矩阵的行列式、秩与迹及特征值分析
矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程；2、特征值、特征向量的求法（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量；（5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则1λ是1A -的特征值；A λ是*A 的特征值，a 仍为相应的特征向量；（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()11n ni ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；1nii A λ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。
二、相似矩阵 1、定义设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ； ２、A ～B 的性质T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-⇒特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
矩阵可逆的若干判别方法
矩阵可逆的若干判别方法矩阵可逆是线性代数中的重要概念，表示矩阵具有逆矩阵，可以通过逆矩阵进行运算。
在此，将介绍几种常见的判别矩阵可逆的方法。
1.行列式的性质矩阵可逆等价于其行列式不等于零。
行列式可以通过展开成余子式的方式来计算。
如果矩阵的行列式不等于零，则矩阵可逆；反之，如果行列式等于零，则矩阵不可逆。
2.矩阵的秩矩阵的秩是矩阵中非零出现的最大阶数。
如果矩阵的秩等于矩阵的维度，则矩阵可逆；反之，如果矩阵的秩小于矩阵的维度，则矩阵不可逆。
3.矩阵的逆矩阵若一个矩阵A存在逆矩阵A-1，则A是可逆的。
矩阵A-1满足AA-1=A-1A=I，其中I是单位矩阵。
通过求解线性方程组Ax=I，如果线性方程组有唯一解，则矩阵A可逆；反之，如果线性方程组无解或有无穷多解，则矩阵A不可逆。
4.对角矩阵的判别方法对角矩阵是指矩阵的非对角元素都为零的矩阵。
对角矩阵可逆的条件是所有对角元素都不为零。
5.正交矩阵的判别方法正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的矩阵。
正交矩阵可逆的条件是其转置矩阵的行（或列）线性无关。
6.幂零矩阵的判别方法幂零矩阵是指矩阵的幂次方为零的矩阵。
幂零矩阵不可逆。
7.行满秩矩阵的判别方法行满秩矩阵是指矩阵的任意k（k为矩阵的行数）行线性无关。
行满秩矩阵可逆。
8.矩阵的特征值和特征向量如果一个矩阵的特征值都不为零，则矩阵可逆。
特征值是通过方程，A-λI，=0来计算的，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。
这些是常见的判别矩阵可逆的方法，它们都可以用来判定一个矩阵是否可逆。
不同的方法在不同的场景中有不同的适用性。
在实际问题中，可以根据具体的要求和已知条件选择合适的方法进行判别。
矩阵的特征值与特征向量 正文
引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作。
自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分。
近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。
另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。
同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。
特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系。
可以说，特征值与特征向量问题是矩阵理论的基本核心问题。
因此，掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要的。
矩阵是高等代数课程的一个基本概念是研究高等代数的基本工具。
线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。
求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。
一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。
特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
“特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。
eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”，这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。
矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值。
随着计算机的迅速发展，现代社会的进步和科技的突飞猛进，高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透，它的作用越来越为世人所重视。
线性代数知识点总结(第5章)
线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2.Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5.H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. nnkk i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A HB)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k ，等于用数k乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k 加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace 展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则7、n 阶（n ≥2）范德蒙德行列式大学资料菌数学归纳法证明★8、对角线的元素为a ，其余元素为b 的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n |A| （2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T |=|A|（4）|A -1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A 的特征值λ1、λ2、……λn ，则（7）若A 与B 相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解大学资料菌（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A -1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O 不能推出A=O 或B=O 。
第3讲 矩阵分析
2.4.5 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的 长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就 不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格 式与求向量的范数的函数完全相同。
2.6.3.字符串操作
1、字符串比较
(1)比较两个字符串是否完全相同：strcmp (2)比较两个字符串的前n个字符是否相同。strncmp
(3)比较两个字符串是否完全相同，不区分大小写。 Strcmpi
两个字符串还可以逐个字符的比较，MATLAB中用关系 运算符等于(==)实现这一比较。需要注意的是，待比较的 两个字符串必须长度相等，或者其中之一为单个字符。
2.4 矩阵分析
矩阵是线性代数研究的基本元素，实际上相当于MATLAB 中的普通二维数组。矩阵分析主要是研究矩阵的各种特性 及其表征方法。
2.4.1矩阵的行列式
矩阵的行列式是一个数值，它可以用来表示矩阵是否奇异 （矩阵行列式等于0），这主要用在线性方程组特性分析 上。MATLAB中求解矩阵行列式的函数是det. 例如：A=magic(3) det(A)
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
矩阵知识
p
(j≠k)，即A的p个列向量也是一组正交单位向量。 ， 个列向量也是一组正交单位向量 的 个列向量也是一组正交单位向量。 若方阵A满足 若方阵 满足A2=A，则称 为幂等矩阵。 满足 ，则称A为幂等矩阵。 对称的幂等矩阵称为投影矩阵 投影矩阵。 对称的幂等矩阵称为投影矩阵。
11:43 7
正交矩阵A的几何意义 正交矩阵 的几何意义
y1 cos θ y= = y2 − sin θ
sin θ x1 x = Ax cos θ 2
几何展示 当p=3时同样有着直观的几何展示。 时同样有着直观的几何展示。 由于 y′y=(Ax)′(Ax)=x′A′Ax=x′x 在新、旧坐标系下，该点到原点的距离保持不变。 故在新、旧坐标系下，该点到原点的距离保持不变。
11:43
没有交换律
6
若两个p维向量 和 满足 若两个 维向量a和b满足 维向量 a′b=a1b1+a2b2+⋯+apbp=0 ⋯ 则称a和b正交。几何上，正交向量之间相互垂直。 则称 和 正交。几何上，正交向量之间相互垂直。 正交
2 aij = 1 若方阵A满足 满足AA′=I，则称 为正交矩阵。显然， ∑ ， 若方阵 满足 ，则称A为正交矩阵。显然， p j =1
A11 A12 C11 C12 AC = A21 A22 C 21 C 22 A11C11 + A12C 21 A11C12 + A12C 22 = A21C11 + A22C 21 A21C12 + A22C 22
11:43 10
用矩阵分块方法证明正交矩阵A： × 的 例1.2.2 用矩阵分块方法证明正交矩阵 ：p×p的p 个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量 个行向量都是一组正交单位向量。 个列向量和 个行向量都是一组正交单位向量。 将矩阵A分别按列向量和行向量分块 分别按列向量和行向量分块， 证明 将矩阵 分别按列向量和行向量分块，并记
矩阵特征值的几何意义与方程特性的分析
矩阵特征值的几何意义与方程特性的分析矩阵是线性代数中广泛使用的基本工具。
其中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念，在多个领域有着广泛的应用。
特征值和特征向量是矩阵特有的性质，它们具有深刻的几何意义，并在许多实际问题的求解中起到了关键作用。
本文将介绍矩阵特征值和特征向量的定义、计算方法以及它们的几何意义和方程特性的分析。
1. 矩阵特征值和特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量是矩阵的一种本征性质，也是矩阵理论中最具代表性的概念之一。
设有一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得下面的式子成立：AX=λX其中，λ称为矩阵A的特征值，X称为矩阵A的特征向量。
换句话说，如果向量X被A矩阵作用后，只变化了一个常数λ的倍数，那么λ就是A的特征值，X就是A的特征向量。
需要注意的是，特征向量存在不唯一性，即如果一个向量X是A的特征向量，则kX(k为非零常数)也是A的特征向量，λ值不变。
2. 矩阵特征值和特征向量的计算方法计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要的课题，有多种方法可以用来计算。
其中，求解矩阵的特征值和特征向量，可以用代数补全、特征多项式和迭代法等多种方法。
代数补全法是一种古老的计算特征值和特征向量的方法，其基本思想是根据矩阵的性质构造代数方程式W(x)=0，其中W(x)是一个n阶多项式，方程的0根就是矩阵A的特征值，然后通过矩阵运算求出每个特征值对应的特征向量。
特征多项式法是一种简化代数补全法的计算方法，通过求矩阵W(A)的特征值，就可以求出矩阵A的特征值。
迭代法是求解特征值的一种数值方法。
它是一种逐步逼近的方法，通过不断迭代求解，寻找矩阵的特征值和对应的特征向量。
3. 矩阵特征值和特征向量的几何意义矩阵的特征值和特征向量具有深刻的几何意义，在计算机图形学、机器学习和信号处理等领域广泛应用。
几何意义一：特征向量表示变换方向。
矩阵的特征向量代表着变换方向。
当我们通过A作用于向量X 时，X会被变换到其特征向量的方向上，并且变换的大小是特征值λ。
Matlab应用线性代数
矩阵的行列式
可用函数det求矩阵的行列式大小。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=det(a) b=
1
矩阵的四则运算
❖ 数组和矩阵的加减运算使用加号和减号，即 “+”和“-”。
❖ 矩阵相乘使用“*”运算符。
❖ 如果只是将两个矩阵中相同位置的元素相乘， 使用“.*”运算符。
线性方程组的求解
❖ 方形系统 p135 ❖ 超定系统 ❖ 不定系统
符号矩阵
❖ 符号矩阵的四则运算 ❖ 符号矩阵的转置运算 ❖ 符号矩阵的行列式运算 ❖ 符号矩阵的求逆运算 ❖ 符号矩阵的求秩运算 ❖ 符号矩阵的常用函数运算 ❖ 符号矩阵常用线性方程(组)的求解
符号矩阵运算的函数： symadd(a,d) —— 符号矩阵的加 symsub(a,b) —— 符号矩阵的减 symmul(a,b) —— 符号矩阵的乘 symdiv(a,b) —— 符号矩阵的除 sympow(a,b) —— 符号矩阵的幂运算 symop(a,b) —— 符号矩阵的综合运算
load mri; montage(D,map);
❖ Imwrite;将图像写成图像文件 （bmp,hdf,jpeg,tiff等）; imwrite(A,文件名，‘格式’)；
❖ Warp 显示图像为纹理映射表面 warp(x,y,z,….) [x,y,z]=sphere; d=imread('test.jpg'); warp(x,y,z,d); warp(x,y,z,X,map);%% load trees; 具有颜色图map的索引图X
0000
矩阵的秩
用函数rank求矩阵的秩。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=rank(a) b=
矩阵的总结知识点
矩阵的总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数学对象。
矩阵的概念最早出现在线性代数理论中，它是由m行n列的数字排成的矩形阵列。
通常表示为一个大写字母，比如A，而矩阵中的元素通常用小写字母表示，比如a_ij，表示在第i行第j列的元素。
2. 矩阵的类型根据矩阵的形状和性质不同，可以将矩阵分为多种类型，比如方阵、对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵等。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵关于主对角线对称，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零，而三角矩阵是指上三角或下三角矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法等。
其中，矩阵的加法和减法要求相加的矩阵具有相同的形状，即行数和列数相同；而矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个标量；矩阵的乘法是指矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
4. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵，记作A^T。
而逆矩阵是指如果一个矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆，否则称矩阵A为奇异矩阵。
二、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示和求解线性方程组，线性方程组可以表示成AX=B的形式，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
通过矩阵的基本变换和行列式的计算，可以求解线性方程组的解。
2. 数据处理和分析在数据处理和分析领域，矩阵可以用来表示和处理大规模的数据集。
比如，在机器学习算法中，可以通过矩阵的运算和矩阵分解来进行数据的降维和特征的提取。
3. 控制理论在控制理论中，矩阵可以用来描述线性系统的状态方程和控制方程，通过对状态矩阵和控制矩阵的计算和分析，可以得到系统的稳定性和控制性能。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵可以用来描述和处理图形的旋转、平移、缩放等变换，通过矩阵的运算和矩阵乘法，可以实现图形的变换和动画效果。
线性代数计算法则
线性代数计算法则线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
它在科学、经济学和工程学等各个领域都有广泛的应用。
线性代数的计算法则是进行线性代数运算的方法和规则，下面将对线性代数计算法则进行详细介绍。
一、向量和矩阵的基本运算1.向量和矩阵的加法：向量和矩阵的对应元素相加，即两个向量或矩阵的对应元素分别相加形成一个新的向量或矩阵。
2.向量和矩阵的数乘：一个向量或矩阵中的每个元素乘以一个实数，即实数与向量或矩阵的每个元素相乘形成一个新的向量或矩阵。
3.向量的内积：两个向量的内积等于对应元素乘积的和。
4.矩阵的乘法：矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算，其中第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其中每个元素是第一个矩阵的其中一行与第二个矩阵的其中一列对应元素乘积的和。
5.矩阵的转置：将矩阵的行和列互换，得到一个新的矩阵。
6.矩阵的逆：对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，矩阵B称为A的逆矩阵。
二、矩阵的行列式1.行列式定义：行列式是一个标量值，它是一个n阶方阵中元素的代数和。
2.行列式性质：-行列式的值与它的转置矩阵的值相等。
-交换矩阵中两行或两列的位置，行列式取负。
-将矩阵的其中一行（或其中一列）的所有元素乘以一个数k，行列式的值也乘以k。
-如果矩阵的其中一行（或其中一列）的元素全为0，则行列式的值等于0。
-如果矩阵的两行（或两列）相等，则行列式的值等于0。
-行列式的值等于每一行（或每一列）的元素与它们所在行（或列）的代数余子式相乘再求和。
三、矩阵的特征值和特征向量1.特征值和特征向量定义：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和非零向量X，使得AX=λX，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应的特征向量。
2.特征值和特征向量的计算：-特征值是矩阵A减去λ的单位矩阵后的行列式等于0的解。
-对每个求解得到的特征值λ，代入(A-λI)X=0的线性方程组中，求解得到对应的特征向量X。
2021考研数学线性代数公式详解-特征值与特征向量
一、矩阵 的特征值和特征向盘1.矩阵的特征值与特征向量的概念对于n阶方阵A,若有数λ和向盘X:;t O，满足Ax ＝λX, 林λ为A的特征值，称x为A的属于特征值λ的特征向盘．2.矩阵的特征多项式与特征方程的概念行列式／（A)=A －λEl 或／（λ）＝｜λE-AI称为矩阵A的特征多项式：A －λEl=O或｜λE -A l =O称为矩阵A的特征方程．3.矩阵的特征值与特征向量的求法设λ是A的一个特征值，x是A的属于λ的特征向量的充要条件是zλ为特征方程λE-A l=O的根，x是齐改方程组（λE-A)x =O的非零解．具体计算步骤如下z (1）计算机E-A :(2）求｜λE-Al=O的全部棍，ll P 为A的全部特征值：(3）对于每一个特征值句，求出（λ。
E-A)x=O的一个基础解系吨，酌，…，飞－，.其中r为矩阵也E-A的秩，则A 的属于λ。
的全部特征向量为k,111+k 2、＋…＋k n -,11n叶’其中k l 'k 2，…，k n －，是不全为霉的任意常数．4.特征值和特征向盘的性质(I)特征值的性质。
设λ是方阵A的特征值，X是A对应λ的特征向最，则矩阵kA,A m,A-1,A·分别有特征值为z U,.-t "'，＿！＿）剑，贝Ux也是kA.A m.A-1.A•对应特征值以，r ，土，凶”λ’λ””’λ’λ的特征向盘．2 ）设λ是方阵A 的一个特征值，x为对应的特征向盘，若伊（A )=a 0E +a 1A＋…＋a n A n，则ψλ）＝a 0 +a 1λ＋…＋a n A ＂是ψ（A ）的一个特征值，x为对应特征向盘．3）若n阶方阵A=(a ij ）的全部特征值为λ，，也，…，.－！＂< k 重特征值算作k个特征值）则z①码＋A..z＋…＋礼＝a ,,+a 22＋…＋a nn : 2021考研高等数学必备公式特征值与特征向量②AiA:i ...λ..=IAI.）阳”的秩R(A)=l，则A的n个特征值为Ai=a u +a22 ＋…＋a,,,,• 4）设A=(a11A:i＝也＝…＝礼＝0(2）特征向盘的性质1)设码，A:i,...，λm是方阵A的互不相同的特征值，X；是对应于..,1;(i = 1,2,··,m）的特征向量，则向量组鸟，鸟，…，x m线性无关，即对应于互不相同特征值的特征向盘线性无关：但相同特征值对应的特征向量可能线性相关，也可能线性无关．2）设坞，X2为A的属于λ的两个不同的特征向盘，若k1X1+kx2 :#0，贝tlk1x1+k2鸟也2是A的属于λ的特征向盘．3）设X1,X2为A的不同特征值λ1，名对应的特征向盘，则X1+X2不是A的特征向ffl:.4)k重特征值最多对应k个线性无关的特征向盘．二、相似矩阵、矩阵的对角化1. 相似短阵的概念与性质(1）相似矩阵的概念设A,8为两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P-1AP成立，则称矩阵A与B相似，记为A～8.(2）相似矩阵的性质如果A～B，则有：1) A r～e r.2) A-I～e-1 ＜若A,8均可逆〉．3) A+kE～B+kE.的A11.～e.t<k为正整数〉．的｜λE-Al=IλE-BI，从而A,8有相同的特征值－S) I A l=I B，从而A,8同时可逆或同时不可逆．7) 4au = 4轧CA、B有相同的迹〉8) R(A)=R(B).2.矩阵可相似对角化(1)相似对角化的概念若n阶矩阵A与对角矩阵A相似，则称A可以相似对角化，记为A～A，并称A是A 的相似标准形．(2) A与对角矩阵相似的充要条件A与对角矩阵相似的充要条件为n阶矩阵A有n个线性无关的特征向盘．1) A与对角矩阵相似的充分条件z若A有n个互不相等的特征值4，也，…，礼，则A必与对角矩阵相似．2) A与对角矩阵相似的充要条件：对A的特征值的重根数等于其对应的线性无关的特征向盘个数，即R （λE-A)=n-k .(4）相似对角化A为对角短阵A的解题步骤。
特征矩阵行列式
特征矩阵行列式特征矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，也是很多应用数学领域，例如图像处理、信号处理、统计学习、物理学等等中经常用到的一个知识点。
本文将以特征矩阵的行列式为主线，介绍特征矩阵的相关概念、性质以及应用。
一、特征矩阵的定义特征矩阵是指一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 所满足的特殊条件：存在一个 $\lambda$，使得当一个向量 $x$ 满足 $Ax=\lambda x$ 时，$x$ 是非零向量。
此时 $\lambda$ 被称为矩阵 $A$ 的一个特征值，而列向量$x$ 被称为矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。
一个矩阵可以具有 $n$ 个特征值和 $n$ 个对应的特征向量。
特征向量不同所对应的特征值也不同。
二、特征值与行列式对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，我们可以定义其特征值方程：$$det(A - \lambda I_n) = 0$$其中 $I_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$det$ 表示行列式。
这个方程根据矩阵$A$ 的特征矩阵（即矩阵 $A - \lambda I_n$）的行列式为零的特殊性质得到。
我们来解释一下这个方程：对于一个非零特征向量 $x$ 和其对应的特征值 $\lambda$，有 $Ax=\lambda x$，可以转化成 $(A - \lambda I_n)x=0$，因此矩阵 $(A - \lambda I_n)$ 是奇异矩阵，其行列式为零。
因此，我们可以解出特征值方程的 $n$ 个根 $\lambda_1,\lambda_2, \cdots ,\lambda_n$，它们就是矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值。
特别地，当 $n=2$ 时，对于矩阵$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，有其特征值方程为：$$det(A - \lambda I_n) = \begin{vmatrix}a-\lambda & b\\c & d-\lambda\end{vmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc = \lambda^2 -(a+d)\lambda + (ad-bc) = 0$$其根为：$$\lambda_1,\lambda_2 = \frac{a+d \pm \sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2}$$三、特征值与特征向量的关系对于特征值方程 $det(A - \lambda I_n) = 0$，我们可以求解出 $n$ 个特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$。
矩阵的行列式与特征值的关系证明
矩阵的行列式与特征值的关系证明矩阵的行列式与特征值之间有着密切关系，下面通过证明来说明。
假设A是一个n阶矩阵，其行列式为|A|。
如果存在一个非零列向量x，使得Ax=kx，其中k是一个实数，则k被称为A的特征值，x被称为对应于特征值k的特征向量。
现在我们来证明，如果A是一个n阶矩阵，其行列式为|A|，则A的n个特征值的乘积等于|A|。
证明如下：1.假设λ是A的一个特征值，x是对应的特征向量，则有Ax=λx。
2.将矩阵A按第一个列展开，得到：|A| = a11 A11 + a21 A12 + … + an1 An1其中，Aij表示A去掉第i行和第j列后的（n-1）阶矩阵的行列式，aij是A的第i行第j列元素。
3.将第一个列向量x展开，得到：x = [x1, x2, … , xn]T其中，xi是x的第i个分量。
4.根据Ax=λx，可得到：a11 x1 + a21 x2 + … + an1 xn = λ x1a12 x1 + a22 x2 + … + an2 xn = λ x2…an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = λ xn5.将第一个等式左边的式子用其他等式左边的式子表示，得到：a11 x1 + a21 x2 + … + an1 xn = λ x1a21 x1 + a22 x2 + … + an2 xn = λ x2 - a12 x1…an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = λ xn - an-1,n x1 - an,n-1 x26.将这些等式左边的式子排成一个n阶行列式的形式，即：|A| x1 + (-1)^1+2 A12 x1 + … + (-1)^1+n-1 An-1,n x1 = λ x1|A| x2 + (-1)^2+1 A21 x2 + … + (-1)^2+n-1 An-1,n-1 x2 = λ x2…|A| xn + (-1)^n+1 A1n xn + … + (-1)^n+n-1 Ann-1 xn = λ xn7.根据行列式的定义可知，上述方程组中行列式的值都为|A|，因此可以将它们约掉，得到：x1 + (-1)^1+2 (λ/a11) x1 + … + (-1)^1+n-1 (λ/an-1,n) x1 = 0x2 + (-1)^2+1 (λ/a22) x2 + … + (-1)^2+n-1 (λ/an-1,n-1) x2 = 0…xn + (-1)^n+1 (λ/a1n) xn + … + (-1)^n+n-1 (λ/ann-1) xn = 08.可以将上述方程组写成矩阵-向量的形式，即：(A-λI) x = 0其中，I表示n阶单位矩阵。
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Al=[l,2,3;4,5,6] B1=det(A1) C1=trace(A1)
2.2矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵主对角线元素的总和。 也等于矩阵特征值的总和。
运算符：trace() 注意：要求矩阵是方阵
3.矩阵的特征值分析
E=eig(A ) 求矩阵A的全部特征值， 并构成向量E
[V,D]=eig(A )求矩阵A的全部特征值，构成 对角矩阵D；求A的特征向量 构成列向量V。
例2.4一1
矩阵的行列式、秩与迹 及特征值分析
主要内容
矩阵的行列式 矩 阵的秩与迹 矩阵 的特征值分析
1・矩阵的行列 式
运算符：det() 注意：用于求方阵阵的秩 矩阵的秩是矩阵的列向量组(或行向量组) 的任一极大线性无关组所含向量的个数。
运算符：rank()
2.矩阵的秩与迹