平面向量的数量积导学案

平面向量的数量积导学案

河北孟村回民中学高一数学导学纲编号

班级姓名

年级高一作者温静时间

课题 2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用.

【导学流程】

一、了解感知：

（一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_________________________________.

2、向量数乘运算的定义是 .

3、两个非零向量夹角的概念：_________________________________.

思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？

（二）自主探究：（预习教材P103-P106）

探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下

产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中

θ是 .

请完成下列填空：

F（力）是量；S（位移）是量；θ是；

W（功）是量；

结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及

其夹角余弦的乘积

启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种

运算的结果呢？

新知1向量的数量积（或内积）的定义

已知两个非零向量a和b，我们把数量cos

a bθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a b⋅，即

注：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可

以用“⨯”代替。

②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即a⋅=。

00

探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？

小组讨论，完成下表：

θ的范围0°≤

θ<90°

θ=90°

0°<θ≤

180°

a·b的符号

新知2：向量的数量积（或内积）几何意义

（1）向量投影的概念：如图，我们把cos

aθ叫做向量a在b

方向上的投影；cos

bθ叫做向量b在a方向上的投影.

说明：如图，

1cos

OB bθ

=. 向量投影也是一个数量，不是向量；

当θ为锐角时投影为_______值；当θ为钝角时投影为_______值；

当当θ = 0︒时投影为 ________；当θ＝９０︒时投影为__________；

当θ = 180︒时投影为__________.

（2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影的乘积。

新知3：由定义得到的数量积的结论

设a 和b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则

(1)当a 与b 垂直时，90θ=，即a b a b ⊥⇔⋅= ；（向量垂直的条件）

(2)当a 与b 同向时，0θ=，a b ⋅= ；当a 与b 反向时，

180

θ=，a b ⋅= ；

特别的当a b =，即a a ⋅= ，则a = ；（向量的求模公式） (3)cos ||||

a b

a b θ⋅=

（向量的夹角公式）

(4）因为cos 1θ≤，所以a b ⋅ a b

.

二、深入学习

1.已知5a =，4b =，a 和b 的夹角为120，则a b ⋅=__________

2.

（2010江西） 已知向量a ，b 满足||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则b 在a 上的投影是 ；

3.设12a =，9b =，542a b ⋅=-，则a 与b 的夹角θ为（ ）

A.45

B.135

C.60

D.120

三、迁移运用

1.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则

.____________.AE BD =

变式练习（

1）、在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足

为P ，3AP =，则.AP AC = .

（2）、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为_______.

四、达标检测

1.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2BC =，120BAD ∠=，则AB AD ⋅为（ ）

A.4

B.-4

C.8

D.-8

2. 已知ABC ∆，AB a =，AC b =，当0a b ⋅=时，ABC ∆为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形

3.若四边形ABCD 满足0AB CD +=，且0AB BC ⋅=，则四边形ABCD 是

（ ）.

A.平行四边形

B. 矩形

C.菱形

D.正方形

4. 已知3a =，5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 的方向上的投影为 .

★5判断下列命题的真假，并说明理由. （1）、ABC ∆为直角三角形，则0AB BC ⋅=.

（2）、

ABC ∆中，若0<•→

→

AC AB ，则ABC ∆是钝角三角形；若0<•→

→

BC AB ，结论还成立吗？ （3）、

ABC

∆中，若0>•→

→

AC AB ，则ABC ∆是锐角三角形；

★7.已知4,3,(23).(2)61,|2|.a b a b a b a b a b θ==-+=-求与的夹角并求

★★8．（2013全国新课标）已知两个单位向量,a b 的夹角为0

60，(1)..0,______.c ta t b b c t =+-==若则