甘肃省天水市高二数学寒假作业 21模块质量检测(A) 理 新人教A版
人教A版数学高二选修2-1模块综合检测
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“∃x 0∈R,2x 0-3>1”的否定是( ) A .∃x 0∈R,2x 0-3≤1 B .∀x ∈R,2x -3>1 C .∀x ∈R,2x -3≤1D .∃x 0∈R,2x 0-3>1解析:选C 由特称命题的否定的定义即知.2.命题p :若a·b >0,则a 与b 的夹角为锐角;命题q :若函数f (x )在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f (x )在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( )A .“p 或q ”是真命题B .“p 或q ”是假命题C .綈p 为假命题D .綈q 为假命题解析:选B ∵当a·b >0时,a 与b 的夹角为锐角或零度角,∴命题p 是假命题;命题q 是假命题,例如f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x ≤0,-x +2,x >0,综上可知,“p 或q ”是假命题,选B .3.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( ) A .18B .-18C .8D .-8解析:选B 由y =ax 2得x 2=1a y , ∴1a =-8, ∴a =-18.4.下列说法中正确的是( )A .一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B .“a >b ”与“a +c >b +c ”不等价C .“a 2+b 2=0,则a ,b 全为0”的逆否命题是“若a ,b 全不为0,则a 2+b 2≠0”D .一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真解析:选D 否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性,故选D . 5.已知空间向量a =(1,n,2),b =(-2,1,2),若2a -b 与b 垂直,则|a |等于( ) A .5 32B .212C .372D .3 52解析:选D 由已知可得2a -b =(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n -1,2). 又∵(2a -b )⊥b ,∴-8+2n -1+4=0. ∴2n =5,n =52.∴|a |=1+4+254=3 52.6.下列结论中,正确的为( )①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件; ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件; ③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件; ④“綈p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件. A .①② B .①③ C .②④D .③④解析:选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真,故①正确,由綈p 为假⇒p 为真⇒p ∨q 为真,故③正确.7.双曲线x 2m -y 2n =1(mn ≠0)的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合,则mn 的值为( )A .316B .38C .163D .83解析:选A 抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0), 故双曲线x 2m -y 2n =1中,m >0,n >0且m +n =c 2=1.① 又双曲线的离心率e =c m = m +nm =2,②联立方程①②,解得⎩⎨⎧m =14,n =34.故mn =316. 8.若直线y =2x 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( )A .(1,5)B .(5,+∞)C .(1, 5 ]D .[5,+∞)解析:选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y =b a x .由条件知,应有ba >2,故e =ca =a 2+b 2a =1+⎝⎛⎭⎫b a 2>5.9.已知F 1(-3,0),F 2(3,0)是椭圆x 2m +y 2n =1的两个焦点,点P 在椭圆上,∠F 1PF 2=α.当α=2π3时,△F 1PF 2面积最大,则m +n 的值是( )A .41B .15C .9D .1解析:选B 由S △F 1PF 2=12|F 1F 2|·y P =3y P ,知P 为短轴端点时,△F 1PF 2面积最大. 此时∠F 1PF 2=2π3,得a =m =2 3,b =n =3,故m +n =15.10.正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直,则二面角A -BD -C 的正弦值为( ) A .55B .33C .255D .63解析:选C 取BC 中点O ,连接AO ,DO .建立如图所示坐标系,设BC =1, 则A ⎝⎛⎭⎫0,0,32,B ⎝⎛⎭⎫0,-12,0, D⎝⎛⎭⎫32,0,0.∴OA =⎝⎛⎭⎫0,0,32,BA =⎝⎛⎭⎫0,12,32,BD =⎝⎛⎭⎫32,12,0.由于OA =⎝⎛⎭⎫0,0,32为平面BCD 的一个法向量,可进一步求出平面ABD 的一个法向量n =(1,-3,1),∴cos 〈n ,OA 〉=55,∴sin 〈n ,OA 〉=255. 11.若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,则双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为( )A .54B .52C .32D .54解析:选B 因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e 1=32,所以1-b 2a 2=e 21=34,即b 2a 2=14,而在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1中,设离心率为e 2,则e 22=1+b 2a 2=1+14=54,所以e 2=52. 12.已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1,F 2,点A 在C 上.若|F 1A |=2|F 2A |,则cos ∠AF 2F 1=( )A .14B .13C .24D .23解析:选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |-|F 2A |=2a ,|F 1A |=2|F 2A |,解得|F 2A |=2a ,|F 1A |=4a ,又由已知可得ca =2,所以c =2a ,即|F 1F 2|=4a , ∴cos ∠AF 2F 1=|F 2A |2+|F 1F 2|2-|F 1A |22|F 2A |·|F 1F 2|=4a 2+16a 2-16a 22×2a ×4a=14.故选A .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.在平面直角坐标系xOy 中,若定点A (1,2)与动点P (x ,y )满足OP ―→·OA ―→=4,则动点P 的轨迹方程是________.解析:由OP ·OA =4得x ×1+y ×2=4,因此所求动点P 的轨迹方程为x +2y -4=0.答案:x +2y -4=014.命题“∃x 0∈R,2x 20-3ax 0+9<0”为假命题,则实数a 的取值范围是________.解析:∵∃x 0∈R,2x 20-3ax 0+9<0为假命题, ∴∀x ∈R,2x 2-3ax +9≥0为真命题, ∴Δ=9a 2-4×2×9≤0,即a 2≤8, ∴-22≤a ≤22. 答案:[-22,2 2 ]15.过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点作圆x 2+y 2=a 2的两条切线,切点分别为A ,B .若∠AOB =120°(O 是坐标原点),则双曲线C 的离心率为________.解析:由题意,如图,在Rt △AOF 中,∠AFO =30°,AO =a ,OF =c ,∴sin 30°=OA OF =a c =12.∴e =ca =2. 答案:216.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,CD 的中点,则EF 与平面CDD 1C 1所成角的正弦值为________.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则E (2,0,1),F (1,2,0), ∴EF =(-1,2,-1).又平面CDD 1C 1的一个法向量为OD =(0,2,0),cos 〈EF ,OD 〉=4 6×2=63,故所求角的正弦值为63. 答案:63三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知命题p :方程x 22+y 2m =1表示焦点在y 轴上的椭圆;命题q :∀x ∈R,4x 2-4mx +4m -3≥0.若(綈p )∧q 为真,求m 的取值范围.解:p 真时,m >2.q 真时,4x 2-4mx +4m -3≥0在R 上恒成立. Δ=16m 2-16(4m -3)≤0,解得1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真,∴p 假,q 真.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2,1≤m ≤3,即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2].18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1,AC =AA 1= 3,∠ABC =60°.(1)证明:AB ⊥A 1C ;(2)求二面角A -A 1C -B 的正切值大小.解:法一:(1)证明:∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱, ∴AB ⊥AA 1.在△ABC 中,AB =1,AC = 3,∠ABC =60°. 由正弦定理得∠ACB =30°,∴∠BAC =90°,即AB ⊥AC ,∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1,∴AB ⊥A 1C .(2)如图,作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点,连接BD . ∵AB ⊥A 1C ,AD ∩AB =A , ∴A 1C ⊥平面ABD , ∴BD ⊥A 1C ,∴∠ADB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 在Rt △AA 1C 中,AD =AA 1·AC A 1C =3× 36=62.在Rt △BAD 中,tan ∠ADB =AB AD =63,∴二面角A -A 1C -B 的正切值为63. 法二:(1)证明:∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱, ∴AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC . 在△ABC 中,AB =1,AC = 3,∠ABC =60°. 由正弦定理得∠ACB =30°, ∴∠BAC =90°,即AB ⊥AC .如图,建立空间直角坐标系, 则A (0,0,0),B (1,0,0),C (0,3,0),A 1(0,0,3), ∴AB =(1,0,0),A C 1=(0,3,-3).∵AB ·A C 1=1×0+0×3+0×(- 3)=0, ∴AB ⊥A 1C .(2)取m =AB =(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量.由(1)知:BC =(-1,3,0),设平面A 1BC 的法向量n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC =0,n ·A C 1=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧-x +3y =0,3y -3z =0,∴x =3y ,y =z .令y =1,则n =(3,1,1), ∴cos 〈m ,n 〉=m ·n|m |·|n |=3×1+1×0+1×032+12+12·12+02+02=155, ∴sin 〈m ,n 〉= 1-⎝⎛⎭⎫1552=105,∴tan 〈m ,n 〉=63. ∴二面角A -A 1C -B 的正切值为63.19.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,AC =BC =BD =2AE ,M 是AB 的中点,建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题:(1)求证:CM ⊥EM ;(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小.解:(1)证明:分别以CB ,CA 所在直线为x ,y 轴,过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AE =a ,则M (a ,-a,0),E (0,-2a ,a ),D (2a,0,2a ), 所以CM =(a ,-a,0),EM =(a ,a ,-a ),所以CM ·EM =a ×a +(-a )×a +0×(-a )=0, 所以CM ⊥EM .(2) CE =(0,-2a ,a ),CD =(2a,0,2a ), 设平面CDE 的法向量n =(x ,y ,z ),则有⎩⎪⎨⎪⎧ -2ay +az =0,2ax +2az =0,即⎩⎪⎨⎪⎧z =2y ,x =-z ,令y =1,则n =(-2,1,2), cos 〈CM ,n 〉=CM ·n| CM ||n |=a ×(-2)+(-a )×1+0×22a ×3=-22,所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20.(本小题满分12分)已知点P 是圆O :x 2+y 2=9上的任意一点,过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足DQ =23DP .(1)求动点Q 的轨迹方程;(2)已知点E (1,1),在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ,N ,使OE =12(OM +ON )(O 是坐标原点),若存在,求出直线MN 的方程,若不存在,请说明理由.解:(1)设P (x 0,y 0),Q (x ,y ),依题意,得点D 的坐标为D (x 0,0),DQ =(x -x 0,y ),DP =(0,y 0),又DQ =23DP ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -x 0=0,y =23y 0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x ,y 0=32y , ∵点P 在圆O 上,故x 20+y 20=9,∴x 29+y 24=1, ∴动点Q 的轨迹方程为x 29+y 24=1.(2)假设椭圆x 29+y 24=1上存在不重合的两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)满足OE =12(OM +ON ),则E (1,1)是线段MN 的中点,且有⎩⎨⎧x 1+x22=1,y 1+y22=1,即⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, 又M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)在椭圆x 29+y 24=1上,∴⎩⎨⎧x 219+y 214=1,x 229+y224=1,两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)9+(y 1-y 2)(y 1+y 2)4=0,∴k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-49,∴直线MN 的方程为4x +9y -13=0,∴椭圆上存在点M ,N 满足OE =12(OM +ON ),此时直线MN 的方程为4x +9y -13=0.21.(本小题满分12分)如图,已知点E (m ,0)为抛物线y 2=4x 内的一个定点,过E 作斜率分别为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线于点A ,B ,C ,D ,且M ,N 分别是线段AB ,CD 的中点.(1)若m =1,k 1k 2=-1,求△EMN 面积的最小值; (2)若k 1+k 2=1,求证:直线MN 过定点. 解:(1)当m =1时,E 为抛物线y 2=4x 的焦点. ∵k 1k 2=-1,∴AB ⊥CD .由题意,知直线AB 的方程为y =k 1(x -1), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k 1(x -1),y 2=4x ,得k 1y 2-4y -4k 1=0, ∴y 1+y 2=4k 1,y 1y 2=-4.又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1+x 22,y 1+y 22, ∴M ⎝⎛⎭⎫2k 21+1,2k 1. 同理点N (2k 21+1,-2k 1). ∴S △EMN =12|EM |·|EN |=12⎝⎛⎭⎫2k 212+⎝⎛⎭⎫2k 12·(2k 21)2+(-2k 1)2=2 k 21+1k 21+2≥22+2=4,当且仅当k 21=1k 21,即k 1=±1时等号成立, ∴△EMN 面积的最小值为4.(2)证明:由题意,得直线AB 的方程为y =k 1(x -m ),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k 1(x -m ),y 2=4x ,得k 1y 2-4y -4k 1m =0, ∴y 1+y 2=4k 1,y 1y 2=-4m .又线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 1+x 22,y 1+y 22, ∴M ⎝⎛⎭⎫2k21+m ,2k 1. 同理点N ⎝⎛⎭⎫2k 22+m ,2k 2. ∴k MN =y M -y N x M -x N =k 1k 2k 1+k 2=k 1k 2,∴直线MN :y -2k 1=k 1k 2⎣⎡⎦⎤x -⎝⎛⎭⎫2k 21+m , 即y =k 1k 2(x -m )+2, ∴直线MN 恒过定点(m,2).22.(本小题满分12分)如图,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),A (2,0)是长轴的一个端点,弦BC 过椭圆的中心O ,且AC ·BC =0,|OC -OB |=2|BC -BA |. (1)求椭圆的标准方程;(2)设P ,Q 为椭圆上异于A ,B 且不重合的两点,若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴,则是否存在实数λ,使得PQ =λAB ?若存在,求出λ的最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵AC ·BC =0,∴AC ⊥BC ,∠ACB =90°.又|OC -OB |=2|BC -BA |,即|BC |=2|AC |, ∴|OC |=|AC |,∴△AOC 是等腰直角三角形. ∵A (2,0),∴C (1,1). 又点C 在椭圆上,a =2, ∴1a 2+1b 2=1,∴b 2=43, ∴所求椭圆的标准方程为x 24+y 243=1.(2)对于椭圆上两点P ,Q ,∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴, ∴PC 与CQ 所在直线关于直线x =1对称.高中数学-打印版精心校对完整版 设k PC =k (k ≠0且k ≠±1),则k C Q =-k , 则直线PC 的方程为y -1=k (x -1)⇒y =k (x -1)+1,①直线CQ 的方程为y -1=-k (x -1)⇒y =-k (x -1)+1,②将①代入x 24+3y 24=1, 得(1+3k 2)x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0.③ ∵C (1,1)在椭圆上,∴x =1是方程③的一个根,∴x P =3k 2-6k -11+3k 2, 以-k 替换k ,得到x Q =3k 2+6k -13k 2+1. k PQ =y P -y Q x P -x Q =k (x P +x Q )-2k x P -x Q =k ·6k 2-21+3k 2-2k -12k 1+3k 2=-4k 1+3k 2-12k 1+3k 2=13. 而k AB =13,∴k PQ =k AB ,∴PQ ∥AB , ∴存在实数λ,使得PQ =λAB .又|PQ |=(x P -x Q )2+(y P -y Q )2 =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12k 1+3k 22+⎝ ⎛⎭⎪⎫-4k 1+3k 22 =160k 2(1+3k 2)2=1609k 2+1k2+6≤2303, 当且仅当9k 2=1k 2,即k 2=13,k =±33时取等号. 又|AB |=10,∴λmax =230310=233.。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案: 一元二次方程 ax2+ bx+ c=0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分,共 20 分 )
7.指出下列命题的条件 p 和结论 q: (1) 若 x+ y 是有理数,则 x, y 都是有理数;
(2) 如果一个函数的图象是一条直线,那么这个函数为一次函数.
1
1
∴ a+1≥1且 a≤ 2,即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0, 2 .
4 8.求证: 0≤ a< 是不等式
ax2- ax+1- a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件.
5
4 证明: 充分性:∵ 0<a< ,
5 ∴ Δ=a2- 4a(1 -a) = 5a2- 4a= a(5 a-4)<0 , 则 ax2- ax+ 1- a>0 对一切实数 x 都成立. 而当 a= 0 时,不等式 ax2-ax+ 1- a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件.
尖子生题库 ☆☆☆ 9. (10 分 ) 已知条件 p: A= { x|2 a≤ x≤ a2+ 1} ,条件 q: B={ x| x2- 3( a+ 1) x+2(3 a+ 1) ≤0} .若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 解析: 先化简 B, B= { x|( x- 2)[ x- (3 a+1)] ≤0} ,
答案: (1)(2)(3)
x 6.设集合 A= x| x-1<0 ,B= { x|0< x<3} ,那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件.
x
解析:
A=
x|
<0 x- 1
甘肃省天水市高二数学寒假作业 不等式质量检测题 文 新人教A版
(时间90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式(x +3)2<1的解集是( )A .{x |x >-2}B .{x |x <-4}C .{x |-4<x <-2}D .{x |-4≤x ≤-2} 2.已知t =a +2b ,s =a +b 2+1,则t 和s 的大小关系正确的是( )A .t >sB .t ≥sC .t <sD .t ≤s 3.当x ∈R 时,不等式kx 2-kx +1>0恒成立,则k 的取值范围是( )A .(0,+∞)B .[0,+∞)C .[0,4)D .(0,4) 4.设A ={x |x 2-2x -3>0},B ={x |x 2+ax +b ≤0},若A ∪B =R ,A ∩B =(3,4],则a +b 等于( )A .7B .-1C .1D .-75.已知a ,b ,c 满足a +b >0,ab >0,且ac <0,则下列选项中一定成立的是( )A .ab >acB .c (b -a )<0C .cb 2>ab 2D .c (b -a )>0 6.满足不等式y 2-x 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是( )7.已知x ,y 为正实数,且x +4y =1,则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.116 D.1328.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x -y +2≥0,x -5y +10≤0,x +y -8≤0,则目标函数z =3x -4y 的最大值和最小值分别为( )A .3,-11B .-3,-11C .11,-3D .11,39.若a >1,则a +1a -1的最小值是( ) A .0B .2 C.2a a -1 D .310.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -11≥0,3x -y +3≥0,5x -3y +9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y =a x的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是( )A .(1,3]B .[2,3]C .(1,2]D .[3,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.已知-1<x +y <4且2<x -y <3,则z =2x -3y 的取值范围是________.(答案用区间表示)12.已知点P (x ,y )满足条件{ x ≥0y ≤x 2x +y +k ≤0(k 为常数),若x +3y 的最大值为8,则k =________.13.已知不等式ax x -1<1的解集为{x |x <1或x >2},则a =______. 14.若1a <1b<0,已知下列不等式: ①a +b <ab ;②|a |>|b |;③a <b ;④b a +a b >2;⑤a 2>b 2;⑥2a >2b.其中正确的不等式的序号为________.三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)不等式(m 2-2m -3)x 2-(m -3)x -1<0对一切x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围.16.(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400 km 处的灾区.为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202km ,问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时?17.(本小题满分12分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?18.(本小题满分14分)解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0.。
甘肃省天水市2020高二数学寒假作业 圆锥曲线与方程质量检测 理 新人教A版.doc
圆锥曲线与方程质量检测(考试时间90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.以x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216+y 212=1 B.x 212+y 216=1 C.x 216+y 24=1 D.x 24+y 216=1 2.设P 是椭圆x 2169+y 2144=1上一点,F 1、F 2是椭圆的焦点,若|PF 1|等于4,则|PF 2|等于( )A .22B .21C .20D .133.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22,0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52,0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62,0 D .(3,0)4.若抛物线x 2=2py 的焦点与椭圆x 23+y 24=1的下焦点重合,则p 的值为( )A .4B .2C .-4D .-25.若k ∈R ,则k >3是方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件6.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A .(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,17.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,B 两点,则cos ∠AFB =( )A.45B.35 C .-35D .-458.F 1、F 2是椭圆x 29+y 27=1的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠AF 1F 2=45°,则△AF 1F 2的面积为( )A .7 B.72 C.74D.7529.已知点M (-3,0)、N (3,0)、B (1,0),动圆C 与直线MN 切于点B ,过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ,则P 点的轨迹方程为( )A .x 2-y 28=1(x >1)B .x 2-y 28=1(x <-1)C .x 2+y 28=1(x >0)D .x 2-y 210=1(x >1)10.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C .2D .3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.若双曲线的渐近线方程为y =±13x ,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的标准方程是________.12.若过椭圆x 216+y 24=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是________.13.如图,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为3的正三角形,则b 2的值是________.14.已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则y 21+y 22的最小值是________.三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1共焦点,它们的离心率之和为145,求双曲线方程.16.(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =32.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆的方程.17.(本小题满分12分)设λ>0,点A 的坐标为(1,1),点B 在抛物线y =x 2上运动,点Q 满足BQ →=λQA →,经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ,点P 满足QM →=λMP →,求点P 的轨迹方程.18.(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ,焦点是F 1(-3,0)、F 2(3,0),点F 1到直线x =-a 23的距离为33,过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,使得|F 2B |=3|F 2A |.(1)求椭圆的方程; (2)求直线l 的方程.空间向量与立体几何质量检测 (考试时间90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设a =(x,2y,3),b =(1,1,6),且a ∥b ,则x +y 等于( ) A.12 B.34 C.32D .22.若a =(0,1,-1),b =(1,1,0),且(a +λb )⊥a ,则实数λ的值是( ) A .-1 B .0 C .1D .-23.若向量(1,0,z )与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为25,则z 等于( ) A .0 B .1 C .-1D .24.若a =e 1+e 2+e 3,b =e 1-e 2-e 3,c =e 1-e 2,d =3e 1+2e 2+e 3({e 1,e 2,e 3}为空间的一个基底),且d =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 分别为( )A.52,32,-1 B.52,12,1 C .-52,12,1D.52,-12,1 5.若直线l 的方向向量为a =(1,-1,2),平面α的法向量为u =(-2,2,-4),则( ) A .l ∥αB .l ⊥αC .l ⊂αD .l 与α斜交6.在平行六面休ABCD -A ′B ′C ′D ′中,若AC ′→=xAB →+2yBC →+3zC ′C →,则x +y +z 等于( )A .1 B.76 C.56D.237.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,E 为AA 1的中点,则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.358.已知空间四个点A (1,1,1),B (-4,0,2),C (-3,-1,0),D (-1,0,4),则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A .60°B .45°C .30°D .90°9.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.13 C.32D.3310.如右图所示,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点,G 为棱A 1B 1上的一点,且A 1G =λ(0≤λ≤1),则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22C.23D.55二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.若a =(2,-3,5),b =(-3,1,-4),则|a -2b |=________.12.设a =(2,-3,1),b =(-1,-2,5),d =(1,2,-7),c ⊥a ,c ⊥b ,且c ·d =10,则c =________.13.直角△ABC 的两条直角边BC =3,AC =4,PC ⊥平面ABC ,PC =95,则点P 到斜边AB的距离是________.14.平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,AA 1=2,AD =1,且AB ,AD ,AA 1的夹角都是60°,则AC 1→·BD 1→=________.三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)如图所示,已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是平行六面体. (1)化简12AA 1→+BC →+23AB →,并在图上标出结果;(2)设M 是底面ABCD 的中心,N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点,设MN →=αAB →+βAD →+γAA 1→,试求α、β、γ的值.16.(本小题满分12分)如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,PA =AB =2,BC =4.求点B 到平面PCD 的距离.17.(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.18.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.(1)求证:CD=C1D;(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;(3)求点C到平面B1DP的距离.。
甘肃省天水市第二中学2012-2013学年高二数学(文)寒假作业:选修1-1模块综合质量检测(A)
x
2
=
1
的离心率
e∈
5m
6 2
,
2 ,若命题
p、 q 中有且只有一个为真命题,求实数
m 的取值范围.
18. (本小题满分 12 分 )已知 x= 3 是函数 f(x)= aln(1 + x)+ x2- 10x 的一个极值点. (1)求 a; (2)求函数 f(x)的单调区间.
x2 19. (本小题满分 12 分 )抛物线 y=- 2 与过点 M(0 ,- 1)的直线 l 相交于 A, B 两点, O 为坐标 原点,若直线 OA 和 OB 的斜率之和为 1,求直线 l 的方程.
f
(x)
=
2 3x +
1 2
,
h(
x)=
x.
(1)设函数 F (x)= 18f(x)- x2[h(x)] 2,求 F (x)的单调区间与极值;
3
3
(2)设 a∈R ,解关于 x 的方程 lg 2f x- 1 - 4 = 2lgh(a- x)- 2lgh(4 - x).
2
2
16.椭圆
x +y =1 m4
的焦距为
2,则 m 的值等于 ________ .
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
)
2
2
17. (本小题满分
12 分 )已知命题
p:
2xm+
y 9-
= m
1
表示焦点在
y 轴上的椭圆,命题
q :双曲线
y2-
A.必要不充分条件
B .充分不必要条件
C.充要条件
D .既不充分也不必要条件
4.曲线 f(x)= x3+ x- 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y= 4x- 1,则点 P0 的坐标为 (
高中数学人教A版选修2-1高二寒假数学作业(1)(理)
高中数学学习材料 (灿若寒星 精心整理制作)寒 假 作 业 一(理)一、选择题:1.命题“若A B =,则sin sin A B =”的逆否命题是( ) A .若sin sin A B ≠,则A B ≠ B .若sin sin A B =,则A B = C .若A B =,则sin sin A B ≠D .若A B ≠,则sin sin A B ≠2、对抛物线24y x =,下列描述正确的是( )A 、开口向上,焦点为(0,1)B 、开口向上,焦点为1(0,)16 C 、开口向右,焦点为(1,0)D 、开口向右,焦点为1(0,)163. “直线l 与平面α内无数条直线都平行”是“直线l 与平面α平行”的( ) A .充要条件 B .充分非必要条件 C .必要非充分条件 D .既非充分又非必要条件4.以下四组向量中,互相平行的有( )组.(1)(1,2,1)a =-,(1,2,1)b =--; (2)(8,4,0)a =,(2,1,0)b =; (3)(1,0,1)a =-,(3,0,3)b =-; (4)4(,1,1)3a =--,(4,3,3)b =- A .1B .2C .3D .45.命题“对任意的x ∈R ,都有2240x x -+≤”的否定为( )A.存在x ∈R ,使2240x x -+≥B.对任意的x ∈R ,都有2240x x -+>C.存在x ∈R ,使2240x x -+>D.存在x ∉R ,使2240x x -+>6. 已知两定点1(5,0)F ,2(5,0)F -,曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为( )A.221916x y -=B.221169x y -=C.2212536x y -=D. 2212536y x -= 7.设M 是椭圆2212516x y +=上的一点,12,F F 为焦点,且126F MF π∠=,则12MF F ∆ 的面积为A 、1633B 、16(23)+C 、16(23)-D 、168. 设F 1、F 2为椭圆13422=+y x 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点,当四边形PF 1QF 2面积最大时,21PF PF ⋅的值等于( )A .0B .1C .2D .49、设点P 是以21,F F 为左、右焦点的双曲线)0,0(12222>>=-b a bya x 左支上一点,且满足32tan ,01221=∠=∙F PF PF PF ,则此双曲线的离心率为( )A .3B .213C .5D .13 10.椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)的离心率是21,则a b 312+的最小值为( )A .33 B .1 C .332 D .2 二、填空题:11. 焦点在y 轴上,虚轴长为8,焦距为10的双曲线的标准方程是 ;12. 过椭圆x 23+y 2=1的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点,则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成的△2ABF 的周长为 .13. 已知向量(0,1,1)a =-,(4,1,0)b =,||29a b λ+=且0λ>,则λ= ____ 14.若点P 到点)0,4(F 的距离比它到直线05=+x 的距离少1,则动点P 的轨迹方程是 15. 直线y x =被曲线2222x y +=截得的弦长为 ;三、解答题:16.已知椭圆的顶点与双曲线221412y x -=的焦点重合,它们的离心率之和为135,若椭圆的焦点在x 轴上,求椭圆的方程.17. 如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111C B A ABC -,底面ABC ∆中 090,1=∠==BCA CB CA ,棱21=AA ,N M 、分别为A AB A 111、的中点.(1)求11,cos CB BA <>的值;(2)求证:MN C BN 1平面⊥ (3)求的距离到平面点MN C B 11.18. 图1是一个正方体的表面展开图,MN 和PB 是两条面对角线,请在图2的正方体中将MN 和PB 画出来,并就这个正方体解决下列问题(1) 求证:MN//平面PBD ; (2) 求证:AQ ⊥平面PBD ;(3)求二面角P-DB-M 的余弦值。
甘肃省天水市高二数学寒假作业 圆锥曲线与方程 (1) 理
圆锥曲线与方程 1一、选择题(每小题5分,共20分)1.与点A (-1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为-1的动点P 的轨迹方程是( ) A .x 2+y 2=3 B .x 2+2xy =1(x ≠±1) C .y =1-x 2D .x 2+y 2=9(x ≠0)2.已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|M N →|·|M P →|+M N →·N P →=0,则动点P (x ,y )的轨迹方程为( )A .y 2=-8x B .y 2=8x C .y 2=4xD .y 2=-4x3.已知两定点A (-2,0),B (1,0),如果动点P 满足|PA |=2|PB |,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A .πB .4πC .8πD .9π4.已知A (-1,0),B (1,0),且MA →·M B →=0,则动点M 的轨迹方程是( ) A .x 2+y 2=1 B .x 2+y 2=2C .x 2+y 2=1(x ≠±1)D .x 2+y 2=2(x ≠±2)二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A (0,-1),当点B 在曲线y =2x 2+1上运动时,线段AB 的中点M 的轨迹方程是________.6.已知动圆P 与定圆C :(x +2)2+y 2=1相外切,又与定直线l :x =1相切,那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________.三、解答题(每小题10分,共20分)7.设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点,若B P →=2P A →,且O Q →·A B →=1.求P 点的轨迹方程.8.过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A,过点P2(2,7)作直线P1A的垂线,交y轴于点B,点M在线段AB上,且BM∶MA=1∶2,求动点M的轨迹方程.尖子生题库☆☆☆9.(10分)已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,求OP中点Q的轨迹方程.(分别用直接法、定义法、代入法求解)。
高中数学 模块综合检测(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称命题;③∃x∈R,x2+2x+1≤0是全称命题.A.0B.1C.2D.3解析:①是全称命题;②是全称命题;③是特称命题.答案:B2若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),则抛物线的方程是()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x解析:∵抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的,其中p=2.∴抛物线的标准方程为y2=-4x.答案:D3已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A.既不充分也不必要的条件B.充分不必要的条件C.必要不充分的条件D.充要条件解析:若f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.答案:D4以双曲线x24−x212=−1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()A.x216+x212=1B.x212+x216=1C.x216+x24=1D.x24+x216=1解析:由x24−x212=−1,得x212−x24=1.∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4), 顶点坐标为(0,2√3),(0,−2√3).∴椭圆方程为x24+x216=1.答案:D5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记θ为异面直线PM与D1N所成的角,则θ的集合是()A.{π2}B.{x|π6≤x≤π2}C.{x|π4≤x≤π2}D.{x|π3≤x≤π2}解析:取C1D1的中点E,PM必在平面ADEM内,易证D1N⊥平面ADEM.D1N总是垂直PM.6若向量a =(1,0,z )与向量b =(2,1,2)的夹角的余弦值为23,则x =( ) A.0 B.1 C.-1D.2解析:cos <a ,b >=x ·x|x ||x |=√=23,解得z=0. 答案:A7在四棱锥P-ABCD 中,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2,3),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,2,−8),则这个四棱锥的高x =( ) A.1 B.2 C.13D.26解析:设底面ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{4x -2x +3x =0,-4x +x =0,取x=1,则n =(1,4,43),故四棱锥的高h 即点P 到底面ABCD 的距离=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x ||x |=263133=2.答案:B8如果命题“(p )∨(q )”是假命题,那么在下列各结论中,正确的为( )①命题“p ∧q ”是真命题 ②命题“p ∧q ”是假命题 ③命题“p ∨q ”是真命题 ④命题“p ∨q ”是假命题A.①③B.②④C.②③D.①④解析:由“(p )∨(q )”是假命题,知p 和q 均为假命题⇒p 为真,q 为真,则p ∧q 为真,p∨q 为真,则①③正确,故选A. 答案:A9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为( )A.10B.17C.2√1313D.√3737解析:焦距为2c,短轴长为2b,由已知,得2c=2x3,故b=3c.又∵a2=b2+c2=9c2+c2=10c2,∴e=xx=√1010.答案:A10如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足()A.θ=π4B.cos θ=2√3417C.tan θ=2√23D.sin θ=√33解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以x(23,23,0),xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,-1).易知平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1), 则cos<xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=√(3)2+(3)2+(-1)=−3√1717,所以PG与平面ABCD所成角θ的余弦值为√1-(-3√1717)2=2√3417,即cosθ=2√3417.答案:B11设F 1,F 2是双曲线x 2-4y 2=4a (a>0)的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足:xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则x 的值为( ) A.2 B .√52C.1D .√5解析:双曲线方程可化为x 24x −x 2x =1(x >0),∵xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴xx 1⊥PF 2.∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4x 2=20x .①由双曲线定义,知|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=±4√x ,② 又已知|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,③ 由①②③,得20a-2×2=16a ,∴a=1. 答案:C12过点M (-2,0)的直线m 与椭圆x 22+x 2=1交于x 1,x 2两点,线段x 1x 2的中点为x .设直线x 的斜率为x 1(x 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ) A.2B.-2 C .12D .−12解析:设直线m :y=k 1(x+2)代入x 22+x 2=1,得x 2+2x 12(x +2)2−2=0,整理,得(1+2x 12)x 2+8x 12x +8x 12−2=0. Δ=(8x 12)2−4(1+2x 12)(8x 12−2)>0,解得x 12<12.设P1P2的中点P0(x0,y0),则x0=x1+x22=-4x121+2x12,x0=x1(x0+2)=2x11+2x12.∴k2=x0x0=2x11+2x12-4x121+2x12=−12x1,∴k1·k2=−12.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13在四面体OABC中,xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,D为BC的中点,E为AD的中点,则xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ____________________.(用a,b,c表示)解析:xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(12xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12x+14x+14x.答案:12x+14x+14x14已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,垂足为G,与抛物线的交点为E,则|EF|=.解析:由焦点为F(2,0)可得p=4,则G(-2,2).由题意可设E(x,2),因为E在抛物线上,所以22=8x ,x =12,所以|EF|=|EG|=12−(−2)=52. 答案:5215已知p :x -2xx +x <0(x >0),x :x (x −4)<0,若x 是x 的既不充分也不必要条件,则实数x 的取值范围是____________________. 解析:由x -2x x +x<0(x >0)解得-m<x<2m ,由x (x-4)<0解得0<x<4. 若p 是q 的充分条件, 则有{-x ≥0,2x ≤4,x >0,解得m 无解;若p 是q 的必要条件, 则有{-x ≤0,2x ≥4,x >0,解得m ≥2.因此当p 是q 的既不充分也不必要条件时,实数m 的取值范围是0<m<2. 答案:(0,2)16曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12x 2.其中,正确结论的序号是 .解析:①曲线C 经过原点,则当曲线C 上点P 为原点时,|PF 1||PF 2|=1,即a=1,这与a>1矛盾,所以①错误;②曲线C 关于原点对称,设曲线C 上点P 关于原点的对称点为P',则|PF 1|=|P'F 2|,|PF 2|=|P'F 1|,满足|P'F 1||P'F 2|=a 2,所以②正确;③由三角形面积公式S =12xx sin C ,得x △xx 1x 2=12|xx 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|xx 1|·|PF 2|=x 22,所以③正确.答案:②③三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知命题p :不等式|x-1|>m-1的解集为R ,命题q :f (x )=-(5-2m )x是减函数,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数m 的取值范围. 解:因为不等式|x-1|>m-1的解集为R , 所以m-1<0,m<1.又因为f (x )=-(5-2m )x是减函数, 所以5-2m>1,m<2. 即命题p :m<1,命题q :m<2. 因为p ∨q 为真,p ∧q 为假, 所以p 和q 一真一假. 当p 真q 假时应有{x <1,x ≥2,x 无解.当p 假q 真时应有{x ≥1,x <2,1≤m<2.故实数m 的取值范围是[1,2).18(12分)已知双曲线与椭圆x 225+x 29=1有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左、右焦点是F 1,F 2,试问在双曲线上是否存在点P ,使得|PF 1|=5|PF 2|? 解:(1)椭圆x 225+x 29=1的焦点在x 轴上,且c =√25-9=4,即焦点为(±4,0),于是可设双曲线方程为x 2x 2−x 2x 2=1,则有{x 2+x 2=16,16x 2-36x 2=1,解得a 2=4,b 2=12, 故双曲线方程为x 24−x 212=1.(2)假设在双曲线上存在点P ,使得|PF 1|=5|PF 2|, 则点P 只能在右支上. 在双曲线x 24−x 212=1中,由双曲线定义知,|PF 1|-|PF 2|=2a=4,于是得|PF 1|=5,|PF 2|=1.但当点P 在双曲线右支上时,P 到左焦点F 1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF 1|=5,即在双曲线上不存在点P ,使得|PF 1|=5|PF 2|.19(12分)已知点P (1,3),圆C :(x-m )2+y 2=92过点x (1,-3√22),点x 为抛物线x 2=2xx (x >0)的焦点,直线xx 与圆相切. (1)求m 的值与抛物线的方程;(2)设点B (2,5),点Q 为抛物线上的一个动点,求xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围. 解:(1)把点A 代入圆C 的方程,得(1-m )2+(-3√22)2=92,∴m=1.圆C :(x-1)2+y 2=92.当直线PF 的斜率不存在时,不合题意. 当直线PF 的斜率存在时,设为k , 则PF :y=k (x-1)+3,即kx-y-k+3=0.∵直线PF 与圆C 相切,∴√2+1=3√22.解得k=1或k=-1.当k=1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去. 当k=-1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为4, ∴x 2=4.∴抛物线方程为y 2=16x.(2)xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),设Q (x ,y ),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,x −5),则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(x -2)+(-2)(y-5) =-x-2y+12=-x 216-2y+12=-116(y+16)2+28≤28.∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-∞,28].20(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC=2,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角.求证:(1)CM ∥平面PAD. (2)平面PAB ⊥平面PAD.证明:以点C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,因为PC ⊥平面ABCD ,所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角. 所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以BC=2√3,PB=4.所以D (0,1,0),B (2√3,0,0),A (2√3,4,0),P (0,0,2),M (√32,0,32). 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,3,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,32). (1)令n =(x ,y ,z )为平面PAD 的法向量,则{xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,即{-x +2x =0,2√3x +3x =0,所以{x =12x ,x =-√32x ,令y=2,得n =(-√3,2,1).因为n ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√3×√32+2×0+1×32=0, 所以n ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CM ⊄平面PAD ,所以CM ∥平面PAD.(2)取AP 的中点E ,则E (√3,2,1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1).因为PB=AB ,所以BE ⊥PA.又因为xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1)·(2√3,3,0)=0,所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BE ⊥DA.又因为PA ∩DA=A ,所以BE ⊥平面PAD.又因为BE ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD.21(13分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD=√2,DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60°.(1)求证:M 是侧棱SC 的中点;(2)求二面角S-AM-B 的余弦值的大小.(1)证明以D 为坐标原点,射线DA ,DC ,DS 为x 轴、y 轴、z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A (√2,0,0),B (√2,2,0),C (0,2,0),S (0,0,2). 设xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λxx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0),则M (0,2x 1+x ,21+x ), 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,21+x ,-21+x ).又xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),<xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,故xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°, 即41+x =√(√2)2+(21+x )2+(-21+x )2,解得λ=1,即xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以M 为侧棱SC 的中点.(2)解由M (0,1,1),A (√2,0,0),得AM 的中点G (√22,12,12).所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,32,-12),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,1,1),则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此,<xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >等于二面角S-AM-B 的平面角, 所以cos <xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√63, 故二面角S-AM-B 的余弦值为-√63.22(13分)已知椭圆x 22+x 24=1与射线y=√2x (x ≥0)交于点A ,过A 作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一交点为点B 和点C.(1)求证:直线BC 的斜率为定值,并求出这个定值;(2)求△ABC 面积的最大值.(1)证明由{x 22+x 24=1,x =√2x (x ≥0)得A (1,√2).设直线AB 的斜率为k ,则直线AC 的斜率为-k. 直线AB 的方程为y=k (x-1)+√2,①直线AC 的方程为y=-k (x-1)+√2,②将①代入椭圆方程并化简得(k 2+2)x 2-2(k-√2)kx+k 2-2√2k-2=0. ∵1和x B 是它的两个根,∴x B =x 2-2√2x -2x 2+2, y B =kx B +√2-k=-√2x 2-4x +2√2x 2+2. 同理可得x C =x 2+2√2x -2x 2+2, y C =-√2x 2+4x +2√2x 2+2, ∴k BC =x x -xx x x -x x=√2. (2)解设直线BC 的方程为y=√2x+m ,代入椭圆方程并化简得4x 2+2√2mx+m 2-4=0, |BC|=√3|x 1-x 2|=√3√16-2x 22. ∵A 到BC 的距离为d=√3,∴S △ABC =√x 2(16-2x 2)4≤4√22x 2+(16-2x 2)2=√2, 当且仅当2m 2=16-2m 2,即m=±2时,上式等号成立.故△ABC 面积的最大值为√2.。
高中数学 模块综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题
模块综合测评(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a ∈R ,则“a <2”是“a 2<2a ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件B [∵a 2<2a ⇔a (a -2)<0⇔0<a <2. ∴“a <2”是“a 2<2a ”的必要不充分条件.] 2.已知命题p :∀x >0,总有(x +1)e x >1,则p 为( )A .∃x 0≤0,使得(x 0+1)e x 0≤1B .∃x 0>0,使得(x 0+1)e x 0≤1C .∀x >0,总有(x +1)e x 0≤1D .∀x ≤0,总有(x +1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题,所以p 为∃x 0>0,使得(x 0+1)e x 0≤1.故选B .]3.若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,则双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为( )A .54B .52C .32D .54B [由题意,1-b 2a 2=⎝⎛⎭⎫322=34,∴b 2a 2=14,而双曲线的离心率e 2=1+b 2a 2=1+14=54,∴e =52.]4.已知空间向量a =(t,1,t ),b =(t -2,t,1),则|a -b |的最小值为( ) A . 2 B . 3 C .2D .4C [|a -b |=2(t -1)2+4≥2,故选C .] 5.椭圆x 225+y 29=1与椭圆x 2a 2+y 29=1有()A .相同短轴B .相同长轴C .相同离心率D .以上都不对D [对于x 2a 2+y 29=1,有a 2>9或a 2<9,因此这两个椭圆可能长轴相同,也可能短轴相同,离心率是不确定的,因此A ,B ,C 均不正确,故选D .]6.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,AD =AA 1=1,则二面角C 1-AB -C 为( ) A .π3B .2π3C .3π4D .π4D [以A 为原点,直线AB ,AD ,AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则平面ABC 的一个法向量为AA 1→=(0,0,1),平面ABC 1的一个法向量为A 1D →=(0,1,-1),∴cos 〈AA 1→,A 1D →〉=-12=-22,∴〈AA 1→,A 1D →〉=3π4,又二面角C 1-AB -C 为锐角,即π-34π=π4,故选D .]7.命题“∀x ∈[1,2],x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A .a ≥4 B .a ≤4 C .a ≥5D .a ≤5C [∵∀x ∈[1,2],1≤x 2≤4,∴要使x 2-a ≤0为真,则a ≥x 2,即a ≥4,本题求的是充分不必要条件,结合选项,只有C 符合,故选C .]8.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A .y 2=±4xB .y 2=±8xC .y 2=4xD .y 2=8xB [由已知可得,抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4,0.又直线l 的斜率为2,故直线l 的方程为y =2⎝⎛⎭⎫x -a 4,则|OA |=|a |2,故S △OAF =12·|a |4·|a |2=4,解得a =±8,故抛物线的方程为y 2=±8x .] 9.已知A (1,2,3),B (2,1,2),C (1,1,2),O 为坐标原点,点D 在直线OC 上运动,则当DA →·DB →取最小值时,点D 的坐标为( )A .⎝⎛⎭⎫43,43,43B .⎝⎛⎭⎫83,43,83 C .⎝⎛⎭⎫43,43,83D .⎝⎛⎭⎫83,83,43C [点D 在直线OC 上运动,因而可设OD →=(a ,a,2a ),则DA →=(1-a,2-a,3-2a ),DB →=(2-a,1-a,2-2a ),DA →·DB →=(1-a )(2-a )+(2-a )(1-a )+(3-2a )(2-2a )=6a 2-16a +10,所以a =43时DA →·DB →取最小值,此时OD →=⎝⎛⎭⎫43,43,83.] 10.过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若椭圆的离心率为23,则k 的值为( )A .-13B .13C .±13D .±12C [由题意知点B 的横坐标是c ,故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ,±b 2a ,则斜率k =±b 2ac +a =±b 2ac +a 2=±a 2-c 2ac +a 2=±1-e 2e +1=±(1-e )=±13,故选C .]11.若F 1,F 2为双曲线C :x 24-y 2=1的左、右焦点,点P 在双曲线C 上,∠F 1PF 2=60°,则点P 到x 轴的距离为( )A .55B .155C .2155D .1520B [设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,点P 到x 轴的距离为|y P |,则S △F 1PF 2=12r 1r 2sin 60°=34r 1r 2,又4c 2=r 21+r 22-2r 1r 2cos 60°=(r 1-r 2)2+2r 1r 2-r 1r 2=4a 2+r 1r 2,得r 1r 2=4c 2-4a 2=4b 2=4,所以S △F 1PF 2=12r 1r 2sin 60°=3=12·2c ·|y P |=5|y P |,得|y P |=155,故选B .]12.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB =2π3.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则|MN ||AB |的最大值是( ) A . 3 B .32 C .33D .34C [如图.设|AF |=r 1,|BF |=r 2,则|MN |=r 1+r 22.在△AFB 中,因为|AF |=r 1,|BF |=r 2且∠AFB =2π3,所以由余弦定理,得|AB |=r 21+r 22-2r 1r 2cos 2π3=r 21+r 22+r 1r 2,所以|MN ||AB |=r 1+r 22r 21+r 22+r 1r 2=12×(r 1+r 2)2r 21+r 22+r 1r 2=12×1+r 1r 2r 21+r 22+r 1r 2≤12×1+r 1r 23r 1r 2=33,当且仅当r 1=r 2时取等号.故选C .] 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点,如果AB →=(2,-1,-4),AD →=(4,2,0),AP →=(-1,2,-1).对于下列结论:①AP ⊥AB ;②AP ⊥AD ;③AP →是平面ABCD 的法向量;④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号)①②③[∵AB →·AP →=-2-2+4=0,∴AB →⊥AP →,即AP ⊥AB ,①正确;∵AP →·AD →=-4+4=0,∴AP →⊥AD →,即AP ⊥AD ,②正确;由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量,③正确;由③可得AP →⊥BD →,④错误.]14.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为________.x 25-y 220=1[由已知得ba =2,所以b =2a .在y =2x +10中令y =0得x =-5,故c =5,从而a 2+b 2=5a 2=c 2=25,所以a 2=5,b 2=20,所以双曲线的方程为x 25-y 220=1.] 15.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =23,且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3,则椭圆C 的方程为________.x 23+y 2=1[由e =c a=23,得c 2=23a 2,所以b 2=a 2-c 2=13a 2, 设P (x ,y )是椭圆C 上任意一点,则x 2a 2+y 2b 2=1,所以x 2=a 2⎝⎛⎭⎫1-y 2b 2=a 2-3y 2.|PQ |=x 2+(y -2)2=a 2-3y 2+(y -2)2=-2(y +1)2+a 2+6,当y =-1时,|PQ |有最大值a 2+6.由a 2+6=3,可得a 2=3,所以b 2=1,故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.]16.四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,且PD =AB =1,G 为△ABC 的重心,则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________.31717[如图,分别以DA ,DC ,DP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,由已知P (0,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),则重心G ⎝⎛⎭⎫23,23,0,因此DP →=(0,0,1),GP →=⎝⎛⎭⎫-23,-23,1,所以sin θ=|cos 〈DP →,GP →〉|=|DP →·GP →||DP →|·|GP →|=31717.]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |ax =1}.“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,试求满足条件的实数a 组成的集合.[解]∵A ={x |x 2-3x +2=0}={1,2},由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,∴B A .当B =∅时,得a =0;当B ≠∅时,由题意得B ={1}或B ={2}.则当B ={1}时,得a =1;当B ={2}时,得a =12.综上所述,实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,1,12.18.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).(1)求双曲线的方程;(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→=0.[解](1)由双曲线的离心率为2,可知双曲线为等轴双曲线,设双曲线的方程为x 2-y 2=λ,又双曲线过点(4,-10),代入解得λ=6,故双曲线的方程为x 2-y 2=6.(2)证明:由双曲线的方程为x 2-y 2=6,可得a =b =6,c =23,所以F 1(-23,0),F 2(23,0).由点M (3,m ),得MF 1→=(-23-3,-m ),MF 2→=(23-3,-m ),又点M (3,m )在双曲线上,所以9-m 2=6,解得m 2=3,所以MF 1→·MF 2→=m 2-3=0.19.(本小题满分12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,AA 1=1,AB =3k ,AD =4k ,BC =5k ,DC =6k (k >0).(1)求证:CD ⊥平面ADD 1A 1;(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67,求k 的值.[解] (1)证明:取CD 的中点E ,连接BE ,如图①.①∵AB ∥DE ,AB =DE =3k , ∴四边形ABED 为平行四边形, ∴BE ∥AD 且BE =AD =4k . 在△BCE 中,∵BE =4k ,CE =3k ,BC =5k ,∴BE 2+CE 2=BC 2,∴∠BEC =90°,即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ,∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD =A ,∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点,DA →,DC →,DD 1→的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系,则A (4k,0,0),C (0,6k,0),B 1(4k,3k,1),A 1(4k,0,1),②∴AC →=(-4k,6k,0),AB 1→=(0,3k,1),AA 1→=(0,0,1).设平面AB 1C 的法向量n =(x ,y ,z ),则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n =0,AB 1→·n =0,得⎩⎪⎨⎪⎧-4kx +6ky =0,3ky +z =0.取y =2,得n =(3,2,-6k ). 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈AA 1→,n 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |=6k 36k 2+13=67,解得k =1,故所求k 的值为1. 20.(本小题满分12分)如图,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ,B 两点.(1)用p 表示|AB |;(2)若OA →·OB →=-3,求这个抛物线的方程.[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y =x -p2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =x -p 2,得x 2-3px +p 24=0, ∴x 1+x 2=3p ,x 1x 2=p 24,∴|AB |=x 1+x 2+p =4p .(2)由(1)知,x 1x 2=p 24,x 1+x 2=3p ,∴y 1y 2=⎝⎛⎭⎫x 1-p 2⎝⎛⎭⎫x 2-p 2=x 1x 2-p 2(x 1+x 2)+p 24=p 24-3p 22+p 24=-p 2,∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=p 24-p 2=-3p 24=-3,解得p 2=4,∴p =2. ∴这个抛物线的方程为y 2=4x .21.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形,P A ⊥CD ,P A =1,PD =2,E 为PD 上一点,PE =2ED .(1)求证:P A ⊥平面ABCD ;(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ,使得BF ∥平面AEC ?若存在,指出F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由.[解](1)证明:∵P A =AD =1,PD =2,∴P A 2+AD 2=PD 2, 即P A ⊥AD .又P A ⊥CD ,AD ∩CD =D , ∴P A ⊥平面ABCD .(2)以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),P (0,0,1),E ⎝⎛⎭⎫0,23,13,AC →=(1,1,0),AE →=⎝⎛⎭⎫0,23,13.设平面AEC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →=0,n ·AE →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,2y +z =0,令y =1,则n =(-1,1,-2).假设侧棱PC 上存在一点F ,且CF →=λCP →(0≤λ≤1), 使得BF ∥平面AEC ,则BF →·n =0.又∵BF →=BC →+CF →=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ), ∴BF →·n =λ+1-λ-2λ=0,∴λ=12,∴存在点F ,使得BF ∥平面AEC ,且F 为PC 的中点.22.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b ),连接BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43,13,且BF 2=2,求椭圆的方程; (2)若F 1C ⊥AB ,求椭圆离心率e 的值.[解](1)∵BF 2=2,而BF 22=OB 2+OF 22=b 2+c 2=2=a 2,∵点C 在椭圆上,C ⎝⎛⎭⎫43,13, ∴169a 2+19b2=1, ∴b 2=1,∴椭圆的方程为x 22+y 2=1. (2)直线BF 2的方程为x c +y b =1,与椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1联立方程组,解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2+c 2,-b 3a 2+c 2,则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2+c 2,b 3a 2+c 2,又F 1为(-c,0),kF 1C =b 3a 2+c 22a 2c a 2+c 2+c=b 33a 2c +c 3, 又k AB =-b c ,由F 1C ⊥AB ,得b 33a 2c +c 3·⎝⎛⎭⎫-b c =-1, 即b 4=3a 2c 2+c 4,所以(a 2-c 2)2=3a 2c 2+c 4,化简得e =c a =55.。
高中数学人教A版选修2-1模块质量检测(一).docx
模块质量检测(一)(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2011·福建卷)若a ∈R ,则“a =2”是“(a -1)(a -2)=0”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件解析: 由“a =2”可以推出“(a -1)(a -2)=0”,但由“(a -1)(a -2)=0”应推出“a =1或a =2”,不一定推出“a =2”,故“a =2”是“(a -1)(a -2)=0”的充分而不必要条件.答案: A2.命题“对任意的x ∈R ,x 3-x 2+1≤0”的否定是( ) A .不存在x ∈R ,x 3-x 2+1≤0 B .存在x ∈R ,x 3-x 2+1≤0 C .存在x ∈R ,x 3-x 2+1>0D .对任意的x ∈R ,x 3-x 2+1>0解析: 全称命题的否定是特称命题,且将结论否定,故为C. 答案: C3.在如图正方体中,下列各式中的运算结果为向量AC 1→的有( ) ①(AB →+BC →)+CC 1→②(AA 1→+A 1D 1→)+D 1C 1→ ③(AB →+BB 1→)+B 1C 1→④(AA 1→+A 1B 1→)+B 1C 1→ A .1个 B .2个 C .3个 D .4个解析: ∵(AB →+BC →)+CC 1→=AC →+CC 1→=AC 1→,∴①正确, (AA 1→+A 1D 1→)+D 1C 1→=AD 1→+D 1C 1→=AC 1→,∴②正确,(AB →+BB 1→)+B 1C 1→=AB 1→+B 1C 1→=AC 1→,∴③正确, (AA 1→+A 1B 1→)+B 1C 1→=AB 1→+B 1C 1→=AC 1→,∴④正确,故选D. 答案: D4.若a =(1,x,2),b =(2,-1,2),a 与b 夹角的余弦值为89,则x 等于( )A .2B .-2C .-2或255D .2或-255解析: cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=6-x 3·5+x 2=89,解得x =-2或x =255,故选C.答案: C5.如果命题“¬(p 或q )”是假命题,则下列命题正确的是( ) A .p ,q 都是真命题 B .p ,q 中至少有一个真命题 C .p ,q 都是假命题 D .p ,q 中至多有一个真命题 解析: 命题“¬(p 或q )”是假命题,则命题“p 或q ”是真命题,所以p ,q 中至少有一个真命题.故选B.答案: B6.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m =( )A .-14B .-4C .4D .-14解析: 双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,∴m <0,且双曲线方程为-x 24+y 2=1,∴m =-14.答案: A7.若拋物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14,±24 B.⎝⎛⎭⎫18,±24C.⎝⎛⎭⎫14,24D.⎝⎛⎭⎫18,24 解析: 点P 到准线的距离即点P (x 0,y 0)到焦点的距离,得|PO |=|PF |,过点P 所作△POF 的高也是中线.∴x 0=18,代入到y 2=x 得y 0=±24,∴P ⎝⎛⎭⎫18,±24.故选B.答案: B 8.已知a ·b =0,|a |=2,|b |=3,且(3a +2b )·(λa -b )=0,则λ等于( ) A.32 B .-32 C .±32D .1解析: 由a ·b =0及(3a +2b )·(λa -b )=0,得3λa 2=2b 2,又|a |=2,|b |=3,所以λ=32,故选A.答案: A9.中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析: 由题意知(4,-2)在y =-b a x 上,即b a =12,∴b 2a 2=14即c 2-a 2a 2=14 ∴c 2a 2=54,∴e =52,故选D. 答案: D10.如右图所示,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=AB =AC ,AB ⊥AC ,M 是CC 1的中点,Q 是BC 的中点,P 是A 1B 1的中点,则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 解析:以A 为坐标原点,AC 、AB 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AA 1=AB =AC =2,则AM →=(0,2,1),Q (1,1,0),P (1,0,2),QP →=(0,-1,2),所以QP →·AM →=0,所以QP 与AM 所成角为π2.答案: D11.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A.x 236-y 2108=1B.x 29-y 227=1C.x 2108-y 236=1D.x 227-y 29=1 解析: ∵渐近线方程是y =3x ,∴ba= 3.①∵双曲线的一个焦点在y 2=24x 的准线上,∴c =6.② 又c 2=a 2+b 2,③由①②③知,a 2=9,b 2=27,此双曲线方程为x 29-y 227=1.答案: B 12.如图所示,在几何体A -BCD 中,AB ⊥面BCD ,BC ⊥CD ,且AB =BC =1,CD =2,点E为CD 中点,则AE 的长为( )A. 2B. 3 C .2 D. 5解析: A E →=A B →+B C →+C E →, ∵|A B →|=|B C →|=1=|C E →|,且A B →·B C →=A B →·C E →=B C →·C E →=0. 又∵A E →2=(A B →+B C →+C E →)2,∴A E →2=3,∴AE 的长为 3. 答案: B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.(2012·菏泽十校联考)若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}是假命题,则x 的取值范围是________.解析: ∵x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}是假命题, ∴x ∈[2,5]为假且x ∈{x |x <1或x >4}为假, ∴x ∈(-∞,2)∪(5,+∞)且x ∈[1,4], ∴x ∈[1,2). 答案: [1,2)14.(2012·福州高级中学期末)已知A (2,-1,1),B (1,x,4),C (4,-3,-5),若向量AB →∥AC →,则x =________.解析: ∵AB →=(-1,x +1,3),AC →=(2,-2,-6), 且AB →∥AC →, ∴AB →=λAC →,即(-1,x +1,3)=λ(2,-2,-6)∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ=-1-2λ=x +1,-6λ=3解得λ=-12,x =0.答案: 015.已知双曲线y 29-x 2m2=1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1,则m =________.解析: 依题意,3m m 2+9=1,解得m =324. 答案: 32416.(2011·唐山高二检测)已知双曲线x 2-y 23=1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则P A 1→·PF 2→最小值为________.解析: A 1(-1,0),F 2(2,0),设P (x ,y )(x ≥1), P A 1→·PF 2→=(-1-x ,-y )·(2-x ,-y )=x 2-x -2+y 2,又x 2-y 23=1,故y 2=3(x 2-1),于是P A 1→·PF 2→=4x 2-x -5=4⎝⎛⎭⎫x -182-5-116, 当x =1时,取到最小值-2.答案: -2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根,q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根,若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求m 的取值范围.解析: p :Δ=m 2-4>0,且m >0,解得m >2. q :Δ=16(m -2)2-16<0,解得1<m <3. ∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p 、q 两命题一真一假,即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2,m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2,1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.18.(12分)设p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0,q :实数x 满足x 2-x -6≤0,或x 2+2x -8>0,且¬p 是¬q 的必要不充分条件,求a 的取值范围.解析: 设A ={x |p }={x |x 2-4ax +3a 2<0(a <0)} ={x |3a <x <a (a <0)},B ={x |q }={x |x 2-x -6≤0,或x 2+2x -8>0} ={x |x 2-x -6≤0}∪{x |x 2+2x -8>0} ={x |-2≤x ≤3}∪{x |x <-4,或x >2} ={x |x <-4或x ≥-2}. ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件, ∴¬q ⇒¬p ,且¬p ⇒/ ¬q , ∴{x |-4≤x <-x |x ≤3a ,或x ≥a (a <0)}, 则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥-2,a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-4,a <0. 即-23≤a <0或a ≤-4.19.(12分)(2011·南通高二检测)已知动点P 与平面上两定点A (-2,0),B (2,0)连线的斜率的积为定值-12.(1)试求动点P 的轨迹方程C .(2)设直线l :y =kx +1与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=423时,求直线l 的方程.解析: (1)设点P (x ,y ),则依题意有y x +2·y x -2=-12,整理得x 22+y 2=1.由于x ≠±2,所以求得的曲线C 的方程为x 22+y 2=1(x ≠±2).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1y =kx +1,消去y 得:(1+2k 2)x 2+4kx =0.解得x 1=0,x 2=-4k 1+2k 2.(x 1,x 2分别为M ,N 的横坐标)由|MN |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2⎪⎪⎪⎪4k 1+2k 2=432,解得k =±1.所以直线l 的方程x -y +1=0或x +y -1=0. 20.(12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC ,∠BCD =90°.(1)求证:PC ⊥BC ;(2)求点A 到平面PBC 的距离.解析: 方法一:(1)证明:因为PD ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得BC ⊥DC .又PD ∩DC =D ,PD ⊂平面PCD , DC ⊂平面PCD ,所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ⊂平面PCD ,所以PC ⊥BC .(2)连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°.从而由AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P -ABC 的体积V =13S △ABC ·PD =13.因为PD ⊥平面ABCD ,DC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2= 2.由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC =22.由V =13S △PBC h =13·22·h =13,得h = 2.因此,点A 到平面PBC 的距离为 2.方法二:建立如图所示空间直角坐标系D -xyz ,则P (0,0,1),C (0,1,0),B (1,1,0).(1)证明:PC →=(0,1,-1),BC →=(-1,0,0). ∵PC →·BC →=0×(-1)+1×0+(-1)×0=0, ∴PC ⊥BC .(2)设平面PBC 的法向量n =(x ,y ,z ),则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →=0,n ·BC →=0即⎩⎪⎨⎪⎧y -z =0,x =0.令y =1得n =(0,1,1). 又因为A (1,-1,0),AB →=(0,2,0),所以点A 到平面PBC 的距离d =|AB →·n ||n |=|(0,2,0)·(0,1,1)|11+12= 2.21.(12分)(2011·北京卷)已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).(1)求椭圆G 的方程; (2)求△P AB 的面积.解析: (1)由已知得c =22,c a =63,解得a =2 3.又b 2=a 2-c 2=4,所以椭圆G 的方程为x 212+y 24=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m x 212+y 24=1得,4x 2+6mx +3m 2-12=0 ① 设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1<x 2),AB 的中点为E (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=-3m4,y 0=x 0+m =m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边,所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k =2-m 4-3+3m 4=-1,解得m =2.此时方程①为4x 2+12x =0,解得x 1=-3,x 2=0,所以y 1=-1,y 2=2,所以|AB |=3 2.此时,点P (-3,2)到直线AB :x -y +2=0的距离d =|-3-2+2|2=322,所以△P AB 的面积S =12|AB |·d =92.22.(12分),如图,在四面体ABOC 中,OC ⊥OA ,OC ⊥OB ,∠AOB =120°,且OA =OB =OC =1.(1)设P 为AC 的中点,证明:在AB 上存在一点Q ,使PQ ⊥OA ,并计算ABAQ的值;(2)求二面角O -AC -B 的平面角的余弦值.解析: (1)证明:取O 为坐标原点,分别以OA ,OC 所在直线为x 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz (如图所示)则A (1,0,0),C (0,0,1),B ⎝⎛⎭⎫-12,32,0,∵P 为AC 的中点,∴P ⎝⎛⎭⎫12,0,12.设AQ →=λAB →,且λ∈(0,1),AB →=⎝⎛⎭⎫-32,32,0,∴OQ →=OA →+AQ →=(1,0,0)+λ⎝⎛⎭⎫-32,32,0=⎝⎛⎭⎫1-32λ,32λ,0,∴PQ →=OQ →-OP →=⎝⎛⎭⎫12-32λ,32λ,-12,∵PQ ⊥OA ,∴PQ →·OA →=0, 即12-32λ=0,λ=13, 因此存在点Q ⎝⎛⎭⎫12,36,0,使得PQ ⊥OA 且AB AQ =3.(2)记平面ABC 的法向量为n =(n 1,n 2,n 3),则由n ⊥CA →,n ⊥AB →,且CA →=(1,0,-1),得⎩⎪⎨⎪⎧n 1-n 3=0-32n 1+32n 2=0,故可取n =(1,3,1),又平面OAC 的法向量为e =(0,1,0),于是cos 〈n ,e 〉=155,所以所求二面角的余弦值为155.。
甘肃省天水市高二数学寒假作业 圆锥曲线与方程 (2) 理 新人教A版
一、选择题(每小题5分,共20分)1.点A (a,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是( )A .-2<a < 2B .a <-2或a > 2C .-2<a <2D .-1<a <12.直线y =kx -k +1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( )A .相切B .相交C .相离D .不确定3.已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )A .3 2B .2 6C .27D .4 24.过椭圆x 225+y 29=1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A .5B .6 C.9017D .7二、填空题(每小题5分,共10分)5.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为________.6.若倾斜角为π4的直线交椭圆x 24+y 2=1于A ,B 两点,则线段AB 的中点的轨迹方程是________________.三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P 是该椭圆上的一个动点,F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点,求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值.8.设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距;(2)如果AF 2→=2F 2B →,求椭圆C 的方程.尖子生题库☆☆☆9.(10分)如图,椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,x 轴被曲线C 2:y =x 2-b 截得的线段长等于C 1的长半轴长. (1)求C 1,C 2的方程.(2)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交于点D,E.证明:MD⊥ME.。
甘肃省天水市高二数学寒假作业 解三角形质量检测题 理 新人教A版
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC 中,已知a =3,b =4,c =13,则角C 为( ) A .90° B .60° C .45°D .30°2.在△ABC 中,a =5,b =15,A =30°,则c 等于( ) A .2 5 B. 5C .25或 5D .以上都不对3.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦是方程2x 2+3x -2=0的根,则第三边长是( ) A.20 B.21 C.22D.614.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A .a =1,b =2,c =3 B .a =1,b =2,A =30° C .a =1,b =2,A =100°D .b =c =1,B =45°5.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 2+b 2=c 2+ab ,则C =( ) A .60° B .120° C .45°D .30°6.在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .都有可能7.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4,则cos C 的值为( ) A.23 B .-23C .-14D.148.在△ABC 中,A =60°,AB =2,且△ABC 的面积S △ABC =32,则边BC 的长为( ) A. 3 B .3 C.7D .79.锐角三角形ABC 中,a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边,如果B =2A ,则b a的取值范围是( ) A .(-2,2)B .(0,2)C .(2,3)D .(2,2)10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发,沿北偏东60°方向航行,进行海面巡逻,当行驶半小时到达B 处时,发现北偏西45°方向有一艘船C ,若C 船位于A 处北偏东30°方向上,则缉私艇B 与船C 的距离是( )A .5(6+2)kmB .5(6-2)kmC .10(6+2)kmD .10(6-2)km二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.在△ABC 中,A ,B ,C 是三个内角,C =30°,则sin 2A +sin 2B -2sin A sin B cosC 的值是________.12.在△ABC 中,若S △ABC =14(a 2+b 2-c 2),那么角C =___________________________.13.已知锐角三角形三边长分别为3, 4,a ,则a 的取值范围为________. 14.甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处,两船相距a 海里,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的3倍,则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船,追上时乙船已行驶了________海里.三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)在△ABC 中,已知sin C =sin A +sin Bcos A +cos B ,试判断三角形的形状.16.(本小题满分12分)在△ABC 中,已知c =3,b =1,B =30°. (1)求角A ; (2)求△ABC 的面积.17.(本小题满分12分)在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,且3a =2c sin A .(1)确定角C 的大小;(2)若c =7,且△ABC 的面积为332,求a +b 的值.18.(本小题满分14分)在某次地震时,震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B 、C 、D ,B 、C 两市相距20 km ,C 、D 相距34 km ,C 城在B 、D 两城之间.如图所示,某时刻C 市感到地表震动,8秒后B 市,20秒后D 市先后感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km. 求:震中到B 、C 、D 三市的距离.。
甘肃省天水市高二数学寒假作业 21模块质量检测(B) 理 新人教A版
(考试时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法错误的是( )A .如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”都是真命题,那么命题q 一定是真命题B .命题“若a =0,则ab =0”的否命题是:“若a ≠0,则ab ≠0”C .若命题p :∃x 0∈R ,x 02+2x 0-3<0,则¬p :∀x ∈R ,x 2+2x -3≥0 D .“sin θ=12”是“θ=30°”的充分不必要条件2.已知命题p :存在x ∈R ,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},下列结论:①命题“p 且q ”是真命题;②命题“p 且¬q ”是假命题;③命题“¬p 或q ”是真命题;④命题“¬p 或¬q ”是假命题,其中正确的是( )A .②③B .①②④C .①③④D .①②③④3.已知两定点F 1(5,0),F 2(-5,0),曲线上的点P 到F 1,F 2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为( )A.x 29-y 216=1 B.x 216-y 29=1 C.x 225-y 236=1 D.y 225-x 236=1 4.“a =3”是“直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a -1)y =a -7”平行且不重合的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.命题“若a >b ,则ac <bc (a ,b ,c ∈R )”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A .4B .3C .2D .06.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上的点P (m ,-2)到焦点的距离为4,则m 的值为( )A .4B .-2C .4或-4D .12或-27.若△ABC 中,∠C =90°,A (1,2,-3k ),B (-2,1,0),C (4,0,-2k ),则k 的值为( )A.10B .-10C .2 5D .±108.已知OA →=(1,2,3),OB →=(2,1,2),OP →=(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA →·QB →取得最小值时,点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,34,13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43,83 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43,73 9.椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为( ) A.1010 B.1717 C.21313D.373710.给出下列四个命题,其中真命题为( )①“∃x ∈R ,使得x 2+1>3x ”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+1≤3x ”;②“m =-2”是“直线(m +2)x +my +1=0与直线(m -2)x +(m +2)y -3=0相互垂直”的必要不充分条件;③设圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)与坐标轴有4个交点,分别为A (x 1,0),B (x 2,0),C (0,y 1),D (0,y 2),则x 1x 2-y 1y 2=0;④函数f (x )=sin x -x 的零点个数有3个. A .①④ B .②④ C .①③D .②③11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为正方形ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任一点,则异面直线OP 与MA 所成的角为( )A .30°B .45°C .60°D .90°12.设F 1,F 2是双曲线x 2-4y 2=4a (a >0)的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足PF →1·PF→2=0,|PF →1|·|PF →2|=2,则a 的值为( )A .2 B.52C .1D. 5二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知AB 是过椭圆x 225+y 216=1左焦点F 1的弦,且|AF 2|+|BF 2|=12,其中F 2是椭圆的右焦点,则弦AB 的长是________.14.设命题p :|4x -3|≤1,命题q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分条件,则实数a 的取值范围是________.15.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为u =(-2,0,-4),则直线与平面的位置关系是________.16.已知命题p :m ≥1,命题q :2m 2-9m +10<0,若p ,q 中有且仅有一个为真命题,则实数m 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a >0,设p :函数y =a x在R 上单调递减,q :不等式|x|+|x -2a |>1的解集为R .若p ∧q 为假,p ∨q 为真,求a 的取值范围.18.(本小题满分12分)抛物线y =-x 22与过点M (0,-1)的直线l 相交于A ,B 两点,O为原点,若OA 和OB 的斜率之和为1,求直线l 的方程.21.(本小题满分12分)设p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0,q :实数x 满足x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0,且¬p 是¬q 的必要不充分条件,求a 的取值范围.22.(本小题满分14分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦。
甘肃省天水市2020高二数学寒假作业 导数及其应用质量检测题 文 新人教A版.doc
导数及其应用质量检测题(考试时间90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列各式正确的是( ) A .(sin a )′=cos a (a 为常数) B .(cos x )′=sin x C .(sin x )′=cos xD .(x -5)′=-15x -62.已知函数f (x )=x ln x ,若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1,则x 0的值等于( )A .1B .-1C .±1D .不存在3.函数y =x 2(x -3)的减区间是( ) A .(-∞,0) B .(2,+∞) C .(0,2)D .(-2,2)4.曲线y =4x -x 3在点(-1,-3)处的切线方程是( ) A .y =7x +4 B .y =7x +2 C .y =x -4D .y =x -25.若函数f (x )=x 3+ax 2-9在x =-2处取得极值,则a =( ) A .2 B .3 C .4D .56.函数y =13x 3+x 2-3x -4在[-4,2]上的最小值是( )A .-173B.163C .-643D .-1137.若曲线y =1x在点P 处的切线斜率为-4,则点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-2或⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-2 8.已知函数y =f (x ),其导函数y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )( )A .在(-∞,0)上为减函数B .在x =0处取极小值C .在(4,+∞)上为减函数D .在x =2处取极大值9.若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=ax +1,在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1]10.把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( )A .2∶1B .1∶πC .1∶2D .2∶π二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.若函数f (x )=x 3-f ′(1)x 2+2x -5,则f ′(2)=________. 12.函数f (x )=e x +e -x在(0,+∞)上的单调性是________.13.若函数f (x )=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调递增函数,则m 的取值范围是________. 14.已知函数f (x )=x 3-12x +8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M -m =________.三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)设函数f (x )=x 3-3ax +b (a ≠0).(1)若曲线y =f (x )在点(2,f (2))处与直线y =8相切,求a ,b 的值; (2)求函数f (x )的单调区间和极值点.16.(本小题满分12分)已知f (x )=x +mx(m ∈R ).(1)若m =2,求函数g (x )=f (x )-ln x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1,32上的最大值; (2)若函数y =log 12[f (x )+2]在区间[1,+∞)上是减函数,求实数m 的取值范围.17.(本小题满分12分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测算,化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3-x 与t +1成反比例.如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的固定投资为3万元,每生产1万件化妆品需再投资32万元,当将每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时,当年的产销平衡.(1)将2012年的年利润y万元表示为促销费用t万元的函数;(2)该企业2012年的促销费用投入多少万元时,企业的年利润最大(注:利润=收入-生产成本-促销费用)?18.(本小题满分14分)已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)若a=0,b=2,求F(x)=(2x+1)f(x)的导数;(2)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a,b的值;(3)若x∈[0,1],函数f(x)的图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件.。
甘肃省天水市高二数学下学期开学考试(寒假作业检测)试
甘肃省天水市2016-2017学年高二数学下学期开学考试(寒假作业检测)试题文(扫描版)2015级(高二)2016——2017学年高二寒假作业检测试题答案数学(文科)一、 选择题(每小题5分,共45分)ABCCD CABB二、 填空题(每题5分,共15分) 11.1 12. 1m ≤三、解答题(共40分)13.(13分)解:设p ,q 都为真.则由p :函数y =x 2+mx +1在(-1,+∞)内单调递增⇔-m 2≤-1,解得m ≥2,由q :函数y =4x 2+4(m -2)x +1大于零恒成立⇔Δ=[4(m -2)]2-4×4×1<0,解得1<m <3.∵p 或q 为真,p 且q 为假,∴p ,q 中一个为假,另一个为真.(1)当p 真,q 假时, p 真时,m ≥2,q 假时,m ≤1或m ≥3.∴p 真q 假时,⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m ≤1或m ≥3, 得m ≥3.(2)当p 假,q 真时, p 假时,m <2,q 真时,1<m <3.∴p 假q 真时,⎩⎪⎨⎪⎧m <2,1<m <3, 得1<m <2.综合(1)(2)可得,m 的取值范围为(1,2)∪[3,+∞).14.(13分)解:(1)f ′(x )=32x 2+c ,当x =1时,f (x )取得极值,则f ′(1)=0,即32+c =0,得c =-32. 故f (x )=12x 3-32x .(2)f ′(x )=32x 2-32=32(x 2-1)=32(x -1)(x +1),令f ′(x )=0,得x =-1或1.x ,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:因此,f (x )的极大值为f (-1)=1,极小值为(1)=-1.15.(14分)解:(1)∵f ′(0)=e 0=1,f (0)=1,∴切线方程为y -1=1·(x -0),即x -y +1=0.(2)设g (x )=e x -ex ,曲线y =e x 与y =ex 的公共点的个数等于函数g (x )=e x -ex 零点的个数.∵g ′(x )=e x -e ,令g ′(x )=0,得x =1,∴g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴g(x)的最小值g(1)=e1-e=0,g(x)=e x-ex≥0(仅当x=1时,等号成立).∴曲线y=f(x)与直线y=ex有唯一公共点.。
高二数学下学期开学考试(寒假作业检测)试题 理(扫描版)(2021年整理)
题理(扫描版)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(甘肃省天水市2016-2017学年高二数学下学期开学考试(寒假作业检测)试题理(扫描版))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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试题理(扫描版)2015级(高二)2016-—2017学年高二寒假作业检测试题答案数学(理科)一、选择题(每小题5分,共45分)CADBD DABB二、填空题(每题5分,共15分)10 .3311。
2 12. 2三、解答题(共40分)13.(13分)解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为1单位长,射线DA,DP,DC为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明:依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0)。
则错误!=(1,1,0),错误!=(0,0,1),错误!=(1,-1,0)。
所以错误!·错误!=0,错误!·错误!=0.即PQ⊥DQ,PQ⊥D C。
又DQ∩DC=D,故PQ⊥平面DCQ。
又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ。
(2)依题意有B(1,0,1),错误!=(1,0,0),错误!=(-1,2,-1).设n=(x1,y1,z1)是平面PBC的一个法向量,则错误!即错误!因此可取n=(0,-1,-2).设m=(x2,y2,z2)是平面PBQ的一个法向量,则错误!即错误!可取m=(1,1,1).所以cos〈m,n〉=-错误!。
由图可知,二面角Q.BP。
C为钝角,故二面角Q。
甘肃省天水市高二数学上学期第二学段考试试题 理 新人教A版
数学试题(理)选择题(每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案) 1. 命题“存在0x ∈R ,02x ≤0”的否定是( )A .不存在0x ∈R ,02x >0 B .存在0x ∈R , 02x ≥0C .对任意的x ∈R , 2x≤0 D .对任意的R x ∈,2x>0 2. 若命题“q p ∧”为假,且p ⌝为假,则( ) A .“q p ∨”为假 B .q 假 C .q 真 D .p 假3. “9>k ”是“方程19422=-+-k y k x 表示双曲线”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件4. R ∈θ,则方程4sin 22=+θy x 表示的曲线不可能是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线5. 抛物线281x y -=的焦点坐标是( ) A .(0,-4)B .()0,2-C .)0,21(- D . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3216. 已知点(,)P x y 在椭圆2214x y +=上,则22324x x y +-的最大值为( )A.2-B.-1C.2D.77. 双曲线2212x y -=的渐近线方程为( )A. 2y x =±B. y =C.2y x =±D. 12y x =±8. 28y x =的焦点相同,离心率为 )A .2211216x y +=B .2211612x y += C .2214864x y += D .2216448x y +=9. 如图,正方体1111D C B A ABCD -中,AC 与D A 1所成角的大小为( )A 030 B 060 C 045 D 090 10. ABC ∆的周长是8,)0,1(),0,1(C B -,则顶点A的轨迹方程是( )A.)3(18922±≠=+x y xB.)0(18922≠=+x y x C.)0(13422≠=+y y x D.)0(14322≠=+y y x11. 若向量a )2,1,2(),2,,1(-==b λ,且a 与b 的夹角余弦值为98,则λ等于( ) A .2 B .2- C .2-或552 D .2或552-12. 正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中,已知AB=2,E ,F 分别是D1B ,AD 的中点,,则二面角D1—BF —C 的余弦值为( )A.66 B .21C .23 D 32二、填空题(每小题5分,共20分) 13. 命题“∃00sin ,x x R x =∈”的否定是_______________________.14. 以椭圆的右焦点2F 为圆心作一个圆,使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M ,N , 若过椭圆左焦点1F 的直线MF1是圆2F 的切线,则椭圆的离心率为15. 正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其侧面积为 。
2021年高二数学下学期期末质量检测理科试卷 新人教A版
2021年高二数学下学期期末质量检测理科试卷新人教A版【解析】试题分析:()()()()()()iiiiiiiiii==++=+-++=-+44433133331331.考点:复数的运算.2.要完成下列2项调查:①从某社区125户高收入家庭,280户中等收入家庭,95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标;②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.应采用的抽样方法是A.①用随机抽样法②用系统抽样法B.①用分层抽样法②用随机抽样法C.①用系统抽样法②用分层抽样法D.①、②都用分层抽样法【答案】B【解析】试题分析:由①的特点可知应选用分层抽样;由②的特点可知应选用随机抽样.考点:简单随机抽样.3.若、、三个单位向量两两之间夹角为60°,则A.3B.C.6D.【答案】D【解析】试题分析:、、三个单位向量两两之间夹角为60°222222232cos602cos602cos60a b c a b c ab bc ac a b b c a c∴++=+++++=+++考点:向量的数量积.4.已知函数上任一点处的切线斜率,则该函数的单调递减区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:因为函数上任一点处的切线斜率,所以,所以当时,所以该函数的单调递减区间为.考点:导函数的应用.5.如图,程序框图所进行的求和运算是A.…B.…C.…D.…【答案】C【解析】试题分析:开始n=2 i=1第一次循环n=4 i=2第二次循环n=6 i=3第三次循环n=8 i=4第九次循环n=20 i=10第十次循环(输出)n=22 i=11考点:程序框图.6.命题“对任意的”的否定是A.不存在B.存在C.存在D.对任意的【答案】C【解析】试题分析:全称命题的否定需要把全称量词改为特称量词,然后结论否定;所以命题“对任意的”的否定是存在 .考点:命题的否定.7.若数列满足(为正常数,),则称为“等方比数列”.甲:数列是等方比数列;乙:数列是等比数列,则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】试题分析:若数列是等比数列则所以数列是等方比数列;若数列是等方比数列则所以数列不一定是是等比数列;所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.考点:充要条件.8.若122322()log,(),(),()f x x R f S f T fa b a bab====++,a,b为正实数,则的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:因为,所以,,所以;由因为在上为减函数,所以即.考点:比较大小.9.已知是正四面体的面上一点,到面的距离与到点的距离相等,则动点的轨迹所在的曲线是A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆【答案】C【解析】试题分析:设正四面体的侧面与底面所成角为,则,∴,过作,垂足为,连接,则,∴sin∠OPE,设,在Rt△POE中,,∴,由椭圆定义知动点的轨迹所在的曲线是椭圆.考点:椭圆的性质 .第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题(题型注释)10.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次.若2人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析:因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以;所以他们都中靶的概率是.考点:独立事件的概率.11.已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为 .【答案】 【解析】试题分析:由二次函数的图像可得:函数解析式为,所以它与轴所围图形的面积为. 考点:定积分的应用.12.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表,要求数学课排在前3节,英语课不排在第6节,则不同的排法种数为 .(以数字作答) 【答案】288 【解析】试题分析:英语排列的方法有种情况,则英语排课的情况有种情况,剩下的进行全排列即可所以共有种情况所以不同的排法种数有. 考点:排列组合.13.有一系列椭圆….所有这些椭圆都以为准线,离心率….则这些椭圆长轴的和为 . 【答案】 【解析】试题分析:因为椭圆都以为准线,离心率,所以2242242421k k k kk k k k k k b a a b a a c a c a -=⇒-===,2222222222221212121k k kk kk k k kk k kk k k b a a a b a a c a c e -=⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛==,所以由以上两式可得:,所以椭圆的长轴和为132212212121212--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n.考点:椭圆的性质及等比数列定义的应用.14.若第一象限内的动点满足,则以P 为圆心,R 为半径且面积最小的圆的方程为__ ___. 【答案】 【解析】试题分析:∵,,可化为,当且仅当时取等号.变为解得,,当且仅当时取等号.∴圆心为,半径时,以为圆心为半径的圆的面积最小.此时圆的方程为:. 考点:不等式的应用.15.对于三次函数给出定义:设是函数的导函数,是的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点” .某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,解答以下问题: (1)函数的对称中心为 ; (2)计算… . 【答案】(1), (2)xx 【解析】 试题分析:,令,因为,所以函数的对称中心为;因为函数的对称中心为,所以,所以….考点:函数的性质及应用. 三、解答题(题型注释)16.在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. (1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中各项的系数和. 【答案】(1) (2) 【解析】 试题分析:(1)写出二项式的展开式的特征项,当的指数是1,2,3时,把1,2,3代入整理出这些项的系数的值即:.(2)根据上一问得出的结论令即可.解题的关键是写出展开式的特征项,利用特征项的特点解决问题,注意代数式的整理,特别是当分母上带有变量时注意整理. 试题解析:展开式的通项为,… 由已知:成等差数列, ∴ (1)(2)令,各项系数和为 考点:二项式项的系数问题. 17.已知.(1)解不等式;(2)若关于x 的不等式对任意的恒成立,求a 的取值范围. 【答案】(1);(2.【解析】试题分析:(1)理解绝对值的几何意义,表示的是数轴的上点到原点离.(2)对于恒成立的问题,常用到以下两个结论:(1),(2)(3)的应用.(4)掌握一般不等式的解法:(1),(2).试题解析:(1)当时由解得当时,不成立当时,解得综上有的解集是(2)因为,所以的最小值为3要使得关于x的不等式对任意的恒成立,只需解得,故a的取值范围是考点:(1)考察绝对值不等式的意义;(2)绝对值不等式的应用.18.如图,四边形是矩形,平面,四边形是梯形,,,点是的中点,.(1)求证:∥平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2).【解析】试题分析:(1)利用已知的线面平行关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面平行,需证线线平行,只需要证明直线的方向向量平行;(3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析:(1)证明:连结,交于点,∴点是的中点.∵点是的中点,∴是△的中位线. ∴∵平面,平面,∴平面(2)四边形是梯形,,又四边形是矩形,,又,又,,在△中,,由可求得… 7分以为原点,以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,∴,,,, ∴,,.设平面的法向量, ∴,.∴ 令,则,.∴.又是平面的法向量,∴ 如图所示,二面角为锐角. ∴二面角的余弦值是 考点:(1)证明直线与平面平行;(2)利用空间向量解决二面角问题.19.在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社会各界掀起美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植A ,B ,C ,D 四棵风景树,受本地地理环境的影响,A ,B 两棵树成活的概率均为,C ,D 两棵树成活的概率为,用表示最终成活的树的数量.(1)若A ,B 两棵树有且只有一棵成活的概率与C ,D 两棵树都成活的概率相等,求的值; (2)求的分布列(用表示);(3)若A ,B ,C ,D 四棵树中恰有两棵树成活的概率最大,求的范围. 【答案】(1);(2)见解析;(3) 【解析】试题分析:(1)由题设条件,能够列出方程,由此能够求出实数.(2)由题设知的所有可能取值为0,1,2,3, 4.分别求出()()()()(),4,3,2,1,0=====ξξξξξP P P P P 由此能求出的分布列.(3)由,得,由此能求出恰好两棵树成活的概率最大时的的取值范围. 试题解析:(1)由题意有:(2)的可能取值有0,1,2,3,4.1020212222111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==--+--=-22211022222222211111(2)()(1)(1)(1)(1)(122)22224P C a C C a a C C a a a ξ==-+--+-=+-2211222222111(3)()(1)(1)2222a P C C a a C C a ξ==-+-=所以的分布列为1234P(3)由0<a<1,所以,所以有得a的取值范围是考点:(1)离散型随机变量及其分布列;(2)互斥事件的概率加法公式;(3)相互独立事件的概率乘法公式.20.已知分别是椭圆的左、右焦点,其左准线与x轴相交于点N,并且满足.设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中.(1)求此椭圆的方程;(2)求直线AB的斜率的取值范围.【答案】(1)(2).【解析】试题分析:(1)设椭圆的方程,用待定系数法求出的值;(2)解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.试题解析:(1)由于12212222||2,1||1,c F FaNFca b c⎧==⎪⎪∴-==⎨⎪⎪=+⎩解得从而所求椭圆的方程是(2)三点共线,而点的坐标为,设直线AB的方程为由消去得,即根据条件可知解得设,则根据韦达定理得又由从而消去令2222111)21()(],31,51[,)1()(λλλλλλϕλλλλϕ-=-='++='∈+=则由于所以.上是减函数.从而,解得,而,因此直线AB 的斜率的取值范围是 考点:(1)椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆的综合问题. 21.已知函数在处取得极值. (1)求实数的值;(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围; (3)证明:对任意的正整数,不等式…都成立. 【答案】(1)(2);(3)见解析 【解析】试题分析:(1)函数,对其进行求导,在处取得极值,可得,求得值;(2)关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,将问题转化为,在区间上恰有两个不同的实数根,对对进行求导,从而求出的范围;(3)的定义域为,利用导数研究其单调性,可以推出,令,可以得到,利用此不等式进行放缩证明; 试题解析:(1) , 时, 取得极值, 故,解得经检验符合题意. (2)由知 由,得令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. 当时, ,于是在上单调递增; 当时, ,于是在上单调递减. 依题意有 解得(3) 的定义域为,由(1)知,令得,或 (舍去), 当时, ,单调递增;当时, ,单调递减.为在上的最大值. ,故 (当且仅当时,等号成立) 对任意正整数,取得, , 故……(方法二)数学归纳法证明:当时,左边,右边,显然,不等式成立. 假设时,…成立,则时,有….作差比较:222222111ln(2)ln(1)ln ln(1)((1)1(1)11(1)k k k k k k k k k k k ++++-+-=-=+-+++++++ 构建函数,则,在 单调递减,. 取,即22222ln(2)ln(1)ln 0(1)1(1)k k k k k k k k ++++-+-=-<+++,亦即,故时,有 (222)122ln(1)ln(2)(1)(1)k k k k k k k k +++++>++>+++, 不等式成立.综上可知,对任意的正整数,不等式…都成立考点:(1)利用导数研究函数的极值(2)利用导数研究函数的单调性.-39032 9878 顸28400 6EF0 滰27423 6B1F 欟38223 954F 镏37777 9391 鎑9`h< 24913 6151 慑~d。
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(考试时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“若a >-1,则a >-2”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中,真命题的个数是( )
A .0
B .1
C .2
D .4
2.命题“任意的x ∈R,2x 4
-x 2
+1<0”的否定是( ) A .不存在x ∈R,2x 4
-x 2
+1<0 B .存在x ∈R,2x 4-x 2
+1<0 C .存在x ∈R,2x 4
-x 2+1≥0
D .对任意的x ∈R,2x 4
-x 2
+1≥0
3.椭圆x 2
+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为( ) A.14 B.12 C .2
D .4
4.平面内有两定点A 、B 及动点P ,设命题甲是:“|PA |+|PB |是定值”,命题乙是:“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”,那么( )
A .甲是乙成立的充分不必要条件
B .甲是乙成立的必要不充分条件
C .甲是乙成立的充要条件
D .甲是乙成立的非充分非必要条件
5.下列结论正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题; ②命题“∀x ∈R ,x 2
+2<0”是全称命题;
③若p :∃x ∈R ,x 2
+4x +4≤0,则q :∀x ∈R ,x 2
+4x +4≤0是全称命题. A .0 B .1 C .2
D .3
6.设θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4,π,则关于x ,y 的方程x 2
sin θ-y 2
cos θ=1所表示的曲线为( )
A .实轴在y 轴上的双曲线
B .实轴在x 轴上的双曲线
C .长轴在y 轴上的椭圆
D .长轴在x 轴上的椭圆
7.已知直线l 过点P (1,0,-1),平行于向量a =(2,1,1),平面α过直线l 与点
M (1,2,3),则平面α的法向量不可能是( )
A .(1,-4,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
4,-1,12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1
4
,1,-12
D .(0,-1,1)
8.顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( )
A .y 2
=-4x
B .x 2
=4y
C .y 2
=-4x 或x 2
=4y
D .y 2
=4x 或x 2
=-4y
9.正四面体ABCD 中,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,DC 的中点,给出向量的数量积如下:①AB →·CD →;②AC →·EF →;③EF →·FG →;④EG →·CD →
.其中等于0的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
10.过双曲线x 29-y 2
18=1的焦点作弦MN ,若|MN |=48,则此弦的倾斜角为( )
A .30°
B .60°
C .30°或150°
D .60°或120°
11.如图所示,正方体ABCD -A ′B ′C ′D 中,M 是AB 的中点,则sin 〈DB ′,CM →
〉的值为( )
A.12
B.
21015 C.23
D.
1115
12.已知a >0,b >0,且双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1与椭圆C 2:x 2a 2+y 2
b
2=2有共同的焦点,则
双曲线C 1的离心率为( )
A. 2 B .2 C.23
3
D.43
3
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设命题p :|4x -3|≤1,命题q :x 2
-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若¬p 是¬q 的必要而不充分条件,则实数a 的取值范围是________.
14.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在AC →1上且AM →
= 12
MC 1→,N 为B 1B 的中点,则|MN →
|为________. 15.如图,设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点,E 为OC 的中点.若AE →=12OD →+xOB →+yOA →
,
则x =________,y =________.
16.若方程x 24-t +y 2
t -1=1所表示的曲线为C ,给出下列四个命题:
①若C 为椭圆,则1<t <4,且t ≠5
2
;
②若C 为双曲线,则t >4或t <1; ③曲线C 不可能是圆;
④若C 表示椭圆,且长轴在x 轴上,则1<t <3
2
.
其中正确的命题是________.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).
17.(本小题满分12分)已知p :方程x 2
+mx +1=0有两个不等的负根;q :方程4x 2
+4(m -2)x +1=0无实根.若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知拋物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1的一个
焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,拋物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32,6,求拋物线方程和双曲线方程.
19.(本小题满分12分)已知p :2x 2
-9x +a <0,
q :⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
-4x +3<0,
x 2
-6x +8<0,且¬p 是¬q 的充分条件,求实数a 的取值范围.
20.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,∠DAB =90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA =AD =DC =1
2
AB =1,M 是PB 的中点.
(1)证明:面PAD ⊥面PCD . (2)求AC 与PB 所成角的余弦值.
21.(本小题满分12分)已知椭圆G :x 2
4+y 2=1.过点(m,0)作圆x 2+y 2
=1的切线l 交椭
圆G 于A ,B 两点.
(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;
(2)将|AB |表示为m 的函数,并求|AB |的最大值.
22.(本小题满分14分)如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =
AB =12
PD .
(1)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (2)求二面角Q -BP -C 的余弦值.。