导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题（最值问题）

恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。

知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）

先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max

2. 对于双变量的恒成立问题

f(x) min g(x)min

今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样

一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，

3%是

ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e

我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起

一•二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ）

② 参数在二次项，就需考虑是否为0

1

③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等）

x

④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量）

f （x ）恒成立，则有a f ( x) min

（若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到,

a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需

f ( x)

min

a,b ，使得 f(x)

0,那么只需f （X ）max 0

如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj

g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max

如：化简后我们分析得到,

X i

a,b ， x 2

c, d 使f （xj gg ），那么只需

如：化简后我们分析得到,

X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i )

g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min

还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量）

3.对于带绝对值的恒成立问题，

成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型）

总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒

方法：1. 一次函数，二次函数直接根据图像讨论最值 （二次函数也可以分离变量）

2. 对于高次或者特殊函数，一般分离变量求最值（分离变量后对函数求导，确定导函 数的正负情况，确定单调性，从而确定在已知定义域上的最值）

3. 对于不能分离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定单调性，确定最值 变式:

①已知 f(x) ax b ，若对任意的x （m, n ），均有f （x ） 0，求 ca 的取值围 ②已知 f(x) 2

ax

2x 5，若对任意的x （ 3,2），均有f （x ）

，求 丈a 的取值围

③已知 f(x) 2

ax 2(a 2

1）x 5，若对任意的x （ 3,2），均有

f (x) 0,求a 的取值围

④已知 f(x)

3

ax 2(a 1）x 5,若对任意的x （ 3,2），均有 f(x) 0求a 的取值围

⑤已知

f(x) 3

ax 2(a 2

9）x 5，若对任意的x （ 3,2），均有 f (x)

0求a 的取值围

例题2.（改编）已知函数f x ax 2 2x 1在1,3上的最大值为M a ，最小值为ma ，又已 知函数g a M a m a ，

（1）求g a 的表达式；（2）指出g a 的单调区间，并求出

变式：1.对称轴不动（①定义域不动 ②定义域动（含参数））

2. 对称轴动（含参），定义域不动（考试最喜欢考）

3. 对称轴动（含参），定义域动（含参） 但是参数还是同一个参数 方法：找出对称轴 与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可

4. 对称轴动（含参），定义域动（含参）

①参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的围，是否可以直接根据单调性求 ②参数不一样，参数也没围，那么真不能做了

g a 的最小值

答案：根据对a 是否为0以及对称轴的讨论，易知

M (a)

9a

9a 5,a

1 1

m(a) 1

,- a 3 a 1,a

，所以易知

1

g

（a ）

1 8a 4, a

3

1 c 1 a 2, a a 3 1 1

9a 6, a 1 a 2 8a 4,a 1

1 1

,-）单调递减，在（-， 2 2

点评：本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论

所以g （a ）在（ ）单调递增，所以当

1 1

評，f （X ）有最小值-

1

(13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a , a), P 是函数y — (x >o)图象上一动点.若点

X

P , A 之间的最短距离为2农，则满足条件的实数a 的所有值为 _____________ . 综上a 1或a . 1o

点评：本题综合性较高，考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题(高一下学期必 须学会)，同时考查了换元思想，分类讨论的思想 是一道非常漂亮的题目 二.三次函数及特殊函数型(通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值) 先来几个比较特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了 1.

(原创)已知函数

f (X ) o 且Xf (X ) f (X ) o ,对所有满足条件的函数

f (X )，始终有

f(2) (a 3 2a 3)f(1)成立，求a 的取值围

答案：由题可知x o 时，o f (o )o 与题目f(x) o 矛盾，所以显然有x o 所以由条件易知 丄凶 单调递增，由题可知 也 a 3 2a 3f(1)始终成立，即

X

2

2

詈 a

3

2a 3恒成立，因为 他单调递增，又 迪是满足条件的所有函数， f (1) 2 X X

1

所以爰的最小值总大于1,所以有『2a 3 1，知a 的围是a — 5或丄2 a 1 f(1) 2

' 2 2

1

点评：对于某些题中既有f(x)又有f (x)'的这种题型，我们不妨去联想它的原函数 2.

(原创)已知函数f(x) log 2(1 x) x 2 ax ;若对于任意a 1,-，总存在

x °

- 1，使

2

2'

得不等式f(x 。)m 成立，则m 的取值围是 __________________________ 答案：分析知log 2(1+x)单

解：设

PX o ,

X o

,X o

则PA

X o

2

X o

X o

1

~2 X o

2a X o+— +2a 2

=

X o

1 X o + X o

-2 a

1 X o + - X o

2a 2 2

令X o

1 X

o

则 PA 2=f(t)=t 2

2at

2a 2 对称轴t

1. a

2. a 2

PA 2

min

f(2) 2a 2 4a 2

2

PA 2

min f(a) a 2 2 8

a ,10

(舍去)

(舍去)

2时, 2

时, a 2 2

2a 2 4a 8