七年级下数学《垂线》练习题 (20)
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试6(含解析)
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试6（含解析）综合考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释阅卷人一、单选题(共10题；共40分)得分1．（4分）（2023七下·海淀期末）如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，若∠AOD=140°，则∠COE的度数为（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°2．（4分）下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有（ ）①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角；②两条直线相交所成的四个角相等；③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等；④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°．A．4个B．3个C．2个D．1个∥，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）3．（4分）（2022七下·巴彦期末）如图，AB CDA．30°B．40°C．50°D．45°4．（4分）（2020八上·松阳期末）如图，在Rt ABC△中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）A．245B．5C．6D．85．（4分）如图，AB l⊥，BC l⊥，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是（ ）A．经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行6．（4分）如图，直线l1∥直线l2，直线l3与直线l1，l2分别相交于点A，点B，AC与BC相交于点C，若AC⊥BC，∠1=∠2，则下列结论正确的个数是（ ）①∠1+∠3=90°；②∠2+∠4=90°；③∠3=∠4；③∠2=∠4A．1B．2C．3D．47．（4分）如果直线MN外一点A到直线MN的距离是2 cm，那么点A与直线MN上任意一点B所连成的线段AB的长度一定（ ）A ．等于2 cmB ．小于2 cmC ．大于2 cmD ．大于或等于2 cm8．（4分）（2017·承德模拟）如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E ，EF 交CD 于F ，已知∠1=60°，则∠2=（ ）A ．20°B ．60°C ．30°D ．45°9．（4分）直线l 上有A 、B 、C 三点，直线l 外有一点P ，若P A =5cm ，PB =3cm ，PC =2cm ，那么点到直线l 的距离（ ）A ．等于2cmB ．小于2cmC ．不大于2cmD ．大于2cm 且小于3cm10．（4分）（2023九下·沭阳月考）在平面直角坐标系xOy 中，以P (0，−1)为圆心，PO 为半径作圆，M 为⊙P 上一点，若点N 的坐标为(a ，2a +4)，则线段MN 的最小值为（ ）A ．√5−1B ．2√5+1C ．2√5−1D ．√5+1阅卷人二、填空题(共8题；共32分)得分11．（4分）（2019七下·老河口期中）如图，已知AB CD ⊥，垂足为点O ，直线EF 经过点O ，若∠1=35°，则∠AOE 的度数为 度.12．（4分）（2022七下·椒江期末）如图，在马路旁有一个村庄，现要在马路l 上设立一个核酸检测点为方便该村村民参加核酸检测，核酸检测点最好设在 处，理由是 .13．（4分）（2021八上·覃塘期末）如图，在 △ABC 中， AB=AC ，D是 BC 边的中点， EF 垂直平分 AB 边，动点P在直线 EF 上，若 BC=12 ， S△ABC=84 ，则线段 PB+PD 的最小值为 .14．（4分）如图，在三角形ABC中，∠BCA=90∘，BC=3，AC=4，AB=5，点P是线段AB上的一动点，则线段CP的最小值是 ．△中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是15．（4分）（2022九下·江岸月考）如图，在Rt ABCAB的中点.E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF＝90°，则线段EF的最小值为 .⊥，∠1=20°，则∠BOE= 16．（4分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF OE°，∠DOF= °，∠AOF= °．17．（4分）（2015七下·深圳期中）已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a b⊥，c b⊥，则a与c的位置关系是 ．△中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l3分别18．（4分）（2017八下·无棣期末）如图，Rt ABC△的面积为 通过A、B、C三点，且l1l∥2l∥3．若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，则Rt ABC．第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释阅卷人三、作图题(共4题；共36分)得分19．（4.5分）按要求画图：∥交DC于E；①作BE AD∥交DC的延长线于F；②连接AC，作BF AC⊥于G．③作AG DC20．（4.5分）（2022七下·法库期中）在如图所示的正方形网格中，有两条线段AB和BC（点A，B，C均在格点上），请按要求画图．（ 1 ）过点A画出BC的平行线；（ 2 ）过点C画出AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（ 3 ）过点D画AB的垂线，垂足为E．21．（13.5分）（2019·汕头模拟）如图，已知△ABC，按要求作图．（1）（4.5分）过点A作BC的垂线段AD；（2）（4.5分）过C作AB、AC的垂线分别交AB于点E、F；（3）（4.5分）AB＝15，BC＝7，AC＝20，AD＝12，求点C到线段AB的距离． 22．（13.5分）（2023七下·宿迁期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请利用网格点和直尺，完成下列各题：（1）（4.5分）画出△ABC中AB边上的中线CD，AC边上的高线BE；（2）（4.5分）将△ABC先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，请在图中画出平移后的△A1B1C1；（3）（4.5分）△ABC的面积是 ．阅卷人四、综合题(共3题；共42分)得分23．（11分）（2017·兰州）在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图：⑴在直线l上任取两点A、B；⑵分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；⑶作直线PQ．参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）（5分）以上材料作图的依据是： （2）（6分）已知，直线l和l外一点P，求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）24．（12分）（2016九下·澧县开学考）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）（6分）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．DE 的长．（2）（6分）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求 ^25．（19分）（2021八上·攀枝花期中）小孟同学将等腰直角三角板ABC（AC=BC）的直角顶点C 放在一直线m上，将三角板绕C点旋转，分别过A，B两点向这条直线作垂线AD，BE，垂足为D，E．（1）（6分）如图1，当点A，B都在直线m上方时，猜想AD，BE，DE的数量关系是 ；（2）（6分）将三角板ABC绕C点按逆时针方向旋转至图2的位置时，点A在直线m上方，点B 在直线m下方．（1）中的结论成立吗？请你写出AD，BE，DE的数量关系，并证明你的结论．（3）（7分）将三角板ABC继续绕C点逆时针旋转，当点A在直线m的下方，点B在直线m的上方时，请你画出示意图，按题意标好字母，直接写出AD，BE，DE的数量关系结论．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵AOD=140°，∠，∴AOC=180°-AOD=40°⊥，∵OE AB∠，∴AOE=90°∠∠∠，∴COE=AOE-AOC=50°故答案为：B.∠，再根据垂线的定义求出∠AOE=90°，最【分析】根据邻补角的定义先求出AOC=180°-AOD=40°后计算求解即可。
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试1(含解析)
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试1（含解析）综合考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释阅卷人一、单选题(共10题；共40分)得分1．（4分）（2018七下·桐梓月考）若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离 ( )A．等于3 cm B．大于3 cm而小于4 cm ；C．不大于3 cm D．小于3 cm2．（4分）点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA=5cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为（ ）A．小于3cm B．5cm C．3cm D．不大于3cm 3．（4分）（2023七下·定兴期末）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释4．（4分）（2021·裕华模拟）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB ＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（ ）A．4米B．5米C．6米D．7米⊥，垂足为点O．若5．（4分）（2023七下·遵义月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE CD∠BOE=50°，则∠AOC= （ ）A．140°B．50°C．60°D．40°6．（4分）（2021七下·舞阳期末）如图， AB/¿CD ， EF⊥AB 于点 E ， EF 交 CD 于点 F ， EM 交 CD 于点 M ，已知 ∠1=55° ，则 ∠2=¿ （ ）A．55°B．35°C．125°D．45°7．（4分）（2019七下·巴南期中）若点 P 为直线 l 外一定点，点 A 为直线 l 上一定点，且P A=2 ，点 P 到直线 l 的距离为 d ，则 d 的取值范围为（ ）A．0<d<2B．d=2 或 d>2C．0<d<2 或 d=0D．0<d<2 或 d=28．（4分）（2020八上·禹州期中）如图，四边形 ABCD 中， ∠A=90° ， AD=3 ，连接 BD ，BD⊥CD ，垂足是D且 ∠ADB=∠C ，点P是边 BC 上的一动点，则 DP 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1.5D ．19．（4分）（2022七下·赵县月考）在如下所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（ ）①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10．（4分）如图，PO OR ⊥，OQ PR ⊥，则点O 到PR 所在直线的距离是线段 的长．（ ）A ．POB ．ROC ．OQD ．PQ阅卷人二、填空题(共8题；共32分)得分11．（4分）（2018七下·龙岩期中）如图，为了把河中的水引到 C 处，可过点 C 作 CD ⊥AB 于D ，然后沿 CD 开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是 ．12．（4分）如果两条直线相交成 ，那么这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线．互相垂直的两条直线的交点叫做 ．13．（4分）（2021七下·宣汉期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD. ⊥若∠1= 40°，则∠BOE 的大小是 .14．（4分）如图，AO OC ⊥，DO OB ⊥，∠AOD=61°，则∠BOC= °．15．（4分）（2023七下·永吉期末）如图，在△ABC 中，D 为线段BC 上一动点，当∠ADB =90°时，在线段AB ，AC ，AD 中，线段AD 最短，理由是 ．16．（4分）（2019八下·诸暨期中）如图，在Rt ABC △中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P 为BC 边上一动点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，连结EF ，点M 为EF 的中点，则AM 的最小值为 ． 17．（4分）（2021九上·秦都月考）如图，点P 是 Rt △ABC 中斜边 AC （不与A ，C 重合）上一动点，分别作 PM ⊥AB 点M ，作 PN ⊥BC 于点N ，点O 是 MN 的中点，若 AB =6 ，BC =8 ，当点P 在 AC 上运动时，则 BO 的最小值是 .18．（4分）（2023九下·大冶月考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝7√3，点P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为 .第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释阅卷人三、解答题(共4题；共36分)得分19．（9分）如图所示，已知AO BC ⊥于O ，DO OE ⊥，∠1=65°，求∠2的度数．20．（9分）（2021七下·黄陂期中）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，在三角形ABC 中，已知∠ADE ＝∠B.1∠＝∠2，FG AB ⊥于点G ，求证：CD AB.⊥证明：∵∠ADE ＝∠B （已知），∴DE ∥ ▲ （ ），∴∠1＝ ▲ （ ），又∵∠1＝∠2（已知），∴ ▲ ＝ ▲ （等量代换），∴CD ∥ ▲ （ ）.∵FG AB ⊥（已知），∴∠FGB ＝90°（垂直的定义），即∠CDB ＝∠FGB ＝90°，∴CD AB ⊥（垂直的定义）.21．（9分）如图所示，直线AB 与CD 交于点O ，MO AB ⊥，垂足为O ，ON 平分∠AOD ．若∠COM=50°，求∠AON 的度数．22．（9分）（2022七下·静安期中）如图，已知∠ED B +B= 180°∠，∠1=2∠，GF AB ⊥，请填写CD AB ⊥的理由解：因为∠ED B +B= 180°∠（ ）所以 ▲ ∥ ▲ （）所以∠1=3∠（ ）因为 ▲ = ▲ （ 已 知 ）所以∠2=3∠（ 等量代换 ）所以 ▲ ∥ ▲ （）所以∠FGB=CDB ∠（ ）因为GF AB ⊥（已 知 ）所以∠FGB=90° （ ）所以∠CDB =90°（ ）所以CD AB ⊥（ 垂直的意义 ）阅卷人四、综合题(共3题；共42分)得分23．（14分）（2016八上·高邮期末）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD BC ⊥，CE AB ⊥，AE=CE ．求证：（1）（7分）△AEF CEB ≌△；（2）（7分）AF=2CD ．24．（14分）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，射线OF ，OD 分别是∠AOE ，∠BOE 的角平分线．（1）（3分）请写出∠EOF 的所有余角： ；（2）（3分）请写出∠DOE 的所有补角： ；（3）（4分）若∠AOC= 16 FOB ∠，求∠COE 的度数；（4）（4分）试问射线OD 与OF 之间有什么特殊的位置关系？为什么？25．（14分）（2021九上·朝阳期末）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P 给出如下定义：Q 为图形M 上任意一点，若P ，Q 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P 为图形M 的“二分点”．已知点N （3，0），A （1，0），B (0，√3)，C (√3，−1)．（1）（8分）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；（2）（6分）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义，点P到直线L的距离即为点P到直线L的垂线段的长度，垂线段的长度不能超过PC的长．故答案为：C．【分析】因为直线外一点到直线的距离，垂线段最短，所以PC的长不会大于3.2．【答案】D【解析】【分析】点P到直线m的距离即为点P到直线m的垂线段的长度，是点P到直线m上各点的连线段中，长度最小的线段．【解答】由图可知，PC长度为3cm，是最小的，则点P到直线m的距离小于或等于3cm，即不大于3cm．故选D．3．【答案】C【解析】【解答】解：现象1：可用“垂线段最短”进行解释；现象2：可用“两点之间，线段最短”进行解释；故答案为：C.【分析】根据垂线段最短解释现象1，根据两点之间，线段最短解释现象2.4．【答案】A【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE，∵AB＝5米，AC＝7米，∴根据垂线段最短得出AM＜AB=5，故答案为：A【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短即可得到结论。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．到直线L 的距离等于2cm 的点有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个2．如图，能表示点到直线的距离的线段共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条3．点P 是直线l 外一点，A 、B 、C 为直线l 上的三点，4PA cm =，5PB cm =，2PC cm =，则点P 到直线l 的距离（ ）A ．小于2cmB ．等于2cmC ．不大于2cmD ．等于4cm4．如图，有三条公路，其中AC 与AB 垂直，小明和小亮分别沿AC 、BC 同时从A 、B 出发骑车到C 城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是（ ）A ．小明骑车的速度快B ．小亮骑车的速度快C ．两人一样快D ．因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢5．如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C ，D ，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）A ．CD AD >B ．AC BC < C ．BC BD > D ．CD BD <6．与一条已知直线垂直的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE⊥CD 于点O ，∠AOC＝36°，则∠BOE＝( )A ．36°B ．64°C ．144°D ．54°8．下面说法正确的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．两直线成直角,则这两直线一定垂直C ．没有交点的两条直线一定平行D ．过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直9．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．70°二、填空题1．如图所示，A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 为直线l 外一点，已知PC⊥l，PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝3厘米，则点P 到直线l 的距离为__________．2．如图，115∠=︒，CO OA ⊥，点B ，O ，D 在同一直线上，则∠2的度数为________．3．如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且AB⊥CD，∠1＝30°，则∠2＝______．4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，如果∠EOD＝40°，∠BOC＝130°，那么∠BOE 的度数是________．5．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝________.三、解答题1．数学是从实际生活中来的，又应用于生活．请将下列事件与对应的数学原理连接起来．事件数学原理教室的门要用两扇合页才能自由开关直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短飞机从萧山飞往北京，它的航行路线是直的经过两点有且只有一条直线测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直两点之间线段最短2．如图，M，N为坐落于公路两旁的村庄，如果一辆施工的机动车由A向B行驶，产生的噪音会对两个村庄造成影响．(1)当施工车行驶到何处时，产生的噪音分别对两个村庄影响最大？在图中标出来．(2)当施工车从A向B行驶时，产生的噪音对M，N两个村庄的影响情况如何？3．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．4．把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来：5．如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥CD于点O，且∠AOF ＝25°.求∠BOC与∠EOF的度数．参考答案一、单选题1．D解析：根据点到直线的距离和直线与直线之间的距离进行分析.详解：当两条平行线互相平行时，且其中一条直线上的一点到另一条直线的距离为2时，则这条直线上所有的点到另一条直线的距离都为2，所以有无数个.故选D.点睛：考查了点到直线的距离和直线与直线之间的距离，解题关键理解点到直线的距离和两条平行线间的距离之间的联系.2．D解析：根据点到直线的距离定义，可判断：AB表示点A到直线BC的距离；AD表示点A到直线BD的距离；BD表示点B到直线AC的距离；CB表示点C到直线AB的距离；CD表示点C到直线BD的距离．共5条．故选D．3．C解析：根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度以及垂线段最短即可得答案．详解：解：点P为直线l外一点，当P点直线l上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离为不大于2cm，故选：C．点睛：本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，利用垂线段最短是解题关键．4．B分析：根据垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知BC＞AC，然后根据速度公式即可判断．详解：∵AC与AB垂直，∴BC＞AC，若他们同时到达，根据速度公式可得，小亮骑车的速度快，小明骑车的速度慢．故选B5．C解析：A选项,CD与AD互相垂直，没有明确的大小关系，错误；B选项,AC与BC互相垂直，没有明确的大小关系，错误；C选项,BD是从直线CD外一点B所作的垂线段，根据垂线段最短定理，BC＞BD，正确；D选项,CD与BD互相垂直，没有明确的大小关系，错误，故选C．6．D解析：根据垂线的性质：过直线外一点作已知直线的垂线，能作且只能作1条；而直线外有无数个点，因此与一条已知直线垂直的直线有无数条.详解：解：与一条已知直线垂直的直线有无数条，故选D.点睛：本题主要考查了垂线的性质，准确理解性质是解题的关键．7．D解析：由垂直的定义可知∠DOE=90°；直线AB，CD相交于点O，对顶角相等，然后根据角的差计算即可详解：∵OE⊥CD∴∠DOE=90°∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC=36°∴∠DOB=36°∴∠BOE=∠DOE−∠BOD=90°−36°=54°故本题答案应为：D点睛：垂直的定义、对顶角相等的性质是本题的考点，找出角之间的关系是解题的关键.8．B解析：根据平行公理，垂线的定义，平行线的定义和以及垂线的性质对各选项分析判断即可求解．解：A.应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B.两直线成直角，则这两直线一定垂直正确，故本选项正确；C.应为在同一平面内，没有交点的两条直线一定平行，故本选项错误；D.应为在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误. 故选B.9．C解析：试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选C ．考点：1．余角和补角；2．垂线．二、填空题1．3厘米解析：分析：点P 到直线l 的距离为点P 到直线l 的垂线段，结合已知，因此点P 到直线l 的距离为PC 的长．详解：∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段（垂线段最短）的长度，PC⊥l，PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝3厘米，∴点P 到直线l 的距离为3厘米，故答案为：3厘米.点睛：本题考查了垂线段最短，关键是要明确点P 到直线l 的距离为点P 到直线l 的垂线段的长度.2．105°分析：根据垂直的定义及平角的定义计算即可．详解：解：∵CO OA ⊥，115∠=︒，∴∠COB=90°-15°=75°，∵点B ，O ，D 在同一直线上，∴∠2=180°-∠COB =180°-75°=105°．故答案为：105°．点睛：本题考查垂直定义与平角定义．熟练掌握垂直的定义是解题的关键．3．60°分析：根据题意由对顶角相等先求出∠ FOD，然后根据AB⊥CD，∠2与∠ FOD互为余角，求出即可详解：∵CD、EF相交于点O∴∠FOD=∠1=30°∵AB⊥CD∴∠2=90°−∠FOD=90°−30°=60°故本题答案应为：60°点睛：对顶角相等和垂线的定义及性质是本题的考点，熟练掌握基础知识是解题的关键.4．90°解析：观察图形，可猜想OE⊥AB，根据已知条件，证明∠AOE是直角即可．详解：∵∠BOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∴∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°．∴OE⊥AB．故答案为互相垂直．点睛：考查了对顶角、邻补角，利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．5．45分析：根据垂直定义得BOE=∠90〬,由角平分线定义得∠BOD=12∠BOE=45〬，由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD=45〬详解：因为，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，所以，BOE=∠90〬,因为，OD平分∠BOE，所以，∠BOD=12∠BOE=45〬，所以，∠AOC＝∠BOD=45〬故答案为45点睛：本题考核知识点：垂直定义、角平分线、对顶角. 解题关键点：理解垂直定义、角平分线、对顶角性质.三、解答题1．见解析分析：两个合页所在的位置可看成的两个点，目的是为了让门与门框在一条直线上，应用的是两点确定一条直线；两个城市可看做两个点，两个城市之间，航行路线是直的，应用的是两点之间，线段最短．跳远成绩可将踏板看作直线，脚后跟看作一点，应用的是垂线段最短．详解：点睛：本题考查了生活中的数学知识、直线公理、线段公理、垂线段最短．注意一些物体或地方可看做一个点．2．见解析解析：试题分析：（1）过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，根据垂线段最短可得汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大；（2）此题说明时要分3段A到P；由P向Q，由Q 向B分别说明对两学校的影响情况．试题解：（1）如图所示，过点M，N分别作AB的垂线，垂足分别为P，Q，则当施工车行驶到点P，Q处时产生的噪音分别对M，N两个村庄影响最大．（2）由A至P时，产生的噪音对两个村庄的影响越来越大，到P处时，对M村庄的影响最大；由P至Q时，对M村庄的影响越来越小，对N村庄的影响越来越大，到Q处时，对N村庄的影响最大；由Q至B时，对M，N两个村庄的影响越来越小．点睛：此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质，关键是正确画出图形．3．（1）见解析；（2）见解析.解析：本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．⑴连结AD，BC，交于点H，则H为所求的蓄水池点．⑵过H作HK EF于K，沿HK开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短”．（如图）4．AB∥CD，MN∥OP，EF∥GH；AB⊥GH，AB⊥EF，CD⊥EF，CD⊥GH．解析：试题分析:根据平行的含义，在同一平面内不相交的两条线叫做平行线，在图中所给的6条线段中找出互相平行的线，写出即可；根据垂直的含义，在同一平面内两条直线相交成直角时这两条直线互相垂直，在图中所给的6条线段中找出互相垂直的线，写出即可。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(7)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，以A为公共端点的两条线段AB、AC互相垂直，点B、D、C在同一条直线上，AD⊥BC，则图形中能表示点到直线的距离的线段有( )条．A．6 B．5 C．4 D．32．到直线a的距离等于2㎝的点有（）个A．0个B．1个C．无数个D．无法确定3．如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（）A．点A到BC的垂线段为AD B．点C到AD的垂线段为CDC．点B到AC的垂线段为AB D．点D到AB的垂线段为BD4．下列语句叙述正确的有( )①如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角;②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度6．下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线与已知直线垂直；B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离；C．互相垂直的两条线段一定相交；D．直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是3cm，则点A 到直线l的距离是3cm.7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线8．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35° B．40° C．45° D．60°9．如图，已知ON丄a，OM丄a,所以OM与ON重合的理由是（）.A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条线段垂直于己知直线C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短二、填空题1．如图，BC⊥AC，CB＝8 cm，AC＝6 cm，点C到AB的距离是4.8 cm，那么点B到AC的距离是____ cm，点A到BC的距离是____ cm，A，B两点间的距离是____ cm.2．如图，AB⊥l 1，AC⊥l 2，垂足分别为B ，A ，则A 点到直线l 1的距离是线段__的长度．3．如图，直线AB CD ，相交于点，O EO AB ⊥．重足为35，O EOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为__________度4．已知OA⊥OC 于O ，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC 的度数为____________度．5．如图，直线a 与b 相交于点O ，直线c⊥b，且垂足为O ，若∠1=35°，则∠2=_____．三、解答题1．如图，已知直线a ，b ，点P 在直线a 外，在直线b 上，过点P 分别画直线a ，b 的垂线．2．如图，按要求画图并回答相关问题：(1)过点A 画线段BC 的垂线，垂足为D ；(2)过点D 画线段．．DE∥AB，交AC 的延长线于点E ；(3)指出∠E 的同位角和内错角．3．如图所示，点P 是∠ABC 内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?4．如图，是一条河，C是河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）⊥于点O．5．如图，己知90∠=，过点O作直线CD，作OE CDAOB()1图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等；()2若70∠的度数；∠=，求BOCAOD()3将直线CD绕点O旋转，若在旋转过程中，OB所在的直线平分DOE∠的∠，求此时AOD度数．参考答案一、单选题1．B分析：根据点到直线距离的定义进行解答即可．详解：解：∵AB、AC互相垂直，AD⊥BC，∴线段AB的长度是点B到直线AC的距离；线段AC的长度是点C到直线AB的距离；线段AD的长度是点A到直线BC的距离；线段CD的长度是点C到直线AD的距离；线段BD的长度是点B到直线AD的距离．∴图形中能表示点到直线的距离的线段有5条．故选：B．点睛：本题考查了点到直线的距离的定义，即直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟知概念是关键．2．C解析：详解：解：到直线a的距离等于2的点的轨迹是与a平行，且到a的距离等于2的两条直线，直线是由无数个点组成．故选C．3．D解析：A. 点A到BC的垂线段为AD，正确； B. 点C到AD的垂线段为CD，正确；C. 点B到AC的垂线段为AB，正确；D. 点B到AD的垂线段为BD.故选D.4．B解析：试题①如果两个角有公共顶点且它们的两边互为反向延长线,那么这两个角是对顶角;故错误.②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;错误.③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;正确.④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离.错误.故选B.5．B解析：由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，故选B.6．D解析：对照垂线的两条性质逐一判断．①从直线外一点引这条直线的垂线，垂线段最短；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．详解：解：A、和一条直线垂直的直线有无数条，故A错误；B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度，故B错误；C、互相垂直的两条线段不一定相交，线段有长度限制，故C错误；D、直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中最短线段就是垂线段，可表示点A 到直线l的距离，故D正确．故选：D．点睛：本题考查的是垂线的相关定义及性质，只要记住并理解即可正确答题．7．C分析：根据“垂线段的性质：垂线段最短”解答即可．详解：这样做的理由是垂线段最短．故选C．点睛：本题考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．8．A解析：试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AO∠=90°，即∠2+∠1=90°.∵∠1=55°，∴∠2=35°.故选A．考点：1.垂直的性质；2.数形结合思想的应用.9．B解析：利用OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与OM重合，其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选B．二、填空题1．6 10解析：∵BC⊥AC，CB=8cm， AC=6cm，∴点B到AC的距离是8cm，点A到BC的距离是6cm，故答案为8，6，10.2．AB详解：解：根据点到直线的距离的定义，易得A点到直线l的距离是线段AB的长度．1故答案为：AB．3．125分析：根据垂直的定义及角的加法，求出∠BOC的度数，根据对顶角相等求解即可．详解：⊥∵EO AB∴∠EOB=90°∵∠EOC=35°∴∠BOC=∠EOB+∠EOC=125°∴∠AOD=∠BOC =125°故答案为：125点睛：本题考查的是垂直的定义及角的加减，掌握垂直的定义及能从图形中确定角之间的关系是关键．4．30°或150°分析：根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．详解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB：∠AOC=3：2，∴∠AOB=60°．因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．如图，①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．故答案为30°或150°.点睛：此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．5．55°解析：如下图，∵直线a、b、c相交于点O，且c⊥b，∴∠1+∠2+3∠=180°，∠3=90°，又∵∠1=35°，∴∠2=180°-35°-90°=55°.故答案为55°.三、解答题1．图形见解析.分析：根据过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线分别画出即可详解：解：如答图所示，PA为直线a的垂线，PB为直线b的垂线．点睛：垂线的作法是本题的考点，熟练掌握作图方法是解题的关键.2．（1）见解析（2）见解析（3）∠E的同位角是∠ACD，∠E的内错角是∠BAE和∠BCE.解析：（1）如图，过A点作AD⊥BD与BC的延长线交于D点即可；（2）如图，过D点作DE∥AB与AC的延长线交于E点即可；（3）根据同位角与内错角的定义进行解答即可.详解：(1)(2)如图所示．(3)∠E的同位角是∠ACD，∠E的内错角是∠BAE和∠BCE.点睛：本题主要考查基础作图，同位角与内错角的定义，熟练掌握其知识点是解此题的关键.3．（1）图形见解析（2）∠EPF＝∠B解析：试题分析:（1）①过点P作BC的垂线，D是垂足；②过点P作BC的平行线交AB于E ，过点P 作AB 的平行线交BC 于F ；（2）根据平行线的性质可得∠AEP＝∠B，∠EPF＝∠AEP 然后利用等量代换得到结论即可． 解:如图所示，(1)①直线PD 即为所求；②直线PE 、PF 即为所求．(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．点睛:本题考查了平行线和垂线的画法及平行线的性质,熟练掌握两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等是解答本题的关键.4．详见解析.解析：试题分析：（1）过点C 作AB 的平行线．（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D ．根据垂线段最短，可得CD 长度最小，量出CD 的长度，然后按比例尺求出实际的距离． 试题如图：（1）过点C 画一平行线平行于AB ．（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D ．然后用尺子量CD 的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．经测量0.9,CD cm =0.92000180018.cm m ⨯==5．（1）AOD BOE ∠=∠；（2）160BOC ∠=；（3）45AOD ∠=.解析：（1）根据垂直定义可得∠DOB+∠BOE=90°，再根据同角的余角相等可得∠AOD=∠BOE；（2）根据余角定义可得∠BOD=20°，再根据邻补角互补可得∠BOC 的度数；（3）根据角平分线性质可得∠DOB=12∠DOE=45°，再根据角的和差关系可得答案．详解：解：()1AOD BOE∠=∠，∵OE CD⊥于点O，∴90DOB BOE∠+∠=，∵90AOB∠=，∴90AOD DOB∠+∠=，∴AOD BOE∠=∠；()2∵70AOD∠=，90AOB∠=，∴20BOD∠=，∴18020160BOC∠=-=；()3∵OB所在的直线平分DOE∠，∴1452DOB DOE∠=∠=，∵90AOB∠=，∴904545AOD∠=-=．点睛：此题主要考查了垂线，以及余角，补角，关键是掌握两角之和为90°时，这两个角互余，两角之和为180°时，这两个角互补．。
湘教版数学七年级下册_《第2课时垂线的性质》同步练习
《垂线的性质》同步练习一、选择题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）1．如图：已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．3.5 C．4 D．52．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线3．下列图形中，通过测量线段AB的长可以知道点A到直线l的距离的是（）A．B．C．D．4．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（）A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤35．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥AD+BD＞AB．A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）6．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO ⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是．7．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式PA，PB，PC，PD中，最短的是．8．如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段的长度．9．如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是cm，点A到BC的距离是cm，C到AB的距离是cm．10．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE=10cm，CD=8cm，CF=12cm，则点C到AB的距离是．三、综合题（第11题12分，第12题12分，第13题16分，共40分）11．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．12．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接PA、PB、PC．（1）通过测量的方法，比较PA、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．13．如图，P是∠AOB的边OB上一点．（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（3）点O到直线PC的距离是线段的长度；（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．试题解析一．选择题1．A【分析】根据垂线段的性质，可得答案．【解答】解：由AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，得AP≥AB，AP≥3.5，故选：A．【点评】本题考查了垂线短的性质，利用垂线段的性质是解题关键．2．C【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【解答】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．3．C【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．【解答】解：表示点A到直线l的距离的是C选项图形．故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离的概念，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．4．C【分析】根据垂线段最短即可求出答案．【解答】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，当d=3时此时PA⊥l故选：C．【点评】本题考查点的直线的距离，解题的关键是熟练运用垂线段最短，本题属于基础题型．5．C【分析】根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案．【解答】解：由∠BAC=90°，AD⊥BC，得AB⊥AC，故①正确；AD与AC不垂直，故②错误；点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误；点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；AD+BD＞AB，故⑥正确；故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键．二．填空题6．垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解答】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用．7．PC．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短，据此作答．【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∵PC⊥AD，∴PC最短．故答案为：PC．【点评】此题主要考查了垂线段最短，掌握从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短是解题关键．8．CE．【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点C到AB的垂线段即可．【解答】解：如图，∵CE⊥AB，垂足是E，∴点C到线段AB的距离是线段CE的长度．故答案为：CE．【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度．9． 4.8cm．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段BC的长即为点B到AC的距离，再根据三角形的面积公式求出CD的长；再根据点到直线距离的定义即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点B到AC的距离，∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，∴CD=6×8÷10=4.8cm，点A到BC的距离是6cm，点B到AC的距离是8cm．故答案为：8，6、4.8．【点评】本题考查了点到直线的距离，是基础题，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．10．8cm．【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD=8cm，∴点C到AB的距离是CD=8cm，故答案为：8cm．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题关键．三．综合题11．【分析】根据点到直线的垂线段距离最短解答．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，在D处开沟，则沟最短．因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．13．【分析】（1）（2）根据题意画垂线；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PH、OC的大小关系．【解答】解：（1）作图，（2）作图，（3）OP，故答案为：OP；（4）PH＜CO，∵垂线段最短，∴PH＜PO，PO＜OC，∴PH＜CO．【点评】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图．。
垂线(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.4垂线（知识讲解）1.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2.理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD⊥AB．：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线➽➼定义的理解➼➻垂直✬✬直角1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，下列条件：90AOD ∠=︒①；AOC BOC ∠=∠②；AOC BOD ∠=∠③，其中能说明AB CD ⊥的有（）A ．①B ．①或②C ．①或③D ．①或②或③【答案】B 【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．解：90AOD ∠=︒①，可以得出AB CD ⊥，故符合题意；180AOC BOC ∠+∠=︒ ②，AOC BOC ∠=∠，故符合题意，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，可以得出AB CD ⊥；AOC BOD ∠=∠③，不能得到AB CD ⊥，故不符合题意；故能说明AB CD ⊥的有①②．故选：B ．【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90︒．举一反三：【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O ，130∠=︒，260∠=︒，AB 与CD 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均有可能【变式2】如图，120∠=︒，则2∠的度数是（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果．解：∵∠1+∠2+90°=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=70°，故选：C．【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键．类型二、垂线➽➼垂线的画法条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．举一反三：【变式1】下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）【变式2】过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在()A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都可以【答案】D【分析】画一条线段的垂线就是画线段所在直线的垂线，进而得出答案.解答：由垂线的定义知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上.故选D.【点拨】本题主要考查线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是关键.类型三、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段画法3．如图，90AOB ∠=︒，P 是OB 上的一点，用刻度尺分别度量点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【答案】点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm【分析】过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量PO 和PD 的长度，即可得到点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【详解】解：过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量，可得点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是清楚点到直线的距离是垂线段的长度．举一反三：【变式1】如图，AB 、CD 、NE 相交于点O ，OM 平分BOD ∠，OM ON ⊥，55AOC ∠=︒．(1)线段______的长度表示点M 到NE 的距离；(2)比较MN 与MO 的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________；(3)求AON ∠的度数．【答案】(1)MO ；(2)MO MN <，是因为垂线段最短；(3)62.5︒【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可；（2）根据垂线段最短求解即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可．（1）解：线段MO 的长度表示点M 到NE 的距离，故答案为：MO ；（2）解：比较MN 与MO 的大小为：MO MN <，是因为垂线段最短，故答案为：MO MN <，是因为垂线段最短；（3）解：55BOD AOC ∠=∠=︒ ，OM 平分BOD ∠，27.5BOM ∴∠=︒，18018027.59062.5AON BOM MON ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离．【变式2】已知：点P 是直线MN 外一点，点A 、B 、C 是直线MN 上三点，分别连接PA 、PB 、PC ．（1）通过测量的方法，比较PA 、PB 、PC 的大小，直接用“>”连接；（2）在直线MN 上能否找到一点D ，使PD 的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD ，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【答案】（1）PA PB PC >>；（2）见解析，垂线段最短【分析】(1)直接测量，比较大小即可；(2)作MN 的垂线，垂足为D ，PD 即所求．解：（1）通过测量可知， 3.7PA =cm ， 3.2PB =cm ， 2.8PC =cm ，故PA PB PC >>；（2）过点P 作PD MN ⊥，则PD 最短．理由：垂线段最短【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．类型四、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段的长4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，点P 从点A 出发，沿射线AB 以2/cm s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿线段CB 以1cm /s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点Q 运动到点B 时P 、Q 停止运动，设Q 点的运动时间为t 秒．（1）当t =______时，2BP CQ =；（2）当t =______时，BP BQ =；（3）画CD AB ⊥于点D ，并求出CD 的值；（4）当t =______时，有2ACP ABQ S S = ．举一反三：【变式1】如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．【变式2】如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC 上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．中考真题专练4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．举一反三：【变式1】（2022·河南·中考真题）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为O ．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A ．26°B ．36°C ．44°D ．54°【答案】B 【分析】根据垂直的定义可得90COE ∠=︒，根据平角的定义即可求解．解： EO ⊥CD ，90COE ∴∠=︒，12180COE ∠+∠+∠=︒ ，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．【变式2】（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【变式3】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（）A ．PT PQ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ≤【答案】C 【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，∴是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，PQ=，当点T与点Q重合时有PQ PT≥，综上所述：PT PQ故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．。
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试3含解析)
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试3（含解析）一、单选题(共10题；共40分)1．（4分）（2019七下·梁园期末）平面直角坐标系中，点A （﹣3，2），B （1，4），经过点A 的直线L x ∥轴，点C 直线L 上的一个动点，则线段BC 的长度最小时点C 的坐标为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（1，0）C ．（1，2）D ．（4，2）2．（4分）如图，AB BC ⊥，BC CD ⊥，∠EBC ＝∠BCF ，那么，∠ABE 与∠DCF 的位置与大小关系是 （ ）A ．是同位角且相等B ．不是同位角但相等C ．是同位角但不等D ．不是同位角也不等3．（4分）给出条件：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；②一条直线是另一直线的垂线，并且能否以上述任何一个为条件得出另外两个为内容的结论，正确的是（ ）A ．能B ．不能C ．有的能有的不能D ．无法确定4．（4分）（2021七上·普陀期末）如图， OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，4位同学观察图形后各自观点如下．甲： ∠AOB =∠COD ；乙： ∠BOC +∠AOD =180° ；丙： ∠AOB +∠COD =90° ；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论是（ ）A ．甲、乙、丙B ．甲、乙、丁C ．乙、丙、丁D ．甲、丙、丁5．（4分）（2019八上·海淀月考）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，点P 是AC 边上的动点，则BP 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．（4分）（2021七下·五常期中）下列命题中：①无限小数都是无理数；②内错角相等，两直线平行；③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离④平方根与立方根相等的数只有0；⑤在一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．（4分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=ADC=90°∠，AB=AD=2√2，CD=√2，点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（4分）下列说法错误的个数是（ ）①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若a b ∥，b c ∥，则a c ∥．A ．、1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（4分）（2018·宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（4分）（2016七下·蒙阴期中）如图，AB CD ∥，CD EF ⊥，若∠1=125°，则∠2=（ ）A ．25°B ．35°C ．55°D ．65°二、填空题(共8题；共32分)11．（4分）（2020七下·天台月考）如图，在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是PM ，理由是12．（4分）（2023七下·龙江月考）如图所示，直线AB 、CD 相关于点O ，OE ⊥AB 于O ，∠EOD =40°，则∠AOC =¿ ．13．（4分）（2023九上·古蔺期末）如图⊙A 的圆心A 的坐标是(−2，0)，在直角坐标系中，⊙A 半径为2，P 为直线y =−x +4上的动点过P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是 .14．（4分）（2018八上·许昌期末）如图，在△ABC中，AB = AC = 8，S ABC△= 16，点P为角平分线⊥，连接PB，则PB+PE的最小值为 .AD上任意一点，PE AB15．（4分）（2022八上·青田期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 .16．（4分）（2019七下·上杭期末）已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则正确的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)，你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）.17．（4分）（2020·上城模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝5 √2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．18．（4分）（2021八下·拱墅期中）在Rt ABC △中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点N 是BC 边上一点，点M 为AB 边上的动点，点D 、E 分别为CN ，MN 的中点，则DE 的最小值是 .三、解答题(共4题；共36分)19．（9分）（2020七下·北海期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O.射线OF CD ⊥于点O ，∠BOF=30°，求∠BOD ，∠AOD 的度数.20．（9分）（2023七下·宣汉月考）如图，AO CO ⊥，BO DO ⊥，∠BOC=43°，求∠AOD 和∠AOB 的度数.21．（9分）如图，AB 和CD 交于O 点，OD 平分∠BOF ，OE CD ⊥于点O ，∠AOC=40°，求∠EOF 的度数．22．（9分）（2019七下·河池期中）如图所示，直线 AB ， EF 交于点 O ， OD 平分 ∠BOF ， CO ⊥EF 于点 O ， ∠AOE =70° ，求 ∠COD 的度数四、综合题(共3题；共42分)23．（14分）（2019七下·江门期末）画图题，如图，已知三角形 ABC,AB=5（1）（7分）过点 C 作 CD⊥AB ，点 D 为垂足（2）（7分）在（1）的条件下，若 DB=2 ，求点A到CD的距离24．（14分）（2023七下·乌鲁木齐期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．（1）（7分）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）（7分）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．⊥．25．（14分）（2020七上·苏州期末）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OM AB（1）（7分）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；1（2）（7分）若∠1＝5 ∠BOC，求∠MOD的度数．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：如图，根据垂线段最短可知，BC AC ⊥时BC 最短.∵A （﹣3，2），B （1，4），AC x ∥轴，∴BC ＝2，∴C （1，2），故答案为：C.【分析】如图，根据垂线段最短可知，BC AC ⊥时BC 最短；2．【答案】B【解析】【分析】由AB BC ⊥，BC CD ⊥，∠EBC ＝∠BCF ，即可判断∠ABE 与∠DCF 的大小关系，根据同位角的特征即可判断∠ABE 与∠DCF 的位置关系，从而得到结论。
七年级数学(下)第五章《相交线与平行线——垂线》练习题含答案
七年级数学（下）第五章《相交线与平行线——垂线》练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都有可能【答案】D2．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是.A．B．C．D．【答案】C【解析】过点P向线段AB所在直线引垂线，根据画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，符合要求的只有选项C，故选C．3．如图所示，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是A．过两点有且只有一条直线B．过一点只能作一条直线C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂线段最短【答案】C【解析】已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，理由是在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．4．如图所示，直线AB与直线CD的位置关系是__________，记作__________，此时，∠AOD=∠__________ =∠__________=∠__________=90°．【答案】垂直，AB⊥CD，DOB，BOC，COA5．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA=__________，∠BOC的补角为__________度．【答案】72°，162【解析】∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，∵∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，∴∠BOC=18°，∴∠COA=∠BOA–∠BOC=90°–18°=72°.∠BOC的补角为180°–18°=162°.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上.（1）作直线DE⊥OB；（2）作直线DF⊥OA，垂足为F. 【解析】根据垂直的定义作图即可．如图所示：7．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=13∠BOC，OC是∠AOD的平分线．（1）求∠COD的度数．（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．。
湘教版数学七年级下册_《垂线》拓展训练
《垂线》拓展训练一、选择题1．在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5B．4C．3D．22．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD的最小值是（）A．﹣2B．﹣2C．D．25．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO，若∠1=155°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥AB，∠COE=32°，∠FOG=29°，则∠AOC的度数是（）A．19°B．29°C．32°D．39°7．如图，AB、CD交于O，OE⊥CD于O，∠AOC=36°，则∠BOE的度数为（）A．36°B．64°C．54°D．144°8．如图，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠BOD的大小是（）A．20°B．30°C．40°D．60°9．已知∠BOC=60°，OF平分∠BOC．若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是（）A．45°B．15°C．30°或60°D．45°或15°10．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CO，∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2，则∠AOC的度数是（）A．18°B．45°C．36°D．30°二、填空题11．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=2∠COM，则∠BOD的度数为．12．如图CD⊥AB于点D，EF⊥AB于F，∠DGC=84°，∠BCG=96°，则∠1+∠2=．13．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α﹣90°；②∠EOB=180°﹣α；③∠AOF=360°﹣2α，其中正确的是．14．如图，若OA⊥OB，OC⊥OD，且∠AOC：∠BOD=1：2，则∠BOD=°．15．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13．点A到CD边的距离是；点C到AB边的距离是．三、解答题16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD=52°．（1）求∠AOF的度数；（2）∠EOF与∠BOG是否相等呢？请说明理由；（3）直接写出图中∠AOE的所有余角．17．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．18．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．（1）若∠BOC=40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．19．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．20．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF=54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．《垂线》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5B．4C．3D．2【分析】根据垂线段最短得出结论．【解答】解：根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3，故选：C．【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．2．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选：A．【点评】本题考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据垂线段的定义直接观察图形进行判断．【解答】解：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误．故选：D．【点评】过点B作线段AC所在直线的垂线段，是一条线段，且垂足应在线段AC 所在的直线上．4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD的最小值是（）A．﹣2B．﹣2C．D．2【分析】取AC的中点O，根据圆周角定理得到点D在以AC为直径的圆上，根据勾股定理可计算出OB=5，当D点在OB上时，BD的值最小，最小值为5﹣3=2．【解答】解：取AC的中点O，∵在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，∴点D在以AC为直径的圆上，∴当D点在OB上时，BD的值最小，在Rt△BOC中，OC=AC=2，BC=3，∴OB==，∴BD的值最小为﹣2．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．也考查了圆周角定理和勾股定理．5．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO，若∠1=155°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】先根据邻补角关系求出∠2=25°，再由垂线得出∠COD=90°，最后由互余关系求出∠3=90°﹣∠2．【解答】解：∵∠1=155°，∴∠2=180°﹣155°=25°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣25°=65°；故选：D．【点评】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．6．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥AB，∠COE=32°，∠FOG=29°，则∠AOC的度数是（）A．19°B．29°C．32°D．39°【分析】先根据垂直的定义得出∠BOG=90°，那么∠BOF=61°，由对顶角相等求出∠AOE=∠BOF=61°，进而求出∠AOC=61°﹣32°=29°．【解答】解：∵OG⊥AB，∴∠BOG=90°，∵∠FOG=29°，∴∠BOF=∠BOG﹣∠FOG=90°﹣29°=61°，∴∠AOE=∠BOF=61°，∵∠COE=32°，∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=61°﹣32°=29°．故选：B．【点评】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质；弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．7．如图，AB、CD交于O，OE⊥CD于O，∠AOC=36°，则∠BOE的度数为（）A．36°B．64°C．54°D．144°【分析】由垂直的定义可知∠DOE=90°，∠DOB与∠AOC是对顶角，利用这些关系可解此题．【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°，∵∠DOB=∠AOC=36°，∴∠BOE=∠DOE﹣∠DOB=54°，故选：C．【点评】本题利用垂直的定义，对顶角相等计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．8．如图，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠BOD的大小是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】首先根据题意得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出∠AOD，∠COD的度数，进而得出答案．【解答】解：∵OA⊥OB，∠BOC=30°，∴∠AOC=90°+30°=120°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=∠AOD=∠AOC=60°，则∠BOD=60°﹣30°=30°．故选：B．【点评】此题主要考查了垂直的定义以及角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．9．已知∠BOC=60°，OF平分∠BOC．若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是（）A．45°B．15°C．30°或60°D．45°或15°【分析】根据垂线的定义，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COE、∠COF的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图1，由AO⊥BO，得∠AOB=90°，由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．如图2，由AO⊥BO，得∠AOB=90°，由角的和差，得∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=30°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×30°=15°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．由角的和差，得∠EOF=∠COE+∠COF=15°+30°=45°．故选：A．【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差，以及分类思想的运用．10．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CO，∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2，则∠AOC的度数是（）A．18°B．45°C．36°D．30°【分析】根据垂直定义可得∠FOC=90°，再根据∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2可得∠AOF：∠AOC=3：2，然后可得答案．【解答】解：∵OF⊥CO，∴∠FOC=90°，∵∠AOF与∠BOD的度数之比为3：2，∴∠AOF：∠AOC=3：2，∴∠AOC=90°×=36°，故选：C．【点评】此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等．二、填空题11．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=2∠COM，则∠BOD的度数为60°．【分析】根据垂直得出∠NOM=90°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，再利用∠CON=2∠COM，即可得出答案．【解答】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∵∠CON=2∠COM，∴设∠COM=x，则∠CON=2x，故x+2x=90°，解得：x=30°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=30°，∴∠AOC=∠BOD=2∠COM=60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，能求出∠COM的度数是解此题的关键．12．如图CD⊥AB于点D，EF⊥AB于F，∠DGC=84°，∠BCG=96°，则∠1+∠2= 180°．【分析】求出DC∥EF，求出∠2+∠BCD=180°，由∠DGC=84°，∠BCG=96°，易证DG∥BC，推出∠1=∠BCD，即可求出答案．【解答】解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴DC∥EF，∴∠DCB+∠2=180°，∵∠DGC=84°，∠BCG=96°，∴∠DGC+∠BCG=180°，∴BC∥GD，∴∠1=∠DCB，∴∠1+∠2=180°．故答案为：180°【点评】本题主要考查了平行线的性质及判定定理，综合运用性质定理是解答此题的关键．13．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α﹣90°；②∠EOB=180°﹣α；③∠AOF=360°﹣2α，其中正确的是①②③．【分析】根据垂线、角之间的和与差，即可解答．【解答】解：∵OE⊥CD于O，∠EOF=α，∴∠DOF=α﹣90°，∵OD平分∠BOF，∴∠BOD=∠FOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=∠FOD，∴∠AOC=α﹣90°，①正确；∴∠BOE=180°﹣∠COE﹣∠AOC=180°﹣90°﹣（α﹣90°）=180°﹣α，②正确；∴∠AOF=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=180°﹣（α﹣90°）﹣（α﹣90°）=360°﹣2α，③正确；故答案为：①②③【点评】本题考查了垂线，解决本题的关键是利用角之间的关系解答．14．如图，若OA⊥OB，OC⊥OD，且∠AOC：∠BOD=1：2，则∠BOD=120°．【分析】根据垂直定义可得∠AOB=90°，∠COD=90°，进而可得∠AOC+∠BOD=180°，然后再根据条件∠AOC：∠BOD=1：2可得∠BOD的度数．【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=180°，∵∠AOC：∠BOD=1：2，∴∠BOD=120°，故答案为：120．【点评】此题主要考查了垂线，以及角的计算，关键是理清图中角的关系．15．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13．点A到CD边的距离是；点C到AB边的距离是．【分析】根据条件分别求出AD、CD的长度即可．【解答】解：由于AC•BC=AB•CD∴CD=在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD=∴A到CD边的距离为：，C在AB边的距离为：故答案为：，【点评】本题考查点到直线的距离，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于中等题型．三、解答题16．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD=52°．（1）求∠AOF的度数；（2）∠EOF与∠BOG是否相等呢？请说明理由；（3）直接写出图中∠AOE的所有余角．【分析】（1）直接利用垂直的定义结合对顶角的定义得出∠AOF的度数；（2）分别求出∠EOF与∠BOG的度数进而得出答案．（3）依据OE是∠AOC的平分线，OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到图中∠AOE的所有余角．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD=52°，∴∠AOF=∠COF﹣∠AOC=90°﹣52°=38°；（2）相等，理由：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD=52°，∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE=∠AOC=26°，又∵OG⊥OE，∴∠EOG=90°，∴∠BOG=180°﹣∠AOE﹣∠EOG=64°，而∠EOF=∠AOF+∠AOE=38°+26°=64°，∴∠EOF=∠BOG．（3）∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE=∠COE=26°，又∵OF⊥CD，∴∠EOF+∠COE=90°，即∠EOF+∠AOE=90°，又∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠COG=∠EOF，∴∠COG+∠AOE=90°，∵∠BOG+∠AOE=90°，∠COG+∠COE=90°，∠AOE=∠COE，∴∠BOG=∠COG，∴∠BOG+∠AOE=90°，∴图中∠AOE的所有余角为∠EOF，∠COG，∠BOG．【点评】此题主要考查了垂线的定义以及角平分线的定义和对顶角定义，正确把握相关定义是解题关键．17．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠1+∠AOC=90°，再求出∠2+∠AOC=90°，然后根据平角等于180°列式求解即可；（2）根据垂直的定义可得∠AOM=∠BOM=90°，然后列方程求出∠1，再根据余角和邻补角的定义求解即可．【解答】解：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠1+∠AOC=90°，∵∠1=∠2，∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，∴∠NOD=180°﹣∠NOC=180°﹣90°=90°；（2）∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，∵∠1=∠BOC，∴∠BOC=∠1+90°=3∠1，解得∠1=45°，∠AOC=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∠MOD=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°．【点评】本题考查了垂线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图，找准各角之间的关系是解题的关键．18．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．（1）若∠BOC=40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠BOD的度数，然后求得∠AOD的度数，根据角平分线的定义求得∠DOE，然后根据∠BOE=∠DOE﹣∠BOD；（2）与（1）解法相同．【解答】解：（1）如图，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠COD=∠BOD=20°，∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=20°+90°=110°，又∵OE是∠AOD的平分线，∴∠DOE=∠AOD=55°，∴∠BOE=∠DOE﹣∠BOD=55°﹣20°=35°；（2）同（1）可得∠COD=∠BOD=α，∠AOD=α+90°，∠DOE=∠AOD=（α+90°）=α+45°，则∠BOE=α+45°﹣α=45°﹣α．【点评】本题考查了角度的计算，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，理解角平分线的定义是关键．19．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有∠AOC，∠BOD．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．【分析】（1）由垂线的性质求得∠AOM=∠BOM=90°，然后根据等量代换及余角的定义解答；（2）根据垂直的定义求得∠AOM=∠BOM=90°，再由∠1=∠BOC求得∠BOC=120°；然后根据邻补角定义和对顶角的性质即可求解．【解答】解：（1）∵OM⊥AB，∠1=∠2，∴∠1+∠AOC=∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，可得∠AOC=∠BOD，∴∠2的余角有：∠AOC，∠BOD；故答案为：∠AOC，∠BOD；（2）∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，∵∠1=∠BOC，∴∠BOC=∠AOD=120°，∠1=∠2=30°；又∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=60°，则∠BOD=∠AOC=60°．【点评】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．20．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF=54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．【分析】（1）依据OF⊥CD，∠EOF=54°，可得∠DOE=90°﹣54°=36°，再根据OE 平分∠BOD，即可得出∠BOD=2∠DOE=72°，依据对顶角相等得到∠AOC=72°；（2）依据OE平分∠BOD，可得∠BOE=∠DOE，再根据OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE=90°，∠AOG+∠BOE=90°，依据等角的余角相等，可得∠EOF=∠AOG．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF=54°，∴∠DOE=90°﹣54°=36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD=2∠DOE=72°，∴∠AOC=72°；（2）①如图所示：②∠AOG=∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE=90°，∠AOG+∠BOE=90°，∴∠EOF=∠AOG．【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，解决问题的关键是掌握：等角的余角相等．。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(4)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A．4条B．3条C．2条D．1条2．下列说法中正确的是（）A．在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直B．有且只有一条直线垂直于已知直线C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离3．在下列语句中，正确的是（）．A．在平面上，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D．垂线段就是点到直线的距离4．如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线，能折出这样的直线的条数为( )A．0条B．1条C．2条D．无数条5．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．平行线间的距离相等6．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )A．垂直的定义 B．两点之间线段最短C．垂线段最短 D．两点确定一条直线7．下列说法中，正确的是( )A．垂线最短 B．两点之间直线最短C．如果两个角互补，那么这两个角中一个是锐角，一个是钝角 D．同角的补角相等8．下列说法中正确的有（）(1) 钝角的补角一定是锐角(2) 过己知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条(3) —个角的两个邻补角是对顶角(4) 等角的补角相等(5) 直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线l的距离是3cm .A．2个B．3个C．4 个D．5 个9．下列说法中，正确的是( )A．过直线外一点可以画无数条直线与这条直线垂直B．过直线外一定点不可以画这条直线的垂线C．过直线外一点可以画这条直线的一条垂线D．如果两条直线不相交，那么这两条直线有可能互相垂直二、填空题1．如图，AH⊥BC，垂足为H，若AB＝1.7cm，AC＝2cm，AH＝1.1cm，则点A到直线BC的距离是_____cm．2．点到直线的距离是指这点到这条直线的________．3．如图，跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.8米，则起跳点A与落脚点B之间的距离_____（填“大于”、“小于”或“等于”）4.8米.4．邻补角的两条平分线互相_________.5．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是___________三、解答题1．作图并写出结论：如图，点P 是∠AOB 的边OA 上一点，请过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别交BO 的延长线于M 、N ，线段 的长表示点P 到直线BO 的距离；线段 的长表示点M 到直线AO 的距离； 线段ON 的长表示点O 到直线 的距离；点P 到直线OA 的距离为 ．2．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE⊥AB，OF⊥CD．(1)图中∠COE 的余角是 ．(请符合条件的角都写出来)；(2)图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；① ；② ；③ ．(3)若∠AOF=3∠COE，求∠COE 的度数(请写出解答过程)．3．如图，直线AB 、CD 、MN 相交于点O ，FO⊥BO，OM 平分∠DOF（1）请直接写出图中所有与∠AON 互余的角：．（2）若∠AOC=52∠FOM，求∠MOD 与∠AON 的度数．4．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，射线OE AB ⊥于O ，射线OF CD ⊥于O ，且BOF 25.∠=求：AOC ∠与EOD ∠的度数．5．如图，已知O为直线AB上的一点，CD⊥AB于点O，PO⊥OE于点O，OM平分∠COE，点F 在OE的反向延长线上．(1)当OP在∠BOC内，OE在∠BOD内时，如图①所示，直接写出∠POM和∠COF之间的数量关系；(2)当OP在∠AOC内且OE在∠BOC内时，如图②所示，试问(1)中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化？并说明理由．参考答案一、单选题1．D解析：平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．详解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，故选D．点睛：本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．2．C解析：同一平面内，两条直线可能相交或者平行，一条直线的垂线有很多条，根据平行公理的推论，两条直线都与第三条直线平行则这两条直线平行，点到直线的距离指的是线段的长度．详解：A、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种情况，故该选项错误；B、一条直线的垂线有无数条，故该选项错误；C、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该选项正确；D、点到直线的距离指的是垂线段的长度，而非垂线段，故该选项错误．故选C．点睛：本题考查了相交线的位置关系、垂线、点到直线距离的定义以及平行公理的推论，属于基础考题，比较简单．3．C解析：根据垂线的定义、直线的定义、垂线的性质、垂线段的定义逐一进行分析即可得.详解：A、在平面上，一条直线有无数条垂线，错误；B、过直线上一点的直线有无数条，错误；C、在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条，正确；D、垂线段是线段，是图形，垂线段的长度是点到直线的距离，错误，故选C．点睛：本题考查了垂线、垂线段、垂线的性质等知识，熟练掌握相关的概念以及性质是解题的关键.4．B解析：试题根据垂线的性质，这样的直线只能作一条.故选B.点睛：根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．5．C解析：根据垂线段最短的性质解答．详解：老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选C．点睛：本题考查了垂线段最短，掌握垂线段的性质是解题的关键．6．C解析：根据垂线段最短的性质解答．详解：老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选：C．点睛：本题考查了垂线段最短在实际生活中的应用，是基础题．7．D解析：分析：根据线的性质，直线的性质，补角的性质解答即可.详解：A、垂线段最短,故选项错误;B、两点之间线段最短,故选项错误;C、可以为两个直角,故选项错误;D、同角的补角相等,故选项正确.故选D.点睛：本题考查了垂线的性质，直线的性质，补角的性质，是基础知识要熟练掌握图形的性质. 对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．8．D解析：①180°-钝角=锐角，钝角的补角一定是锐角，故①正确；②过已知直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条，故②正确；③一个角的两个邻补角是对顶角，故③正确；④等角的补角相等，故④正确；⑤直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线l的距离是3cm，故⑤正确；故选D．9．C解析：利用垂线的定义结合两直线的位置关系分别分析得出即可．详解：A、过直线外一点可以画一条直线与这条直线垂直，故此选项错误；B、过直线外一定点可以画一条直线的垂线，故此选项错误；C、过直线外一点可以画这条直线的一条垂线，故此选项正确；D、如果两条直线不相交，那么这两条直线有可能互相平行，故此选项错误；故选：C．点睛：此题主要考查了垂线的定义以及两直线的位置关系，正确把握相关定义是解题关键．二、填空题1．1解析：分析：根据点到直线的距离的定义回答即可.详解：点A到直线BC的距离是线段AH的长度，是1.1cm.故答案为:1.1.点睛：考查了点到直线的距离.点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.根据定义回答即可.2．垂线段的长度解析：点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度,故答案为垂线段的长度.3．大于解析：试题跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长.∵垂线段最短，小明的跳远成绩是4.8米，∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.8米.故答案为大于.4．垂直解析：利用邻补角的定义以及角平分线的性质得出即可．详解：邻补角的两条平分线互相垂直．故答案为垂直．点睛：此题主要考查了垂线的定义以及邻补角的定义，正确把握邻补角定义是解题关键．5．垂直详解：解:∵∠BOC=130°，∴∠AOD=∠BOC=130°，∴∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°．∴OE⊥AB．故答案为：∴OE⊥AB．三、解答题1．PN，PM，PN，0分析：先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．详解：如图所示：线段PN的长表示点P到直线BO的距离；线段PM的长表示点M到直线AO的距离；线段ON 的长表示点O到直线PN的距离；点P到直线OA的距离为0，故答案为PN，PM，PN，0．点睛：本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键．2．（1）∠AOC，∠EOF，∠BOD；（2）∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD；（3）45°．分析：（1）根据余角的定义和余角的性质解答即可；（2）根据余角的性质和对顶角相等即可找出三对相等角；（3）根据∠AOF＝3∠COE以及∠AOC＝∠EOF，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，进一步即可求出结果．详解：解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∠AOC=∠DOB，∴∠COE+∠AOC=90°，∠COE+∠EOF=90°，∠COE+∠BOD=90°；∴图中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD；故答案为：∠AOC，∠EOF，∠BOD；（2）根据同角的余角相等可得：∠AOC＝∠EOF；∠EOF＝∠BOD；根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD．∴相等的3对角是：①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．故答案为：∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD；（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOC，∵OE⊥AB，∴∠COE+∠AOC＝90°，∴∠COE＝45°．故∠COE的度数是45°．点睛：本题考查了垂直的定义、对顶角相等、角度的计算和余角的定义及性质等知识，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．3．（1）∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）20°，70°分析：（1）根据垂直的定义可得∠BOF=∠AOF=90°，由角平分线的定义和对顶角相等可得与∠AON 互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）设∠MOD的度数为x°，用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度数，然后由∠AOC=∠BOD，得出∠FOD+∠AOC=90°，据此列方程求解，再由（1）中∠MOD与∠AON互余可得出∠AON的度数．详解：解：（1）∵FO⊥BO，∴∠BOF=∠AOF=90°，∴∠BOM+∠FOM=90°，又∠BOM=∠AON，∴∠AON+∠FOM=90°．∵OM平分∠DOF，∴∠DOM=∠FOM，又∵∠DOM=∠CON，∴与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）设∠MOD的度数为x°，∵OM平分∠FOD，∴∠MOD=∠FOM=x°，∴∠FOD=2x°，∠AOC=52∠FOM=5x2°，又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，∴∠FOD+∠AOC=90°，即2x+5x2=90，解得：x=20．即∠MOD=20°，由（1）可知∠MOD 与∠AON 互余，∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．故∠MOD 的度数为20°，∠AON 的度数为70°．点睛：本题考查了垂直的定义，角的平分线的定义，余角的定义与性质以及对顶角相等，正确理解相关概念是关键．4．∠AOC＝115°, ∠EOD＝25°.分析：根据垂线的性质和余角及补角的定义可求出∠ AOC，由垂线的性质和余角的定义可求出∠EOD 详解：解：∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠BOC＝90°－∠BOF＝65°，∴∠AOC＝180°－65°＝115°.∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠EOF＝90°－25°＝65°，∵OF⊥CD∴∠DOF=90°∴∠EOD＝∠DOF −∠EOF ＝90°－65°＝25°.点睛：垂线的性质及补角和余角的定义都是本题的考点，正确找出角之间的关系是解题的关键.5．（1）∠POM＝12∠COF，理由见解析；（2）∠POM＝12∠COF，理由见解析解析：（1）利用垂直的定义，CD⊥AB，PO⊥EO，等量代换得∠COP=∠BOE，利用角平分线的性质，得∠POM=12∠POB=12(90°-∠POC)，∠COF=90°-∠COP，得出结论；（2）利用垂直的定义，同角的余角相等可得∠COP＝∠AOF，可推出∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，即∠BOP＝∠COF，由对顶角相等得∠AOF＝∠BOE＝∠COP，利用角平分线的性质，得∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，即∠POM＝12∠BOP，等量代换得出结论．详解：解：(1)∠POM＝12∠CO F.证明：∵CD⊥AB，∴∠COP+∠BOP=90°，∵OP⊥OE，∴∠BOE+∠BOP=90°，∴∠COP=∠BOE，∵OM 平分∠COE，∴∠POM=∠MOB=12∠POB=12 (90°−∠POC)，∵∠COF=90°−∠COP ，∴∠POM=12∠COF；(2)不发生变化．理由：∵CD⊥AB 于点O ，∴∠AOP＋∠COP＝90°.∵PO⊥OE 于点O ，∴∠AOP＋∠AOF＝90°，∴∠COP＝∠AOF.又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，即∠BOP＝∠COF.∵∠AOF＝∠BOE，∴∠COP＝∠BOE.∵OM 平分∠COE，∴∠COM＝∠MOE，∴∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，∴∠POM＝12∠BOP，∴∠POM＝12∠COF.故答案为：（1）∠POM＝12∠COF，理由见解析；（2）∠POM＝12∠COF，理由见解析. 点睛：本题考查垂线， 角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的性质.。
七年级数学下册《垂线》练习题及答案
七年级数学下册《垂线》练习题及答案一、选择题1．下面说法中错误的是（）A．两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直B．若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直C．两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直D．两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直2．如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（）A．2个B．3个C．4个D．1个3．如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分⊥EOD，则⊥BOD的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．1404．点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P 到直线的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm5．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（）①⊥AOB＝⊥COD；②⊥AOB＋⊥COD＝90°；③⊥BOC＋⊥AOD＝180°；④⊥AOC－⊥COD＝⊥BOC.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若⊥1＝26°，则⊥2的度数是（⊥）．A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对7．在下列语句中，正确的是（）．A．在平面上，一条直线只有一条垂线;B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D．垂线段的长度就是点到直线的距离8．如图所示，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）．①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦AD>BD.A．2个B．4个C．7个D．0个9．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分⊥AOC，ON⊥OM，若⊥AOM=35°，则⊥CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C⊥为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C 点的个数为（）．A．3个B．4个C．5个D．6个11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．12．下列语句正确的是（）A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直13．过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（）A．线段上B．线段的端点上C．线段的延长线上D．以上情况都有可能14．如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是（）A．线段AC的长B．线段AD的长C．线段BC的长D．线段BD的长15．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（）A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短16．当两条直线相交所成的四个角中，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫，它们的交点叫．17．过直线上或直线外一点，与已知直线垂直．18．如图所示，若AB⊥CD于O，则⊥AOD＝；若⊥BOD＝90°，则AB CD．19．如图所示，已知AO⊥BC于O，那么⊥1与⊥2．20．如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为．21．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分⊥AOC，⊥AOB＋⊥DOE＝90°，试问：⊥COD 与⊥DOE之间有怎样的关系?说明理由.－com22．如图，⊥1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求⊥2、⊥3的度数．23．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是⊥BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①；②．（2）如果⊥AOD＝40°，则①⊥BOC＝；②OP是⊥BOC的平分线，所以⊥COP＝度；③求⊥BOF的度数．24．如图，已知⊥AOB，OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC.（1）若⊥AOB是直角，⊥BOC＝60°，求⊥EOF的度数；（2）猜想⊥EOF与⊥AOB的数量关系；（3）若⊥AOB＋⊥EOF＝156°，则⊥EOF是多少度？25．直线AB、CD相交于点O.OE、OF分别是⊥AOC、⊥BOD的平分线.（1）画出这个图形.（2）射线OE、OF在同一条直线上吗?（3）画⊥AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系?并说明理由.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】C13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】有一个直角；另一条直线的垂线；垂足17．【答案】有且只有一条直线18．【答案】90°；⊥19．【答案】互余20．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直21．【答案】相等，理由：⊥AOB＋⊥DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以⊥BOC＋⊥COD＝90°．因为OB平分⊥AOC，所以⊥AOB＝⊥BOC，通过等量代换，可以得知⊥COD与⊥DOE相等．22．【答案】∵⊥1与⊥3是对顶角∴⊥1＝⊥3，因为⊥1＝30°∴⊥3＝30°．∵AB⊥CD∴⊥BOD＝90°∵⊥2＋⊥3＝⊥BOD∴⊥2＝90°－⊥3＝60°．23．【答案】（1）⊥AOD＝⊥BOC；⊥BOP＝⊥COP（2）40°；20°；50°24．【答案】（1）∵⊥AOC＝⊥AOB＋⊥BOC，∴⊥AOC＝90°＋60°＝150°.∵OE平分⊥AOC，∴⊥EOC ＝150°÷2＝75°.∵OF平分⊥BOC，∴⊥COF＝60°÷2＝30°.∵⊥EOC＝⊥EOF＋⊥COF,∴⊥EOF＝75°－30°＝45°.（2）∵OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC．∴⊥COE＝⊥AOC，⊥COF＝⊥BOC∵⊥AOB＝⊥AOC－⊥BOC∴⊥EOF＝⊥COE－⊥COF＝⊥AOC－⊥BOC＝（⊥AOC－⊥BOC）＝⊥AOB（3）∵OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC，∴⊥COE＝⊥AOC，⊥COF＝⊥BOC∴⊥EOF＝⊥AOC－⊥BOC＝（⊥AOC－⊥BOC）＝⊥AOB．又∵⊥AOB＋⊥EOF＝156°∴⊥EOF＝52°．25．【答案】（1）如图：（2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下：∵直线AB、CD相交于点O，∴⊥AOC=⊥BOD，⊥AOC+⊥AOD=180°，∵OE、OF分别是⊥AOC、⊥BOD的平分线，∴⊥AOE=12⊥AOC，⊥DOF=12⊥BOD ∴⊥AOE=⊥DOF，∴⊥AOE+⊥DOF=⊥AOC，∴⊥AOE+⊥DOF+⊥AOD=180°，∴射线OE、射线OF在同一条直线上；（3）如图OE⊥OG．理由如下：∵OG平分⊥AOD，∴⊥AOG=⊥DOG，∵⊥AOE=⊥DOF，⊥AOE+⊥DOF+⊥AOD=180°，∴⊥AOE+⊥AOG=90°，∴OG⊥OE．。
人教版数学七年级下册垂线同步练习题含答案
人教版数学七年级下册垂线同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 是过点O 的一条直线，已知⊥1=40°，则⊥2=（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°2．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ） A ．减小40︒B ．减小10︒C ．减小20︒D ．不变3．如图所示，已知：,1:23:2CD AB ⊥∠∠=，则FDC ∠=（ ）A ．120︒B ．126︒C ．135︒D ．144︒4．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在( ) A ．这条线段上 B ．这条线段的端点处 C ．这条线段的延长线上D ．以上都有可能5．数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段，正确的是( )A ．AB ．BC ．CD ．D6．如图，O 是直线AD 上一点，射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠，则COE ∠的大小为（ ）A．120°B．60°C．90°D．150°7．如图，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列说法错误的是（）A．点A到BC的距离是AD的长度B．点B到AD的距离是BD的长度C．点C到AD的距离是DE的长度D．点B到AC的距离是AB的长度DE=，点F是射线OB上的任意一点，8．如图，OD平分AOB∠，DE AO⊥于点E，5则DF的长度不可能是（）A．4B．5C．6D．79．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度10．如图，在直角三角形ABC中，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列说法错误的是（）A ．线段AC 的长度表示点C 到AB 的距离 B ．线段AD 的长度表示点A 到BC 的距离 C ．线段CD 的长度表示点C 到AD 的距离 D ．线段BD 的长度表示点A 到BD 的距离 11．下列命题是真命题的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C ．互相垂直的两条线段一定相交D ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短12．平面直角坐标系中，点()1,2A -，()2,1B ，经过点A 的直线a x ∥轴，点C 是直线a 上的一个动点，当线段BC 的长度最短时，点C 的坐标为（ ）． A ．()1,1- B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,2二、填空题13．如图，当直线AB 与CD 相交于O 点，⊥AOD ＝______时，那么AB 与CD 垂直，记作：AB ______CD ． 符号语言：因为⊥AOD ＝90°（已知） ， 所以AB ⊥CD ( ) ．14．如图，直线AB 和CD 交于O 点，OD 平分⊥BOF ，OE ⊥CD 于点O ，⊥AOC =40︒，则⊥EOF =_______．15．如图， 直线AB ， CD ， EF 相交于点O ， 若:1:2AOE COE ∠∠=， AB CD ⊥， 则COF ∠=______度．16．如图，已知CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，则ACD ∠的余角是__．17．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，⊥BOC ＝α，点F 在直线AB 上且在点O 的右侧，点E 在射线OC 上，连接EF ，直线EM 、FN 交于点G ．若⊥MEF ＝n ⊥CEF ，⊥NFE ＝（1﹣2n ）⊥AFE ，且⊥EGF 的度数与⊥AFE 的度数无关，则⊥EGF=__．(用含有α的代数式表示）18．如图所示，⊥AOC 与⊥BOD 都是直角，且⊥AOB ：⊥AOD ＝2：11，则⊥AOB ＝_______．三、解答题19．如图，已知⊥AOB =20°．（1）若射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ，请你在图中画出所有符合要求的图形； （2）请根据（1）所画出的图形，求⊥COD 的度数．20．如图1，1A BC ∠、1ACM ∠的角平分线2BA 、2CA 相交于点2A ，(1)如果164A ∠=︒，那么2A ∠的度数是多少，试说明理由并完成填空； 解：（1）结论：2∠=A ______度．说理如下：因为2BA 、2CA 平分1A BC ∠和1ACM ∠（已知）， 所以121A BC ∠=∠，122A CM ∠=∠（角平分线的意义）． 因为111ACM A BC A ∠=∠+∠，221A ∠=∠+∠（ ） （完成以下说理过程）(2)如图2，164A ∠=︒，如果2A BC ∠、2A CM ∠的角平分线3BA 、3CA 相交于点3A ，请直接写出3A ∠度数；(3)如图2，重复上述过程，1n A BC -∠、1n A CM -∠的角平分线n BA 、n CA 相交于点n A 得到n A ∠，设1A θ∠=︒，请用θ表示n A ∠的度数（直接写出答案）21．如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ．(1)求证：2BAC B E ∠=∠+∠．(2)若CA BE ⊥，30ECD ACB ∠-∠=︒时，求E ∠的度数．22．直线AB ，CD 相交于点O ，OF CD ⊥于点O ，作射线OE ，且OC 在AOE ∠的内部．(1)当点E ，F 在直线AB 的同侧；⊥如图1，若15BOD ∠=︒，120BOE ∠=︒，求EOF ∠的度数；⊥如图2，若OF 平分∠BOE ，请判断OC 是否平分AOE ∠，并说明理由； (2)若2AOF COE ∠=∠，请直接写出∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系．23．如图所示，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路两侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近；行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路AB 上分别画出点P 和点Q 的位置(保留作图痕迹)． （2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段路上距离M 、N 两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)24．如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A ､B ､C 均在格点上仅用无刻度直尺画图：（1）过点A 画线段BC 的平行线AD ； （2）过点B 画线段BC 的垂线，垂足为B ； （3）过点C 画线段AB 的垂线，垂足为E ；（4）线段CE 的长度是点C 到直线________的距离；（5）线段CA ､CE 的大小关系是_________（用“<”连接），理由是__________________．参考答案：1．C【分析】根据垂直得到⊥BOD =90°，然后平角的性质求解即可． 【详解】⊥AB ⊥CD ， ⊥⊥BOD =90°，⊥⊥1+⊥BOD +⊥2=180°，⊥1=40°， ⊥40°+90°+⊥2=180°， ⊥⊥2=50°， 故选：C ．【点睛】此题考查了直角和平角的性质，解题的关键是熟练掌握直角和平角的性质． 2．C【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40︒，所以入射角为904050︒-︒=︒．根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50︒，所以入射光线与反射光线的夹角是100︒．入射角减小10︒，变为501040︒-︒=︒，所以反射角也变为40︒，此时入射光线与法线的夹角为80︒．则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角． 3．B【分析】根据CD AB ⊥，可得⊥ADC =⊥BDC =90°可得⊥1+⊥2=90°，由1:23:2∠∠=，可求⊥1=54︒，⊥2=36︒，由对顶角性质可得⊥ADF =⊥2=36°，利用角的和可得⊥FDC =⊥ADC +⊥ADF =126°． 【详解】解：⊥CD AB ⊥ ⊥⊥ADC =⊥BDC =90° ⊥⊥1+⊥2=90°， ⊥1:23:2∠∠=，设⊥1=3x ︒，⊥2=2x ︒， ⊥3x +2x =90， 解得18x =，⊥⊥1=54︒，⊥2=36︒， ⊥⊥ADF =⊥2=36°，⊥⊥FDC =⊥ADC +⊥ADF =90°+36°=126°． 故选：B ．【点睛】本题考查垂直定义，角的和与比例，掌握垂直定义，根据角的和与比例建构方程，会解方程是解题关键． 4．D【分析】画一条线段的垂线，就是画线段所在的直线的垂线，进而得出答案．【详解】作一条线段的垂线，实际上是作线段所在直线的垂线，垂足可能在这条线段上，可能在端点处，也可能在线段的延长线上． 故选：D ．【点睛】本题考查线段垂线的画法．正确把握垂线的定义是解题关键． 5．A【详解】A.根据垂线段的定义，故A 正确； B.BD 不垂直AC ，所以错误；C.是过点D 作的AC 的垂线，所以错误；D.过点C 作的BD 的垂线，也错误. 故选：A. 6．C【分析】根据平角的概念结合角平分线的定义列式求解． 【详解】解：⊥O 是直线AD 上一点 ⊥180AOD ∠=︒⊥射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠ ⊥12COB AOB ∠=∠，12EOB BOD ∠=∠⊥1111=()902222COE COB EOB AOB BOD AOB BOD AOD ∠∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查平角及角平分线的概念，正确理解相关概念列出角的和差关系是解题关键． 7．C【分析】根据点到直线的距离的定义判断各选项即可．【详解】A 、点A 到BC 的距离是AD 的长度，本选项正确，不符合题意； B 、点B 到AD 的距离是BD 的长度，本选项正确，不符合题意； C 、点C 到AD 的距离是DE 的长度，故本选项错误，符合题意； D 、点B 到AC 的距离是AB 的长度，本选项正确，不符合题意． 故选C ．【点睛】本题考查了点到直线的距离，关键是对点到直线的距离的意义的掌握． 8．A【分析】根据角平分线的性质，可知点D 到OB 和OA 的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．【详解】⊥OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =， ⊥D 到OB 的距离等于5， ⊥5DF ≥故DF 的长度不可能为4，故选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键． 9．C【分析】根据点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度进行求解即可.【详解】点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度，而CD 是点C 到直线AB 的垂线段， 故选C.【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的概念是解题的关键. 10．D【分析】根据直线外一点，到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可． 【详解】解：A. 线段AC 的长度表示点C 到AB 的距离，说法正确，不符合题意； B. 线段AD 的长度表示点A 到BC 的距离，说法正确，不符合题意； C. 线段CD 的长度表示点C 到AD 的距离，说法正确，不符合题意；D. 线段BD的长度表示点B到AD的距离，原说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是准确识图，正确进行判断．11．D【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，A没有告知在同一平面内，是假命题；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，B 是假命题；互相垂直的两条线段不一定相交，C是假命题；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，D是真命题．答案：D题型解法：命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，确定假命题可举反例证明．12．D【分析】根据题意画出图形，根据直线a//x轴，得到直线a为直线y= 2，根据垂线段最短即可得出答案．【详解】如图，⊥直线a// x轴，⊥直线a为直线y= 2，当BC⊥a时，线段BC最短，⊥点C的坐标为(2，2)．故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于x轴的坐标的特点，以及垂线段最短是解题的关键．13．90°⊥垂直的定义【解析】略14．130°【分析】根据对顶角性质可得⊥BOD =⊥AOC=40°．根据OD 平分⊥BOF ，可得⊥DOF =⊥BOD =40°，根据OE ⊥CD ，得出⊥EOD =90°，利用两角和得出⊥EOF =⊥EOD +⊥DOF =130°即可．【详解】解：⊥AB 、CD 相交于点O ，⊥⊥BOD =⊥AOC=40°．⊥OD 平分⊥BOF ，⊥⊥DOF =⊥BOD =40°，⊥OE ⊥CD ，⊥⊥EOD =90°，⊥⊥EOF =⊥EOD +⊥DOF =130°．故答案为130°．【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．15．120【分析】根据垂直的定义和对顶角相等的性质可得答案．【详解】解：AB CD ⊥，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，又:1:2AOE COE ∠∠=，119030123AOE AOC ∴∠=∠=︒⨯=︒+， AOE BOF ∠=∠，3090120COF BOF BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：120．【点睛】本题考查垂直的定义，对顶角相等的性质，解题的关键是掌握垂直的定义． 16．DCF ∠，ECB ∠【分析】根据垂直的定义和余角的定义，找和ACD ∠相加得90°的角即可．【详解】解：CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，90ACF BCF DCE ∴∠=∠=∠=︒，90ACD DCF∴∠+∠=︒，18090ACD BCE DCE∠+∠=︒-∠=︒ACD∴∠的余角是：DCF∠，ECB∠．答案：DCF∠，ECB∠．【点睛】本题考查了垂直的定义和余角的定义，解题关键是准确识图，找出图中90°角，准确进行推理判断．17．13α##α3【分析】利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，以及三角形内角和定理求解．【详解】解：⊥⊥CEF＝⊥AFE+⊥BOC，⊥BOC＝α，⊥⊥CEF＝α+⊥AFE，⊥⊥MEF＝n⊥CEF，⊥⊥MEF＝n（α+⊥AFE），⊥⊥EGF＝⊥MEF﹣⊥NFE，⊥⊥EGF＝n（α+⊥AFE）﹣（1﹣2n）⊥AFE＝nα+（3n﹣1）⊥AFE，⊥⊥EGF的度数与⊥AFE的度数无关，⊥3n﹣1＝0，即n＝13，⊥⊥EGF＝13α；故答案为：13α．【点睛】此题考查了三角形外角的性质及角度计算，解题的关键是理解⊥EGF的度数与⊥AFE 的度数无关的含义．18．20°【分析】由⊥AOB+⊥BOC=⊥BOC+⊥COD知⊥AOB=⊥COD，设⊥AOB=2α，则⊥AOD=11α，故⊥AOB+⊥BOC=5α=90°，解得α即可．【详解】解：⊥⊥AOB+⊥BOC=⊥BOC+⊥COD，⊥⊥AOB=⊥COD，设⊥AOB=2α，⊥⊥AOB：⊥AOD=2：11，⊥⊥AOB+⊥BOC=9α=90°，解得α=10°，⊥⊥AOB =20°．故答案为20°．【点睛】此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键． 19．（1）见解析；（2）⊥COD=20°或160°．【分析】（1）根据垂直的定义画射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ；（2）如图1，由于OC ⊥OA ，OD （或OD’）⊥OB ，则⊥BOD =⊥BOD’=⊥AOC =90°，于是利用周角的定义可计算出⊥COD =160°，利用⊥COD ′=⊥BOC ﹣⊥BOD’可得到⊥COD ′=20°，如图2，同理可得⊥COD =160°，⊥COD ′=20°．【详解】解：（1）如图1、如图2，OC 、OD （或OD ′）为所作；（2）如图1，⊥OC ⊥OA ，OD ⊥OB ，⊥⊥BOD =⊥BOD’=⊥AOC =90°，⊥⊥COD =360°﹣90°﹣90°﹣20°=160°，⊥COD ′=⊥BOC ﹣⊥BOD’=90°+20°﹣90°=20°，如图2，同理可得⊥COD =160°，⊥COD ′=20°，⊥⊥COD =20°或160°．【点睛】本题考查了基本作图—过一点作已知直线的垂线，分情况作出图形是解决此题的关键.20．(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析(2)16° (3)1()2n θ︒-【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；（2）根据（1）的解法即可直接求解；（3）利用（1）的结论求解．（1）解：结论：⊥A 2＝32度．说理如下：因为BA 2、CA 2平分⊥A 1BC 和⊥A 1CM （已知），所以⊥A 1BC ＝2⊥1，⊥A 1CM ＝2⊥2（角平分线的意义）．因为⊥A 1CM ＝⊥A 1BC +⊥A 1，⊥2＝⊥1+⊥A 2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．所以⊥A 1CM ＝⊥A 1BC +⊥A 1＝2⊥1＋⊥A 1＝2（⊥1+⊥A 2），所以⊥A 1＝2⊥A 2，因为⊥A 1＝64°，所以⊥A 2＝32°．故答案为：32，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）由（1）得：⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 2＝2⊥A 3，⊥⊥A 1＝4⊥A 3，⊥⊥A 3＝14⊥A 1＝16°． （3）由（1）得：⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 2＝2⊥A 3，…，⊥An ﹣1＝2⊥An ，⊥⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 1＝4⊥A 3，⊥A 1＝8⊥A 4，…，⊥A 1＝2n ﹣1•⊥An ，⊥⊥A 1＝2n ﹣1•⊥An ，⊥⊥An ＝112n A -∠＝1()2n θ-︒． 【点睛】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键．21．(1)见解析(2)20︒【分析】（1）利用外角的性质，BAC E ACE ∠=∠+∠，ECD E B ∠=∠+∠，再利用角平分线的定义推出ACE ECD ∠=∠，通过等量代换即可求证；（2）先利用30ECD ACB ∠-∠=︒，180ACD ACB ∠+∠=︒，求出40ACB ∠=︒，进而求出B ，再代入（1）中结论即可求解．（1）证明：⊥BAC ∠是ACE ∆的外角，⊥BAC E ACE ∠=∠+∠，⊥ECD ∠是BCE ∆的外角，⊥ECD E B ∠=∠+∠，⊥CE 是ACD ∠的平分线，⊥ACE ECD E B ∠=∠=∠+∠，⊥2BAC E ACE E B E B E ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠；（2）解：⊥30ECD ACB ∠-∠=︒，⊥30ECD ACB ∠=∠+︒，⊥2260ACD ECD ACB ∠=∠=∠+︒，⊥180ACD ACB ∠+∠=︒，⊥260180ACB ACB ∠+︒+∠=︒，解得40ACB ∠=︒．⊥CA BE ⊥，⊥90BAC ∠=︒，⊥18050B BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，由（1）知2BAC B E ∠=∠+∠，⊥90502E ︒=︒+∠，解得20E ∠=︒．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义等，牢固掌握上述知识并灵活运用是解题的关键．22．(1)⊥45︒；⊥平分，理由见解析(2)32270AOC BOE ∠+∠=︒或2270AOC BOE ∠+∠=︒【分析】（1）⊥先利用角度的和差关系求得COE ∠，再根据90EOF COE ∠=︒-∠，可得EOF∠的度数；⊥先根据角平分线定义EOF FOB ∠=∠，再结合余角定义和对顶角相等可得结论； （2）需要分类讨论，当点E ，F 在直线AB 的同侧，当点E ，F 在直线AB 的异侧；设COE α∠=，再分别表示AOC ∠、∠BOE ，再消去α即可．（1）解：⊥⊥OF CD ⊥于点O ，⊥90COF ∠=︒，⊥15BOD ∠=︒，120BOE ∠=︒，⊥1801801201545COE BOE BOD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，⊥904545EOF COF COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥EOF ∠的度数为45︒；⊥平分．理由如下：⊥OF 平分∠BOE ， ⊥12EOF FOB EOB ∠=∠=∠， ⊥OF CD ⊥，⊥90COF ∠=︒，⊥90COE EOF FOB BOD ∠+∠=∠+∠=︒，⊥COE BOD ∠=∠，⊥AOC BOD ∠=∠，⊥COE AOC ∠=∠，⊥OC 平分AOE ∠．（2）如图，当点E ，F 在直线AB 的同侧，设COE α∠=，⊥2AOF COE ∠=∠，⊥22AOF COE α∠=∠=，⊥OF CD ⊥，⊥90COF ∠=︒，⊥290AOC AOF COF α∠=∠-∠=-︒⊥，⊥()1801802902703BOE AOC COE ααα∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒-⊥，⊥×3＋⊥×2得，32270AOC BOE ∠+∠=︒；如图，当点E ，F 在直线AB 的异侧；设COE α∠=，⊥2AOF COE ∠=∠，⊥22AOF COE α∠=∠=，⊥OF CD ⊥，⊥90COF ∠=︒，⊥902AOC COF AOF α∠=∠-∠=︒-⊥，⊥()180********BOE AOC COE ααα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒+⊥，⊥＋⊥×2得，2270AOC BOE ∠+∠=︒．综上所述，∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系：32270AOC BOE ∠+∠=︒或2270AOC BOE ∠+∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线定义，对顶角相等，垂直的定义，平角的定义，等式的恒等变形等知识，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．分类讨论是解题的关键． 23．（1）作图见解析；（2）当汽车从A 向B 行驶时，在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，离村庄M 越来越远，离村庄N 越来越近．【分析】（1）点与直线的连线中，垂线段最短，所以MP AB ⊥，NQ AB ⊥．（2）观察图形可以得到在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．⊥，垂足为Q，点P、Q 【详解】解：(1)过点M作MP AB⊥，垂足为P，过点N作NQ AB就是要画的两点，如图所示．(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．【点睛】本题主要考查了点与直线距离以及尺规作图相关知识，熟练掌握点与直线的距离和尺规作图是解决本题的关键．<；垂线段最短．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AB；（5）CE CA【分析】（1）（2）（3）利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可；（4）利用垂线段的性质直接回答即可；（5）利用垂线段最短比较两条线段的大小即可．【详解】（1）如图，直线AD即为所求；（2）如图，直线BF即为所求（3）如图，直线CE即为所求；（4）AB<；垂线段最短．（5）CE CA【点睛】本题考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图．。
(新课标)湘教版七年级数学下册《垂线》同步练习题及答案解析
新课标 2017-2018学年湘教版七年级数学下册4.5.2 垂线的基本事实及垂线段核心笔记:1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是( )A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有( )①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )A.1条B.2条C.无数条D.不能确定4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5cm,则AB___________5cm,其根据是___________.5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有( )①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4cm,5cm,6cm,则点P到直线l的距离( )A.是4cmB.是5cmC.不超过4cmD.大于6cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P与圆O的距离应定义为( )A.线段PO的长度B.线段PA的长度C.线段PB的长度D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)7.说出日常生活现象中的数学原理:8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN ⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q 的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】1.【答案】B2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC 的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD=·==,所以点A到直线BC的距离为.7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线. 因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.5.【答案】B6.【答案】>7.8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远. 解：要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.。
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试5(含解析)
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试5（含解析）综合考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释阅卷人一、单选题(共10题；共40分)得分1．（4分）（2020七上·扬州期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，则点P到直线l的距离是（ ）A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm2．（4分）（2022·常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3．（4分）同一平面内的四条直线，若满足a b⊥， b c⊥， c d⊥，则下列的式子成立的是 （ ）A．a//d B．b d⊥D．b//c⊥C．a d4．（4分）如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离是（ ）A．大于4.6米B．等于4.6米C．小于4.6米D．不能确定△中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，5．（4分）（2017·天河模拟）如图，在Rt ABC⊥于点E，DF BC⊥于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（ ）过点D作DE ACA．5B．4.8C．4.6D．4.4⊥，若∠1＝50°，则∠2的度数为（6．（4分）（2020七上·南召期末）如图，直线a b∥，直线AB AC）A．50°B．45°C．30°D．40°⊥于点D，若7．（4分）（2022·拱墅模拟）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，过点A作AD CDAB=√5，CD=√3，则AC的长可能是（ ）A．3B．2.5C．2D．1.58．（4分）（2022·张家口模拟）如图，平行线m，n间的距离为5，直线l与m，n分别交于点A，B， α=45° ，在m上取点P（不与点A重合），作点P关于l的对称点Q．若 P A=3 ，则点Q到n的距离为（ ）A．2B．3C．2或8D．3或89．（4分）（2021七上·朝阳期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能符合题意解释这一现象的数学知识是（ ）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直⊥，垂足为O，EF为过点O的一条直线，若∠1＝10．（4分）（2021七下·抚远期末）如图，AB CD50°，则∠2的度数为（ ）A．30°B．40°C．45°D．50°阅卷人二、填空题(共8题；共32分)得分11．（4分）（2021七上·哈尔滨月考）如图，口渴的马儿在 A 点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路 AB 奔跑，依据是 ．12．（4分）（2019七下·马山月考）如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A ⊥于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是 作AH PQ13．（4分）（2019八上·郑州开学考）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角度平分线；③做一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线.则对应选项中做法错误的是 .14．（4分）如图，AB CD ∥，OE 平分∠BOC ，OF OE, OP CD ⊥⊥，∠ABO ＝40°，则下列结论：①∠BO E ＝70°；②OF 平分∠BOD ；③∠POE ＝∠BOF ；④∠POB ＝2DOF ∠．其中正确结论有 （填序号）15．（4分）（2017七下·台山期末）如图， OC ⊥OD ， ∠1=50° ，则 ∠2 的度数是 16．（4分）（2017八下·建昌期末）如图，点A 的坐标为（﹣2 √2 ，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 长最短时点B 的坐标为 ．17．（4分）如图，直线AB 与CD 相交于E 点，EF AB ⊥，垂足为E ，∠1=130°，则∠2= 度．18．（4分）（2019八上·重庆开学考）如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°, AC=6 , BC=8 , AB=10 , AD是 ∠BAC 的平分线.若 P, Q分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是 .第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释阅卷人三、作图题(共4题；共36分)得分19．（6分）（2022·灞桥模拟）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧ABC于点E.（保留作图痕迹，不要求写作法）.20．（12分）（2019八下·泉港期末）在正方形ABCD中，BE平分∠CBD交边CD于E点．⊥于F；（保留作图痕迹，不写作法）；（1）（6分）尺规作图：过点E作EF BD（2）（6分）在（1）的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．21．（12分）（2022九下·温州开学考）如图，在8×6的方格纸ABCD中，每个小方格纸的顶点为格点，请按要求画出格点多边形，且所画格点多边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）（6分）在图1中画一个格点三角形EFG，使得点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90∘；（2）（6分）在图2中画一个四边形EFGH，使点F为边BC的中点，E，G，H分别落在边AB，CD，DA上，且EG⊥FH，∠AEG≠90∘．22．（6分）（2020八下·潜江期末）如图，在 7×6 的方格中， △ABC 的顶点均在格点上.试按要求画出线段 EF （ E ， F均为格点），各画出一条即可.阅卷人四、综合题(共3题；共42分)得分23．（13分）（2021八下·江都期末）已知：如图， △ABC为锐角三角形，AB>AC.求作：BC边上的高AD.作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于点E；②分别以点B，E为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点F(不与点A重合)；③连接AF交BC于点D.线段AD就是所求作的线段.（1）（7分）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）（6分）完成下面的证明.证明：连接AE，EF，BF.∵AB=AE= EF = BF，∴四边形ABFE是 （ ）（填推理依据）.⊥（ ）（填推理依据）.∴AF BE即AD是 △ABC中BC边上的高.24．（14分）（2017七上·扬州期末）如图，已知 OD 是∠AOB 的角平分线，C 为 OD 上一点．∥，交 OB 于 F；过（1）（7分）过点 C 画直线 CE OB∥，交 OA 于 E；过点 C 画直线 CF OA⊥，垂足为 G．点 C 画线段 CG OA（2）（7分）根据画图回答问题：①线段 的长度就是点C到OA的距离；②比较大小：CE CG（填“＞”或“=”或“＜”）；③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是：∠AOD ∠ECO（填“＞”或“=”或“＜”）;25．（15分）（2021七下·厦门期末）如图1，点M在直线AB上，点P，N在直线CD上，过点N作NE PM∥，连接ME.∥，点E在直线AB，CD之间，求证：∠MEN＝∠BME+MPN∠；（1）（7分）若AB CD（2）（8分）如图2，ME的延长线交直线CD于点Q，作NG平分∠ENQ交EQ于点G，作EF∠＝90°时，线平分∠MEN，过点E作HE NG.∥若点F，H分别在MP，PQ上，探究当∠MPQ+2FEH段NE与NG的大小关系.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】依据垂线段最短，∵P 为直线外一点，点A 、B 在直线l 上，若PA=4cm ，PB=5cm ，∴点P 到直线l 的距离不大于4cm ，故答案为C.【分析】依据点到直线的距离垂线段最短，即可求解..2．【答案】A【解析】【解答】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短.故答案为：A.【分析】根据垂线段最短的性质进行解答即可.3．【答案】C【解析】【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a//c ，再结合c d ⊥，可证a d ⊥．【解答】∵a b ⊥，b c ⊥，∴a//c ，∵c d ⊥，∴a d ⊥．故选C ．【点评】此题主要考查了平行线及垂线的性质．4．【答案】A【解析】【解答】解：∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，又∵垂线段最短，∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.6米，故选：A ．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，据此作答．5．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接CD ．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB= √A C 2+BC 2 =10，∵DE AC ⊥，DF BC ⊥，∠C=90°，∴四边形CFDE 是矩形，∴EF=CD ，由垂线段最短可得CD AB ⊥时，线段EF 的值最小，此时，S ABC △= 12 BC•AC= 12 AB•CD ，即 12 ×8×6= 12×10•CD ，解得CD=4.8，∴EF=4.8．故答案为：B ．【分析】在Rt ABC △中，根据勾股定理求出AB 的值，根据矩形的性质得到对角线EF=CD ，由垂线段最短可得CD AB ⊥时，线段EF 的值最小，根据S ABC △求出EF 的值.6．【答案】D【解析】【解答】解：如图，∵直线a b ∥，∠1=50°，∴1=3=50°∠∠，∵AB AC ⊥，∴2+3=90°∠∠．∴2=40°∠．故答案为：D ．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3=1∠，根据垂直的定义和余角的定义计算得到∠2．7．【答案】C【解析】【解答】解：在三角形ABC 中，∠ACB =90°，∴AC <AB ，∵AB =√5，∴A C 2<5，∵AD⊥CD，在RtΔADC中，AC>CD，∵CD=√3，∴A C2>3，∵32=9>5，2.52=6.25>5，1.52=2.25<3，22=4，3<4<5，∴AC的长可能是2.故答案为：C.【分析】由题意可得AC<AB，AC>CD，则3<AC2<5，据此判断.8．【答案】C【解析】【解答】解：当点P在点A左侧时，如图，作点P关于l的对称点Q，连接 AQ ．由轴对称的性质，得： QA=P A=3 ， ∠P AQ=2α=90° ，∴点Q到n的距离为 5−3=2 ；当点P在点A右侧时，如图，作点P关于l的对称点Q，连接 AQ ．由轴对称的性质，得： QA=P A=3 ， ∠P AQ=2α=90° ，点Q到n的距离为 5+3=8 ．故答案为：C．【分析】分两种情况讨论： 当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别依据轴对称的性质进行计算，即可得到点Q到n的距离。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(2)
4．BN 垂线段最短
解析：试题分析：根据生活实际，确定量取的位置，然后根据点到直线的距离确定跳远的成绩BN，因此明确理论依据为：垂线段最短.
故答案为：（1）BN（2）垂线段最短
5．有且只有
解析：试题
根据垂线的性质:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
故答案为有且只有.
三、解答题
∵CD⊥OB，
∴∠AOB+∠ODC=90°，
∴与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC．
点睛：
本题考查的是作图-基本作图，熟知垂线的作法是解答此题的关键．
4．（1）画图见解析；（2）OA；（3）CP；（4） ．
解析：试题分析：（1）画出图形如图所示；（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离；（3）线段PC的长度是点C到直线OB的距离.（4）根据点到直线的距离垂线段最短可得线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC.
4．D
解析：详解：
∵PO丄OR, OQ丄PR，
∴PO是点P到线段OR的距离，OQ是点O到PR的距离，OR是点R到线段PO的距离，PQ是P到线段OQ的距离，RQ是R到OQ的距离
∴共计有5条.
故选D.
5．A
解析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
详解：
根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是( )
人教版七年级数学下册《5.1.2垂线》同步练习题-含有答案
人教版七年级数学下册《5.1.2垂线》同步练习题-含有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，过点P画出直线AB的垂线．下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．2．两条直线互相垂直，所得的四个角中，直角的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.点P是直线外一点，点A、B是直线上两点，PA=2，PB=3，则点P到直线的距离有可能为（）A. 1 B．2.5 C．3D．44．如图，直线AB与直线CD相交于点O，且∠BOD＝2∠BOC，若以点为端点的射线OE∠CD，则∠BOE 的度数为（）A．B．或C．D．以上都不正确5．下列结论正确的是（）A．两点之间直线最短B．若，则点C是线段AB的中点C．相等的角是对顶角D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线6．下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（）A．B．C．D．7．到直线L的距离等于2cm的点有（）A．0个B．2个C．3个D．无数个二、填空题8.过两点有且只有________直线两点之间________最短点B在线段AC上，如果________，则点B是线段AC的中点9.如图，当∠1与∠2满足条件__________时，OA⊥OB。
10.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为__________。
11.如图，直线，相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，平分，∠1=15°，则∠FOD的度数为__________。
三、解答题12.如图所示,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,OM∠ON,∠BOC=26°,求∠AOD的度数。
13.16、如图所示,直线AB，CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE。
(1)判断OF与OD的位置关系；(2)若∠AOC∠∠AOD=1∠5,求∠EOF的度数。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(1)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．2．下列作图能表示点A到BC的距离的是( )A．A B．B C．C D．D3．如图，直线a//b，则直线a，b之间距离是()A．线段AB的长度B．线段CD的长度C．线段EF的长度D．线段GH的长度4．如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下面的结论中,正确的有 ( )①BC与AC互相垂直;②AC与CD互相垂直;③点A到BC的垂线段是线段BC;④点C到AB的垂线段是线段CD;⑤线段BC是点B到AC的距离;⑥线段AC的长度是点A到BC的距离.A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图所示，AC⊥BC与C，CD⊥AB于D，图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条6．如图，下列说法不正确的是（）A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段ACC．线段AD是点D到BC的垂线段D．线段BD是点B到AD的垂线段7．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的数学知识是( )A．两点之间的所有连线中，线段最短B．点到直线的距离C．两点确定一条直线D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠EOF＝32°，则∠BOC的大小为( )A．120°B．122°C．132°D．148°9．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠BOE=35°，则∠DOF=（）A．65°B．45°C．35°D．55°二、填空题1．如图所示，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路旁选一点来建火车站（位置已选好），说明理由：_____．2．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短.理由是_______________________.3．如图所示，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是________________________________．4．如图，在一块直角三角板ABC中，AB＞AC的根据是_____．5．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是_____．三、解答题1．读下列语句，并完成作图．()1如图1，过点P分别作OA、OB的垂线段PM、PN．()2如图2，①过点C，作出AB的垂线段CM；②过点A作出表示点A到BC的距离的线段AN．2．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；（3）线段PH的长度是点P到______的距离，______是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接）．3．如图，点P，Q分别是∠AOB的边OA，OB上的点.(1)过点P画OB的垂线，垂足为H；(2)过点Q画OA的垂线，交OA于点C，连接PQ；(3)线段QC的长度是点Q到的距离，的长度是点P到直线OB的距离，因为直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PQ、PH的大小关系是(用“＜”号连接).4．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．5．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O．（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数．参考答案一、单选题1．C解析：试题分析：根据题意画出图形即可．解：根据题意可得图形，故选C．点评：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2．B分析：由点到直线的距离知点A到BC的距离就是过A向BC作垂线所得垂线段的长度. 逐一进行判断即可.详解：解：A.BD表示点B到AC的距离，故A选项错误；B. AD表示点A到BC的距离，故B选项正确；C. AD表示点D到AB的距离，故C选项错误；D. CD表示点C到AB的距离，故D选项错误；故选B．点睛：本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.3．B解析：根据两直线的距离的定义即可判断.详解：∵a//b，CD⊥a，AD⊥b，∴直线a，b之间距离是CD的长度.此题主要考查两直线的距离，解题的关键是找到两直线间的垂线段.4．B分析：根据垂直定义和点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．详解：解：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，故①正确；AC与DC相交不垂直，故②错误；点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确.故选B.5．D解析：试题表示点C到直线AB的距离的线段为CD，表示点B到直线AC的距离的线段为BC，表示点A到直线BC的距离的线段为AC，表示点A到直线DC的距离的线段为AD，表示点B到直线DC的距离的线段为BD，共五条．故选D．6．C解析：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断．详解：A、点B到AC的垂线段是线段AB，正确；B、点C到AB的垂线段是线段AC，正确；C. 点A到BC的垂线段是线段AD，故错误；D. 点B到AD的垂线段是线段BD，正确；故选C．本题考查了点到直线距离的概念，解题的关键是明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离7．D解析：根据垂线段的性质进行作答.详解：由题知，AB⊥CD，所以选D.点睛：本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段的性质是本题解题关键.8．D解析：分析：由OE⊥CD，OF⊥AB，可得∠COE=90°, ∠BOF=90°;又由∠EOF＝32°，可求出∠COF的度数，然后根据∠BOC=∠BOF+∠COF求出结论即可.详解：∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠COE=90°, ∠BOF=90°,∵∠EOF＝32°，∴∠COF=90°-32°=58°,∴∠BOC=∠BOF+∠COF=90°+58°=148°.故选D.点睛：题考查了垂线的定义和角的和差，若两条直线相交所成的角为90°，那么这两条直线垂直，交点叫垂足．求出∠EOF＝32°是解答本题的关键.9．D解析：∵AB⊥CD，∴∠BOC=90°，∵∠BOE=35°，∴∠COE=∠BOC-∠BOE=90°-35°=55°，∵直线EF和直线CD相交于点O，∴∠DOF=∠COE=55°.故选D.二、填空题1．垂线段最短解析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知，要选垂线段．2．垂线段最短解析：试题分析：点到直线的所有线段中垂线段最短.考点：垂线段的性质3．垂线段最短.分析：根据垂线段最短作答.详解：解：根据“连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”，所以沿AB开渠，能使所开的渠道最短，故答案为“垂线段最短”.点睛：本题考查垂线段最短的实际应用，属于基础题目，难度不大.4．垂线段最短.解析：根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短可得．详解：∵AC⊥BC，∴AB＞AC，其依据是：垂线段最短，故答案为：垂线段最短．点睛：本题主要考查垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．5．两点确定一条直线解析：应用的数学知识是：过两点有且仅有一条直线.故答案为过两点有且只有一条直线.三、解答题1．（1）见解析；（2）见解析.解析：(1)根据点到直线距离的作法利用直角三角尺分别作出即可;(2)分别过点C作CM⊥AB,AN⊥BC,注意要延长BC得出.详解：解：()1如图1所示：()2如图2所示．点睛：此题主要考查了点到直线的垂线作法以及钝角三角形中高线的作法,正确作出钝角三角的高线是解题关键.2．（1）见解析；（2）见解析；（3）OA ， PC的长度， PH＜PC＜OC.解析：(1)利用三角板过点P画∠OPC=90°即可；(2)利用网格特点，过点P画∠PHO=90°即可；(3)利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短即可确定线段PC、PH、OC的大小关系.详解：(1)如图所示；(2)如图所示；(3) 线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可知PH＜PC＜OC，故答案为OA，PC，PH＜PC＜OC．点睛：本题主要考查了基本作图----作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题．3．(1)画图见解析；(2)见解析；(3)直线OA，线段PH；PH＜PQ.解析：（1）根据垂线的概念、结合网格特点作图即可；（2）根据垂线的概念、结合网格特点和线段的作法作图；（3）根据垂线段最短进行比较即可．详解：（1）如图，直线PH即为所求；（2）如图，直线QC即为所求；（3）线段QC的长度是点Q到直线OA的距离，线段PH的长度是点P到直线OB的距离，根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短可知PH＜PQ，故答案为直线OA，线段PH；PH＜PQ．点睛：本题考查了复杂作图和垂线段的性质，掌握基本尺规作图、得到复杂图形，连接垂线段最短是解题的关键．4．垂线段最短两点之间，线段最短解析：(1)过A作AC⊥MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．详解：(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．点睛：本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．5．（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF的度数为30°或150°．解析：（1）依据垂线的定义以及对顶角相等，即可得∠BOE的度数；（2）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；（3）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=150°．详解：解：（1）∵EO⊥CD，∴∠DOE=90°，又∵∠BOD=∠AOC=36°，∴∠BOE=90°-36°=54°；（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，∴∠BOD=16∠COD=30°，∴∠AOC=30°，又∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOE=90°+30°=120°；（3）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=150°；综上所述，∠EOF的度数为30°或150°．故答案为（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF的度数为30°或150°．点睛：本题考查了角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是分类讨论思想的运用．。
人教版七年级数学下册《垂线》拔高练习
《垂线》拔高练习一.选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. （5分）如图，因为直线丄/于点B, BCAJ于点、B,所以直线佔和BC重合，则其中蕴含的数学原理是（）AC11BA. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 垂线段最短C. 过一点只能作一条垂线D. 两点确定一条直线2. （5分）已知线段CD,点M在线段结合图形，下列说法不正确CA・延长线段A3、CD.相交于点FB. 反向延长线段84、DC,相交于点FC. 过点M画线段A3的垂线，交CD于点ED. 过点M画线段CD的垂线，交CD于点E3. （5分）如图，已知直线AD、BE、CF相交于点O, OG丄AD,且ZBOC=35° ,ZFOG=30Q ,则ZDOE的度数为（）B4.（5分）如图，OB丄CD于点O, Z1 = Z2,则Z2与Z3的关系是（）BA. Z2=Z3 B・Z2与Z3互补C. Z2与Z3互余D.不确定5. （5分）如图，直线AB与直线CD相交于点O, E是ZCOB内一点，且OE丄AB, ZAOC=35° ,则ZEOD的度数是（）1C、2 _______A GA.155°B. 145°C. 135°D. 125°二.填空题本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）如图，直线佔与CD相交于点O, EO丄CD于点O, OF平分ZAOC,若ZBOE： ZAOC=4： 5,则ZEOF为 __________ 度.7・（5分）如果两个角的两条边分别垂直,而其中一个角比另一个角的4倍少60° , 则这两个角的度数分别为_ .& （5分）如图，直线AB、CD相交于点O,OE丄AB,垂足是点O, ZBOC=\40Q , 则ZDOE= ________ .9. （5分）已知ZAOB和ZCOD的两边分别互相垂直，且ZCOD比ZAO3的3倍少60°,则ZCOD的度数为_________10. （5分）如图，三条直线AB. CD、EF相交于0,且CD丄EF, ZAOE=6S° .若三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）如图1,已知A 、O 、3三点在同一直线上，射线OD 、OE 分别平 分ZAOC 、ZBOC.（1） 求ZDOE 的度数；（2） 如图2,在ZAOD 内引一条射线OF 丄OC,其他不变，设ZDOF=a° （o"/<90°）.g 求ZAOF 的度数（用含“的代数式表示）；b.若ZBOD 是ZAOF 的2倍，求ZDOF 的度数.（1） ___________________ ZDOE 的补角有 :（2） 若ZDOE ： ZAOD=i ： 7,求ZAOC 的度数；（3） 射线OF 丄OE.① 当射线OF 在直线AB 上方时，试探究ZBOC 与上DOF 之间的数量关系，并说明理由；O, OE 是ZBOD 的平分线E图1 02②当射线OF在直线AB下方时，ZBOC与ZDOF之间的数量关系是__________ .13.（10分）已知直线AB和CD相交于O点,CO丄OE,OF平分ZAOE, Z2=26° .（1） ___________________________ 写岀图中所有Z4的余角•（2）写出图中相等的三对角：①②③（3）求Z5的度数.14. （10分）已知：如图，AO丄BC, DO丄OE・（1）不添加其他条件情况下，请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）；（2）如果ZCOE=35° ,求ZBOD的度数・15. （10分）若ZA与的两边分别垂直，请判断这两个角的数量关系.（1） ___________________________________ 如图①，ZA与ZB的数量关系是；如图②，ZA与的数量关系是______ .（2）请从图①或图②中选择一种情况说明理山.《相交线》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. （5分）如图，因为直线A3丄/于点B, BC丄/于点B,所以直线AB和BC重合，则其中蕴含的数学原理是（）AC1A. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 垂线段最短C. 过一点只能作一条垂线D. 两点确定一条直线【分析】根据垂线的性质即可判断.【解答】解：因为直线佔丄/于点B, BC丄/于点B,所以直线AB和3C重合（在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），故选：A.【点评】本题考查垂线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.2. （5分）已知线段AB、CD,点M在线段上，结合图形，下列说法不正确CA. 延长线段AB、CD,相交于点FB. 反向延长线段84、DC,相交于点FC. 过点M画线段的垂线，交CD于点ED. 过点M画线段CD的垂线，交CD于点E【分析】根据线段和垂线段的定义，结合图形进行分析即可. 【解答】解：A、延长线段AB、CD,相交于点F,说法正确;B、反向延长线段84、DC,相交于点尺说法正确；C、过点M画线段AB的垂线，交CD于点E,说法正确;D、过点M画线段CD的垂线，交CD于点E,说法错误；故选：D.【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，关键是正确掌握三线的特点.3. （5分）如图，已知直线AD、BE、CF相交于点O, OGLAD,且ZBOC=35° ,ZFOG=30Q ,则ZDOE的度数为（）【分析】根据对顶角相等，以及垂直的定义求出所求角度数即可.【解答】解：V ZBOC=35° , ZFOG=30° ,A ZEOF=ZBOC=35° ,Z GOE= Z GOF+ Z FOE=65 ° ,TOG 丄AD,A ZGOD=90Q ,A ZDOE=25° ,故选：D.【点评】此题考查了垂线，以及对顶角、领补角，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.4・（5分）如图，OB丄CD于点6 Z1 = Z2,则Z2与Z3的关系是（）C. Z2与Z3互余D.不确定【分析】根据垂线定义可得Z l +再根据等量代换可得Z2+Z3=90°・【解答】解:、：OB 丄CD,.\Z1+Z3=9O° ,VZ1=Z2,A Z2+Z3=90° ,・・・Z2与Z3互余，故选：C.【点评】此题主要考查了垂线和余角，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所 成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直 线叫做另一条直线的垂线.5. （5分）如图，直线与直线CD 相交于点O, E 是ZCOB 内一点，且OE 丄AB,ZAOC=35° ,则ZEOD 的度数是（ ）【分析】山对顶角相等可求得ZBOD,根据垂直可求得ZEOB,再利用角的和差 可求得答案.【解答】解：V ZAOC=35° ,r. ZBOD=35° ,'：EOLAB,A Z £05=90° ,r. ZEOD=ZEOB+ZBOD=90° +35° =125° , 故选：D.【点评】本题主要考查对项角相等和垂直的定义，掌握对顶角相等是解题的关键, 注意山垂直可得到角为90° .二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）如图，直线与CD 相交于点O, EO 丄CD 于点O, OF 平分Z4OC,第28页（共18页）C. 135°D. 125°B. 145°若ZBOE： ZAOC=4： 5,则A EOF为一115 度.【分析】依据ZAOC+ZBOE=90° , ZBOE： ZAOC=4：5,即可得出ZAOC=50° , 根据OF平分ZAOC,可得Z COF=25 ° ,进而得到Z EOF= Z COF+ Z COE=\\5° .【解答】解:•:EO丄CD,；・ZCOE=90° ,r. ZAOC+ZBOE=90° ,又V ZBOE： ZA0C=4： 5,A ZAOC=50° ,乂YOF平分ZAOC,:.ZCOF=25° ,A ZEOF=ZCOF+ZCOE=25° +90° =115° ,故答案为:115.【点评】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数.7.（5分）如果两个角的两条边分别垂直,而其中一个角比另一个角的4倍少60° ,则这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20° ..【分析】分两种悄况进行讨论，依据两个角的两条边分别垂直画出图形，而其中一个角比另一个角的4倍少60°,即可得到这两个角的度数.【解答】解：如图，a+P=180° , 3 =4 a・60° ,解得 a =48° , 3=132°；如图，a 二 B , B =4 a - 60° ,解得a = P =20 _；综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20° .故答案为：48°、132°或20°、20° .【点评】本题考查了垂线，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时, 就说这两条直线互相垂直.& （5分）如图，直线AB、CD相交于点O,OE丄AB,垂足是点O, ZBOC=\40Q , 则ZDOE= 50°【分析】运用垂线的定义，对顶角的性质进行计算即可.【解答】解：・・•直线AB、CD相交于点O,A ZBOC=ZAOD=\40° ,乂TOE 丄AB,r.ZZ）OE=140o・90° =50° ,故答案为：50° .【点评】本题主要考查了对顶角和垂线的定义，解题的关键是运用对顶角的性质：对顶角相等.9. （5分）已知ZAOB和ZCOD的两边分别互相垂直，且ZCOD比ZAOB的3 倍少60°,则ZCOD的度数为30°或120°【分析】有两种情况：①如图1,根据ZCO£>=90° +90°- ZAOB,列方程可得结论；②如图2, ZAOB+ Z BOD= Z COD+ ZAOC,列方程可得结论.【解答】解：设ZAOB=x° ,则ZCOD=3x° - 60° ,分两种情况：①如图1, -ZAOB和ZCOD的两边分别互相垂直，・•・ ZCOD=90Q +90°・ ZAOB,即3x - 60=90+90 - %,*60° ,.\ZCOD=3X60°・60° =120°；②如图2, TOA丄OC, OB丄OD,・•・ ZAOB+ ZBOD= Z COD+ ZAOC,x+90=3x - 60+90,x=30° ,A ZCOD=30° ,综上所述，ZCOD的度数为30°或120° ,故答案为:30°或120°•【点评】此题主要考查了角的讣算，以及垂直的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系.10. （5分）如图，三条直线AB、CD、EF相交于O,且CD丄EF, ZAOE=68° .若OG 平分ZBOF,则ZDOG= 56 度.c八【分析】直接利用垂直的定义得出ZAOC=ZBOD的度数，再利用角平分线的定义得出答案.【解答】解:•: CD丄EF,ZCOE=90° ,V ZAOE=68° ,A ZAOC=ZBOD=22° , ZBOF=68° ,TOG 平分ZBOF,:.ZBOG=^ZBOF=34° ,2・•・ Z DOG= ZDOB+ ZBOG=56° .故答案为：56.【点评】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义和角的计算，正确应用垂直的定义是解题关键.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）如图1,已知A、0、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分ZAOC、ZBOC.（1）求ZDOE的度数；（2）如图2,在ZAOD内引一条射线OF丄OC,其他不变，设ZDOF=a°（o"<a<90°）.g求ZAOF的度数（用含“的代数式表示）；b.若ZBOD是ZAOF的2倍，求ZDOF的度数.图1 @2【分析】（1）根据角平分线的性质解答即可；（2） G 根据互余解答即可.b.根据ZBOD 是ZAOF 的2倍，列方程可得a 的值.【解答】解：（1）•・•点A, O, B 在同一条直线上，A ZAOC+ZBOC=\SO° ,•・•射线OD 和射线OE 分别平分ZAOC 和ZBOC,A ZCOD=^ZAOC, ZCOE 丄ZBOC2 2 A ZCOD+ZCOE=^ CZAOC+ZBOC ） =90° , 2r. ZDOE=90° ；（2） a. *：OC 丄OF,r. ZCOF=90° ,I ZDOF= a J:.ZCOD=90° - a ° ,I ZAOD=ZCOD.・•・ ZAOF=ZAOD ・ ZDOF=90° ・a° ・ a ° = (90-2a )b. V ZBOD 是ZAOF 的 2 倍，A180° ・(90 ・ a ) ° =2 (90-2a ) ° , a =18° ,即ZDOF=\S Q.【点评】此题主要考查了垂线和角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键.(1) ZDOE 的补角有ZAOE 和 ZCOE ；(2) 若ZDOE ： ZAOD=\： 7,求ZAOC 的度数;(3) 射线OF 丄OE2 OE 是ZBOD 的平分线①当射线OF在直线AB上方时，试探究ZBOC与ZDOF之间的数量关系，并说明理由；②出射线OF在直线下方时，ZBOC与ZDOF之间的数量关系是—丄ZB0C±2 ZDOF=180°.【分析】（1）根据角平分线的定义可得ZDOE二ZBOE,再根据补角的定义结合图形找出即可；（2）根据角平分线的定义列方程计算即可求出ZBOE,然后根据对顶角相等可得结论；（3 ）计算出Z EOF的度数是90° ,设Z BOE=x , Z BOF=y ,则ZCO£>=2v+2y=180o ,可得结论.【解答】解：（1）如图1, TOE是ZBOD的平分线，・•・ ZDOE=ZBOE,由题意得：ZDOE的补角有：ZAOE^IZCOE；故答案为：ZAOE和ZCOE；（2）V ZDOE： ZAOD=\： 7,设ZDOE=x, ZAOD=7x,/.x+x+7.r=180,x=20° ,A ZAOC=ZBOD=2.x=40!3；（3）①如图2, ZDOFAZBOC,理由是：2TOE 丄OF,:.ZEOF=90° ,A ZDOF+ZDOE=90° ,•••上DOE A ZBOD,2・・・ZDOF气ZAOD斗ZBOC；②如图3, L Z B0C+ZDOF=180° ,理山是：2TOE 丄OF,；・ZEOF=90° ,第18页（共18贞）A ZBOF+ZBOE=90° ,••• ZBOF丄ZBOC,2设ZBOE=x, ZBOF=yVZC(?D=2x+2)^180°/.丄ZBOC+ Z DOF=y+2x+y= 180 °・2【点评】此题主要考查了垂线，以及角平分线定义，关键是理清角之间的关系，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.13.（10分）已知直线A3和CD相交于O点,CO丄OE,OF平分ZAOE, Z2=26° . （1）写出图中所有Z4的余角Zl, Z5 .（2）写出图中相等的三对角：① Z1二Z5 ② ZAOF=ZEOF③ ZCOE二ZDOE .（3）求Z5的度数・EA6【分析】(1)依据垂直的定义以及对顶角相等，即可得到所有Z4的余角；(2) 依据对顶角相等，角平分线的定义以及垂直的定义，即可得到相等的三对角；(3) 根据垂直的定义可得ZCOE=90° ,然后求出ZEOF,再根据角平分线的定义求出ZAOF,然后求出ZAOC,再根据对顶角相等解答即可.【解答】解：(1) TCO丄OE,:.Z4+Z5=90° ,XVZ1=Z5,r.Zl+Z5=90° ,・・・Z4的余角为Zl, Z5,故答案为：Zl, Z5；(2) •・•直线4B和CD相交于O点，.\Z1=Z5,*：OF平分ZAOE,・•・ ZAOF=ZEOF f•: CO 丄OE,・•・ ZCOE=ZDOE：故答案为：Z1=Z5, ZAOF=ZEOF, ZCOE=ZDOE；(3) *：CO丄OE,・・・ZCOE=90° ,XVZCOF=26° ,A ZEOF=90°・26° =64° ,'：OF平分ZAOE,第18贞(共18页)EZAOF=EOF=M° ,6r. ZAOC=64°・26° =38° ,第18贞(共18页)•・• ZAOC与Z5是对顶角,.\Z5=38° .【点评】本题考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系是解题的关键.14. （10分）已知：如图，AO丄BC, DO丄OE.（1）不添加其他条件悄况下，请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）；（2）如果ZCOE=35° ,求ZBOD的度数.B O C【分析】（1）已知AO丄BC, DO丄OE,就是已知ZDOE= ZAOB= ZA OC=90° , 利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角.（2）由DO丄OE, ZCOE=35° ,知ZBOD=\SO° ■乙DOE ■乙COE,故可求解.【解答】解：（1） TAO丄BC, DOLOE,A ZDOE=ZAOB=ZAOC=90° , ZBOD+ZAOD=90° , ZAOD+ZAOE=90° ,ZAOE+ZCOE=90° ,:.ZDOA=ZEOC, ZDOB=ZAOE, ZAOB=ZAOC, ZAOB=ZDOE, ZAOC=ZDOE；（2） TDO丄OE, ZCOE=35° ,r.ZBOD= 180°・ ZDOE - ZCOE=90°・ 35° =55° .【点评】本题主要考查了同角或等角的余角相等这一性质，山垂直的定义得出直角是解决本题的关键.15. （10分）若ZA与的两边分别垂直，请判断这两个角的数量关系.（1）如图①，ZA与ZB的数量关系是相等；如图②，ZA与ZB的数量关系是互补 .（2）请从图①或图②中选择一种情况说明理山.D【分析】（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补；（2）根据垂直的量相等的角都等于90。
垂线(巩固篇)(专项练习)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.6垂线（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）．A．有两个角相等B．有两对角相等C．有三个角相等D．有四对邻补角2．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A．4条B．3条C．2条D．1条3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是()A．B．C．D．4．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于35．如图，在△ABC中，∠C＝90︒，D是边BC上一点，且∠ADC＝60︒，那么下列说法中错误的是（）A．直线AD与直线BC的夹角为60︒B．直线AC与直线BC的夹角为90︒C ．线段CD 的长是点D 到直线AC 的距离D ．线段AB 的长是点B 到直线AD 的距离6．如图，已知直线AB l ⊥，BC l ⊥，则直线AB 与BC 重合，理由是（）A ．垂线段最短B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离D ．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条7．如图， ,, 5, 3AD BD BC CD AB BC ⊥⊥==，则BD 的长度可能是()A ．3B ．5C ．3或5D ．4.58．如图所示，点A 到BC 所在的直线的距离是指图中线段()的长度．A ．ACB ．AFC ．BD D ．CE9．直线AB ，CD 相交于点O ．OE ，OF ，OG 分别平分AOC ∠，BOC ∠，AOD ∠．下列说法正确的是（）A ．OE ，OF 在同一直线上B ．OE ，OG 在同一直线上C ．OG OF⊥D ．OE OF ⊥10．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，O 为垂足，如果∠EOD ＝38°，下列结论不正确的是（）A ．∠EOB =90°B ．∠DOB 是∠AOE 的补角C ．∠AOC =52°D ．∠AOC 与∠EOD 互为余角二、填空题11．如果∠α，∠β两边分别垂直，其中∠α比∠β的2倍少30°，那么∠α＝_____．12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB ，垂足为O ，∠AOC ：∠COE ＝2：3，则∠AOD ＝______．13．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，OF OE ⊥于点O ．若80AOD ∠=︒，则AOF ∠等于____________．14．点O 为线段AB 上一点，不与点A 、B 重合，OC ⊥OD 于点O ，若∠AOC ＝35°，则∠BOD 的度数为___．15．如图，点C ，O ，D 在一条直线上，OA OB ⊥，OE 平分AOC BOC ∠∠，比BOD ∠大70︒，COE ∠的度数为________．16．已知点O 是直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90BOE ∠=︒，请写出下列正确结论的序号_____________①130BOC ∠=︒②25AOD ∠=︒③155BOD ∠=︒④45COE ∠=︒17．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．当直线AB 绕着点O 在DOE ∠内部转动，OF 是AOC ∠的角平分线，若BOE α∠=，则AOF β∠=，则β关于α的函数关系式为______．18．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对.三、解答题19．如图，A 、B 、C 是平面内三点．(1)按要求作图：①作射线BC ，过点B 作直线l ，使A 、C 两点在直线l 两旁；②点P 为直线l 上任意一点，点Q 为直线BC 上任意一点，连接线段AP 、PQ ；(2)在（1）所作图形中，若点A 到直线l 的距离为2，点A 到直线BC 的距离为5，点A 、B 之间的距离为8，点A 、C 之间的距离为6，则AP +PQ 的最小值为__________，依据是__________20．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OD 平分AOF ∠，EO OD ⊥，55EOA ∠=︒，求BOF ∠的度数.21．如图，已知OB ，OC ，OD 是AOE ∠内三条射线，OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠．(1)若70AOB ∠=︒，20DOE ∠=︒，求BOC ∠的度数．(2)若136AOE ∠=︒，AO CO ⊥，求BOD ∠的度数．(3)若20DOE ∠=︒，220AOE BOD ∠+∠=︒，求BOD ∠的度数．22．如图，O 为直线AB 上一点，F 为射线OC 上一点，OE ⊥AB ．（1）用量角器和直角三角尺画∠AOC 的平分线OD ，画FG ⊥OC ，FG 交AB 于点G ；（2）在（1）的条件下，比较OF 与OG 的大小，并说明理由；（3）在（1）的条件下，若∠BOC ＝40°，求∠AOD 与∠DOE 的度数．23．如图，用三张卡片拼成如下图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为1C 、2C ．(1)请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n m <”的理由是_________．（填写正确选项的字母）A ．两点之间线段最短；B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；C ．垂线段最短；D ．两点确定一条直线．(2)分别计算1C 、2C （用含m 、n 的代数式表示）；(3)比较112C 与212C 的大小，并说明理由．24．点O 为直线l 上一点，射线OA OB 、均与直线l 重合，如图1所示，过点O 作射线OC 和射线OD ，使得100BOC ∠=︒，90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ．(1)求AOC ∠与MOD ∠的度数；(2)作射线OP ，使得90BOP AOM ∠+∠=︒，请在图2中画出图形，并求出COP ∠的度数；(3)如图3，将射线OB 从图1位置开始，绕点O 以每秒5︒的速度逆时针旋转一周，作COD ∠的平分线ON ，当20MON ∠=︒时，求旋转的时间．参考答案1．C【分析】两直线相交所成的四个角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直，根据的定义判断即可．【详解】解：A、两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，是两个对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；B、两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，是两对对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；C、两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；D、两条直线相交成四个角，如果有四对邻补角，是四对普通的邻补角，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；故选：C．【点拨】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的定义，邻补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．D【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．【详解】解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，故选D．【点拨】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．3．A【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，故选A．【点拨】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．A【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误；同理，点B 到AC 的距离也不是3，故D 错误，故选：A【点拨】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．5．D【分析】根据已知角即可判断A 、B ；根据点到直线的距离的定义即可判断C 、D ．【详解】解：A 、∵∠CDA ＝60︒，∴直线AD 与直线BC 的夹角是60︒，正确，故不符合题意；B 、∵∠ACD ＝90︒，∴直线AC 与直线BC 的夹角是90︒，正确，故不符合题意；C 、∵∠ACD ＝90︒，∴DC ⊥AC ，∴线段CD 的长是点D 到直线AC 的距离，正确，故不符合题意；D 、∵BD 和AD 不垂直，∴线段AB 的长不是点B 到直线AD 的距离，错误，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．6．B【分析】直接利用垂线的性质进而分析得到答案．【详解】∵AB l ⊥，BC l ⊥，垂足为B ，∴AB 和BC 重合，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：B ．【点拨】本题考查了同一平面内直线的垂直关系及垂线段的知识点，解题的关键是熟悉对垂线段定义的理解．7．D【分析】根据垂线段最短可得3＜BD ＜5．【详解】解：∵AD ⊥BD ，BC ⊥CD ，AB=5，BC=3，∴BC ＜BD ＜AB ，即3＜BD ＜5．故选：D ．【点拨】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．8．B【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【详解】点A 到线段BC 所在直线的距离是线段AF 的长度，故选B ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．9．D【分析】根据角平分线的性质得到12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，又因为AOC ∠与BOC ∠是互为补角，所以90COE COF ∠+∠=︒，所以OE OF ⊥，所以A 错误，D 正确；因为12AOG AOD Ð=Ð，且AOD ∠与BOC ∠互为对顶角，所以AOG BOF ∠=∠，所以OF 与OG 共线，所以OE OG ⊥，所以B ，C 均错误．【详解】解：如图，∵OE ，OF 分别是AOC ∠，BOC ∠的平分线，∴12COE AOE AOC ∠=∠=∠，12COF BOF BOC Ð=Ð=Ð，∵OG 是AOD ∠的平分线，∴12AOG DOG AOD Ð=Ð=Ð，∴1180902COE COFAOF BOF ����窗=，∴90EOF ∠=︒，∵AOC BOD ∠=∠，∴AOG BOF ∠=∠，∴90EOG AOG AOE Ð=Ð+Ð=°，∴180EOG EOF ∠+∠=︒，∴OF 与OG 共线，∴射线OE ，OF 互相垂直，故D 正确，A 错误；射线OF 与OG 互相垂直，故BC 错误．故选：D ．【点拨】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．10．B【分析】根据垂直的定义可知90EOB ∠=︒，故A 正确；根据互补定义，由图知DOB ∠和AOD ∠互补，故B 错误；根据OE ⊥AB ，∠EOD ＝38°，结合对顶角定义，可得52AOC BOD ∠=∠=︒，故C 正确；根据互余定义和对顶角定义可知AOC BOD ∠=∠，90BOD EOD ∠+∠=︒即可得到∠AOC 与∠EOD 互为余角，故D 正确，从而得到结论．【详解】解：A 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，故该选项不符合题意；B 、由于A O B 、、三点共线，则180AOD BOD ∠+∠=︒，即∠DOB 是∠AOE 的补角错误，故该选项符合题意；C 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，再结合∠EOD ＝38°，根据对顶角相等可知52AOC BOD ∠=∠=︒，故该选项不符合题意；D 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，从而90BOD EOD ∠+∠=︒，根据对顶角相等AOC BOD ∠=∠可得90AOC EOD ∠+∠=︒，∠AOC 与∠EOD 互为余角，故该选项不符合题意；故选：B ．【点拨】本题考查垂线的定义、互余的定义、互补的定义和对顶角相等的性质等知识点，熟记概念，准确识图并找到各个相关角度之间的数量关系是解决问题的关键．11．30︒或110︒【分析】分两种情况，当αβ∠=∠时，当180αβ∠+∠=︒，然后进行计算即可解答，【详解】解：设∠β为x ︒，则()230x α∠=-︒，分两种情况：当αβ∠=∠时，如图：230x x ∴-=，解得：30x =，30α∴∠=︒，当180αβ∠+∠=︒，如图：230180x x ∴-+=，解得：70x =，110α∴∠=︒综上所述：30α∠=︒或110α∠=︒．故答案为：30︒或110︒．【点拨】本题考查了垂线，角的计算，根据题意画出图形，分两种情况讨论是解题的关键．12．144°【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOE =90°，进而利用∠AOC ：∠COE =2：3，得出∠AOC 的度数，进而得出答案．【详解】解：∵EO ⊥AB ，∴∠AOE =90°，∵∠AOC ：∠COE =2：3，∴设∠AOC =2x ，∠COE =3x ，则3x +2x =90°，解得：x =18°，故∠AOC =36°，则∠AOD =180°-36°=144°．故答案为：144°．【点拨】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出∠AOC 度数是解题关键．13．50︒##50度【分析】根据对顶角相等可得80BOC AOD =∠=︒∠，再根据角平分线的性质得1402BOE BOC ==︒∠∠，最后根据平角的性质求解即可．【详解】解：∵80AOD ∠=︒，∴80BOC AOD =∠=︒∠．∵OE 平分∠BOC ，∴1402BOE BOC ==︒∠∠．∵OF ⊥OE ，∴90EOF ∠=︒，∴180180409050AOF BOE EOF =︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠．故答案为：50︒．【点拨】本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．14．55°或125°【分析】分OC ，OD 在AB 的同侧和异侧两种情况求解．【详解】当OC 和OD 在AB 同一侧时，如图：∵OC ⊥OD ，∴∠COD ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝90°，∵∠AOC ＝35°，∴∠BOD ＝90°﹣∠AOC ＝90°﹣35°＝55°，当OC 和OD 在AB 同异侧时，如图：∵OC ⊥OD ，∴∠COD ＝90°，∵∠AOC ＝35°，∴∠AOD ＝55°，∴∠BOD ＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣55°＝125°．∴∠BOD 的度数为55°或125°．故答案为：55°或125°．【点拨】本题考查了垂直的定义即两直线相交，交成的四个角中有一个是直角，理解定义，学会分类是解题的关键．15．72.5︒##72.5度【分析】根据BOC ∠比BOD ∠大70︒，BOC ∠和BOD ∠互补，即可求出55BOD ∠=︒，进而由垂直性质可求出35AOD ∠=︒，再由角平分线性质即可得出答案．【详解】解：∵BOC ∠比BOD ∠70︒，∴设BOD x ∠=，则70BOC x ∠=+︒，∵BOC ∠+180BOD ∠=︒，∴()70180x x ++︒=︒，∴55x =︒，∴55BOD ∠=︒，∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴9035AOD BOD ∠=︒-∠=︒，∴180145AOC AOD ∠=︒-∠=︒，∵OE 平分AOC ∠，∴172.52COE AOC ∠=∠=︒．故答案为：72.5︒．【点拨】本题考查了垂直的性质，角平分线的性质以及角的运算，掌握以上知识是解题的关键．16．①②③【分析】根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答．【详解】解：∵50AOC ∠=︒，∴∠BOC =180°-AOC ∠=130°，则①正确∵OD 平分AOC ∠，∴∠AOD =1252AOC ∠=︒，则②正确∴∠BOD =180°-∠AOD =155°，则③正确∵90BOE ∠=︒∴∠COE =90︒-AOC ∠=40°，则④错误．故答案为：①②③．【点拨】本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差等知识点，熟知邻补角的定义及角平分线的定义成为解答本题的关键．17．()1450902β=-α+︒︒<α<︒【分析】先由角平分线定义得：22AOC AOF ∠=∠=β，由垂直定义和角的和差90BOC ∠=︒+α，再根据180AOC BOC ∠+∠=︒，得到α与β的关系，进而得解．【详解】∵OF 是AOC ∠的角平分线，AOF β∠=，∴22AOC AOF ∠=∠=β．∵OE CD ⊥，∴90COE ∠=︒，∵BOE α∠=，∴90BOC COE BOE ∠=∠+∠=︒+α．∵180AOC BOC ∠+∠=︒，∴290180β+︒+α=︒，∴()1450902β=-α+︒︒<α<︒，故答案是()1450902β=-α+︒︒<α<︒．【点拨】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，补角的定义，由180AOC BOC ∠+∠=︒，90BOC ∠=︒+α，推导出β关于α的函数关系式是解本题的关键．18．990019800【详解】100条直线两两相交，最多有100(1001)49502-=个交点，每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，有4950×4＝19800（对）邻补角，故答案为9900，19800.19．(1)①见解析；②见解析(2)5，垂线段最短【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据线段的性质即可得到结论．(1)解：①如图1所示，射线BC ，直线l 即为所求；②如图1所示，线段AP ，PQ 即为所求；；(2)解：过A 作AQ ⊥BC 交直线l 于P ，则此时，AP +PQ 的值最小，∵点A 到直线BC 的距离为5，∴AP +PQ 的最小值为5，依据是垂线段最短，故答案为：5，垂线段最短．【点拨】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．20．110BOF ∠=︒【分析】依据EO OD ⊥，55EOA ∠=︒，可得905535AOD ∠=︒-︒=︒，再根据OD 平分AOF ∠，即可得出270AOF AOD ∠=∠=︒，依据平角定义得到BOF ∠．【详解】解：∵EO OD ⊥，∴90EOD ∠=︒.∵55EOA ∠=︒.∴1905535EOD EOA ∠=∠-∠=︒-︒=︒.∵OD 平分AOF ∠.∴11352AOF ∠=∠=︒.∴70AOF ∠=︒.∵180BOA BOF AOF ∠=∠+∠=︒∴180********BOF AOF ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【点拨】本题主要考查了垂线的意义，角平分线的定义以及余角的综合运用，正确的识别图形是解题的关键．21．(1)30︒(2)45︒(3)60︒【分析】对于（1），由角平分线的定义求出∠BOE 和COE ∠，再根据=BOC BOE COE ∠∠-∠即可求解；对于（2），先求出COE ∠，再根据角平分线的定义求出DOE ∠和∠BOE ，然后根据=-BOD BOE DOE ∠∠∠即可求解；对于（3），由角平分线的定义得2AOE BOE ∠=∠，结合已知条件可得2220BOE BOD ∠+∠=︒，20BOE BOD ∠-∠=︒，即2240BOE BOD ∠-∠=︒，进而得出3180∠=︒BOD ，可得答案．【详解】（1）∵OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，∴70BOE AOB ∠=∠=︒，240COE DOE ∠=∠=︒，∴=704030BOC BOE COE ∠∠-∠=︒-︒=︒；（2）∵AO CO ⊥，∴=90AOC ∠︒．∵136AOE ∠=︒，∴1369046COE AOE AOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，∴1682BOE AOE ∠=∠=︒，1232COE ∠=∠=︒，∴=-682345BOD BOE DOE ∠∠∠=︒-︒=︒；（3）∵OB 平分AOE ∠，∴2AOE BOE ∠=∠．∵220AOE BOD ∠+∠=︒，∴2220BOE BOD ∠+∠=︒．∵BOE BOD DOE ∠-∠=∠，∴20BOE BOD ∠-∠=︒，∴2240BOE BOD ∠-∠=︒，∴3180∠=︒BOD ，∴60BOD ∠=︒．【点拨】本题主要考查了角的和差，关键是由角平分线定义得出相关等式．22．（1）见解析；（2）OF ＜OG ；理由见解析；（3）∠AOD ＝70°，∠DOE ＝20°．【分析】（1）使用量角器量出AOC ∠的度数，再用直角三角尺画它的平分线，使用直角三角尺画FG OC ⊥于G ；（2）根据垂线段最短即可确定OF 和OG 的大小；（3）先利用邻补角计算出180140AOC BOC ∠=︒-∠=︒，再根据角平分线定义得70AOD ∠=°，然后利用角互余计算DOE ∠的度数．【详解】（1）先使用量角器量出AOC ∠的度数，再用直角三角尺画它的平分线；使用直角三角尺画FG OC ⊥于G ，如下图所示，OD 、FG 即为所画（2）OF OG <．理由如下：FG OC⊥ OF ∴是点O 到FG 的距离由直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短可知，OF OG <；（3）40BOC ︒∠= 180140AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒∵OD 是AOC ∠的平分线∴1702AOD AOC ∠=∠=︒∵OE AB⊥∴90AOE ∠=︒∴20DOE AOE AOD ∠=∠-∠=︒故AOD ∠的度数为70︒，DOE ∠的度数为20︒．【点拨】本题考查了角平分线和垂线的画法、垂线段最短、角互余等知识点，掌握角平分线的定义是解题关键．23．(1)C(2)124C m n =+，242C m n =+(3)121122C C <，理由见解析【分析】（1）根据垂线段最短解答；（2）根据周长公式计算即可；（3）利用作差法比较大小．(1)解：“n m <”的理由是垂线段最短，故选：C ；(2)解：1224,42C m n C m n =+=+；(3)解：()()12111124422222C C m n m n n m -=+-+=-；∵n <m ，∴n-m <0，∴1211022C C -<，∴121122C C <．【点拨】此题考查了垂线的性质，计算图形的周长，利用作差法比较两个式子的大小，整式加减的应用，正确掌握垂线的性质及作差法比较大小的方法是解题的关键．24．(1)80AOC ∠=︒，50MOD ∠=︒(2)50︒或150︒(3)6秒或62秒【分析】（1）根据180AOB ∠=︒，100BOC ∠=︒，即可得出AOC ∠的度数，根据角平分线的定义得出1402COM AOC ∠=∠=︒，然后根据90COD ∠=︒得出MOD ∠的度数；（2）根据题意得出BOP ∠的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线OP 在BOC ∠内部时；②当射线OP 在BOC ∠外部时；分别进行计算即可；（3）根据ON 平分COD ∠得出45CON ∠=︒，根据题意画出图形，计算∠BOE 的角度，然后计算时间即可．【详解】（1）解：由题意可知，180AOB ∠=︒，∵100BOC ∠=︒，∴80AOC AOB BOC ∠=-∠=︒，∵OM 平分AOC ∠，∴1402COM AOC ∠=∠=︒，∴50MOD COD COM ∠=∠-∠=︒；（2）由（1）知，40AOM AOC COM ∠=∠-∠=︒，∴9050BOP AOM ∠=︒-∠=︒，①当射线OP 在BOC ∠内部时，如图2（1），50COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒；②当射线OP 在BOC ∠外部时，如图2（2），150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒，综上所述，COP ∠的度数为50︒或150︒；（3）∵ON 平分COD ∠，∴1452CON COD ∠=∠=︒，①如图3，25COM CON MON ∠=∠-∠=︒，∵OM 平分AOC ∠，∴250AOC COM ∠=∠=︒，∴18030BOE AOC BOC ∠=︒-∠-∠=︒，∴旋转的时间3056t =︒÷︒=（秒）；②如图3（1），此时，65COM CON MON ∠=∠+∠︒，∵OM 平分AOC ∠，∴2130AOC COM ∠=∠=︒，∴18013050COE ∠=︒-︒=︒，∴1005050BOE ∠=︒-︒=︒，∴旋转的时间(36050)562=︒-︒÷︒=（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．【点拨】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线OB 旋转的过程中，OM 和ON 的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．。