛物线

中，

av(),b>0,c<0

；

在直线中, av(),b<(),有矛

盾，故排除.

所以本题答案是A.

注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象我们可以

对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号

判断.但如果遇到关于a、b、c间的一些加减组合式又如何来处理呢？

2.组合二看

（1）三全看点

在a、b、c间的加减组合式中,最常见的如“a+b+c”，“a-b+c”，“4a+2b+c”，“4a —2b+c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1,这时只要取x为b前的系数代入二次函数y = ax2+bx+c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可.

（2）有缺看轴

当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决.少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c,则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b,则可利用对称轴提供的a、b 间转换信息，把a （或b）用b （或a）代换即可.

例3已知二次函数（aHO）的图彖如图3所示，有下列4个结论：©2a+b=0；②

b0；④3a+c>0.其中正确的结论有（）

（A）l 个（B）2 个

（C）3 个D. 4 个

分析本题中的②③三个字母都在，且符合“三

全看点”的特征，其中②变形后为a —b+c>0,由

f（—1 ）<0»知a—b+c<0»不符合；③中由

f（2）>0,知4“+2b+c>0,符合要求.

本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征, 其中①少c,可直接找对称轴, 由对称轴方程为直线x=~ —= 1,即2a+b=0,符合要求；而④少b,显然是利用对称2a

轴方程中b=—2a这个关系式，将原来式子中的b代换成了s,我们可能根据“三全看点” 中a、b间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为a-b+c,或为9a+3b+c, 再任取其一判断，可得3a+c<0,不符合.

所以本题答案是B.

例4如图4,已知二次函数y = ax?+bx+c的图象与x轴相交于（xi，0）,（X2，0）

两点,且Ol；②3a+b>0；

③a+b<2；④b2+8a>0；⑤a—b>2.其中正确结论的个数为（

（A）l 个（B）2 个

（C）3 个（D）4 个

分析本题有一个重要数据条件“与y

轴相交于（0, —2）”，即c=—2.所以本题不少

选项中的C 为一2所取代，如在③中要判断3

+ b<2是否正确，就是要看a+b —2<0是否正确，即判断“a+b+c",所以可以取x=l 得 a+b+c>0,即 a+b —2>0,故③错误；

同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“a—b+c”与“4a+2b+c”，分别取x =—1与x=2,即知①⑤都是错误的.

由④所给的%2 + 8a>0n 可联想到“抛物线与x 轴有两个交点”，所以由b 2-4ac>0即 得④正确.

只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线x=- —,由“抛

1

Q

物线与 X 轴相交于(XI ，0),(X2, 0)两点,且 OVX]V1, 1VX1V2"可知“一 且“抛物线下口向下”知“a<0”，故有“a+b 〉0”或“3a+b<0”，可得②错误.

所以本题答案是A.

注 与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时, 更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息.

3・取值计算

当解题感到无从下手时，可以尝试収值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据 (或范围)，取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断.

例5从如图5所示的二次函数y=ax2 + bx+c (aHO)的图象中，观察得出了下面五 条信息：①“b>0；②a+b+cvO ；③b+2c>0；④a —2b+4c>0；⑤a — — b.

你认为其中正确信息的个数有() (A)2 个 (B)3 个

(C)4 个 (D)5 个

分析 本题可用“取值法”判断.

4 |

根据对称轴収(一上，0)、(-, 0)两点，再任取与y

3 3

4 2

9 3

即得8= ——, b = —— , c= 1.

把它代入到①~⑤中，即可知都是正确的. 所以本题答案是D.

注 用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可

,

2 2a 2

轴正半轴上的一个交点(0, 1),可求出