结构力学影响线

为了简化，令δZ=1，上式变为： Z= - δP
•
由此可知，使δZ =1时的虚位移δP 图就代
表了Z 的影响线，但正负号相反。
• 正负号规定：Z的影响线向上为正。
•
如果位移图在横坐标轴上方， δP 为负值，
而影响线为正。
2、方法步骤
• （1）、撤去与Z相应的约束，代以未知量 X。
• （2）、使体系沿Z的正方向发生位移，作 出荷载作用点的竖向位移图（δP 图）。即Z影 响线的轮廓。
故：
dx x y yC d yE d
为 x 的一次式，由此可知在结点荷载作用下，MD的影响 线在CE段为一直线。
③ 一般性结论：
在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两 结点之间为一直线。
先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相 邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。
FP=1
A
C DE
A
x
FP=1
B
C
a
b
l
FQC
FP=1
δZ FQC
1
+
-
1
FQC I. L.
例：用机动法作多跨静定梁各量值影响线。
H
FP=1
A
D
E
B
2m 2m 2m 2m 2m
作 MA影响线
MA
δZ
K FC
2m 1m
6
-
6
MA影响线（m）
4
H
FP=1
A
D
E
B
2m 2m 2m 2m 2m
作 MF影响线
K FC
2m 1m
• 影响线的特点: • 横坐标 —— FP=1的位置。 • 纵坐标 —— 指定量值的大小。
A
B
CD
xFP1 d FP2
A
B
CD
FRA
FRB
x
FP=1
∑MB=0
FRA×l -FP×(l-x)=0 FRA l
FRA =(l-x)/l
1
y1 y2 FRA影响线
三、影响线的用途
•
(1)、当荷载位置确定时，求各量值。
②考虑FP=1在两相邻点C、E之间纵梁上的移动情况，
FP=1到C点的距离用 x 表示，主梁在C、D两点分别受向
下的荷载：
VC
dx d
,
VE
x d
x
C
dx d
FP=1
E
d
x
d
D
FP=1作用在点x时对主梁的影响可由叠加原理求得。
FP=1在C点时，MD=yC
FP=1在E点时，MD=yE
dx
x
FP=1在距C点为x时，主梁C点的荷载为 d ，D点为d
例：
FP=1
A
Ca K D
1
a
B FRA 影响线
1 FRB影响线
MK影响线
§5-5 机动法作影响线
• 1、原理：虚位移原理。
•
特点：把作反力或内力影响线的静力问
题转化为作位移图的几何问题。
• 举例说明：
D
x A
FP=1
B
E
δP
δZ
Z
D
x A
FP=1
δP
-
Z ·δZ + FP ·δP=0
∵ FP =1
FP1 FP2 FPn-1 FPn
a
O
y
y1 y2
yn-1 yn
某量值Z的影响线
当一组平行集中荷载作用于影响线的某一直 线段时，可用它们的合力来代替整个荷载组，而 不致改变所求量值的最后数值。
• 由 δZ=α+β，若使
α
β
• δZ=α+β=1 则所得
MC
到的虚位移图即为
MC的影响线。
ab/l
a 1+
MC I. L.
举例：
• 用机动法做FQC 的影响线。
• 根据虚位移原 理：
• FQC δZ+FP δP=0 • FQC= - δP / δx • 若使δZ=1 • 则所得到的虚
位移图即为FQC的 影响线。
b
l
FP=1
D
FE
e
f
d
l
x1 FP=1
FP=1 B
FQD F FRE
作FRE影响线。 作MF影响线。
x1
FP=1
FQD F FRE
B
1
+
FRE影响线
ef / l
+
MF影响线
§5-3 结点荷载作用下梁的影响线
荷载直接加于纵梁，纵梁是简支梁，两 端支在横梁上，横梁则由主梁支承；荷载通 过纵梁下面的横梁传到主梁。
FP=1 作用在C左: (0≤x＜a)
∑y=0 FQC= -FRB = - x /l
左直线 FP=1 作用在C右: (a＜x≤ l )
∑y=0 FQC= FRA=(l - x) /l
右直线
x FP=1
A
B
C
a
b
l
MC
FQC
FRB
MC FRAFQC
1
b/l +
a/l
1
FQC影响线
二、伸臂梁影响线 • 1、反力影响线
•
相应右伸臂？
5、伸臂段的剪力影响线
f D
A
FP=1
F
E B
d
l
e
x1 FP=1MF
FQF
1-
FQF影响线
•
请找规律： D — A，B — E 各截面剪力
影响线？
6、支座处剪力影响线FQA左、FQA右
D
A
FP=1
d FRA
l
E B FRB e
1d/l + 1 +
• 请考虑FQB左、FQB右的作法。
δZ 2
MF
1
-
+
2
1
1/2
MF影响线(m)
H
FP=1
A
D
E
B
2m 2m 2m 2m 2m
K FC
2m 1m
作 FRB影响线
δZ
FRB
3/2
+1 - 1/4
FRB影响线
H
FP=1
A
D
E
B
2m 2m 2m 2m 2m
作 FQH影响线 δZ
K FC
2m 1m
FQH
1+
FQH影响线
A 2m
H D
2m 2m
FP=1
E
B
2m 2m
作 FQB左影响线
K FC
2m 1m
FQB左
-
1 FQB左影响线
H
FP=1
A
D
E
B
2m 2m 2m 2m 2m
作 FQB右影响线
K FC
2m 1m
FQB右
1/2 1
+
+
1/4
-
FQB右影响线
§5-6 影响线的应用
• 影响线应用分两步: • 1、荷载位置确定时，利用影响线，求实
3、中间跨的剪力影响线
FP=1
D
A
C
a
b
d FRA
l
+1
d/l
FQC影响线
b/l
+ -
a/l
E B FRB e
e/l
1
-
• 仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的剪力影响线。
4、外伸段的弯矩影响线
f D
A
FP=1
F
E B
d
l
e
x1 FP=1MF FQF
f-
MF影响线
• 请找规律： MA 影响线？ MD 影响线？
载作用的简支梁完全样同相同。 3d/4
MC影响线
FP=1 A
C d/2 Dd/2 E
F
B
（3）结间任意截面D的弯矩影响线
① 首先考虑FP=1在主梁上移动，可作出MD的影响线 为一三角形。 FP=1在AC和EB之间移动时，结点荷载作 用下的MD的影响线与直接荷载作用下的MD的影响线完 全一样。在C和E点上的竖标 yC 和 yD 也完全一样。
2、活荷载作用下结构的计算问题
• （1）、找出活荷载作用下结构反应的特点 规律，其工具为“影响线”。
• （2）、求出指定的反力，截面内力的最大 值。确定某量值的最不利荷载位置。
• （3）、寻找全结构的最大内力。
二、影响线的概念
• 影响线的定义：当一个方向不变的单位荷 载沿一结构移动时，表示某指定截面的某一 量值变化规律的函数图形，称为该量值的影 响线。
第五章
影响线
§5-1 移动荷载和影响线概念
• 一、活荷载及活荷载对结构的影响
•
1、活荷载
•
荷载按作用位置特点分为恒荷载和活荷载。
荷载 恒荷载
活荷载
特点
大小、方向、作用 位置不变的荷载
大小、方向不变，位置 移（可）动的荷载
对结构的影响
反力、内力、位移 确定不变
反力、内力、位 移等量值随荷载 位置移动而变化
按 Z/FP 定 x FP=1
a
b
ab/l
+
MC I.L.
四、用静力法求多跨静定梁影响线
A
FP=1
C
B
D
E
a
b
l
d
l
• 1、基本部分上的反力、内力影响线 解: 若FP=1作用在基本部分，同外伸梁。 若
FP=1作用在附属部分，则应先求出D截面剪力 影响线。
A
FP=1
C
B
a
b
l
d
作FRA影响线。
FRA
• 注：
•
1、大小、方向不变，仅作用位置变化的荷
载称为移动荷载（如：车辆、吊车荷载等）。
•
时有时无，可任意分布的荷载称为可动荷
载（如：人群、货物、不固定设备等）。
• 2、反力、内力、位移等量值随荷载位置移 动而变化。在此，不仅不同截面各量值随荷载 位置变化的规律不同；而且，同一截面的不同 量值，变化规律也不同。
B
1+
D
E
l x1 FP=1
FQD
-
FR AI. L.
d/l
A
FP=1
C
B
a
b
l
d
作FQD影响线。
D
E
l x1 FP=1
FQD
B
1 +
FQD I. L.
A
FP=1
C
B
a
b
l
d
ab/l
+
D
E
l
MC I. L.
-
ad/l
1+d/l 1
+
FRB I. L.
• 2、附属部分上的反力、内力影响线
A
C
B
a
2、分布荷载 (均布荷载)
• 微段上的荷
A
Hale Waihona Puke Baidu
载 qdx 可视为分
布的小集中荷载。
E
• Z=∫ y ·q dx D
•= q∫ yDE dx
• = q A0
( 5-5 )
q qdx B
C
D x
E dx
b/l
+ -
a/l
dA
-
FQC影响线
A0 — 影响线在均布荷载范围内的面积。 （ 注意有正负面积之分）
3 、用合力求影响量值 F
•
(2)、当荷载位置变动时，确定最不利荷
载位置。
§5-2 用静力法作简支梁影响线
• 一、简支梁的影响线
•
1、支座反力影响线
•
梁的反力向上为正，取梁的左端为坐标
原点，令 x 为FP=1至原点A的距离。
x A
FP=1
l FRA
由力的平衡条件： B ∑MB=0
FRA=FP(l-x)/l=(l-x)/l FRB
结点荷载：荷载作用在与计算结构相连接 的构件上。
FP=1
横梁 纵梁
A
CdE
F 主梁 B
l=4d
FP=1 A
C
E
F
B
结点荷载作用下主梁反力、内力的影响线
（1）支座反力FRA 、 FRB影响线，与受直接荷载作 用的简支梁完全样同相同。
1
FRA影响线 1
FRB影响线
FP=1 A
C
E
F
B
（2）结点处截面弯矩MC、ME 等影响线与受直接荷
际荷载对该量值的影响。 • 2、荷载位置变化时，利用影响线，研究
该量值的变化规律，找最不利荷载位置。
一、求各种荷载作用下的影响
• 1、集中荷载组
A FP1 FP2
• (位置一定) 求FQC
C
a
b
l
FP3 FP4 B e
影响线相应于各荷载作用 点的竖标分别为：
y1 、y2、 y3、 y4。
由此：
y1b/l
Z P Z
B
E
δZ
Z 1
+
( 5-1 ) ( 5-2)
Z
(x)
(
1
Z
)
P
(x)
( 5-3 )
δZ ——力Z作用点沿其方向的位移，大小与Z 无关，在给定虚位移的情况下，是不变的。方向
与Z一致为正。
δP —— 与力FP =1相应的位移，荷载FP =1移 动时，随FP =1的位置不同而变化。δP 向下为正。
F
B
d/2 d/2
l=4d
直接荷载 5d/8
15d/16 结点荷载 3d/4
MD影响线
（4）结间剪力影响线 FQCE 的影响线 在结点荷载的作用下主梁CE两点之间无外力，因此
主梁CD一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力。
FP=1 A
C
E
F
B
x FP=1
C
E
dx d
x
d
d
1/2 1
1/4
FQCE 的影响线 1
FQA左影响线
FQA右影响线
三、内力影响线与内力图的比较
内力图（M图）
荷 载 位置任意的固定荷载 横坐标 截面位置 竖坐标 相应截面的M值 单 位 内力实际单位
图形 表示
FP FP l/3 l/3 l/3
M图 FP l/3
影响线（MC I.L.）
位置移动的FP=1 荷载FP=1的位置
C截面的弯矩值
+ y2
FQC影响线
y3
y4
- a/l
-
4
FQC= FP1 y1+ FP2 y2+ FP3 y3+ FP4 y4=∑FPi yi
i=1
n
Z= FP1 y1+ FP2 y2+ ······+ FPn yn=∑FPi yi i=1
(5-4) • yi —— 与FPi相应的影响线竖标，带正负号。 • FPi —— 集中荷载值，指向下为正。 • n —— 位于影响线范围内的集中荷载总数。
FP=1 作用在C左: (0≤x≤a)
∑MC=0 MC= FRB·b=x·b/l
左直线 FP=1 作用在C右: (a≤x≤ l)
∑MC=0 MC= FRA·a=(l-x)·a /l
右直线
x FP=1
A
B
C
a
b
l
MC
FQC
FRB
MC FQC
FRA
a·b/l
+
MC影响线
3、剪力影响线
• 正负号规定：同材力。
• （3）、令δZ=1，可定出影响线各竖标的数 值。
• （4）、横坐标以上的图形为正，横坐标以 下的图形为负。
举例：
• 用机动法做MC A 的影响线。
x C
FP=1 B
• 根据虚位移原理：
a
b
• MC (α+β)+FP δP=0 • MC= - δP / (α+β) δx a
l δZ=α+β FP=1
FP=1
D
A
E
C
a
b
d FRA
l
B FRB e
1
1+d /l
+
- e /l
-
d/l
FRA影响线 + 1 1+e/l
FRB影响线
2、中间跨的弯矩影响线
FP=1
D
A
C
a
b
d FRA
l
E B FRB e
MC影响线 a
a·b/l
+
b
-
-
b·d/l
a·e/l
• 仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的弯矩影响线。
• 伸臂段上,只要简支梁的线段延长即可.
FRA影响线:
A
FRA=(l-x)/l
x=0, FRA= 1
FRA
x=l, FRA=0
1
FRB影响线:
∑MA=0
FRB=FP x /l= x /l
x=0 , FRB=0 x= l , FRB= 1
x
FP=1
B
l FRB
(l-x)/l +
FRA影响线
x/l
+1
FRB影响线
2、弯矩影响线
正负号规定：使梁 下部纤维受拉的弯矩 为正。