应力张量的认识(一)

应力张量的认识（一）

本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。相关还有：Levy-Mises理论的思考

从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量，然后一直出现在我们的视野里。初始，以一个基本定义记住了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完善而一再搁置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。

我将这部分思考分为以下三部分：

应力张量的认识（一）

应力张量的认识（二）

应力张量的认识（三）

本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。

应力

初中物理就已知道，因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。单位面积上的内力即是应力，表征内力的强度。

为了研究某一点P处的应力，用某个截面在P点处切开物体，如下图所示。根据定义可以得到P点的正应力σ、切应力τ，他们的合成即为全应力T。

需要注意的是，一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。但是过P点有无数的截面，那么如何才能真正描述P点的应力状态呢？

应力状态

点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。上面已经意识到过一点点有无数的截面，只有任意截面上的应力分量都可以确定，才可以说应力状态是确定的。

通常在无数的截面中，任意取三个互相垂直的截面，并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。也即在P点截取一个无限小的平行六面体，称为单元体。

单元体无限小，视为一点，因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，也即他俩的应力是相同的。这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。

由于单元体处于静力平衡状态，由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。

问题：既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，那为什么上图平行的平面上应力是相反的？

单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，但是分别是被截开的的两部分的平面，截开前他们是重合的，截开后成为了两部分各自的表面，而外表面是有方向的。所以，从各自的方向上来看，应力方向还是相同的。

应力张量

根据上面的微单元体上的应力分量，是否可以求出任意截面的应力分量？

答案是肯定的。根据三个方向的静力平衡就可以列式计算得到上图的任意的法向为(n1,n2,n3)的截面上的应力分量。

三个互相垂直的截面上的9个应力分量可以确定任意截面的应力，也就是说可以确定一点的应力状态了。同时从这三个截面的选取上来看，他们和坐标系无关。

于是我们把用上面九个应力分量作为一个整体来描述一点应力状态的物理量叫作应力张量，记作

主应力

如果作用在某一截面上的全应力和这一截面垂直，即该截面上只有正应力，则这一截面称为主平面，其法线方向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。求解方法依然是根据静力平衡条件。

应力张量不变量

在求解主应力的过程中会得到以主应力为未知数的三次方程，叫做状态方程。

状态方程的三个系数唯一由主应力确定，而一点的主应力是唯一的，这样就得到了不随坐标变化的三个量，叫作应力张量不变量

用一般应力表示为

主切应力

切应力有极值的截面叫主切应力平面，面上的切应力叫作主切应力。六个主切应力中绝对值最大的叫作最大切应力。

通过计算可知，主切应力平面与主应力平面成45°夹角。

由于塑性变形是由切应力引起的，所以最大切应力可以作为判断屈服的准则。

应力张量分解

将三个正应力的平均值叫作平均应力，静水应力，应力张量减去这部分后得到应力偏张量。应力偏张量同样有三个不变量。

应力张量分解的物理意义在于：

物体在应力张量作用下的变形分为体积变化和形状变化两部分；前者取决于应力球张量，后这取决于应力偏张量；体积变化表征弹性变形，当应力偏张量满足一定条件后，则物体发生塑性变形。

应力平衡微分方程

以上说明的都是一点的应力状态，而物体内部不同点的应力状态一般是不同的，那么如何描述相邻点间的应力变化关系呢？

以物体内某一点P(x,y,z)为顶点截取边长分别为dx,dy,dz的直角平行六面体微元，另一个顶点的坐标则为

(x+dx,y+dy,z+dz)。根据静力平衡方程，并处理掉高阶小量，得到应力平衡微分方程：

问题：这部分中微六面体应力状态分析的图与之前一点应力状态的图即为相似，却有不同，如何理解？

二者的涵义完全不同。点的应力状态图强调的是同一个点在不同截面下的状态，而微六面体应力状态分析强调的是相邻两个点之间的应力关系。可以说前者是静态的，后者揭示的是相互作用的关系。

总结

这一部分梳理了我们常规学习的内容，可以概括为两点：

•应力张量——某点的应力状态

•应力平衡方程——相邻点的相互作用

接下来的部分将记录我对应力张量更为本质涵义的理解。