2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点
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1 必要的假设 如下一些假设是基本的：1）假设我国在今后一个较长时间段内社会政治经济形势稳定，工资不
会出现异常动荡。2）假设男女同工同酬。3） 假设现有缴费及发放制度在一个充 分长的时间段内不 发生变化。4）假设附件 2 中反映的该企业不同年龄的职工工资与企业平均工资的比例可以用来计 算一个普通职工的养老保险缴费指数。5）假设只有个人账户中的储存额产生利息，而社会统筹基金 账户中的储存额不产生利息。6）假设附件 1 中的社会平均工资为缴费工资。7）为便于计算，可以 假设第 i 岁参加工作、退休、死亡均是指在刚满 i 周岁时，缴费年数为整数。 2 问题一
45-49 1.267
50-54 1.209
55-59 1.115
本题的本意是将此数据作为一个一般意义上的 企业职工在不同年龄段时的缴 费指数。如果学生 在计算养老金支出时没有利用该数据，只考虑了 一些特殊情况，如缴费指数取固 定值，是不合题意 的。对于 60-64 岁的职工的缴费指数，可以基于一些简单合理的假设进行预测。
k 1
(1 r)i1
.
如果学生没有考虑到“现值”方法和养老金随社会平均工资同步增长等因素，应当酌情扣分。 5 问题四
这里可以考虑的措施有如下几条：
1、推迟退休年龄；2、尽早开始缴纳养老保险；3、提高个人账户缴费 率；4、提高社会统筹基
金账户缴费率。
其中前两条对于达到目标替代率和维持养老保险基金收支平衡均有显著的促进作用。“提高个人
虽然我国当前正处于经济快速发展期，但考虑到我国发展的战略目标是在二十一世纪中期达到 中等发达国家的经济发展水平，而发达国家的工 资增长率多比较低，所以应当假 设我国未来的工资 增长率会逐步降低。只要符合这一假设的预测方法，都可以认为是恰当的。如 Logistic 模型以及其 它阻滞型增长模型均可用，用这些方法得到的工资上限大约在 2010 年工资水平的 3-4 倍左右。但若 假设工资以固定比例增长或线性增长、以及用线 性或多项式拟合都是不恰当的， 用灰色预测或指数 预测也不恰当。
在计算社会统筹基金账户和个人账户金额时，按年或按月缴存的两种计算方式都是可以的。 到退休时职工个人账户中的金额的计算模型如下：
∑k 退休前第 k 年缴费额本息=∑k 退休前第 k 年缴费工资×缴费率× (1 r)k ,
其中 r 为银行利息。学生中可能会出现忘记计算个人账户利息或利息计算错误的情况。 因为社会统筹基金账户中的储存额不计利息，所以其中金额的计算模型如下： ∑k 退休前第 k 年缴费额=∑k 退休前第 k 年缴费工资×缴费率. 退休后第一个月领取的养老金=基础养老金+个人账户养老金，其中 基础养老金=（退休前一年社会平均工资+本人指数化月平均缴费工资）/2×缴费年限×1%； 个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数。 其中，
账户缴费率”可以提高目标替代率，但计发月数 不变时，对基金平衡没有帮助， 而且会减少职工工
资收入。“提高社会统筹基金缴费率”对维持基金平衡有帮助，但对目标替代率没有帮助，而且会增
大企业负担。
学生可以根据自己的假设给出建议，应当有一定的计算结果来支持其建议。
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题评阅要点
[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
命题思 路： 企业退休职工养老金制度改革及退休推迟问题是一个热点课题。由于国情的复 杂和 数据的缺乏，对全国甚至一个地区的社会统筹基 金进行总体规模的预测都是困难 的，所以本题仅限 于在现有制度下，对职工个人的基金和个人账户 收支情况进行精算。本题的数学 模型并不复杂，关 键是学生正确理解养老金收支计算办法和题目的要求。
3 问题二 根据附件 2，用加权平均方法容易求得该企业不同年龄段的职工工资与企业平均工资的比值，结
果如下：
表 1：该企业不同年龄段职工平均工资与企业平均工资的比值：
年龄段（岁） 个人工资与
企业平均工资之比
20-24 0.669
25-29 0.805
30-34 0.983
35-39 1.067
40-44 1.173
本人指数化月平均缴费工资=
i
退休前第i年缴费工资
退休前一年社会平均工资 退休前第i年社会平均工资
12 缴费年数
则该职工退休时实际替换率=退休后第一个月领取的养老金/退休前一个月该职工的月工资。 4 问题三
由于在领取养老金的过程中，个人账户中的钱仍然在计算利息，所以 比较准确而且简单的计算 方法是利用“现值”理论，即把整个过程中领取 的钱数都转化为刚退休时的现值 。因为社会统筹基 金账户中的资金不计利息，所以其支出额不必考虑现值。
假设退休金会随着社会平均工资的增长而同步增长。设 qi 为退休后第 i 年工资增长率，前面已
i
求得刚退休时第一个月的基础养老金为 z1 ，则第 i 年领取的基础养老金为12z1 (1 qk1) ，则该职 k 1
d
i
工到去世时领取的基础养老金总和为 g1 12z1 (1 qk1) ，其中 d 为死亡年龄， 为退休年龄。
i 1
k 1
Βιβλιοθήκη Baidu
i
同理，第 i 年领取的个人账户养老金为12z2 (1 qk1) ，另设退休后银行一年期银行利率为 r， k 1
i
12z2 (1 qk1)
则其在刚退休时的现值为
k 1
(1 r)i1
，则该职工到去世时 个人账户养老金总 和在刚退休时的
现值分别为
i
d 12z2 (1 qk1)
g2 i 1
会出现异常动荡。2）假设男女同工同酬。3） 假设现有缴费及发放制度在一个充 分长的时间段内不 发生变化。4）假设附件 2 中反映的该企业不同年龄的职工工资与企业平均工资的比例可以用来计 算一个普通职工的养老保险缴费指数。5）假设只有个人账户中的储存额产生利息，而社会统筹基金 账户中的储存额不产生利息。6）假设附件 1 中的社会平均工资为缴费工资。7）为便于计算，可以 假设第 i 岁参加工作、退休、死亡均是指在刚满 i 周岁时，缴费年数为整数。 2 问题一
45-49 1.267
50-54 1.209
55-59 1.115
本题的本意是将此数据作为一个一般意义上的 企业职工在不同年龄段时的缴 费指数。如果学生 在计算养老金支出时没有利用该数据，只考虑了 一些特殊情况，如缴费指数取固 定值，是不合题意 的。对于 60-64 岁的职工的缴费指数，可以基于一些简单合理的假设进行预测。
k 1
(1 r)i1
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如果学生没有考虑到“现值”方法和养老金随社会平均工资同步增长等因素，应当酌情扣分。 5 问题四
这里可以考虑的措施有如下几条：
1、推迟退休年龄；2、尽早开始缴纳养老保险；3、提高个人账户缴费 率；4、提高社会统筹基
金账户缴费率。
其中前两条对于达到目标替代率和维持养老保险基金收支平衡均有显著的促进作用。“提高个人
虽然我国当前正处于经济快速发展期，但考虑到我国发展的战略目标是在二十一世纪中期达到 中等发达国家的经济发展水平，而发达国家的工 资增长率多比较低，所以应当假 设我国未来的工资 增长率会逐步降低。只要符合这一假设的预测方法，都可以认为是恰当的。如 Logistic 模型以及其 它阻滞型增长模型均可用，用这些方法得到的工资上限大约在 2010 年工资水平的 3-4 倍左右。但若 假设工资以固定比例增长或线性增长、以及用线 性或多项式拟合都是不恰当的， 用灰色预测或指数 预测也不恰当。
在计算社会统筹基金账户和个人账户金额时，按年或按月缴存的两种计算方式都是可以的。 到退休时职工个人账户中的金额的计算模型如下：
∑k 退休前第 k 年缴费额本息=∑k 退休前第 k 年缴费工资×缴费率× (1 r)k ,
其中 r 为银行利息。学生中可能会出现忘记计算个人账户利息或利息计算错误的情况。 因为社会统筹基金账户中的储存额不计利息，所以其中金额的计算模型如下： ∑k 退休前第 k 年缴费额=∑k 退休前第 k 年缴费工资×缴费率. 退休后第一个月领取的养老金=基础养老金+个人账户养老金，其中 基础养老金=（退休前一年社会平均工资+本人指数化月平均缴费工资）/2×缴费年限×1%； 个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数。 其中，
账户缴费率”可以提高目标替代率，但计发月数 不变时，对基金平衡没有帮助， 而且会减少职工工
资收入。“提高社会统筹基金缴费率”对维持基金平衡有帮助，但对目标替代率没有帮助，而且会增
大企业负担。
学生可以根据自己的假设给出建议，应当有一定的计算结果来支持其建议。
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题评阅要点
[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
命题思 路： 企业退休职工养老金制度改革及退休推迟问题是一个热点课题。由于国情的复 杂和 数据的缺乏，对全国甚至一个地区的社会统筹基 金进行总体规模的预测都是困难 的，所以本题仅限 于在现有制度下，对职工个人的基金和个人账户 收支情况进行精算。本题的数学 模型并不复杂，关 键是学生正确理解养老金收支计算办法和题目的要求。
3 问题二 根据附件 2，用加权平均方法容易求得该企业不同年龄段的职工工资与企业平均工资的比值，结
果如下：
表 1：该企业不同年龄段职工平均工资与企业平均工资的比值：
年龄段（岁） 个人工资与
企业平均工资之比
20-24 0.669
25-29 0.805
30-34 0.983
35-39 1.067
40-44 1.173
本人指数化月平均缴费工资=
i
退休前第i年缴费工资
退休前一年社会平均工资 退休前第i年社会平均工资
12 缴费年数
则该职工退休时实际替换率=退休后第一个月领取的养老金/退休前一个月该职工的月工资。 4 问题三
由于在领取养老金的过程中，个人账户中的钱仍然在计算利息，所以 比较准确而且简单的计算 方法是利用“现值”理论，即把整个过程中领取 的钱数都转化为刚退休时的现值 。因为社会统筹基 金账户中的资金不计利息，所以其支出额不必考虑现值。
假设退休金会随着社会平均工资的增长而同步增长。设 qi 为退休后第 i 年工资增长率，前面已
i
求得刚退休时第一个月的基础养老金为 z1 ，则第 i 年领取的基础养老金为12z1 (1 qk1) ，则该职 k 1
d
i
工到去世时领取的基础养老金总和为 g1 12z1 (1 qk1) ，其中 d 为死亡年龄， 为退休年龄。
i 1
k 1
Βιβλιοθήκη Baidu
i
同理，第 i 年领取的个人账户养老金为12z2 (1 qk1) ，另设退休后银行一年期银行利率为 r， k 1
i
12z2 (1 qk1)
则其在刚退休时的现值为
k 1
(1 r)i1
，则该职工到去世时 个人账户养老金总 和在刚退休时的
现值分别为
i
d 12z2 (1 qk1)
g2 i 1