微元法在几何与物理中的一些应用邓智维

微元法在几何与物理中的一些应用

摘要：微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用，是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程，对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元，在解决实际问题时，应先将实际问题合理转化为适合的数学模型，设定积分变量，然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式，从而可将讨论问题表示为定积分。

关键词：微元法；微元；几何应用；物理应用

Micro Element Method In Geometrical And Physical Abstract：Micro element method has widely application in geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important method to solve the definite integral problem .This paper expounds the principle and process of micro element method, to discuses the application problems of geometrical problems and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstly let the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral.

Keywords：Micro element method; Micro element; Geometric applications; Physics application

目录

1引言 (1)

2微元法介绍 (1)

2.1微元法 (2)

2.2 微元法的步骤 (3)

2.3 微元法的使用条件 (4)

3 微元法在几何中的一些应用 (4)

3.1 直角坐标系下平面图形的面积 (4)

3.2 已知平面截面面积的几何体的体积 (6)

3.3 直角坐标系下平面曲线的弧长 (7)

3.4 旋转体的体积和侧面积 (8)

3.4.1 旋转体的体积 (8)

3.4.1 旋转体的侧面积 (9)

4 微元法在物理中的一些应用 (10)

4.1 机械运动问题 (11)

4.2 液体压力问题 (12)

4.3 电学做功问题 (13)

5 结论 (14)

致谢 (15)

参考文献 (15)

微元法在几何与物理中的一些应用

07级信息与计算科学 邓智维

指导教师:庄思发 讲师

1 引言

应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过定积分定义中的四部曲“分割，取近似，求和，取极限”得到定积分表达式的。而是利用步骤更简单的微元法得到定积分表达式。[1]简单来说“微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的，将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量或难以确定的量成为常量、容易确定的量。通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法。这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体。因而，对微元法的理论和其在几何与物理中的应用的讨论，能提高人们利用微元法解决实际问题的熟练程度。 2 微元法的理论

2.1微元法

定积分是分布在区间上的整体量。因为整体是由局部组成的，所以将实际问题抽象为定积分，必须从整体着眼，从局部入手。具体做法是：首先将区间上的整体量化成区间上每一点的微分，亦称微元，这是“化整为零”；其次，对区间上每一点的微分无限累加，连续作和，这是“积零为整”，从而得到了所求的定积分。这种方法称为微元法。[2]

首先引入曲边梯形求面积问题，如图1曲边梯形由连续曲线()(()0)y f x f x =≥、x 轴与两条直线x a =、x b =所围成。则曲边梯形面积为()b

a A f x dx =⎰。 为求上述图形的面积，可以在[,]a

b 上任取一点x ，并任给一个“宽度” i x ∆(分割)，那么这个微小的“矩形”的面积为i A ∆，则

1n

i i A A ==∑ (1)

计算，取近似值：第i 个窄曲边梯形的面积i A ∆近似等于以()i f ξ为底、以i x ∆为高的窄矩形面积，即

()i i i A f x ξ∆≈∆，i i x ξ∈∆ (2)

求和：则曲边梯形的面积A 近似等于n 个窄矩形面积的和，即

1()n

i i i A f x ξ=≈∆∑ (3)

求极限，得A 的精确值：

01lim ()n i i i A f x λξ→==∆∑()b

a f x dx =⎰ (4)

为简便起见，对单个矩形作讨论，省略下标i 。A ∆表示任意小区间[,]x x dx +上的窄曲边梯形的面积，则

A A =∆∑ (5)

取[,]x x dx +的左端点x 为ξ，则

()A f x dx ∆≈ (6)

于是

()A f x dx ≈∑ (7)

则

01lim ()n

i i i A f x λξ→==∆∑ (8) 可简化为

lim ()()b

a A f x dx f x dx ==∑⎰ (9) 这些问题可化为定积分来计算的待求量A 有两个特点：一是对区间的可加性；另一特点，即找任一部分量的表达式：

()A f x x x ε∆=∆+∆ (10)

然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找()f x x ∆这一项。但这一项与A ∆之差在0x ∆→时，应是比x ∆高阶的无穷小量(即舍弃的部

图1 微元法的意义