高一数学竞赛培训讲义：最大公约数和最小公倍数(学生)

第三节 最大公约数
定义1 整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数．不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k )．
由于每个非零整数的约数的个数是有限的，所以最大公约数是存在的，并且是正整数．
如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果
(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ，
则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）．
显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2．
定理1 下面的等式成立：
(ⅰ) (a 1, a 2, , a k ) = (|a 1|, |a 2|, , |a k |)；
(ⅱ) (a , 1) = 1，(a , 0) = |a |，(a , a ) = |a |；
(ⅲ) (a , b ) = (b , a )；
(ⅳ) 若p 是素数，a 是整数，则(p , a ) = 1或p ∣a ；
(ⅴ) 若a = bq + r ，则(a , b ) = (b , r )．
由定理1可知，在讨论(a 1, a 2, , a n )时，不妨假设a 1, a 2, , a n 是正整数，以后我们就维持这一假设．
定理2 设a 1, a 2, , a k ∈Z ，记
A = { y ；y =∑=k
i i i x a 1，x i ∈Z ，1 ≤ i ≤ k }．
如果y 0是集合A 中最小的正数，则y 0 = (a 1, a 2, , a k )．
推论1 设d 是a 1, a 2, , a k 的一个公约数，则d ∣(a 1, a 2, , a k )．
这个推论对最大公约数的性质做了更深的刻划：最大公约数不但是公约数中的最大的，而且是所有公约数的倍数．
推论2 (ma 1, ma 2, , ma k ) = |m |(a 1, a 2, , a k )．
推论3 记δ = (a 1, a 2, , a k )，则
)(,,,2
1
δδδk
a a a = 1，特别地, )(),(,),(
b a b
b a a
= 1．
定理3 (a 1, a 2, , a k ) = 1的充要条件是存在整数x 1, x 2, , x k ，使得
a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k = 1．
(1)
定理4 对于任意的整数a ，b ，c ，下面的结论成立：
(ⅰ) 由b ∣ac 及(a , b ) = 1可以推出b ∣c ；
(ⅱ) 由b ∣c ，a ∣c 及(a , b ) = 1可以推出ab ∣c ．
推论1 若p 是素数，则下述结论成立：
(ⅰ) p ∣ab ⇒ p ∣a 或p ∣b ；
(ⅱ) p ∣a 2 ⇒ p ∣a ．
推论2 若 (a , b ) = 1，则(a , bc ) = (a , c )．
推论3 若 (a , b i ) = 1，1 ≤ i ≤ n ，则(a , b 1b 2 b n ) = 1．
定理5 对于任意的n 个整数a 1, a 2, , a n ，记
(a 1, a 2) = d 2，(d 2, a 3) = d 3， ，(d n - 2, a n - 1) = d n - 1，(d n - 1, a n ) = d n ，
则
d n = (a 1, a 2, , a n )．
例1 证明：若n 是正整数，则
3
14421++n n 是既约分数．
例2 证明：121|/n 2 + 2n + 12，n ∈Z ．
例3 设a ，b 是整数，且9∣a 2 + ab + b 2，则3∣(a , b )．
例4 设a 和b 是正整数，b > 2，则2b - 1|/
2a + 1．
习题三
1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)．
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3．
3. 证明定理4的推论1和推论3．
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y ．
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b ．
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数．
第四节 最小公倍数
定义1 整数a 1, a 2, , a k 的公共倍数称为a 1, a 2, , a k 的公倍数．a 1, a 2, , a k 的正公倍数中的最小的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最小公倍数，记为[a 1, a 2, , a k ]．
定理1 下面的等式成立：
(ⅰ) [a , 1] = |a |，[a , a ] = |a |；
(ⅱ) [a , b ] = [b , a ]；
(ⅲ) [a 1, a 2, , a k ] = [|a 1|, |a 2| , |a k |]；
(ⅳ) 若a ∣b ，则[a , b ] = |b |．
由定理1中的结论(ⅲ)可知，在讨论a 1, a 2, , a k 的最小公倍数时，不妨假定它们都是正整数．在本节中总是维持这一假定．
最小公倍数和最大公约数之间有一个很重要的关系，即下面的定理．
定理2 对任意的正整数a ，b ，有[a , b ] =)
,(b a ab ． 推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除．
这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数．
推论2 设m ，a ，b 是正整数，则[ma , mb ] = m [a , b ]．
定理3 对于任意的n 个整数a 1, a 2, , a n ，记
[a 1, a 2] = m 2，[m 2, a 3] = m 3， ，[m n -2, a n -1] = m n -1，[m n -1, a n ] = m n ，
则[a 1, a 2, , a n ] = m n ．
推论 若m 是整数a 1, a 2, , a n 的公倍数，则[a 1, a 2, , a n ]∣m ．
定理4 整数a 1, a 2, , a n 两两互素，即(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j
的充要条件是[a 1, a 2, , a n ] = a 1a 2 a n ．
定理4有许多应用．例如，如果m 1, m 2, , m k 是两两互素的整数，那么，要证明m = m 1m 2 m k 整除某个整数Q ，只需证明对于每个i ，1 ≤ i ≤ k ，都有m i ∣Q ．这一点在实际计算中是很有用的．对于函数f (x )，要验证命题“m ∣f (n )，n ∈Z ”是否成立，可以
用第二节例5中的方法，验证“m ∣f (r )，r = 0, 1, , m - 1”是否成立．这需要做m 次除法．但是，若分别验证“m i ∣f (r i )，r i = 0, 1, , m i - 1，1 ≤ i ≤ k ”是否成立，则总共需要做m 1 + m 2 + + m k 次除法．后者的运算次数显然少于前者．
例1 设a ，b ，c 是正整数，证明：[a , b , c ](ab , bc , ca ) = abc ．
例2 对于任意的整数a 1, a 2, , a n 及整数k ，1 ≤ k ≤ n ，证明：
[a 1, a 2, , a n ] = [[a 1, , a k ],[a k + 1, , a n ]]
例3 设a ，b ，c 是正整数，证明：[a , b , c ][ab , bc , ca ] = [a , b ][b , c ][c , a ]．
习题四
1. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]．
2. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144．
3. 设a ，b ，c 是正整数，证明：)
,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2
2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =． 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k ．。