7 高维波动方程求解法2

利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题
2 u a u 0 ( iii ) tt u |t 0 ( x1 , x2 , x3 ), ut |t 0 0

2 u a u 0 ( iv ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 u ( x1 , x2 , x3 , t ) u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) t 是定解问题
2 u a u 0 ( ii ) tt u |t 0 ( x1 , x2 , x3 ), ut |t 0 0
1 x at ( )d . 2at x at 于是达朗贝尔公式的变为
记作
v ( x, t )
t x at t x at ( )d ( )d . x at t 2at 2at x at
u ( x, t )
对于 (1 , 2 , 3 ) Cr , 采用球坐标： 上的平均值.
或者 v ( x1 , x2 , x3 , r )
1 4 r 2

1 4
0 2
2 3 引理4.2: 对于给定的 ( x1 , x2 , x3 ) C ( R ), 或(3.4)确定的函数v满足PDE 2v 2 v v 0 (3.5) r 2 r r 以及初始条件
(3.10)
是定解问题
又由(3.8)，利用积分中值定理知
当 r 0 时, (1 , 2 , 3 )趋于球心( x1 , x2 , x3 ),
引理4.2得证.
v 1 4 r 1 (1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) r , r 4 r 2 3 3 其中 (1 , 2 , 3 )是Dr内的某点.
则由(3.3)
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v 0. (3.6) r r 0 证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下对 xi 求导 v r 0 ( x1 , x2 , x3 ),
故由(3.3)有
v ( x1 , x2 , x3 , r ) v ( x1 , x2 , x3 , r ) 1 4 r 2
的叠加.
所以引理得证.
设 u1 ( x, y, z, t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u u1 ( x, y, z, t ) u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.
由引理4.3知，只要取 就可得到定解问题(iv)的解
其中 Dr 是由 Cr 所围成的区域.
d
Dr 0 r
v 1 r 4 r 2

Dr
d ,

(3.8)
பைடு நூலகம்
0 2
0

( x1 1r , x2 2 r , x3 3r )d r
1 4 r 2
3
d
Cr r
则由Poisson公式(3.12)确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.
泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S at ( M ) 上的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点 到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:
) T 也不相交,因而同 3.当 at D ,即 t D / a ,S at ( M与 0 样 u( M , t ) 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了.
u 0 z
这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.
要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松 ) at ( M ) : 公式中两个沿球面 S at ( M 的积分转化成沿圆域 为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:
其中面积单元： d r r 2 sin d d , d1 sin d d ,

0 2
0

( x1 1r , x2 2 r , x3 3r )d r ,
0
(3.3)

( x1 1r , x2 2 r , x3 3 r )d1 , (3.4)
u a 2 u 0 ( i ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
v 0(r 0). r
的解.
证明：直接计算,得 u t v( x1 , x2 , x3 , at ),
ut v( x1 , x2 , x3 , at ) atvr ( x1 , x2 , x3 , at ),
其中 S1 , S 2 分别表示球面 Sat ( M ) 的上半球面与下半球 面.
( x )2 ( y )2
1 1 (at )2 内的积分,下面以 4πa at ( M ) at dS
由于被积函数不依赖于变量 z ,所以上式右端两个 积分是相等的,即 1 1 1 1 dS dS S ( M ) S at 1 4πa at 2πa at 把右端的曲面积分化成二重积分可得
其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得
utt 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),
utt a 2 u a 2t (vrr v
r 2 sin d d d r ,
Cr
0

由(3.8)及上式有

由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v满足方程(3.5).
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2v 1 r 2 2 r 3

Dr
d
1 4 r 2
d ,
Cr r
(3.9)
下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v满足初始条件(3.6). 由(3.4)知
T0
d
D
M
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1.当 at d ,即 t d / a 时, S ( M )与 T0 不相交, ( M ) 和 ( M ) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.
at
) T 相 2.当 d at D ,即 d / a t D / a 时, S at ( M 与 0 交, ( M ) , ( M ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) 0 ,这表明扰动正在经过M点.
v r 0 1 4
引理4.3: 设v是由(3.3)确定的函数，则

0 2
0

( x1 1r , x2 2 r , x3 3 r )d1
3
r 0
( x1 , x2 , x3 ).
u ( x1 , x2 , x3 , t ) tv( x1 , x2 , x3 , at )
1 ( M ) ( M ) [ dS dS ] Sat ( M ) 4πa t Sat ( M ) at at
所以Cauchy问题(3.1)的解为
3 2 定理4.9：若函数 ( x1 , x2 , x3 ) C , ( x1 , x2 , x3 ) C ,
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utt a 2 u x , y , z , t 0 (3.1) u |t 0 ( M ) u | ( M ) x , y , z t t 0
这个定解问题采用求平均法来求解.
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:
tv ( x, t ) tv ( x, t ). t
上述方法称为球平均法.
上的平均值，这个平均值与x, 半径at和函数 ( ) 有关，
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2 3 设函数 ( x1 , x2 , x3 ) C ( R ), 现在考虑该函数在球面
Cr : (1 x1 ) ( 2 x2 ) (3 x3 ) r
(3.7)

v 1 2 3 1 k d1 0 0 r 4 4 r 2 k 1 xk 应用奥高公式
再由复合函数的求导法则

Cr k 1
k d r , xk
2 d 0 r Dr

0 2

0
2 sin d d d ,
t 2 u 2 ( x, y , z , t ) ( x1 1at , x2 2 at , x3 3at )sin d d 4 0 0 1 dS , dS 是球面面积微元 4 a 2t Sat (M )
u1 ( x, y , z, t ) 1 dS 2 t 4 a t S at ( M )
其中M 代表空间中任意一点, M M ( x , y , z ).
先回忆一维的达朗贝尔公式的变形
1 1 x at u ( x, t ) ( ( x at ) ( x at )) ( )d 2 2a x at
1 x at ( )d 称为函数 ( ) 在区间[x-at, x+at] 2at x at
2 vr ) 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.
的解.
关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.
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证明：直接计算,得
u t 0 ut
t 0
2u 2u 2 2 a u 2 a u 0, 2 t t t u ( x1 , x2 , x3 ), t t 0 2u a 2 u ( x1 , x2 , x3 , 0) 0. t 2 t 0
u( x , y , z , t )
由引理4.4知，只要取 就可得到定解问题(iii)的解
u( M , t )
可写为:
1 1 dS dS (3.12) 2 t 4πa 2 t Sat ( M ) 4πa t Sat ( M )
上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界 空间波动方程的初值问题的解.其中 M 表示以 M 为中 心 at 为半径的球面 S at ( M ) 上的动点.
utt a 2 ( uxx u yy ) x , y , t 0 u |t 0 0 ( x , y ) x , y u | ( x, y) t t 0 1
1 1 1 1 1 1 dS dS dS 4πa Sat ( M ) at 4 a S1 at 4πa S2 at
2 2 2
2
( x1 , x2 , x3 ) 在球面 Cr 上的平均值:
v ( x1 , x2 , x3 , r )
记作
i xi i r , i 1, 2,3, 1 sin cos , 2 sin sin , 3 cos , 0 , 0 2 .