§3-8 刚体体系的虚功原理
虚功原理和位移计算
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
02
位移计算是确定物体位置和运动轨迹的过程，它涉及到对实际
位移的测量和计算。
虚功原理和位移计算在理论和实践上都有广泛的应用，它们在
03
某些情况下是相互关联的。
虚功原理在位移计算中的应用
在某些情况下，位移计算可以通 过虚功原理进行简化。
例如，当分析一个系统在平衡状 态下的位移时，可以使用虚功原
理来找到作用在系统上的力。
现潜在的安全隐患，并采取相应的措施进行维修和加固。
实例二：建筑结构稳定性分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构稳定性分析是虚功原理和位移计算的重要应用之 一，通过分析建筑结构的位移变化，可以评估建筑物的稳 定性和安全性。
在建筑结构稳定性分析中，虚功原理和位移计算被广泛应 用于评估建筑物在不同载荷下的稳定性。通过在建筑物上 设置传感器和测量设备，可以实时监测建筑物的位移变化 ，并将数据传输到计算机进行分析。这些数据可以帮助工 程师评估建筑物的稳定性和安全性，及时发现潜在的安全 隐患，并采取相应的措施进行加固和维护。
通过将虚功原理应用于位移计算 ，可以确定系统在平衡状态下可
能的位移。
位移计算在虚功原理中的应用
01
位移计算的结果可以用来验证虚功原理的正确性。
02
通过测量和计算实际位移，可以验证虚功原理是否 成立。
结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
虚功原理——精选推荐
虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。
2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。
(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。
要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。
应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。
求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。
由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。
4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。
虚功原理
虚功原理的证明
必要性
设质点系处于静力平衡状态， 设质点系处于静力平衡状态，证明作用于质点系所 有主动力所做虚功之和为 0。 。 r r Fi + Ri = 0 已知 设该体系有一虚位移， 设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri = 0
∑
n
i =1
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri =
1
基本概念
（1）虚位移 ）
想象中可能发生的无限小的位移， 想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束， 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有
r 改变（δt =0）， 表示为 δ r ） 。
关于虚位移的说明 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
3
虚功原理
设一个完整的由n 个质点组成的力学 系统， 系统，在k 个理想约束条件下处于静平衡 状态。 状态。其中第i 个质点受到的主动力为 F 则该体系静力平衡条件为： 约束力为 R ，则该体系静力平衡条件为：
i i
∑
n
i=1
uu r u r F i .δ r i = 0
虚功原理的证明
充分性
设作用于质点系所有主动力中所做虚功之和为 0， ， 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 设质点系在所有力作用下不平衡，则其中某些质点 设质点系在所有力作用下不平衡， 将从静止进入运动状态，于是对质点系内任意质点上有 将从静止进入运动状态，
10δr1 − RDδrD + 8δr2 = 0
如何求虚位移间的关系 由几何关系
《结构力学》课程规范
章
第3章静定结构受力分析
教学目的
和要求
能运用截面法求任意界面的内力，并用叠加法及荷载与内力的关系作各种结构的内力图
重点和难点
重点：截面法求任意界面的内力，用叠加法及荷载与内力的关系作各种结构的内力图
难点：熟练的运用截面法、叠加法作各种结构的内力图
“三基”分析
基本知识：截面法、叠加法
基本理论：截面法求任意界面的内力，用叠加法及荷载与内力的关系作各种结构的内力图
二、课程知识、能力体系
《结构力学》课程知识（能力）体系
序号
知识单元描述
知识点
对应能力
学时
要求
1
第一章
绪论
结构力学的学科内容和教学要求、结构体系的简化、杆件的分类、荷载的分类、学习方法
掌握学习结构力学的方法
2
掌握
2
第二章
结构的几何构造分析
几何构造分析的几个概念.平面几何不变体系的组成规律.平面杆件体系计算的自由度.
本章思考题
3-1，3-2，3-3（b），3-5，3-8（a），3-9（d）
主要
参考资料
结构力学参考书或网络资源；
教材：龙驭球，包世华.结构力学教程(第三版).高等教育出版2006
备注
章
第4章影响线
教学目的
和要求
移动荷载概念，影响线概念，用静力法作简支梁影响线，机动法作影响线，影响线的应用，简支梁包络图和绝对最大弯矩。
4
掌握
9
第九章
矩阵位移法
矩阵位移法的基本步骤.单元刚度矩阵.整体刚度矩阵.等效节点荷载杆端力.
掌握矩阵位移法的解题思路和步骤.理解单元刚度矩阵、总刚度矩阵中元素的物理意义。重点掌握利用单元定位向量将单元刚度矩阵 和单元等效节点荷载向量集成刚度矩阵和结构荷载向量的方法.
结构力学-虚功原理
G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by professor Pan. All rights reserved.
M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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虚功原理及其应用
F
A
解析
如图所示，设想在A端将链条水平向 左拉出一段微小段长度dx， 则链条重力做 功 由虚功原理得
R
dW - dxgR
Fdx dW 0
B
可得
F gR
通过对以上几个实例的分析，我们 可以看出应用虚功原理求解问题，体 现了微元法、虚拟法、动态分析法等 物理分析方法，也能为问题的求解另 辟蹊径。
虚功原理： Fi ri 0，
表示的是物体在力系作用下处于平衡状态，若由于其 他原因使物体产生符合约束条件的微小连续位移δ r，则 所有主动力（外力与内力）在虚位移上所做的虚功总和 为零。由于导数与微分已经引入到高中数学，这为求复 杂情况下物体的虚位移带来了方便，因此在高中应用虚 位移原理求解物理问题已成为可能。高中物理有关静力 学问题，用常规方法求解有时需要列出复杂的方程进行 繁琐的数学运算，但如果应用虚功原理求解，往往会使 问题的求解过程大大简化。下面通过几个具体实例谈谈 虚功原理在求解静力学问题中的应用。
解析
建立如图所示的坐标系，设杆长为l，则A、B 两个小球的竖直位置与水平位置坐标分别为：
A
y A lsin，x B lcos
若在力F作用下B球向左发生一段位移dxB， 则在理想约束情况下，A球应竖直向上发生 一段微小位移dyA，θ 角增加微小量dθ 。求 微分有： 由虚功原理得： 解得：
由虚功原理得：
2Tdx B Fdy 0 0
解得：
F T tan 2 2
例2
质量分别为m、M的A、 B两小球用一根轻杆连 接，A靠在竖直光滑墙 上，B放在光滑水平面 上。现用一水平向左的 力F作用在B上使系统处 于平衡状态，此时杆与 水平面成θ 角，求力F 的大小。
04-课件：6.2 虚功原理
原理
原理
力系平衡 位移相容
实 虚
实
虚位移原理
虚 虚力原理
u 变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构
和三维块体）
u 实际或虚设的力状态（内外力） 均应满足的静力平衡条件。
u 杆件结构的每一个杆件的位移状态 （实际或虚设）均应满足：①任一 微段满足应变～位移关系；②边界 位移满足约束边界条件。
Ø3、虚功原理的两种应用
虚位移原理
对于给定的力状态（实力状态）， 另虚设一个位移状态（虚位移状 态），利用虚功方程来求解力状态
中的未知力
虚力原理
对于给定的位移状态（实位移 状态），另虚设一个力状态 （虚力状态），利用虚功方程 来求解位移状态中的位移
Ø4、变形体系虚功原理的几点说明
功 能 力与位移无关 虚功
u单位位移法
总结利用刚体体系的虚位移原理求解静定结构的支反力 和内力的求解步骤：单位位移法
①取实际力状态 ：撤除与待求力相应约束，用约束力X 代替
②取虚位移状态：沿X正方向产生单位位移X=1；与荷载 F处对应位移记为P(由几何关系求得)
③列虚功方程：X.1+(F.P)=0 ④ X=-F.P
例3：一伸臂梁，支座A向下移动距离c1，求C点的竖向位移△。
A
c1
a
A
F RA F. b a
A
F RA b a
c
B
C
实位移状态
b
F
B
C
虚力状态
F 1
B
C
说明：①实位移状态：给 定的实际状态
②虚力状态：沿所求位移 方向假设一外力
③虚功方程：
F.
FR .c1
0
刚体虚功原理
刚体虚功原理
刚体虚功原理是力学中的一个重要原理，它描述了刚体在平衡状态下受力与移动的关系。
虚功原理的基本思想是，对于一个处于平衡状态的刚体而言，所有外力都可视为零。
因此，刚体在受力的情况下不会产生实际的功，但却可能存在虚功。
刚体虚功原理可以通过以下步骤进行推导和理解：
首先，我们将刚体平衡的条件表达为一个力的平衡方程。
假设刚体上有n个力作用，分别为F1、F2、...、Fn。
我们可以将它们的合力表示为ΣFi=0。
然后，我们将刚体的移动分解为平动和转动两个部分。
平动是指刚体作为一个整体进行的位移，而转动是指刚体绕一个轴线旋转的运动。
对于平动部分，我们可以引入位移的概念。
设刚体某一点的位移为δr，该点所受到的力为F。
则在平动过程中，该点所做的虚功可表示为δW=F·δr。
对于转动部分，则需要引入力矩的概念。
设刚体绕某轴线的转动力矩为M，该轴上的转动角度为δθ。
则在转动过程中，力矩所做的虚功可表示为δW=M·δθ。
最后，我们考虑整个刚体平衡过程中所有点的虚功之和，即Σ(δW)=Σ(F·δr)+Σ(M·δθ)。
根据力的平衡方程ΣFi=0，我们可以得到Σ(F·δr)=0。
因此，整个刚体平衡过程中的虚功Σ(δW)只
与转动部分的虚功有关。
刚体虚功原理的重要性在于，它为刚体平衡问题提供了一种便捷的分析方法。
通过运用虚功原理，我们可以直接对刚体的转动部分进行分析，而无需关注具体的力和位移。
这种方法在许多工程和科学领域中具有广泛的应用。
刚体结构的虚功原理
刚体结构的虚功原理刚体结构的虚功原理指的是在静力学分析中，用虚位移法来求解刚体结构的平衡条件。
这个原理是基于力的平衡条件和虚位移的定义，通过构造虚功方程来完成对结构的分析与计算。
首先，我们需要明确刚体结构的自由度。
刚体结构的自由度是指可以独立变动的几何参数的数量，包括平移和旋转。
对于平面刚体结构而言，它们可以有三个平移自由度和一个绕垂直于平面的轴的旋转自由度，总共四个自由度。
而对于空间刚体结构而言，它们可以有六个平移自由度和三个绕不同轴的旋转自由度，总共十个自由度。
接下来，我们引入虚位移的概念。
虚位移是指虚拟施加在结构上的微小位移，这个位移既可以是平移也可以是旋转。
对于单个自由度而言，虚位移仅仅是一个标量，而对于多个自由度而言，虚位移是一个矢量或者张量。
在应用虚位移法求解刚体结构平衡的过程中，首先需要构造虚功方程。
虚功方程基于能量的守恒原理，即虚功等于外力对虚位移所作的功。
由于刚体结构处于静力平衡状态，所以外力对虚位移的总功为零。
因此，可以得到虚功方程的一般形式：∑(F_i ·δu_i) = 0其中，F_i是作用在刚体结构上的外力，δu_i是虚位移对应的力的分量和刚体结构对应自由度的分量的乘积。
这个虚功方程表示了力和位移之间的关系。
利用虚功原理求解刚体结构的方法如下：1. 选择合适的刚体结构模型，确定结构的几何形状和材料特性，并建立数学模型。
2. 根据力学条件和平衡条件，将受力分析为内力和外力。
内力是由结构内部的应力分布引起的，外力是由外界施加的负载或约束引起的。
3. 选择合适的虚位移，通常虚位移只对部分自由度进行考虑，即与力的方向相对应的自由度。
4. 根据虚位置和力的关系，建立虚功方程。
5. 将虚功方程转化为力的平衡方程，并利用平衡方程求解结构的未知力。
虚功原理在静力学的分析中具有重要的应用价值。
它不仅可以用来求解刚体结构的平衡条件，还可以用来分析刚体结构的变形和应力分布情况。
利用虚位移法，可以将复杂的刚体结构问题简化为几个自由度的简单问题，提高了计算的效率和准确性。
动力学分析中的虚功原理和实功原理
动力学分析中的虚功原理和实功原理动力学是物理学中研究物体运动规律的一个重要分支。
在动力学分析中，虚功原理和实功原理是两个基本概念，它们在解决力学问题中起着重要的作用。
本文将探讨虚功原理和实功原理的定义、应用以及它们之间的关系。
一、虚功原理虚功原理是指在力学系统中，虚位移所做的功为零。
虚功原理是通过对力学系统的平衡条件进行推导得到的。
在虚功原理中，虚位移是指系统中各个质点发生的微小位移，该位移并不是真实的物体运动，而是为了推导问题方便而引入的。
虚功原理的应用广泛，特别是在静力学和弹性力学问题中。
例如，当我们研究一个物体受力平衡时，可以通过虚功原理来推导出物体所受的各个力的关系。
虚功原理还可以用于分析弹性体的变形和应力分布等问题。
二、实功原理实功原理是指在力学系统中，实位移所做的功等于外力对系统所做的功。
实功原理是基于能量守恒的原理推导出来的。
在实功原理中，实位移是指物体真实的位移，是由外力所引起的。
实功原理的应用也非常广泛。
例如，当我们研究一个物体在重力作用下的运动时，可以通过实功原理来计算物体所做的功。
实功原理还可以用于分析机械能的转化和损失等问题。
三、虚功原理与实功原理的关系虚功原理和实功原理在物理学中是相辅相成的。
虚功原理通过平衡条件来推导力学问题，而实功原理通过能量守恒来解决力学问题。
虚功原理和实功原理之间的关系可以通过以下几个方面来说明：1. 虚功原理是实功原理的基础。
虚功原理是通过对力学系统的平衡条件进行推导得到的，而实功原理是基于能量守恒的原理推导出来的。
虚功原理提供了实功原理所需要的平衡条件。
2. 虚功原理和实功原理可以相互验证。
在解决力学问题时，可以通过虚功原理和实功原理相互验证结果的正确性。
如果虚功原理和实功原理得到的结果相符，那么我们可以认为所得到的结论是正确的。
3. 虚功原理和实功原理可以相互补充。
在一些复杂的力学问题中，虚功原理和实功原理可以相互补充，帮助我们更好地理解和解决问题。
虚功原理概述
A
B
M d (M dM ) d
2
2
dx l
M
FS+dFS M
M+dM
d
d
FS
2
2
dx M+dM
dx
（受拉） 4
FRA
F1 F2 F3 F4 FRB
剪力虚功
A
FS
dλ 2
(FS
dFS
)
dλ 2
M
dx
l
d
FS+dFS 2
FS
d
dx M+dM 2
B
d 2dBiblioteka dx25（1） 该微段的外力虚功
M d (M dM ) d
给梁任一虚位移,荷载作用 A 点沿其作用方向的相应虚位移 （支座处没有虚位移）为
1, 2, 3, 4
F1 F2 F3 F4 FRB
B
1 2
3 4
l
外力虚功为
4
4
We Fiδi RA 0 RB 0 Fiδi
i 1
i 1
3
（2） 梁的内力虚功
FRA
F1 F2 F3 F4 FRB
弯矩虚功
Wi ldWi l(M dθ FS dλ)
梁的虚位移原理为
4
Fiδi
(
l
M
dθ
FS
dλ)
0
i 1
7
若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力FS, 还有轴力FN和扭矩T,则 杆的虚位移原理为
4
Fiδi l(M dθ FS dλ FNdδ Td )
i 1
（a）i 为 Fi 力作用点沿Fi方向的相应虚位移,d,d,d,d
1
刚体虚功原理
刚体虚功原理刚体虚功原理是力学中的一个重要概念，它在解决刚体平衡问题和运动问题中具有重要的应用价值。
虚功原理是指在刚体平衡或者运动过程中，外力对刚体所做的虚功为零。
虚功原理的提出，为解决复杂的刚体力学问题提供了一个简便而有效的方法。
首先，我们来看一下刚体的基本概念。
刚体是指在运动过程中，其内部各点的相对位置保持不变的物体。
刚体的运动可以分为平动和转动两种，而刚体的平衡状态是指刚体不发生平动和转动的状态。
刚体平衡问题是力学中的一个重要问题，而虚功原理正是用来解决这类问题的重要工具。
在刚体平衡问题中，通常需要考虑刚体受到的外力和外力对刚体所做的虚功。
虚功是指力在物体位移方向上所做的功，而虚功原理则要求在平衡状态下，外力对刚体所做的虚功为零。
利用虚功原理，我们可以建立平衡方程，从而求解刚体平衡时的未知量。
除了在刚体平衡问题中的应用外，虚功原理在刚体运动问题中也具有重要的意义。
在刚体运动问题中，外力对刚体所做的虚功同样为零，这也是虚功原理的基本要求。
通过虚功原理，我们可以建立刚体的运动方程，从而求解刚体的运动状态。
总的来说，刚体虚功原理是力学中的一个重要概念，它为解决刚体平衡问题和运动问题提供了一个简便而有效的方法。
通过虚功原理，我们可以建立平衡方程和运动方程，从而求解刚体的平衡状态和运动状态。
虚功原理的应用不仅可以帮助我们更好地理解刚体的力学性质，而且在工程实践中也具有重要的应用价值。
因此，掌握和理解刚体虚功原理对于学习力学和解决工程问题具有重要意义。
总之，刚体虚功原理是力学中的一个重要概念，它在解决刚体平衡问题和运动问题中具有重要的应用价值。
通过虚功原理，我们可以建立平衡方程和运动方程，从而求解刚体的平衡状态和运动状态。
掌握和理解刚体虚功原理对于学习力学和解决工程问题具有重要意义。
刚体虚功原理及其应用
3 、刚体虚功原理
原理：对于具有理想约束的刚体体系，体系所作用的 任意力系，在可能位移上受作的虚功总和为零，是刚体上 所受力系平衡的必要和充分条件。
可能位移：体系发生符合约束条件的无限小位移； 理想约束：约束反力在可能位移上所作的功恒等于零； “虚功”：任意力系与可能位移互不相干； 必要条件：任意力系为平衡力系 → 虚功总合为零； 充分条件：虚功总合为零 → 任意力系为平衡力系；
第三章 静定结构的受力分析
§3-8 刚体虚功原理及其应用
一、刚体虚功原理
1、刚体——在外界因素作用下，不产生变形的物体。
2、功的概念
功：力与位 移的点乘积;
F • S F S cos
FA
α
A S
实功：力在由自身引起的位移上所做的功称为“实功”；
虚功：力在与自身无关的位移上所做的功称为“虚功”。
一、静定结构组成
3、几何不变且无多余约束的必要条件——W=0
4、几何不变且无多余约束的充分条件——四个规则
5 、自由度(S)、多余约束(n)、计算自由度(W)与体系 的几何特征和静力特征 的关系
（1） 静定结构——S=0,n=0,W=0 （2） 超静定结构——S=0, n>0, W<0 （3） 静定可变体系——S>0,n=0, W >0 （4） 超静定可变体系——S>0,n>0, W 可正、可 负、可为零
一、静定结构组成 6、几何组成与平衡方程的关系 几何可变体系——平衡方程无解 有多余约束的几何不变体系——平衡方程无唯一解 几何不变且无多余约束体系——平衡方程有唯一解
二、静定结构的内力分析 1、截面法
（1）脱离体的选取原则； （2）脱离体可以是结点、杆件或杆件体系：
3.8 刚体体系的虚功原理
二、应用虚功原理求解静定结构的约束力
P A a X C B b P C B a b
单位支座位移法 p
A
X
x
将求约束力的问题转化为求机构平衡力的问题
4
应用虚功原理求静定结构的约束力Fx (支座反力或内力) ： 1）去掉Fx约束代以未知主动力，施加单位支座位移形成机构； 2）建立虚位移方程； 3）由位移几何关系解出未知力。
机构的平衡问题
关键：机构虚位移的几何关系
单位支座位移法，单位约束位移法，单位位移法
5
用虚位移原理求内力的问题
1）求截面C的弯矩 m
c
a b
内力：相互作用的约束力 2）求截面C的剪力 q
c
a b
l
l
m
a
Mc Mc
b
q
C
QC
a
QC
l
b
l
M c m 0
Qc a b q y dx 0
A
A
A
（a） N1
（b）N 2
（c） N1 N 2
N1 N2 0
P B A
N AB
P 2 P 2
N1 N2
N AB
10
（4）构造作等效变换的影响 当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分内力不变
P
A NAB A NAB B
11
B
作业：3-27(a, d)
12
P 3 3 b 3b cot X 2 2 2c 4c
（3）解方程求X
D
E
3c
y d
c
A
C
第三章--刚体体系的虚功原理
⑶ 求解时，确定位移之间的几何关系是得到力系之间的静力平衡关系 的关键。可见，用虚功原理求解问题的特点是采用几何方法来解静 力平衡问题。这种用虚功原理求解问题的方法叫虚功法。
§3-8 刚体体系的虚功原理
§3-8 刚体体系的虚功原理
§3-8 刚体体系的虚功原理
二．应用虚功原理求静定结构的约束力
应用虚功原理求静定结构某一约束力的方法： (1)撤除与X相应的约束使原来的静定结构变 成具有一个自由度的机构，使原来的约束力X 变成主动力X。 (2)把机构可能发生的刚体体系位移当作虚位 移，应用虚功原理可得：
上述解法又称单位支座位移法单位支座位移法其特点是采用几何方法来解静力平衡问38刚体体系的虚功原理38刚体体系的虚功原理38刚体体系的虚功原理38刚体体系的虚功原理38刚体体系的虚功原理38刚体体系的虚功原理
§3-8 刚体体系的虚功原理
进行结构静力分析的主要方法有两种：
◆选取隔离体建立平衡方程； ◆应用虚功原理，建立虚功方程。
X 1, P b a
这时虚功方程为： 归纳几点：
X 1 P P 0 X P P b a P
⑴ 虚功方程形式上是功的方程，实际上就是平衡方程。 ⑵ 虚位移是人为虚设的，为了方便，可以随意虚设 X 位移与实际力系是彼此独立无关的。 ·
1 ，显然，虚
上式在形式上是虚功方程，实质上是约束力X与荷载P之间的平衡方程。
上述解法又称单位支座位移法，其特点是采用几何方法来解静力平衡问 题。
§3-8 刚体体系的虚功原理
§3-8 刚体体系的虚功原理
§3-8 刚体体系的虚功原理
XX
P X
PP 0
b a
(3)求虚位移之间的几何关系。
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学习目的：
●虚功原理在结构力学中及工程中广泛采用； ●为下一章学习影响线打基础； ●为学习变形体虚功原理打基础； ●为计算超静定结构打基础打基础。
一、虚功的概念 功的两个要素：力、位移。 虚功：如果使力作功的位移不是由 该力引起，即作功的力与相应的位 移彼此独立，二者无因果关系，这 时力所作的功称为虚功。 关于虚功的两点说明： ✓同一体系可看成有两种彼此无关的状态：力状态、位移状态
X l P a
a X FP l
——虚单位位移法
求B点反力和E截面弯矩
1
3
2
4
注：位移状态中的刚体位移满足与约束几何相容条件
X 1 FP11 FP2 2 0
X 2FP
a
1a
2
注：位移状态中的刚体位移满足与约束几何相容条件
X 1 FP11 FP2 2 0
X 0
2. 虚力原理 （虚设力状态求未知位移）
✓在虚功中作功的力，可以是：集中力、力偶、支座反力
二、刚体体系的虚功原理
虚功原理的两个条件：
✓力状态中力系满足平衡条件 ✓位移状态中的刚体位移满足与约束几何相容条件
W 0 ——虚功方程 三、 虚功方程的两种应用 1. 虚位移原理 （虚设位移状态求未知力）
W XX FPP 0
X
FP
P X
由虚功原理得：
C
1-
cA
1 3
0
有
C
1 3 cA
支座移动时静定结构的位移计算
2) 求CD杆的转角 ，应在CD上加一个单位力偶荷载
由虚功原理得：
注意：
1-
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2l
cA
0
有
1 2l
cA
•虚加的单位荷载应当正好是拟求位移相应的单位荷载
•力偶矩作的功等于力偶矩与转角的乘积
例 静定梁AB，已知支 座A的位移c1，求B 。
解： ✓在拟求B 处设 置单位荷载
由平衡方程有
b FR1 a
✓由虚功原理得： 1＋c1FR1 0
即：
c1
FR1＝
b a
c1
——这就是虚力原理
——这种方法称为虚单位荷载
支座移动时静定结构的位移计算
采用虚功原理求 ：
1) 求C点竖向位移C ，应在C点加一个单位竖向荷载