绝对值几何意义和绝对值方程

绝对值几何意义和绝对值方程

Ⅰ重点突破

重点针对复习

【重点知识点1】绝对值的几何意义

[针对训练1]

（南雅-15）1.阅读材料，回答下列问题：

数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；

在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2；

在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；

在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5；

在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；……

如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．

（1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离|AB|＝2，则x等于；

（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．

①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝；若|x+2|+|x﹣4|═10，则x＝；

②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于．

2.先阅读，后探究相关的问题

【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；

（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为；

（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；

（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．

3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．

（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；

（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．

（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．

4.已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的

数为x．

（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；

（2）当x＝时，点P到点A、点B的距离之和是6；

（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是；

（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．

若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．

【重点知识点2】绝对值得符号意义

[针对训练2]

1.（长培16-19）阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数

（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；

（2）当abc≠0时，求的值；

（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．

2.分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当

a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：

（1）当a＝5时，求的值．

（2）当a＝﹣2时，求的值．

（3）若有理数a不等于零，求的值．

（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．

3.有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，

（1）在图中标出﹣a，﹣b所对应的点，并用“＜”连接a，b，﹣a，﹣b，0；

（2）化简：|a|+|a+b|﹣2|b﹣a|．

4.已知a 是最大的负整数，b 是﹣5的相反数，c ＝﹣|﹣2|，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．

（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．

（2）若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，动点Q 同时从点B 出发也沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q ？

（3）在数轴上找一点M ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于12，请求出所有点M 对应的数．

【重点知识点3】绝对值的方程

[针对训练3]

（广益17-8）1.己知|x |=2，y 2=9，且x ·y <0，则x +y =（ ）

A 、5

B 、－1

C 、－5或－1

D 、±1 （怡雅18-9）2.已知021=++-y x ，则=+y x ；

（长培18-17）3.

4. 解方程： |x ＋1|=5 |5-x|=5

5.已知(|x ＋1|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋1|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.