(仅供参考)平面应力状态分析-主应力主平面详细推导

平面应力状态分析--主应力主平面详细推导

老和尚小方丈（storylee_dut@）大连理工大学+哈尔滨电机厂有限责任公司

平面应力状态有一个主应力为0，全部应力分量假设位于一个平面，鉴于市场上材料力学教材关于平面应力状态分析公式推导不尽详细，在此进行详细推导，为广大力学人士提供参考，敬请批评指正。

任意斜截面上的应力公式为：

α

τασσσσσα2sin 2cos 2

2xy y

x y x --++=（1）

ατασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

（2）

式中，α为斜截面外法线n 与x 轴正向的夹角。

对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为0，由（2）式得：

02cos 2sin 2

000

=+-=

ατασσταxy y

x （3）

即

y

x xy

σστα--

=22tan 0（4）

方程（4）有两个解，主平面方位角0α与 900+α，说明两个主平面互为垂直关系。

将公式（3）的解回代公式（1），可得另外两个主应力，代数值较大的记为max σ，较小的记为min σ，则

2

2

max 22xy y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=（5）

22

min

22xy

y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+=（6）

关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：

对于方程y

x xy

σστα--

=22tan 0更改等效形式0

02cos 22sin ασσταy

x xy

--

=（7）添加方程

1

2cos 2sin 0202=+αα（8）

联立（7）、（8）求得：

222

0222cos xy y x y x τσσσσα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-±=（9）

22

2

022sin xy y x xy

τσστα+⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=

（10）

注意（9）、（10）公式正负号的对应，再将（9）、（10）代入公式（3）推得主应力计算公式（5）、（6），至此，详细推导完成！