7 高维波动方程求解法2
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
波动方程与解法
波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，描述了波动过程中的空间和时间变化。
一维波动方程可表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后，将方程两边的变量分离，得到两个常微分方程，分别是关于时间的方程和关于空间的方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的具体形式。
2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式：u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中，φ和ψ是任意两个函数。
这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。
3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。
根据叠加原理，可将多个波动方程的解叠加在一起，得到新的波函数。
利用叠加原理，可以描述出复杂的波动现象，如波的干涉和衍射。
三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。
例如，弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解，从而了解波的传播速度和波形。
2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。
例如，光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解，从而了解光的折射、反射和衍射等现象。
3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。
利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征，对地震进行研究和预测具有重要意义。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
对高维波动方程的探讨
g ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn +1 ) ≡ g ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn ) h( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn +1 ) ≡ h( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn )
则： u |t = 0 = g , u t |t =0 = h 既然 n + 1 是奇数，令 x ∈ R n , t > 0, x = ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn ,0) ∈ R n +1 ，则：
dy
=
2tα (n) * (n + 1)α (n + 1) B (∫ x ,t )
g ( y)
(t − | y − x | )
2 1 2 2
dy
同理易求得
∫
*
hd S
1
2 2α (n) ∂ 1 ∂ n− [ ( ) 2 (t n ∫ * (n + 1)α (n + 1) ∂t t ∂t B ( x ,t )
因此 lim r →0
U (r , t ) = lim r →0 U ( x; r , t ) = u ( x, t ) β 0k r
' 1 G (t + r ) − G (t − r ) 1 t + r 1 lim r →0 [ + ∫ H ( y )dy ] = k [G (t ) + H (t )] k β0 2r 2r t − r β0
对高维波动方程的探讨
胡刚毅 PB10000830 少年班学院 指导老师：宣本金
（一）问题的提出 一般来说， 凡是弹性介质中微小扰动的传播问题， 如弹性杆的纵振动、 弹性膜的横振动、 声波在空气中的传播等，都可以导出同一类方程：
utt = a 2 ∆u + f (t , x) ，
求解波动方程的关键步骤
求解波动方程的关键步骤波动现象在我们日常生活中随处可见，如光的传播、声音的传递以及水波的起伏等。
为了更好地理解和描述这些波动现象，我们需要掌握求解波动方程的关键步骤。
本文将介绍波动方程的求解过程，并以声波传播为例进行具体说明。
首先，要求解波动方程，我们首先需要明确波动方程的形式。
波动方程可以用数学模型进行描述，一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u代表介质的波动量，t代表时间，c代表波速，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程是一个偏微分方程，其中包含了关于时间和空间的导数。
因此，求解波动方程需要使用偏微分方程的求解方法。
其次，我们需要确定边界条件和初始条件。
边界条件是指在介质的边界上，波动量u要满足的条件。
初始条件是指在初始时刻，波动量u的分布情况。
边界条件和初始条件的确定对于波动方程的求解至关重要，它们将影响到波动方程解的形式和性质。
以声波传播为例，假设我们要求解声波在一维空间中的传播情况。
我们可以设定一个弦，弦上的波动量u代表声波的振动情况。
边界条件可以是弦的两端固定或自由。
初始条件可以是弦上某点接受到一个初始的电信号，使弦开始振动。
接下来，我们需要应用适当的数值方法来求解波动方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些数值方法将波动方程转化为离散的差分方程或代数方程，从而可以通过计算机进行求解。
以声波传播为例，我们可以使用有限差分法来求解波动方程。
将空间划分为离散的节点，时间划分为离散的时间步长。
根据波动方程的差分形式，我们可以通过节点之间的关系，逐步更新波动量u的数值。
通过迭代计算，最终得到时间和空间上波动量u的数值解。
最后，我们应该对数值解进行验证和分析。
验证数值解的正确性，可以比较数值解和解析解之间的差异。
当然，在实际情况下，解析解并不一定存在或很难求得。
因此，我们还可以通过调整边界条件和参数，观察数值解的变化规律，进一步分析波动方程的性质和特点。
高维波动方程的初值问题(课堂PPT)
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2
u
dS
M r
S rM
a2r2
S1M
u (M r
r,t)d
2020/4/24
6
utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
dS
M r
r 2d.
u(r,t)
1
4r 2
SrM
u(P,
t
)dS
M r
1
4
S1M
u(M
r, t )d.
对上式两边对 r 取极限 r 0, 得
lim u (r,t) 1
r 0
4
此外，记
V
M r
表示以
S1M
M
u(M ,t)d u(M ,t).
为球心，r 为半径的球体，
则在V
M r
上的体积分用球坐标可表示为
fdVrM
r
0 dr1
fdSrM1
r
0 dr1
f (M r1)r12d.
VrM
SrM1
S1M
则有
utt dVrM
VrM
2 t 2
VrM
udVrM
2 t 2
r
0 dr1
u(M r1)r12d
波动方程及其解法
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
高维波动方程的初值问题
汇报人：
目录
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高维波动方程的背景
高维波动方程的初值 问题概述
高维波动方程初值问 题的求解方法
高维波动方程初值问 题的数值解法
高维波动方程初值问 题的应用实例
添加章节标题
高维波动方程的背 景
波动方程是描 述波动现象的
偏微分方程
常见的波动方 程有弦振动方 程、波动方程 和热传导方程
性和意义
举例说明高维 波动方程在流 体动力学中的
具体应用
总结高维波动 方程在流体动 力学中的发展 前景和未来研
究方向
高维波动方程初值 问题的未来研究方 向
误差控制：研究如何有效控 制算法误差提高计算精度
算法改进：针对高维波动方程 初值问题研究更高效的数值算 法
并行计算：利用并行计算技术 加速算法运行提高计算效率
应用拓展：将高效数值算法应 用于实际问题促进实际应用的
发展
介绍高维波动方程 初值问题中多尺度 问题的重要性和研 究意义。
概述当前多尺度 问题研究的现状 和主要成果。
探讨未来多尺度问 题研究的方向和可 能面临的挑战。
分析多尺度问题研 究对相关领域的影 响和应用前景。
介绍非线性问题在高维波动方程初值问题中的重要性和研究现状。 探讨非线性问题对高维波动方程初值问题的影响和作用机制。 分析非线性问题在高维波动方程初值问题中的未来研究方向和挑战。 提出一些可能的解决方案和未来研究展望。
感谢您的观看
汇报人：
数值求解的复杂性和计算 成本较高
高维波动方程初值 问题的求解方法
有限差分法：将偏微分方程转化为 差分方程通过迭代求解
有限元法：将高维波动方程的求解区 域划分为有限个小的子区域在每个子 区域上定义基函数通过求解线性方程 组得到原问题的解
求解高维波动方程的两种高精度紧致LOD格式及软件使用
求解高维波动方程的两种高精度紧致LOD格式及软件使用求解高维波动方程的两种高精度紧致LOD格式及软件使用波动方程是描述波动现象的重要方程，广泛应用于物理学、地震学等领域。
在实际应用中，我们常常需要求解高维波动方程，这对计算的精度和效率提出了挑战。
近年来，一种高精度紧致LOD（Locally Odconcentrated Discretization）格式被广泛应用于求解高维波动方程，并在很多领域取得了重要的成果。
高维波动方程的求解可以通过数值方法来实现，其中较为常用的有有限差分法、有限元法、谱方法等。
与传统方法相比，LOD格式具有更高的精度和计算效率。
下面将介绍两种常用的高精度紧致LOD格式——Spectral LOD和Finite Difference LOD，并介绍其相应的软件使用方法。
1. Spectral LODSpectral LOD是一种基于谱方法的高精度紧致LOD格式，其主要思想是通过适应性的局部分解来提高计算精度。
具体步骤如下：（1）通过谱方法将高维波动方程离散化为一组常微分方程。
（2）对谱方法得到的方程进行LOD处理，将其分解为低频和高频部分。
（3）使用高精度差分方法对低频部分进行求解，使用适应性较差的差分方法对高频部分进行求解。
（4）将低频部分和高频部分的求解结果叠加得到最终的数值解。
软件使用方法如下：（1）下载和安装相应的谱方法求解器，如SpectralLOD Solver。
（2）编写高维波动方程的输入文件，包括方程的参数和边界条件等。
（3）运行求解器，得到高维波动方程的数值解。
2. Finite Difference LODFinite Difference LOD是一种基于有限差分法的高精度紧致LOD格式，其主要思想是通过适应性的局部差分格式来提高计算精度。
具体步骤如下：（1）通过有限差分法将高维波动方程离散化为一个差分方程组。
（2）对差分方程组进行LOD处理，将其分解为低频和高频部分。
波动方程的直观求解法
波动方程是物理学中的关键方程之一，解决这个问题是很重要的，但是有时候这个方程很难以理解。
在这篇文章中，我们将探讨一些直观的求解波动方程的方法。
一、分离变量法：这是求解波动方程的最常用方法之一。
分离变量意味着将变量分开，然后解决方程。
这种方法需要一定的数学知识，但是只要理解了它的原理，就可以轻松地应用它来解决波动方程。
二、超定平衡法：这种方法是通过将波特征的变化定义为超定平衡来解决波动方程的。
这种方法比较复杂，但是如果正确地应用它，就可以得到很精确的解决方案。
三、观察物理实验：物理实验可以非常直观地帮助我们理解波动方程。
通过观察实验，我们可以确定方程的一些基本要素，如波长、频率等等。
四、数值方法：数值方法是一种较为常见的解决波动方程的方法，它可以通过计算机程序来求解方程。
这种方法需要一些计算机科学和数学方面的知识，但是它可以帮助我们得到非常精确的解决方案。
五、借助解析法解决实际问题：在实际问题中，我们经常会遇到一些非常复杂的波动问题。
通过运用解析法，我们可以采用一些简单的模型来解决这些问题，这些模型可以帮助我们获得更准确和实际的结果。
总之，求解波动方程需要一定的数学和物理学知识，但是只要我们了解了基本的原理，就可以使用这些方法来得到我们需要的结果。
当然，在实际问题中，我们可能需要结合多种方法来获得最好的结果。
波动方程的基本解
波动方程的基本解一、引言波动方程是数学中的一类重要偏微分方程，它描述了许多自然现象中的波动现象，如声波、电磁波等。
解决波动方程问题的关键在于求出其基本解，本文将介绍波动方程的基本解。
二、一维情形下的波动方程考虑一维情形下的波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$表示波函数，$c$表示传播速度。
为了求解该方程，需要找到其基本解。
三、基本解的定义对于偏微分方程$L[u]=f(x)$，如果存在一个函数$G(x,y)$满足$L[G]=\delta(x-y)$（其中$\delta(x-y)$表示Dirac函数），那么称$G(x,y)$为$L[u]=f(x)$的一个基本解。
四、一维情形下基本解的求解对于一维情形下的波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$可以通过变量分离法得到通解：$$u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$其中$f,g$为任意两个可导函数。
接下来，我们尝试构造基本解$G(x,y)$。
假设$G(x,y)$满足：$$\frac{\partial^2 G}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2G}{\partial x^2}$$且满足初始条件：$$G(x,0)=0,\quad \frac{\partial G}{\partial t}(x,0)=\delta(x-y)$$ 其中$\delta(x-y)$表示Dirac函数。
这个初始条件的物理意义是，在$t=0$时，波源位于点$y$处，产生了一个脉冲信号。
根据通解的形式，我们可以将基本解表示为：$$G(x,y)=f(x+y)+g(x-y)$$由于$\delta(x-y)$是一个奇函数，即$\delta(-x)=-\delta(x)$，因此有：$$\frac{\partial G}{\partial t}(x,0)=f'(x+y)-g'(x-y)$$将上式代入初始条件中可得：$$f'(y)-g'(y)=1$$由此可得$f(y)-g(y)=y+C_1$（其中$C_1$为常数），进一步地有$f(y)+g(y)=C_2$（其中$C_2$为常数）。
波动方程的求解(补充)20110517
波动方程的求解方法《高电压技术》第七章补充内容20110517一．求解算例：（暂态算例，与作业P93页7-3类似）如图1所示，直流电源在t=0时刻合闸于无损单导线，已知电源电压E=1V,电源内阻为0，无损单导线单位长度的电感为L0、单位长度的对地电容为C0,线路长度为1m,且末端开路。
（注：设线路末端为x=0的起始点，x正方向从线路末端指向电源端）图1 直流电源合闸于有限长线路1）写出无损单导线的时域波动方程。
2）写出无损单导线的频域波动方程。
3）根据频域方程和边界条件求线路上任意一点的电压的频域表达式。
二、求解过程1.均匀传输线的波动方程：0000u i ir L x t i u ug C xt∂∂⎧-=+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=+⎪∂∂⎩2.忽略损耗，上式的解耦形式为：220022220022u uL C x t i i L C xt ⎧∂∂ =⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪ =⎪∂∂⎩3.应用拉普拉斯变换到频域得：222222d u ud d i i d xxγγ = =，γ，p 为拉普拉斯算子4.写出电压方程和电流方程的通解形式：u(x)=Aexp(-x)+Bexp(x)γγA B i(x)=exp(-x)+exp(x)zzγγ-其中z为线路波阻抗，且5.代入边界条件 电源端:x=1,u=1/p;线路末端：x=0,i=0,求出A 和B ，得到：1cosh x u(x)=p cosh γγ⋅三、作业（稳态算例，选作,参见§11-1空载长线电容效应P297-298）如图2所示，已知无损空载长线长为L ，末端开路，该线单位长度的电感为L 0、单位长度的对地电容为C 0, 电源电压为E ，且X L =0，求U X 的关于E 频域表达式。
图2 空载电路的沿线电压分布曲线1()cos cos xU E Ux Lαα∙∙∙=（P298页式11-1-8）提示：1.应用正弦稳态变换，即p =j ω变换到频域求解。
波动方程求解方法
常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。
1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。
有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。
有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。
有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。
同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。
有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。
有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。
在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网格线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。
目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。
chapter7-2-4 波动方程的求解
u( x , t ) = ∑ Tn ( t ) cos(
n =1 ∞
∞
nπ x) l
u( x , t ) = ∑ Tn ( t ) sin
n =1 ∞
n + 1/ 2 πx l n + 1/ 2 πx l
utt − a 2 u xx = f ( x , t ) (0 < x < l ; t > 0) II : u x x = 0 = 0; u x = l = 0 u t = 0 = ϕ ( x ); ut t = 0 = ψ ( x )
∞
nπat nπat nπ u t + Bn sin t ) sin( x) 通解： 通解： ( x , t ) = ∑ ( An cos l l l n =1 2 l nπξ 2 l nπξ An = ∫ ϕ (ξ ) sin dξ Bn = ∫0 ψ (ξ ) sin l dξ nπa l 0 l 2 4h l 2 nπξ An = ( − 2 )∫ (ξ − lξ ) sin dξ Bn = 0 0 l l l 8h l 2 nπξ dξ = − 3 ∫ (ξ − lξ ) sin 0 l l 16h = − 3 3 (cos nπ − 1) nπ
Fourier级数法
• Fourier级数法
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ∂t 2 ∂x u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ], u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, t≥0
高维波动方程柯西问题变换迭代法的推广
高维波动方程柯西问题变换迭代法的推广波动方程是一种重要的常微分方程，用于描述空间时间和物理量之间的相互关系。
因为它涉及到大量的数学运算，所以如何快速精确地求解波动方程是学术界关注的热点问题。
变换迭代法是一种比较成熟的求解波动方程的方法，其中首先把原始的波动方程变换成一组简单的线性方程，再用迭代法来求解。
柯西变换迭代法是根据古典柯西书籍中的结论而得到的。
但是，柯西变换迭代法只能简单地处理一维波动方程，而不能处理更复杂的多维波动方程。
因此，如何推广柯西变换迭代法用于多维波动方程解决问题，成为当前理论研究的热点。
本文主要针对这一问题，通过一些实例和理论推导，介绍柯西变换迭代法在多维波动方程中的推广过程。
一、西变换迭代法在一维波动方程中的应用首先，让我们来看看柯西变换迭代法在一维波动方程中的应用。
柯西变换迭代法的核心思想是，将原始的一维波动方程变换成一组简单的线性方程，然后用迭代法来求解。
一维波动方程的形式如下：$$ frac{partial U(x,t)}{partial t} =frac{1}{2}frac{partial^2 U(x,t)}{partial x^2} + F(x,t) $$ 注意，这是一个非线性的方程，由于难以直接求解，因此我们需要先将其变换成一组简单的线性方程，然后再用迭代法来求解。
这里，我们用柯西变换方法来变换给定的一维波动方程，将其变换为一组简单的线性方程：$$frac{partial U_k(x,t)}{partial t} + a_kfrac{partialU_k(x,t)}{partial x} = sum_{j=1}^{n} a_{kj}frac{partialU_{kj}(x,t)}{partial x}+ F_k(x,t) $$而线性方程的求解比较容易，这里我们采用迭代法来解决这组线性方程。
首先，设置初值，然后每次迭代采用柯西变换方法计算出新的值，直到结果收敛即可。
波动方程的通解
波动方程的通解波动方程是描述波动现象的重要方程，常见于各种物理学领域。
其解法通常采用分离变量法，但是这种方法仅适用于较简单的情况。
对于更为复杂的波动方程，需要采用更加深入的数学方法，求解其通解。
本文将介绍波动方程的通解及其求解方法，以及应用案例。
一、波动方程的通解波动方程是一个偏微分方程，通用的表达式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u$是波的位移函数，$t$和$x$分别表示时间和位置。
这个方程描述了波的传播过程，可以用来解释机械波、光波、电磁波等各种波动现象。
由于这个方程是二阶线性常微分方程，因此它的通解可以表示为：$$u(x,t)=f(x-t)+g(x+t)$$其中，$f$和$g$是两个任意函数，它们分别控制波的向左和向右传播，构成了波的整体形态。
这个通解表明，波的形状是由两个可以任意选择的函数组成的，因此可以生成各种形式的波动。
二、波动方程的求解方法波动方程的通解可以用Lagrange公式求出，具体步骤如下：1. 首先用变量代换$x=\xi+\eta$和$t=\xi-\eta$，将波动方程转化成两个独立变量的偏微分方程。
2. 再用分离变量法，将偏微分方程分离成两个一阶常微分方程，求解它们的通解。
3. 最后将通解代入变量代换公式，求出波动方程的通解。
这个方法虽然看上去复杂，但是可以适用于各种情况，对于比较复杂的波动方程求解非常有用。
三、波动方程的应用案例波动方程的应用非常广泛，涉及到物理、电子、光学、天文学等众多领域，其中比较典型的应用包括以下几个方面：1. 声波传播特性的研究。
声波是一种机械波，其传播规律符合波动方程，因此可以利用波动方程的通解求解出声波传播的特性，并应用于声学技术和声波检测。
2. 光波干涉和衍射的研究。
光波也是一种波动现象，其传播规律也符合波动方程。
利用波动方程的通解可以研究光波在不同介质中的传播规律，并应用于光学干涉、衍射和折射等领域。
《线性代数》高维波动方程
数学物理方程
的依赖区 （24）
初始平面上一点
它在 空间为一个以 其母线与 轴的角为
称锥面：
数学物理方程
的影响区域： （26）
为顶点的倒立的圆锥体， 。
（27） 为二维波动方程的特征锥。
其次考察三维情形。
数学物理方程
由三维泊松公式， 空间内一点
的依赖
区域是平面 上的球面：
（28）
这与一维和二维情形有较大区别。
处的值在此球中的体积积分
表示，称这样的积分
为推迟势。
注：在一维和二维的情形，我们可以进行类似的讨 论。
例：求解如下定解问题：
数学物理方程
解：利用冲量原理，知此非齐次方程初值问题的解 可以写成如下形式：
数学物理方程
即
降维法不但适用于波动方程，也适用于其他类型的 方程。此法可以使我们从多变量方程的定解公式中， 推导出变量个数较少的方程的定解问题的求解。
三. 依赖区域、决定区域、影响区域 首先考察二维的情形。 由二维泊松公式， 空间内一点 域是平面 上的圆
区域 的决定区域 是以 顶点，以 为底的
圆锥体区域：
（25）
(ii)
事实上 满足定解问题 (III)
由于
，则
；而且
(**)
(iii) 对 (**)两端对 求导有
其中 表示拉普拉斯算子。
现在我们把这个解 则
数学物理方程
用泊松公式表示出来：
数学物理方程
(***)
其中 表示体积微元，积分在以 为半径球体内进行。
为球心，
由于在时刻 ，位于
处的函数 的数值
由函数 在时刻
§2.2 高维波动方程
数学物理方程
一 . 齐次波动方程初值问题 在研究电磁场等问题时，有时需要讨论高维波动方 程相关的问题，例如三维波动方程的柯西问题：
数学中的波动方程
数学中的波动方程波动方程是数学中的一类偏微分方程，描述了波动现象在空间和时间上的变化规律。
它在物理学、工程学以及其他领域中有着重要的应用。
本文将介绍波动方程的定义、求解方法以及一些实际应用案例。
一、波动方程的定义波动方程是一种描述波动传播的数学模型。
一维波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u是波动的位移函数，t是时间，x是空间坐标，v是波速。
这个方程可以用来描述一维情况下的波动传播过程。
二、波动方程的求解方法波动方程是一个二阶偏微分方程，可以通过适当的数学方法求解。
其中一种常用的求解方法是分离变量法。
首先，我们假设波动函数u可以表示为时间项和空间项的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)将上述形式代入波动方程中，得到两个分离后的常微分方程：X''(x)/X(x) = (1/v²)T''(t)/T(t) = -k²其中，k是一个常数。
解这两个常微分方程，我们可以得到波动方程的通解：u(x,t) = Σ[Aₙcos(kₙx) + Bₙsin(kₙx)]cos(ωₙt + φₙ)其中，Aₙ、Bₙ、φₙ是常数，ωₙ是角频率。
三、波动方程的实际应用波动方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用案例：1. 声波传播：波动方程被用来描述声波在空气、水等介质中的传播过程。
通过求解波动方程，可以得到声波的传播速度、共振频率等信息，这对于声学工程和声学设备的设计非常重要。
2. 光波传播：波动方程也被用来描述光波在光学系统中的传播过程。
通过求解波动方程，可以研究光的折射、反射、干涉等现象，进而优化光学器件的设计。
3. 弦的振动：波动方程可以描述弦的振动行为。
通过求解波动方程，可以得到弦上各个点的振幅和频率分布情况，从而研究弦乐器的音色特性。
4. 地震波传播：地震波是地球内部能量释放后产生的波动现象。
在特定条件下高维波动方程Cauchy问题的新解法
x x
,
,
u 。
{
。 。
中(
, ,
X Z
x n
)
:
( 3 )
按照 迭 加原 理
、 、月 J., z
,
(△n )
△u
可分 解 为 下 面 两 个 问题
I 1
u 。。 = 。
a =
Z
( 4 )
x ;
,
`
J
丫 二 .
夕 、J
外
}
:
. 。
印(
。
…
x n
)
( 5 )
( 6 ) ( 7 )
u 。
1
:
=
: 二
二
o
尹 . `1
u t。=
。
a Z
、Z 盛 ù 朋
、 户
,
! 七 u
△
u
n
!
二 o
( 8 )
u `
{
。一。 二
劝(
x
;
,
.
x
:
,
…
,
x
。
)
( 9 )
( 其 中△ 表 示 拉 普 拉斯 算 子 )
定理
1 2 一 可 a
,
1
.
设甲 任 C
`
,
且 △ ( △甲 )
记为
2 △ 甲
=
0
.
则
( I n ) 之 解为 u (
…
,
x 。
考 !
’
u u
,一 。 =
印(
x 二
,
:
x Z
,
…
,
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u a 2 u 0 ( i ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
v 0(r 0). r
的解.
证明：直接计算,得 u t v( x1 , x2 , x3 , at ),
ut v( x1 , x2 , x3 , at ) atvr ( x1 , x2 , x3 , at ),
(3.10)
是定解问题
又由(3.8)，利用积分中值定理知
当 r 0 时, (1 , 2 , 3 )趋于球心( x1 , x2 , x3 ),
引理4.2得证.
v 1 4 r 1 (1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) r , r 4 r 2 3 3 其中 (1 , 2 , 3 )是Dr内的某点.
的叠加.
所以引理得证.
设 u1 ( x, y, z, t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u u1 ( x, y, z, t ) u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.
由引理4.3知，只要取 就可得到定解问题(iv)的解
T0
d
D
M
3
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1.当 at d ,即 t d / a 时, S ( M )与 T0 不相交, ( M ) 和 ( M ) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.
at
) T 相 2.当 d at D ,即 d / a t D / a 时, S at ( M 与 0 交, ( M ) , ( M ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) 0 ,这表明扰动正在经过M点.
utt a 2 ( uxx u yy ) x , y , t 0 u |t 0 0 ( x , y ) x , y u | ( x, y) t t 0 1
1 1 1 1 1 1 dS dS dS 4πa Sat ( M ) at 4 a S1 at 4πa S2 at
其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得
utt 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),
utt a 2 u a 2t (vrr v
利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题
2 u a u 0 ( iii ) tt u |t 0 ( x1 , x2 , x3 ), ut |t 0 0
2 u a u 0 ( iv ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
对于 (1 , 2 , 3 ) Cr , 采用球坐标： 上的平均值.
或者 v ( x1 , x2 , x3 , r )
1 4 r 2
1 4
0 2
2 3 引理4.2: 对于给定的 ( x1 , x2 , x3 ) C ( R ), 或(3.4)确定的函数v满足PDE 2v 2 v v 0 (3.5) r 2 r r 以及初始条件
(3.7)
v 1 2 3 1 k d1 0 0 r 4 4 r 2 k 1 xk 应用奥高公式
再由复合函数的求导法则
Cr k 1
k d r , xk
2 d 0 r Dr
0 2
0
2 sin d d d ,
引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 u ( x1 , x2 , x3 , t ) u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) t 是定解问题
2 u a u 0 ( ii ) tt u |t 0 ( x1 , x2 , x3 ), ut )确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.
泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S at ( M ) 上的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点 到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:
v r 0 1 4
引理4.3: 设v是由(3.3)确定的函数，则
0 2
0
( x1 1r , x2 2 r , x3 3 r )d1
3
r 0
( x1 , x2 , x3 ).
u ( x1 , x2 , x3 , t ) tv( x1 , x2 , x3 , at )
2 vr ) 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.
的解.
关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.
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证明：直接计算,得
u t 0 ut
t 0
2u 2u 2 2 a u 2 a u 0, 2 t t t u ( x1 , x2 , x3 ), t t 0 2u a 2 u ( x1 , x2 , x3 , 0) 0. t 2 t 0
t 2 u 2 ( x, y , z , t ) ( x1 1at , x2 2 at , x3 3at )sin d d 4 0 0 1 dS , dS 是球面面积微元 4 a 2t Sat (M )
u1 ( x, y , z, t ) 1 dS 2 t 4 a t S at ( M )
其中面积单元： d r r 2 sin d d , d1 sin d d ,
0 2
0
( x1 1r , x2 2 r , x3 3r )d r ,
0
(3.3)
( x1 1r , x2 2 r , x3 3 r )d1 , (3.4)
tv ( x, t ) tv ( x, t ). t
上述方法称为球平均法.
上的平均值，这个平均值与x, 半径at和函数 ( ) 有关，
3
4
2 3 设函数 ( x1 , x2 , x3 ) C ( R ), 现在考虑该函数在球面
Cr : (1 x1 ) ( 2 x2 ) (3 x3 ) r
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utt a 2 u x , y , z , t 0 (3.1) u |t 0 ( M ) u | ( M ) x , y , z t t 0
这个定解问题采用求平均法来求解.
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:
) T 也不相交,因而同 3.当 at D ,即 t D / a ,S at ( M与 0 样 u( M , t ) 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了.
u 0 z
这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.
要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松 ) at ( M ) : 公式中两个沿球面 S at ( M 的积分转化成沿圆域 为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:
r 2 sin d d d r ,
Cr
0
由(3.8)及上式有
由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v满足方程(3.5).
7
2v 1 r 2 2 r 3
Dr
d
1 4 r 2
d ,
Cr r
(3.9)
下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v满足初始条件(3.6). 由(3.4)知
则由(3.3)
5
6
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v 0. (3.6) r r 0 证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下对 xi 求导 v r 0 ( x1 , x2 , x3 ),
故由(3.3)有
v ( x1 , x2 , x3 , r ) v ( x1 , x2 , x3 , r ) 1 4 r 2
其中M 代表空间中任意一点, M M ( x , y , z ).
先回忆一维的达朗贝尔公式的变形
1 1 x at u ( x, t ) ( ( x at ) ( x at )) ( )d 2 2a x at
1 x at ( )d 称为函数 ( ) 在区间[x-at, x+at] 2at x at
2 2 2
2
( x1 , x2 , x3 ) 在球面 Cr 上的平均值:
v ( x1 , x2 , x3 , r )
记作
i xi i r , i 1, 2,3, 1 sin cos , 2 sin sin , 3 cos , 0 , 0 2 .
u( x , y , z , t )
由引理4.4知，只要取 就可得到定解问题(iii)的解
u( M , t )
可写为:
1 1 dS dS (3.12) 2 t 4πa 2 t Sat ( M ) 4πa t Sat ( M )
上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界 空间波动方程的初值问题的解.其中 M 表示以 M 为中 心 at 为半径的球面 S at ( M ) 上的动点.