数学实验报告——科赫分形雪花

实验报告：科赫分形雪花一、算法描述科赫分形雪花

clear

n=1;p=[0 0;5,sqrt(75)]; A=[cos(pi/3), -

sin(pi/3);sin(pi/3) ,co s(pi/3)];

for k=1:3

j=1;

for i=1:n

q1=p(i,:);

q2=p(i+1,:);

d=(q2-q1)/3;

r(j,:)=q1;

r(j+1,:)=q1+d;

r(j+2,:)=q1+d+d*A'; r(j+3,:)=q1+2*d;

j=j+4;

end

n=4*n;p=[];

p=[r;q2];

end

x=p(:,1);y=p(:,2);

plot(x,y)

hold on clear

m=1;p=[5,sqrt(75);

10 ,0];

A=[cos(pi/3), -

sin(pi/3);sin(pi/3

) ,cos(pi/3)];

for k=1:3

e=1;

for i=1:m

q1=p(i,:);

q2=p(i+1,:);

d=(q2-q1)/3;

r(e,:)=q1;

r(e+1,:)=q1+d;

r(e+2,:)=q1+d+d*A';

r(e+3,:)=q1+2*d;

e=e+4;

end

m=4*m;p=[];

p=[r;q2];

end

x=p(:,1);y=p(:,2);

plot(x,y)

hold on

clear

n=1;p=[0,0;10, 0];

A=[cos(pi/3), -

sin(pi/3);sin(pi/3) ,

cos(pi/3)];

for k=1:3

j=1;

for i=1:n

q1=p(i,:);

q2=p(i+1,:);

d=(q2-q1)/3;

r(j,:)=q1;

r(j+1,:)=q1+d;

r(j+2,:)=q1+d+d*A;

r(j+3,:)=q1+2*d;

j=j+4;

end

n=4*n;p=[];

p=[r;q2];

end

x=p(:,1);y=p(:,2);

plot(x,y)

二、证明科赫分形雪花图 Kn 的边数为:

用数学归纳法证明：

当n=1时，成立；假设当n=k时成立：

L（k）=3X4^(k-1)

当n=k+1时；因为雪花的边数增加，

每一边将变为四边

L（k+1）=4*L(K)

将L（k）=3Xn^(k-1)代入上式，得：

L（k+1）=3X4^k 满足L(n)=3X4^(n-1)

综上所述，对于任意的N>0，且N为正整数的等式均成立。三、求科赫分形雪花图 Kn 的面积 :

设第一个等边三角形的面积为a

第n次图形变换新增面积为an

则第二个图形新增的面积为3*（1/9）*a，

即a2=3*(1/9)

)

(

lim

n

n

K

Area

∞

→

推出an=第n-1个图形的边数*新增小三角形的面积即an=3*4n-2*(1/9)n-1a

则第n个图形的面积Sn为an的前n项和

所以Sn=

34

*[1()] 49

4

1

9

n

a

a

-

+

-

取极限，得

12748 lim lim[1()]

42095

n

n

n n

S a a a →∞→∞

=+-=

所以分形雪花图Kn的面积为(8/5)a