人教版普通高中数学必修课后习题标准答案
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人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2(第24页)练习(第32页)1.答:在一定地范围内,生产效率随着工人数量地增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量地增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高.2.解:图象如下[8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间.3.解:该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数.4.证明:设12,x x R ∈,且12x x <, 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->,即12()()f x f x >, 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5.最小值.练习(第36页)1.解:(1)对于函数42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=,所以函数42()23f x x x =+为偶函数;(2)对于函数3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-,所以函数3()2f x x x =-为奇函数;(3)对于函数21()x f x x+=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--,所以函数21()x f x x+=为奇函数;(4)对于函数2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=,所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称地;()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称地.习题1.3(第39页)1.解:(1)函数在5(,)2-∞上递减;函数在5[,)2+∞上递增; (2)函数在(,0)-∞上递增;函数在[0,)+∞上递减.2.证明:(1)设120x x <<,而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-,由12120,0x x x x +<-<,得12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数; (2)设120x x <<,而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=,由12120,0x x x x >-<,得12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.3.解:当0m >时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数,令()f x mx b =+,设12x x <, 而1212()()()f x f x m x x -=-,当0m >时,12()0m x x -<,即12()()f x f x <, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,12()0m x x ->,即12()()f x f x >, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.解:自服药那一刻起,心率关于时间地一个可能地图象为5.解:对于函数21622100050x y x =-+-, 当162405012()50x=-=⨯-时,max 307050y =(元), 即每辆车地月租金为4050元时,租赁公司最大月收益为307050元. 6.解:当0x <时,0x ->,而当0x ≥时,()(1)f x x x =+,即()(1)f x x x -=--,而由已知函数是奇函数,得()()f x f x -=-,得()(1)f x x x -=--,即()(1)f x x x =-,所以函数地解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1.解:(1)二次函数2()2f x x x =-地对称轴为1x =,则函数()f x 地单调区间为(,1),[1,)-∞+∞,且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数,在[1,)+∞上为增函数,函数()g x 地单调区间为[2,4], 且函数()g x 在[2,4]上为增函数;(2)当1x =时,min ()1f x =-,因为函数()g x 在[2,4]上为增函数,所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=.2.解:由矩形地宽为x m ,得矩形地长为3032xm -,设矩形地面积为S , 则23033(10)22x x x S x --==-, 当5x =时,2max 37.5S m =,即宽5x =m 才能使建造地每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室地最大面积是237.5m . 3.判断()f x 在(,0)-∞上是增函数,证明如下: 设120x x <<,则120x x ->->,因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,得12()()f x f x -<-, 又因为函数()f x 是偶函数,得12()()f x f x <,所以()f x 在(,0)-∞上是增函数.复习参考题(第44页)A 组1.解:(1)方程29x =地解为123,3x x =-=,即集合{3,3}A =-;(2)12x ≤≤,且x N ∈,则1,2x =,即集合{1,2}B =;(3)方程2320x x -+=地解为121,2x x ==,即集合{1,2}C =.2.解:(1)由PA PB =,得点P 到线段AB 地两个端点地距离相等,即{|}P PA PB =表示地点组成线段AB 地垂直平分线;(2){|3}P POcm =表示地点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 地圆.3.解:集合{|}P PA PB =表示地点组成线段AB 地垂直平分线, 集合{|}P PA PC =表示地点组成线段AC 地垂直平分线,得{|}{|}P PA PB P PA PC ==地点是线段AB 地垂直平分线与线段AC 地垂直平分线地交点,即ABC ∆地外心.4.解:显然集合{1,1}A =-,对于集合{|1}B x ax ==,当0a=时,集合B =∅,满足B A ⊆,即0a =;当0a ≠时,集合1{}B a =,而B A ⊆,则11a =-,或11a=,得1a =-,或1a =,综上得:实数a 地值为1,0-,或1.5.解:集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,即{(0,0)}A B =;集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭,即A C =∅;集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭; 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.解:(1)要使原式有意义,则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩,即2x ≥,得函数地定义域为[2,)+∞;(2)要使原式有意义,则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≥,且5x ≠,得函数地定义域为[4,5)(5,)+∞.7.解:(1)因为1()1x f x x -=+, 所以1()1a f a a -=+,得12()1111a f a a a -+=+=++,即2()11f a a +=+;(2)因为1()1xf x x-=+,所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++,即(1)2af a a +=-+.8.证明:(1)因为221()1x f x x +=-,所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---, 即()()f x f x -=;(2)因为221()1x f x x +=-,所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---, 即1()()f f x x=-. 9.解:该二次函数地对称轴为8k x =, 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性, 则208k ≥,或58k ≤,得160k ≥,或40k ≤, 即实数k 地取值范围为160k ≥,或40k ≤.10.解:(1)令2()f x x -=,而22()()()f x x x f x ---=-==,即函数2y x -=是偶函数; (2)函数2y x -=地图象关于y 轴对称; (3)函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数; (4)函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数.B 组1.解:设同时参加田径和球类比赛地有x 人, 则158143328x ++---=,得3x =,只参加游泳一项比赛地有15339--=(人),即同时参加田径和球类比赛地有3人,只参加游泳一项比赛地有9人.2.解:因为集合A ≠∅,且20x ≥,所以0a ≥. 3.解:由(){1,3}U AB =,得{2,4,5,6,7,8,9}A B =,集合A B 里除去()U A B ,得集合B ,所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.解:当0x ≥时,()(4)f x x x =+,得(1)1(14)5f =⨯+=; 当0x <时,()(4)f x x x =-,得(3)3(34)21f -=-⨯--=;(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩. .5.证明:(1)因为()f x ax b =+,得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++, 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++, 所以1212()()()22x x f x f x f ++=; (2)因为2()g x x ax b =++, 得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++, 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++, 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤, 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+, 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.解:(1)函数()f x 在[,]b a --上也是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<, 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数,则21()()f x f x ->-,又因为函数()f x 是奇函数,则21()()f x f x ->-,即12()()f x f x >, 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数;(2)函数()g x 在[,]b a --上是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<,因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数,则21()()g x g x -<-,又因为函数()g x 是偶函数,则21()()g x g x <,即12()()g x g x >,所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数.7.解:设某人地全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得25004000x <≤,25(2500)10%26.78x +-⨯=,得2517.8x =,所以该人当月地工资、薪金所得是2517.8元.版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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人教版高中数学必修1课后试题答案
.人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章会合与函数观点)人教A版'.'..习题(第24页)'.. '..练习(第32页)1.答:在必定的范围内,生产效率跟着工人数目的增添而提升,当工人数目达到某个数目时,生产效率达到最大值,而超出这个数目时,生产效率跟着工人数目的增添而降低.因而可知,并不是是工人越多,生产效率就越高.2.解:图象以下[8,12]是递加区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递加区间,[18,20]是递减区间.3.解:该函数在[1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数.4.证明:设x1,x2R,且x1x2,由于f(x1)f(x2)2(x1x2) 2(x2x1)0,'..即f(x1)f(x2),因此函数f(x)2x1在R上是减函数.5.最小值.练习(第36页)1.解:(1)对于函数f(x)2x43x2,其定义域为(,),由于对定义域内每一个x都有f(x)2(x)43(x)22x43x2f(x),因此函数(2)对于函数f(x)2x43x2为偶函数;f(x)x32x,其定义域为(,),由于对定义域内每一个x都有f(x)(x)32(x)(x32x)f(x),因此函数f(x)x32x为奇函数;(3)对于函数f(x)x21,0)(0,),由于对定义域内x,其定义域为(每一个x都有f(x)(x)21x21f(x),x x因此函数f(x)x21x为奇函数;(4)对于函数f(x)x21,其定义域为(,),由于对定义域内每一个x都有f(x)(x)21x21f(x),因此函数f(x)x21为偶函数.2.解:f(x)是偶函数,其图象是对于y轴对称的;g(x)是奇函数,其图象是对于原点对称的.'..习题1.3(第39页)1.解:(1)函数在(55,)上递减;函数在[,)上递加;22(2)函数在(,0)上递加;函数在[0,)上递减.2.证明:(1)设1x 2,而f(x1)f(x2)x12x22(x1x2)(x1x2),x由x1x20,x1x20,得f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),因此函数f(x)x21在(,0)上是减函数;(2)设x1x20,而f(x1)f(x2)11x 1x2,x2x1x1x2由x1x20,x1x20,得f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),因此函数f(x)11在(,0)上是增函数.x3.解:当m0时,一次函数y mx b在(,)上是增函数;'..当m0时,一次函数y mxb在(,)上是减函数,令f(x)mxb,设x1x2,而f(x1)f(x2)m(x1x2),当m0时,m(x1x2)0,即f(x1)f(x2),得一次函数y mx b在(,)上是增函数;当m0时,m(x1x2)0,即f(x1)f(x2),得一次函数y mx b在(,)上是减函数.4.解:自服药那一刻起,心率对于时间的一个可能的图象为5.解:对于函数y x2162x21000,50当x1624050时,y max307050(元),1)2(504050307050即每辆车的月租金为元时,租借企业最大月利润为元.6.解:当x0时,x0,而当x0时,f(x)x(1x),即f(x)x(1x),而由已知函数是奇函数,得f(x)f(x),得f(x)x(1x),即f(x)x(1x),f(x)x(1x),x0因此函数的分析式为x(1x),x.0 B组1.解:(1)二次函数f(x)x22x的对称轴为x1,则函数f(x)的单一区间为(,1),[1,),且函数f(x)在(,1)上为减函数,在[1,)上为增函数,函数g(x)的单一区间为[2,4],且函数g(x)在[2,4]上为增函数;'..(2)当x1时,f(x)min1,由于函数g(x)在[2,4]上为增函数,因此g(x)min g(2)22220.2.解:由矩形的宽为xm ,得矩形的长为30 3xS ,2m ,设矩形的面积为则Sx 303x 3(x 210x),当x 5时,S max m 2,即宽x5m 才能使22建筑的每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室的最大面积是m 2.3.判断f(x)在(,0)上是增函数,证明以下:设x 1x 2,则x 1x 2,由于函数f(x)在(0,)上是减函数,得f(x 1)f(x 2),又由于函数f(x)是偶函数,得f(x 1)f(x 2),因此f(x)在( ,0)上是增函数.复习参照题(第 44页) A 组1.解:(1)方程x29的解为x 1 3,x 2 3,即会合A { 3,3};(2)1 x 2,且x N,则x1,2,即会合B {1,2};(3)方程x 23x 20的解为x 1 1,x 2 2,即会合C {1,2}.2.解:(1)由PAPB ,得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等,即{P|PA PB}表示的点构成线段 AB 的垂直均分线;(2){P|PO3cm}表示的点构成以定点 O 为圆心,半径为3cm 的圆.3.解:会合{P|PAPB}表示的点构成线段 AB 的垂直均分线,会合{P|PA PC}表示的点构成线段AC 的垂直均分线,得{P|PAPB} {P|PAPC}的点是线段AB 的垂直均分线与线段 AC 的垂直均分线的交点,即ABC 的外心.'..4.解:明显会合A { 1,1},对于会合B{x|ax 1},当a 0时,会合B,知足B A ,即a 0 ;当a0时,会合B {1},而BA ,则 11,或 11,a aa得a 1 ,或a 1 ,综上得:实数a 的值为1,0,或1.5.解:会合AB(x,y)|2x y{(0,0)},即AB {(0,0)};3x y会合A C(x,y)|2x y 0 ,即AC;2xy3会合BC(x,y)|3x y 0 {(3, 9)};2x y 3 5 5则(AB)(BC){(0,0),(3 9,)}.5 5 6.解:(1)要使原式存心义,则x 2 0 2x 5,即x,得函数的定义域为 [2,);x 4 0 4,且x 5,(2)要使原式存心义,则5,即x|x|得函数的定义域为[4,5)(5,).7.解:(1)由于f(x)1 x ,1 x因此f(a)1 a,得f(a) 11a 12 ,1 a 1 a1 a即f(a)12;1 a 1x(2)由于f(x)1 ,x因此f(a1) 1 (a 1) a 1a 1 ,a2即f(a1)a .a 28.证明:(1)由于f(x)1 x2 ,1 x 2'..因此f(x) 1 ( x)21 x2 f(x),1 ( x)2 1x 2即f(x)f(x);(2)由于f(x)1x 2, 1 x 21211 ( x )1 x 2f(x),因此f()1x 21x1 2( )x1)f(x).即f(xk9.解:该二次函数的对称轴为x,8函数f(x) 4x 2kx 8 在 [5,20] 上拥有单一性, 则k20,或k5,得k160,或k40,88即实数k 的取值范围为k 160,或k40.10.解:(1)令f(x) x即函数yx22,而f( x)(x)2 x 2f(x),是偶函数;(2)函数3)函数4)函数yxyxy x22 2 的图象对于y 轴对称;在(0,)上是减函数;在(,0)上是增函数.B 组1.解:设同时参加田径和球类竞赛的有x 人,则1581433x28,得x3,只参加游泳一项竞赛的有15 339(人),即同时参加田径和球类竞赛的有3人,只参加游泳一项竞赛的有9人.2.解:由于会合A,且x 20,因此a0.3.解:由U (AB) {1,3},得AB{2,4,5,6,7,8,9},会合AB 里除掉A(U B),得会合B ,因此会合B{5,6,7,8,9}.'.4.解:当x0时,f(x) x(x 4),得f(1)1 (1 4) 5;当x0时,f(x) x(x4),得f(3)3( 34)21;f(a1)(a 1)(a 5),a 1. (a 1)(a3),a 1.f(x)axbf( x 1 2 x 2 )ax 1 2 x 2 bax 2)b5.证明:(1)由于,得2(x 1,f(x 1)f(x 2)ax 1bax 2ba (x 1x 2) b ,222因此f(x 12 x2)f(x 1)f(x 2);2(2)由于g(x)x 2ax b ,得g(x 1x2)1(x 12x 222x 1x 2)a(x 12 x 2)b ,24g(x 1)2 g(x 2)1[(x 1 2ax 1 b) (x 2 2 ax 2 b)]21(x 12x 22)a(x 1x 2)b ,由于1(x 1221(x 122 1(x 1x 2 2 2x 1x 2)x 22)x 2)2,即141 24222x 1x 2)2 2 ) , 4 (x 1x 22 (x 1 x 2因此g(x 1x2)g(x 1)g(x 2).226.解:(1)函数f(x)在[b, a]上也是减函数,证明以下:设bx 1x 2a ,则ax 2x 1 b ,由于函数f(x)在[a,b]上是减函数,则f( x 2)f(x 1),又由于函数f(x)是奇函数,则f(x 2)f(x 1),即f(x 1)f(x 2),因此函数f(x)在[2)函数g(x)在[b,设bx 1x 2b,a]上也是减函数;a]上是减函数,证明以下:a ,则ax 2x 1b ,由于函数g(x)在[a,b]上是增函数,则g( x 2) g( x 1),'.又由于函数g(x)是偶函数,则 g(x2) g(x1),即g(x1)g(x2),因此函数g(x)在[b, a]上是减函数.7.解:设某人的全月薪资、薪金所得为x元,应纳此项税款为y元,则0,0x2000(x2000)5%,2000x2500y25(x2500)10%,2500x4000175(x4000)15%,4000x5000由该人一月份应缴纳此项税款为元,得2500x4000,25(x2500)10%,得x,因此该人当月的薪资、薪金所得是元.'.。
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SS 习< JR 5 M)1. iftffι⅛⅛V-⅛IWfh.第象隈如牢亠定建俛Λh直角不属F任何一个映JHfcIM •个象Itt的角不-淀忌怕X Hιff∣l∆^--Stffiffi.第二線限角不一定足钝Hl・说吗认俱-%ft∣,∖-I B Lfll,∖-Hlh- Λi -⅛IW⅛M的IOR联系.2- Ξ∙三■ &本題的Ii的込将塢边枷n的购的应川列Ji他刪删:何Jm:・MlIlX疥取叭把救科苗中的除数≡换底邸伞禺》|的天栽7. m(“同Jrf这甲余数丛和来确足7 A ⅛jβfc7k M 也IlSMMM→<这样的球习不«.RrIaII^・3. Cn弟一跟限仰:(2)t∏W^PHIħ: (3) ^ZWl(II⑷斜三钦限和・说IW礎作出辭宣枷∙n*ι⅛IifeflWi・国略.4. ⑴ M r iβl2∖⅛Wfth <2> 35¾*.鄭一魏IIIflh ⑶ 24δβ30r,第兰象Ruft・说明f½Λfft定范阳内h:l! ∙jfiτ⅛的角终ifiHl同的角・幷判应Ii弟儿规Rwl・5. (!)程IAl 如犷I 密+*•翱b∙上E 幼■ 一496*42'・—13⅛U2,. 223βlβ*s(2> {β∖β22fΓ"∙36n∙∖ ^feZh — 585o∙ -225°. 135二说閔川Ifcfr屋示法和符υfh边郴同的角的集合•并任納定范IH内找出X jflT⅛的仰终边柳同的用・嫁习£第♦页)1. (I) P (Z> ^t l ⑶攀≡的l⅛算.2. (I) I5*∣(2> 2IOβ* (3∙> 54B.说硼能Ia行锻HrqI磴的换口・:L(I) Ia I o二片托■ ⅛∈Z>; ⑵ W ∣α≡∣+*π. ⅛6Z∣.说明HIMttM边分别轴和N M上的励的第合.4. (1) Co⅛ O. 75* ∙<XJΛ V. 75: (Z) Ian L2*<mn∣ 1. 2.说明体会I吋数備仁河小位的角讨应的弓角播数値町能不同■并遷一步认讥购种TM业摘・注慰血:用卄傅器求加两敦{∣⅛之谕・嬰锐对汁©辟Ml的模式劇血他如求gw盯之派變将WIKu设ft‰≡}(MM>∣求Mw乔之ιi⅛・葵加fifi?式Ift氏为RAlXJl加和.XK n∖.说明適过分圳延川倫戍制和弧度剖F的狐氏公虫,冷合引人蠢廈制的必賞性•6. «1Efi 为1.2,说明进•步认肌弧度歡的您对他公朮I l (第爭页》AfaL (I) !K∖第二象Bi; (2) MΓ.第-ftm∣(3) 236∙SO∖第三桑Rh ⑷:««)'.第PM象IK・说明隐4:给定曲H内找出埒指定的#1终边栢同(flffh Jf判定链第儿象限你2. .(J I β A ∙ IKo∖*€ZL说明梅终站相同的Wl川IfcAA杀・:k ( I) {fl ∖ Ii tkΓ f i∙ ∙ 360∖ Fe■迅}・一30OiS 60β∣⑵lβlβ -75β+At 3βO∖⅛∈Zh -75*. 285*?仁和lfl∖ (i- -H2i e3(y+* * ⅛60β. Λ6Zh —IQ∙i'3θ∖ 255WI⑷ A∣" 475* M ∙3W∖ A∈2}i —215% IlS e I(5)少l ∕h !Xf+Ig6叭⅛∈Zh - 270\ 90'<β> l∕∣∣∕J -27tf÷* *3«0\ AeZh — 90*, 2704:⑺IWf H • 360% ⅛6Z}∙ - W. 180%⑻∖fi I β^ l♦W∙ ⅛∈Z∏ — 360\ 0\说明川集含&用医湘苻号i⅛srwtk与新定角坯边Hl的的角的処令.E⅛IHHffi∕ħ l≡⅛的角舞边的角・说朗川ITl度制郝SflCSn岀备歓限角的集S乩<l> CIft明IM 为(r< α<90*.所以Oφ< X l⅛0∖⑵J).说期冈为L 36O v<α<9(Γ4 ⅛ ∙ 364)∖>€去所以i ∙ l^<∣<W∙ M •卅汽底去和为侖暫时・专址?β XftKfft5∙v为偶数时.牙是第Tk醍角.G∙ MI"滕⅛MW⅛⅜于半枪辰的弧所对的側心轴为!孤度•而等『半栓枪的弦所坤的阪比爭#K.说朗 r解囊度的權念.C3> ?殊 (4) 8».说明值逬仃便勺弧股的抉算・& (1) - 2HΓχ <2> -GoO e l (3) 8O i 21*ι(4) 38. 2*.说朗⅛i8irΛltt 4i ∣∣r 的换讯9* 61:说删 4W5L⅛≡川如度制卜的如K 公式求出圈心角的弧度敷•禅将贏度换算为(ħ∏ΓWΛl⅛⅛≡∣llJfllftMF 的 *启%、比 10. 11 oil.说明HIU ⅛tt ∣ttWtn ⅛*∣t.再运用《1度SM 下的46氏公式•也mtι搖远川介度划卜的假氏公丸BfiLL <1) (M)<2)⅛⅛if 的懈心"I 为伉山可i⅛MOao ・“8(2 黄一&)•Wα=0. 764« ^Mo*.说明 本18楚一个故学实我活动.BSIW -««的⅛l 子”井Bt 有締出标假Il 的Jii 匕学生先生体軼.然斤何运川所学知U!5⅛现.大翁数囁子之所以見與为"本都構足J ∏.<i ∣H(⅛金分割 比)h⅛ιrr 理. Λ.<1>射针转Γ-t20∖等于一号瓠度I 分针转了一 I 440\筹于一知瓠此 <2> Kftitr rain i>H 就峙旳针疵合,"为常针肅合的Stflt. 闵为分 f FMi 转的如建度为6O =⅛ft Z∕min),Wl ⅛转的帥速度为⅛>=≡<rMIzminb所M I(⅛-3⅛)^2ΛN即■ 720 f = -W-*- >1 e HAmWndCilM≡作也歯Ifcfg 器®的图勲卿下買图)或表权 从∙ι<≡≡rwi⅛⅛Λrtmt 耳分件 毎次St 合所Ui 的IlJ泗.5«TCI)百:*0∙ 6)8.⅛ —・一⅛IW为1唯1敞转一人两;U的时IH为24X60 1 44O<min).所以豁r≤l 110.J JΔJi^22.故IMflAj分fl 一天内只会肛介眈次.说明通过时FIr分计的症转间題进一步胞认识弧度的槪念.并将问題引向深人.IHFIqttm想进行分折.化研丸时针勺分针一犬的顷合次数时•町利川讣靜器或i∣tT机・从楼股的闍形.我格中的数粧,躺IR的Wf折成城阳彖等角度.4<<n∣JlJEWWMife・3∙ ae>Γ< ^jγ. I5l.2π<m说啊通过胃轮的我动何IB进"步地认机银度的1«念W<K^Λ. '1KW轮转动-MlRr.小坷轮转动的务昱舄× 36O e≡ 864 "* =r a<l.III F大W½ft9转建为3 r«・所以小t⅛轮周忙一点毎I滾转过的捉艮是gx3×2<XIO.5=15l.≡lEUmL姊习(Ml5 35>说明匚知卅。
人教版 高中数学必修一课后习题配套参考答案(解析版)
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2(第24页)练习(第32页)1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高.2.解:图象如下[8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间.3.解:该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数. 4.证明:设12,x x R∈,且12x x <, 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->,即12()()f x f x >, 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5.最小值.练习(第36页)1.解:(1)对于函数42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=,所以函数42()23f x x x =+为偶函数;(2)对于函数3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-,所以函数3()2f x x x =-为奇函数;(3)对于函数21()x f x x+=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ,因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--,所以函数21()x f x x+=为奇函数;(4)对于函数2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=,所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称的;()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称的.习题1.3(第39页)1.解:(1)函数在5(,)2-∞上递减;函数在5[,)2+∞上递增; (2)函数在(,0)-∞上递增;函数在[0,)+∞上递减.2.证明:(1)设120x x <<,而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-, 由12120,0x x x x +<-<,得12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数;(2)设120x x <<,而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=,由12120,0x x x x >-<,得12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.解:当0m >时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数,令()f x mx b =+,设12x x <, 而1212()()()f x f x m x x -=-,当0m >时,12()0m x x -<,即12()()f x f x <, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,12()0m x x ->,即12()()f x f x >, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为5.解:对于函数21622100050x y x =-+-, 当162405012()50x=-=⨯-时,max 307050y =(元), 即每辆车的月租金为4050元时,租赁公司最大月收益为307050元. 6.解:当0x <时,0x ->,而当0x ≥时,()(1)f x x x =+,即()(1)f x x x -=--,而由已知函数是奇函数,得()()f x f x -=-,得()(1)f x x x -=--,即()(1)f x x x =-,所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1.解:(1)二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =,则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞,且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数,在[1,)+∞上为增函数,函数()g x 的单调区间为[2,4], 且函数()g x 在[2,4]上为增函数; (2)当1x =时,min ()1f x =-,因为函数()g x 在[2,4]上为增函数,所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=.2.解:由矩形的宽为xm ,得矩形的长为3032xm -,设矩形的面积为S , 则23033(10)22x x x S x --==-, 当5x =时,2max 37.5S m =,即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室的最大面积是237.5m .3.判断()f x 在(,0)-∞上是增函数,证明如下: 设120x x <<,则120x x ->->,因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,得12()()f x f x -<-, 又因为函数()f x 是偶函数,得12()()f x f x <,所以()f x 在(,0)-∞上是增函数.复习参考题(第44页)A 组1.解:(1)方程29x =的解为123,3x x =-=,即集合{3,3}A =-;(2)12x ≤≤,且x N ∈,则1,2x =,即集合{1,2}B =;(3)方程2320xx -+=的解为121,2x x ==,即集合{1,2}C =.2.解:(1)由PA PB =,得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等,即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线;(2){|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 的圆. 3.解:集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线, 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线,得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点,即ABC ∆的外心.4.解:显然集合{1,1}A =-,对于集合{|1}B x ax ==,当0a=时,集合B =∅,满足B A ⊆,即0a =;当0a ≠时,集合1{}B a=,而B A ⊆,则11a =-,或11a =,得1a =-,或1a =,综上得:实数a 的值为1,0-,或1.5.解:集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ,即{(0,0)}A B =I ;集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I,即A C =∅I ;集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I; 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-IU I .6.解:(1)要使原式有意义,则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩,即2x ≥,得函数的定义域为[2,)+∞;(2)要使原式有意义,则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≥,且5x ≠,得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U .7.解:(1)因为1()1x f x x -=+, 所以1()1a f a a -=+,得12()1111a f a a a -+=+=++, 即2()11f a a +=+;(2)因为1()1xf x x-=+,所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++, 即(1)2af a a +=-+.8.证明:(1)因为221()1x f x x +=-,所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---,即()()f x f x -=;(2)因为221()1x f x x+=-, 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---, 即1()()f f x x=-.9.解:该二次函数的对称轴为8k x=, 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性, 则208k ≥,或58k ≤,得160k ≥,或40k ≤, 即实数k 的取值范围为160k ≥,或40k ≤.10.解:(1)令2()f x x -=,而22()()()f x x x f x ---=-==,即函数2y x -=是偶函数; (2)函数2y x -=的图象关于y 轴对称; (3)函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数; (4)函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数.B 组1.解:设同时参加田径和球类比赛的有x 人, 则158143328x ++---=,得3x =,只参加游泳一项比赛的有15339--=(人),即同时参加田径和球类比赛的有3人,只参加游泳一项比赛的有9人.2.解:因为集合A ≠∅,且20x ≥,所以0a ≥.3.解:由(){1,3}U A B =U ð,得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ,集合A B U 里除去()U A B I ð,得集合B , 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.解:当0x ≥时,()(4)f x x x =+,得(1)1(14)5f =⨯+=; 当0x <时,()(4)f x x x =-,得(3)3(34)21f -=-⨯--=;(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩. .5.证明:(1)因为()f x ax b =+,得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++, 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++, 所以1212()()()22x x f x f x f ++=; (2)因为2()g x x ax b =++,得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++, 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++, 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤, 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+, 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.解:(1)函数()f x 在[,]b a --上也是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<, 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数,则21()()f x f x ->-,又因为函数()f x 是奇函数,则21()()f x f x ->-,即12()()f x f x >, 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数;(2)函数()g x 在[,]b a --上是减函数,证明如下: 设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<,因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数,则21()()g x g x -<-, 又因为函数()g x 是偶函数,则21()()g x g x <,即12()()g x g x >, 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数.7.解:设某人的全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得25004000x <≤, 25(2500)10%26.78x +-⨯=,得2517.8x =, 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元.。
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当 k = 2 时, 3k −1 = 5 ;当 k = −3时, 3k −1 = −10 ;
3.用列举法表示下列给定的集合:
(2) A C = {x | x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.
9.设 S = {x | x是平行四边形或梯形}, A = {x | x是平行四边形}, B = {x | x是菱形},
C = {x | x是矩形},求 B C , ðAB , ðS A . 9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即 B C = {x | x是正方形},
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3.解:(1)因为 B = {x | x是 8的约数} = {1, 2, 4,8},所以 A B ; (2)当 k = 2z 时, 3k = 6z ;当 k = 2z +1时, 3k = 6z + 3,
即 B 是 A 的真子集, B A ; (3)因为 4 与10 的最小公倍数是 20 ,所以 A = B .
(4){0,1} N (或{0,1} N ) {0,1}是自然数集合 N 的子集,也是真子集;
(5){0} {x | x2 = x} (或{0} {x | x2 = x} ) {x | x2 = x} = {0,1} ; (6){2,1} = {x | x2 − 3x + 2 = 0} 方程 x2 −3x + 2 = 0 两根为 x1 = 1, x2 = 2 .
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5
5.选用适当的符号填空:
(1)已知集合 A ={x | 2x −3 3x}, B ={x | x 2},则有:
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10.解:(1)令2()fxx,而22()()()fxxxfx, 即函数2yx是偶函数; (2)函数2yx的图象关于y轴对称; (3)函数2yx在(0,)上是减函数; (4)函数2yx在(,0)上是增函数. B组 1.解:设同时参加田径和球类比赛的有x人, 则158143328x,得3x,只参加游泳一项比赛的有15339(人),即同时参加田径和球类比赛的有3人,只参加游泳一项比赛的有9人. 2.解:因为集合A,且20x,所以0a. 3.解:由(){1,3}UABUe,得{2,4,5,6,7,8,9}ABU, 集合ABU里除去()UABIe,得集合B, 所以集合{5,6,7,8,9}B. 4.解:当0x时,()(4)fxxx,得(1)1(14)5f; 当0x时,()(4)fxxx,得(3)3(34)21f; (1)(5),1(1)(1)(3),1aaafaaaa. .5.证明:(1)因为()fxaxb,得121212()()222xxxxafabxxb, 121212()()()222fxfxaxbaxbaxxb, 所以1212()()()22xxfxfxf; (2)因为2()gxxaxb, 得22121212121()(2)()242xxxxgxxxxab, 22121122()()1[()()]22gxgxxaxbxaxb 2212121()()22xxxxab,
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得函数的定义域为[2,); (2)要使原式有意义,则40||50xx,即4x,且5x, 得函数的定义域为[4,5)(5,)U. 7.解:(1)因为1()1xfxx, 所以1()1afaa,得12()1111afaaa, 即2()11faa; (2)因为1()1xfxx, 所以1(1)(1)112aafaaa, 即(1)2afaa. 8.证明:(1)因为221()1xfxx, 所以22221()1()()1()1xxfxfxxx, 即()()fxfx; (2)因为221()1xfxx, 所以222211()11()()111()xxffxxxx, 即1()()ffxx. 9.解:该二次函数的对称轴为8kx, 函数2()48fxxkx在[5,20]上具有单调性, 则208k,或58k,得160k,或40k, 即实数k的取值范围为160k,或40k.
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人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2(第24页)练习(第32页)1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高.2.解:图象如下[8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间.3.解:该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数. 4.证明:设12,x x R ∈,且12x x <, 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->,即12()()f x f x >, 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5.最小值.练习(第36页)1.解:(1)对于函数42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=,所以函数42()23f x x x =+为偶函数;(2)对于函数3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-,所以函数3()2f x x x =-为奇函数;(3)对于函数21()x f x x+=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--,所以函数21()x f x x+=为奇函数;(4)对于函数2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=,所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称的;()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称的.习题1.3(第39页) 1.解:(1)函数在5(,)2-∞上递减;函数在5[,)2+∞上递增; (2)函数在(,0)-∞上递增;函数在[0,)+∞上递减.2.证明:(1)设120x x <<,而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-,由12120,0x x x x +<-<,得12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数; (2)设120x x <<,而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=,由12120,0x x x x >-<,得12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.解:当0m >时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数,令()f x mx b =+,设12x x <, 而1212()()()f x f x m x x -=-,当0m >时,12()0m x x -<,即12()()f x f x <, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数; 当0m <时,12()0m x x ->,即12()()f x f x >, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为5.解:对于函数21622100050x y x =-+-, 当162405012()50x=-=⨯-时,max 307050y =(元), 即每辆车的月租金为4050元时,租赁公司最大月收益为307050元. 6.解:当0x <时,0x ->,而当0x ≥时,()(1)f x x x =+,即()(1)f x x x -=--,而由已知函数是奇函数,得()()f x f x -=-,得()(1)f x x x -=--,即()(1)f x x x =-,所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1.解:(1)二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =,则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞,且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数,在[1,)+∞上为增函数,函数()g x 的单调区间为[2,4], 且函数()g x 在[2,4]上为增函数; (2)当1x =时,min ()1f x =-,因为函数()g x 在[2,4]上为增函数,所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=.2.解:由矩形的宽为xm ,得矩形的长为3032xm -,设矩形的面积为S , 则23033(10)22x x x S x --==-, 当5x =时,2max 37.5S m =,即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室的最大面积是237.5m . 3.判断()f x 在(,0)-∞上是增函数,证明如下: 设120x x <<,则120x x ->->,因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,得12()()f x f x -<-, 又因为函数()f x 是偶函数,得12()()f x f x <,所以()f x 在(,0)-∞上是增函数.复习参考题(第44页)A 组1.解:(1)方程29x =的解为123,3x x =-=,即集合{3,3}A =-;(2)12x ≤≤,且x N ∈,则1,2x =,即集合{1,2}B =;(3)方程2320xx -+=的解为121,2x x ==,即集合{1,2}C =.2.解:(1)由PA PB =,得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等,即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线;(2){|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 的圆. 3.解:集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线, 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线,得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点,即ABC ∆的外心.4.解:显然集合{1,1}A =-,对于集合{|1}B x ax ==,当0a=时,集合B =∅,满足B A ⊆,即0a =;当0a ≠时,集合1{}B a =,而B A ⊆,则11a =-,或11a=,得1a =-,或1a =,综上得:实数a 的值为1,0-,或1.5.解:集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,即{(0,0)}A B =;集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭,即A C =∅;集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭; 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.解:(1)要使原式有意义,则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩,即2x ≥,得函数的定义域为[2,)+∞;(2)要使原式有意义,则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≥,且5x ≠,得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞.7.解:(1)因为1()1xf x x -=+, 所以1()1a f a a -=+,得12()1111a f a a a -+=+=++, 即2()11f a a +=+;(2)因为1()1xf x x-=+,所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++, 即(1)2af a a +=-+.8.证明:(1)因为221()1x f x x+=-, 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---, 即()()f x f x -=;(2)因为221()1x f x x +=-,所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---, 即1()()f f x x=-.9.解:该二次函数的对称轴为8kx =,函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性,则208k ≥,或58k≤,得160k ≥,或40k ≤, 即实数k 的取值范围为160k ≥,或40k ≤.10.解:(1)令2()f x x -=,而22()()()f x x x f x ---=-==,即函数2y x -=是偶函数; (2)函数2y x -=的图象关于y 轴对称; (3)函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数; (4)函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数.B 组1.解:设同时参加田径和球类比赛的有x 人, 则158143328x ++---=,得3x =,只参加游泳一项比赛的有15339--=(人),即同时参加田径和球类比赛的有3人,只参加游泳一项比赛的有9人.2.解:因为集合A ≠∅,且20x ≥,所以0a ≥. 3.解:由(){1,3}U AB =,得{2,4,5,6,7,8,9}A B =,集合A B 里除去()U A B ,得集合B ,所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.解:当0x ≥时,()(4)f x x x =+,得(1)1(14)5f =⨯+=; 当0x <时,()(4)f x x x =-,得(3)3(34)21f -=-⨯--=;(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩. .5.证明:(1)因为()f x ax b =+,得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++, 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++, 所以1212()()()22x x f x f x f ++=; (2)因为2()g x x ax b =++, 得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++, 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++,因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤, 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+, 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.解:(1)函数()f x 在[,]b a --上也是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<, 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数,则21()()f x f x ->-,又因为函数()f x 是奇函数,则21()()f x f x ->-,即12()()f x f x >, 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数;(2)函数()g x 在[,]b a --上是减函数,证明如下: 设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<,因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数,则21()()g x g x -<-, 又因为函数()g x 是偶函数,则21()()g x g x <,即12()()g x g x >, 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数.7.解:设某人的全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得25004000x <≤, 25(2500)10%26.78x +-⨯=,得2517.8x =, 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元.。
人教版普通高中数学必修1习题详细答案
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2(第24页)练习(第32页)1.答:在一定地范围内,生产效率随着工人数量地增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量地增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高.2.解:图象如下[8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间.3.解:该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数. 4.证明:设12,x x R ∈,且12x x <, 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->,即12()()f x f x >, 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5.最小值.练习(第36页)1.解:(1)对于函数42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=,所以函数42()23f x x x =+为偶函数;(2)对于函数3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-,所以函数3()2f x x x =-为奇函数;(3)对于函数21()x f x x+=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--,所以函数21()x f x x+=为奇函数;(4)对于函数2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=,所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称地;()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称地.习题1.3(第39页) 1.解:(1)函数在5(,)2-∞上递减;函数在5[,)2+∞上递增; (2)函数在(,0)-∞上递增;函数在[0,)+∞上递减.2.证明:(1)设120x x <<,而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-,由12120,0x x x x +<-<,得12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数; (2)设120x x <<,而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=,由12120,0x x x x >-<,得12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.解:当0m >时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数,令()f x mx b =+,设12x x <, 而1212()()()f x f x m x x -=-,当0m >时,12()0m x x -<,即12()()f x f x <, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,12()0m x x ->,即12()()f x f x >, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.解:自服药那一刻起,心率关于时间地一个可能地图象为5.解:对于函数21622100050x y x =-+-, 当162405012()50x=-=⨯-时,max 307050y =(元), 即每辆车地月租金为4050元时,租赁公司最大月收益为307050元. 6.解:当0x <时,0x ->,而当0x ≥时,()(1)f x x x =+,即()(1)f x x x -=--,而由已知函数是奇函数,得()()f x f x -=-,得()(1)f x x x -=--,即()(1)f x x x =-,所以函数地解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1.解:(1)二次函数2()2f x x x =-地对称轴为1x =,则函数()f x 地单调区间为(,1),[1,)-∞+∞,且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数,在[1,)+∞上为增函数,函数()g x 地单调区间为[2,4], 且函数()g x 在[2,4]上为增函数; (2)当1x =时,min ()1f x =-,因为函数()g x 在[2,4]上为增函数,所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=.2.解:由矩形地宽为x m ,得矩形地长为3032xm -,设矩形地面积为S , 则23033(10)22x x x S x --==-, 当5x =时,2max 37.5S m =,即宽5x =m 才能使建造地每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室地最大面积是237.5m . 3.判断()f x 在(,0)-∞上是增函数,证明如下:设120x x <<,则120x x ->->,因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,得12()()f x f x -<-, 又因为函数()f x 是偶函数,得12()()f x f x <,所以()f x 在(,0)-∞上是增函数.复习参考题(第44页)A 组1.解:(1)方程29x =地解为123,3x x =-=,即集合{3,3}A =-;(2)12x ≤≤,且x N ∈,则1,2x =,即集合{1,2}B =;(3)方程2320xx -+=地解为121,2x x ==,即集合{1,2}C =.2.解:(1)由PA PB =,得点P 到线段AB 地两个端点地距离相等,即{|}P PA PB =表示地点组成线段AB 地垂直平分线;(2){|3}P POcm =表示地点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 地圆.3.解:集合{|}P PA PB =表示地点组成线段AB 地垂直平分线, 集合{|}P PA PC =表示地点组成线段AC 地垂直平分线,得{|}{|}P PA PB P PA PC ==地点是线段AB 地垂直平分线与线段AC 地垂直平分线地交点,即ABC ∆地外心.4.解:显然集合{1,1}A =-,对于集合{|1}B x ax ==,当0a=时,集合B =∅,满足B A ⊆,即0a =;当0a ≠时,集合1{}B a =,而B A ⊆,则11a =-,或11a=,得1a =-,或1a =,综上得:实数a 地值为1,0-,或1.5.解:集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,即{(0,0)}A B =;集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭,即A C =∅;集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭;则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.解:(1)要使原式有意义,则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩,即2x ≥,得函数地定义域为[2,)+∞;(2)要使原式有意义,则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≥,且5x ≠,得函数地定义域为[4,5)(5,)+∞.7.解:(1)因为1()1x f x x -=+, 所以1()1a f a a -=+,得12()1111a f a a a -+=+=++, 即2()11f a a +=+;(2)因为1()1xf x x-=+,所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++, 即(1)2af a a +=-+.8.证明:(1)因为221()1x f x x +=-,所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---,即()()f x f x -=;(2)因为221()1x f x x +=-,所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---, 即1()()f f x x=-.9.解:该二次函数地对称轴为8k x=, 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性, 则208k ≥,或58k ≤,得160k ≥,或40k ≤, 即实数k 地取值范围为160k ≥,或40k ≤.10.解:(1)令2()f x x -=,而22()()()f x x x f x ---=-==,即函数2y x -=是偶函数; (2)函数2y x -=地图象关于y 轴对称; (3)函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数; (4)函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数.B 组1.解:设同时参加田径和球类比赛地有x 人, 则158143328x ++---=,得3x =,只参加游泳一项比赛地有15339--=(人),即同时参加田径和球类比赛地有3人,只参加游泳一项比赛地有9人.2.解:因为集合A ≠∅,且20x ≥,所以0a ≥. 3.解:由(){1,3}U AB =,得{2,4,5,6,7,8,9}A B =,集合A B 里除去()U A B ,得集合B ,所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.解:当0x ≥时,()(4)f x x x =+,得(1)1(14)5f =⨯+=; 当0x <时,()(4)f x x x =-,得(3)3(34)21f -=-⨯--=;(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩. .5.证明:(1)因为()f x axb =+,得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++, 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++, 所以1212()()()22x x f x f x f ++=; (2)因为2()g x x ax b =++,得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++, 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++, 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤, 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+, 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.解:(1)函数()f x 在[,]b a --上也是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<, 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数,则21()()f x f x ->-,又因为函数()f x 是奇函数,则21()()f x f x ->-,即12()()f x f x >, 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数;(2)函数()g x 在[,]b a --上是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<,因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数,则21()()g x g x -<-, 又因为函数()g x 是偶函数,则21()()g x g x <,即12()()g x g x >,所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数.7.解:设某人地全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得25004000x <≤,25(2500)10%26.78x +-⨯=,得2517.8x =,所以该人当月地工资、薪金所得是2517.8元.版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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人教版高中数学必修一课后习题答案
高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示练习(第5页)1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A 为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______A ,美国_______A ,印度_______A ,英国_______A ;(2)若2{|}A x x x ==,则1-_______A ; (3)若2{|60}B x x x =+-=,则3_______B ;(4)若{|110}C x N x =∈≤≤,则8_______C ,9.1_______C . 1.(1)中国∈A ,美国∉A ,印度∈A ,英国∉A ;中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲.(2)1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===.(3)3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-. (4)8∈C ,9.1∉C 9.1N ∉.2.试选择适当的方法表示下列集合:(1)由方程290x -=的所有实数根组成的集合; (2)由小于8的所有素数组成的集合;(3)一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合; (4)不等式453x -<的解集.2.解:(1)因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=,所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-; (2)因为小于8的素数为2,3,5,7,所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7};(3)由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩,得14x y =⎧⎨=⎩,即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4),所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)};(4)由453x -<,得2x <,所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <.1.1.2集合间的基本关系练习(第7页)1.写出集合{,,}a b c 的所有子集.1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得∅;取一个元素,得{},{},{}a b c ; 取两个元素,得{,},{,},{,}a b a c b c ; 取三个元素,得{,,}a b c ,即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅.2.用适当的符号填空:(1)a ______{,,}a b c ; (2)0______2{|0}x x =; (3)∅______2{|10}x R x ∈+=; (4){0,1}______N ;(5){0}______2{|}x x x =; (6){2,1}______2{|320}x x x -+=. 2.(1){,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素;(2)20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==;(3)2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根,2{|10}x R x ∈+==∅;(4){0,1}N (或{0,1}N ⊆) {0,1}是自然数集合N 的子集,也是真子集;(5){0}2{|}x x x = (或2{0}{|}x x x ⊆=) 2{|}{0,1}x x x ==;(6)2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==.3.判断下列两个集合之间的关系:(1){1,2,4}A =,{|8}B x x =是的约数;(2){|3,}A x x k k N ==∈,{|6,}B x x z z N ==∈;(3){|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,,{|20,}B x x m m N +==∈.3.解:(1)因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数,所以AB ;(2)当2k z =时,36k z =;当21k z =+时,363k z =+,即B 是A 的真子集,BA ;(3)因为4与10的最小公倍数是20,所以A B =.1.1.3集合的基本运算练习(第11页)1.设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==,求,A B A B .1.解:{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==, {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}AB ==.2.设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===,求,AB A B .2.解:方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=, 方程210x -=的两根为121,1x x =-=,得{1,5},{1,1}A B =-=-, 即{1},{1,1,5}AB A B =-=-.3.已知{|}A x x =是等腰三角形,{|}B x x =是直角三角形,求,A B A B .3.解:{|}A B x x =是等腰直角三角形,{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形.4.已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =,{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==, 求(),()()U U U AB A B 痧?.4.解:显然{2,4,6}U B =ð,{1,3,6,7}U A =ð, 则(){2,4}U AB =ð,()(){6}U U A B =痧.1.1集合习题1.1 (第11页) A 组 1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)237_______Q ; (2)23______N ; (3)π_______Q ;(4_______R ; (5Z ; (6)2_______N .1.(1)237Q ∈ 237是有理数; (2)23N ∈ 239=是个自然数;(3)Q π∉ π是个无理数,不是有理数; (4R 是实数;(5Z3=是个整数; (6)2N ∈ 2)5=是个自然数.2.已知{|31,}A x x k k Z ==-∈,用 “∈”或“∉” 符号填空: (1)5_______A ; (2)7_______A ; (3)10-_______A .2.(1)5A ∈; (2)7A ∉; (3)10A -∈.当2k =时,315k -=;当3k =-时,3110k -=-; 3.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于1且小于6的整数;(2){|(1)(2)0}A x x x =-+=; (3){|3213}B x Z x =∈-<-≤.3.解:(1)大于1且小于6的整数为2,3,4,5,即{2,3,4,5}为所求;(2)方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=,即{2,1}-为所求; (3)由不等式3213x -<-≤,得12x -<≤,且x Z ∈,即{0,1,2}为所求. 4.试选择适当的方法表示下列集合:(1)二次函数24y x =-的函数值组成的集合;(2)反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合; (3)不等式342x x ≥-的解集.4.解:(1)显然有20x ≥,得244x -≥-,即4y ≥-,得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-;(2)显然有0x ≠,得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠; (3)由不等式342x x ≥-,得45x ≥,即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥.5.选用适当的符号填空:(1)已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥,则有:4-_______B ; 3-_______A ; {2}_______B ; B _______A ; (2)已知集合2{|10}A x x =-=,则有:1_______A ; {1}-_______A ; ∅_______A ; {1,1}-_______A ; (3){|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形; {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形.5.(1)4B -∉; 3A -∉; {2}B ; BA ;2333x x x -<⇒>-,即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥;(2)1A ∈; {1}-A ; ∅A ; {1,1}-=A ; 2{|10}{1,1}A x x =-==-;(3){|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形;菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形.等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形.6.设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-,求,AB A B .6.解:3782x x -≥-,即3x ≥,得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥, 则{|2}AB x x =≥,{|34}A B x x =≤<.7.设集合{|9}A x x =是小于的正整数,{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==,求A B ,AC ,()A B C ,()A B C .7.解:{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数, 则{1,2,3}AB =,{3,4,5,6}AC =, 而{1,2,3,4,5,6}B C =,{3}B C =, 则(){1,2,3,4,5,6}AB C =,(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =.8.学校里开运动会,设{|}A x x =是参加一百米跑的同学,{|}B x x =是参加二百米跑的同学,{|}C x x =是参加四百米跑的同学,学校规定,每个参加上述的同学最多只能参加两项,请你用集合的语言说明这项规定, 并解释以下集合运算的含义:(1)A B ;(2)A C . 8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项, 即为()A B C =∅.(1){|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学; (2){|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学.9.设{|}S x x =是平行四边形或梯形,{|}A x x =是平行四边形,{|}B x x =是菱形,{|}C x x =是矩形,求BC ,A B ð,S A ð.9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即{|}BC x x =是正方形,平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形, 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð, {|}S A x x =是梯形ð.10.已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<,求()R AB ð,()R A B ð,()R A B ð,()R A B ð.10.解:{|210}AB x x =<<,{|37}A B x x =≤<,{|3,7}R A x x x =<≥或ð,{|2,10}R B x x x =≤≥或ð, 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或ð, (){|3,7}R A B x x x =<≥或ð, (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð,(){|2,3710}R AB x x x x =≤≤<≥或或ð.B 组1.已知集合{1,2}A =,集合B 满足{1,2}AB =,则集合B 有 个.1.4 集合B 满足A B A =,则B A ⊆,即集合B 是集合A 的子集,得4个子集.2.在平面直角坐标系中,集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =,从这个角度看, 集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么?集合,C D 之间有什么关系?2.解:集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合,即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,点(1,1)D 显然在直线y x =上,得D C .3.设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈,{|(4)(1)0}B x x x =--=,求,A B A B .3.解:显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==, 当3a =时,集合{3}A =,则{1,3,4},A B A B ==∅; 当1a =时,集合{1,3}A =,则{1,3,4},{1}A B A B ==; 当4a =时,集合{3,4}A =,则{1,3,4},{4}AB A B ==;当1a ≠,且3a ≠,且4a ≠时,集合{3,}A a =,则{1,3,4,},AB a A B ==∅.4.已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤,(){1,3,5,7}U A B =ð,试求集合B .4.解:显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =,由U AB =,得U B A ⊆ð,即()U UAB B =痧,而(){1,3,5,7}U A B =ð, 得{1,3,5,7}U B =ð,而()U UB B =痧,即{0,2,4,6,8.9,10}B =.第一章 集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念1.求下列函数的定义域:(1)1()47f x x =+; (2)()1f x =+.1.解:(1)要使原式有意义,则470x +≠,即74x ≠-,得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-;(2)要使原式有意义,则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩,即31x -≤≤,得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤. 2.已知函数2()32f x x x =+,(1)求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值; (2)求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值.2.解:(1)由2()32f x x x =+,得2(2)322218f =⨯+⨯=,同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=,则(2)(2)18826f f +-=+=,即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=;(2)由2()32f x x x =+,得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+,同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-, 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=,即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=.3.判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由:(1)表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-; (2)()1f x =和0()g x x =.3.解:(1)不相等,因为定义域不同,时间0t >; (2)不相等,因为定义域不同,0()(0)g x x x =≠. 1.2.2函数的表示法1.如图,把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为xcm , 面积为2ycm ,把y 表示为x 的函数. 1,y ==,且050x <<,即(050)y x =<<.2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学;(2)我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.2.解:图象(A )对应事件(2),在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象(B )对应事件(3),刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速; 图象(D )对应事件(1),返回家里的时刻,离开家的距离又为零;图象(C )我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进. 3.画出函数|2|y x =-的图象. 3.解:2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩,图象如下所示.{|},{0,1}A x x B ==是锐角,从A 到B 的映射是“求正弦”,4.设中元素60相对应与AB 中的元素是什么?与B中的元素2相对应的A 中元素是什的么?(A )(B )(C )(D )4.解:因为3sin 60=,所以与A 中元素60相对应的B ;因为2sin 452=,所以与B 中的元素2相对应的A 中元素是45. 1.2函数及其表示 习题1.2(第23页)1.求下列函数的定义域:(1)3()4xf x x =-; (2)()f x =(3)26()32f x x x =-+; (4)()f x =1.解:(1)要使原式有意义,则40x -≠,即4x ≠, 得该函数的定义域为{|4}x x ≠;(2)x R ∈,()f x =即该函数的定义域为R ;(3)要使原式有意义,则2320x x -+≠,即1x ≠且2x ≠, 得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且;(4)要使原式有意义,则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≤且1x ≠,得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且. 2.下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等?(1)2()1,()1x f x x g x x=-=-; (2)24(),()f x x g x ==;(3)2(),()f x x g x ==.2.解:(1)()1f x x =-的定义域为R ,而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠, 即两函数的定义域不同,得函数()f x 与()g x 不相等;(2)2()f x x =的定义域为R ,而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥,即两函数的定义域不同,得函数()f x 与()g x 不相等;(32x =,即这两函数的定义域相同,切对应法则相同,得函数()f x 与()g x 相等.3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域和值域. (1)3y x =; (2)8y x=; (3)45y x =-+; (4)267y x x =-+. 3.解:(1)定义域是(,)-∞+∞,值域是(,)-∞+∞; (2)定义域是(,0)(0,)-∞+∞,值域是(,0)(0,)-∞+∞;(3)定义域是(,)-∞+∞,值域是(,)-∞+∞;(4)定义域是(,)-∞+∞,值域是[2,)-+∞.4.已知函数2()352f x x x =-+,求(f ,()f a -,(3)f a +,()(3)f a f +.4.解:因为2()352f x x x =-+,所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理,22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++, 即2()352f a a a -=++;22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++, 即2(3)31314f a a a +=++;22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+, 即2()(3)3516f a f a a +=-+. 5.已知函数2()6x f x x +=-, (1)点(3,14)在()f x 的图象上吗? (2)当4x =时,求()f x 的值;(3)当()2f x =时,求x 的值. 5.解:(1)当3x =时,325(3)14363f +==-≠-, 即点(3,14)不在()f x 的图象上; (2)当4x =时,42(4)346f +==--, 即当4x =时,求()f x 的值为3-;(3)2()26x f x x +==-,得22(6)x x +=-, 即14x =.6.若2()f x x bx c =++,且(1)0,(3)0f f ==,求(1)f -的值. 6.解:由(1)0,(3)0f f ==,得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根, 即13,13b c +=-⨯=,得4,3b c =-=,即2()43f x x x =-+,得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=, 即(1)f -的值为8.7.画出下列函数的图象:(1)0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩; (2)()31,{1,2,3}G n n n =+∈.7.图象如下:8.如图,矩形的面积为10,如果矩形的长为x ,宽为y ,对角线为d ,周长为l ,那么你能获得关于这些量的哪些函数?8.解:由矩形的面积为10,即10xy =,得10(0)y x x=>,10(0)x y y =>,由对角线为d ,即d =,得(0)d x =>, 由周长为l ,即22l x y =+,得202(0)l x x x=+>, 另外2()l x y =+,而22210,xy d x y ==+,得(0)l d ===>,即(0)l d =>.9.一个圆柱形容器的底部直径是dcm ,高是hcm ,现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液.求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式,并写出函数的定义域和值域. 9.解:依题意,有2()2d x vt π=,即24vx t d π=, 显然0x h ≤≤,即240vt h d π≤≤,得204h d t v π≤≤, 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h . 10.设集合{,,},{0,1}A a b c B ==,试问:从A 到B 的映射共有几个? 并将它们分别表示出来.10.解:从A 到B 的映射共有8个.分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.B组1.函数()r f p =的图象如图所示. (1)函数()r f p =的定义域是什么? (2)函数()r f p =的值域是什么?(3)r 取何值时,只有唯一的p 值与之对应? 1.解:(1)函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-; (2)函数()r f p =的值域是[0,)+∞;(3)当5r >,或02r ≤<时,只有唯一的p 值与之对应.2.画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且,值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象.(1)如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤,12y -≤≤,那么其中哪些点不能在图象上?(2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗?2.解:图象如下,(1)点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上;(2)省略.3.函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数,例如,[ 3.5]4-=-,[2.1]2=. 当( 2.5,3]x ∈-时,写出函数()f x 的解析式,并作出函数的图象.3.解:3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4.如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ,从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇.(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ,步行的速度是5/km h ,t (单位:h )表示他从小岛到城镇的时间,x (单位:km )表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.请将t 表示为x 的函数. (2)如果将船停在距点P 4km 处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到1h )?4.解:(112x -,得1235xt -=+,(012)x ≤≤,即1235xt -=+,(012)x ≤≤.(2)当4x =时,12483()355t h -=+=≈.第一章 集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值练习(第32页)1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高.2.整个上午(8:0012:00)天气越来越暖,中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间.2.解:图象如下[8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间.3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,3.解:该函数在[1,0]在[4,5]上是增函数.4.证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4.证明:设12,x x R ∈,且12x x <,因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->, 即12()()f x f x >,所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5.设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减,在区间[2,11]-上递增,画出()f x 的一个大致的图象,从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5.最小值.1.3.2单调性与最大(小)值练习(第36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)42()23f x x x =+; (2)3()2f x x x =-(3)21()x f x x+=; (4)2()1f x x =+.1.解:(1)对于函数42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=, 所以函数42()23f x x x =+为偶函数;(2)对于函数3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-, 所以函数3()2f x x x =-为奇函数;(3)对于函数21()x f x x+=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--, 所以函数21()x f x x+=为奇函数;(4)对于函数2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=, 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,试将下图补充完整.2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称的; ()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称的.习题1.3A 组1.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数()y f x =的单调区间,以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.(1)256y x x =--; (2)29y x =-.1.解:(1)函数在5(,)2-∞上递减;函数在5[,)2+∞上递增;(2)(,0)-∞上递增;函数在[0,)+∞上递减. 函数在2.证明:(1)函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数;(2)函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2.证明:(1)设120x x <<,而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-,由12120,0x x x x +<-<,得12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数;(2)设120x x <<,而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=, 由12120,0x x x x >-<,得12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性,并证明你的结论.3.解:当0m >时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数,令()f x mx b =+,设12x x <,而1212()()()f x f x m x x -=-,当0m >时,12()0m x x -<,即12()()f x f x <,得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,12()0m x x ->,即12()()f x f x >,得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图).4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?5.解:对于函数21622100050x y x =-+-, 当162405012()50x =-=⨯-时,max 307050y =(元), 即每辆车的月租金为4050元时,租赁公司最大月收益为307050元.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象,并求出函数的解析式.6.解:当0x <时,0x ->,而当0x ≥时,()(1)f x x x =+,即()(1)f x x x -=--,而由已知函数是奇函数,得()()f x f x -=-,得()(1)f x x x -=--,即()(1)f x x x =-,所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1.已知函数2()2f x x x =-,2()2([2,4])g x x x x =-∈.(1)求()f x ,()g x 的单调区间; (2)求()f x ,()g x 的最小值.1.解:(1)二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =,则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞,且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数,在[1,)+∞上为增函数,函数()g x 的单调区间为[2,4],且函数()g x 在[2,4]上为增函数;(2)当1x =时,min ()1f x =-,因为函数()g x 在[2,4]上为增函数,所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=. 2.如图所示,动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30m ,那么宽x (单位:m )为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积是多少?2.解:由矩形的宽为x m ,得矩形的长为3032x m -,设矩形的面积为S , 则23033(10)22x x x S x --==-, 当5x =时,2max 37.5S m =,即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室的最大面积是237.5m .3.已知函数()f x 是偶函数,而且在(0,)+∞上是减函数,判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数,并证明你的判断.3.判断()f x 在(,0)-∞上是增函数,证明如下:设120x x <<,则120x x ->->,因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,得12()()f x f x -<-,又因为函数()f x 是偶函数,得12()()f x f x <,所以()f x 在(,0)-∞上是增函数.复习参考题A 组1.用列举法表示下列集合:(1)2{|9}A x x ==;(2){|12}B x N x =∈≤≤;(3)2{|320}C x x x =-+=.1.解:(1)方程29x =的解为123,3x x =-=,即集合{3,3}A =-; (2)12x ≤≤,且x N ∈,则1,2x =,即集合{1,2}B =;(3)方程2320x x -+=的解为121,2x x ==,即集合{1,2}C =.2.设P 表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形?(1){|}P PA PB =(,)A B 是两个定点;(2){|3}P PO cm =()O 是定点.2.解:(1)由PA PB =,得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等,即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线;(2){|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 的圆.3.设平面内有ABC ∆,且P 表示这个平面内的动点,指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3.解:集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线,集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线,得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点,即ABC ∆的外心.4.已知集合2{|1}A x x ==,{|1}B x ax ==.若B A ⊆,求实数a 的值.4.解:显然集合{1,1}A =-,对于集合{|1}B x ax ==,当0a =时,集合B =∅,满足B A ⊆,即0a =;当0a ≠时,集合1{}B a =,而B A ⊆,则11a =-,或11a =, 得1a =-,或1a =,综上得:实数a 的值为1,0-,或1.5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=,{(,)|30}B x y x y =+=,{(,)|23}C x y x y =-=,求A B ,A C ,()()A B B C .5.解:集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,即{(0,0)}A B =; 集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭,即A C =∅;集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭; 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-. 6.求下列函数的定义域:(1)y =(2)y =. 6.解:(1)要使原式有意义,则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩,即2x ≥,得函数的定义域为[2,)+∞;(2)要使原式有意义,则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≥,且5x ≠, 得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞. 7.已知函数1()1x f x x-=+,求: (1)()1(1)f a a +≠-; (2)(1)(2)f a a +≠-.7.解:(1)因为1()1x f x x-=+, 所以1()1a f a a -=+,得12()1111a f a a a-+=+=++, 即2()11f a a+=+; (2)因为1()1x f x x-=+, 所以1(1)(1)112a a f a a a -++==-+++, 即(1)2a f a a +=-+. 8.设221()1x f x x+=-,求证: (1)()()f x f x -=; (2)1()()f f x x=-. 8.证明:(1)因为221()1x f x x+=-, 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---, 即()()f x f x -=;(2)因为221()1x f x x+=-, 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---, 即1()()f f x x=-. 9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围.9.解:该二次函数的对称轴为8k x =, 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性, 则208k ≥,或58k ≤,得160k ≥,或40k ≤, 即实数k 的取值范围为160k ≥,或40k ≤. 10.已知函数2y x -=,(1)它是奇函数还是偶函数?(2)它的图象具有怎样的对称性?(3)它在(0,)+∞上是增函数还是减函数?(4)它在(,0)-∞上是增函数还是减函数?10.解:(1)令2()f x x -=,而22()()()f x x x f x ---=-==,即函数2y x -=是偶函数;(2)函数2y x -=的图象关于y 轴对称;(3)函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数;(4)函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数.B 组1.学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?1.解:设同时参加田径和球类比赛的有x 人,则158143328x ++---=,得3x =,只参加游泳一项比赛的有15339--=(人),即同时参加田径和球类比赛的有3人,只参加游泳一项比赛的有9人.2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=,试求实数a 的取值范围.2.解:因为集合A ≠∅,且20x ≥,所以0a ≥.3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =,(){1,3}U AB =ð,(){2,4}U A B =ð,求集合B . 3.解:由(){1,3}U AB =ð,得{2,4,5,6,7,8,9}A B =, 集合A B 里除去()U A B ð,得集合B ,所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ,(3)f -,(1)f a +的值.4.解:当0x ≥时,()(4)f x x x =+,得(1)1(14)5f =⨯+=;当0x <时,()(4)f x x x =-,得(3)3(34)21f -=-⨯--=;(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩. 5.证明: (1)若()f x ax b =+,则1212()()()22x x f x f x f ++=; (2)若2()g x x ax b =++,则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5.证明:(1)因为()f x ax b =+,得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++, 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++, 所以1212()()()22x x f x f x f ++=; (2)因为2()g x x ax b =++, 得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++, 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++, 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤, 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+, 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.(1)已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数,试问:它在[,]b a --上是增函数还是减函数?(2)已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数,试问:它在[,]b a --上是增函数还是减函数?6.解:(1)函数()f x 在[,]b a --上也是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<,因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数,则21()()f x f x ->-,又因为函数()f x 是奇函数,则21()()f x f x ->-,即12()()f x f x >, 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数;(2)函数()g x 在[,]b a --上是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<,因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数,则21()()g x g x -<-, 又因为函数()g x 是偶函数,则21()()g x g x <,即12()()g x g x >,所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数.7.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税,超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算: 某人一月份应交纳此项税款为26.78元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?7.解:设某人的全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得25004000x <≤,25(2500)10%26.78x +-⨯=,得2517.8x =,所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元.。
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高中数学必修5课后习题答案第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法练习(P31) 1、2、前5项分别是:1,0,1,0,1--.3、例1(1)1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**; (2)2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明:此题是通项公式不唯一的题目,鼓励学生说出各种可能的表达形式,并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、(1)1()21n a n Z n +=∈-; (2)(1)()2n n a n Z n +-=∈; (3)121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组(P33)1、(1)2,3,5,7,11,13,17,19;(2)2,6,22,3,10,23,14,15,4,32; (3)1,1.7,1.73,1.732,…1.732050; 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、(1)11111,,,,491625; (2)2,5,10,17,26--.3、(1)(1),4-,9,(16-),25,(36-),49; 12(1)n n a n +=-; (2)1,2,(3),2,5,(6),7; n a n =.4、(1)1,3,13,53,2132; (2)141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是:(1)16,21;54n a n =-;(2)10,13;32n a n =-;(3)24,35;22n a n n =+. 6、15,21,28; 1n n a a n -=+.习题2.1 B 组(P34)1、前5项是1,9,73,585,4681.n 1 2 … 5 … 12 … n n a 21 33 … 69 … 153 … 3(34)n +该数列的递推公式是:1118,1n n a a a +=+=.通项公式是:817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪; 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪; 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪; 10(10.72)n n a =⨯+﹪. 3、(1)1,2,3,5,8; (2)358132,,,,2358.2.2 等差数列练习(P39)1、表格第一行依次应填:0.5,15.5,3.75;表格第二行依次应填:15,11-,24-.2、152(1)213n a n n =+-=+,1033a =.3、4n c n =4、(1)是,首项是11m a a md +=+,公差不变,仍为d ;(2)是,首项是1a ,公差2d ;(3)仍然是等差数列;首项是716a a d =+;公差为7d . 5、(1)因为5375a a a a -=-,所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立; (2)112(1)n n n a a a n -+=+>成立;2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2 A 组(P40)1、(1)29n a =; (2)10n =; (3)3d =; (4)110a =.2、略.3、60︒.4、2℃;11-℃;37-℃.5、(1)9.8s t =; (2)588 cm ,5 s.习题2.2 B 组(P40)1、(1)从表中的数据看,基本上是一个等差数列,公差约为2000,52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯,答案为59.2610⨯; (2)2021年底,沙化面积开始小于52810 hm ⨯.2、略.2.3 等差数列的前n 项和练习(P45) 1、(1)88-; (2)604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30,元素和为900.习题2.3 A 组(P46)1、(1)(1)n n +; (2)2n ; (3)180个,和为98550; (4)900个,和为494550.2、(1)将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=,并解得27n =; 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-,并解得1713d =.(2)将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-,1()2n n n a a S +=,得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩;解这个方程组,得111,23n a a ==.(3)将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+,并解得15n =;将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-,得32n a =-.(4)将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-,并解得138a =-;将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=,得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式:7(1)2n -+,项数是14,和为665.6、1472.习题2.3 B 组(P46)1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式,求出5年内的总共的维修费,即再加上购买费,除以天数即可. 答案:292元.2、本题的解法有很多,可以直接代入公式化简,但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. (1)由 61615S a d =+,1211266S a d =+,18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. (2)1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++126()36a a a d =++++636S d =+同样可得:1812672S S S d -=+,因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、(1)首先求出最后一辆车出发的时间4时20分;所以到下午6时,最后一辆车行驶了1小时40分.(2)先求出15辆车总共的行驶时间,第一辆车共行驶4小时,以后车辆行驶时间依次递减,最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布,代入前n 项和公式,这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ,得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地,我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和. 2.4 等比数列练习(P52) 1、2、由题意可知,每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =,公比为20q =的等比数列,则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、(1)将数列{}n a 中的前k 项去掉,剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==,则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥,所以,{}n b 是等比数列,即12,,k k a a ++是等比数列. (2){}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ,则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以,数列135,,,a a a 是以1a 为首项,2q 为公比的等比数列.(3){}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ,1a 3a 5a 7aq2 4 8 16 2或2-50 20.080.00320.2则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以,数列11223,,,a a a 是以1a 为首项,11q 为公比的等比数列.猜想:在数列{}n a 中每隔m (m 是一个正整数)取出一项,组成一个新的数列,这个数列是以1a 为首项,1m q +为公比的等比数列.4、(1)设{}n a 的公比为q ,则24228511()a a q a q ==,而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅= 所以2537a a a =⋅,同理2519a a a =⋅ (2)用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出,n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理:可证明,2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出,n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、(1)设n 年后这辆车的价值为n a ,则13.5(110)n n a =-﹪. (2)4413.5(110)88573a =-≈﹪(元). 用满4年后卖掉这辆车,能得到约88573元. 习题2.4 A 组(P53)1、(1)可由341a a q =,得11a =-,6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =,341a a q =,得337427(3)729a a q ==⨯-=-(2)由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(3)由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得232q =,862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列,即2759a a a =,得22795694a a a ===.(4)由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边,得2152q q +=,由此解得12q =或2q =.当12q =时,116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时,11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后,需退耕n a ,则{}n a 是一个等比数列,其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪(万公顷) 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列,则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=,得111(1)22111()n n n n a a qa qa q ---===.那么数列{}n a 是以1a 为首项,12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ,对折一次后厚度为0.05×2 mm ,再对折后厚度为0.05×22 mm ,再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =,对折n 次后报纸的厚度为n a ,则{}n a 是一个等比数列,公比2q =. 对折50次后,报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约83.8410 m ⨯),所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =,n 年后空气质量为良的天数为n a ,则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =,得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=,解得24010.51105q =-≈ 6、由已知条件知,,2a bA G ab +==,且22()0222a b a b ab a b A G ab ++---=-==≥ 所以有A G ≥,等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数,所以一定有A G >.7、(1)2±; (2)22()ab a b ±+. 8、(1)27,81; (2)80,40,20,10.习题2.4 B 组(P54)1、证明:由等比数列通项公式,得11m m a a q -=,11n n a a q -=,其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、(1)设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位,年衰变率为q ,n 年后的残留量为n a ,则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===,解得157301()0.9998792q =≈ (2)设动物约在距今n 年前死亡,由0.6n a =,得10.9998790.6n n a a q ===.解得 4221n ≈,所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1,2,3,…中,有7108917a a a a +==+,1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想,在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈,则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题:由等差数列{}n a 的图象,可以看出k p a k a p =,s q a sa q=根据等式的性质,有k s p q a a k sa a p q++=++,所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ,类似的性质为:若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈,则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5 等比数列的前n 项和练习(P58) 1、(1)6616(1)3(12)189112a q S q --===--. (2)1112.7()9190311451()3n n a a q S q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+. 因为 510S =,所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②,得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项12000a =,公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ,则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-(亿元)习题2.5 A 组(P61)1、(1)由34164641a q a ===--,解得4q =-,所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. a sa q a pa ksq p kOna n (第3题)(2)因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++,所以2113q q --++=,即2210q q --=解这个方程,得1q =或12q =-. 当1q =时,132a =;当12q =-时,16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项, 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--(万元) 3、(1)第1个正方形的面积为42cm ,第2个正方形的面积为22cm ,…,这是一个以14a =为首项,12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=(2cm )(2)这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---(2cm )4、(1)当1a =时,2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时,22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=-- (2)1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+---(3)设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①-②得,21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时,(1)1232n n n S n +=++++=;当1x ≠时,由③得,21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、(1)第10次着地时,经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- (2)设第n 次着地时,经过的路程为293.75 m ,则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=,解得120.03125n -=,所以15n -=-,则6n = 6、证明:因为396,,S S S 成等差数列,所以公比1q ≠,且9362S S S =+即,936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是,9362q q q =+,即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ,得741112a q a q a q =+ 即,8252a a a =+,故285,,a a a 成等差数列习题2.5 B 组(P62)1、证明:11111()(1())1n n n n n n n n n b bb a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==--2、证明:因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++= 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、(1)环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列,首项为1100a =,公比为 1.2q =. 所以,2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈(t )(2)从2002年到2010年底,能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--(t ) 可节约的土地为165048320⨯=(2m )4、(1)依教育储蓄的方式,应按照整存争取定期储蓄存款利率计息,免征利息税,且若每月固定存入a 元,连续存n 个月,计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪,月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪(元)若连续存6年,应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,具体计算略. (2)略.(3)每月存50元,连续存3年按照“零存整取”的方式,年利率为1.89﹪,且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元,比教育储蓄的方式少收益27.97元.(4)设每月应存入x 元,由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈(元),即每月应存入267.39(元)(5)(6)(7)(8)略5、设每年应存入x 万元,则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪,2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪,……,2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意,76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式,得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪,解得52498x ≈(元)故,每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组(P67)1、(1)B ; (2)B ; (3)B ; (4)A .2、(1)212n n n a -=; (2)12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+; (3)7(101)9n n a =-; (4)1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列,则5b =;如果,,a b c 成等比数列,则1b =,或1-.5、n a 按顺序输出的值为:12,36,108,324,972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪(万) 7、从12月20日到次年的1月1日,共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得:1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+,则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=,得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+容易验证2132S S S =+. 所以,123,,S S S 也是等差数列,公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列,所以123,,a a a 也是等差数列. 所以,2132a a a =+. 即,20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时,1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时,1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组(P68)1、(1)B ; (2)D .2、(1)不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差,则通项公式为y pn q =+的形式,且,,a b c 位于同一直线上,而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式,111,,a b c不可能在同一直线上,因此肯定不是等差数列.(2)成等比数列. 因为,,a b c 成等比,有2b ac =. 又由于,,a b c 非零,两边同时取倒数,则有21111b ac a c==⨯. 所以,111,,a b c也成等比数列.3、体积分数:60.033(125)0.126⨯+≈﹪,质量分数:60.05(125)0.191⨯+≈﹪. 4、设工作时间为n ,三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列;第二种付费方式为首项是4,公差也为4的等差数列;第三种付费方式为首项是0.4,公比为2的等比数列. 则38n A n =,2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+, 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时,380.4(21)n n >-. 因此,当工作时间小于10天时,选用第一种付费方式. 10n ≥时,,n n n n A C B C ≤≤因此,当工作时间大于10天时,选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ,即1a n =,选择B 种菜的人数为500a -. 所以有以下关系式:2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+,115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =,则2300a =,3300a =,…,10300a = 6、解:由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯,221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得,11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以,数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈(万元)第三章 不等式3.1 不等关系与不等式练习(P74)1、(1)0a b +≥; (2)4h ≤; (3)(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、(1)>; (2)<; (3)>; (4)<;习题3.1 A 组(P75)1、略.2、(1)3274+<; (2)710314+>+.3、证明:因为20,04x x >>,所以21104x x x ++>+>因为22(1)(1)02x x +>+>,所以112xx +>+4、设A 型号帐篷有x 个,则B 型号帐篷有(5)x +个,050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时,方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以,(1)5105002n n n -+⨯≥ 即,2100n ≥.习题3.1 B 组(P75)1、(1)因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>,所以2225956x x x x ++>++ (2)因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--(3)因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>,所以321x x x >-+(4)因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明:因为0,0a b c d >>>>,所以0ac bd >>又因为0cd >,所以10cd>于是0a bd c>>,所以a b d c > 3、设安排甲种货箱x 节,乙种货箱y 节,总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥,且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩,或2921x y =⎧⎨=⎩,或3020x y =⎧⎨=⎩ 所以共有三种方案,方案一安排甲种货箱28节,乙种货箱22节;方案二安排甲种货箱29节,乙种货箱21节;方案三安排甲种货箱30节,乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时,总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=(万元),此时运费较少.3.2 一元二次不等式及其解法练习(P80) 1、(1)1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤; (2)R ; (3){}2x x ≠; (4)12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭; (5)31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或; (6)54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或; (7)503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、(1)使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是331,133⎧⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎪⎩⎭;使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为331,133x x x ⎧⎫⎪⎪<->+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或; 使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是331133x x ⎧⎫⎪⎪-<<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. (2)使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-; 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<; 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. (3)因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上,且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅;使2+610y x x =+的小于0的集合为∅; 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. (4)使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2; 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅; 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组(P80)1、(1)35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或; (2)131322x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭; (3){}2,5x x x <->或; (4){}09x x <<.2、(1)解2490x x -+≥,因为200∆=-<,方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ,所以249y x x =-+的定义域是R. (2)解2212180x x -+-≥,即2(3)0x -≤,所以3x = 所以221218y x x =-+-的定义域是{}3x x = 3、{}322,322m m m <-->-+或; 4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意,20122v t gt ->,即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2(精确到秒)答:能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元,则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤ 习题3.2 B 组(P81)1、(1)55255222x x ⎧⎫-+⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭; (2){}37x x <<; (3)∅; (4)113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.2、由22(1)40m m ∆=--<,整理,得23210m m +->,因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13,所以11m <-,或213m >,m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为42423,322x x x ⎧⎫⎪⎪<-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或. 4、设风暴中心坐标为(,)a b ,则3002a =,所以22(3002)450b +<,即150150b -<< 而300215015(221)13.7202-=-≈(h ),3001520=. 所以,经过约13.7小时码头将受到风暴的影响,影响时间为15小时.3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习(P86)1、B .2、D .3、B .4、分析:把已知条件用下表表示:工序所需时间/分钟收益/元打磨着色 上漆 桌子A 10 6 6 40 桌子B 5 12 9 30 工作最长时间450480450解:设家具厂每天生产A 类桌子x 张,B 类桌子y 张.对于A 类桌子,x 张桌子需要打磨10x min ,着色6x min ,上漆6x min 对于B 类桌子,y 张桌子需要打磨5y min ,着色12y min ,上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ,所以有105450x y +≤. 类似地,612480x y +≤,69450x y +≤ 在实际问题中,0,0x y ≥≥;所以,题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习(P91)1、(1)目标函数为2z x y =+,可行域如图所示,作出直线2y x z =-+,可知z 要取最大值,即直线经过点C 时,解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -,所以,max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.(2)目标函数为35z x y =+,可行域如图所示,作出直线35z x y =+可知,直线经过点B 时,Z 取得最大值. 直线经过点A 时,Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩,和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=,min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,每月收入为z 元,目标函数为30002000z x y =+,需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,作直线30002000z x y =+,当直线经过点A 时,z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ,z 的最大值为800000元.习题3.3 A 组(P93)1、画图求解二元一次不等式:y=x x+y=1CBA -1O1yx5x +3y=15x -5y=3y=x+1yx15B3AO(1)(2)(第1题)(第2题)xyA500200400250O(1)2x y +≤; (2)22x y ->; (3)2y -≤; (4)3x ≥2、3、分析:将所给信息下表表示:每次播放时间/分广告时间/分收视观众/万连续剧甲 80 1 60 连续剧乙 40 1 20 播放最长时间 320 最少广告时间6解:设每周播放连续剧甲x 次,播放连续剧乙y 次,收视率为z . 目标函数为6020z x y =+,所以,题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4),所以max 6020200z x y =+=(万)答:电视台每周应播放连续剧甲2次,播放连续剧乙4次,才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台,彩电y 台,则生产冰箱120x y --台,产值为z .y=2x -2yx O 1-1-21yx 22O xy321Oy≤-2xy -2O(1) (2) (3) (4)y=x 3+1y=x+2y=4-x -1-15424O 1(第2题)yx586O1(第3题)y120100M则,目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以,题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即,312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图,解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90),所以max 2240350z x y =++=(千元)答:每周应生产空调器10台,彩电90台,冰箱20台,才能使产值最高,最高产值是350千元.习题3.3 B 组(P93)1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥,所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.y=-2-23xy=4-23xyx-3-22564O1(第1题)y=12-x 2y=x+3yx-2-33O1(第2题)3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨,总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨,目标函数(总运费)为 122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以,题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时,总运费最省 min 37100z =(元) 所以当0,100x y ==时,总运费最不合理 max 39200z =(元)使国家造成不该有的损失2100元.答:甲粮库要向A 镇运送大米70吨,向B 镇运送大米30吨,乙粮库要向A 镇运送大米0吨,向B 镇运送大米80吨,此时总运费最省,为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨,向B 镇运送大米100吨,乙粮库要向A 镇运送大米70吨,向B 镇运送大米10吨,此时总运费为39200元,使国家造成损失2100元.3.4 基本不等式2a bab +≤练习(P100)1、因为0x >,所以1122x x x x+⨯=≥当且仅当1x x =时,即1x =时取等号,所以当1x =时,即1x x+的值最小,最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ,0,a >且0b >,因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =,所以 2210020a b ab +==≥,当且仅当10a b ==时取等号.答:当两条直角边的长均为10时,两条直角边的和最小,最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ,b cm. 0a >,0b > 因为周长等于20,所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤,当且仅当5a b ==时取等号.答:当矩形的长与宽均为5时,面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ,b m. 0a >,0b >因为体积等于323m ,高2m ,所以底面积为162m ,即16ab =所以用纸面积是 222324()3242323264S ab bc ac a b ab =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答:当底面的长与宽均为4米时,用纸最少.习题3.4 A 组(P100)1、(1)设两个正数为,a b ,则0,0a b >>,且36ab =所以 223612a b ab +==≥,当且仅当6a b ==时取等号. 答:当这两个正数均为6时,它们的和最小.(2)设两个正数为,a b ,依题意0,0a b >>,且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤,当且仅当9a b ==时取等号.答:当这两个正数均为9时,它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ,宽为y m ,菜园的面积为S 2m . 则230x y +=,S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质,可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =,即1515,2x y ==时,菜园的面积最大,最大面积是22522m .3、设矩形的长和宽分别为x 和y ,圆柱的侧面积为z ,因为2()36x y +=,即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤, 当x y =时,即长和宽均为9时,圆柱的侧面积最大. 4、设房屋底面长为x m ,宽为y m ,总造价为z 元,则12xy =,12y x= 12360031200680058004800580023600124800580034600z y x x x⨯=⨯+⨯+=++⨯⨯+=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时,即3x =时,z 有最小值,最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组(P101)1、设矩形的长AB 为x ,由矩形()ABCD AB AD >的周长为24,可知,宽12AB x =-. 设PC a =,则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=,可得21272x x a x -+=,1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++由基本不等式与不等式的性质 6[27218]6(18122)108722S ⨯-+=⨯-=-≤当72x x=,即62x =m 时,ADP ∆的面积最大,最大面积是(108722)-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥,交AB 延长线于点D .设BCD α∠=,ACB β∠=,CD x =. 在BCD ∆中,tan b c x α-=. 在ACD ∆中,tan()a cxαβ-+=则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+()()2()()2a b a ba cbc a c b c x x--=----⋅≤当且仅当()()a cbc x x--=,即()()x a c b c =--时,tan β取得最大,从而视角也最大.第三章 复习参考题A 组(P103)1、511212537+<+. 2、化简得{}23A x x =-<<,{}4,2B x x x =<->或,所以{}23A B x x =<<3、当0k <时,一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方,234(2)()08k k ∆=--<,解之得:30k -<<.当0k >时,二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立,所以,30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆,B 型车y 辆,成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥,目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+,得到斜率为4063-,在y 轴上的截距为1252z ,随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中,点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆,B 型车2辆,成本最小,最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ,扇形的弧长为y ,因为 12S xy =扇形的周长为 2224Z x y xy S =+=≥当2x y =,即x S =,2y S =时,Z 可以取得最小值,最小值为4S . 7、设扇形的半径是x ,扇形的弧长为y ,因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤ 当2x y =,即4P x =,2P y =时,Z 可以取得最大值,半径为4P 时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y , 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时,即a v b =且a cb ≤时,y 有最小值. 22sa say sbv sbv s ab v v=+⨯=≥,最小值为2s ab . 当a cb >时,由函数sa y sbv v =+的单调性可知,vc =时y 有最小值,最小值为sa sbc c+. 第三章 复习参考题B 组(P103)1、D2、(1)32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或 (2)231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条,裙子y 条,收益为z .则目标函数为2040z x y =+,所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方 所以,当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时,22x y +的最大值为13.x+y=62x+y=10x+y=10yx1010656O(第4题)xy12L 1L 3L 2ABC (第5题)当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,22x y +最小,最小值是45. 6、按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为1p ,购n kg ,第二次购物时的价格为2p ,仍购n kg ,按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物,第一次花m 元钱,能购1m p kg 物品,第二次仍花m 元钱,能购2m p kg 物品,两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ 比较两次购物的平均价格:221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以,第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而,用第二种策略比较经济. 一般地,如果是n 次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.。
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学习必备 欢迎下载人民教育出版社高中数学必修五第一章 解三角形1. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习(P4)1、(1) a 14 , b 19, B 105 ; ( 2) a 18 cm , b 15 cm , C 75 .2、(1) A 65 ,C 85 , c 22;或 A 115 ,C 35 , c 13;(2) B 41 ,A 24 , a 24 . 练习(P8)1、(1) A 39.6 , B 58.2 ,c 4.2 cm ; (2) B 55.8 ,C 81.9 ,a 10.5 cm .2、(1) A 43.5 , B 100.3 ,C 36.2 ; (2) A 24.7 , B 44.9 ,C 110.4 . 习题 1.1 A 组(P10) 1、(1) a 38cm,b 39cm,B 80 ; ( 2) a 38cm,b 56cm,C 90 2、(1) A 114 ,B 43 ,a 35cm; A 20 ,B 137 , a 13cm(2) B 35 ,C 85 , c 17cm ;( 3) A 97 , B 58 , a 47cm; A 33 , B 122 ,a 26cm ; 3、(1) A 49 , B 24 ,c 62cm ; ( 2) A 59 , C 55 , b 62cm ; ( 3) B 36 ,C 38 , a 62cm ;4、(1) A 36 ,B 40 ,C 104 ;(2) A 48 ,B 93 ,C39 ;习题 1.1 A 组(P10) B1、证明:如图 1,设 ABC 的外接圆的半径是 R ,①当 ABC 时直角三角形时, C 90 时,ABC 的外接圆的圆心 O 在 Rt ABC 的斜边 AB 上. a在 Rt ABC 中,BCsin A ,ACsin BOABAB即asin A , bsin B2R 2R所以 a 2Rsin A , b 2Rsin B又 c 2R 2R sin90 2Rsin C所以 a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC②当 ABC 时锐角三角形时,它的外接圆的圆心作过 O 、 B 的直径 A 1B ,连接 A 1C ,bCA(第 1题图 1)O 在三角形内(图 2),AA 1则 A 1 BC 直角三角形, ACB 1 90 , BACBAC 1 .在 Rt A 1BC 中,BCsin BAC 1 ,OA 1 B即asin BAC 1sin A ,C2RB所以 a 2Rsin A ,同理: b 2Rsin B , c 2RsinC③当 ABC 时钝角三角形时,不妨假设 A 为钝角,它的外接圆的圆心 O 在 ABC 外(图 3)(第 1题图 2)学习必备欢迎下载作过 O 、B 的直径 A 1 B ,连接 A 1C .A则 A 1 BC 直角三角形,且 ACB 1 90 , BAC 1 180BAC在 中,BCRt A 1BC BC1 ,2Rsin BAC即 a 2Rsin(180BAC )O即 a 2Rsin A同理: b 2Rsin B , c 2Rsin CA 1综上,对任意三角形 ABC ,如果它的外接圆半径等于 R ,则 a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C(第 1题图 3)2、因为 a cos A b cosB ,所以 sin Acos A sin B cosB ,即 sin2 A sin2 B 因为 0 2A,2 B 2 ,所以 2A2B ,或 2A2B ,或 2A22B .即 A B 或 AB .2所以,三角形是等腰三角形,或是直角三角形 .在得到 sin2 A sin2 B 后,也可以化为 sin2 A sin2 B所以 cos(A B)sin( AB) 0A B,或A B2即 A B,或 A B ,得到问题的结论 .21. 2 应用举例练习(P13)1、在 ABS 中, AB32.2 0.5 16.1 n mile , ABS 115 ,根据正弦定理,AS ABsin ABS sin(65 20 )得 ASsin(6520 )AB sin ABS2 16.1 sin1152∴ S 到直线 AB 的距离是 dAS sin 20 16.1 sin115 2 sin 207.06 (cm ) .∴这艘船可以继续沿正北方向航行.2、顶杆约长 1.89 m.练习(P15)1、在 ABP 中, ABP 180,BPA 180 ()ABP 180 () (180)在 ABP 中,根据正弦定理,AP ABABPsin APBsinAPasin(180 ) sin( )APa sin( )sin()学习必备欢迎下载所以,山高为 h APsina sin sin()sin()2、在 ABC 中, AC65.3 m , BAC2525 1738 747ABC 909025 25 64 35根据正弦定理,ACBCsin ABCsin BACBC A C s i n B A C 6 5. 3 s i n 7 4 7s i n ABC9. 8ms i n 6 4 3 5井架的高约 9.8m.3、山的高度为200sin38 sin 29 382 msin9练习(P16)1、约 63.77 .练习(P18)1、(1)约 168.52 cm 2 ; (2)约 121.75 cm 2 ; (3)约 425.39 cm 2 .2、约 4476.40 m 23、右边 b cosCccos B b a 2b 2c 2a 2 c 2b 22ab c2ac2 2 2 2 2 22abcacb 2a a左边【类似可以证明另外两个等式】2a2a2a习题 1.2 A 组(P19)1、在 ABC 中, BC 35 0.5 17.5 n mile , ABC 148 12622ACB 78(1801 4 8 ) ,1 BAC 18011022 48根据正弦定理,ACBCsin ABCsin BACAC B C s i n A B C 1 7. 5 s i n 2 2s i n BAC8. 8 2n miles i n 4 8货轮到达 C 点时与灯塔的距离是约 8.82 n mile.2、70 n mile.3、在 BCD 中,BCD 30 10 40 , BDC180ADB18045 10 125CD 30 1 10 n mile3根据正弦定理,CDBDsin CBD sin BCD10BDsin (180 40 125 ) sin 40BD1 0 s i n 4 0s i n 1 5在 ABD 中, ADB 4510 55 , BAD 180 6010110ABD 18011055 15根据正弦定理,ADBDAB,即 ADBD ABsin ABDsin BADsinsin15sin110 sin55ADBADAB 如果一切正常,此船从1 0 s i n 4 0BD s i n 1 5s i n 1 51 0s i n 1 5sin110 sin110 sin 70BD s i n 5 5 1 0 si n 4 0 s i n 5 5s i n 1 1 0 s i n 1 52 1. 6 5ns i n 7 0C 开始到B所需要的时间为:s i n 4 06.84 n milemile2 0 AD AB6 0 1 06. 84 21. 658 6. 9 83 0 6 03 0 3 0 min即约 1 小时 26 分 59 秒. 所以此船约在11 时 27 分到达 B岛.4、约 5821.71 m5、在 ABD 中,AB 700 km ,ACB 180 21 35 124根据正弦定理,700 AC BCsin124 sin35 sin 21AC7 0 0 s i n 3 5 700 sin21si n 1 2 4, BCsin124AC BC7 0 0 s i n 3 5 7 0 0 s i n 2 1s i n 1 2 47 8 6. 8 9 k ms i n 1 2 4所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离 A 处探照灯的距离是4801.53 m,飞机离 B 处探照灯的距离是4704.21 m,飞机的高度是约 4574.23 m.7、飞机在 150 秒内飞行的距离是 d 1000 1000 150 m3600根据正弦定理,d x sin(81 18.5 ) sin18.5这里 x 是飞机看到山顶的俯角为81 时飞机与山顶的距离 .飞机与山顶的海拔的差是:x tan81 d sin18.5 tan81 14721.64 msin(81 18.5 )山顶的海拔是20250 14721.64 5528 m8、在 ABT 中,ATB 21.4 18.6 2.8 ,ABT 90 18.6 , AB 15 m根据正弦定理,AB AT,即 AT15 cos18.6 sin 2.8 cos18.6 sin 2.8塔的高度为 AT sin 21.4 15 cos18.6sin 21.4 106.19 m sin 2.8326 1897.8 km E B9、AE60在 ACD 中,根据余弦定理: AAC AD 2 CD 2 2 AD CD cos66D C572 1102 2 57 110 cos66 101.235(第 9题)根据正弦定理,AD ACsin ACD sin ADCs i n A C DA D s i n A D C 5 7 s i n 6 6AC 101.0. 51442 3 5ACD 30. 96ACB 1 3 3 30. 96 102.在 ABC 中,根据余弦定理: ABAC 2 BC 2 2 AC BC cos ACB101.2352 2042 2 101.235204 cos102.04245.932222222 0 4c o s BACA BA CBC 245.93 101.2352ABAC0.58472 245.93 101.235BAC54. 21在 ACE 中,根据余弦定理: CEAC 2AE 2 2 AC AE cosEAC101.2352 97.82 2 101.235 97.8 0.5487 90.752222 22c o s AECA EE CAC97.890.75 101.2352AEEC297.8 90.750.4254AEC 64. 821 8 0 AEC(180 7 5 ) 7 5 64. 82所以,飞机应该以南偏西 10.18 的方向飞行,飞行距离约90.75 km .10、ABC如图,在 ABC 中,根据余弦定理:(第 10 题)ACBC 2 AB 2 2 AB BCcos39 54(6400 35800) 2 64002 2 (6400 35800) 6400 cos39 54 422002 640022 42200 6400cos39 54 37515.44 km222 222BACA BA CBC 640037515.44 422002ABAC0.69242 6400 37515.44BAC 133. 8,2 BAC 9 043. 82所以,仰角为 43.8211、(1) S 1 acsin B 1 28 33 sin 45326.68 cm 222( 2)根据正弦定理:ac, ca 36 sin A sin C sin Csin66.5sin Asin32.8S1ac sin B 1 362sin66.5sin(32.8 66.5 ) 1082.58 cm 222sin32.8( 3)约为 1597.94 cm 2A12、 1nR 2 sin 2 .2n13、根据余弦定理: cosB a 2 c 2b 2b2ac所以 m 2( a ) 2c 2a cc2 cos Bm aa22BaC(第 13 题)学习必备欢迎下载a ) 2 c 2a c a 2 c 2b 2( 2ac21 2 [a 2 4c 2 2(a 2 c 2 )] 2 1 ) 222]2( ) b ( [2(b c) a22所以 m a12(b 2 c 2 ) a 2 ,同理 m b1 2(c2 a 2 ) b 2 , m c 1 2(a 2 b 2 ) c 222 214、根据余弦定理的推论, cos A b 2 c 2 a 2 , cosB c 2 a 2 b 22bc2ca所以,左边 c( a cosB b cos A)c( a c 2 a 2 b 2b b 2 c2a) 22ca2bcc( c 2a 2b 2 b 2c 2a ) 21 (2 a 2 2b 2 ) 右边2c 2c 2习题 1.2B 组(P20)1、根据正弦定理: a b,所以 ba sin Bsin A sin B sin A代入三角形面积公式得 S1 absin C 1 a a sin B sin C 1 a2 sin B sinC2 2 sin A 2sin A 2、(1)根据余弦定理的推论: cosC a 2 b 2 c 22ab由同角三角函数之间的关系, sin C121( a 2 b 2 c 2 ) 2cos C2ab代入 S1 absin C ,得2S1a 2b 2 c2 2ab 1(2ab)21222224 ( 2a b ) (a b c )1 2 2 2 2a 2 b2)c4 ( 2a b ab c) ( 2 a b1( ab c) ( a b )c ( c a )b( ca ) b4记 p1( a b c) ,则可得到 1(bc a) p a , 1(c a b) p b , 1(a b c) p c222 2代入可证得公式( 2)三角形的面积 S 与三角形内切圆半径 r 之间有关系式 S1 2 p r pr2其中 p 1(ab c) ,所以 rS( p a)( p b)( p c)2pp( 3)根据三角形面积公式 S 1a h a2学习必备欢迎下载2S 2a)( p a)( p a) ,即 h a 2p( p a)( p a)( p a)所以, h aap( pa a2p( p a)( p a)( p a) , h c 2a)( p a)( p a)同理 h b p( pb c第一章复习参考题 A 组( P24)1、(1)B 21 9,C 38 51, c 8.69 cm ;(2)B 41 49 ,C 108 11, c 11.4 cm ;或 B 138 11, C 11 49 ,c 2.46 cm(3)A 11 2,B 38 58 , c 28.02 cm ;(4)B 20 30 ,C 14 30 ,a 22.92 cm ;(5)A 16 20 ,C 11 40 ,b 53.41 cm ;(6)A 28 57,B 46 34 ,C 104 29 ;2、解法 1:设海轮在 B 处望见小岛在北偏东75 ,在C处望见小岛在北偏东60 ,从小岛A向海轮的航线BD作垂线,垂线段 AD 的长度为x n mile,CD为 y n mile.x x (第 2题)ytan30tan30 x x则y 8x x tan30 tan15y 8tan15y 8 tan15x8tan15 tan30tan30 4tan15所以,这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.3、根据余弦定理:AB2a2b22abcos所以 ABa2 b2 2abcosa2 A B2 b2c o Bsa A B2a2 a 2 b 2 2abcos b 22 a a2 b2 2abcosa b cosa2 b2 2ab cos从 B 的余弦值可以确定它的大小 .类似地,可以得到下面的值,从而确定 A 的大小 . cos A b a cosb2 2abcosa2A4、如图,C,D是两个观测点,C到 D 的距离是d,航船在时刻t1 B在 A 处,以从 A 到 B 的航向航行,在此时测出ACD 和 CDA .在时刻 t2,航船航行到B处,此时,测出CDB 和BCD.根d 据正弦定理,在BCD 中,可以计算出BC 的长,在ACD 中, C (第 4题)可以计算出AC 的长. 在ACB中,、已经算出,ACBACD BCD,解ACDAC BC求出 AB 的长,即航船航行的距离,算出CAB ,这样就可以算出航船的航向和速度.D ,学习必备欢迎下载hsin( ) 6、47.7 m.A5、河流宽度是.Bsinsin7、如图, A,B 是已知的两个小岛,航船在时刻 t 1 在 C 处,以从 C到 D 的航向航行,测出ACD 和 BCD . 在时刻 t 2 ,航船航行d DC(第 7 题)到 D 处,根据时间和航船的速度,可以计算出C 到D 的距离是 d ,在 D 处测出 CDB 和CDA . 根据正弦定理,在BCD 中,可以计算出 BD 的长,在 ACD 中,可以计算出 AD的长 . 在 ABD 中, AD 、 BD 已经算出, ADBCDBCDA ,根据余弦定理,就可以求出 AB 的长,即两个海岛 A,B 的距离 .第一章复习参考题 B 组( P25)B1、如图, A,B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶,在地面某点 E处,测出图中 AEF , AFE 的大小,以及 EF 的距离 . 利用正弦 定理,解 AEF ,算出 AE . 在 BEF 中,测出 BEF 和 BFE ,利用正弦定理,算出 BE . 在 AEB 中,测出 AEB ,利用余弦定 理,算出 AB 的长 . 本题有其他的测量方法 . 2、关于三角形的面积公式,有以下的一些公式:(1)已知一边和这边上的高: S1ah a , S 1bh b ,S1ch c ; E22 2(2)已知两边及其夹角: S1ab sin C,S 1bcsin A,S 1casin B ;2 2 2(3)已知三边: Sp( p a)( p b)( p c) ,这里 pa b c ;2(4)已知两角及两角的共同边: S b 2 sin C sin A , S c 2 sin Asin B ,S2sin( C A) 2sin( A B)( 5)已知三边和外接圆半径 R : Sabc.4R3、设三角形三边长分别是 n 1,n,n 1,三个角分别是 , 3 ,2 . 由正弦定理,n 1n 1 ,所以 cosn 1 . sinsin 22(n 1) ADC(第 1题)F2a sin Bsin C ;2sin( B C)由余弦定理, (n 1)2( n 1)2 n 2 2 ( n 1) n cos .即 ( n 1)2(n 1)2n22 ( n 1)n n1,化简,得 n 2 5n 02(n 1) 所以, n 0 或 n 5 . n 0 不合题意,舍去 . 故 n 5所以,三角形的三边分别是 4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的 2 倍.另解:先考虑三角形所具有的第一个性质:三边是连续的三个自然数.( 1)三边的长不可能是 1,2,3. 这是因为 1 2 3 ,而三角形任何两边之和大于第三边 . ( 2)如果三边分别是 a 2, b 3,c 4 .因为 cos Ab 2c 2 a 232 42 22 72bc23 48cos2 A 2cos 2 A 1 2(7)21 17832学习必备欢迎下载c o Cs a2 b2 c2 2 2 3 2 4 2 1 2ab 2 2 3 4在此三角形中, A 是最小角,C是最大角,但是cos2 A cosC ,所以 2 A C ,边长为2,3,4的三角形不满足条件.( 3)如果三边分别是 a 3,b 4,c 5 ,此三角形是直角三角形,最大角是90 ,最小角不等于 45 .此三角形不满足条件.( 4)如果三边分别是 a 4, b 5, c 6 .此时, cos A b2 c2 a2 52 62 42 3 2bc 2 5 6 4cos2 A 2cos2 A 1 2 ( 3)2 1 14 8c o Cs a2 b2 c2 4 2 5 2 6 2 12ab 2 4 5 8此时, cos2 A cosC ,而 0 2A,C ,所以 2A C所以,边长为4,5,6 的三角形满足条件 .( 5)当n 4 ,三角形的三边是 a n,b n 1,c n 2 时,三角形的最小角是 A,最大角是C .b2 c2 a2c o sA2bc(n2n(2n2 1 ) 2 )2 (n 1n) ( 2 )n2 6n 52( n 1)(n 2)n 52 (n 2 )1 322(n 2)a2 b2 c 2c o Cs 2abn2 ( n 1 )2 (n 22 )2n (n 1 )2n 2n 3n 32n1 322nc o sA 随 n 的增大而减小,A 随之增大,cosC随n的增大而增大, C 随之变小.由于 n 4 时有 C 2 A ,所以, n 4 ,不可能 C 2 A .综上可知,只有边长分别是4,5,6 的三角形满足条件 .第二章数列学习必备欢迎下载2. 1 数列的概念与简单表示法 练习(P31) 1、n 1 2512n a n2133691533(3 4n)2、前 5 项分别是: 1,0,1,0, 1.1*3、例 1( 1) a nn (n2m,m N )2(n 2m, m N *)1; (2) a n2m 1,m N * )2m 1,m*)0(n( nNn说明:此题是通项公式不唯一的题目,鼓励学生说出各种可能的表达形式,并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子 .1(n Z ) ; (2) a n( 1)n14、(1) a n( n Z ) ; ( 3) a nn 1 ( n Z )2n12n22习题 2.1 A 组(P33)1、(1)2,3,5,7,11,13,17,19;(2) 2, 6,2 2,3, 10,2 3, 14, 15,4,3 2 ;( 3)1,1.7,1.73,1.732, 1.732050;2,1.8,1.74,1.733, ,1.732051. 2、(1)1,1 , 1 , 1 , 1;(2) 2, 5,10, 17,26 .4 9 16 253、(1)(1), 4 ,9,( 16 ),25,( 36 ),49;a n( 1)n 1 n 2 ;(2)1, 2 ,( 3 ),2, 5 ,( 6 ), 7 ;a nn .4、(1) 1,3,13,53,213 ;(2) 1,5, 4 , 1 ,5 .24 5 45、对应的答案分别是:(1)16,21;a n 5n 4 ;(2)10,13;a n 3n 2 ;( 3)24,35;a n n 22n .6、15,21,28;a n an 1 n . 习题 2.1 B 组(P34)1、前 5 项是 1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是:an 11 8a n ,a 1 1 .通项公式是: a n 8n 1 .7 2、 a 1 10 (1 0.72﹪) 10.072 ;a 2 10 (10 .﹪72 2 )10.1;44518a 3 10 (1 0﹪.732 )1 0 .2 1 7 5a n 5 91 0 ( 1 0 ﹪.7n 2;.3、(1)1,2,3,5,8;(2) 2,3,5,8,13.2 3 5 82. 2 等差数列学习必备欢迎下载练习(P39)1、表格第一行依次应填: 0.5, 15.5, 3.75;表格第二行依次应填: 15, 11, 24.2、 a n 15 2(n 1) 2n 13 , a 10 33.3、 c n 4n4、(1)是,首项是 a m 1 a 1 md ,公差不变,仍为 d ;(2)是,首项是 a 1 ,公差 2d ;(3)仍然是等差数列;首项是 a 7 a 1 6d ;公差为 7d . 5、(1)因为 a 5 a 3 a 7a 5 ,所以 2a 5 a 3 a 7 . 同理有 2a 5a 1 a 9 也成立;(2) 2a n a n 1 a n 1(n 1) 成立; 2a na n ka n k (n k0) 也成立 .习题 2.2 A 组(P40)1、(1) a n 29 ; (2) n 10; (3) d 3 ; (4) a 1 10 .2、略 .3、60 .4、2℃; 11℃ ; 37℃ .5、( 1) s 9.8t ; ( 2) 588 cm , 5 s.习题 2.2 B 组(P40)1、(1)从表中的数据看, 基本上是一个等差数列, 公差约为 2000,a 2010 a 2002 8d 0.26 105再加上原有的沙化面积 9 105 ,答案为 9.26 105 ;(2)2021 年底,沙化面积开始小于 8 105 hm 2 . 2、略 .2. 3 等差数列的前 n 项和 练习(P45) 1、(1) 88 ; (2)604.5.59 , n 12、 a n123、元素个数是 30,元素和为 900.6n 51,n12习题 2.3 A 组(P46)1、(1) n( n 1) ; (2) n 2 ; (3) 180 个,和为 98550; ( 4)900 个,和为 494550.2、(1)将 a 1 20, a n 54,S n 999 代入 S n n( a 1a n ),并解得 n 27 ;2将 a 1 20, a n 54,n 27 代入 a na 1(n 1)d ,并解得 d17 .13( 2)将 d1, n 37,S n 629 代入 a n a 1(n 1)d , S nn( a 1 a n ) ,32a n a 1 12得37(a 1a n )629 ;解这个方程组,得 a 111,a n23 .2( 3)将 a 15 ,d1 ,S n 5 代入 S n na 1 n( n 1)d ,并解得 n 15 ;6 62将 a 15,d1,n 15 代入 a n a 1 ( n 1)d ,得 a n3 .662( 4)将 d 2, n 15, a n 10 代入 a n a 1 ( n 1)d ,并解得 a 1 38 ;将 a 138,a n10, n 15 代入 S nn(a 1a n ),得 S n360 .23、 4.55 104 m.4、 4.5、这些数的通项公式: 7( n 1) 2 ,项数是 14,和为 665.6、 1472.习题 2.3 B 组(P46)1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的 . 代入等差数列前 n 项和公式,求出 5 年内的总 共的维修费,即再加上购买费,除以天数即可. 答案: 292 元.2、本题的解法有很多,可以直接代入公式化简,但是这种比较繁琐.现提供 2 个证明方法供参考 . ( 1)由 S 6 6a 1 15d , S 12 12a 1 66d , S 18 18a 1 153d可得 S 6 (S 18 S 12 ) 2( S 12 S 6).( 2) S 12 S 6 (a 1 a 2a 12 ) (a 1 a 2a 6 )a 7 a 8a1 2(a 1 6d ) (a 2 6d )6a(d6 )(a 1a 2a 6) 3 6dS 6 36d同样可得: S 18 S 12 S 6 72d ,因此 S 6 (S 18 S 12 ) 2( S 12 S 6) .3、(1)首先求出最后一辆车出发的时间 4 时 20 分;所以到下午 6 时,最后一辆车行驶了 1小时40分.(2)先求出 15 辆车总共的行驶时间,第一辆车共行驶 4 小时,以后车辆行驶时间依次 递减,最后一辆行驶 1 小时 40 分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布, 代入前 n 项和公式, 这4 1 285 h. 个车队所有车的行驶时间为S3 152 2乘以车速 60 km/h ,得行驶总路程为 2550 km.4、数列1的通项公式为 a n1 1 1n(n 1) n( n 1)n n 1所以 S n1 11 1 1 1 1 1) 1 1n( ) ( ) ( ) (n 1 n 11 2 2 3 3 4n n 1类似地,我们可以求出通项公式为a n1 k)1 ( 1 1 ) 的数列的前 n 项和 .n(n k nn k2. 4 等比数列练习(P52)a 1a 3a 5a 7q1、2 4 8 16 2 或 25020.080.00320.22、由题意可知,每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为a 180 ,公比为 q 20 的等比数列,则第 5 轮被感染的计算机台数 a 5 为 a 5 a 1q 480 20 471.28 10 .3、(1)将数列 a n 中的前 k 项去掉,剩余的数列为 a k1,a k 2,. 令 ba k i ,i 1,2, ,则数列a k 1 , a k 2 , 可视为b 1,b 2 , .因为bi 1a k i 1q( i ≥ 1) ,所以, b n 是等比数列,即 a1 ,ak 2 ,是等比数列 .b ia kki(2) a n 中的所有奇数列是 a 1,a 3 , a 5 , ,则a3a 5a 2 k1q 2 (k ≥ 1) .a 1a 3a2 k1所以,数列 a 1 ,a 3 ,a 5 , 是以 a 1 为首项, q 2 为公比的等比数列 .(3) a n 中每隔 10 项取出一项组成的数列是 a 1, a 12 ,a 23 , ,则a12a23a11 k1q 11 ( k ≥ 1)a 1a12a11k10所以,数列 a 1 ,a 12 , a 23 ,是以 a 1 为首项, q 11 为公比的等比数列 .猜想:在数列 a n 中每隔 m ( m 是一个正整数)取出一项,组成一个新的数列,这个数列 是以 a 1 为首项, q m 1 为公比的等比数列 .4、(1)设 a n 的公比为 q ,则 a 52 ( a 1q 4 )2 a 12 q 8 ,而 a 3 a 7 a 1q 2 a 1q 6 a 12q 8所以 a 52 a 3 a 7 ,同理 a 52 a 1 a 9(2)用上面的方法不难证明 a n 2a n 1 a n 1 (n 1) . 由此得出, a n 是 a n 1 和 a n 1 的等比中项 .同理:可证明, a n 2an ka n k (n k 0) . 由此得出, a n 是 a n k 和 a n k 的等比中项 (n k 0) .5、(1)设 n 年后这辆车的价值为 a n ,则 a n 13.5(1 10﹪)n .(2) a 4 13.5(1 10﹪)4 88573(元) . 用满 4 年后卖掉这辆车,能得到约 88573 元 .学习必备欢迎下载习题 2.4 A 组(P53)1、(1)可由 a 4 a 1q 3 ,得 a 1 1 , a 7 a 1q 6 ( 1) ( 3)6729 .也可由 a 7 a 1q 6 , a 4 a 1q 3 ,得 a 7 a 4 q 327 ( 3)3 729a 1q 18a 1 27a 1 27,或(2)由,解得22a 1q 38qq33a 1q 4 4 q 23,(3)由,解得a 1q 662a 9 a 1q 8 a q 1 6 q 2 a q 7263 92还可由 a 5 ,a 7 , a 9 也成等比数列,即 a 72 a 5a 9 ,得 a 9a 72 62 9 .a 5 44①(4)由a 1qa 1 15a 1q 3a 1q 6 ②①的两边分别除以②的两边,得q 21 5,由此解得 q1或 q 2 .q22当 q1时, a 116 . 此时 a 3 a 1 q 24 .当 q 2 时, a 1 1. 此时 a 3 a 1q 2 4 .22、设 n 年后,需退耕 a n ,则 a n 是一个等比数列,其中 a 1 8(1 10﹪), q 0.1.那么 20XX 年需退耕 a 5a 1 (1 q)5 8(1 10﹪)5 13 (万公顷)3、若 a n 是各项均为正数的等比数列,则首项a 1 和公比 q 都是正数 .n 11由 a n a 1 q n 1 ,得 a n a 1 q n 1a 1 q2a 1 ( q 2 )( n 1) .1那么数列 a n 是以 a 1 为首项, q 2 为公比的等比数列 .4、这张报纸的厚度为 0.05 mm ,对折一次后厚度为 0.05×2 mm ,再对折后厚度为 0.05× 22mm ,再对折后厚度为 0.05× 23 mm. 设 a 0 0.05 ,对折 n 次后报纸的厚度为 a n ,则 a n 是一个等比数列,公比 q 2 . 对折 50 次后,报纸的厚度为5 0a 0 q 5 00.05 2 5 01 31a5 .6 3 1 0 m m 5 . 6 3 1 0 m这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约3.84108 m ),所以能够在地球和月球之间建一座桥 .5、设年平均增长率为 q, a 1 105 ,n 年后空气质量为良的天数为 a n ,则 a n 是一个等比数列 .由 a 3 240 ,得 a 3 a 1 (1 q) 2 105(1 q) 2240 ,解得 q 240 1 0.511056、由已知条件知, Aa b, Gab ,且 A G a b ab a b 2 ab ( a b ) 2 ≥ 022 2 2所以有 A ≥ G ,等号成立的条件是 a b . 而 a,b 是互异正数,所以一定有 A > G .7、(1) 2 ; ( 2) ab( a 2 b 2 ) .8、(1)27,81;(2)80,40,20,10.习题 2.4B 组(P54)1、证明:由等比数列通项公式,得a m a 1q m 1 , a n a 1q n 1 ,其中 a 1 , q 0所以a ma 1q m 1 q m na na 1q n 12、( 1)设生物体死亡时,体内每克组织中的碳 14 的原子核数为 1 个单位,年衰变率为 q ,n 年后的残留量为 a n ,则 a n 是一个等比数列 . 由碳 14 的半衰期为 5730则 a na 1q 5730 q 57301,解得 q ( 1 ) 57301 0.9998792 2(2)设动物约在距今 n 年前死亡,由 a n0.6 ,得 a n a 1 q 0.999879n0.6 .解得 n4221,所以动物约在距今 4221 年前死亡 .3、在等差数列 1,2, 3, 中,a n有 a 7 a 10 17 a 8 a 9 , a 10 a 40 50 a 20 a 30由此可以猜想,在等差数列 a n 中a sa qa p若 k s p q( k, s, p, q N*) ,则 a k a sa p a q .a k从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个Okpq sn问题:由等差数列 a n 的图象,可以看出a kk,ass(第 3题)a p p a qq根据等式的性质,有 a k a sks,所以 a k a s a p a q .a p a qp q猜想对于等比数列 a n ,类似的性质为:若 k s pq(k ,s, p,q N * ) ,则 a k a s a p a q .2. 5 等比数列的前 n 项和练习(P58)111、(1) a 1 (1 q 6) 3(1 26)189 .a 1a n q2.790( 3)91.S61 q 1 2(2) S nq14511 ()32、设这个等比数列的公比为 q所以 S 10 (a 1 a 2 a 5 ) (a 6 a 7a 10 ) S 5q 5S 5 (1 q 5 ) S 550同理 S 15S10q 10S 5 .因为 S 5 10 ,所以由①得q 5S101 4q 1016S 5代入②,得 S 15 S 10 q 10S 5 50 16 10 210 .3、该市近 10 年每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项a 1 2000 ,公比 q1.1设近 10 年的国内生产总值是S 10 ,则 S 10 2000(1 1.110 )31874.8 (亿元)1 1.1习题 2.5 A 组(P61)1、(1)由 q 3 a 464 64 ,解得 q4 ,所以 S 4 a 1 a 4 q1 64 ( 4) 51.a 111 q 1 ( 4)(2)因为 S 3 a 1 a 2 a 3 a 3 (q 2 q 1 1) ,所以 q 2q 1 1 3 ,即 2q 2q 1 0解这个方程,得 q 1或 q1 . 当 q 1 时, a 13;当 q1时, a 1 6 .2222、这 5 年的产值是一个以 a 1 138 1.1 151.8为首项, q 1.1 为公比的等比数列所以 S 5a 1 (1 q 5 ) 151.8 (1 1.15 ) 926.754 (万元)1 q1 1.13、(1)第 1 个正方形的面积为 4 cm 2 ,第 2 个正方形的面积为 2 cm 2, ,这是一个以 a 14 为首项, q1为公比的等比数列2所以第 10 个正方形的面积为 a 10a 1 q 9 4 ( 1 )92 7 ( cm 2 )2a 1 a 10 q42 7 1(2)这 10 个正方形的面积和为 S 1028 2 72)1 q1( cm124、(1)当 a 1 时, (a 1) (a 2 2)(a n n)1 2(n 1)(n 1)n2 当 a 1 时, (a 1) (a 2 2)(a n n) (a a 2a n )(1 2n)a(1 a n ) n(n 1)1 a2(2) (2 3 51) (4 3 5 2 ) (n 3 5 n )2(1 2n)3(5 15 25 n )2 n( n 1 ) 31n5 n )n((31 n 5 ) 5 ( 11 )21 514( 3)设 S n 1 2x 3x 2nx n 1 ①则 xS nx 2x 2 (n 1)x n 1 nx n②①-②得, (1 x) S n 1 x x 2x n 1 nx n ③当 x 1 时, S n1 2 3n n( n 1);当 x 1 时,由③得, S n1 x n2 nx n2(1 x)1 x 5、(1)第 10 次着地时,经过的路程为 100 2(50 25100 2 9 )100 2 100(212 2 2 )9 100 2 1(1 2 9 ) 299.61 (m)200 1 2 1(2)设第 n 次着地时,经过的路程为 293.75 m ,则 100 2 100(212 22 ( n 1) )100 2002 1(1 2 ( n 1) ) 293.75200 21n293.75 ,解得 21 n1 2 1 所以 3000.03125 ,所以 1 n 5 ,则 n 66、证明:因为 S 3 , S 9 ,S 6 成等差数列,所以公比 q 1 ,且 2S 9 S 3 S 6即, 2a 1 (1 q 9 ) a 1 (1 q 3 ) a 1 (1 q 6 )1 q1 q1 q于是, 2q 9q 3 q 6 ,即 2q 61 q 3上式两边同乘以 a 1q ,得 2a 1q 7 a 1q a 1q 4即, 2a 8a 2 a 5 ,故 a 2 , a 8 ,a 5 成等差数列习题 2.5 B 组(P62)n 1 ( b n 11、证明: ana n 1bb na n(1bb ) n) a a )a n 1b n 1a(ba ba1a2、证明:因为 S 14 S 7 a 8 a 9a14q 7 ( a 1 a 2a 7 ) q 7 S 7S 2 1S 1 4a1 5a1 6a1 41 4q 2 1(a a 12a ) q S 77所以 S 7 , S 14 7,S 21 14 成等比数列3、(1)环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列, 首项为 a 1 100 ,公比为 q 1.2 .所以, 20XX 年能回收的废旧物资为 a 9 100 1.28430 (t )(2)从 20XX 年到 20XX 年底,能回收的废旧物资为S 9 a 1 (1 q 9 ) 100(1 1.2 9 )1 q1 1.22080(t )可节约的土地为 1650 4 8320 ( m 2 )4、(1)依教育储蓄的方式,应按照整存争取定期储蓄存款利率计息,免征利息税,且若每 月固定存入 a 元,连续存 n 个月,计算利息的公式为(a na) n 月利率 .2因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52 ,月利率为 0.21﹪﹪故到期 3 年时一次可支取本息共(50 50 36) 36(元)20.21﹪ 1800 1869.93若连续存 6 年,应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,具体计算略 .(2)略 .(3)每月存 50 元,连续存 3 年按照“零存整取”的方式,年利率为1.89﹪,且需支付 20﹪的利息税所以到期 3 年时一次可支取本息共 1841.96 元,比教育储蓄的方式少收益 27.97 元.36( x 36x)10000(4)设每月应存入 x 元,由教育储蓄的计算公式得0.21﹪ 36x2解得 x 267.39 (元),即每月应存入 267.39 (元)(5)(6)(7)(8)略5、设每年应存入 x 万元,则 20XX 年初存入的钱到 20XX 年底利和为x(1 2﹪)7 , 20XX 年 初存入的钱到 20XX年底利和为 x(1 2﹪)6 , , 20XX 年初存入的钱到 20XX 年底利和为x(1 2﹪) .根据题意, x(1 2﹪)7 x(1 2﹪)6 x(1 2﹪) 40根据等比数列前 n 项和公式,得x(12﹪)(1 1.027 )40 ,解得 x 52498 (元)1 1.02故,每年大约应存入 52498 元第二章 复习参考题 A 组( P67)1、(1) B ; (2) B ; (3) B ; (4) A.2、(1) a n 2n 1;( 2) a n 1 ( 1)n 1 (2n 1);2n(2 n)2(3) a n(10n1)7;(4) a n1 ( 1)n 或 a n1 cosn .93、4、如果 a,b, c 成等差数列,则 b 5 ;如果 a, b,c 成等比数列,则 b 1 ,或 1.5、 a n 按顺序输出的值为: 12,36, 108, 324,972. sum 86093436 .6、 1381.9 (1 0.13﹪)8 1396.3 (万)学习必备 欢迎下载7、从 12 月 20 日到次年的 1 月 1 日,共 13 天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布 .d 10,a 1100 . 由 S n a 1 n n( n 1)d 得: S 13 10013 13 1210 20802000 .22所以第二种领奖方式获奖者受益更多 . 8、因为 a 2a 8 a 3 a 7 a 4 a 6 2a 5所以 a 3a 4 a 5a 6 a 7 4505(a 2 a 8 ) ,则 a 2 a 8 180.29、容易得到 a n10n,S n 10 10n 10 1200 ,得 n 15 .210、 S 2 a n 1a n 2a 2n (a 1 nd) (a 2 nd )( a n nd)( a 1 a 2a n ) n nd S 1 n 2 dSa2n 1 an2 2a n 3 ( a 2 n) d ( a 2 n) d( a 2 n) d312n( a 1 a 2 n a )n 2 n d 1 S 22n d容易验证 2S 2S 1 S 3 . 所以, S 1 ,S 2 ,S 3 也是等差数列,公差为 n 2 d .11、 a 1 f ( x 1) (x 1)24( x 1) 2 x 2 2 x 1a 3f ( x 1) ( x 1)24( x 1) 2 x 26x 7因为 a n 是等差数列,所以 a 1 ,a 2 ,a 3 也是等差数列 .所以, 2a 2 a 1 a 3 . 即, 02x 2 8x 6 . 解得 x1 或 x 3 .当 x 1 时, a 1 2, a 2 0, a 3 2 . 由此可求出 a n 2n4.当 x3 时, a 1 2,a 2 0, a 32 . 由此可求出 a n4 2n .第二章 复习参考题 B 组( P68)1、(1) B ;(2)D.2、(1)不成等差数列 . 可以从图象上解释 . a,b,c 成等差,则通项公式为y pnq 的形式,且 a, b,c 位于同一直线上,而 1 , 1 , 1的通项公式却是 y1 的形式, 1 , 1 , 1不可能在同一直a b cpn q a b c线上,因此肯定不是等差数列 .(2)成等比数列 . 因为 a,b,c 成等比,有 b 2ac .又由于 a,b, c 非零,两边同时取倒数,则有1 1 1 1 .b 2ac a c所以, 1, 1 , 1也成等比数列 .a b c学习必备欢迎下载3、体积分数:0.033 (1 25﹪)6 0.126 ,质量分数: 0.05 (1 25﹪)6 0.191 .4、设工作时间为n,三种付费方式的前n 项和分别为 A n , B n ,C n.第一种付费方式为常数列;第二种付费方式为首项是 4,公差也为 4 的等差数列;第三种付费方式为首项是0.4,公比为 2 的等比数列 . 则 A n 38n , B n 4n n( n 1) 4 2n2 2n , C n 0.4(1 2n ) 0.4(2n 1) .2 1 2下面考察 A n ,B n ,C n看出 n 10 时, 38n 0.4(2n 1) .因此,当工作时间小于 10 天时,选用第一种付费方式 .n ≥ 10 时, A n≤ C n , B n≤ C n因此,当工作时间大于 10 天时,选用第三种付费方式 .5、第一星期选择 A种菜的人数为n,即a1 n ,选择B种菜的人数为500 a .所以有以下关系式: a2 a1 80﹪ b1 30﹪a3 a2 80﹪ b2 30﹪a n a n 1 80﹪b b 1 30﹪a nb n 500所以 a n1a n 1,b n 500 a n 3501a n 1 1502 2如果 a1 300 ,则 a2 300 , a3 300 ,, a10 300 6、解:由a n 2a n 1 3a n 2得 a n an 1 3(a n 1 a n 2 ) 以及 a n 3a n 1 ( a n 1 3a n 2 )所以 a n an 1 3n 2 ( a2 a1 ) 3n 2 7 , a n 3a n 1 ( 1)n 2 (a2 3a1 ) ( 1)n 2 13 .由以上两式得, 4a n 3n 1 7 ( 1)n 1 13所以,数列的通项公式是 a 1 3n 1 7 ( 1)n 1 13n 47、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金20XX 年底剩余资金是1000(1 50﹪) x20XX 年底剩余资金是[1000(1 50﹪) x](1 50﹪) x 1000(1 50﹪)2 (1 50﹪)x x5 年后达到资金1000(1 50﹪)5 (1 50﹪)4 x (1 50﹪)3 x (1 50﹪)2 x (1 50﹪)x 2000解得 x 459 (万元)第三章 不等式3. 1 不等关系与不等式 练习(P74)1、(1) a b ≥ 0 ;(2) h ≤ 4 ;( 3)( L 10)(W 10) 350 .L 4W2、这给两位数是 57.3、(1) ;( 2) ;(3) ;(4) ;习题 3.1 A 组(P75)1、略 .2、(1) 2374 ;(2) 710314 .3、证明:因为 x0, x 20 ,所以x 2x 1 x 1 044因为 (1 x)2( 1 x) 20 ,所以 1 x1 x22x 0x5 04、设 A 型号帐篷有 x 个,则 B 型号帐篷有 (x5) 个,4x 480 5x 48 53(x 5)484( x 4)≥ 485、设方案的期限为 n 年时,方案 B 的投入不少于方案 A 的投入 .所以, 5nn(n 1)10≥ 500即, n 2 ≥ 100 .2习题 3.1 B 组(P75)1、(1)因为 2x 2 5x 9 ( x 25x 6) x 2 3 0 ,所以 2x 2 5x 9 x 2 5x6(2)因为 (x 3)2 ( x 2)( x4) ( x 2 6x 9) (x 2 6x 8) 1 0所以 ( x 3)2 (x 2)(x4)(3)因为 x 3 ( x 2 x 1) ( x 1)(x 2 1) 0 ,所以 x 3 x 2 x1(4)因为 x 2y 2 1 2( x y 1) x 2 y 2 1 2x 2y 2 ( x 1)2 ( y 1)21 0所以 x 2y 2 1 2(x y 1)2、证明:因为 a b 0,c d0,所以 ac bd 0又因为 cd 0,所以1cd于是aba b 0 ,所以cd cd3、设安排甲种货箱x 节,乙种货箱y节,总运费为z.35x 25y ≥ 1530所以15x 35 y≥ 1150 所以 x≥ 28 ,且 x ≤ 30x y 50所以x 28 ,或 x 29 ,或 x 30y 22 y 21 y 20所以共有三种方案,方案一安排甲种货箱28 节,乙种货箱 22 节;方案二安排甲种货箱 29 节,乙种货箱21 节;方案三安排甲种货箱30 节,乙种货箱 20 节 .当x30 时,总运费 z 0.5 30 0.8 20 31(万元),此时运费较少. y 203. 2 一元二次不等式及其解法练习(P80)1、(1)x 1≤ x ≤10;(2)R;(3)x x 2 ;( 4)x x 1 ;3 2 (5)x x 或x 3 5 , 或x4 ;(7)5 x 0 .2 34 32、(1)使y 3x2 6 x 2 的值等于0的x的集合是 1 3,1 3 ;3 3使 y 3x2 6 x 2 的值大于 0 的x的集合为x x 1 3 ,或 x 1 3 ;3 3使 y 3x2 6 x 2 的值小于 0 的x的集合是x 1 3 x 1 3 .3 3( 2)使y 25 x2的值等于0的x的集合5,5 ;使 y 25 x2的值大于0的x的集合为x 5 x 5 ;使 y 25 x2的值小于0的x的集合是x x 5,或x 5 .( 3)因为抛物线y x2 +6x 10 的开口方向向上,且与x 轴无交点所以使 y x2 +6 x 10 的等于 0 的集合为;使 y x2 +6 x 10 的小于 0 的集合为;使 y x2 +6 x 10 的大于 0 的集合为 R.(4)使y 3x2 12x 12 的值等于0的x的集合为 2 ;使 y 3x2 12x 12 的值大于0的x的集合为;使 y 3x2 12x 12 的值小于0的x的集合为x x 2 . 习题 3.2 A 组(P80)1、(1)x x 3,或x 5 ;( 2)x 13 x 13 ;2 2 2 2( 3) x x 2,或 x 5 ;( 4) x 0 x 9 .2、(1)解x2 4x 9 ≥ 0 ,因为20 0 ,方程 x2 4x 9 = 0 无实数根所以不等式的解集是R,所以 y x2 4x 9 的定义域是 R.(2)解2x2 12x 18≥ 0 ,即 ( x 3)2≤ 0 ,所以 x 3所以 y 2x2 12x 18 的定义域是x x 33、m m 3 2 2, 或m 3 2 2 ;4、 R.5、设能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留t 秒 .依题意, v0t 1 gt2 2 ,即 12t 4.9t2 2 . 这里 t 0 . 所以 t 最大为 2(精确到秒)2答:能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留 2 秒 .x ≥ 15. 即15≤x 20 .所以售价x x 15≤x 20 6、设每盏台灯售价x元,则2( x 15)] 400x[30习题 3.2 B 组(P81)1、(1)x 5 5 2x5 5 2;(2)x 3 x 7 ;(3);( 4)x1x 1 .2 2 32、由(1 m)2 4m2 0 ,整理,得 3m2 2m 1 0 ,因为方程 3m2 2m 1 0 有两个实数根 1 和1,所以m1 1,或 m2 1 ,m 的取值范围是m m 或1 .3 3 33、使函数 f ( x) 1 x2 3x 3的值大于 0 的解集为x x 3 42 , 或x 3 42 .2 4 2 24、设风暴中心坐标为(a, b) ,则 a 300 2 ,所以 (300 2) 2 b2 450 ,即 150 b 150而 300 2 150 15 (2 2 1) 13.7 (h),30015 .20 2 20所以,经过约13.7 小时码头将受到风暴的影响,影响时间为15小时. 3. 3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习(P86)。
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人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2(第24页)练习(第32页)1.答:在一定地范围内,生产效率随着工人数量地增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量地增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高.2.解:图象如下[8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间.3.解:该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数.4.证明:设12,x x R ∈,且12x x <, 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->,即12()()f x f x >, 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5.最小值.练习(第36页)1.解:(1)对于函数42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=,所以函数42()23f x x x =+为偶函数;(2)对于函数3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-,所以函数3()2f x x x =-为奇函数;(3)对于函数21()x f x x+=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--,所以函数21()x f x x+=为奇函数;(4)对于函数2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=,所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称地;()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称地.习题1.3(第39页)1.解:(1)函数在5(,)2-∞上递减;函数在5[,)2+∞上递增; (2)函数在(,0)-∞上递增;函数在[0,)+∞上递减.2.证明:(1)设120x x <<,而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-,由12120,0x x x x +<-<,得12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数; (2)设120x x <<,而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=,由12120,0x x x x >-<,得12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.3.解:当0m >时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数,令()f x mx b =+,设12x x <, 而1212()()()f x f x m x x -=-,当0m >时,12()0m x x -<,即12()()f x f x <, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,12()0m x x ->,即12()()f x f x >, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.解:自服药那一刻起,心率关于时间地一个可能地图象为5.解:对于函数21622100050x y x =-+-, 当162405012()50x=-=⨯-时,max 307050y =(元), 即每辆车地月租金为4050元时,租赁公司最大月收益为307050元. 6.解:当0x <时,0x ->,而当0x ≥时,()(1)f x x x =+,即()(1)f x x x -=--,而由已知函数是奇函数,得()()f x f x -=-,得()(1)f x x x -=--,即()(1)f x x x =-,所以函数地解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1.解:(1)二次函数2()2f x x x =-地对称轴为1x =,则函数()f x 地单调区间为(,1),[1,)-∞+∞,且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数,在[1,)+∞上为增函数,函数()g x 地单调区间为[2,4], 且函数()g x 在[2,4]上为增函数;(2)当1x =时,min ()1f x =-,因为函数()g x 在[2,4]上为增函数,所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=.2.解:由矩形地宽为x m ,得矩形地长为3032xm -,设矩形地面积为S , 则23033(10)22x x x S x --==-, 当5x =时,2max 37.5S m =,即宽5x =m 才能使建造地每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室地最大面积是237.5m . 3.判断()f x 在(,0)-∞上是增函数,证明如下: 设120x x <<,则120x x ->->,因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,得12()()f x f x -<-, 又因为函数()f x 是偶函数,得12()()f x f x <,所以()f x 在(,0)-∞上是增函数.复习参考题(第44页)A 组1.解:(1)方程29x =地解为123,3x x =-=,即集合{3,3}A =-;(2)12x ≤≤,且x N ∈,则1,2x =,即集合{1,2}B =;(3)方程2320x x -+=地解为121,2x x ==,即集合{1,2}C =.2.解:(1)由PA PB =,得点P 到线段AB 地两个端点地距离相等,即{|}P PA PB =表示地点组成线段AB 地垂直平分线;(2){|3}P POcm =表示地点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 地圆.3.解:集合{|}P PA PB =表示地点组成线段AB 地垂直平分线, 集合{|}P PA PC =表示地点组成线段AC 地垂直平分线,得{|}{|}P PA PB P PA PC ==地点是线段AB 地垂直平分线与线段AC 地垂直平分线地交点,即ABC ∆地外心.4.解:显然集合{1,1}A =-,对于集合{|1}B x ax ==,当0a=时,集合B =∅,满足B A ⊆,即0a =;当0a ≠时,集合1{}B a =,而B A ⊆,则11a =-,或11a=,得1a =-,或1a =,综上得:实数a 地值为1,0-,或1.5.解:集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,即{(0,0)}A B =;集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭,即A C =∅;集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭; 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.解:(1)要使原式有意义,则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩,即2x ≥,得函数地定义域为[2,)+∞;(2)要使原式有意义,则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≥,且5x ≠,得函数地定义域为[4,5)(5,)+∞.7.解:(1)因为1()1x f x x -=+, 所以1()1a f a a -=+,得12()1111a f a a a -+=+=++,即2()11f a a +=+;(2)因为1()1xf x x-=+,所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++,即(1)2af a a +=-+.8.证明:(1)因为221()1x f x x +=-,所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---, 即()()f x f x -=;(2)因为221()1x f x x +=-,所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---, 即1()()f f x x=-. 9.解:该二次函数地对称轴为8k x =, 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性, 则208k ≥,或58k ≤,得160k ≥,或40k ≤, 即实数k 地取值范围为160k ≥,或40k ≤.10.解:(1)令2()f x x -=,而22()()()f x x x f x ---=-==,即函数2y x -=是偶函数; (2)函数2y x -=地图象关于y 轴对称; (3)函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数; (4)函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数.B 组1.解:设同时参加田径和球类比赛地有x 人, 则158143328x ++---=,得3x =,只参加游泳一项比赛地有15339--=(人),即同时参加田径和球类比赛地有3人,只参加游泳一项比赛地有9人.2.解:因为集合A ≠∅,且20x ≥,所以0a ≥. 3.解:由(){1,3}U AB =,得{2,4,5,6,7,8,9}A B =,集合A B 里除去()U A B ,得集合B ,所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.解:当0x ≥时,()(4)f x x x =+,得(1)1(14)5f =⨯+=; 当0x <时,()(4)f x x x =-,得(3)3(34)21f -=-⨯--=;(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩. .5.证明:(1)因为()f x ax b =+,得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++, 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++, 所以1212()()()22x x f x f x f ++=; (2)因为2()g x x ax b =++, 得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++, 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++, 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤, 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+, 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.解:(1)函数()f x 在[,]b a --上也是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<, 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数,则21()()f x f x ->-,又因为函数()f x 是奇函数,则21()()f x f x ->-,即12()()f x f x >, 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数;(2)函数()g x 在[,]b a --上是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<,因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数,则21()()g x g x -<-,又因为函数()g x 是偶函数,则21()()g x g x <,即12()()g x g x >,所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数.7.解:设某人地全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得25004000x <≤,25(2500)10%26.78x +-⨯=,得2517.8x =,所以该人当月地工资、薪金所得是2517.8元.版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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