微元法在几何与物理中的一些应用邓智维

微元法在几何与物理中的一些应用摘要：微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用，是解决定积分应用问题的重要思想方法。

本文特别阐述了微元法的原理及其过程，对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。

分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元，在解决实际问题时，应先将实际问题合理转化为适合的数学模型，设定积分变量，然后运用微元法建立积分表达式。

因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式，从而可将讨论问题表示为定积分。

关键词：微元法；微元；几何应用；物理应用Micro Element Method In Geometrical And Physical Abstract：Micro element method has widely application in geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important method to solve the definite integral problem .This paper expounds the principle and process of micro element method, to discuses the application problems of geometrical problems and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstly let the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral.Keywords：Micro element method; Micro element; Geometric applications; Physics application目录1引言 (1)2微元法介绍 (1)2.1微元法 (2)2.2 微元法的步骤 (3)2.3 微元法的使用条件 (4)3 微元法在几何中的一些应用 (4)3.1 直角坐标系下平面图形的面积 (4)3.2 已知平面截面面积的几何体的体积 (6)3.3 直角坐标系下平面曲线的弧长 (7)3.4 旋转体的体积和侧面积 (8)3.4.1 旋转体的体积 (8)3.4.1 旋转体的侧面积 (9)4 微元法在物理中的一些应用 (10)4.1 机械运动问题 (11)4.2 液体压力问题 (12)4.3 电学做功问题 (13)5 结论 (14)致谢 (15)参考文献 (15)微元法在几何与物理中的一些应用07级信息与计算科学 邓智维指导教师:庄思发 讲师1 引言应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过定积分定义中的四部曲“分割，取近似，求和，取极限”得到定积分表达式的。

而是利用步骤更简单的微元法得到定积分表达式。

[1]简单来说“微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的，将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量或难以确定的量成为常量、容易确定的量。

通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。

在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法。

这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体。

因而，对微元法的理论和其在几何与物理中的应用的讨论，能提高人们利用微元法解决实际问题的熟练程度。

2 微元法的理论2.1微元法定积分是分布在区间上的整体量。

因为整体是由局部组成的，所以将实际问题抽象为定积分，必须从整体着眼，从局部入手。

具体做法是：首先将区间上的整体量化成区间上每一点的微分，亦称微元，这是“化整为零”；其次，对区间上每一点的微分无限累加，连续作和，这是“积零为整”，从而得到了所求的定积分。

这种方法称为微元法。

[2]首先引入曲边梯形求面积问题，如图1曲边梯形由连续曲线()(()0)y f x f x =≥、x 轴与两条直线x a =、x b =所围成。

则曲边梯形面积为()ba A f x dx =⎰。

为求上述图形的面积，可以在[,]ab 上任取一点x ，并任给一个“宽度” i x ∆(分割)，那么这个微小的“矩形”的面积为i A ∆，则1ni i A A ==∑ (1)计算，取近似值：第i 个窄曲边梯形的面积i A ∆近似等于以()i f ξ为底、以i x ∆为高的窄矩形面积，即()i i i A f x ξ∆≈∆，i i x ξ∈∆ (2)求和：则曲边梯形的面积A 近似等于n 个窄矩形面积的和，即1()ni i i A f x ξ=≈∆∑ (3)求极限，得A 的精确值：01lim ()n i i i A f x λξ→==∆∑()ba f x dx =⎰ (4)为简便起见，对单个矩形作讨论，省略下标i 。

A ∆表示任意小区间[,]x x dx +上的窄曲边梯形的面积，则A A =∆∑ (5)取[,]x x dx +的左端点x 为ξ，则()A f x dx ∆≈ (6)于是()A f x dx ≈∑ (7)则01lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑ (8) 可简化为lim ()()ba A f x dx f x dx ==∑⎰ (9) 这些问题可化为定积分来计算的待求量A 有两个特点：一是对区间的可加性；另一特点，即找任一部分量的表达式：()A f x x x ε∆=∆+∆ (10)然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找()f x x ∆这一项。

但这一项与A ∆之差在0x ∆→时，应是比x ∆高阶的无穷小量(即舍弃的部图1 微元法的意义分更微小)，借用微分的记号，将这一项记为()dA f x dx = (11)这个量dA 称为待求量A 的元素或微元。

用定积分解决实际问题的关键就在于求出微元。

设()f x 在[,]a b 上连续，则它的变动上限定积分()()xa A x f t dt =⎰ (12) 是()f x 的一个原函数，即()()dU x f x dx =。

于是，()b ba a f x dx dA A ==⎰⎰ (13) 这表明连续函数()f x 的定积分就是(10)的微分的定积分。

由理论依据(11)可知，所求总量A 就是其微分()dA f x dx =从a 到b 的无限积累(即积分)()ba A f x dx =⎰，这种取微元()f x dx 计算积分或原函数的方法称为微元法。

[3]2.2微元法的步骤设函数()F x ，所求量A 可以表示为:()()A F b F a =-，然后实际进行以下三步:第一步取dx ，并确定它的变化区间[,]a b ;第二步设想把[,]a b 分成许多个小区间，取其中任一个小区间[,]x x dx +, 相应于这个小区间的部分量A ∆能近似地表示为()f x 与dx 的乘积，就把()f x dx 称为量A 的微元并记作dA ，即()A dA f x dx ∆≈= (14)第三步在区间[,]a b 上积分，得到()()()ba A f x dx Fb F a ==-⎰ (15) 这里的关键和难点是求dA ,在解决具体问题时本着dA 是A ∆的线性主部的原则, 这样计算的A 为精确值。

[4]2.3微元法的使用条件用定积分来解决的确实际问题中的所求量A 应符合下列条件：[4](1)A 是与一个变量的变化区间],[b a 有关的量；(2)A 对于区间],[b a 具有可加性；(3)局部量i A ∆的近似值可表示为,)(i i x f ∆ξ这里)(x f 是实际问题选择的函数。

3 微元法在几何中的一些应用3.1直角坐标系下平面图形的面积(1)曲线()(()0)y f x f x =>，x a =，x b =及x 轴所围图形(如图2所示)的面积的微元()dA f x dx =，则面积()ba A f x dx =⎰。

(2)曲线()y f x =(有正有负)，x a =，x b =及x 轴所围图形(如图3所示)的面积的微元()dA f x dx =，则面积 ()ba A f x dx =⎰。

(3)由上下两条曲线()y f x =，()y g x =(()()f x g x >)，x a =，x b =所围图形(如图4所示)的面积微元[]()()dA f x g x dx =-，则面积公式图2图3[]()()ba A f x g x dx =-⎰。

(4)由左右两条曲线)()(y x y x ψϕ==，及d y c y ==，所围图形(如图5所示)的面积的微元[]()()dA y y dy ϕψ=-，则面积[]dc ()()A x x dy ϕψ=-⎰例 1 试求由1,,2y y x x x===所围成的图形的面积。

解：如图6，[1,2]x ∈，这是一个典型的-X 型图形，所以面积微元1()dA x dx x=-，于是所求面积2113()ln 22A x dx x =-=-⎰例 2 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的平面图形的面积。

解：如图7，抛物线与直线的交点()2,2-、()8,4。

若选坐标y 为积分变量，它的变化范围是[]2,4-，在其上任取子区间[],y y dy +xyo 12 图6图4图5，则得面积微元21(4)2dA y y dy =+-，于是面积： 42A dA -=⎰4221(4)2y y dy -=+-⎰23411(4)226y y y =+--18= 若选坐标x 为积分变量，它的变化范围为[]0,8，在[]0,2上，面积微元2(2)dA x x dx ⎡⎤=--⎣⎦；在[2,8]上，面积微元[2(4)]dA x x dx =--，因而面积： 2802222418A xdx x x =+-+=⎰⎰运用微元法计算直角坐标系下平面图形的面积，首先应根据题目所给的条件画图；然后判断图形的类型，找出微元；最后根据公式积分，有时候要对图形进行分割。