Chapter 1 谓词逻辑推理理论 5
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
5谓词逻辑基本概念
10
一、谓词的概念及表示法
将下列命题用0元谓词符号化，并讨论它们的真值。 将下列命题用 元谓词符号化，并讨论它们的真值。 元谓词符号化 (1) 2是素数且是偶数 是素数且是偶数 (2) 如果 大于 ，则2大于 如果2大于 大于3， 大于4 大于 解：(1)设一元谓词F(x)：x是素数；一元谓词G(x)：x (1) F(x) x G(x) x 是偶数；a：2。 则(1)中命题符号化为0元谓词的合取式： F(a) ∧G(a)。 (2) 设二元谓词L(x, y)：x大于y；a：2；b：3；c：4. 命题符号化为L(a,b) → L(a,c)
一阶逻辑(谓词逻辑）
1
内容要点： 谓词和个体 CH4 量词 CH4
一阶逻辑公式 CH4 一阶逻辑等值式 CH5 置换规则 CH5 一阶逻辑前束范式CH5
推理理论
CH5
2
引 言
整除， 例：凡偶数都能被2整除， 凡偶数都能被 整除 6是偶数。 是偶数。 是偶数 所以， 能被 能被2整除 所以，6能被 整除 将它们命题符号化： 将它们命题符号化： p：凡偶数都能被2整除 ：凡偶数都能被 整除 q： 6是偶数 ： 是偶数 r： 6能被 整除 ： 能被 能被2整除 则推理的形式结构符号化为： 则推理的形式结构符号化为： (p∧ q) → r ∧
11
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
本章说明
本章的主要内容 –一阶逻辑等值式与基本等值式 –置换规则、换名规则、代替规则 –前束范式
–一阶逻辑推理理论
本章与其他各章的关系 –本章先行基础是前四章
–本章是集合论各章的先行基础
本章主要内容
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论 主要内容 作 业
一阶逻辑中的一些基本而重要等值式
代换实例
消去量词等值式
量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
代换实例---命题公式的推广
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永 真式，因而第二章的16组等值式模式给出的代换实例都是 一阶逻辑的等值式的模式。 例如：
x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x)
谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧ x B(x)
多个量词间的次序排列等值式。
多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
(1) xyA( x, y) yxA( x, y ) (2) xyA( x, y ) yxA( x, y )
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真 式，则பைடு நூலகம்A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如：
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式AB是否 为永真式。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式 上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。
离散数学-谓词演算的推理规则
xG(x) y p(y) R(y, x)
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例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
第5章 基于一阶谓词的机器推理
5.1.3 永真式与推理规则
定义 5-10 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中 的任一解释I：
(1) 若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的 永真式。
(2) 若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D 上的永假式。
所以，谓词公式G在I下为真。
定义 5-8 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个体
域，若对于D中的任一解释，G, H有相同的真值，则称公式
G, H在个体域D上逻辑等价。若G, H在所有个体域上等价，
则称G, H逻辑等价，记为G H。
定义 5-9 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个 体域，若对于D中的任一解释，当G真时H也真，则称在个 体域D上公式G逻辑蕴涵公式H。若在所有个体域上G都逻 辑蕴涵H，则称G逻辑蕴涵H，或称H是G的逻辑结果，记 为G H。
下面约定用大写英文字母作为谓词符号，用小写字母f, g, h等表示函数符号，用小写字母x, y, z等作为个体变元符 号，用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
❖ 谓词逻辑中，符号 、∧、∨、→、←→依次表示（命题） 连接词“非”、“并且”、“或者”、“如果…则”、 “当且仅当”，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词、 等价词。它们也就是5个逻辑运算符。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)表示：x是大学生；M(x)表示：x学过计算机； a表示：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面遵循有关推理规则进行符号变换和推理：
(1) x(S(x)→M(x)) [前提]
(2) S(a)→M(a) [(1), US]
第五章 一阶逻辑推理理论
六、量词分配: 对∧, 对∨ 量词分配 设公式A(x),B(x)含自由出现的个体变项 ，则： 的个体变项x， 设公式 含自由出现的个体变项 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) ∧ ∧ x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) ∨ ∨ 但是: 但是 对∨, 对∧不可分配 x(A(x)∨B(x)) ≠xA(x) ∨xB(x) (*) 1≠0 ∨ ≠ ∧xB(x) (**) 0≠1 x(A(x)∧B(x)) ≠xA(x) ∧ ∧ ≠ 要证谓词公式等值要穷尽所有解释, 要证谓词公式等值要穷尽所有解释 不等,只要 只要1个解释 不等 只要 个解释 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 自然数! 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 A(x)解释为 是奇数 解释为x是奇数 解释为x是偶数 解释为 是奇数,B(x)解释为 是偶数 则 解释为 是偶数,则 是所有自然数是奇数， 而xA(x)是所有自然数是奇数，是不对的！为0 是所有自然数是奇数 是不对的！ 是所有自然数是偶数， 是所有自然数是偶数 是不对的！ 而xB(x)是所有自然数是偶数，是不对的！为0 x(A(x)∨B(x))是“任何自然数是奇数或偶数”, ∨ 是 任何自然数是奇数或偶数” 为1
将下面公式化成等值的公式,使其不含有既是 等值的公式 例1 将下面公式化成等值的公式 使其不含有既是 约束出现又是自由出现的个体变项。 约束出现又是自由出现的个体变项。 自由出现的个体变项 →yG(x,y,z) xF(x,y,z)→ → 解：x在前件中是约束变元，在后件是自由变元, 在前件中是约束变元，在后件是自由变元 在前件中是约束变元 y在前件中是自由变元，在后件是约束变元， 在前件中是自由变元， 在前件中是自由变元 在后件是约束变元， 约束变元改名 改名： →sG(x,s,z) 约束变元改名： tF(t,y,z)→ → 自由变元改名 改名： →yG(t,y,z) 对自由变元改名： xF(x,s,z)→ → →yG(x,y,z)) x(F(x,y)→ → 在前件是自由， 解：y在前件是自由，在后件是约束，有歧义！ 在前件是自由 在后件是约束，有歧义！ →sG(x,s,z)) x(F(x,y)→ →
(第5讲)谓词逻辑
W
质，而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。
U
0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题。
3) 一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的
S
个体变元都用个体域中具体的个体取代后，就
T
成为一个命题。而且，个体变元在不同的个体
域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值
有很大的影响。
XDC
C
S
其他定义
T
由此，我们定义谓词 P:是一个西南科技大学的学生
个体词 a1:张红 a2:王南 a3:李华
例： 张红是一个西南科技大学的学生； P(a1)
XDC
C
S
例
|
设有如下命题：
P：上海是一个现代化的城市；
S
Q：甲是乙的父亲；
W
R：3介于2和5之间。
T：李兰与高翔是同班同学。
U
S
解：设有如下谓词：
则上述命题可表示为：
S
也可以理解为“说‘存在一个x，x是自然数且对
T
一切自然数y，x均大于y’是不对的”。
符号化为：x(N(x) ∧y(N(y)G(x,y))
以后可以证明，这两个公式是逻辑等价的。
XDC
C
S
|
注意：不可以用最大来直接定义谓词。
S
设B(x):x是最大的，N(x):x是自然数。
W
以上命题可以表示为：x(N(x) ∧B(x))
S
而宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称
为全总个体域。
T
4) 设D为非空的个体域，定义在Dn(表示n个个体都在个
体域D上取值)上取值于｛0,1｝上的n元函数，称为n
元 谓 词 , 记 为 P(x1,x2,…,xn) 。 此 时 ， 个 体 变 量 x1,x2,…,xn的定义域都为D，P(x1,x2,…,xn)的值域为 {0，1｝。
离散数学第五章__谓词逻辑详述
5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部 分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个 体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称 为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈 述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和 谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命 题内部结构及其不同命题的内部结构关系， 就按照这两部分对命题进行分析，并且把主 语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分， 称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表 达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词； 在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条 件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c： 张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一 起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总 论域，为深入研究命题提供了方便。
5-谓词逻辑与归结原理
24
sspu 王帅
命题逻辑的归结法
▪ 定义：设有两个子句C1= P∨C1’,C2= ~P∨C2’， 式 则R（C1，C2）=C1’∨C2’称为子句C1，C2的归结
▪ 即归结式是从两个子句中消去一个互补对而得到的
▪ 注1：没有互补对的两个子句没有归结式 ▪ 注2：一次只能消去一个互补对
❖例： C1= P∨Q,C2=~P∨~Q 则 C1，C2的归结式R（C1，C2）= Q∨~Q=T 注意 C1，C2不能归结出空子句
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sspu 王帅
归结原理（消解原理）
▪ 定理：归结式是原两个子句的逻辑推论， 即C1ΛC2→R(C1,C2) ， 反之不一定成立。
▪ 即：在某种指派下，C1,C2 为真，则它们 的归结式在该解释下也必为真
▪ 推论：子句集S={C1,C2 ,…,Cn}与子句 S={C,C1,C2 ,…,Cn}的不可满足性是相同 的，其中C是C1和C2的归结式
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sspu 王帅
归结过程
▪ 从子句集S出发，只对S的子句进行归结， 并将所得归结式仍放入S中，再对新子句 集进行归结，重复下去，直到得到空子句 为止，说明S是不可满足的，从而说明S对 应的问题A1ΛA2ΛA3Λ~B不可满足（或产 生矛盾），所以A1ΛA2ΛA3→B是永真的 （成立的）
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sspu 王帅
❖假言易位式: p → q <=> ～ p → ～ q
16
sspu 王帅
命题例
▪ 命题：能判断真假（不是既真又假）的陈述句。
简单陈述句描述事实、事物的状态、关系等性质。
例如：1． 1+1=2
➢2． 雪是黑色的。
➢3． 北京是中国的首都。
➢4． 到冥王星去渡假。
谓词逻辑推理定律
谓词逻辑推理定律首先，让我们了解什么是谓词逻辑。
谓词逻辑是一种逻辑分析方法，用于分析一些断言或句子的真假性。
谓词逻辑推理是指根据给定的谓词逻辑语句推理出另一个谓词逻辑语句的过程。
通常情况下，谓词逻辑推理被用于解决语义相关问题，如逻辑谬误，语言理解等。
谓词逻辑推理定律是用于谓词逻辑推理过程中所应注意的一些基本原则，它们能够帮助我们合理地进行推理，确保推理的合法性和准确性。
下面我们将详细介绍几个常见的谓词逻辑推理定律。
1. 否定演算规律：一个命题与它的否定命题不能同时成立。
例如，如果说“所有动物都能呼吸”，那么这么说就是错误的：“所有动物不能呼吸”。
因此，被推理的命题不能同时成立为“真”和“假”。
2. 否定引入规律：在一个推理中，当我们不能证明一个命题时，我们可以推出它的否定命题是真的。
例如，如果一个人说“我已经搜索了整个屋子，但是没有找到我的钥匙”，那么我们可以推断出：“我的钥匙不在我的房子里”。
因为如果钥匙在房子里，就一定会被找到。
3. 等价规律：如果两个命题具有相同的真值，那么它们具有等价关系。
例如，命题“猫是哺乳动物”和“所有哺乳动物都是猫”就是等价的。
4. 分配律：如果一个逻辑命题包含多个逻辑操作符，将它们分成两个组合不影响其含义。
例如，命题“(p∧q)∨r”和“(p∨r)∧(q∨r)”就是等价的。
5. 归纳法则：当推理一组命题时，我们通常可以通过研究一组具有相似特征的实例来了解整个集合的性质。
例如，如果我们希望证明所有偶数之和是偶数，我们可以归纳地首先证明2和4之和为6，接着证明6和6之和为12，以此类推。
通过这种归纳方法，我们可以得出结论：所有偶数之和是偶数。
6. 相反法则：只有证明命题的逆否命题为真，才能真正证明该命题为真。
例如，如果我们想证明“如果人类能够站立，那么他们就能够行走”，我们可以相反地批判性地假设人类不能行走，然后我们就可以推断出，他们也不能站立。
以上谓词逻辑推理定律是推理过程中注意的基本原则。
第五章 谓词逻辑
(四) 特性谓词 命题函数的量化与个体域有关，个体域的指定不但 影响命题的表达形式，而且影响命题的真值。 为了描述方便，将所讨论的命题函数的个体域统一 使用全总个体域。使用全总个体域后，对于每个个体变 元的取值范围必须用刻划个体特性的谓词加以限制。 定义5-5 在全总个体域中, 表示具体个体域的谓词称为 特性谓词。 例如：所有人是要死的。 （1） 论域为人类。
例5-3将下列命题符号化： （1）有既是素数又是偶数的数。 解：令：F(x):x是素数； G(x):x是偶数； 则命题符号化为：F(x)∧G(x)。
（2）想要取得好成绩，除非努力学习。 解： 令： G(x):x想取得好成绩；
H(x):x 努力学习；
则命题符号化为： G(x)→H(x) （3）在实数域中，x若比y大，y比大z，则x比z 大。 解：设x、y、z是实数。 令：P(x,y): x比y大。 则命题符号化为： P(x,y)∧ P(y,z)→P(x,z)
(三) 量化
用具体个体的名称取代个体变元，使命题函 数成为命题的过程称为代换，通过代换而得到的 命题称为命题函数的代换实例。由代换实例得到 的命题是个别命题。
除代换外，我们还可以采用量化的办法来确 定命题，采用量化确定的命题是一个命题集合。 所谓量化是指出个体变元在个体域中的取值方式。 在谓词逻辑中，个体域中个体变元的取值方 式有三种，常用的有以下两种：
5.1.3 命题函数及量化 (一) 命题函数 单独的谓词不是命题，在谓词后面的括号中填上代 表个体的标识符所得的式子称为谓词填式， 如果在谓词填式的括号中填入的是个体常元，则该 谓词填式是一个命题。在谓词填式的括号中填入的是 个体变元，则称该谓词填式为命题函数。 定义5-3 由一个谓词和一些个体变元组成的表达式称为 原子命题函数。用逻辑联结词把一个或多个原子命题 函数连接而成的表达式称为复合命题函数。
05-L.02 谓词逻辑的归结推理
离散数学基础2017-11-19•一些基本定义：−谓词公式中原子或原子的否定形式称为文字。
−文字的析取式称为子句。
−不包含任何文字的子句称为空子句。
»空子句是不可满足的。
−若干相互形成合取关系的子句以集合元素的形式构成集合，称为子句集。
•定理：谓词公式的子句集化归−任何谓词公式都可应用谓词逻辑等值式及推理规则化成相应的子句集。
−过程（构造性证明）：(1)蕴涵消去：消去条件蕴涵符号；(2)否定词深入：否定词直接作用在原子上；(3)变量标准化：处于不同量词辖域的约束变量根据易名规则使用不同的变量名；(4)消去存在量词：对不受约束的存在量词，使用常量符号例化；对被约束的存在量词，引入Skolem函数建立依赖；(5)化为前束形： （前缀）（母式），前缀包含全称量词串，母式中不包含任何量词；(6)将母式化为合取范式；(7)消去全称量词（自由变量默认全称量化）；(8)由(6)中各极大项构成子句；(9)变量分离：使各子句不含同名变量。
•例：∀xP(x)→∀x∃y((P(x)∨Q(x))→R(x, y))¬ ∀xP(x) ∨ ∀x∃y(¬(P(x) ∨ Q(x)) ∨ R(x, y)) 蕴涵消去∃x¬P(x) ∨ ∀x∃y ((¬P(x) ˄ ¬Q(x)) ∨ R(x, y))否定词深入∃x¬P(x) ∨ ∀z∃y ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, y))变量标准化¬P(c) ∨ ∀z((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))消去存在量词∀z(¬P(c) ∨ ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))) 化为前束形∀z((¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z)) ˄(¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z)))将母式化为合取范式¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z), ¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z) 消去全称量词 {¬P(c) ∨ ¬P(u) ∨ R(u, f Skolem(u), ¬P(c) ∨ ¬Q(v) ∨ R(v, f Skolem(v)} 变量分离−说明：»子句中的变量总是被默认为全称量化的；»化归得到的子句集不等价于原公式；»考虑到量词消去和引入规则的应用，若公式 A 在逻辑上遵循公式集 S，则也遵循由 S 变换成的子句集。
逻辑学基础理论
逻辑学基础理论逻辑学是哲学的一门分支，研究的是思维和推理的规律。
由于其广泛的应用和严密的体系，逻辑学成为了现代哲学的重要组成部分之一。
逻辑学的基础理论主要包括五个方面：命题逻辑、谓词逻辑、模态逻辑、范畴逻辑和演绎推理。
下面将对这些方面进行具体阐述。
命题逻辑是逻辑学的基础，它研究的是命题之间的关系和推理规律。
在命题逻辑中，命题是真假性已被确定的陈述句，可以用逻辑符号进行表示。
逻辑符号有否定符号、合取符号、析取符号、条件符号和双条件符号等。
命题逻辑的推理规律主要有三大原则：同一律、排中律和矛盾律。
同一律指的是一个命题等价于它本身；排中律指的是任何命题或者为真或者为假；矛盾律指的是任何命题和它的否定命题不可能同时为真。
谓词逻辑是命题逻辑的发展和扩展，它研究的是一般陈述句中的谓词和量词。
在谓词逻辑中，谓词是一种含有变量的陈述句，量词是用来指定谓词变量范围的符号。
谓词逻辑的重要性在于它可以表达更加复杂的推理关系，例如存在量词和全称量词的使用可以表达存在性和普遍性的情况。
模态逻辑是研究命题的可能性和必然性。
在模态逻辑中，常用的符号包括必然符号和可能符号等。
必然符号表示命题为真的必要性，可能符号表示命题为真的可能性。
模态逻辑的重要性在于它可以研究社会、政治、法律等领域中的问题，并且可以解释一些哲学问题，例如自由意志问题等。
范畴逻辑是研究命题之间的类别和关系。
范畴逻辑的主要概念包括类别和关系，类别是一个范畴中的所有元素的集合，关系是两个类别之间的关联。
范畴逻辑可以用来分析一个问题或者研究一个领域的范畴和关系。
演绎推理是逻辑学最重要的研究领域之一。
它研究的是从前提到结论之间的推理规律。
演绎推理可以通过推理规则来判断论证的有效性。
常用的推理规则包括假言蕴涵规则、等价规则、假言拆分规则、析取移项规则等。
演绎推理的重要性在于它可以帮助我们进行有有效性的推理，并且可以减少一些误判或者不必要的知识论证。
总之，逻辑学的基础理论包括了命题逻辑、谓词逻辑、模态逻辑、范畴逻辑和演绎推理。
05第五章一阶逻辑等值演算与推理
3 存在量词引入规则（EG） A(c)
xA( x) 成立条件： （1）c为特定的个体常项 （2）x不能在A(c)中出现
4 存在量词消去规则（EI） xA( x) A(c)
成立条件： (1) c是使A为真特定的个体常项 (2) c不在A( x)中出现， （3）A( x)中除自由出现的x外，无其他自由出现的 个体变项
xy(F ( x) G( y) L( x, y))
5.2 一阶逻辑前束范式
定义（前束范式） 设A为一个一阶逻辑公式，若具有如下形式
Q1 x1Q2 x2 L Qk xk B 则称A为前束范式，其中Qi (1 i k)为或， B为不含量词的公式
定理（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例 将下面公式化成与之等值的公式，使其 没有既是约束出现的又是自由出现的个体变项 (1) xF ( x, y, z) yG( x, y, z) (2) x(F ( x, y) yG( x, y, z)
例 设个体域D {a, b, c}，将下面公式的量词消去： (1) x(F ( x) G( x)) (2) x(F ( x) yG( y)) (3) xyF ( x, y)
5.3 一阶逻辑的推理理论
推理定律
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
第三组 重要推理定律 (1) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) (2) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (3) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (4) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (5) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x)
谓词逻辑知识点总结
谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。
在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。
例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。
而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。
二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。
谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。
在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。
在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。
在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。
三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。
在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。
通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。
四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。
在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。
完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。
五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。
比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。
05 第五次课(谓词推理)-36页PPT资料
1.全称量词消去规则
( x) P (x) P (y)
其中y是论域中一个体。
意指如果所有的x ∈D都具有性质P，那么D中任一个体y必具有性
质P。当P (x)中不再含有量词和其它变项时，这条规则明显成立。
而当允许P (x)中可出现量词和变项时，需限制y不在P (x)中约束出
12/24/2019
Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
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第一章 --- 数理逻辑 P r e d i c a t e s a n d
Q u a n t i谓f词i与e量r词s 如 P (y) = ( z) (z > y) 在实数域上成立。 ( x) P (x) = ( x)(( z) (z > x)) 但当z取为x，这时x在P (y)中约束出现，( x)( x) (x > x)是 不成立的。
8
第一章 --- 数理逻辑 P r e d i c a t e s a n d
Q u a n t i谓f词i与e量r词s 2. 全称量词引入规则
P (y) ( x) P (x)
其中y是论域中任一个体。
意指如果任一个体y（自由变项）都具有性质P，那么所有个
体x都具有性质P。
仍需限制x不在P (y)中约束出现。
时，用y取代x，就会得到 A (y) = y F (y, y) ，即 y（y > y），
这显然是假命题，产生这种情况的原因是违背了条件（1），即用
已经约束出的y取代了x。若用 z 取代 x ，得 A (z) = y F (z, y)
= y (z > y) 就不会产生这种错误。
12/24/2019
Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
第1章-谓词逻辑
或∀x (H(x) →∀y(W(y)→K(x,y)))
（2）∃x (H(x)∧∀y(W(y)→K(x,y)))
（3）∃x ∃y( H(x)∧W(y)∧ ﹃ K(x,y))
或﹃ ∀x ∀y(H(x)∧W(y)→K(x,y)) （4） ﹃ ∃x ∃y( H(x)∧H(y)∧L(x,y)) 或∀x ∀y(H(x)∧H(y)→ ﹃ L(x,y))
2.2 量词
说明：
（1）分析命题中表示性质和关系的谓词，要分别符号 化为一元和n(n ≥2)元谓词。 （2）根据命题的实际意义选用∀或∃。 （3）一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序 不能随意调换。如： 在实数域上用L(x,y)表示x+y=10 命题：对于任意的x,都存在y使得x+y=10。 可符号化为：∀x∃yL(x,y) 真值为1。 若调换顺序后符号化为：∃y∀xL(x,y) 真值为0.
2.3 谓词公式
1. 原子公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 P(x1,x2,…xn）。 2. 合式公式： （１）原子公式是合式公式； （２）若Ａ、Ｂ是合式公式，则 Ａ∧Ｂ、Ａ∨Ｂ、┐Ａ 、Ａ→ B、A↔B、 ┐B、 xＡ、xＡ是谓词公式
（3）只有有限次使用 （1 ）和（ 2 ）构成的公式才是合
2.5 谓词演算的等值演算
二、谓词演算的基本永真公式
5）量词分配等值式：
x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x))
个体常项：具体的或特定，一般用a,b,c,…表示。
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【例1】 证明推理"所有的自然数均是实数，3是自 然数，因此，3是实数。"正确。
解 设N（x）：x是自然数，R（x）：x是实数，则 推理形式化为：
x（N（x）→R（x））, N（3） R（3）
下面进行证明。
（1） x（N（x）→R（x）） 前提引入
（2）N（3）→R（3）
（1）UI
（3）N（3）
前提引入
（4）R（3）
（2）（3）假言推理
【例2】 构造下面推理的证明： 前提 x（F（x）→（G（x）∧H（x）））， x（F（x）∧P（x）） 结论 x（P（x）∧H（x））
解 （1） x（F（x）→（G（x）∧H（x））） 前提引入
（2） x（F（x）∧P（x））
前提引入
（3）F（c）∧P（c）
x( M(x) ∨F(x) ∨ G(x) ) Demorgen定律
x( M(x) ∨ G(x) ∨F(x) ) 交换律
x( （M(x) ∧ G(x)） ∨F(x) ) Demorgen定律
x(（M(x) ∧ G(x))→ F(x) )
(M(t) ∧ G(t))→ F(t) UI规则（t自由变量）
过教育的人。因此有些受过教育的人是守信用的。 设：M(x)：x是人，F(x)：x守信用，G(x)：x可信赖，
H(x)：x受过教育。 前提： x(M(x) ∧ F(x) ∧G(x) )， x(M(x) ∧ G(x) ∧H(x) ) 结论：x(M(x) ∧ H(x) ∧F(x) )
证明：x(M(x) ∧ F(x) ∧G(x) ) 前提
【例3】 设前提为 x yF（x，y），下面 推理是否正确？
（1） x yF（x，y） 前提引入
（2） yF（t，y）
（1）UI
（3）F（t，c）
（2）EI
（4） xF（x，c）
（3）UG
（5） yxF（x，y） （4）EG
解 x yF（x，y）y xF（x，y）的推 理并不正确。取与前面例题相同的解释，则由 x yF（x，y）为真，而y xF（x，y）意为 “存在着最小实数”，是假命题，知推理不正确。 之所以出现这样的错误，是第（3）步违反了 EI规则成立的条件（2）， 因为这里的t与c是 有关的。
全称量词消去规则（简称UI规则） Universal Instantiation (UI)
xA( x) A(t )
规则成立的条件： （1）t是任意个体变项或常项。 （2）A（t）中其它约束变元个数与A（x）
中x以外的约束变元个数相同。
全称量词引入规则（简称UG规则）
Universal Generalization (UG)
（5）G（t）
（3）（4）假言推理
（6） xG（x）
（5）UG
（7）xF（x）→ xG（x）
例5 指出下面推理的错误.
证明
（1） xP(x) xQ(x)
前提
（2）
（3） （4） 错！ （5） （6） （7）
xP(x)
xQ(x) P(c) Q(c) P(c) Q(c) x(P(x) Q(x))
因为D(7，5)和D(11,5)为假，所以 xD(x,5)为假.
分析有下面的推理过程：
(1) xD(x,5)
前提
(2) D(z,5)
(1);ES
错！ (3) xD(x,5)
(2);UG
因此， xD(x,5) xD(x,5).
【例7】在谓词逻辑推理系统中构造下面推理的证明： 没有不守信用的人是可以信赖的。有些可以信赖的人是受
存在量词消去规则（简称EI规则）
Existential Instantiation (EI)
xA( x) 规则成立的条件： A(c)
（1）c是使A（c）为真的某个特定的个体常元。 （2） xA（x）是闭式，且c不在A（x）中出现。
特别需要注意的是，使用这些规则的条件非 常重要，如在使用过程中违反了这些条件就可能导 致错误的结论。
x(M(x) ∧ G(x) ∧H(x) ) 前提
M(c) ∧ G(c) ∧H(c)
EI
M(c) ∧ G(c)
H(c)
(M(c) ∧ G(c))→ F(c) F(c) M(c) ∧ H(c) ∧F(c) x(M(x) ∧ H(x) ∧F(x) )
（1）；I1
（1）；I2 （2）；ES （3）；ES （4）（5）；I9 （6）；EG
因此 xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x))
例6 指出下面推理的错误.
设D(x,y)表示“x可被y 整除” ,个体域 为 { 5,7 ,10 ,11 }.
因为D(5，5)和D(10,5)为真，所以 xD(x,5)为真.
A(t) xA( x)
规则成立的条件：
（1）A（t）在任何解释I及I中对t的任何赋值下均 为真。此处t是自由变量
（2）x不在A（t）中约束出现。
存在量词引入规则（简称EG规则）
Existential Generalization(EG)
A(c) xA( x)
规则成立的条件： （1）c只需是某个特定的个体常量。 （2）x不在A（c）中出现。
(2)EI
（4）F（c）→（G（c）∧H（c））
(1)UI
（5）F（c）
(3)化简
（6）G（c）∧H（c）
(4)(5)假言推理
（7）P（c）
(3)化简
（8）H（c）
(6)化简
（9）P（c）∧H（c）
(7)(8)合取引入
（10） x（P（x）∧H（x））
(9)EG
问题：将这里的 （3）和（4）顺序调换，有什么不一样吗？
【例4】 构造下面推理的证明： 前提 x（F（x）→G（x）） 结论 xF（x）→ xG（x前提证明法。
证明
（1） x（F（x）→G（x）） 前提引入
（2） xF（x）
附加前提引入
（3）F（t）
（2）UI
（4）F（t）→G（t）
（1）UI
谓词逻辑推理理论
谓词逻辑推理理论
在谓词逻辑中，由前提A1，A2，…，An推出结 论B的形式结构仍然是A1∧A2∧…∧An→B。如果此 式是永真式，则称由前提A1，A2，…，An推出结论B 的推理正确，记作 A1∧A2∧…∧An B或者
A1，A2，…，An B，否则称推理不正确。
由于谓词演算是在命题演算的基础上，进 一步加入了谓词与量词的功能，因此容易想到， 命题演算中有关推理演绎的规则基本上适用于 谓词演算，即在命题逻辑中的各项推理规则在 谓词逻辑推理中仍然适用，当然也有些只适用 于谓词演算的概念与规则。